8-4.相对论动力学基础

经典力学定律
思路：重新定义质量、动量、能量，使相应的守恒 定律在相对论力学中仍然成立。
二、质量概念的修正
1、质速关系 设在相对论中，质量与时间、长度一样，与
惯性系的选择有关。
静系中：m0
动系中：m(u)
理想实验：全同粒子的完全非弹性碰撞
s Au B
sʹ′ A u B
s
A B vx
固接于粒子B的s 系
静能 动能
E0 = m0c 2 Ek = E − E0 = mc2 − m0c2
能量与动量的关系：E 2 = p2c2 + m02c4
练习1 用相对论讨论光子的基本属性
1.光子的能量
E = hν = mc 2
2.光子的质量 由 m = m0 u2 1− c2
可知
当 u = c 时, 只有 m0 = 0，m才能为有限值
质能关系
静能量 相对论动能
E0 = m0c2
Ek = E − E0 u << c
= mc2 − m0c2
E k
=
1 m u2 20
1
实验验证：
核嬗变：由参加反应各原子质量，反应前后能量 损失计算出的光速与实验值相符。
ΔE = c2Δm → c = 2.98×108 m ⋅s-1
正负电子对湮灭：由质能关系计算出的辐射波 长与实验值相符。
核电站 ……
四、能量与动量的!关系 !
!
1.
相对论动量 p
v << c γ →1
= m(v)v
p! = m0v!
= γ m0v
满足对应原理。
2. 能量与动量的关系
由
p! = mv! E = mc2
消去 m 得
v! = c2 p! E
→
v2
=
c4 E2
p2
于是 E =
m0c2 = 1− (v)2
c
m0 c 2
e− + e+ →γ1 +γ 2
质能关系的意义：
1) 质量概念进一步深化 相对论总能 E包含了物体的全部能量（机械能、电
磁能、原子能等），解决了经典物理未能解决的物体总 能问题；
质量是约束能量的形式，是能量的载体。质量、能 量不可分割，没有脱离质量的能量，也没有无能量的质
量。无论物质如何运动，二者只由常数 c2相联系。
ρ
1 − 0.82 9
4
1.36 ×103 W ⋅ m-2 4.5 ×10−6 N ⋅ m-2
练习2 一个静质量为m0 的粒子，以v = 0.8c 的速率运动，
并与静质量为3m0 的静止粒子发生对心碰撞以后粘在 一起，求合成粒子的静止质量。
问题：合成粒子的静止质量是4m0吗？
m（v）
3 m0
v=0 .8 c
M（u） u＝？
vʹx′
=
vx 1−
−u
uvx c2
得质速关系：
m(u) =
m0 u2
= γm0
1− c2
满足对应原理的要求：
u << c
m(u)
→
m 0
m
m 0
o
1.0
相对论情况：
实验验证：
测高速电子的荷质比
经典情况（质谱仪）：
mu 2
u
euB = R
c
e =
u
= 常数
m BR
ee
u2 e
== m γ m0
1− c2 ⋅ m0
思路： 动量守恒 能量守恒
M（u）＝？ u＝？
M0 ＝？
非弹性碰撞，为什么能量守恒？－－ 总能守 恒
解： 设合成粒子的运动质量为M，速率为u ， 由动量守恒和能量守恒：
mv = Mu
(1)
3m0c2 + mc 2 = Mc2 ( 2 )
由于 m =
mo = v2
1− c2
m0
= m0
1 − 0.82 0.6
2
3. 确立“场”的实在地位，牛顿第三定律失去意义，
牛顿第三定律建立在超距作用和绝对时空观基础
之上，而相对论认为场是传递相互作用的媒介，
是物质存在的形式：粒子 场
粒子
牛顿第三定律被动量守恒定律取代。
小结：相对论动力学的三个主要关系
质速关系： m(u) = m0 1− u2 c2 = γ m0
质能关系： 总能 E = mc2 ΔE = c2Δm
解： (1) 由题意
p = γm0v = γ = p0 m0v
1 =2
1− (v)2 c
可得： v = 3 c = 0.866c 2
(2) 由题意 于是
Ek Ek 0
=
(γ −1)m0c2
1 2
m0
v
2
=2
1
v2
1− (v)2 −1= c2
c
得
v = 5 −1c = 0.786c
2
练习4 已知：一个电子的静能为 0.511MeV，经同步 加速器加速后，能量增量为 20.00MeV，
LS 棒相对于乙运动，设乙测定的 质量为 m ʹ′，
长度为 L’，截面积为 S’，有：
mʹ′ = m , Lʹ′ = 1− v2 c2 ⋅ L , Sʹ′ = S 1− v2 c2
乙测定的密度为： ρʹ′ = mʹ′ = γ m = γ 2 ρ Lʹ′Sʹ′ γ −1LS
∴ ρʹ′ = γ 2 = 1 = 25 ≈ 2.78
1−
c2 E2
p2
百度文库E2
=
p2c2
+
m c2 4 0
E 2 = p2c2 + m02c4
讨论： 当 v << c时
c2 p2 = E 2 − E02 = (E + E0 )(E − E0 ) = Ek (E + E0 )
= Ek ⋅ E0 (γ +1)
= 2Ek m0c2
E
m0 c 2
pc
p2
E k
=
求： 该电子质量与其静质量之比。
解： 由题意
ΔE = mc2 − m0c2 = 20.00MeV
可得
m
=
mc 2
=
m c2 0
+
ΔE
=
0.511 +
20
=
40.1
m0 m0c2
m0 c 2
0.511
练习5 观察者甲以 0.8c 速率相对于观察者乙运动，
甲携带长 L，截面积 S，质量为 m 的棒，棒沿运动方 向安放，求乙和甲测定的棒的密度之比。 解：棒相对于甲静止，甲测定的密度为： ρ = m
动量守恒：m(u)u = M (vx )vx 动量守恒：− m(u)u = M (vʹx′ )vʹx′
解得：
m(u)u vx = m0 + m(u)
m(u)u vʹx′ = − m0 + m(u)
m(u)u vx = m0 + m(u) ;
m(u)u vʹx′ = − m0 + m(u)
代入洛仑兹速度变换：
§8.4 狭义相对论动力学基础 一.改造经典力学的两条原则
1. 狭义相对性原理（对称性思想）的要求
改造后的力学定律必须是洛仑兹变换的不变式
2. 对应原理的要求
新理论应该包容那些在一定范围内已被证明是正确
的旧理论，并在极限条件下过渡到旧理论。
u << c
即： 相对论力学量
经典力学量
u << c
相对论力学定律
2) 质能关系统一了质量守恒定律和能量守恒定律。 在经典物理中二者互相独立，在相对论中二者
关联，平行进行。在孤立系统内，
静质量 静能
动质量 动能
总质量、总能量不变
3) 质能关系是人类打开核能宝库的钥匙。
ΔE = c2Δm
裂变：重核分裂为中等 质量的核
聚变：轻核聚合为中等 质量的核
质量亏损，释放结合能 应用：原子弹、氢弹、
sʹ′ vʹx′ A B
固接于粒子A的sʹ′ 系
在两坐标系中，粒子系统质量守恒、动量守恒。
固接于粒子B的s 系
s Au B
固接于粒子A的 sʹ′ 系
sʹ′ A u B
s
A B vx
sʹ′ vʹx′ A B
质量守恒：m0 + m(u) = M (vx ) 质量守恒：m0 + m(u) = M (vʹx′ )
一切以光速运动的微观粒子，其静止质量必为零。
即：光子在任何参考系中均以光速运动，找不到与 光子相对静止的参考系。
光子的质量 3.光子的动量
m光子
=
E c2
=
hν c2
=
h cλ
又由 E 2 = p2c2 + m02c4 ; m0 = 0 可知
p光子
=
E c
=
hν c
=
h λ
例如
太阳辐射能流 产生光压
；当 u ↑ 时：e ↓ m
三.质能关系 将质速关系按幂级数展开，得
m(u)
= γm0
=
(1 −
u2 c2
1
−
)
m 2 0
=
m0 (1+
1 2
u2 c2
+
3 u4 8 c4
+ !)
两边同乘以 c 2 得
mc2
=
m0 c 2
+
1 2
m0u
2
(1
+
3 u2 4 c2
+ !)
定义: 总能量 E = mc2
2m0
满足对应原理
五.相对论动力学基本方程 从相对论角度审视经典力学的基本定律： 1. 惯性定律保持不变，在相对论中成立。
2由. 牛：顿p!第=二定m律v! = γ
! m0v
! dp! d
!
得：
F= dt
= (γ dt
m0v )
相对论动力学 基本方程
!
dv!
!
v << c γ →1 F = m0 dt = m0a 满足对应原理
代入（2）式得
M
=
3m0
+
m0 0.6
=
14 3
m0
再代入（1）式得 又由 M =
u=
mv M
=
m0 × 0.8c 0.6
14 3 m0
=
2c 7
Mo
得
u2
1− c2
M0 = M
u2 14 1 − c2 = 3 m0
1 − ⎜⎛ ⎝
2 ⎞2 ⎟
7 ⎠
≈
4.47m0
3
练习3 在什么速度下，粒子的动量等于其非相对论 动量的两倍？又在什么速度下，粒子的动能等于其 非相对论动能的两倍？