数列求和(错位相减法-公开课)ppt课件
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数学课件 数列求和的方法之错位相减法
(1-x)Sn =1 + x + x2+ …… + xn-1 - nxn
这时等式的右边是一个等 n项
比数列的前n项和与一个式 子的和，这样我们就可以 化简求值。
解：∵ Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 … ……. ①
∴xSn = x + 2x2 + … … + (n-1)xn-1 + nxn ……②
…...①
…... ②
①-②，得
.
.
.
方法总结
(1)若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列 的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法 。
（2)在写出“ Sn”与“ q”S的n 表达式时应特别
注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “ Sn - q”Sn的表达式．
(3)如果出现 q为参数时，一定要讨论 q和=0 的q情=1
数列求和的方法之 ——错位相减法
错位相减法：
设数列 {是an公} 差为d的等差数列（d不等于
零），数列{bn是} 公比为q的等比数列(q不等于
1），数列{cn满} 足： cn ，anb则n 的前{cnn}项和为： Sn c1 c2 c3 cn
a1b1 a2b2 a3b3 anbn
况。
类似于这样形式的数列，求前n项和，可以用错 位相减法求和。
例:求和 Sn =1 + 2x + 3x2 + …… + nxn-1 (x≠0,1)
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应
相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②
这时等式的右边是一个等 n项
比数列的前n项和与一个式 子的和，这样我们就可以 化简求值。
解：∵ Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 … ……. ①
∴xSn = x + 2x2 + … … + (n-1)xn-1 + nxn ……②
…...①
…... ②
①-②，得
.
.
.
方法总结
(1)若一个数列是由一个等差数列与一个等比数列 的对应项相乘所得数列，求和问题适用错位相减法 。
（2)在写出“ Sn”与“ q”S的n 表达式时应特别
注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出 “ Sn - q”Sn的表达式．
(3)如果出现 q为参数时，一定要讨论 q和=0 的q情=1
数列求和的方法之 ——错位相减法
错位相减法：
设数列 {是an公} 差为d的等差数列（d不等于
零），数列{bn是} 公比为q的等比数列(q不等于
1），数列{cn满} 足： cn ，anb则n 的前{cnn}项和为： Sn c1 c2 c3 cn
a1b1 a2b2 a3b3 anbn
况。
类似于这样形式的数列，求前n项和，可以用错 位相减法求和。
例:求和 Sn =1 + 2x + 3x2 + …… + nxn-1 (x≠0,1)
[分析] 这是一个等差数列{n}与一个等比数列{xn-1}的对应
相乘构成的新数列，这样的数列求和该如何求呢？
Sn =1 + 2x +3x2 + …… +nxn-1 ① xSn = x + 2x2 +……+ (n-1)xn-1 + nxn ②
专题数列求和的几种方法.ppt
求： bn 的前n项和
1 1(1 1 ) an an1 d an an1
}
满足
Sn b1 b2 b3 bn
1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 )
d a1 a2 d a2 a3
d an an1
1(1 1 1 1 d a1 a2 a2 a3
1 1 ) an an1
数 列 求和
1运用公式法
等差或等比数列直 接应用求和公式
2 分组求和法 3 错位相减法 4 裂项相消法 5 倒序相加法
化归思想转化 成等差、等比 数列求
1 2 2 3 3 4 n(n 1)
分析：设数列的通项为bn，则
bn
n(n 1)
6( 1 n
1) n 1
Sn
b1
b2
bn
6[(1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1 )] n 1
6(1 1 ) 6n n1 n1
例4、设{1an bn anan1
解: bn
}是公差d 不为零的等差数列 ，{bn
1(1 1 ) n .
d a1 an1
a1an 1
若
an
( An
1 B)(
An
C)
,则求Sn用 裂项相消法
.
常见的拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1.公式法：
即直接用求和公式，求数列的前n和Sn
①等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
1 1(1 1 ) an an1 d an an1
}
满足
Sn b1 b2 b3 bn
1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( 1 1 )
d a1 a2 d a2 a3
d an an1
1(1 1 1 1 d a1 a2 a2 a3
1 1 ) an an1
数 列 求和
1运用公式法
等差或等比数列直 接应用求和公式
2 分组求和法 3 错位相减法 4 裂项相消法 5 倒序相加法
化归思想转化 成等差、等比 数列求
1 2 2 3 3 4 n(n 1)
分析：设数列的通项为bn，则
bn
n(n 1)
6( 1 n
1) n 1
Sn
b1
b2
bn
6[(1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1 )] n 1
6(1 1 ) 6n n1 n1
例4、设{1an bn anan1
解: bn
}是公差d 不为零的等差数列 ，{bn
1(1 1 ) n .
d a1 an1
a1an 1
若
an
( An
1 B)(
An
C)
,则求Sn用 裂项相消法
.
常见的拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1.公式法：
即直接用求和公式，求数列的前n和Sn
①等差数列的前n项和公式：
Sn
n(a1 2
数列求和法-公开课ppt课件
Sn2
an (Sn
1), 2
Qan SnSn1
∴ S n 2 (S n S n 1 )(S n 1 2 ) 1 2 (S n 1 S n ) S n S n 1
递
1 1 2 Sn Sn1
推
∴数列
∴1
Sn
S1n S1是1以2(nS111)1首2项n，12为即. 公差S的n 等差2数n1列
14 47 7 10(3 n2 )3 (n1 )
1
提示：
1 ( 1 1 )
(3n2)(3n1) 3 3n2 3n1
∴
1 1
1
14 47
(3n2)(3n1)
1[(1 1)(1 1) ( 1 1 )]
3 4 47
3n2 3n1
1(1 1 ) n 3 3n1 3n.1
错位相减法
错位相减法:主要用于一个等差数列与一个等比数列 对应项相乘得的新数列求和，此法即为等比数列求 和公式的推导方法.
1
法
数列求和法小结
公式法求和
分组求和法
倒序相加法
裂项相消法
错位相减法
周期法求和
其它方法:递推法、合并法
.
( a 1 9 a 1 9 9 3 9 a 1 4 ) 9 a 1 9 9 8 a 2 9 0 a 9 2 0 0 a 0 2 0 0
a19 9a 9 20 0a 0 20 0a 1 2002
a1a2a3a45
.
其它方法求和
例7：求和 1 3 5 ( 1 )n(2 n 1 )
而 a 6 k 1 a 6 k 2 a 6 k 3 a 6 k 4 a 6 k 5 a 6 k 6 0
∴ S 2002 ( a 1 a 2 a 3 a 6 ) ( a 7 a 8 a 1 ) 2 ( a 6 k 1 a 6 k 2 a 6 k 6 )
数列求和(错位相减法-公开课)
32 3n 3 3 2 (2n 1) 3 n1 6 (2 2n) 3n1 1 3
故Sn 3 (1 n) 3n1
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
2、错位相减法的步骤是什么？
Sn a1 a2 a3 an1 an
后一项都比前 一项多乘个q
Sn a1 a1q a1q a1q
2
2 3
n 2
a1q
n1
n1
n
①
②
qSn a1q a1q a1q a1q
①—② ，得
a1q
错 位 相 n 减 a1 an q 法 a1 a1q q 1时 : S n 错位相减法：来自展开，乘公比，错位，相减
即S n 1 2 2 2 2 (n 1) 2 n 1 n 2 n
2Sn 1 2 2 2 2 3 (n - 1) 2 n n 2 n1 ①-②得 Sn 1 2 1 2 2 1 23 1 2 n n 2 n1
公式法
(3)求数列{a n bn }的前n项和
分组求和法
新问题： 求数列{a n bn } 的前n项和
？
情景重现：
银行贷款问题
N年后，如果你自己开了公司，当了 老板，但是由于资金短缺，需向银行贷款 1000万。银行向你推荐了一个新的贷款 方案：
银行一次性借给你1000万元，你可以分30个月 偿还，第一个月还2元，第二个月还4元，第三个月 还8元，第四个月还10元，以此类推，每个月的还 款数是前一个月的两倍。 你能接受这个方案吗？
高中数学——错位相减法ppt
Sn 5 21 5 22 5 23 5 2n1 5 2n
①
2Sn 5 22 5 23 5 24 5 2n 5 2n1
②
① ②得： Sn 5 21 5 2n1
Sn 5 2n1 10
英雄难度 你怎么类比？
从特殊到一般
精英荟萃
解：依题意有 an bn 3n 2n
公比的等比数列且b2 4。
（1）求an和bn；（2）求数列an bn的前n项和。
展示 精英荟萃
1. 乘公比 2. 错位 3. 相减 4. 提公差
谢谢
精英荟萃
Sn
3
2 (1 2n ) 1 2
3n 2n1
Sn (3n 3) 2n1 6
释 疑
战利品
错位相减法
精英荟萃
适用对象：差比数列。
规
步骤：①乘公比 ②错位
律
③相减
④提公差
注意事项： ①q≠1； ②书写格式：空前绝后 ③注意项数
独自通关战利品更多噢！
独自通关
已知数列an为等差数列，a1 1, a3 5.数列bn是以2为
Sn 3 21 6 22 9 23
2 Sn 空前 3 22 6 23
3n 2n 绝后
①
( 21 3 22 3 23 3 2n 3n 2n1
Sn 3(21 22 23 2n ) 3n 2n1
空前绝后
现在的努力是为了未来的幸福！
——错位相减法
设 疑
若cn 3n 2n,求数列cn前n项和。
解：Sn c1 c2 c3 cn
Sn 31 21 32 22 33 23 3 n 2n
Sn (31 3 2 3 3 3 n) (21 22 23 2n )
Sn
高中阶段最全的数列求和(10种)省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
4．处理非等差、等比数列旳求和，主要有两种思绪
(1)转化旳思想，即将一般数列设法转化为等差或等比 数列，这一思想措施往往经过通项分解或错位相减来完 毕．
(2)不能转化为等差或等比数列旳数列，往往经过裂项 相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和．
5．“错位相减”、“裂项相消”等是数列求和最主要 旳措施．是高考要点考察旳内容，应熟练掌握．
(其中d＝an＋1－an)．
常见旳拆项公式有：
1. 1 1 1 n(n 1) n n 1
2. 1 1 ( 1 1 ) n(n k) k n n k
3.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
4. 1 1 ( a b) a b ab
5.
1
1[ 1
1
]
即数列an的周期是 4,
a4=-1 又 a3 2 ,
故 a1+a2 +a3 +a4 =2 , a2009 a45021 a1 ,
a1+a2 +a3 +a4 +.......+a2009 502(a1+a2 +a3 +a4 ) a2009 1003
练习：
已知在数列 an
中，
a1
2
，
an1
(3)求数列1,3＋4,5＋6＋7,7＋8＋9＋10， …，前n项和Sn.
例1：求和：
1. 4 6 8 ……+（2n+2）
2.
11 1 1 2 22 23
1 2n
3. x x2 xn
10看通项，是什么数列，用哪个公式； 20注意项数
例2、已知lg(xy) 2
错位相减法 课件 高中数学人教版(2019)选择性必修第二册
等差数列: (1) (3) 等比数列: (2) (4) (5)
数列求和-错位相减法
基础自测
2.用什么方法求出下列数列前n项和？
（1）｛n｝ （2）｛2n｝
（3）｛n 2n｝
(1)
等差数列
(2)
等比数列
公式法
(3)
等差数列+等比数列 分组求和法
思考： 若求数数列列｛｛aan｝n 为bn等｝的差前数n列项，和数？列｛bn｝为等比数列，
第2步 展 开：
写出数列{cn} 的前 n 项和
Sn c1 c2 cn1 cn a1b1 a2b2 an1bn1 anbn ①
第3步 乘 公 比：
Sn a1b1 a2b2 an1bn1 anbn 的两边同乘以公比 q
即得 qSn qa1b1 qa2b2 qan1bn1 qanbn ②
规律方法·反思提升2
1
通项是由一个等差数列乘以等比数列（公比 不为1）
2
写求和展开式时不算出每一项，一定要保留一个数和一个指数幂相乘形式
3
“错位”就是“同类项”相减，即同指数幂项相减，等比数列前面系数是公差
4
计算等比数列前n项和时建议用
Sn
a1 anq 1 q
数列求和-错位相减法
课堂小结
错位相减法： 一个数列的通项公式是由一个 等差数列和等比数列之积构成
数列求和 数列求和的基本方法
温故知新
1.公式法： 等差数列的前n项和公式：
Sn
a1n
n(n 1) 2
d
或
Sn
(a1
an 2
)n
等比数列的前n项和公式：
当q
1,Sn
a1 (1 q n ) 1 q
数列求和-错位相减法
基础自测
2.用什么方法求出下列数列前n项和？
（1）｛n｝ （2）｛2n｝
（3）｛n 2n｝
(1)
等差数列
(2)
等比数列
公式法
(3)
等差数列+等比数列 分组求和法
思考： 若求数数列列｛｛aan｝n 为bn等｝的差前数n列项，和数？列｛bn｝为等比数列，
第2步 展 开：
写出数列{cn} 的前 n 项和
Sn c1 c2 cn1 cn a1b1 a2b2 an1bn1 anbn ①
第3步 乘 公 比：
Sn a1b1 a2b2 an1bn1 anbn 的两边同乘以公比 q
即得 qSn qa1b1 qa2b2 qan1bn1 qanbn ②
规律方法·反思提升2
1
通项是由一个等差数列乘以等比数列（公比 不为1）
2
写求和展开式时不算出每一项，一定要保留一个数和一个指数幂相乘形式
3
“错位”就是“同类项”相减，即同指数幂项相减，等比数列前面系数是公差
4
计算等比数列前n项和时建议用
Sn
a1 anq 1 q
数列求和-错位相减法
课堂小结
错位相减法： 一个数列的通项公式是由一个 等差数列和等比数列之积构成
数列求和 数列求和的基本方法
温故知新
1.公式法： 等差数列的前n项和公式：
Sn
a1n
n(n 1) 2
d
或
Sn
(a1
an 2
)n
等比数列的前n项和公式：
当q
1,Sn
a1 (1 q n ) 1 q
第四节 数列求和 课件(共48张PPT)
－
1 n＋3
）＝
1 2
56－n＋1 2－n＋1 3. 答案：1256－n＋1 2－n＋1 3
考点1 分组转化法求和 [例1] （2020·焦作模拟）已知{an}为等差数列，且 a2＝3，{an}前4项的和为16，数列{bn}满足b1＝4，b4＝ 88，且数列{bn－an}为等比数列. （1）求数列{an}和{bn－an}的通项公式； （2
an＝n（n1＋k）型
[例2] （2020·中山七校联考）已知数列{an}为公差 不为0的等差数列，满足a1＝5，且a2，a9，a30成等比数列.
（1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足bn＋1－bn＝an（n∈N*），且b1＝
3，求数列b1n的前n项和Tn.
1.裂项时常用的三种变形.
（1）n（n1＋1）＝n1－n＋1 1.
（2）n（n1＋2）＝12n1－n＋1 2.
（3）（2n－1）1（2n＋1）＝122n1－1－2n1＋1.
（4）
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n.
2.应用裂项相消法时，应注意消项的规律具有对称 性，即前面剩第几项则后面剩倒数第几项.
3.在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为 参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
） B. 2 020－1
C. 2 021－1 D. 2 021＋1
解析：由f（4）＝2，可得4α＝2，解得α＝12，
则f（x）＝ x.
所以an＝
1 f（n＋1）＋f（n）
＝
1 n＋1＋
＝ n
n＋1 －
n，
所以S2 020＝a1＋a2＋a3＋…＋a2 020＝（ 2 － 1 ）＋ （ 3－ 2）＋（ 4－ 3）＋…＋（ 2 021－ 2 020）＝
高中数学课件-微课-错位相减法求和
1n
n 3n
2
√ (4) dn (3n 2)an (a 0)
二、已知数列 an (n
﹛an﹜的前n 项和Sn .
1)
(9 10
)n
，求数列
答案：
Sn
99 9(n 1)( 9 )n 10
nN
1、学会辨别.能用错位相减法求和的通项公式是 由等差与等比数列的积组成的；
2、能够正确写出求和的三个步骤，体会“错位” 与“相减”的含义；
上下两式相减，得：
Sn
2
22
23
...
2n
n
2n1
2(1 2n 1 2
)
n
2n1
整理得：Sn (n 1) 2n1 2 n N
一、辨析.通项公式满足关系式：
an bn cn
an a1 qn1
an n 2n
数列﹛an﹜是由项数相同的等差数列﹛bn﹜和等 比数列﹛cn﹜的乘积得到的新数列.
四、错位相减(计算Sn- qSn表达式）
Sn b1 c1 b2 c2 b3 c3 ... bn1 cn1 bn cn
qSn b1 c2 b2 c3 b3 c4 ... bn1 cn bn cn1
两式相减可得：
(1 q)Sn b1c1 (b2 b1)c2 (b3 b2)c3 ... (bn bn1)cn bncn1
当q≠1时，上下两式相减，整理得：
Sn
a1(1 q n ) 1 q
已知数列﹛an﹜的通项公式an=n2n ,
求数列﹛an﹜的前n 项和Sn .
解：由条件知：
Sn 1 2 2 22 3 23 ... (n 1) 2n1 n 2n
2Sn 1 22 2 23 3 24 ... (n 1) 2n n 2n1
错位相减法求数列前n项求和精选幻灯片
故Sn 2 (1 n)2 n1
错位相减法：
7 展开，乘公比，错位，相减
变式训练
例：数列{a n }的通项公式a n n， 数列{b n }求数列 { }的前n项和 bn
8
课堂练习
a n 1 解：n n n ( ) n bn 2 2
1 1 2 1 3 1 n 1 1 n Tn 1 2 ( ) 3 ( ) + ( n 1) ( ) n ( ) ① 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 Tn 1 ( ) 2 2 ( )3 3 ( ) 4 + ( n 1) ( ) n n ( ) n 1 ② 2 2 2 2 2 2 ① ②得 1 1 1 2 1 3 1 n 1 n 1 Tn 1 1 （ ） 1 ( ) + 1 （ ） n ( ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( ) 2 ( )3 + ( ) n n ( ) n 1 2 2 2 2 2 1 1 n 1 ( ) 2 2 2 n ( 1 ) n 1 1 2 1 2
2Sn 1 22 2 23 2 24 (n-1) 2n n 2n1
①-②得
Sn 1 2 1 2 2 1 23 1 2 n n 2 n1
即 Sn 2 2 2 23 2 n n 2 n1
32 3n 3 3 2 (2n 1) 3 n1 6 (2 2n) 3n1 1 3
故Sn 3 (1 n) 3n1
10
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
错位相减法求和ppt
数列求和 —— 错位相减法
-
1
基础检测
-
2
知识要点
一般地，对于等比数列
根据等比数列的通项公式，上式可写成
①②的右边有很多相同的项. 用①的两边分别减去②的两边，就可以消去 这些相同的项，得
-
3
Hale Waihona Puke 例题讲解-4
例题讲解
-
5
例题讲解
-
6
基础检测
-
7
-
8
-
9
课堂小结
1. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。
其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。
2. 在用“错位相减法”时应注意些什么？ ① 书写规范、计算细心； ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. 3. 看结构，想方法.
-
10
课后作业
1. 教材 P70.例3 2. 2010 年全国新课标 P72 3. P206.6、8
-
11
-
12
-
13
爱是什么？
一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。
风儿若有若无。
一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
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1
基础检测
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2
知识要点
一般地，对于等比数列
根据等比数列的通项公式，上式可写成
①②的右边有很多相同的项. 用①的两边分别减去②的两边，就可以消去 这些相同的项，得
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3
Hale Waihona Puke 例题讲解-4
例题讲解
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例题讲解
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基础检测
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7
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8
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9
课堂小结
1. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
岁月匆匆像一阵风，有多少故事留下感动。愿曾经的相遇，无论是锦上添花，还是追悔莫及；无论是青涩年华的懵懂赏 识，还是成长岁月无法躲避的经历……愿曾经的过往，依然如花芬芳四溢，永远无悔岁月赐予的美好相遇。
其实，人生之路的每一段相遇，都是一笔财富，尤其亲情、友情和爱情。在漫长的旅途上，他们都会丰富你的生命，使 你的生命更充实，更真实；丰盈你的内心，使你的内心更慈悲，更善良。所以生活的美好，缘于一颗善良的心，愿我们都能 善待自己和他人。
2. 在用“错位相减法”时应注意些什么？ ① 书写规范、计算细心； ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. 3. 看结构，想方法.
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10
课后作业
1. 教材 P70.例3 2. 2010 年全国新课标 P72 3. P206.6、8
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爱是什么？
一个精灵坐在碧绿的枝叶间沉思。
风儿若有若无。
一路走来，愿相亲相爱的人，相濡以沫，同甘共苦，百年好合。愿有情有意的人，不离不弃，相惜相守，共度人生的每 一个朝夕……直到老得哪也去不了，依然是彼此手心里的宝，感恩一路有你！
高中数学优质课件《数列求和-裂项相消和错位相减》
形式；
用
2、分母可以整理为两个因式相乘的形式
裂项 方法
完成求和 结果一般 合并成一 个分式
k
a n
小大
先直接写
1
小
1
大
核心思想：将通项分裂成为两个 相减的式子，方便后续求和。
按形式相加
k
1
小
大1
与通项对比 完成裂项
再 通 分
大 小 小大
01 什么时候用？
02 方法？
求下列数列的前n项和
a 2n 13n n
a n S b 2 已知
为等差数列，其前 项和为 ，数列
是首项为 的等比数列，且公比大
n
n
n
于0 ，b b 12，b a 2a ，S 11b
2
3
3
4
1
11
4
a b （1）求数列
，
n
的通项公式
n
a 3n 2，b 2n
n
n
a b n T （2）求数列
的前 项和
2n n
n
n
13
S n 1 3n1 3 n
攻 略
c 把 通 项 整 理 成 为 an b qn1 ， 其 前 n 项 和 S 标 准 的 形 式 为
n
n
S An Bqn B ，其中 A a ，B b A
n
q 1
q 1
a 2n 13n n
动手练
同桌(两人或 三人)之间相 互出一道题， 交换计算，然 后互相对照。
n
10 ，则 k 1
1 SLeabharlann n1k12、
2
1 2
3 8
n 2n
2 n 2 1
【优】高中数学错位相减法求和PPT资料
① ①
书 书写写规规范范、、计计算算3细细.心心看；；结构，想方法.
① 书写规范、计算细心；
课后作业
1. 教材 P70.例3 2. 年全国新课标 P72 3. P206.6、8
在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
① 书写规范、计算①细心书； 写规范、计算细心；
在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
在数列求和的问题中②，什关么注样的字结母构选，择弄“错清位分相减类法讨”？论的依据.
① 书写规范、计算细心；
在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
高中数学错位相减法求和
基础检测
知识要点
一般地，对于等比数列
根据等比数列的通项公式，上式可写成
①②的右边有很多相同的项. 用①的两边分别减去②的两边，就可以消去 这些相同的项，得
例题讲解
例题讲解
例题讲解
ห้องสมุดไป่ตู้
基础检测
① 书写规范、计算细心； ①②的右边有很多相同的项. 一般地，对于等比数列 ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. ① 书写规范、计算细心； ① 书写规范、计算细心； 根据等比数列的通项公式，上式可写成 高中数学错位相减法求和 一般地，对于等比数列 一般地，对于等比数列 ② 关注字母，弄清分类讨论的依据. ① 书写规范、计算细心； 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ ① 书写规范、计算细心； 根据等比数列的通项公式，上式可写成 ①②的右边有很多相同的项. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？ 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
课堂小结
1. 在数列求和的问题中，什么样的结构选择“错位相减法”？
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n(1)n 2
9
课堂练习
求和：1 3 3 32 (2n 1) 3n
解：
记Sn 1 3 3 32 (2n 3) 3n1 (2n 1) 3n
3Sn 1 32 3 33 (2n 3) 3n (2n 1) 3n1
两式相减得
2Sn 1 3 2 32 2 3n (2n 1) 3n1
银行一次性借给你1000万元，你可以分30个月 偿还，第一个月还2元，第二个月还4元，第三个月 还8元，第四个月还10元，以此类推，每个月的还 款数是前一个月的两倍。
你能接受这个方案吗？
5
情景重现：
等比数列的前n项和
请同学们考虑如何求出这个和？ 后一项都比前
S 30 2 22 23 230 一项多乘个2
普通高中人教版 数学 必修五
数列求和 专题
1
复习回顾
前面，我们学习了数列求和的哪些方法？
1、公式法： 等差数列的前n项和公式：
Sn
a1n
n(n 1) 2
d
或
Sn
a1
an 2
n
等比数列的前n项和公式：
当qΒιβλιοθήκη 1,Sna1 (1 q n ) 1 q
a1 an q 1 q
当q 1,Sn na1
2
①-②得
Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n1
即
Sn
2 22 23 2n n 2n1
2 2n 2 n 2n1 (1 n)2n1 2
1 2
故Sn 2 (1 n)2n1
7
变式训练
例：数列{an}的通项公式an n， 数列{bn}的通项公式bn 2n
新问题：求数列{an bn }的前n项和
解：anbn n 2n
错位相减法：
Sn a1b1 a2b2 anbn 展开，乘公比，错位，相减
即Sn 1 2 2 22 (n 1) 2n1 n 2n
2Sn 1 22 2 23 (n -1) 2n n 2n1
2S30 2(2 22 23 230 ).
即2SS3030 22S230223 22431 231
作 减 法
S30 2 231
错位相减法!
S30 231 2 2147483646 元
6
方法探究 例：数列{an}的通项公式an n，数列{bn}的通项公式bn 2n
复习回顾
前面，我们学习了数列求和的哪些方法？ 2、分组求和法：
通项公式是“等差 等比”型数列的求 注：和
在求和之前，一定要先判断数列的类型， 如何判断？
通项公式：一次函数 指数型函数
等差数列 等比数列
3
方法探究
例题：
已知数列{an}的通项公式为an n， 等差数列
数列{bn}的通项公式为bn 2n 等比数列
①展开：将Sn展开
②乘公比：等式两边乘以等比数列的公比
③错位：让次数相同的相对齐
④相减
⑤解出Sn
11
作业布置
基础题：（必做题）
1、求和：（1）1 4 6 2n
22 23
2n
（2）1 3x 5x2 (2n 1)x n1
2、求数列{2n 3n}的前n项和
提高题：（选做题）
已知数列{an}的前n项和为Sn ,且Sn 2n2 n, n N ,
变式问题：
求数列 {an } 的前n项和 bn
8
课堂练习 解：an bn
n 2n
n (1)n 2
Tn
1 1 2 (1)2
2
2
(n 1) ( 1 ) n1 2
n(1)n 2
1 2 Tn
1 ( 1 )2 2 ( 1 )3 (n 1) ( 1 )n n ( 1 )n1
2
2
2
2
① ②得
① ②
1 2
Tn
1
1 2
1（1 ）2 2
1（ 1 ）n n ( 1 ) n1
2
2
1 ( 1 ) 2 ( 1 ) n n ( 1 ) n1
22
2
2
1 (1)n 22
1 2
n ( 1 ) n1
1 1
2
2
1 (1)n
n
1 n1
2
2
故Tn
2 ( 1 ) n1 2
2Sn 3 2 （32 3n ) (2n 1) 3n1
3
2
32
3n 3 13
(2n
1) 3n1
6
(2
2n)
3n1
故Sn 3 (1 n) 3n1
10
课堂总结
数列求和的新方法：错位相减法
1、什么数列可以用错位相减法来求和？
通项公式是“等差×等比”型的数列
2、错位相减法的步骤是什么？
(1)求数列{an }的前n项和 (2)求数列{b n }的前n项和
公式法
(3)求数列{an bn}的前n项和 分组求和法
新问题：
？ 求数列{an bn }的前n项和 4
情景重现： 银行贷款问题
N年后，如果你自己开了公司，当了 老板，但是由于资金短缺，需向银行贷款 1000万。银行向你推荐了一个新的贷款 方案：
数列{bn}满足an 4 log 2 bn 3, n N
（1）求{an }和{b n }的通项公式
（2）求数列{bn }的前n项和 2n
12
等比数列前n项和公式推导 回顾:
Sn a1 a2 a3 an1 an
后一项都比前 一项多乘个q
Sn a1 a1q a1q2 a1qn2 a1qn1
①
qSn a1q a1q 2 a1q3 a1q n1 a1q n ②
①—② ，得
(1 q)Sn a1 a1q n
错 位
(1 q)Sn a1 a1qn
相
q 1时 :
Sn
a1 a1qn 1 q
a1 anq 1 q
减 法
13