§4.2 平面与立体相交求截交线

1
s 2
3
(3)连接各点同面投影即等截交 线的三个投影
(4)补全棱线投影
求作四棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。
分析：截平面为正垂面 截交线的正面投影积聚 为直线。截平面与四条 棱线相交，从正面可直 接找出交点。 作出各对应点的投影， 4• 1 2
•
1'
(4') 2'
3'
4"
3"
2"
1"
依次连接各点。 3 补全棱锥体的外形投影。
3 1
2
a
3
2
[例题5]
分析并想象出圆锥穿孔后的投影
主要内容
4.2.1 圆柱截交线 4.2.2 圆锥截交线
4.2.3 圆球截交线
一.面与圆球相交所得截交线
圆
二.求圆球截交线上点
平行圆画法:在圆球表面上取若干个平行于投
影面的平行圆,求这些平行圆与截平面的交点;
三.圆球截交线
[例题1]求圆球截交线
ο
截平面与圆锥轴线
倾斜，倾角θ>α 截交线为椭圆。
Pv
Pv
Pv
截平面与圆锥轴线 倾斜面，倾角θ=α 截交线为抛物线。
截平面与圆锥轴线 平行或倾角θ<α， 截交线为双曲线。
截平面过锥顶截 交线为三角形。
特殊点 一般点 b'
a'
a''
c'
b''
c''
整理加深
S
由点连线
P
b
c
a
Ⅰ
解题步骤 1 分析 截交线的水 平投影和侧面投影已 知，正面投影为双曲 线并反映实形； 2 求出截交线上的特 殊点A、C； 3 求出一般点B ； 4 光滑且顺次地连接 各点，作出截交线， 并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
1)截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形。(封闭性) 2)截交线的每条边是截平面与棱面的交线。（共有性）
3)多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点，多边形的各边是 截平面与立体表面上不同平面的交线。
1、求截交线的方法

空间分析：截平面与体的相对位置，确定截 交线的形状；截平面与投影面的相对位置， 确定截交线的投影特性。 线面交点法：求平面立体棱线与截平面的交 点，顺序连接各交点，即为所求。 面面交线法：求截平面与平面立体表面的交 线。
Ⅲ Ⅰ
8"
1
Ⅴ Ⅱ Ⅳ
6
4
2
Ⅶ
Ⅷ
Ⅵ
圆柱截交线
3'
3"
解题步骤
( ) 4'5'
5'
2"
4'
1．分析侧面投影为圆的一部分，截交线 的水平投影为椭圆的一部分； 3．求出若干个一般点Ⅳ、 Ⅴ ； 4．光滑且顺次地连接各点，作出截交线 ，并且判别可见性； 5 整理轮廓线。
( ) 1'2'
1" 2．求出截交线上的特殊点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ ；
• • 1" 3"
2 • •64
• •5 1 3
5'（6'） 6" • • 1'（2'） 2" • • • • 3'（4'） 4"
•
5"
• • 1" 3"
2 • •64
• •5 1 3
[例题4]圆柱截交线
1'2' ( ) 3'4' ( ) 2” 4” 1” 3”
1. 截交线的水平投影为直 线和部分圆 ,侧面投影为矩 形; 2. 求出截交线上的特殊点 Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ;
（5）
1
4
2
（3）
3
Ⅵ Ⅴ 3 5
1 2 4 6
Ⅳ Ⅲ Ⅰ Ⅱ
例.平面立体切口投影
1 （2 ）
2
1
3 （4 ）
4
3
6（5） 6
4 2 1
6
5
Ⅱ Ⅳ Ⅲ Ⅵ Ⅴ
Ⅰ
3
4
例.立体被截切后投影
1’
1”
2’ 3’(4’)
4”
3”
4
2
1
3
一、平面和曲面立体的截交线

主要内容
4.4.1 圆柱截交线 4.4.2 圆锥截交线
4.4.3 圆球截交线
面与圆柱相交所得截交线形状
矩形
圆
椭圆
截平面与圆柱面截交线的形状取决于截平面 与圆柱轴线的相对位置。
P
PH 截平面与圆柱轴线 平行截交线为矩形
P
P
Pv Pv
截平面与圆柱轴线
垂直截交线为圆
截平面与圆柱轴线 倾斜截交线为椭圆
a′
P′ b′ e d
c′
A,B,C在棱线上
q a b
P c
例.求四棱锥被截切后俯视图,左视图
1(2)
2
●
1
●
2 1
逐个截平面分析和绘制截交线. 当平面体只有局部被截切时, 三面共点： 先假想为整体被截切 ,求截交 Ⅰ、Ⅱ两点分别同时位于三个 线后再取局部 .
面上.
例.求立体切割后投影
6 6 5 4 1 2
c'd'
2' 8" 4"
d"
2"
7' 8' 3'4' 5'6'
a'b
c"
6"
b" a"
7" 3" 5"
1. 截平面为正垂面 , 截交线为圆 ; 截交线的水平投影和侧面投影均 为椭圆; 2.求出截交线上的特殊点Ⅰ、 Ⅱ 、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、 Ⅷ; 3. 求出若干个一般点 A 、 B 、 C 、 D; 4.光滑且顺次地连接各点,作出截 交线,且判别可见性;
3.求一般点Ⅴ; 4. 顺次地连接各点 , 作截交线 , 判别可见性;
5.整理;
4
1 ( 2)
3
5
例、已知圆柱截断体的正面和侧面投影，求水平投影。
c' (d') • 6'(7') 4' • • (5') 5 •d • •3 7• •
· (3')• 2'
1'
1" 3"• d" (5") • 7"
· • 2"


2、单一平面与平面立体截交
例.三棱锥被正垂面所截切
s’ 3’ 2’ 1’ a’ Pv 3” s”
(1)求Pv与s’a’、s’b’、s’c’的交点 1’、2’、3’为截平面与各棱线的 交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影
2” 1”
b’
c’
c”
a”
b”
(2)根据线上取点的方法，求出1、 2、3和1”、2”、3”
B
a' (b') b" • •a" A
b a
分析：四棱柱的上部被一个正垂面和 一个侧平面所截切，因四棱柱的四个 棱面均垂直于水平面，截平面与棱线 的交点均在棱面的投影上。此题还应 作出两截平面的交线AB的投影。
例题 五棱柱截切后的投影
g′ q′ e′
f′
d′
f″(g″) q″ e″(d″) P″
a″(c″) b″
圆柱截交线
1' 2'3' ( ) 4'5' ( ) 3" 1" 2"
解题步骤 1.截平面为正垂面 ,截交线侧面投 影圆,水平投影椭圆; 2. 求 截 交 线 上 的 特 殊 点 Ⅰ,Ⅳ,Ⅴ, 4" Ⅷ; 3.求若干个一般点Ⅱ,Ⅲ,Ⅵ,Ⅶ;
5"
( ) 6'7'
8'
7 8
7"
5 3
6"
4.光滑且顺次地连接各点 , 作出截 交线,且判别可见性; 5.整理轮廓线;
正垂面截切六棱柱，完成截切后的三面投影。
6'（7'） 4' （5'） 5"
2' （3'） 1' 3 5 7 3" 1" 7"
6"
4" 2"
分析：由图可知，截交线的 正面投影积聚为一直线。水 平投影，除顶面上的截交线 外，其余各段截线都积聚在 六边形上。
1
6 2 4
3、多个平面与平面立体截交
如下图所示，作四棱柱被截切后的投影。
曲面立体截交线求法
1.利用截平面的积聚性,找出截平面
2. 在截平面的积聚性投影上找出若干个点（最高、 最低、最前、最后、最左、最右点及一般点） 3．利用“面上找点”确定点的其他两面投影
4，连接各点
曲面立体面上找点

素线法：选取曲面上一系列素线，求它 们与截平面的一系列共有点的方法。 纬圆法：选取曲面上一系列纬圆，求它 们与截平面的一系列共有点的方法。
c" • (4") 6"
分析：圆柱的轴线是侧垂线， 截断体分别由侧平面、正垂 面、水平面截切圆柱体而成 的。 侧平面与圆柱轴线垂直，截 交线为圆弧，其正面投影为 直线，侧面投影为圆弧。
• 1
正垂面与圆柱轴线倾斜，截 交线为部分椭圆，正面投影 为直线，侧面投影与圆重合。 水平面与圆柱轴线平行截交 线为矩形，正面、侧面投影 均直线。
6•
• •2 • • 4 c
主要内容
4.2.1 圆柱截交线 4.2.2 圆锥截交线