二项式定理及性质

二项式定理及系数2019/3/23

一、二项式定理：

例题：1．(x ＋2)6的展开式中x 3的系数是

2．(2x －12x

)6的展开式的常数项是 3．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是

4．⎝⎛⎭

⎫x ＋a x 5(x ∈R )展开式中x 3的系数为10，则实数a 等于 5．533)1()21(x x -+的展开式中x 的系数是

练习：

1．若(x ＋a )5的展开式中的第四项是10a 2(a 为大于0的常数)，则x ＝________.

2．(1＋x ＋x 2)⎝⎛⎭

⎫x －1x 6的展开式中的常数项为__________． 3．n x x )2

(3+展开式第9项与第10项二项式系数相等，则x 的一次项系数是

4．用二项式定理证明1110－1能被100整除．

二、二项式系数的性质：

例题：1．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于

2．二项展开式(2x －1)10中x 的奇次幂项的系数之和为

3．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项二项式系数相同的项是

4．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式中各项系数和为

5．若⎝⎛⎭

⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为 6．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11 练习：

1．若⎝

⎛⎭⎫x 2＋1x 3n 展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是________． 2．若⎝

⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 的展开式中，仅第六项系数最大，则展开式中不含x 的项为________． 3．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 7(x －1)7.求：

(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7；

(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.

4． 已知(1＋3x )n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．

三、数学归纳法复习

1．用数学归纳法证明()

*1111,12321n n n N n +++<∈>-时，由()n k 1k =>时不等式成立，推证n k 1=+时，左边应增加的项数是（ ）

A. 12k -

B. 21k -

C. 2k

D. 21k +

2．用数学归纳法证明不等式“

11113(2)12224n n n n +++>>++”时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边（ ）

A. 增加了()121k +

B. 增加了()

112121k k +++ C. 增加了()112121k k +++，又减少了11k + D. 增加了()121k +，又减少了11

k + 3．数列{}n a 中，432111,,,21,125,1b b b b a b a a a n n n n ，求-=-=

=+，猜想{}n b 通项公式，用数学归纳法证明

4．已知数列{}n a 中，首项n S a ,11=是其前n 项和，并且满足n n a n S 2

= （Ⅰ）试求5432,,,a a a a （Ⅱ）试归纳数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明