二项展开式系数的求法

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二项式定理应用常见类型及其解题方法

二项式定理应用常见类型及其解题方法一、知识点回顾： 1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()na b +的二项展开式。

②二项式系数：展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r rr n T C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意准确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()nb a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，按降幂排列。

b 的指数从0逐项减到n ，按升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意准确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a 与b 的系数（包括二项式系数，包含符号）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r r n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==-0122(1)(1)()n r rn n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =，···1k k n n C C -=②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221r nn n n n n C C C C +++++=-。

二项式展开式求系数

二项式展开式求系数1. 什么是二项式展开式在代数学中，二项式展开式是指将一个形如(a+b)^n的表达式展开成多个项相加的形式。

其中，a和b是常数，n是非负整数。

二项式展开式的每一项都可由a和b 的幂次幂函数相乘得到。

例如，将(a+b)2展开，得到的结果为a2+2ab+b2。

这里的a2、2ab和b^2就是二项式展开式的三个项。

2. 二项式系数在二项式展开中，每一个展开后的项都有一个对应的系数。

这个系数称为二项式系数。

在(a+b)^n中，每一项的系数可以通过以下公式计算：C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)其中，C(n, k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数量。

3. 求解二项式系数的方法3.1. 直接计算法根据上述公式直接计算每一项的系数。

例如，在(a+b)^3中，我们可以计算出：C(3, 0) = 3! / (0! * (3-0)!) = 1C(3, 1) = 3! / (1! * (3-1)!) = 3C(3, 2) = 3! / (2! * (3-2)!) = 3C(3, 3) = 3! / (3! * (3-3)!) = 1所以，展开式(a+b)^3的系数分别为1、3、3和1。

3.2. 杨辉三角形法杨辉三角形是一种特殊的数字排列形式，其中每个数字等于它上方两个数字之和。

利用杨辉三角形，我们可以更快地求解二项式系数。

首先，我们构建一个n行的杨辉三角形。

在第i行的第j个位置，存储着C(i, j)的值。

例如，在构建一个4行的杨辉三角形时，得到：11 11 2 11 3 3 1然后，我们可以直接读取杨辉三角形中对应位置的值作为二项式展开式中每一项的系数。

4. 示例让我们以(a+b)^4为例来演示如何求解二项式展开式中的系数。

首先使用直接计算法：C(4,0) = 4! / (0! * (4-0)!) = 1C(4,1) = 4! / (1! * (4-1)!) = 4C(4,2) = 4! / (2! * (4-2)!) = 6C(4,3) = 4! / (3! * (4-3)!) = 4C(4,4) = 4! / (4! * (4-4)!) = 1所以，展开式(a+b)^4的系数分别为1、4、6、4和1。

人教课标版高中数学选修2-3：《二项式定理(第1课时)》教案-新版

1.3 二项式定理第一课时一、教学目标 1．核心素养通过二项式定理的推导过程的学习，提高学生的归纳推理能力，树立由特殊到一般的数学思想，增强学生的逻辑推理能力. 2．学习目标(1)初步掌握求二项展开式.(2)熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 3．学习重点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 4．学习难点熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项（如常数项、有理项）. 二、教学设计（一）课前设计1.预习任务（阅读教材完成）1.二项式定理：=+nb a ）（； 2.(1)n b a ）（+的二项展开式中共有项； (2)二项式系数：；(3)二项展开式的通项公式：=+1r T ，它是展开式的第项. 2．预习自测1.二项式91()x x-的展开式的第3项是( )A ．－84x 3B ．84x 3C ．－36x 5D ．36x 5 解：D2．(1＋x )7的展开式中x 2的系数是( ) A ．42 B ．35 C ．28 D ．21 解：D3．在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．解：－160 （二）课堂设计1．知识回顾(1)错误！未找到引用源。

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(3)错误！未找到引用源。

2．问题探究问题探究一探究归纳，形成二项式定理●活动一回顾旧知，回忆展开式(a+b)4=(a+b) (a+b) (a+b) (a+b)展开式中的各项是什么？思考：ab3是怎样来的？有多少个？引导学生追究每个系数的来源，借助于组合的思想找到规律，从中体会到探索的乐趣.归纳结论：由上面的探索得到：(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b4●活动二大胆猜想(a+b)n展开式中的各项是什么？归纳：一般对于任意的正整数n,有：(a+b)n=C0n a n+C1n a n-1b+…+C r n a n-r b r…+C n n b n(n∈N*)并指出：①这个式子所表示的定理叫二项式定理.右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式.各项系数C r n（r=0、1、2、…、n）叫做二项式系数.②式子中的C r n a n-r b r叫做二项展开式的通项.记做：T r+1=C r n a n-r b r.上述结论是从分析了少数特例后，得出了一般的结论，这种方法叫不完全归纳法，还需用数学归纳法证明，但这里教材不要求证明了.问题探究二利用二项式定理能解决问题？1.求二项式的指定项或其系数例1.（1）(1＋x)7的展开式中x2的系数是( )A．42 B．35 C．28 D．21【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选D 依题意可知，二项式(1＋x)7的展开式中x2的系数等于C27×15＝21.（2）在(2x2－1x)5的二项展开式中，x的系数为( )A．10 B．－10 C．40 D．－40【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：D.(2x2－1x)5的展开式的通项为T r＋1＝5rC(2x2)5－r(－1x)r＝5rC25－r(－1)r x10－3 r，令10-3r＝1得，r＝3，∴T4＝35C22(－1)3x＝－40x.∴x的系数是－40.例2.（1）在62()x x-的二项展开式中，常数项等于________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：-160.由通项公式得T r ＋1＝6r C x 6－r 2()r x-＝(－2)r 6r C x 6－2r，令6－2r ＝0，解得r ＝3，所以是第4项为常数项，T 4＝(－2)336C ＝－160.(2)已知8()ax x-展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( )A ．28B ．38C ．1或38D ．1或28【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：选C 由题意知48C ·(－a )4＝1 120，解得a ＝±2，令x ＝1，得展开式各项系数和为(1－a )8＝1或38.例3.(1) 在(x －2)5y)4的展开式中x 3y 2的系数为________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：480 (x －2)5的展开式的通项为T r ＋1＝5r C x 5－r (－2)r ，令5－r ＝3得r ＝2，得x 3的系数25C (－2)2＝40；y)4的展开式的通项公式为T r ＋1＝4r C 4－ry r ，令r ＝2得y 2的系数24C 2＝12，于是展开式中x 3y 2的系数为40×12＝480.(2) 在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是________．【知识点：二项式展开式的系数求法，考查运算能力】解：－15.从4个因式中选取x ，从余下的一个因式中选取常数，即构成x 4项，即－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4，所以x 4项的系数应是－1－2－3－4－5＝－15. 3．课堂总结【知识梳理】二项式定理及其通项公式1.二项式定理：01()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈2.(1)nb a ）（+的二项展开式中共有错误！未找到引用源。

二项展开式

二项展开式数学是一门神秘而美妙的学科，它隐藏着无数的谜团和奥秘，而二项展开式就是其中之一。

在数学中，二项展开式是一种用来展开和简化二项式的方法，它在代数、概率和统计等领域都有着广泛的应用。

本文将带领读者一起揭开二项展开式的神秘面纱，探索其背后的奥秘和美妙。

首先，让我们来了解一下什么是二项式。

在代数中，二项式是由两个项相加或相减而成的代数式，通常表示为(a + b)^n，其中a和b是任意实数，n是一个非负整数。

而二项展开式就是将这样的二项式进行展开，得到一个多项式的过程。

例如，对于(a + b)^2，它的二项展开式为a^2 + 2ab + b^2。

这个过程就是通过二项式定理来完成的，即(a + b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + C(n,2)a^(n-2)b^2 + ... +C(n,n)b^n，其中C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中取出k个元素的组合方式数。

二项展开式在代数中有着广泛的应用，它可以用来简化复杂的代数式，求解多项式的系数，以及展开和化简多项式等。

在实际问题中，二项展开式也有着重要的应用，比如在概率和统计中，它可以用来计算二项分布的概率，从而解决各种实际问题。

因此，掌握二项展开式的方法和技巧对于理解和应用数学来说是非常重要的。

接下来，让我们来探索一下二项展开式背后的数学奥秘。

在数学中，二项展开式与组合数学和排列组合有着密切的联系。

组合数学是研究集合中元素的组合方式和排列顺序的一门学科，而组合数就是用来计算从n个元素中取出k个元素的组合方式数的数学工具。

而二项式定理中的组合数C(n,k)就是用来表示这样的组合方式数的。

因此，二项展开式不仅是一种代数运算的工具，更是与组合数学和排列组合有着紧密联系的数学概念。

此外，二项展开式还与数学中的数列和级数有着密切的关系。

数列和级数是数学中研究无穷序列和无穷级数的一门学科，而二项展开式可以用来表示一些特殊的数列和级数。

二项式定理

二项式定理二项式定理binomial theorem二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664-1665年提出。

公式为：（a+b)^n=Cn0a^nb^0+Cn1a^(n-1）b^1+……+Cnna^0b^n此定理指出：1、（a+b)^n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数Cnr(r∈{0，1，2，……，n})叫做二项式系数。

等号右边的多项式叫做二项展开式。

2、二项展开式的通项公式（简称通项）为Cnr(a)^(n-r)b^r，用Tr+1表示（其中“r+1”为角标），即通项为展开式的第r+1项（如下图），即n取i的组合数目。

因此系数亦可表示为杨辉三角或帕斯卡三角形二项式定理（Binomial Theorem）是指（a+b)n在n为正整数时的展开式。

（a+b)n的系数表为：1 n=01 1 n=11 2 1 n=21 3 3 1 n=31 4 6 4 1 n=41 5 10 10 5 1 n=51 6 15 20 15 6 1 n=6…………………………………………………………（左右两端为1，其他数字等于正上方的两个数字之和）发现历程在中国被称为「贾宪三角」或「杨辉三角」，一般认为是北宋数学家贾宪所首创。

它记载于杨辉的《详解九章算法》（1261）之中。

在阿拉伯数学家卡西的著作《算术之钥》（1427）中也给出了一个二项式定理系数表，他所用的计算方法与贾宪的完全相同。

在欧洲，德国数学家阿皮安努斯在他1527年出版的算术书的封面上刻有此图。

但一般却称之为「帕斯卡三角形」，因为帕斯卡在1654年也发现了这个结果。

无论如何，二项式定理的发现，在中国比在欧洲要早500年左右。

杨辉三角1665年，牛顿把二项式定理推广到n为分数与负数的情形，给出了展开式，但并未给出进一步证明。

1811年，高斯对此进行了严格的证明，结果表明牛顿的猜想是正确的。

应用二项式定理在组合理论、开高次方、高阶等差数列求和，以及差分法中有广泛的应用。

二次项定理展开式常数项

二次项定理展开式常数项二次项定理是一个常见的数学定理，用于展开二次项式的式子。

它的应用十分广泛，不仅在高中数学课上经常出现，而且在工程、物理、经济等领域中也有着重要作用。

本文将从二次项定理的定义、应用和相关例题等几个方面进行详细介绍，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一重要的数学知识。

一、二次项定理的定义首先我们来看一下二次项定理的定义。

二次项定理是指对于任意实数a、b和c，二次项式(ax + b)^2的展开式可以表示为：(ax + b)^2 = a^2x^2 + 2abx + b^2其中，a、b分别为二次项式中x的系数和常数项。

这个展开式可以让我们更方便地计算二次项式的值，而不必每次都进行乘法运算，节省了时间和精力。

二、二次项定理的应用二次项定理在数学中有着广泛的应用。

首先，它可以用来解决一些二次方程的问题。

对于形如ax^2 + bx + c = 0的二次方程，我们可以利用二次项定理来进行因式分解和求根。

其次，二次项定理也可以应用于一些数学证明和计算中，例如在微积分中的曲线面积计算、空间几何中的体积计算等。

此外，二次项定理还可以在物理学和工程技术中被广泛运用，例如在动力学、热力学等方面的问题中。

三、相关例题下面我们将通过一些具体的例题来演示二次项定理的应用。

例如，如果给定二次项式(3x + 5)^2，我们可以利用二次项定理展开这个式子：(3x + 5)^2 = 3^2x^2 + 2*3*5x + 5^2= 9x^2 + 30x + 25这样我们就得到了展开式9x^2 + 30x + 25。

同样地，对于其他类似的二次项式，我们也可以利用二次项定理来展开计算。

四、总结通过以上的介绍和例题演示，我们可以看到二次项定理在数学中具有重要的作用。

它不仅可以方便地展开二次项式，还可以应用于解决一些数学问题和实际应用中的计算。

因此，对于学习数学的同学和从事相关行业的人士来说，掌握二次项定理是至关重要的。

希望这篇文章能够帮助大家更好地理解和掌握二次项定理的知识，为日后的学习和工作打下坚实的基础。

二项展开式终极拿分必读

二项展开式是高中数学人教A 版选修2-3重点内容，也是必考内容。

分值稳定在5分，题型稳定在填空题。

难度为简单到中等。

是考生必得分的题目。

下面从基础知识到重点题型为同学们做总结，喜欢的请收藏。

一、基础知识：①n )b a +（展开式共有n+1项。

②n )b a +（展开式的二项式系数和为n 2。

奇偶项二项式系数和各占一半即1-n 2。

含有一个常数及一个变量的二项式求展开式系数和只需设变量为1即可。

③n )b a +（展开式二项式系数有最大值，其排列方式就是杨辉三角，由小到大再小。

具体讲，展开式有奇数项的，中间一项即21n +项最大。

为偶数项的12n 2n +或项最大。

④求展开式系数，都要用赋值法，常用赋值为0，-1，1.⑤展开式通项公式：1r 1r n 1r n r b ac T -+--=（灵魂哦）二、常见题型：①求某项。

②求某（些）项系数。

三、常用方法：赋值法。

四、重点题型及对策：例一：（2020全国三卷14,5分）62x 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+展开式的常数项是_____________. 分析：考察二项展开式的通项公式，属于简单题，分母有变量，先化简，再求值。

解： 62x 2x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=()612x 2x -+，由1r 1r n 1r n r b a c T -+--==1r 1r -721r 6)x 2()(x c --- =r 3-151r 61-r r x c 2T -=，常数项指数为0，故令15-3r=0,得r=5,代入得=5T 464c 2=240.记住，先化简再求值永远是王道。

例二：（2019全国三卷4，改编,5分）42)x 1)(x 21++（展开式中4x 的系数是___________. 分析：考察通项公式，指数幂运算性质及乘法分配律。

无需化简。

（原式是两项相乘，由乘法分配律）出现四次幂的情况可能是：①1.4ax 或者②22bx .x 2。

只要求出第二个式子展开式中4次幂和2次幂系数即可。

二项式定理题型及解法

二项式定理题型及解法1．二项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。

②二项式系数:展开式中各项的系数rnC (0,1,2,,)r n =⋅⋅⋅. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r rn C a b -叫做二项式展开式的通项。

用1r n r r r nT C a b -+=表示。

3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。

②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。

()n a b +与()n b a +是不同的。

③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。

b 的指数从0逐项增到n ，是升幂排列。

各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅项的系数是a与b 的系数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r rn n nn n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。

二项展开式所有项的系数之和

二项展开式所有项的系数之和可以通过令二项式中的变量为1来求得。

例如，对于二项式(a + b)^n，其展开式的所有项系数之和可以通过将a和b都替换为1来求得，即：
(1 + 1)^n = 2^n
因此，二项展开式所有项的系数之和为2^n。

这个结论可以通过二项式定理的证明来推导。

在二项式定理中，二项式(a + b)^n 的展开式中的每一项都可以表示为C(n, k) * a^(n-k) * b^k，其中C(n, k) 表示组合数，即从n个不同元素中取出k个元素的方案数。

因此，当a和b都等于1时，每一项的系数就是C(n, k)，而所有项的系数之和就是所有可能的k值对应的C(n, k) 之和，即2^n。

二项定理展开式

二项定理展开式1. 介绍二项定理是高等数学中的一个重要定理，它描述了如何展开一个二项式的幂。

二项定理最早由法国数学家Blaise Pascal 在17世纪提出，并由数学家Isaac Newton 进一步完善。

它在代数、概率论、组合数学等领域都有广泛的应用。

二项定理的展开式可以用于计算高次幂的值，简化复杂的计算过程。

它可以将一个二项式的幂展开为一系列项的和，其中每一项的系数和指数都可以通过组合数来计算得出。

2. 二项定理的表述二项定理可以用如下的公式来表述：(a +b )n =∑(n k )nk=0a n−k b k 其中，a 和b 是实数或复数，n 是非负整数，(n k)表示组合数，定义为： (n k )=n!k!(n −k )!在展开式中，每一项的系数是(n k)，指数分别是n −k 和k ，k 的取值范围是从0到n 。

3. 二项定理的证明二项定理的证明可以通过数学归纳法来完成。

我们可以通过以下步骤来证明该定理：步骤1：验证n =0的情况当n =0时，等式左边为(a +b )0，等式右边为(00)a 0b 0。

根据组合数的定义，(00)=1。

因此，等式左右两边相等，成立。

步骤2：假设n =k 时等式成立假设当n =k 时，等式(a +b )k =∑(k i )ki=0a k−i b i 成立。

步骤3：证明n =k +1时等式成立当n =k +1时，等式左边为(a +b )k+1，等式右边为∑(k+1i )k+1i=0ak+1−i b i 。

我们可以将等式右边的求和式分为两部分：∑(k +1i )ki=0a k+1−i b i +(k +1k +1)a k+1−(k+1)b k+1 根据组合数的性质，(k+1k+1)=1。

因此，上式可以简化为： ∑(k +1i )ki=0a k+1−i b i +a 0b k+1 进一步简化得：a k+1+∑(k +1i )ki=1a k+1−i b i +b k+1 我们可以将第一项和最后一项合并为(a +b )k+1，得到：(a +b )k+1=a k+1+∑(k +1i )ki=1a k+1−i b i +b k+1 根据假设，我们可以将等式右边的求和式改写为：(a +b )k+1=a k+1+∑(k +1i)ki=1a k+1−i b i +b k+1=a k+1+b k+1+∑(k i −1)k i=1a k+1−i b i +∑(k i )ki=1a k+1−i b i 将两个求和式合并，得到：(a +b )k+1=a k+1+b k+1+∑((k i −1)+(k i))ki=1a k+1−i b i 根据组合数的性质(k i−1)+(k i )=(k+1i)，上式可以进一步简化为： (a +b )k+1=a k+1+b k+1+∑(k +1i )ki=1a k+1−i b i 因此，当n =k +1时，等式也成立。

二项式定理

二项式定理1．二项式定理(1)定理：公式(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)叫做二项式定理．(2)通项：T k＋1＝C k n a n－k b k为展开式的第k＋1项．2．二项式系数与项的系数(1)二项式系数：二项展开式中各项的系数C k n(k∈{0,1，…，n})叫做二项式系数．(2)项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念．3．二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即C m n＝C n－mn增减性当k＜n＋12时，二项式系数逐渐增大；当k＞n＋12时，二项式系数逐渐减小最大值当n是偶数时，中间一项⎝⎛⎭⎫第n2＋1项的二项式系数最大，最大值为C n2n；当n是奇数时，中间两项⎝⎛第n－12＋1项和第n＋12＋1)项的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为12C－nn或12C＋nn4．各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋C2n＋…＋C k n＋…＋C n n＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C1n＋C3n＋C5n＋…＝C0n＋C2n＋C4n＋…＝2n－1.1．二项式的通项易误认为是第k项实质上是第k＋1项．2．(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第一个量a 与第二个量b 的位置不能颠倒．3．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分，包含符号，二项式系数仅指C k n (k ＝0,1，…，n )．[试一试]1．(2014·黄冈模拟)设复数x ＝2i 1－i(i 是虚数单位)，则C 12 013x ＋C 22 013x 2＋C 32 013x 3＋…＋C 2 0132 013x 2 013＝( ) A ．i B ．－i C ．－1＋iD ．1＋i解析：选C x ＝2i 1－i ＝－1＋i ，C 12 013x ＋C 22 013x 2＋…＋C 2 0132 013x2 013＝(1＋x )2 013－1＝i 2 013－1＝i －1，选C.2．(2014·深圳调研)若(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5，则a 3＝________.解析：根据已知条件得，T 3＋1＝C 35(2x )3＝80x 3，∴a 3＝80. 答案：803．设二项式(x －a x )6的展开式中x 2的系数为A ，常数项为B ，若B ＝4A ，则a ＝________.解析：T k ＋1＝C k 6x 6－k ·⎝⎛⎭⎫－a x k ＝(－a )k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝2，得k ＝2，A ＝a 2C 26＝15a 2；令6－2k ＝0，得k ＝3，B ＝－a 3C 36＝－20a 3，代入B ＝4A 得a ＝－3.答案：－31．赋值法研究二项式的系数和问题“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax ＋b )n 、(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ∈R )的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对形如(ax ＋by )n (a ，b ∈R )的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．2．利用二项式定理解决整除问题的思路要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开．3．二项式系数最大项的确定方法(1)如果n 是偶数，则中间一项⎝⎛⎭⎫第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项的二项式系数最大；(2)如果n 是奇数，则中间两项⎝⎛第n ＋12项与第⎝⎛⎭⎫n ＋12＋1 )项的二项式系数相等并最大． 4．二项展开式系数最大项的求法：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第k 项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A k ≥A k －1A k ≥A k ＋1从而解出k 来，即得． [练一练]1．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512 012＋a 能被13整除，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．11D ．122．若x ∈(0，＋∞)，则(1＋2x )15的二项展开式中系数最大的项为( ) A ．第8项 B ．第9项 C ．第8项和第9项 D ．第11项考点一二项式中的特定项或特定项的系数1．(2013·江西高考)⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40D ．－402．(2014·浙江五校联考)在⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 5的展开式中x 的系数为( ) A ．5 B ．10 C ．20 D ．40.3．(2013·安徽高考)若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中x 4的系数为7，则实数a ＝________.[类题通法]。

二次项展开式

二次项展开式引言：在代数学中，二次项展开式是指将一个二次多项式通过配方法转化为标准形式的过程。

这种展开式常用于解决一些与二次方程相关的问题，如求根、确定曲线的特性等。

它是代数学中的重要概念，在数学的各个领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将详细介绍二次项展开式的概念、求解方法和应用。

一、二次项展开式的概念和意义1. 定义：二次项展开式是将一个二次多项式通过配方法转化为标准形式的过程。

二次多项式的一般形式为：ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a ≠ 0。

2. 意义：二次项展开式的意义在于将复杂的二次多项式转化为更简单的形式，便于我们进行进一步的计算和分析。

通过展开式，我们可以更加清晰地看到二次多项式中各个项的系数和次数，从而更方便地进行求根、求导、积分等操作。

二、二次项展开式的求解方法1. 配方法：配方法是二次项展开式中最常用的求解方法之一。

它的基本思想是将二次多项式的二次项与一次项的系数通过合适的方式配成平方，从而得到一个完全平方的二次项。

具体步骤如下：(1) 将二次多项式的一次项系数b除以2，并取其平方，即(b/2)^2。

(2) 将二次多项式的常数项c减去(b/2)^2，即c - (b/2)^2。

(3) 将二次多项式的一次项系数b重新配到完全平方项上，并写成一个完全平方的形式，即(b/2)^2 + b。

(4) 将步骤(3)中得到的完全平方形式与步骤(2)中得到的值相加，即得到完整的二次项展开式。

2. 公式法：除了配方法，我们还可以使用公式法求解二次项展开式。

根据一元二次方程的求根公式，我们可以得到二次项展开式的公式表示形式。

一元二次方程的求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a我们可以将二次多项式的一次项系数b、常数项c代入上述公式，通过求解来得到展开式中的根x的值。

三、二次项展开式的应用1. 求二次多项式的根：通过二次项展开式，我们可以更方便地求解二次多项式的根。

二项式展开定理

二项式展开定理一、定理及基本概念1. *)()(110N n n C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--ΛΛ;2. 项数:一共项;3. 通项:;一定注意两点:1) 涉及“第几项”得时候,一定严格按照通项公式;2) 注意项数与系数得关系。

4. 二项式系数与各项系数之间得联系与区别。

二、性质1. 二项式系数得对称性:;2. 二项式系数与:;3. 奇数项二项式系数与=偶数项二项式系数之与=;4. 二项式系数最大项:1) 当就是偶数时,此时项数就是奇数,中间项得二项式系数最大;2) 当就是奇数时,此时项数就是偶数,中间两项得二项式系数=最大。

5. 系数最大项:注意系数最大与二项式系数最大得区别。

基本题型解题思路及步骤一、利用通项公式求某项系数1. 写出通项公式得时候注意:1) 所有得系数写在最前面,包括符号;2) 所有根式都写出分数次数形式;3)明白什么就是有理项;4)注意得取值范围。

2.只有一个式子:写出通项公式,根据系数关系,确定满足条件得项。

3.有两个式子相乘:1)分别用通项公式打开,组合后瞧满足条件得项;2)只打开一个,观察另一个得形式,判断满足条件得项;一定注意系数;3)有多个得,注意各自得取值范围与相互之间得关系。

二、赋值求系数与1.常用得赋值就是令,具体要通过所求得式子来判断赋值;2.所有系数之与:令;二项式系数之与:;3.所有系数绝对值之与:令;变换原来式子里得符号,边为相加;再令;4.求导与积分得形式。

三、对二项式定理得理解:组合项、整除1.二项式定理得理解:都表示一个整体;2.根据所求得问题,对前面得进行重新组合。

例题讲解一、求某项得系数1.求展开式中第几项为常数项,并求常数项得值。

解:直接用通项公式打开:;(注意系数都放一起)常数项即得次数为0,也即:;所以常数项为第4项;且常数项为:2.在二项式得展开式中,第四项得系数为56,求得系数。

二次项展开式公式

二次项展开式公式二次项定理展开式为：（a+b）^n=Cn^0*a^n+Cn^1*a^n-1b^1+…+Cn^r*a^n-rb^r+…+Cn^n*b^n（n∈N*）。

右边的多项式叫做（a+b）n的二次展开式，其中的系数Cn^r（r=0，1，……n）叫做二次项系数，式中的Cn^r*a^n-rb^r叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示，即通项为展开式的第r+1项：Tr+1=Cn^r*a^n-rb^r。

二次项定理，又称为牛顿二项式定理，它是由艾萨克·牛顿于1665年发现的。

需要主要的关于通项公式的几个要点有：1. 项数：总共二项式展开有n+1项，通常通项公式写的是r+1项，2. 通项公式的第r+1项的二次项系数是Cnk，二次项系数不是项的系数3. 如果二项式的幂指数是偶数，中间的一项二次项系数最大。

如果是奇数，则最中间2项最大并且相等。

4.指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中a、b的指数和为n 二项式通项公式的应用场景很多，利用通项公式，很容易就可以求出某个二项式里面的第几项的二次项系数，注意，展开式中的a按降幂排列，b按升幂排列，所以第四项就是a4b3项。

利用通项公式在排列组合中还有一个非常经典的应用：伯努利概型。

他研究的是在一个n重独立试验中，每次试验的结果只有2个，这样的试验就叫做伯努利概型。

而计算伯努利改型中事件A在各次试验中发生的概率，则符合我们二次项通项公式：从这个图可以看出，P(k)和通项公式表达方式完全相同，不过是研究a 和b变成p和q（p+q=1）。

比较景点的应用提醒有，比如某人射箭，每次命中率是1/3，那么他连续射击10次命中7次的概率，那么就可以很快利用这个定理求出了，P=1/3，q=2/3，综上，二项式的通项公式和二项式展开定理是数学必备的知识点。

二项展开式的公式

二项展开式的公式
二项展开式是代数中一个非常重要的公式，用于展开任意
的二项式，即形如(a + b)^n的表达式。

在代数中，二项展开
式的公式是十分常用和基础的，具有广泛的应用。

二项展开式的公式
二项展开式的公式可以表示为：
(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) a^(n-1) b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + … + C(n,k) * a^(n-k) * b^k + … + C(n,n) * a^0 * b^n
其中，n为一个非负整数，a和b为任意实数或变量，
C(n,k)表示组合数。

二项式系数的计算
在二项展开式的公式中，组合数C(n,k)的计算方式为：
C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)
其中，n!表示n的阶乘，即n(n-1)…1。

而k!表示k的阶乘，即k(k-1)…1。

二项展开式的应用
二项展开式在代数中有着广泛的应用，比如在概率论中的
二项分布、二项式定理的推导等。

通过二项展开式，我们可以快速计算高次幂的多项式，简化数学表达式，方便代数运算。

总结
二项展开式作为代数中的基础公式，具有重要的作用和价值。

通过掌握二项展开式的公式和计算方法，可以更加灵活地进行数学推导和计算，为更高级的数学理论打下坚实的基础。

二项式的通项公式及其应用

【例 1】(x2＋x＋y)5 的展开式中 x5y2 的系数为( )
A．10
B．20
C．30
D．60
【例 2】将
x＋4－4 x
3 展开后，常数项是________．
变式
1：
x2
4 x2
4
3
的展开式中的常数项为（
）
A． 160
B． 64
C．160
D． 64
x＋1＋变式 1： 2 x
2 5(x＞0)的展开式中的常数项为________.
①求展开式中的指定项（常数项、有理项等）或其系数
【例 1】在二项式
x2－1 x
5 的展开式中，含
x4 的项的系数是(
)
A．10
B．－10
C．－5
D．20
试卷第 1页，总 5页
变式 1：（2x﹣ ）4 的展开式中 x 的系数为（）
A．﹣32
B．32
C．﹣8
变式 2：在（ ﹣x）4 的展开式中，二次项的系数为（）
【例 8】若(1＋3x)n(其中 n∈N 且 n≥6)的展开式中 x5 与 x6 的系数相等，则 n＝________.
【例 9】设二项式 (x a )6 (a 0) 的展开式中 x3 的系数为 A，常数项为 B，若 B=4A，则 a x
的值是
．
二、求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量求解形如(a＋b)m(c＋d)n 的展开式问题的思路 1．若 m，n 中有一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求解。 2．观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－ x)2。 3．分别得到(a＋b)m，(c＋d)n 的通项，综合考虑。

二项展开式的通项公式的应用

二项展开式的通项公式的应用二项展开式的通项公式是数学中的重要工具，广泛应用于代数、组合数学、微积分和概率论等领域。

在本文中，我们将讨论二项展开式的通项公式及其应用。

我们将从二项定理开始，然后介绍二项展开的通项公式，最后探讨一些实际应用。

二项定理是指(a+b)^n的展开式，其中a和b是实数，n是一个非负整数。

二项定理可以表示为：(a+b)^n=C(n,0)a^nb^0+C(n,1)a^(n-1)b^1+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,n-1)a^1b^(n-1)+C(n,n)a^0b^n在上述公式中，C(n,k)表示从n个元素中选择k个元素的组合数，也可以用以下公式来表示：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)其中，n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1二项展开的通项公式如下所示：C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)*a^(n-k)*b^k现在，让我们来看一些二项展开式的具体应用。

1.代数中的应用：二项展开的通项公式可以用于求解各种代数方程式。

例如，我们可以利用通项公式来求解(a+b)^2的展开式，并应用到一些复杂的代数问题中。

2.组合数学中的应用：组合数学是研究离散结构和计数的一个分支。

二项展开的通项公式提供了计算组合数的方法。

例如，在一个集合中选择k个元素的组合数可以通过通项公式C(n,k)来计算。

3.概率论中的应用：在概率论中，我们经常需要计算事件发生的概率。

二项展开的通项公式可以用于计算二项分布的概率。

二项分布是一种离散概率分布，描述在重复n次独立的伯努利试验中，成功次数为k次的概率。

4.统计学中的应用：在统计学中，我们经常需要计算组合数，用于计算样本的排列和组合的数量。

二项展开的通项公式可以用于计算这些组合数，从而进行参数估计和假设检验。

5.微积分中的应用：在微积分中，二项展开的通项公式可以用于求解多项式的展开式。

这在求导和积分方面都有广泛的应用。

n次二项式展开公式

n次二项式展开公式n次二项式展开是指将形如(a+b)^n的表达式展开成多项式的形式。

在展开过程中，根据二项式定理，每一项的系数可以通过组合数的关系来确定。

本文将以n=4为例，详细介绍n次二项式展开公式的应用。

一、二项式定理的基本原理二项式定理是数学中的重要定理之一，它表明对于任意实数a和b 以及正整数n，有如下展开公式：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + C(n,2)*a^(n-2)*b^2 + ... + C(n,n-1)*a^1*b^(n-1) + C(n,n)*a^0*b^n其中C(n,k)表示组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数，计算公式为：C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)二、n次二项式展开的具体步骤以(n=4)为例，将(a+b)^4展开成多项式的形式。

根据二项式定理，展开的各项系数可以通过组合数的关系来确定。

具体步骤如下：1. 将(a+b)^4展开成多项式形式，即(a+b)^4 = C(4,0)*a^4*b^0 + C(4,1)*a^3*b^1 + C(4,2)*a^2*b^2 + C(4,3)*a^1*b^3 + C(4,4)*a^0*b^4。

2. 根据组合数的计算公式，计算各项的系数：C(4,0) = 4! / (0!(4-0)!) = 1C(4,1) = 4! / (1!(4-1)!) = 4C(4,2) = 4! / (2!(4-2)!) = 6C(4,3) = 4! / (3!(4-3)!) = 4C(4,4) = 4! / (4!(4-4)!) = 13. 将各项系数代入展开公式，得到展开后的多项式：(a+b)^4 = 1*a^4*b^0 + 4*a^3*b^1 + 6*a^2*b^2 + 4*a^1*b^3 + 1*a^0*b^4= a^4 + 4*a^3*b + 6*a^2*b^2 + 4*a*b^3 + b^4三、n次二项式展开的应用举例n次二项式展开在代数学中有广泛的应用。