数列求和专题(完美归纳难度二级)

专题一 数列求和

一、公式法

将数列转化为等差或等比数列，直接运用等差或等比数列的前n 项和公式求得.

①等差数列求和公式：()()

11122

n n n a a n n S na d +-=

=+ ②等比数列求和公式：()()()11111111n n n na q S a q a a q q q

q ⎧=⎪

=-⎨-=≠⎪

--⎩（切记：公比含字母时一定

要讨论） 常见数列求和

1

1+2+3+=(1)2

n n +…n 21+3+5+=n …+(2n-1) 2+4+6+=(1)n n +…2n

2222(1)(21)1236

n n n n +++++

+=

2

3333

(1)1232n n n +⎡⎤

++++=⎢⎥⎣⎦

例1、 设数列2

2

1

1,(12),(122)122++n -+++++…（

…2）…的前n 项和n S .

变式训练： （2017高考山东18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n

项和．已知37S =，且123334a a a ++，

，构成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式．

（2）令31ln 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．

二、错位相减法

设数列{}n a 的等比数列，数列{}n b 是等差数列，则数列{}n n a b 的前n 项和n S 求解，可用乘公比错位相减法求和。

若n n n a b c =•，其中{}n b 是等差数列，{}n c 是公比为q 等比数列，令 112211n n n n n S b c b c b c b c --=++

++

则n qS =122311n n n n b c b c b c b c -+++

++ 两式相减并整理即得

例1、 求和：(1){n 2}n n 求数列的前项和. 23123(2)n n n S a a a a

=++++…

变式训练1：（07高考全国Ⅱ21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且

111a b ==，3521a b +=，5313a b +=

（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫

⎨⎬⎩⎭

的前n 项和n S ．

变式训练2：数列{}n a 满足2

1

123333

3

n n n a a a a -++++=

…，a ∈*

N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项； （Ⅱ）设n n

n

b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

三、裂项相消法

形如11n n a a +⎧⎫

⎨

⎬⎩⎭

类型的数列求和，其中{}n a 为等差数列. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，

最终达到求和的目的.

（1）

()1111n n k k n n k ⎛⎫

=- ⎪

++⎝⎭，特别地当1k =时，()11111

n n n n =-++ 再如

()1111(21)2122121n n n n ⎛⎫

=- ⎪-+-+⎝⎭

……

（2

1

k

=

，特别地当1k =

=例、.(2010•山东)已知等差数列{}n a 满足37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n a 及n S ；（2）令2

1

(),1

n n b n N a +=∈-求数列{}n b 的前n 项和.

变式训练： （2015年天津） 设数列的前n 项和为n S ，点(,)()n

S n n N n

+∈均在函数32y x =-的图像上.

(1) 求数列{}n a 的通项公式； （2）设1

3

,n n n b a a +=n T 是数列{}n b 的前n 项和，求n T .

四 倒序相加法：

类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ，与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加，就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法.

例：已知函数(

)x

f x =

（1）证明：()()11f x f x +-=；

（2）求128910101010f f f f ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+

+++

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭

⎝⎭

的值.

变式训练1： 求222

2

2

22222

22123101102938101

++++++++的和．

变式训练2： 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值

五、分组求和法

形如{a b }n n ±形式的数列，其中{}{}n n a b 、

是等差或等比数列或能够转化为能够求和的数列，可采用分组求和法，再合并.

例1、数列{}n a 的通项公式321,{}.n n n n a n a =+-求数列的前n 项和S

练习：求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+⋅⋅⋅+++-n a

a a n ，…