高中数学学案：正余弦定理及其简单应用
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学学案：正余弦定理及其简单应用
1. 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题．
2. 能运用正余弦定理解决三角形中的有关问题.
1. 阅读：必修5第5～17 页．
2. 解悟：①正余弦定理的内容是什么？三角形的面积公式是什么？你会证明吗？②正余弦定理可以解决哪些类型的斜三角形；③第10页例5中所证明的结论是一个什么定理？你会证明吗？你会使用吗？④重解第16页例5和例6,体会方法和规范．
3. 践习：在教材空白处,完成第10页练习第4、5题；第15页练习第3、4、5题；第16页练习第1、2、3题；第17页习题第5、6、10题.
基础诊断
1. 在△ABC 中,若b ＝2,A ＝π3,B ＝π
4,则BC ＝
．
解析：因为b ＝2,A ＝π3,B ＝π4,所以由正弦定理得BC ＝b sin A
sin B ＝2×32
2
2
＝ 6.
2. 在△ABC 中,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,若a 2＝b 2＋c
2－bc,bc ＝4,则△ABC 的面积为．
解析：因为a 2＝b 2＋c 2－bc,所以cos A ＝12,A ＝π3.又bc ＝4,所以△ABC 的面积为1
2bc sin A ＝ 3. 3. 在△ABC 中,已知A ＝π
6,c ＝3a,则△ABC 的形状是__等腰三角形或直角三角形__． 解析：A ＝π6,c ＝3a,所以sin C ＝3sin A ＝32.因为0 3时,△ABC 为直角三角形,当C ＝2π 3时,△ABC 为等腰三角形． 4. 在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足c sin A ＝a cos C,则角C ＝__π 4__． 解析：由正弦定理可得a sin A ＝c sin C ,所以sin C sin A ＝sin A cos C.又因为A ∈(0,π),所以sin A ≠0, 所以sin C ＝cos C,即tan C ＝1. 因为 C ∈(0,π),所以C ＝π 4. 范例导航 考向❶直接用正、余弦定理解三角形 例1在平面四边形ABCD中,∠ADC＝90°,∠A＝45°,AB＝2,BD＝5. (1) 求cos∠ADB； (2) 若DC＝22,求BC. 解析：(1) 在△ABD中,由正弦定理得BD sin A＝ AB sin∠ADB . 由题设知5 sin45°＝ 2 sin∠ADB , 所以sin∠ADB＝ 2 5. 由题设知0°<∠ADB<90°, 所以cos∠ADB＝1－2 25＝ 23 5. (2) 由题设及(1)知,cos∠BDC＝sin∠ADB＝ 2 5. 在△BCD中,由余弦定理得BC2＝BD2＋DC2－2·BD·DC·cos∠BDC＝25＋8－2×5×22 × 2 5＝25,所以BC＝5. 在△ABC中,a＝7,b＝8,cos B＝－ 1 7. (1) 求角A的大小； (2) 求AC边上的高． 解析：(1) 在△ABC中, 因为cos B＝－ 1 7, 所以B∈ ⎝ ⎛ ⎭ ⎪ ⎫ π 2，π, 所以sin B＝1－cos2B＝ 43 7. 由正弦定理得 a sin A＝ b sin B,即 7 sin A＝ 8 43 7 ,所以sin A ＝ 3 2. 因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π,所以A ∈⎝ ⎛ ⎭ ⎪⎫0，π2,所以A ＝π3. (2) 在△ABC 中,sin C ＝sin (A ＋B)＝sin A·cos B ＋sin B cos A ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－17＋12×437＝33 14. 如图所示,在△ABC 中, 因为sin C ＝h BC ,所以h ＝BC·sin C ＝7×3314＝332,所以AC 边上的高为33 2. 【注】 本例主要训练解三角形时,已知两边及其一边所对的角时用正弦定理；已知两边及其夹角时用余弦定理. 另外,注意互余的两个角的正余弦关系. 考向❷ 边角互化 例2 在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,b sin C ＋2c sin B cos A ＝0. (1) 求A 大小； (2) 若a ＝23,c ＝2,求△ABC 面积S 的大小． 解析：(1) 方法一(边化角)： 由b sin C ＋2c sin B cos A ＝0得sin B sin C ＋2sin C sin B cos A ＝0. 因为B,C ∈(0,π),所以sin B ≠0,sin C ≠0, 所以cos A ＝－1 2. 又A ∈(0,π),所以A ＝2π 3. 方法二(角化边)：由b sin C ＋2c sin B cos A ＝0得bc ＋2bc b 2＋c 2－a 2 2bc ＝0, 所以bc ＋b 2＋c 2－a 2＝0,所以cos A ＝－1 2. 又A ∈(0,π),所以A ＝2π 3 . (2) 由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ,即－12＝b 2＋4－12 4b ,解得b ＝2或b ＝－4(舍去), 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×2×2sin 2π 3＝ 3. 在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且b cos A －a cos B ＝2c.