《金版新学案》高考数学总复习 8.1圆锥曲线方程课时作业(扫描版) 文 大纲人教版
《金版新学案》高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第8课时 函数与方程精品课件 理 北师大版
• (3)函数零点的判定(零点存在性定理)
• 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有f(a)f(b)＜，0 那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个 c也就是f(x)＝0的根．
• 从近两年的高考试题来看，函数的零点、方程的根的问题是高考 的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题主要考 查相应函数的图象与性质，主观题考查较为综合．在考查函数的 零点、方程的根的基础上，又注重考查函数方程、转化与化归、 分类讨论、数形结合的思想方法．
(2010·上海卷)若 x0 是方程21x＝x13的解，则 x0 属于区间(
• (1)函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函 数值等于零．
• (2)函数的零点也就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的横坐标． • (3)一般我们只讨论函数的实数零点． • (4)函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的根．
• 2．对函数零点存在的判断中，必须强调： • (1)f(x)在[a，b]上连续； • (2)f(a)·f(b)＜0；
• (3)画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标 有几个不同的值，就有几个不同的零点．
判断函数f(x)＝4x＋x2－23x3在区间[－1,1]上零点的个数，并说明理由． 解析： ∵f(－1)＝－4＋1＋23＝－73＜0， f(1)＝4＋1－23＝133＞0，∴f(x)在区间[－1,1]上有零点． 又f′(x)＝4＋2x－2x2＝92－2x－122， 当－1≤x≤1时，0≤f′(x)≤92， ∴f(x)在[－1,1]上是单调递增函数， ∴f(x)在[－1,1]上有且只有一个零点．
《金版新学案》高三数学一轮复习 第八章 第1课时 直线的方程课件 文 新人教A版
坐标公式．
1．直线x＝－1的倾斜角等于( ) A．0° B．90° C．135° D．不存在 答案： B
2．已知两点 A(－3， 3)，B( 3，－1)，则 直线 AB 的斜率是( ) A. 3 B．－ 3 3 3 C. D．－ 3 3 答案： D
3． 过点(－1,3)且垂直于直线 x－2y＋3＝0 的直 线方程为( ) A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0 C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝0 1 解析： 直线 x－2y＋ 3＝ 0 的斜率为 k＝ ， 2 则所求直线的斜率为－ 2，
答案：
3x－4y－13＝0,3x＋4y－5＝0
直线的倾斜角与斜率 1．在解决斜率或倾斜角的取值范围问题时，应 π 先考虑斜率是否存在或倾斜角是否为 这一特 2 殊情形．
2．求倾斜角 α 的取值范围的一般步骤是：(1) 求出斜率 k＝tan α 的取值范围；(2)利用三角函 数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜 角 α 的取值范围．
3.过 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程 (1)若 x1＝x2，且 y1≠y2 时，直线垂直于 x 轴， x＝ x1 ； 方程为_______ (2)若 x1≠x2，且 y1＝y2 时，直线垂直于 y 轴， y＝y1 ； 方程为_______ (3)若 x1＝x2＝0，且 y1≠ y2 时，直线即为 y 轴， 方程为_______ x＝ 0 ； (4)若 x1≠x2，且 y1＝y2＝0 时，直线即为 x 轴，
故所求直线方程为 y－3＝－2(x＋1)， 即 2x＋ y －1＝0. 答案： A
4．已知直线的倾斜角是 60° ，在 y 轴上的截 距是 5，则该直线的方程为________．
解析： 因为直线的倾斜角是 60° ，所以直 线的斜率为 k＝tan 60° ＝ 3，又因为直线在 y 轴上的截距是 5，由 斜截式，得直线的方程为 y＝ 3x＋ 5.
《金版新学案》高三数学一轮复习高考总复习测评卷 圆锥曲线方程 章末质量检测 (文)
《金版新学案》高考总复习配套测评卷 ——高三一轮数学『文科』卷(八)圆锥曲线方程————————————————————————————————————— 【说明】 本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入答题格内，第Ⅱ卷可在各题后直接作答，共150分，考试时间120分钟．只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 216－y 29＝1的焦点坐标为( )A ．(－7，0)、(7，0)B ．(0，－7)、(0，7)C ．(－5,0)、(5,0)D ．(0，－5)、(0,5)2．若拋物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点到准线的距离为4，则其焦点坐标为( )A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(1,0)3．已知双曲线x 24－y212＝1的离心率为e ，拋物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.1164．过点M (－2,0)的直线l 与椭圆x 2＋2y 2＝2交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P .设直线l 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于( )A ．－2B ．2 C.12 D ．－125．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 2 D ．2 36．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为22，若直线y ＝kx 与椭圆的一个交点的横坐标为b ，则k 的值为( )A.22 B ．±22 C.12 D ．±127．如图所示，设椭圆x 2a 2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积为ab π，过坐标原点的直线l 、x 轴正半轴及椭圆围成两区域面积分别设为s 、t ，则s 关于t 的函数图象大致形状为图中的( )8．椭圆x 225＋y216＝1的右焦点为F ，P 是椭圆上一点，点M 满足|M |＝1，·＝0，则|M |的最小值为( )A ．3 B. 3 C ．2 D. 29．两个正数a ，b 的等差中项是5，等比中项是4.若a >b ，则双曲线x 2a －y 2b＝1的渐近线方程是( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±12xC ．y ＝±24x D ．y ＝±22x10．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95 B ．3 C.977 D.9411．直线l 过抛物线C ∶y 2＝2px (p >0)的焦点F ，且交抛物线C 于A ，B 两点，分别从A ，B 两点向抛物线的准线引垂线，垂足分别为A 1，B 1，则∠A 1FB 1是( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．直角或钝角12．已知点F 为双曲线x 216－y29＝1的右焦点，M 是双曲线右支上一动点，定点A 的坐标是(5,1)，则4|MF |＋5|MA |的最小值为( )A ．12B ．20C ．9D ．1613．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，点P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且·＝·，则动点P 的轨迹C 的方程是________．14．以双曲线x 24－y 25＝1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的拋物线方程是____________．15．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点是F 1(－c,0)、F 2(c,0)，M 是椭圆上一点，且F 1M ·＝0，则离心率e 的取值范围是________．16．给出如下四个命题：①方程x 2＋y 2－2x ＋1＝0表示的图形是圆；②若椭圆的离心率为22，则两个焦点与短轴的两个端点构成正方形；③抛物线x ＝2y 2的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫18，0；④双曲线y 249－x 225＝1的渐近线方程为y ＝±57x .其中正确命题的序号是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知离心率为45的椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上．双曲线以椭圆的长轴为实轴，短轴为虚轴，且焦距为234.求椭圆及双曲线的方程．18．(本小题满分12分)若一动点M 与定直线l ：x ＝165及定点A (5,0)的距离比是4∶5.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设所求轨迹C 上有点P 与两定点A 和B (－5,0)的连线互相垂直，求|P A |·|PB |的值．19．(本小题满分12分)抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线x ＋y －1＝0与抛物线相交于A 、B 两点，且|AB |＝8611.(1)求抛物线的方程；(2)在x 轴上是否存在一点C ，使△ABC 为正三角形？若存在，求出C 点的坐标；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分12分)如图，已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且·＝·.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)过点F 的直线交轨迹C 于A ，B 两点，交直线l 于点M ，已知＝λ1，＝λ2，求λ1＋λ2的值．21.(本小题满分12分)如图所示，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的3倍且经过点M (3,1)．平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m (m ≠0)，且交椭圆于A ，B 两不同点．(1)求椭圆的方程；(2)求m的取值范围；22．(本小题满分12分)已知双曲线2x2－2y2＝1的两个焦点为F1，F2，P为动点，若|PF1|＋|PF2|＝4.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)求cos∠F1PF2的最小值．答案：一、选择题1．C c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，c＝5.2．B根据p的几何意义可知p＝4，故焦点为(2,0)．3．D依题意得e＝2，拋物线方程为y2＝12p x，故18p ＝2，得p＝116，选D.4．D设直线l的方程为y＝k1(x＋2)，代入x2＋2y2＝2，得(1＋2k21)x2＋8k21x＋8k21－2＝0，所以x1＋x2＝－8k211＋2k21，而y1＋y2＝k1(x1＋x2＋4)＝4k11＋2k21，所以OP的斜率k2＝y1＋y22x1＋x22＝－12k1，所以k1k2＝－12.5．A由于双曲线渐近线方程为bx±ay＝0，故点P到直线的距离d＝2ba2＋b2＝2⇒a＝b，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e＝1＋⎝⎛⎭⎫ba2＝ 2.6．B由e＝ca ＝a2－b2a＝22得a2＝2b2，设交点的纵坐标为y0，则y0＝kb，代入椭圆方程得b 22b 2＋k 2b 2b2＝1，解得k ＝±22，选B.7．B 根据椭圆的对称性，知s ＋t ＝12ab π，因此选B.8．B 依题意得F (3,0)，MF ⊥MP ，故|M |＝|P F →|2－|M F →|2＝|P F →|2－1，要使|M |最小，则需|P |最小，当P 为右顶点时，|P |取最小值2，故|M |的最小值为3，选B.9．B 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝10ab ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8b ＝2(a >b )．故双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±12x (在这里注意a ，b 与双曲线标准方程中的a ，b 的区别，易由思维定势而混淆)．10．D 设椭圆短轴的一个端点为M . 由于a ＝4，b ＝3，∴c ＝7<b . ∴∠F 1MF 2<90°，∴只能∠PF 1F 2＝90°或∠PF 2F 1＝90°. 令x ＝±7得y 2＝9⎝⎛⎭⎫1－716＝9216，∴|y |＝94.即P 到x 轴的距离为94.11．B 如图，由抛物线定义可知AA 1＝AF ，故∠1＝∠2，又AA 1∥x 轴，故∠1＝∠3，从而∠2＝∠3，同理可证得∠4＝∠6，故∠A 1FB 1＝∠3＋∠6＝12×π＝π2， 故选B.12．C 由题意可知，a ＝4，b ＝3，c ＝5， ∴e ＝54，右准线方程为x ＝165，且点A 在双曲线张口内．则|MF |＝e ·d ＝54d (d 为点M 到右准线的距离)．∴4|MF |＋5|MA | ＝5(d ＋|MA |)，当MA 垂直于右准线时，d ＋|MA |取得最小值，最小值为5－165＝95，故4|MF |＋5|MA |的最小值为9.二、填空题13．.【解析】 设点P (x ，y )则Q (－1，y )，由·＝·，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得y 2＝4x .故填y 2＝4x . 【答案】 y 2＝4x14．【解析】 双曲线x 24－y 25＝1的中心为O (0,0)，该双曲线的右焦点为F (3,0)，则拋物线的顶点为(0,0)，焦点为(3,0)，所以p ＝6，所以拋物线方程是y 2＝12x .【答案】 y 2＝12x15．【解析】 设点M 的坐标为(x ，y )，则＝(x ＋c ，y )，＝(x －c ，y )． 由·＝0，得 x 2－c 2＋y 2＝0.①又由点M 在椭圆上，得y 2＝b －b 2x 2a 2，代入①，解得x 2＝a 2－a 2b 2c2.∵0≤x 2≤a 2，∴0≤a 2－a 2b 2c 2≤a 2，即0≤2c 2－a 2c 2≤1，0≤2－1e 2≤1.∵e ＞0，解得22≤e ≤1.又∵e ＜1，∴22≤e ＜1. 【答案】 [22，1)16．【解析】 对①，(x －1)2＋y 2＝0，∴x ＝1，y ＝0， 即表示点(1,0)．对②，若e ＝c a ＝22，则b ＝c .∴两焦点与短轴两端点构成正方形．对③，抛物线方程为y 2＝12x ，其焦点坐标为⎝⎛⎭⎫18，0. 对④，双曲线y 249－x 225＝1的渐近线方程为y 7±x5＝0，即y ＝±75x .【答案】 ②③ 三、解答题17．【解析】 设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)则根据题意，双曲线的方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1且满足⎩⎨⎧a 2－b 2a ＝452a 2＋b 2＝234解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝25b 2＝9∴椭圆的方程为x 225＋y 29＝1，双曲线的方程x 225－y 29＝118．【解析】 (1)设动点M (x ，y )， 根据题意得⎪⎪⎪⎪x －165(x －5)2＋y 2＝45，化简得9x 2－16y 2＝144， 即x 216－y 29＝1. (2)由(1)知轨迹C 为双曲线，A 、B 即为C 的两个焦点， ∴|P A |－|PB |＝±8.①又P A ⊥PB ，∴|P A |2＋|PB |2＝|AB |2＝100.② 由②－①2得|P A |·|PB |＝18.19．【解析】 (1)设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，x ＋y －1＝0，消去y ， 得x 2－2(1＋p )x ＋1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2(1＋p )，x 1·x 2＝1.∵|AB |＝8611，∴(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝8611，∴121p 2＋242p －48＝0， ∴p ＝211或－2411(舍)．∴抛物线的方程为y 2＝411x .(2)设AB 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫1311，－211. 假设x 轴上存在满足条件的点C (x 0,0)，∵△ABC 为正三角形，∴CD ⊥AB ，∴x 0＝1511.∴C ⎝⎛⎭⎫1511，0，∴|CD |＝2211. 又∵|CD |＝32|AB |＝12211，故矛盾，∴x 轴上不存在点C ，使△ABC 为正三角形． 20．【解析】 (1)设点P (x ，y )，则Q (－1，y )，由·＝·，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )，化简得C ：y 2＝4x .(2)设直线AB 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又M ⎝⎛⎭⎫－1，－2m ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1，消去x ，得y 2－4my －4＝0， Δ＝(－4m )2＋16＞0，故⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.由＝λ1，＝λ2，得y 1＋2m ＝－λ1y 1，y 2＋2m＝－λ2y 2，整理，得λ1＝－1－2my 1，λ2＝－1－2my 2，∴λ1＋λ2＝－2－2m ⎝⎛⎭⎫1y 1＋1y 2 ＝－2－2m ·y 1＋y 2y 1y 2＝－2－2m ·4m－4＝0.21．【解析】 (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3b 9a 2＋1b2＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝18b 2＝2，所求椭圆的方程为x 218＋y 22＝1(2)∵直线l ∥OM 且在y 轴上的截距为m ，∴直线l 方程为：y ＝13x ＋m由⎩⎨⎧y ＝13x ＋m x 218＋y 22＝1⇒2x 2＋6mx ＋9m 2－18＝0 ∵直线l 交椭圆于A 、B 两点，∴Δ＝(6m )2－4×2(9m 2－18)>0⇒－2<m <2 m 的取值范围为－2<m <2，且m ≠0.22．【解析】 (1)依题意双曲线方程可化为x 212－y 212＝1，则|F 1F 2|＝2， ∴|PF 1|＋|PF 2| ＝4>|F 1F 2|＝2.∴点P 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，其方程可设为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由2a ＝4,2c ＝2， 得a ＝2，c ＝1，∴b 2＝4－1＝3.则所求椭圆方程为x 24＋y 23＝1，故动点P 的轨迹E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设|PF 1|＝m >0， |PF 2|＝n >0，∠F 1PF 2＝θ， 则由m ＋n ＝4，|F 1F 2|＝2， 可知在△F 1PF 2中， cos θ＝m 2＋n 2－42mn。
《金版新学案》高考数学总复习 7.3简单的线性规划课时作业(扫描版) 文 大纲人教版
一、选择题
1．不等式x－2y＋1x＋y－3≤0在坐标平面内表示的区域用阴影部分表示
应是
2．设D是由 所确定的平面区域，记D被夹在直线x＝－1和x＝tt∈[－1,1]间的部分的面积为S，则函数S＝ft的大致图象为
解析： 如图，由不等式组画出平面区域．根据题意，
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
由函数S＝ft的单调递增情况易选出答案B.
答案：B
12．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.
金版新学案高中数学 第三章 第八节 函数与方程
B．(2，3)
C．(1e ，1)和(3，4) B [因为 f(2)＝ln 2－1<0，
D．(4，＋∞)
f(3)＝ln 3－23 >0，
且函数 f(x)的图象连续不断，f(x)为增函数，
所以 f(x)的零点在区间(2，3)内．]
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4．(多选)下列说法中正确的是( ) A．函数 f(x)＝x＋1 的零点为(－1，0) B．函数 f(x)＝x＋1 的零点为－1 C．函数 f(x)的零点，即函数 f(x)的图象与 x 轴的交点 D．函数 f(x)的零点，即函数 f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标 BD [根据函数零点的定义，可知 f(x)＝x＋1 的零点为－1.函数 y＝f(x) 的零点，即函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标，因此 B、D 正确，A、 C 错误．]
___(_x_1，__0_)____
_x_1_
Δ<0
_无__交__点__ 无__
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有关函数零点的三个结论 (1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零 点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．
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2．(必修 1P92 习题 A 组 T1 改编)下列函数图象与 x 轴均有交点，其中不 能用二分法求图中函数零点的是( )
A [根据二分法的概念可知 A 不能用二分法求零点．]
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3．(必修 1P92 习题 A 组 T5 改编)函数 f(x)＝ln x－2x 的零点所在的大致
区间是( )
A．(1，2)
A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内 C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
2022届《金版学案》高考数学总复习 第八节第三课时 证明、探究性问题
故2|F→P|＝|F→A|＋|F→B|，即|F→A|，|F→P|，|F→B|成等差数列. 设该数列的公差为d，则2|d|＝||F→B|－|F→A||＝12|x1－x2|＝12
（x1＋x2）2－4x1x2.② 关键5：设出公差，并用A，B的横坐标表示.
又kOM＝
105，从而2ba＝
5 10 .
进而得a＝ 5b，c＝ a2－b2＝2b，故e＝ac＝255. (2)证明：由N是AC的中点知，点N的坐标为
a2，－b2， 可得N→M＝a6，56b.又A→B＝(－a，b)，
从而有A→B·N→M＝－16a2＋56b2＝16(5b2－a2)． 由(1)可知a2＝5b2， 所以A→B·N→M＝0，故MN⊥AB.
关键步骤与规范解答 证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x421＋y312＝1，x422＋y322＝ 1. 两式相减，并由xy11－－xy22＝k得x1＋4 x2＋y1＋3 y2·k＝0.
关键1：点差法表示直线斜率.
由题设知x1＋2 x2＝1，y1＋2 y2＝m，于是k＝－43m.①
2．在平面直角坐标系xOy中，点F的坐标为0，12， 以线段MF为直径的圆与x轴相切．
(1)求点M的轨迹E的方程； (2)设T是E上横坐标为2的点，OT的平行线l交E于 A，B两点，交曲线E在T处的切线于点N，求证：|NT|2＝ 5 2|NA|·|NB|. (1)解：设点M(x，y)，因为F0，12， 所以MF的中点坐标为x2，2y＋4 1.
1．设椭圆E的方程为xa22＋
y2 b2
＝1(a>b>0)，点O为坐标
原点，点A的坐标为(a，0)，点B的坐标为(0，b)，点M
《金版新学案》高考数学总复习 8.4直线与圆锥曲线的位置关系课件 文 大纲人教版
对于中点弦问题，常用的解题方法是点差法．其
解题步骤为：
(1)设点：即设出弦的两端点坐标； (2)代入：即代入圆锥曲线方程； (3)作差：即两式相减，再用平方差公式把上式展 开； (4)整理：即转化为斜率与中点坐标的关系式，然 后求解．
圆锥曲线中求最值与范围问题是高考 题中的常考问题，解决此类问题，一般有
2．定值与最值问题 (1)圆锥曲线中的定值问题 在解析几何问题中，有些几何量和参数无关，这就构成定值问题． 解决这类问题常通过取参数和特殊值来确定“定值”是多少，或者将 该问题涉及的几何式转化为代数式或三角形式，证明该式是恒定的． (2)圆锥曲线中的最值问题 解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别 是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数 法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的 目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三 角有界法、函数单调法及均值不等式法等，求解最大或最小值．
练规范、练技能、练速度
第4课时
直线与圆锥曲线程组解的个数，可以研 究直线与圆锥曲线的位置关系，也就是用代数的方法研究几何 问题，这是解析几何的重要思想方法．方程组消元后要注意所 得方程的二次项系数是否含有参数，若含参数，需按二次项系 数是否为零进行分类讨论，只有二次项系数不为零时，方程才 是一元二次方程，后面才可以用判别式Δ 的符号判断方程解的 个数，从而说明直线与圆锥曲线的位置关系．
对近三年高考试题的统计分析，有以下的命题规律： 1．考查热点：定值与最值问题． 2．考查形式：多以解答题形式出现，难度较大． 3．考查角度： 一是对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，考查交点个数及直线的条数． 二是对定值与最值问题的考查，对于求曲线方程中参数的取值范围问题． 三是对存在与对称性问题的考查，对于存在性问题，一般是合理转化为等 价的、容易表述的数学问题来解决． 4．命题趋势：向量、函数与圆锥曲线相结合，考查最值问题．
金版新学案高中数学 课时作业(五十三) 圆锥曲线中的证明、定值及定点问题
课时作业(五十三) 圆锥曲线中的证明、定值及定点问题1．(2020·武昌区高三调研)已知直线l 与抛物线y 2＝6x 交于不同的两点A ，B ，直线OA ，OB (O 为坐标原点)的斜率分别为k 1，k 2，且k 1·k 2＝3 ，则直线l 恒过定点( )A ．(－63 ，0)B ．(－33 ，0)C ．(－23 ，0)D ．(－3 ，0)C [依题意知直线l 的斜率不为0，设直线l 的方程为x ＝my ＋a ，与抛物线方程y 2＝6x 联立，消去x ，得y 2－6my －6a ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2＝－6a ，y 1＋y 2＝6m .所以k 1k 2＝y 1x 1 ·y 2x 2 ＝y 1y 2y 21 6·y 22 6 ＝36y 1y 2 ＝36－6a＝3 ，解得a ＝－23 ，所以直线l 的方程为x ＝my －23 ，则直线l 恒过定点(－23 ，0)，故选C.]2．(多选)如图，已知椭圆C 1：x 24 ＋y 2＝1，过抛物线C 2：x 2＝4y 焦点F 的直线交抛物线于M ，N 两点，连接NO ，MO 并延长分别交C 1于A ，B 两点，连接AB ，△OMN 与△OAB 的面积分别记为S △OMN ，S OAB .则在下列命题中，正确的是( )A ．若记直线NO ，MO 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2的大小是定值为－14B ．△OAB 的面积S △OAB 是定值1C ．线段OA ，OB 长度的平方和|OA |2＋|OB |2是定值5D ．设λ＝S △OMNS △OAB，则λ≥2ABCD [F (0，1)，设直线MN 的方程为y ＝kx ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2).联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1x 2＝4y，消元得：x 2－4kx －4＝0，∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4，∴y 1y 2＝(kx 1＋1)(kx 2＋1)＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1， ∴k 1k 2＝y 2x 2 ·y 1x 1 ＝y 1y 2x 1x 2 ＝－14，故A 正确；设直线OA 的方程为y ＝mx (m >0)，则直线OB 的方程为y ＝－14mx ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx x 24＋y 2＝1 ，解得x 2＝41＋4m 2 ，不妨设A 在第三象限，则A ⎝⎛⎭⎪⎫－21＋4m 2，－2m 1＋4m 2 ，用－14m替换m 可得B ⎝⎛⎭⎪⎫－21＋14m2，12m1＋14m 2， ∴A 到OB 的距离d ＝21＋4m 2＋8m 21＋4m 21＋16m 2 ＝2＋8m 21＋4m 21＋16m 2，又|OB |＝41＋14m 2＋14m 21＋14m2 ＝16m 2＋14m 2＋1 ， ∴S △OAB ＝12·|OB |·d＝12 ·16m 2＋14m 2＋1 ·2＋8m 21＋4m 21＋16m 2 ＝1，故B 正确； 又|OA |2＝41＋4m 2 ＋4m 21＋4m 2 ＝4＋4m 21＋4m 2，|OB |2＝16m 2＋14m 2＋1，∴|OA |2＋|OB |2＝5＋20m 21＋4m 2＝5，故C 正确；联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx x 2＝4y，可得x (x －4m )＝0，故N (4m ，4m 2)，∴|ON |＝4m m 2＋1 ，－14m替换m 可得M ⎝⎛⎭⎫－1m ，14m 2 ， ∴M 到直线OA 的距离h ＝⎪⎪⎪⎪－1－14m 2m 2＋1＝1＋14m 21＋m 2，∴S △OMN ＝12 ·|ON |·h ＝2m ⎝⎛⎭⎫1＋14m 2 ＝2m ＋12m ≥2， 当且仅当2m ＝12m 即m ＝12 时取等号．∴λ＝S △OMNS △OAB＝S OMN ≥2，故D 正确．]3．经过椭圆x 22 ＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A ，B 两点．设O 为坐标原点，则OA → ·OB →＝________．解析： 依题意，当直线l 经过椭圆的右焦点(1，0)时，其方程为y －0＝tan 45°(x －1)，即y ＝x －1，代入椭圆方程x 22 ＋y 2＝1并整理得3x 2－4x ＝0，解得x ＝0或x ＝43 ，所以两个交点坐标分别为(0，－1)，⎝⎛⎭⎫43，13 .所以OA → ·OB →＝－13，同理，直线l 经过椭圆的左焦点时， 也可得OA → ·OB →＝－13 .答案： －134．如图，双曲线的中心为原点O ，A ，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点，B 是双曲线的左顶点，F 为双曲线的左焦点，直线AB 与FC 相交于点D .若双曲线的离心率为2，则∠BDF 的余弦值是________．解析： 设双曲线的标准方程为x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，由e ＝ca ＝2知，c ＝2a ，又c 2＝a 2＋b 2，则b ＝3 a ，所以A (0，3 a )，C (0，－3 a )，B (－a ，0)，F (－2a ，0)，则BA →＝(a ，3 a )，CF → ＝(－2a ，3 a )，结合图象可知，cos ∠BDF ＝cos 〈BA → ，CF →〉＝BA →·CF →|BA →||CF →|＝－2a 2＋3a 22a ·7a＝714 .答案：7145．(2020·西安模拟)设F 1，F 2为椭圆C ：x 24 ＋y 2b 2 ＝1(b >0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，满足MF 1⊥MF 2，已知△MF 1F 2的面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)设C 的上顶点为H ，过点(2，－1)的直线与椭圆交于R ，S 两点(异于H )，求证：直线HR 和HS 的斜率之和为定值，并求出这个定值．解析： (1)由椭圆定义得|MF 1|＋|MF 2|＝4，① 由MF 1⊥MF 2得|MF 1|2＋|MF 2|2＝|F 1F 2|2＝4(4－b 2)，② 由题意得S △MF 1F 2＝12 |MF 1|·|MF 2|＝1，③由①②③，可得b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意得，H (0，1)，显然直线RS 的斜率存在且不为0， 设直线RS 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0)，代入椭圆方程并化简得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 由题意知，Δ＝16(4k 2－m 2＋1)>0， 设R (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 故x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋1 ，x 1x 2＝4m 2－44k 2＋1 .k HR ＋k HS ＝y 1－1x 1 ＋y 2－1x 2 ＝kx 1＋m －1x 1 ＋kx 2＋m －1x 2＝2k ＋(m －1)x 1＋x 2x 1x 2 ＝2k ＋(m －1)－8km4m 2－4＝2k －2km m ＋1 ＝2km ＋1.∵直线RS 过点(2，－1)，∴2k ＋m ＝－1. ∴k HR ＋k HS ＝－1. 故k HR ＋k HS 为定值－1.6．(2019·北京卷)已知抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1). (1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点．解析： (1)由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)，得p ＝2. 所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1. (2)证明：抛物线C 的焦点为F (0，－1). 设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y 得x 2＋4kx －4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1x 2＝－4. 直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x .令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1 .同理得点B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.设点D (0，n )，则DA →＝⎝⎛⎭⎫－x 1y 1，－1－n ， DB →＝⎝⎛⎭⎫－x 2y 2，－1－n ， DA → ·DB →＝x 1x 2y 1y 2 ＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝⎛⎭⎫－x 21 4⎝⎛⎭⎫－x 224 ＋(n ＋1)2＝16x 1x 2＋(n ＋1)2 ＝－4＋(n ＋1)2.令DA → ·DB →＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 综上，以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0，1)和(0，－3).7．(2020·福州市质量检测)已知圆O ：x 2＋y 2＝43 ，椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a >b >0)的短轴长等于圆O 半径的6 倍，C 的离心率为22. (1)求C 的方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且与圆O 相切，证明：△AOB 为直角三角形． 解析： (1)因为圆O 的半径为233，所以C ：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)的短轴长为6 ×233 ＝22 ，所以2b ＝22 ，解得b ＝2 . 因为C 的离心率为22 ，所以c a ＝22，① 又a 2－c 2＝b 2，所以a 2－c 2＝2，② 联立①②，解得a 2＝4. 所以C 的方程为x 24 ＋y 22＝1.(2)证明：①当直线l 的斜率不存在时， 直线l 的方程为x ＝233 或x ＝－233 ，当直线l 的方程为x ＝233时，不妨设A (233 ，233 )，B (233 ，－233 )，则OA → ·OB →＝43 －43＝0.当直线l 的方程为x ＝－233 时，不妨设A (－233 ，233 )，B (－233 ，－233 )，则OA → ·OB →＝43 －43＝0，综上，OA ⊥OB .所以△AOB 为直角三角形．②当直线l 的斜率存在时， 设其方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 因为直线l 与圆O 相切，所以233 ＝|m |k 2＋1 ，即3m 2－4k 2－4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 22＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0， 所以Δ＝16k 2m 2－8(1＋2k 2)(m 2－2)＝8(4k 2－m 2＋2)＝163 (4k 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2 ，x 1x 2＝2m 2－41＋2k 2 ，所以OA → ·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝（1＋k 2）（2m 2－4）－4k 2m 2＋m 2（1＋2k 2）1＋2k 2＝3m 2－4k 2－41＋2k 2＝0， 所以OA ⊥OB .综上所述：OA ⊥OB ，所以△AOB 为直角三角形．8．设椭圆C ：x 2a 2 ＋y 2b2 ＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，下顶点为A ，O 为坐标原点，点O 到直线AF 2的距离为22，△AF 1F 2为等腰直角三角形． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)直线l 与椭圆C 分别相交于M ，N 两点，若直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，证明：直线l 恒过定点，并求出该定点的坐标．解析： (1)由题意可知，直线AF 2的方程为x c ＋y－b ＝1，即－bx ＋cy ＋bc ＝0， 则bc b 2＋c2 ＝bc a ＝22 . 因为△AF 1F 2为等腰直角三角形，所以b ＝c ， 又a 2＝b 2＋c 2，可得a ＝2 ，b ＝1，c ＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 22 ＋y 2＝1.(2)证明：由(1)知A (0，－1)，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠±1)， 代入x 22 ＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2＋4ktx ＋2t 2－2＝0，所以Δ＝16k 2t 2－4(1＋2k 2)(2t 2－2)>0，即t 2－2k 2<1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4kt1＋2k 2 ，x 1x 2＝2t 2－21＋2k 2 .因为直线AM 与直线AN 的斜率之和为2， 所以k AM ＋k AN ＝y 1＋1x 1 ＋y 2＋1x 2 ＝kx 1＋t ＋1x 1 ＋kx 2＋t ＋1x 2 ＝2k ＋（t ＋1）（x 1＋x 2）x 1x 2＝2k －（t ＋1）·4kt2t 2－2＝2，整理得t ＝1－k .所以直线l 的方程为y ＝kx ＋t ＝kx ＋1－k ＝k (x －1)＋1， 显然直线y ＝k (x －1)＋1经过定点(1，1).当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为x ＝m .因为直线AM 与直线AN 的斜率之和为2，设M (m ，n )，则N (m ，－n )， 所以k AM ＋k AN ＝n ＋1m ＋－n ＋1m ＝2m ＝2，解得m ＝1，此时直线l 的方程为x ＝1，显然直线x ＝1也经过该定点(1，1). 综上，直线l 恒过点(1，1).。
金版新学案高中数学 第九章 第八节 第2课时 圆锥曲线中的证明、定值及定点问题
所以 yP＋yQ＝－（2k＋1x1）＋（2 x1＋4） ＋－（2k＋x12）＋（2 x2＋4） ＝
－（2k＋1）[（x1＋4）（x2＋2）＋（x1＋2）（x2＋4）] （x1＋2）（x2＋2）
，
其 中 (x1 ＋ 4)(x2 ＋ 2) ＋ (x1 ＋ 2)(x2 ＋ 4) ＝ 2x1x2 ＋ 6(x1 ＋ x2) ＋ 16 ＝ 2 ×
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解析： (1)由题意，得 b＝1，c＝ 3 ， 所以 a2＝b2＋c2＝4，即 a＝2. 故椭圆 C 的方程为x42 ＋y2＝1.
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(2)证明：设 M(x1，m)，则 N(－x1，m)，x1≠0，－1<m<1. 所以直线 BM 的斜率为m－x（1－－01） ＝m＋ x1 1 . 因为直线 BD，BM 的斜率的积为－14 ， 所以直线 BD 的斜率为－4（mx＋1 1） . 直线 AN 的斜率为1－x1m ，
64k2－8 4k2＋1
＋6×4－k23＋2k12
＋16＝0，
所以 yP＋yQ＝0，所以||BPQB|| ＝||yyQP|| ＝1.
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圆锥曲线中定值问题的两大解法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． (2)引进变量法：其解题流程为
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在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：x22 －y42 ＝1，椭圆 C2：x2 ＋y42 ＝1，若 M，N 分别是 C1，C2 上的动点，且 OM⊥ON，求证：O 到直线 MN 的距离是定值．
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所以直线 AN 的方程为 y＝1－x1m x＋1.
直线 BD 的方程为 y＝－4（mx＋1 1） x－1.
联立得y＝1－x1mx＋1， y＝－4（mx＋1 1）x－1，
解得点 D 的纵坐标为 yD＝－－1414xx1122