人教版高中数学《二项式定理》优秀教学设计

《二项式定理》教学设计
一．教学内容及其解析
二项式定理是带领我们进入微积分领域大门的一把金钥匙，只是在初中没有显示的机会。

本节知识类型属于概念型认识，将本节内容放在计数原理之后来学习，一方面是因为二项式定理证明要用到计数原理，另一方面也是学习随机变量及其分布列的准备。

二项式定理安排在高中数学排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是计数原理、组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，它是二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。

运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

二．教学目标及其解析
（一）目标
1、能用计数原理分析2)
a+的展开式；捕捉二项式展开式各项的系数的组合规
(b
律。

2.会用类比、合情推理的方法研究3)
a+二项式展开式问题。

a+，()n b
a+，4)
(b
(b
3.学生会主动观察项以及系数的变化规律、类比3)
a+、
a+、猜想()n b
(b
(b
a+，4)
归纳二项式的能力。

（二）目标解析
1、将二项式展开式与计数原理联系在一起并不容易，所以通过小桶去球的情景铺设两者的对接的桥梁，实现对2)
a+的展开式”的深入探究，最终摸索出
(b
()n b
a+的展开式的规律，并能用自己的语言说出()n b
a+的展开式的项数、各项次数及展开式中各项系数的特点，体验从特殊到一般的逻辑思考方法。

2、培养学生类比归纳的合情推理在本节课指的是学生能从取球的例题从迁移到()()()4
2,
3
a+
+的展开式，从而归纳()n b
b
+
a
b
,b
a
a+的展开式。

三．学情分析
1.根据学生的实际情况，学生已有的基础是计数原理、排列组合相关知识，但教学中遇到的第一个困难就是学生不能主动运用计数原理分析二项式的展开式。

要解决这一问题，在教学中设计一个学生熟悉的取球的例子；然后引导学生用解决上述问题的方法写出()2
b a +的展开式，突出计数原理在解决二项式展开式可以起到的作用。

2.学生已有基础多项式相承运算法则，但教学中可能遇到的又一困难就是学生不能发现系数用组合数表示的规律。

课堂教学中，关键是考察学生是否理解“完成一件事”是什么？如何完成这件事情？，要完成这件事可以分成两步完成：第一步取足够的a ，第二步取相应个数的b ；同时也要注意到教材中“由于b 选定后，a 的选法也随之确定”这句话对理解取b 计数的重要性，当然也应该留给学生足够的时间去分析思考；老师根据具体情况进行适当的引导。

四、教学策略分析：
1、通过数学模型的引入，帮助学生复习预备知识，完成学与较的现实出发。

2、学生习惯使用多项式乘积展开3)(b a +，特别提出展开100()a b +，促使学生向新方法转向。

3、围绕重点设计问题串，“展开式中同类项的形式是怎样的？每一类型的项的个数如何计算？引导学生深入思考问题的本质。

四．教学重点：
探究并归纳用计数原理分析()()()4
32,,b a b a b a +++的展开式的形成过程，并依此方法得到二项式定理．
五．教学难点：
1、展开式中会有哪几种类型的项？
2、展开式中各项的系数如何确定？
本节课的教学流程：
六、教学技术开发与利用：智能网络教学平台
本节课借助本校智能网络教学平台，参与学生自主探究、课堂练习过程，一方面，可以快速捕捉学生学习中的问题.，及时了解学生对知识掌握的情况；另一方面，可以高效的展示学生的学习成果，更好的为学生树立学习数学的兴趣。

七．教学环节：
（一）创设情境引入新课：
问题：有两个小桶装有大小相同，质地相同的a 、b 两小球。

在每个桶中各取一个小球，共有几种不同的取法？
枚举法：共有aa 、 ab 、ba 、bb 等 4种不同的取法。

分步计数原理：第一步，第一次取球有2种方法；第二步，第二次取球有2种方法，所以一共22=4种不同的取法。

分类计数原理：第一类，都取a ，有1种；第二类，取不同，2种；第三类，都取b ，有2种，所以一共有N =1+2+1=4种不同的取法。

教师多媒体演示：取球过程。

师：上述过程实际上就是解决2222)(b ab a b a ++=+展开式的问题
【设计意图】取球是同学们极为熟悉的组合代表性例子，也是基本的概型，解决该问题学生已经得心应手，并已深刻理解，问题的解决便于学生采用类比的合情推理解决新问题，为下面教学做准备。

（二）新课讲授（定理是怎么来的？）
问题1：我们知道2222)(b ab a b a ++=+，当我们遇到的数学问题需要100()a b +的展开式解决，那我们又该怎么办呢？我们能否刚才的取球模型中找出规律，解决这个问题呢？
【设计意图】直接提出100()a b +的展开式是因为学生用以前所学多项式乘法知识进行展开时，计算麻烦，这样就可以为新的研究方法塑造重要地位。

该设计旨在利用新旧方法之间产生的冲突激发学生的求知欲，同时向学生点明二项式定理所要研究的问题。

问题2、我们是否可以从刚才的取球的数学模型找出解决问题的方法呢？ 我们重新认识2222)(b ab a b a ++=+如何？
获得认识：202122222()a b C a C ab C b +=++
【设计意图】问题2是本节课的关键所在，从计数原理，组合知识探寻2()a b +的展开式，是全新的研究方法，必须让学生“入戏”，从这个角度理解二项式展开式。

课堂探究1：从特殊入手，推导3)(b a +的展开式。

① 展开式中的项：3a b a 2 2ab 3b 归纳：k k b a -3 {}3,2,1,0∈k
② 每一项的系数：03C 13C 23C 33C 归纳：k C 3
③ 写出展开式：()=+3b a 03C 3a +13C b a 2+23C 2ab +33C 3b
探究2：仿照上述过程，推导4)(b a +的展开式。

222122022)(b C ab C a C b a ++=+
()=+3b a 03C 3a +13C b a 2+23C 2ab +33C 3b
()=+4b a 04C 4a +14C b a 3+24C 22b a +34C 3ab +444b C
教师启发学生观察上述等式，寻找其项数、各项次数及展开式中各项系数的特点。

【设计意图】 利用三个特殊的展开式寻找规律，让学生从中体会到解决问题的一般策略：从特殊到一般，即不完全归纳法。

探究3：由上述四个展开式，猜想*)()(N n b a n ∈+的展开式。

此处的证明采用“说理”的方法。

让学生用计数原理，分析*)()(N n b a n ∈+的展开过程，证明猜想。

问题2：二项式定理的内容是什么？
一般地，对于任意正整数n ，有：
*)()(110N n b C b a C b a C a C b a n n n r r n r n n n n n n ∈+++++=+--
此公式所表示的定理，我们称为二项式定理，右边的多项式叫做*)()(N n b a n ∈+的二项展开式。

请学生总结：
① 二项展开式有多少项？为什么？
②展开式的每一项由哪几个部分构成？字母的指数如何变化？
③能否写出展开式的通项？它是展开式中的第几项？
（三）二项式定理的简单应用：
1、课堂练习：求5)
1(q
+的展开式。

2、例：求6)1
x-的展开式。

(
x
思考1：展开式的第2项的系数是多少？
思考2：展开式的第2项的二项式系数是多少？
思考3：你能否直接求出展开式的第4项？
思考4：你能否直接求出展开式常数项？(备用）
【设计意图】呈现的两个题目都是利用二项式定理求展开式，难度层层递进，让学生巩固所学知识。

若有时间，借助四个思考，让学生初步掌握二项展开式的通项公式的简单应用。

（四）课堂小结
(五)作业
二项式定理一课点评
1、设置数学实验突破教学难点、培育数学建模核心素养。

从计数原理的角度认识二项式平方展开式是教学的难点，本课一改从二项式平方的展开的常规引入方式，设置了一个取球模型的数学实验，从数学模型开始，在实际情境中，从数学的视角提出问题、分析问题，发掘实验中蕴含的数学计数原理知识，并从中自然地抽象出二项式平方的展开式，这一数学实验的设计既突破了从计数原理的角度认识二项式平方展开式的教学难点，同时把对学生数学抽象、数学建模的核心素养培育实实在在地融入到教学活动中。

2、利用信息技术实现教学方式的改变
学习知识不是由教师向学生传递，而是学生已有的知识和经验为基础的主动建构，因此，教师只有在教学过程中及时了解学生的学习状态，才能及时调整自己的教学行为，才能正真的做到以学定教。

在本节课教学中，席志涛老师采用了平板电脑技术平台促进了学生学习方式的改变，具体体现在学生利用平板电脑积极主动的进行数学思考，数学交流，并展示活动成果，技术的使用既激发了学生
的学习兴趣，同时教师能及时的了解学生的学习状况，及时调整自己的教学。

3、注重对学生能力的培养
在教学中，教师留有足够的时间给学生思考、交流，让学生表述自己的观点，说明教师不仅仅关注学生知识的获得，同时关注获取知识的方式，关注隐性的教学目标的达成。