湘教版九年级数学上册第一章《反比例函数》课件
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湘教版九年级数学上册教学课件-《反比例函数》课件
特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数.
即：y=kx (k ≠ 0 )，其中k叫做比例系数.
期末考试结束了，王老师想请几个同学帮忙批改60张 试卷的填空和选择题，如果请2个同学，平均每人帮老师 改几张试卷？3个，4个，5个，10个呢？
学生人数x（人） 2
3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
5 10
每人批改的张数y 30 20
15
能用一个数学解析式表示吗？
x y =1661
y 1661 x
问题：学校课外生物小组的 同学准备自己动手，用旧围栏建一个 面积为24平方米的矩形饲养场．设它 的一边长为x(米)，请写出另一边的长 y(米)与x的关系式．
x y＝24， 即
根据矩形面积可知
y
24
x
由以上的实例中可得到如下的函数关系式：
3.当函数y (m 1)xm22m4是反比例函数时，
-3
同桌讨论：数学来源于生活，请 同学们找出生活中的反比例函数关系， 并举例：
小明同学用50元钱买学习用品，单价y（元）时与数
量x（件），那么变量y是x的函数吗？是反比例函数
吗？为什么？
，是，是
一个矩形的面积是20cm2，相邻的两条边长为xcm和
y 60 x
y 1661 x
y 24 x
小组讨论： 它们有什么共同的特 点？
一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示
成：y k（Ｋ为常数，且Ｋ不为０）的形式，那么 x
称y是x的反比例函数 ，且K为比例系数.
注意：
常数 k 0
自变量Ｘ不能为零（因为分母为零时，该分式 无意义） xy = k
1.什么叫函数？
一般地.在某个变化中，有两个变量x 和y，如果给定一个x的值，相应地就确定 了y的一个值，那么我们称y是x的函数，其 中x叫自变量，y叫因变量.
即：y=kx (k ≠ 0 )，其中k叫做比例系数.
期末考试结束了，王老师想请几个同学帮忙批改60张 试卷的填空和选择题，如果请2个同学，平均每人帮老师 改几张试卷？3个，4个，5个，10个呢？
学生人数x（人） 2
3
4
ห้องสมุดไป่ตู้
5 10
每人批改的张数y 30 20
15
能用一个数学解析式表示吗？
x y =1661
y 1661 x
问题：学校课外生物小组的 同学准备自己动手，用旧围栏建一个 面积为24平方米的矩形饲养场．设它 的一边长为x(米)，请写出另一边的长 y(米)与x的关系式．
x y＝24， 即
根据矩形面积可知
y
24
x
由以上的实例中可得到如下的函数关系式：
3.当函数y (m 1)xm22m4是反比例函数时，
-3
同桌讨论：数学来源于生活，请 同学们找出生活中的反比例函数关系， 并举例：
小明同学用50元钱买学习用品，单价y（元）时与数
量x（件），那么变量y是x的函数吗？是反比例函数
吗？为什么？
，是，是
一个矩形的面积是20cm2，相邻的两条边长为xcm和
y 60 x
y 1661 x
y 24 x
小组讨论： 它们有什么共同的特 点？
一般地，如果两个变量x，y之间的关系可以表示
成：y k（Ｋ为常数，且Ｋ不为０）的形式，那么 x
称y是x的反比例函数 ，且K为比例系数.
注意：
常数 k 0
自变量Ｘ不能为零（因为分母为零时，该分式 无意义） xy = k
1.什么叫函数？
一般地.在某个变化中，有两个变量x 和y，如果给定一个x的值，相应地就确定 了y的一个值，那么我们称y是x的函数，其 中x叫自变量，y叫因变量.
湘教版九年级数学上册课件ppt《反比例函数的图象和性质》
oA
x 长方形面积 SAOP
k 2
︳m n︱ ＝︳K︱
三角形的面积
湖南教育出版社九年级 | 上册
y
课内练习：
1.如图,点P是反比例函数
y
4图象上的一点,PD⊥x轴于D.
则△POD的面积为 2 .
x
o
P D
x
2.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作
垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的
3、对于函数 第 __三___象限.
y 1 2x
，当 x<0时，图象在
湖南教育出版社九年级 | 上册
例题解析,当堂练习
例1:已知反比例函数y= (k≠0）k的图象的一支如图。
x
（1）判断k是正数还是负数；
y
（-4，2）
（2）求这个反比例函数的解析式；
0
x
（3）补画这个反比例函数图象的另一支。 y （-4，2）
3、双曲线的两个分支无限接近x轴和y轴，但永远不会与x轴 和y轴相交。
4、图象的两个分支关于直角坐标系的原点成中心对称。
湖南教育出版社九年级 | 上册
1、函数
y 5 的图象在第___二__、__四___象限， x
2、函数 y m 的2 图象在二、四象限， x
则m的取值范围是 __m__<_2__ .
从点注光折画法意滑线反还：曲。比应②线例注描顺函意点次数什时连图么自结象左，? 看住切右忌,描用用
湖南教育出版社九年级 | 上册
议一议：
y
1. 反比例函数y 6
们相同吗？
x
和y 6x的图象在哪两个象限？它
0
2.
湘教九年级数学上册《反比例函数》课件(共15张PPT)
则 y 关于 x 的函数表达式为( B )
A．y＝6x
B．y＝－6x
C．y＝－6x
D．y＝6x
二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)
14．下列函数：①y＝－3x；②y＝31x＋1；③y＝－2x；④y ＝1－12x2；⑤y＝－2x3；⑥xy＝12；⑦y＝x82；⑧y＝x－1；⑨ yx＝2；⑩y＝xk(k 为常数，k≠0)．其中是反比例函数的是 ③__⑤__⑥__⑩___．(填序号)
C．人的年龄与身高的关系
D．小明从家到学校，剩下的路程s与速度v的关系
12．若函数y＝(m＋1)xm2－2是反比例函数，则m的值是(A )
A．1
B．－1
C．±1
D．1或2
13．已知一个函数满足下表 －1 1
2
3
4
5
6
y 1 1.2 1.5 2
3
6 －6 －3 －2 －1.5 －1.2 －1
【综合运用】 19．(10分)小强同学拿100元去买巧克力，预计巧克力每千 克x元，可购得y1千克．到了商场，只有一种品牌的巧克力 ，每千克比预计贵了5元，只能购得y2千克． (1)写出y1关于x的函数表达式，并判断这是什么函数； (2)写出y2关于x的函数表达式，此时y2与x成反比例函数关 系吗？
18．(12分)若y＝(a－3)x2－|a|是反比例函数． (1)求此反比例函数的表达式； (2)写出这个函数的比例系数和自变量的取值范围； (3)当x＝1时，求函数y的值； (4)当y＝2时，求自变量x的值．
解：(1)y＝－6x； (2)比例系数为－6，自变量的取值范围是 x≠0； (3)当 x＝1 时，y＝－6； (4)当 y＝2 时，x＝－3.
15．若梯形的下底长为 x，上底长为下底长的13，高为 y， 面积为 60，则 y 关于 x 的函数表达式为__y_＝__9x_0___．(不考 虑 x 的取值范围) 16．将 x＝34代入反比例函数 y＝－1x中，所得函数值记为 y1，又将 x＝y1＋1 代入此函数中，所得函数值记为 y2，
湘教九年级数学上册《反比例函数》课件(共14张PPT)
式为s = vt，因此v
=
s t
.
上述问题中路程s = 3000m，因此选手的平均 速度v （m/s)与所用时间t（s）之间的关系式为
பைடு நூலகம்
v = 3 0 t 0 0
①
v
=
3000 t
①式表明：当路程s一定时，每当t取一个值时， v都有唯一的一个值与它对应，因此平均速度v是所 用时间t的函数.
由于当路程s 一定时， 平均速度v与时间t 成反 比例关系，因此我们把这样的函数叫做反比例函数.
结论
一般地，如果两个变量y与x的关系可以表示成
y
=
k x
(k为常数，k≠0)
的形式,那么称y是x的反比例函数,其中x 是自变量, 常数k（k ≠0）称为反比例函数的比例系数.
v
=
3000 t
如在①式中，
v
=
3000 t
表明速度v是时间t的
反比例函数，3000是比例系数．
反比例函数的自变量取值范围是所有非零实
第1章 反比例函数
1.1 反比例函数
在小学，我们已经知道，如果两个量x，y满足
xy=k（k为常数，k≠0），那么x，y就成反比例关系. 例如，如果路程s一定，那么速度v与时间t就成反比
例关系.
动脑筋
（1）一群选手在进行全程为3000m的赛马比赛时， 各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间 有怎样的关系？并写出它们之间的关系式；
（3）式是反比例函数,比例系数是
1 5
;
（4）式是反比例函数,比例系数是 -
1 11
.
2. 下列问题中，变量间的对应关系可以用怎样的函数 表达式表示？
（1）已知矩形的面积为120 cm2 ，矩形的长y （cm） 随宽x（cm）的变化而变化；
湘教版九年级数学《反比例函数的图象及性质》PPT课件
感悟新知
知1－练
1．若双曲线 y＝kx与直线 y＝2x＋1 的一个交点的横坐 标为－1，则 k 的值为( B )
A．－1
B．1
C．－2
D．2
感悟新知
第一章 反比例函数
1.2反比例函数的图象及性质
第1课时 反比例函数 y = k (k＞0)
x
的图象与性质
学习目标
1 课时讲解 2 课时流程
会用描点的方法画反比例函数
y= k x
(k>0)的图象
理解反比例函数 y =
k
(k>0)的性质
x
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
课时导入
复习提问
引出问题
我们已经学习了用“描点法”画一次函数的图
四象限内的两支曲线组成， 它们与x 轴、 y 轴都不 相交，在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的增大 而增大.
感悟新知
1．反比例函数 y＝－4x(x>0)的图象位于( D ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
知1－练
感悟新知
知1－练
2．如图，函数 y＝1x－(x1x＞(x＜0)，0)的图象所在坐标系的原点是 ( A) A．点 M B．点 N C．点 P D．点 Q
知1－导
(2) 把点A，B 的坐标分别代入 y 8 ，可知点 A 的坐标
x
满足函数表达式 ， 点 B 的坐标不满足函数表达式， 所以点 A 在这个函数的图象上，点B不在这个函数 的图象上.
感悟新知
知1－导
(3) 因为k＞0，所以这个反比例函数的图象位于第一、 三象限，在每个象限内，函数值 y 随自变量 x 的 增大而减小.
感悟新知
湘教版 九年级数学 上册 第一章 反比例函数 复习课件(共29张PPT)
2、如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A、 B两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的 值的x的取值范围 是（ D ）． A、x＜－1 B、x＞2 C、－1＜x＜0或x＞2 D、x＜－1或0＜x＜2
变式练习
1．(2012 广州)如图 ，正比例函数 y1＝k1x 和反
k2 比例函数 y2＝ x 的图象交于 A(－1,2)，B(1，－2)两点，若 y1＜
面积为矩形，则它的面积为_
__ 2
解析：延长 BA 与 y 轴相交于点E，则矩形OC BE 的面积 为3，同理矩形 ODAE 的面积为 1，所以矩形 ABC D 的 面积为2.
变式练习
k 3．如图 262，点 A 在双曲线 y＝x上，AB⊥x 轴于 B，且 －4 △AOB 的面积 S△AOB＝2，则 k＝__________.
可知AE=1，BF=4，
1 1 SV BOC OC BF 3 4 6 2 2 1 1 3 SV AOC OC AE 3 1 2 2 2 3 15 SVOAB SV BOC SV AOC 6 2 2
15 ∴△OAB的面积为 2
解：(1)当 0≤x≤2 时，y 与 x 成正比例函数关系． 设 y＝kx，由于点(2,4)在直线上， 所以 4＝2k，k＝2，即 y＝2x. (2)当 x＞2 时，y 与 x 成反比例函数关系． 设 y＝k/x，由于点(2,4)反比例函数的图象上， 所以 k＝2×4＝8，即 y＝8/x. (3)当 0≤x≤2 时，含药量不低于 2 毫克， 即 2x≥2，x≥1.即服药 1 小时后； 当 x>2 时，含药量不低于 2 毫克， 8 即x ≥2，x≤4.即 2<x≤4. 所以服药一次，治疗疾病的有效时间是 1＋2＝3(小时)． 忽略自变量的取值范围．
湘教版九年级数学上册第1章第2节反比例函数的图像与性质(共36张PPT)
例1.已知反比例函数 y k 的图象经过点P （2，4）. x
（3） 这个函数的图象位于哪些象限？ 在每个象限 内， 函数值y 随自变量x 的增大如何变化？
解：因为k > 0， 所以这个反比例函数的图象 位于第一、三象限， 在每个象限内， 函数值 y随自变量x的增大而减小.
例2 .如图是某反比例函数 的图象.
探究
反比例函数
y
=
k x
(k为常数，k≠0)
的图象是什么样子呢？
我们先将k取为6，画出反比例函数
y
=
6 x
的图象并进行观察.
想想我们为什 么要取k=6？
列表
x
y 6 x
比一比
例 ： 画 出 函 数 y6的 图 象
x
x
…? -6 -3 -2 -1 1 2 3 6 …?
y 6 …? -1 -2 -3 -6 6 3 2 1 …?
y
1
1
2a x
2
增的大图象在二四象
限，那么
，在双曲线每一支上
4.y反随x比的增例大函而数 y . m 3 的图象，当x<0时， y随x的增大而减小x，则m <3 ，图象
经过第 一三 象限.
5.已知函数
y(k1)xk3
①若它是反比例函数，且在每一支=-上2y随
x的增大而增大，则k .
②若它是正比例函数，且y随x的增大而
y
=
k x
动脑筋
我们知道反比例函数中的 k 值也可以是负数，
以 k = -6 为例，如何画反比例函数 的图象？
y
=
-
6 x
的图象与
y
=
-
6 x
湘教版九年级数学上册《反比例函数》课件(共12张PPT)
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
问题情境二
问题2 学校课外生物小组的同学准备自己动手， 用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养 场．设它的一边长为x(米)，求另一边的长y(米) 与x的函数关系式．
y y 24 x
x
¨反一比般例地，函形数如的定y义k(k是常数 k， 0)
x
的函数叫做反比例函数.其中k叫做比例系数.
¨反比例函数的变形形式：
解析 1设 ： yxk2(k0)，
当x3时， y2.可得：
2当 xy21与 .5x3的 k2 23，时 函 k，数 y11关 8. 8系 y2 3式 21x281， 是 8948.
3当y1时 8 1， 8 1x82 ，
x21，x即 1.
利已用知概y=y念1+解y2 ，题y1与x成正比例， y2与x2成反比例，
之间的关系.
探解究析：并思考
(1) C=4a； 是正比例函数
(2) S=8t； 是正比例函数
(3)y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10 x
；
是反比例函数
(4)P
100 t
.
是反比例函数
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
问题情境二
问题2 学校课外生物小组的同学准备自己动手， 用旧围栏建一个面积为24平方米的矩形饲养 场．设它的一边长为x(米)，求另一边的长y(米) 与x的函数关系式．
y y 24 x
x
¨反一比般例地，函形数如的定y义k(k是常数 k， 0)
x
的函数叫做反比例函数.其中k叫做比例系数.
¨反比例函数的变形形式：
解析 1设 ： yxk2(k0)，
当x3时， y2.可得：
2当 xy21与 .5x3的 k2 23，时 函 k，数 y11关 8. 8系 y2 3式 21x281， 是 8948.
3当y1时 8 1， 8 1x82 ，
x21，x即 1.
利已用知概y=y念1+解y2 ，题y1与x成正比例， y2与x2成反比例，
之间的关系.
探解究析：并思考
(1) C=4a； 是正比例函数
(2) S=8t； 是正比例函数
(3)y
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10 x
；
是反比例函数
(4)P
100 t
.
是反比例函数
1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
湘教版九年级数学上册第一章反比例函数 复习课件(17张PPT)
感谢观赏
THANKS
p 600 S
p 600 3000 0.2
S 600 0.1 6000
• 6.(2018·邵阳中考)如图1所示,点A是反比例函数y= k
x
图象上一点,作AB⊥x轴,垂足为点B.若△AOB的面积为2,则k的值 是__-_4___.
y
A x
B
图1
家庭作业：
• 1.做好反比例函数的知识思维导图 • 2.做完反比例函数 《课堂点睛》双休作业（一）
（2）求当x=-6时，y的值； （3）求当y=18时，x的值；
y k x-4
1 k 2 -4-4 y -4 - 4
x-4 x-4
y -4 2 -10 5
18 - 4 x-4
x 34 9
• 5.当人与木板对湿地的压力F一定时，木板面积S（㎡）的变化与人和木板对地面的压强p（Pa） 满足F=pS，假若人和木板对湿地压力合计为600N，请你解答： （1）写出p与S的函数表达式，并指出是什么函数？ （2）当木板面积为0.2㎡时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过6000Pa，木板的面积至少要多大？
S矩形PAOB=PB·PA=|x|·|y|=|xy|, ∵y= k ,∴xy=k,
x
∴S矩形PAOB=|k|.连接点P、O，线段PO刚好是矩形的对角线，把原
来的矩形分成了两个一样的直角三角形，∴SRt△POB=SRt△POA=
|
k 2
|
即过双曲线上任意一点分别作坐标轴的垂线段,两条垂 线段以及两坐标轴围成的矩形的面积为__|_k_|_. 连接该点与原点，还可以得出两个直角三角形的面积 为_|_k_|_/_2.
y
12 x
的图象上,则x1,x2,x3的大小关系是
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件1.1反比例函数
解得 = .
因此 =
.
(2) 把 = 4代入 =
，得
=
= .
知识讲解
例2
是的反比例函数，下表给出了与的一些值.
−
4
−
请完成上表并写出这个反比例函数的表达式.
解： ∵ 是的反比例函数，
∴设 =
≠ .
把 = −， = 代入上式得，
.
v
当 v=100 时，f =40.
所以当车速为100km/h 时视野为40度.
随堂训练
5.已知与成反比例,当 = 时, = .
(1)写出与的函数表达式；
(2)求当 = 时的值.
解：（1）设 = ，因为当 = 时 = ，所以
4= ，
解得 = .
②底面半径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3；
③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的半径为 y cm；
④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为 x，放满一桶水的时间 y.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
随堂训练
3. (1) 若 y
m 1
是反比例函数，则 m 的取值范
x
围是 m ≠ 1 .
(2) 若 y m m 2 是反比例函数，则m的取值范
x
围是 m ≠ 0 且 m ≠ －2 .
(3) 若 y
m2
x
m2 m 1
是 m = －1 .
是反比例函数，则m的取值范围
随堂训练
4.人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾
湘教版九年级数学上册《反比例函数》课件(共17张PPT)
际意义来确定自变量的取值范围．
2．一般用待定系数法确定反比例函数的表达式，对于表达式y
＝
k x
(k≠0)中有一个待定系数k，因此只需要给出__一___对x，y的对应
值，代入y＝
k x
(k≠0)中，即可求出k的值，从而求出反比例函数的表
达式．
知识点一：反比例函数的定义及自变量的取值范围
1．下列函数是反比例函数的是( D )
知识点二：反比例函数表达式的确定 5．已知变量y与x成反比例，当x＝3时，y＝－6，求： (1)y与x之间的函数表达式； (2)y＝3时，求x的值.
解：(1)y＝－1x8 (2)x＝－6
6．(易错题)下列关系中，两个量之间为反比例函数关系的是
( D) A．正方形的面积S与边长a的关系 B．正方形的周长l与边长a的关系 C．长方形的长为a，宽为20，其面积S与a的关系 D．长方形的面积为40，长为a，宽为b，a与b的关系
•不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸面上的话，另 一眼睛看到纸的背面。2022年4月13日星期三2022/4/132022/4/132022/4/13 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月2022/4/132022/4/132022/4/134/13/2022 •正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022/4/132022/4/13April 13, 2022 •书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。
解：∵每天运量×天数＝总运量，即 nt＝4000，∴n＝40t00
16．(2014·云南)将油箱注满 k 升油后，轿车可行驶的总路程 S(单
湘教版九年级数学上册第1章教学课件：1.2 第3课时 反比例函数图象与性质的综合应用(共30张PPT
象上分别取点P，Q向x轴、y
3
P
• • -5
2
1 S1
-4 -3 -2 -1 O 1
2S23
Q
45
-1
x
轴作垂线，围成面积分别为
-2 -3
-4
S1，S2的矩形，填写表格：
-5
y 4 x
P（2,2）
Q（4,1）
S1的值 S2的值
4
4
S1与S2的关系 S1=S2
猜想与k的关系 S1=S2=k
2.若在反比例函数 y 4 中也用同样 x
综上，S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明k>0 的情况.
方法归纳
对于反比例函数 y k ， x
点Q是其图象上的任意一点，
作QA垂直于y轴，作QB垂直于
x轴，矩形AOBQ的面积与k的
关系是S矩形 AOBQ= |k|
y A •Q
OB x
推理：△QAO与△QBO的面积
k 和k的关系是S△QAO=S△QBO= 2
y
分析：先设点A的坐标，然
A
后用A的坐标表示△AOC的
ＯC
x
面积，进而求出k的值．
解：SAOC
1 2
yA
xA
∵A在反比例函数
y k 的解析式上
x
∴ k yA xA
∴
SAOC
1 k 2
2
∴ k4
∴反比例函数的表达式为 y 4 x
方法归纳
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐 标轴与向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面
A．2 B．4 C．6 D．8
解析： ∵过反比例函数图象上的点A，B分别作y轴
的垂OC
＝
3
P
• • -5
2
1 S1
-4 -3 -2 -1 O 1
2S23
Q
45
-1
x
轴作垂线，围成面积分别为
-2 -3
-4
S1，S2的矩形，填写表格：
-5
y 4 x
P（2,2）
Q（4,1）
S1的值 S2的值
4
4
S1与S2的关系 S1=S2
猜想与k的关系 S1=S2=k
2.若在反比例函数 y 4 中也用同样 x
综上，S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明k>0 的情况.
方法归纳
对于反比例函数 y k ， x
点Q是其图象上的任意一点，
作QA垂直于y轴，作QB垂直于
x轴，矩形AOBQ的面积与k的
关系是S矩形 AOBQ= |k|
y A •Q
OB x
推理：△QAO与△QBO的面积
k 和k的关系是S△QAO=S△QBO= 2
y
分析：先设点A的坐标，然
A
后用A的坐标表示△AOC的
ＯC
x
面积，进而求出k的值．
解：SAOC
1 2
yA
xA
∵A在反比例函数
y k 的解析式上
x
∴ k yA xA
∴
SAOC
1 k 2
2
∴ k4
∴反比例函数的表达式为 y 4 x
方法归纳
过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐 标轴与向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面
A．2 B．4 C．6 D．8
解析： ∵过反比例函数图象上的点A，B分别作y轴
的垂OC
＝
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表示，还有没有其他表达方式？ 反比例函数的三种表达方式：(注意 k ≠ 0)
练一练 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
y 3x1 yx
3 y 1
11x
是，k = 3 不是 是，k 1
11
y 3x 1
不是
y
1 x2
不是
例1 若函数 y k 2 4 k 2 是反比例函数，求 k
练一练 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x=3时，y=－4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 y=6 时，求 x 的值.
解：(1) 设 y k . 因为当 x=3时，y=－4，所以有
x
4 k .
3
解得
k =－12.
因此
y 12 . x
(2) 把 y=6 代入 y 12 ，得 x
x
的值，并写出该反比例函数的解析式.
解：因为 y k 2 4 k 2 是反比例函数 x
所以
4－k2=0， k－2≠0.
解得 k =－2. 所以该反比例函数的解析式为 y 4 .
x
方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根 据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可.
练一练
1. 已知函数 y (k 2)(k 1) 是反比例函数，则
0.1
解得k=100.
O 0.1
s
所以p与S的函数表达式是 p 100 ；
S
（2）当S=0.5时，p
100 0.5
200.
三 建立简单的反比例函数模型
例4 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机 在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野 变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数 解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数.
6 12 . x
解得
x =－2.
例3：在压力不变的情况下，某物体承受的压强p Pa
是它的受力面积S m2的反比例函数，如图.
（1）求p与S之间的函数表达式；
p
（2）当S=0.5时，求p的值. 解：（1）设 p Sk（k≠0），
因为函数图象过点（0.1,1000）,
1000
代入上式，得 1000 k
x
k 必须满足 k≠2 且 k≠－1 .
2. 当m= ±1 时，y 2x m 2 是反比例函数.
二 确定反比例函数的解析式
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
解提：示设：y因为kx .y因是为x当的反x=比2时例，函y=数6，，所所以以设有 y k .
笔记本单价 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … x/元
购买的笔记 本数量y/本
20
15
12 10
6
4
通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？ 你还能举出这样的例子吗？
讲授新课
一 反比例函数的概念
合作探究 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，
请写出它们的解析式. (1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速
第1章
九年级数学上（XJ） 教学课件
反比例函数
1.1 反比例函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点) 2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知
条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点)
导入新课
情境引入
新学期伊始，小明想买一些笔记本为以 后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小 明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？
1.68 104
S
.
n
问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共 同特点？
v 1463， y 1000， S 1.68104 .
t
x
n
都具有 分式 的形式，其中 分子 是常数．
一般地，形如 y k (k为常数，k ≠ 0) 的函数， x
叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
思考：反比例函数 y k (k≠0) 的自变量 x 的取值范 x
解：设
f
k v
.
由题意知，当vຫໍສະໝຸດ =50时，f=80，所以
80 k .
50
解得
k =4000.
因此
f 4000 . v
当 v=100 时，f =40.
所以当车速为100km/h 时视野为40度.
当堂练习
1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，
x 和 y 成反比例函数关系的有
( B)
① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半 径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3； ③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的 半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的 速度为 x，放满一桶水的时间 y
把
x=2
和
y=6
代入上6式 ，k .就可求出常数 2
k
x 的值.
解得
k =12.
因此
y 12 . x
(2) 当 x=4 时，求 y 的值. 解：把 x=4 代入 y 12 ，得
x y 12 3.
4
方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一 般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式， 得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系 数； ④写出反比例函数解析式.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是
( A)
A. y 1
2x
B.
y
1 x2
围是什么？
因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例 函数自变量的取值范围.
例如，在前面得到的第一个解析式 v 1463 t
中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的 值时，v 都有唯一确定的值与其对应.
想一想：反比例函数除了可以用 y k (k ≠ 0) 的形式 x
度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化；
v 1463. t
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草 坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的 变化而变化；
y 1000 . x
(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占 有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的 变化而变化.
练一练 下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
y 3x1 yx
3 y 1
11x
是，k = 3 不是 是，k 1
11
y 3x 1
不是
y
1 x2
不是
例1 若函数 y k 2 4 k 2 是反比例函数，求 k
练一练 已知变量 y 与 x 成反比例，且当 x=3时，y=－4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 y=6 时，求 x 的值.
解：(1) 设 y k . 因为当 x=3时，y=－4，所以有
x
4 k .
3
解得
k =－12.
因此
y 12 . x
(2) 把 y=6 代入 y 12 ，得 x
x
的值，并写出该反比例函数的解析式.
解：因为 y k 2 4 k 2 是反比例函数 x
所以
4－k2=0， k－2≠0.
解得 k =－2. 所以该反比例函数的解析式为 y 4 .
x
方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根 据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可.
练一练
1. 已知函数 y (k 2)(k 1) 是反比例函数，则
0.1
解得k=100.
O 0.1
s
所以p与S的函数表达式是 p 100 ；
S
（2）当S=0.5时，p
100 0.5
200.
三 建立简单的反比例函数模型
例4 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机 在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野 变窄. 当车速为 50km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数 解析式，并计算当车速为100km/h 时视野的度数.
6 12 . x
解得
x =－2.
例3：在压力不变的情况下，某物体承受的压强p Pa
是它的受力面积S m2的反比例函数，如图.
（1）求p与S之间的函数表达式；
p
（2）当S=0.5时，求p的值. 解：（1）设 p Sk（k≠0），
因为函数图象过点（0.1,1000）,
1000
代入上式，得 1000 k
x
k 必须满足 k≠2 且 k≠－1 .
2. 当m= ±1 时，y 2x m 2 是反比例函数.
二 确定反比例函数的解析式
例2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2时，y=6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
解提：示设：y因为kx .y因是为x当的反x=比2时例，函y=数6，，所所以以设有 y k .
笔记本单价 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … x/元
购买的笔记 本数量y/本
20
15
12 10
6
4
通过填表，你发现 x，y 之间具有怎样的关系？ 你还能举出这样的例子吗？
讲授新课
一 反比例函数的概念
合作探究 下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，
请写出它们的解析式. (1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速
第1章
九年级数学上（XJ） 教学课件
反比例函数
1.1 反比例函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1. 理解并掌握反比例函数的概念. (重点) 2. 从实际问题中抽象出反比例函数的概念，能根据已知
条件确定反比例函数的解析式. (重点、难点)
导入新课
情境引入
新学期伊始，小明想买一些笔记本为以 后的学习做准备. 妈妈给了小明 30 元钱，小 明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢？
1.68 104
S
.
n
问题：观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共 同特点？
v 1463， y 1000， S 1.68104 .
t
x
n
都具有 分式 的形式，其中 分子 是常数．
一般地，形如 y k (k为常数，k ≠ 0) 的函数， x
叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
思考：反比例函数 y k (k≠0) 的自变量 x 的取值范 x
解：设
f
k v
.
由题意知，当vຫໍສະໝຸດ =50时，f=80，所以
80 k .
50
解得
k =4000.
因此
f 4000 . v
当 v=100 时，f =40.
所以当车速为100km/h 时视野为40度.
当堂练习
1. 生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，
x 和 y 成反比例函数关系的有
( B)
① x人共饮水10 kg，平均每人饮水 y kg；②底面半 径为 x m，高为 y m的圆柱形水桶的体积为10 m3； ③用铁丝做一个圆，铁丝的长为 x cm，做成圆的 半径为 y cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的 速度为 x，放满一桶水的时间 y
把
x=2
和
y=6
代入上6式 ，k .就可求出常数 2
k
x 的值.
解得
k =12.
因此
y 12 . x
(2) 当 x=4 时，求 y 的值. 解：把 x=4 代入 y 12 ，得
x y 12 3.
4
方法总结：用待定系数法求反比例函数解析式的一 般步骤：①设出含有待定系数的反比例函数解析式， ②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式， 得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系 数； ④写出反比例函数解析式.
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2. 下列函数中，y是x的反比例函数的是
( A)
A. y 1
2x
B.
y
1 x2
围是什么？
因为 x 作为分母，不能等于零，因此自变量 x 的取值范围是所有非零实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例 函数自变量的取值范围.
例如，在前面得到的第一个解析式 v 1463 t
中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的 值时，v 都有唯一确定的值与其对应.
想一想：反比例函数除了可以用 y k (k ≠ 0) 的形式 x
度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化；
v 1463. t
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草 坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的 变化而变化；
y 1000 . x
(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2 ，人均占 有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的 变化而变化.