线性规划习题

第一章 线性规划习题

1. 将下列线性规划问题变换成标准型，并列出初始单纯形表。 1) min Z ＝－3x 1＋4x 2－2x 3＋5x 4

s.t.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-+-≤-++-=-+-.

,0,,22321432244321432143214321无约束x x x x x x x x x x x x x x x x 2) max S ＝z x ／p k

s.t.⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧

==≥=-=-=∑∑∑===).,...,2,1;,...,2,1(0),,...,2,1(1,

1

11

m k n i x n i x x a z ik m

k ik n i m

k ik ik k 2. 分别用单纯法中的大M 法和两阶段法求解下述线性规划问题：

min Z ＝2x 1＋3x 2＋x 3

s.t.⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≥++.0,,,623,

8243

212

1321x x x x x x x x 并指出该问题的解属哪一类解。

3. 【表1-6】是某求极大化线性规划问题计算得到单纯形表。表中无人工变量，

a 1, a 2, a 3, d , c 1, c 2为待定常数。试说明这些常数分别取何值时，以下结论成立。

1) 表中解为唯一最优解；

2) 表中解为最优解，但存在无穷多最优解； 3) 该线性规划问题具有无界解；

4) 表中解非最优，为对解进行改进，换入变量为x 1，换出变量为x 6。

表1-6

4. 某饲料厂用原料A 、B 、C 加工成三种不同牌号的饲料甲、乙、丙。已知各

种牌号饲料中A 、B 、C 含量，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号的饲料的单位加工费及售价如【表1-7】所示。

表1-7

问该厂每月应生产这三种牌号饲料各多少千克，使该厂获利最大？试建立这个问题的的线性规划的数学模型。 5. 考虑下列问题

⎩⎨

⎧≥≥≤-+=0

,01

.42)(max 212121x x x x t

S x x x f 1) 建立此问题的对偶问题，然后以观察法求出其最优解。

2) 使用主对偶原理及对偶问题的最优解求出原问题的最优解目标函数值。 3) 假设原问题中x 1的系数为c 1（c 1可为任意实数）。当c 1为何值时，此对

偶问题无可行解？对这些值而言，原问题的解有什么意义？ 6. 求下列问题的对偶问题 1)

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥≥=++-≥-++=0

,0,075

31263063.352)(max 321

3212

1321x x x x x x x x t S x x x x f 2) ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨

⎧≥=+++≤+≥+-≤+++≥++++-+-=无限制

143243212

142

14321

43214

321,0,,20222021040

2310

23.342)(min x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t S x x x x x f 7. 某织带厂生产A 、B 两种纱线和

C 、

D 两种纱带，纱带由专门纱线加工而成。

这四种产品的产值、成本、加工工时等资料列表如下：

表1-8

工厂有供纺纱的总工时7200h ，织带的总工时1200h 。

1) 列出线性规划模型，以便确定产品的数量使总利润最大；

2) 如果组织这次生产具有一次性的投入20万元，模型有什么变化？对模型

的解是否有影响？ 8. 将下列线性规划化为极大化的标准形式

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧±≥≤+-=-+--≥-+++=不限

321321321321321 ,0,13|5719|169765 ..532)(min x x x x x x x x x x x x t s x x x x f 9. 用单纯形法解下面的线性规划

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧≥≤++-≤++-≤-+++= ,0,,4205.02125

3661023 ..352)(max 3213213

21321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f 10. 用两阶段法解下面问题：

⎪⎩⎪

⎨⎧≥≥+≥++=0,75

380

2 ..64)(min 2

1212121x x x x x x t s x x x f

11. 用大M 法解下面问题，并讨论问题的解

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧≥≥++≤++-≤++++= ,0,,52151565935 ..121510)(max 321321321321321x x x x x x x x x x x x t s x x x x f

12. 写出下列线性规划问题的对偶问题 1)

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧±≥≤=++≤+≥+-+-+=不限

4321432314321321 ,0,,06 4 2 5

..532)(max x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f 2)

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧±≥≤=++≤+≥+-+-+=不限

4321432314321321 ,0,,06 4 2 5

..532)(max x x x x x x x x x x x x x t s x x x x f