理解物性的基本概念01
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1 e
( Ei ) / k BT
a
• 当满足条件μ>>kT时， • exp〔 (E-μ)／ kBT 〕 >> 1， • 系统是非简并的，费米统计、玻色-爱因斯 坦统计与玻耳兹曼统计在形式上是没有区 别的，即量子统计可由经典的玻耳兹曼统 计代替。
• 实验和理论表明，所有自旋量子数为1/2的粒子 (电子、质子、中子、中微子、μ粒子等)都是费 米子；而所有自旋量子数为整数的粒子(光子、介 子等)都属于玻色子； • 容易理解：任意数量玻色子或偶数费米子组成的 复合粒子(其自旋为整数)的行为如同玻色子，而 奇数费米子组成的复合粒子(其自旋为半整数)则 是费米子。例如，氢(1H)、4He、7Li）原于等都是 玻色子，而2H、3He、6Li原子都是费米子。
• 在量子统计中，粒子是全同的并且是不可区分的。 所谓不可区分是指只能区分每一个能级上有多少 粒子，但不能区分是哪几个粒子。 • 如果这些粒子遵从泡利不相容原理，因而不能有 两个粒子处于同一量子态Ei(单粒子态，其配分数 或占有数ni=0或1)，系统的波函数必然是反对称 的(交换两个粒子，波函数反号)，满足所有这些 要求的粒子称为费米子。费米子所遵从的统计法 为费米—狄拉克统计法; • 如果这些粒子不受泡利不相容原理的约束．因此 系统对于能够处于相同量子态Ei的粒子数目没有 限制(占有数ni=0 ，1．2，……)，描写粒于系统 的波函数必然是对称的(交换两个粒子，波函数不 变)，满足这些要求的粒子为玻色子。玻色子遵从 玻色—爱因斯坦统计。
理解物性的基本概念
量子特征
• 波粒二象性 • 直觉上容易理解，电于是一种粒子，而光则是波。 • 1897年汤姆孙在实验中观察到阴极射线在电场和磁 场的偏转，从而确定电子具有质量和电荷以后，电 子就被确定为一种粒子了，因为它具有作为粒子的 全部条件。 • 而在经典光学以及麦克斯韦经典电磁理论中、光则 总是被处理为电磁波，因为它具有波动的全部性质， 如衍射、干涉和色散，光的颜色对应于波长，并且 没有在牛顿力学中处理粒子运动所必须的质量。
• 满足条件 kBF EF 的温度 F 为费米温度。
• 与费米能对应的波数
2mEF kF 为费米波数。
• 对玻色子系统，单粒子态Ei的平均占有数为玻 色-爱因斯坦分布
ni
1 e
Ei
k BT
1
或对于单粒子能级分布非常稠密的情形采用单粒子 态密度的概念，态密度分布遵从玻色分布函数：
经典统计与量子统计
• 宏观上，材料是由大量粒子所组成的。在 考察材料的宏观物理性质时，通常涉及的 是大量粒子所组成系统的统计平均。 • 考察由N个粒子所组成的孤立体系，每一个 粒子可以一定几率处于能量为E1，E2， E3，……的态。 • 在一个特定的时刻，粒子分布在不同的态 上，有n1个粒子在能量为E1的态，n2个粒子 在能量为E2的态，等等。
• 比波动力学稍早出现的还有 W.K.Heisenberg1925年提出的矩阵力学. 1926年, E.Schrödinger发现这两种理论在 数学上是等价的. 此后, 两大理论统称量 子力学. • P.A.M.Dirac用算符形式重新表述了量子力 学, 使其成为一个概念完整、逻辑自洽的 理论体系.
• 光子是一类重要的玻色子，在研究能级间的自发 辐射跃迁和受激辐射跃迁中，玻色-爱因斯坦统计 构成了光子在各能级统计分布的基础。 • 对俘获在空腔中，与腔壁原子处于热平衡的电磁 辐射-黑体辐射的分析，就是玻色-爱因斯坦统计 应用于光子系统的著名例子；玻色把黑体辐射当 作一种光子气体处理，研究系统中光子在各种能 级上的分布。 • 爱因斯坦断定，将各个光子分布于各个能级的过 程中隐含的基本事实就是，光子是不可分辨的， 即把系统看成是全同的且不可分辨的量子-玻色子， 由玻色-爱因斯坦统计可以推导出黑体辐射的普朗 克公式。
• 由于粒子的相互作用，粒子在资用能级上的分布 是变化着的，或者说表示N个粒子在资用能态之间 的配分(分布)的数目n1， n2， n3 ，……是变化着 的。 • 但对于系统的每一个宏观态，总有一个比其他任 何配分都更为有利的配分，或者说，给定系统的 物理条件(粒子数、总能量)，就有一最可几的配 分，达到这个配分时，就说这个系统处于统计平 衡。 • 通常获得的材料宏观的物理性质，就是在统计平 衡下的统计平均值。
• 决定材料物性的两类主导因素： • 一类是原子系统，通常作为经典粒子处理， 反映了位臵序或粒子序(性)的效应； • 另一类是电子系统，通常表现出明显的量 子力学特征，反映了动量序或德布罗意波 序(性)的效应。 • 究竟哪一种序占主导地位，需要看体系的 特征尺度或者粒子的平均间距a是否达到德 布罗意波长λ的量级，如果a>λ,则粒子序为 主.
• 因为在费米—狄拉克统计中．泡利不相容原理阻 止粒子积聚在基能级上，因此，零温度时，粒子 占有最下面的一些资用能级，直到费米能EF， EF 表示该系统中费米子的最大能量。 • 在较高温度时，较低能量的态通过吸收能量从而 转移到(占有)能量大于EF的态， • 但对于 kBT>>EF的温度，因为所有低能量的态全 部被占有，不相容原理不允许再把一些费米子加 到这些态中去，因此只有自由能量接近EF的那些 费米子能够通过吸收较小的能量kBT而移至费米能 以上的未被占有的态中， • 而处于距费米面较远的低能态的费米子则不能通 过与周围环境交换能量而在费米面下能态间移动。 除非它获得足够的能量(如吸收光子)而跃迁到费 米面以上。图8-3形象地给出了这种过程。
• 轻元素氦则是一个例外。氦的简并温度5K，由于 氦原子间很弱的范德瓦尔斯力，它们具有很低的 液化温度(4He4.2K，3He3.2K)，并能保持液态到 绝对零度。所以氦液体表现出超流动性，这是原 子系统的量子行为。 • 而若干氦(3He)原子构成的集团(团簇,cluster)， 其稳定结构和能态也不是其他重惰性元素团簇由 位臵序决定的刚性球堆积壳层结构所能解释的， 而体现出He对单粒子本征态的满壳层占据，与超 流动性一样，是典型的量子力学现象。
• 在费米子系统，单粒子态Ei的平均占有数为 费米-狄拉克分布
ni
1 e
Ei EF
k BT
1
或对于单粒子能级分布非常稠密的情形采用单粒子 态密度的概念，态密度分布遵从费米分布函数：
f (E)
1 e
( E EF ) / k B T
1
• 式中的EF为化学势， 常称为费米能(费米势， 费米能级)．在材料物 理学中起着非常重要 的作用。图8-2示出了 三种不同温度下的平 均占有数。当T＝0时， 直到E=EF的所有能态 全部被占有(ni=1)， 而对于所有E＞EF的态 全部空着(ni=0).
1918年，Planck获诺贝尔物理学奖. 1921年，Einstein 的光量子理论获诺贝尔物理学奖. 1922年, Bohr获诺贝尔物理学奖. 1929年, de Broglie获诺贝尔物理学奖 1932年，Heisenberg获诺贝尔物理学奖； 1933年，Schrödinger与Dirac共享诺贝尔物理学奖. 1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊获得诺贝尔物理学奖. 1954年，M. Born对波函数物理意义解释获诺贝尔物理学 奖
• 1924年L.V.de Broglie（德布罗意）基于宇宙的 统一起源的信念，根据物理学定律的对应性的考 虑，提出了电子的波粒二象性的假说： • 与一个动量为p、能量为E的粒子相联系的单包场 的波长λ或频率ν通过普朗克常数相联系： • ν= E / h λ= h / p
• 这样，电磁场和物质场，光与粒子的动力学性质 (即动量和能量)，获得了统一的定量表述 • λ= h / p被称为德布罗意波长。
xp x h y p y h z p z h
不 确 定 原 理 与 物 质 的 波 动 性 相 一 致
能量-时间不确定关系式
粒子在某能级上存在的时
间τ越短，该能级的不确定度
程度ΔE 就越大. 只有粒子在 某能级上存在的时间无限长， 该能级才是完全确定的. 能级加宽导致了谱线加宽:
• 有三种统计法。 • 对于粒子性占主导的经典系统，通常采用麦克斯 韦-玻耳兹曼分布律，构成经典统计。 • 对于波动性占主导的系统．需要采用量子统计。 • 经典系统是由全同的但可区别的粒子所组成的系 统。 • 所谓全同粒子，是指这些粒子具有相同的结构和 组成； • 所谓可区别，是指在经典系统中每一个粒子在原 则上有确定的轨迹可以跟踪。例如处于晶格上的 原子，是可以确切地加以区分的，是适合于用经 典统计来处理问题的。
不确定原理
1927年, W. K. Heisenberg提出了微观领域
的不确定原理(uncertainty principle): 有这样一些成对的可测量, 要同时测定它们 的任意精确值是不可能的. 其中一个量被测得越 精确, 其共轭量就变得越不确定. 例如, 坐标与相应的动量分量、方位角与动 量矩等.
• 德布罗意波长是温度的函数，如果令粒子 的动能等于平均热能．则等效地可以通过 温度的界限来确定是粒子序亦或是波序占 主导作用，该温度
• T>T0，粒子序占主导地位， • T<T0，则波序占主导地位。 • 例如，取特征尺度为原子间的平均间距，在凝聚相其典型 值为10-10m的量级， • 对于电子，由于其的质量很小， T0高达104K。一般情况 下，T<T0，故电子系统的行为突出地反映了波序的效应。 • 而原子系统，由子原子的质量为电子质量的103倍以上， T0约20K．一般的物质．在远高于T0的温度就已固化，因 而就凝聚物质的原子排列而言，粒子序应占主导地位．总 可做经典的处理。
量子力学被许多科学家认为是20世纪科学
史上最重要的成就，是低能量微观粒子运动的
根本规律. 它揭开了微观世界的奥秘, 大大深
化了人类对自然界的认识, 推动着半导体、电
子计算机、激光、超导等新技术飞速发展.
有的科学家估计, 当今世界国民经济总值
的25%来自与量子现象有关的技术.
• • • • • • • •
• 由于光子在各能级的分布，对于每一频率，都有 一个对应的黑体辐射强度，只取决于腔壁的温度。 • 由于光子的不可分辨性，在同一能态上的粒子数 只受统计分布所制约．在某能态上光子数可以无 限的增加，并发生光子在动量空间的凝聚。 • 例如通过受激发射，可以形成激光，其特征为大 量光子占有同一状态，即具有相同的能量和动量， 使激光束具有良好的相干性、单色性、方向性和 高亮度，在现代科学技术中获得了广泛的应用。
• 粒子在低能级的凝聚是玻色子系统的重要性质。 当化学势增大并趋向于最低能级(设为零)时， 零能级的分布将趋于无穷，意味着粒子在最低 能级的凝聚，即所谓的玻色-爱因斯坦凝聚 (Bose-Einstein Condensation BEC)现象。 • 定义一临界温度Tc，使得当T＝Tc时占据零能级 以上各能级的粒子数N（E＞０)＝∑ni，等于总 的粒子数N0 ，当T＜Tc时，分布于激发态上的 粒子数将减少，而将多余的玻色子全部推到基 态上去，处于基态的粒于数为：
f (E)
1 e ( E ) / k BT 1
• 式中的μ为化学势。玻 色分布函数如图8-4所 示。当E →μ时，f(E) →∞。对于任何E，总 应有μ＜E，否则有些 占据数成为负数而没有 意义。所以如果单粒子 能量的最低值选为0， 必有μ≤0。
• 引入一个参数a，可以将费米-狄拉克分布、玻 色-爱因斯坦分布和经典统计的玻耳兹曼分布 统一写为：
波函数
• 利用德布罗意波粒二象性．一个粒子可用一个物 质波(德布罗意波)来表示。 • 描述它存在于时空中的波动方程.就是今天众所周 知的Schrö dinger方程， • 方程中波函数Ψ的物理意义, 目前流行的是 M.Born解释： • Ψ*Ψ代表时刻t在空间q点发现粒子的概率密度, • Ψ*Ψdτ是时刻t在空间q点附近微体积元dτ内发 现粒子的概率. • 所以德布罗意波又称为概率波.
• 然而．根据Hertz在1887年所发现的光电效 应以及1905年爱因斯坦对于光电效应的解 释，人们发现光在某些方面也体现出粒子 性。 • 1927年，科学家C．Davission、L.Germer 和G.P Thomson在实验中分别用单晶体反射 与薄膜透射观测到电子衍射的图像与x射线 衍射花样完全类似，证实了布喇格条件在 电子的实验中也被满足。这些实验证明了 电子具有波动的性质。
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• 当满足条件μ>>kT时， • exp〔 (E-μ)／ kBT 〕 >> 1， • 系统是非简并的，费米统计、玻色-爱因斯 坦统计与玻耳兹曼统计在形式上是没有区 别的，即量子统计可由经典的玻耳兹曼统 计代替。
• 实验和理论表明，所有自旋量子数为1/2的粒子 (电子、质子、中子、中微子、μ粒子等)都是费 米子；而所有自旋量子数为整数的粒子(光子、介 子等)都属于玻色子； • 容易理解：任意数量玻色子或偶数费米子组成的 复合粒子(其自旋为整数)的行为如同玻色子，而 奇数费米子组成的复合粒子(其自旋为半整数)则 是费米子。例如，氢(1H)、4He、7Li）原于等都是 玻色子，而2H、3He、6Li原子都是费米子。
• 在量子统计中，粒子是全同的并且是不可区分的。 所谓不可区分是指只能区分每一个能级上有多少 粒子，但不能区分是哪几个粒子。 • 如果这些粒子遵从泡利不相容原理，因而不能有 两个粒子处于同一量子态Ei(单粒子态，其配分数 或占有数ni=0或1)，系统的波函数必然是反对称 的(交换两个粒子，波函数反号)，满足所有这些 要求的粒子称为费米子。费米子所遵从的统计法 为费米—狄拉克统计法; • 如果这些粒子不受泡利不相容原理的约束．因此 系统对于能够处于相同量子态Ei的粒子数目没有 限制(占有数ni=0 ，1．2，……)，描写粒于系统 的波函数必然是对称的(交换两个粒子，波函数不 变)，满足这些要求的粒子为玻色子。玻色子遵从 玻色—爱因斯坦统计。
理解物性的基本概念
量子特征
• 波粒二象性 • 直觉上容易理解，电于是一种粒子，而光则是波。 • 1897年汤姆孙在实验中观察到阴极射线在电场和磁 场的偏转，从而确定电子具有质量和电荷以后，电 子就被确定为一种粒子了，因为它具有作为粒子的 全部条件。 • 而在经典光学以及麦克斯韦经典电磁理论中、光则 总是被处理为电磁波，因为它具有波动的全部性质， 如衍射、干涉和色散，光的颜色对应于波长，并且 没有在牛顿力学中处理粒子运动所必须的质量。
• 满足条件 kBF EF 的温度 F 为费米温度。
• 与费米能对应的波数
2mEF kF 为费米波数。
• 对玻色子系统，单粒子态Ei的平均占有数为玻 色-爱因斯坦分布
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或对于单粒子能级分布非常稠密的情形采用单粒子 态密度的概念，态密度分布遵从玻色分布函数：
经典统计与量子统计
• 宏观上，材料是由大量粒子所组成的。在 考察材料的宏观物理性质时，通常涉及的 是大量粒子所组成系统的统计平均。 • 考察由N个粒子所组成的孤立体系，每一个 粒子可以一定几率处于能量为E1，E2， E3，……的态。 • 在一个特定的时刻，粒子分布在不同的态 上，有n1个粒子在能量为E1的态，n2个粒子 在能量为E2的态，等等。
• 比波动力学稍早出现的还有 W.K.Heisenberg1925年提出的矩阵力学. 1926年, E.Schrödinger发现这两种理论在 数学上是等价的. 此后, 两大理论统称量 子力学. • P.A.M.Dirac用算符形式重新表述了量子力 学, 使其成为一个概念完整、逻辑自洽的 理论体系.
• 光子是一类重要的玻色子，在研究能级间的自发 辐射跃迁和受激辐射跃迁中，玻色-爱因斯坦统计 构成了光子在各能级统计分布的基础。 • 对俘获在空腔中，与腔壁原子处于热平衡的电磁 辐射-黑体辐射的分析，就是玻色-爱因斯坦统计 应用于光子系统的著名例子；玻色把黑体辐射当 作一种光子气体处理，研究系统中光子在各种能 级上的分布。 • 爱因斯坦断定，将各个光子分布于各个能级的过 程中隐含的基本事实就是，光子是不可分辨的， 即把系统看成是全同的且不可分辨的量子-玻色子， 由玻色-爱因斯坦统计可以推导出黑体辐射的普朗 克公式。
• 由于粒子的相互作用，粒子在资用能级上的分布 是变化着的，或者说表示N个粒子在资用能态之间 的配分(分布)的数目n1， n2， n3 ，……是变化着 的。 • 但对于系统的每一个宏观态，总有一个比其他任 何配分都更为有利的配分，或者说，给定系统的 物理条件(粒子数、总能量)，就有一最可几的配 分，达到这个配分时，就说这个系统处于统计平 衡。 • 通常获得的材料宏观的物理性质，就是在统计平 衡下的统计平均值。
• 决定材料物性的两类主导因素： • 一类是原子系统，通常作为经典粒子处理， 反映了位臵序或粒子序(性)的效应； • 另一类是电子系统，通常表现出明显的量 子力学特征，反映了动量序或德布罗意波 序(性)的效应。 • 究竟哪一种序占主导地位，需要看体系的 特征尺度或者粒子的平均间距a是否达到德 布罗意波长λ的量级，如果a>λ,则粒子序为 主.
• 因为在费米—狄拉克统计中．泡利不相容原理阻 止粒子积聚在基能级上，因此，零温度时，粒子 占有最下面的一些资用能级，直到费米能EF， EF 表示该系统中费米子的最大能量。 • 在较高温度时，较低能量的态通过吸收能量从而 转移到(占有)能量大于EF的态， • 但对于 kBT>>EF的温度，因为所有低能量的态全 部被占有，不相容原理不允许再把一些费米子加 到这些态中去，因此只有自由能量接近EF的那些 费米子能够通过吸收较小的能量kBT而移至费米能 以上的未被占有的态中， • 而处于距费米面较远的低能态的费米子则不能通 过与周围环境交换能量而在费米面下能态间移动。 除非它获得足够的能量(如吸收光子)而跃迁到费 米面以上。图8-3形象地给出了这种过程。
• 轻元素氦则是一个例外。氦的简并温度5K，由于 氦原子间很弱的范德瓦尔斯力，它们具有很低的 液化温度(4He4.2K，3He3.2K)，并能保持液态到 绝对零度。所以氦液体表现出超流动性，这是原 子系统的量子行为。 • 而若干氦(3He)原子构成的集团(团簇,cluster)， 其稳定结构和能态也不是其他重惰性元素团簇由 位臵序决定的刚性球堆积壳层结构所能解释的， 而体现出He对单粒子本征态的满壳层占据，与超 流动性一样，是典型的量子力学现象。
• 在费米子系统，单粒子态Ei的平均占有数为 费米-狄拉克分布
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或对于单粒子能级分布非常稠密的情形采用单粒子 态密度的概念，态密度分布遵从费米分布函数：
f (E)
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( E EF ) / k B T
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• 式中的EF为化学势， 常称为费米能(费米势， 费米能级)．在材料物 理学中起着非常重要 的作用。图8-2示出了 三种不同温度下的平 均占有数。当T＝0时， 直到E=EF的所有能态 全部被占有(ni=1)， 而对于所有E＞EF的态 全部空着(ni=0).
1918年，Planck获诺贝尔物理学奖. 1921年，Einstein 的光量子理论获诺贝尔物理学奖. 1922年, Bohr获诺贝尔物理学奖. 1929年, de Broglie获诺贝尔物理学奖 1932年，Heisenberg获诺贝尔物理学奖； 1933年，Schrödinger与Dirac共享诺贝尔物理学奖. 1937年，戴维逊、革末、G.P.汤姆逊获得诺贝尔物理学奖. 1954年，M. Born对波函数物理意义解释获诺贝尔物理学 奖
• 1924年L.V.de Broglie（德布罗意）基于宇宙的 统一起源的信念，根据物理学定律的对应性的考 虑，提出了电子的波粒二象性的假说： • 与一个动量为p、能量为E的粒子相联系的单包场 的波长λ或频率ν通过普朗克常数相联系： • ν= E / h λ= h / p
• 这样，电磁场和物质场，光与粒子的动力学性质 (即动量和能量)，获得了统一的定量表述 • λ= h / p被称为德布罗意波长。
xp x h y p y h z p z h
不 确 定 原 理 与 物 质 的 波 动 性 相 一 致
能量-时间不确定关系式
粒子在某能级上存在的时
间τ越短，该能级的不确定度
程度ΔE 就越大. 只有粒子在 某能级上存在的时间无限长， 该能级才是完全确定的. 能级加宽导致了谱线加宽:
• 有三种统计法。 • 对于粒子性占主导的经典系统，通常采用麦克斯 韦-玻耳兹曼分布律，构成经典统计。 • 对于波动性占主导的系统．需要采用量子统计。 • 经典系统是由全同的但可区别的粒子所组成的系 统。 • 所谓全同粒子，是指这些粒子具有相同的结构和 组成； • 所谓可区别，是指在经典系统中每一个粒子在原 则上有确定的轨迹可以跟踪。例如处于晶格上的 原子，是可以确切地加以区分的，是适合于用经 典统计来处理问题的。
不确定原理
1927年, W. K. Heisenberg提出了微观领域
的不确定原理(uncertainty principle): 有这样一些成对的可测量, 要同时测定它们 的任意精确值是不可能的. 其中一个量被测得越 精确, 其共轭量就变得越不确定. 例如, 坐标与相应的动量分量、方位角与动 量矩等.
• 德布罗意波长是温度的函数，如果令粒子 的动能等于平均热能．则等效地可以通过 温度的界限来确定是粒子序亦或是波序占 主导作用，该温度
• T>T0，粒子序占主导地位， • T<T0，则波序占主导地位。 • 例如，取特征尺度为原子间的平均间距，在凝聚相其典型 值为10-10m的量级， • 对于电子，由于其的质量很小， T0高达104K。一般情况 下，T<T0，故电子系统的行为突出地反映了波序的效应。 • 而原子系统，由子原子的质量为电子质量的103倍以上， T0约20K．一般的物质．在远高于T0的温度就已固化，因 而就凝聚物质的原子排列而言，粒子序应占主导地位．总 可做经典的处理。
量子力学被许多科学家认为是20世纪科学
史上最重要的成就，是低能量微观粒子运动的
根本规律. 它揭开了微观世界的奥秘, 大大深
化了人类对自然界的认识, 推动着半导体、电
子计算机、激光、超导等新技术飞速发展.
有的科学家估计, 当今世界国民经济总值
的25%来自与量子现象有关的技术.
• • • • • • • •
• 由于光子在各能级的分布，对于每一频率，都有 一个对应的黑体辐射强度，只取决于腔壁的温度。 • 由于光子的不可分辨性，在同一能态上的粒子数 只受统计分布所制约．在某能态上光子数可以无 限的增加，并发生光子在动量空间的凝聚。 • 例如通过受激发射，可以形成激光，其特征为大 量光子占有同一状态，即具有相同的能量和动量， 使激光束具有良好的相干性、单色性、方向性和 高亮度，在现代科学技术中获得了广泛的应用。
• 粒子在低能级的凝聚是玻色子系统的重要性质。 当化学势增大并趋向于最低能级(设为零)时， 零能级的分布将趋于无穷，意味着粒子在最低 能级的凝聚，即所谓的玻色-爱因斯坦凝聚 (Bose-Einstein Condensation BEC)现象。 • 定义一临界温度Tc，使得当T＝Tc时占据零能级 以上各能级的粒子数N（E＞０)＝∑ni，等于总 的粒子数N0 ，当T＜Tc时，分布于激发态上的 粒子数将减少，而将多余的玻色子全部推到基 态上去，处于基态的粒于数为：
f (E)
1 e ( E ) / k BT 1
• 式中的μ为化学势。玻 色分布函数如图8-4所 示。当E →μ时，f(E) →∞。对于任何E，总 应有μ＜E，否则有些 占据数成为负数而没有 意义。所以如果单粒子 能量的最低值选为0， 必有μ≤0。
• 引入一个参数a，可以将费米-狄拉克分布、玻 色-爱因斯坦分布和经典统计的玻耳兹曼分布 统一写为：
波函数
• 利用德布罗意波粒二象性．一个粒子可用一个物 质波(德布罗意波)来表示。 • 描述它存在于时空中的波动方程.就是今天众所周 知的Schrö dinger方程， • 方程中波函数Ψ的物理意义, 目前流行的是 M.Born解释： • Ψ*Ψ代表时刻t在空间q点发现粒子的概率密度, • Ψ*Ψdτ是时刻t在空间q点附近微体积元dτ内发 现粒子的概率. • 所以德布罗意波又称为概率波.
• 然而．根据Hertz在1887年所发现的光电效 应以及1905年爱因斯坦对于光电效应的解 释，人们发现光在某些方面也体现出粒子 性。 • 1927年，科学家C．Davission、L.Germer 和G.P Thomson在实验中分别用单晶体反射 与薄膜透射观测到电子衍射的图像与x射线 衍射花样完全类似，证实了布喇格条件在 电子的实验中也被满足。这些实验证明了 电子具有波动的性质。