2013年高考数学预测新课标数学考点预测(25)：函数与方程的思想方法

- 1 ? x1< 0< x2
A． (-
2 ，则 k 的取值范围是（
B． (-
） C． (0, )
3 , 0) 4
3 , 0] 4
3 4
D． [0, )
3 4
分析：本题是研究二次方程的实根分布问题，可以转化为二次函数，由二次函数的图象转为 函数值表示的不等式组解出。 解 ： 设 函 数 f ( x ) = x 2 + 2kx − 1 ， ∵ 关 于 x 的 方 程 x 2 + 2 kx - 1 = 0 的 两 根 x1、x2 满 足
为 。 分析: 题目给出的方程中含有 x, y, a, c 等多个字母，而条件中是对任意的 x ∈ [a,2a ] 都有
2 ⎤ y∈⎡ ⎣ a, a ⎦ ，这使我们联想到函数的定义域、值域，所以必须把方程改写为关于 y 的函数，
再进一步研究函数的性质。
ac （其中 x ∈ [ a, 2a ] ） ，函数为反比例函数，在 x a c −1 c −1 a , 2 a （ a > 1 ）上为单调递减，所以当 时， y ∈ [ , a ] 又因为对于任意的 x ∈ [ a , 2 a ] [ ] 2 ⎧ a c −1 ≥a ⎧c ≥ 2 + log a 2 ⎪ 2 ⎤ x ∈ [a,2a] ，都有 y ∈ ⎡ ⇒⎨ ，因为有且只有一个常 ⎣ a, a ⎦ ，所以 ⎨ 2 ⎩c ≤ 3 ⎪a c −1 ≤ a 2 ⎩ 数 c 符合题意，所以 2 + log a 2 = 3 ，解得 a = 2 ，所以 a 的取值的集合为 {2} 。 答案： {2}
研究直线与椭圆的交点，需要解方程组，由韦达定理解答即可。 解： （Ⅰ）解法一：由椭圆方程知 a = 2, b = 1, c =
3
) ���� ���� � 则 PF ⋅ PF = ( − 3 − x , − y ) , (
所以
F1 − 3, 0 , F2
2
(
) (
3, 0 ，设 P ( x, y ) 3 − x, − y = x 2 + y 2 − 3
- 1 ? x1< 0< x2
⎧ f ( −1) ≥ 0 ⎧ −2k ≥ 0 3 ⎪ ⎪ 2 ，∴ ⎨ f ( 0 ) < 0 即 ⎨ −1 < 0 ∴ − < k ≤ 0 ，故选择 B 。 4 ⎪ f ( 2) > 0 ⎪4k + 3 > 0 ⎩ ⎩
答案： B 评注：对于二次方程的实根分布问题，要转化为二次函数，由二次函数的图象和各端点对 应的函数值以及二次项系数和对称轴解答。
D1 A1 D B1 P N C1 y
）
y
y
y
C
O
A．
x
O
B．
x
O
C．
x
O
D．
x
分析：本题是立体几何与函数的交汇题，可以先观察题目并进行空间想象加以判断，再由 MN 的特殊性与平面 BB D D 垂直，可以把 MN 向平面 ABCD 内作正投影，保持其长度不 1 1 变，从而把空间问题转为平面问题，在平面内研究函数关系即可顺利完成。 解：设正方体的棱长为，由图形的对称性知 P 点始终是 MN 的中点， D 而且随着 P 点从 B 点向 BD 的中点滑动， y 值逐渐增大到最大，再由中 点向 D1 点滑动，而逐渐变小，排除 A,, C ，把 MN 向平面 ABCD 内正投 影得 M ' N ' ，则 M ' N ' = MN = y ，由于 ∴ BP ' =
1
)
又
x2 1 − 3 = ( 3x 2 − 8) 4 4 ���� ���� � x ∈ [ −2, 2] ，故当 x = 0 ，即点 P 为椭圆短轴端点时， PF1 ⋅ PF2 有最小值 −2
∴
x2 + y2 = 1 4
PF1 ⋅ PF2 = x 2 + 1 −
当 x = ±2 ，即点 P 为椭圆长轴端点时， PF1 ⋅ PF2 有最大值 1． 解法二：易知 a = 2, b = 1, c =
例 6． （2008 山东淄博）若 F1 、 F2 分别是椭圆
x2 + y 2 = 1 的左、右焦点. 4
（Ⅰ）若 P 是该椭圆上的一个动点，求 PF1 ⋅ PF2 的最大值和最小值； （Ⅱ）设过定点 M (1 ， 2) 的直线 l 与椭圆交于两不同的点 A 、 B ，且 ∠AOB 为锐角 （其中 O 为坐标原点） ，求直线 l 的斜率 k 的取值范围. 分析： （Ⅰ）中可以设出 P 点的坐标，用坐标表示出 PF1 ⋅ PF2 ，得到函数求最值。 （Ⅱ） 中
P'
C
N'
B
BP ' BD 2a 6 ， = = = BP BD1 3 3a
A
M'
2 6 6 3 x ，所以当 x ≤ a 时， MN = y = 2 BP ' = x 为一次函数，故选 B 3 2 3
答案： B 评注：本题为函数的变化趋势问题，通过观察进行理性地分析，再从数值上加以运算。
5、函数与方程在解析几何中的应用
一、函数与方程的思想
所谓函数的思想，就是用运动和变化的观点、集合对应的思想，去分析和研究数学问 题中的数量关系，建立函数关系或构造函数。运用函数的图像和性质去分析问题、转化问 题，从而使问题获得解决，函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是要善于 利用函数知识或函数观点去观察分析处理问题。 所谓方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构 造方程，通过解方程（组） ，或者运用方程的性质去分析转化问题使问题获得解决，方程思 想是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是利用方程或方程观点观察处理问题。函数 思想与方程思想是密不可分的，可以相互转化的。 函数和方程的思想是最重要和最常用的数学思想，它贯穿于整个高中教学中，中学数 学中的初等函数、三角函数、数列以及解析几何都可以归结为函数，尤其是导数的引入为 函数的研究增添了新的工具．因此，在数学教学中注重函数与方程的思想是相当重要的． 在高考中，函数与方程的思想也是作为思想方法的重点来考查的，使用选择题和填空题考 查函数与方程思想的基本运算，而在解答题中，则从更深的层次，在知识的网络的交汇处， 从思想方法与相关能力相综合的角度进行深入考查。
2013 年高考数学预测新课标数学考点预测（25） 函数与方程的思想方法
《2009 年新课标考试大纲》明确指出“数学知识是指《普通高中数学课程标准（实验） 》 中所规定的必修课程、选修课程系列 2 和系列 4 中的数学概念、性质、法则、公式、公理、 定理以及由其内容反映的数学思想方法” 。其中数学思想方法包括： 函数与方程的思想方 法、 数形结合的思想方法 、 分类整合的思想方法、 特殊与一般的思想方法、 转化与化 归的思想方法、 必然与或然的思想方法。 数学思想方法是对数学知识内容和方法的本质认 识，是对数学的规律性的理性认识。高考通过对数学思想方法的考查，能够最有效地检测 学生对数学知识的理解和掌握程度，能够最有效地反映出学生对数学各部分内容的衔接、 综合和渗透的能力。 《考试大纲》对数学考查的要求是“数学学科的系统性和严密性决定了 数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，要善于从本质上 抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学试卷的框架结构” 。而数学思想方 法起着重要桥梁连接和支称作用， “对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽 象和概括的考查，考查时必须要与数学知识相结合，通过数学知识的考查，反映考生对数 学思想方法的掌握程度” 。“ 数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思 想方法的考查，注重对数学能力的考查，展现数学的科学价值和人文价值，同时兼顾试题 的基础性、综合性和现实性，重视试题间的层次性，合理调控综合程度，坚持多角度、多 层次的考查，努力实现全面考查综合数学素养的要求。” 数学的思想方法渗透到数学的各 个角落，无处不在，有些题目还要考查多个数学思想。在高考复习时，要充分认识数学思 想在提高解题能力的重要性，在复习中要有意识地渗透这些数学思想，提升数学思想。
=
2 2 1⎡ x + 3 + y 2 + x − 3 + y 2 − 12⎤ = x 2 + y 2 − 3 ⎢ ⎥ ⎦ 2⎣
2
1 1 1 ⎡ 1⎤ a − + a ≤ a − + a ≤ ，可得实数 a 的取值范围为 ⎢ 0, ⎥ 4 4 4 ⎣ 4⎦
评注：本题将方程转化为函数，利用函数的值域得到的不等式，求得 2 + 2kx - 1 = 0 的两根 x1、x2 满足
���� ���� �
3 ，所以 F1 − 3, 0 , F2
(
) (
3, 0 ，设 P ( x, y )
)
���� 2 ���� � 2 ���� �2 ���� ���� � ���� ���� � ���� ���� � PF1 + PF2 − F1 F2 则 PF1 ⋅ PF2 = PF1 ⋅ PF2 ⋅ cos ∠ F1 PF2 = PF1 ⋅ PF2 ⋅ ���� ���� � 2 PF1 ⋅ PF2
f ( x ) − g ( x ) = e x ，则有（ ） A． f (2) < f (3) < g (0) C． f (2) < g (0) < f (3)
e x − e− x e− x + e x ， 而 f ( x) 单 调 递 增 且 f ( 0) = 0 ， ∴ , g ( x) = − 2 2 f ( 3) > f ( 2 ) > 0 大于等于 0，而 g (0) = −1 ，故选 D 。 答案： D 评注：本题中利用函数的性质再得一方程，通过解方程组求得函数的解析式，再回归到函 数的单调性比较函数值的大小关系，是函数与方程的较好得结合。