三角函数-正余弦、正切二倍角公式
三角函数的半角与二倍角公式
三角函数的半角与二倍角公式三角函数是数学中常见的一类函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。
在求解三角函数值时，我们常常会遇到半角和二倍角的情况。
为了简化计算，在三角学中引入了半角与二倍角公式，能够帮助我们快速求解。
一、正弦函数的半角与二倍角公式1. 正弦函数的半角公式正弦函数的半角公式可以用来计算一个角的一半的正弦值。
假设原角为α，则其一半的角为α/2。
正弦函数的半角公式如下：sin(α/2) = ±√[(1 - cosα)/2]其中，α/2为角的半角，cosα为原角的余弦值。
公式中的±表示结果的正负与角度所在象限相关。
2. 正弦函数的二倍角公式正弦函数的二倍角公式可以用来计算一个角的两倍的正弦值。
假设原角为α，则其两倍的角为2α。
正弦函数的二倍角公式如下：sin2α = 2sinαcosα其中，2α为角的两倍，sinα和cosα分别为原角的正弦值和余弦值。
二、余弦函数的半角与二倍角公式1. 余弦函数的半角公式角为α，则其一半的角为α/2。
余弦函数的半角公式如下：cos(α/2) = ±√[(1 + cosα)/2]其中，α/2为角的半角，cosα为原角的余弦值。
公式中的±表示结果的正负与角度所在象限相关。
2. 余弦函数的二倍角公式余弦函数的二倍角公式可以用来计算一个角的两倍的余弦值。
假设原角为α，则其两倍的角为2α。
余弦函数的二倍角公式如下：cos2α = cos²α - sin²α其中，2α为角的两倍，cos²α和sin²α分别为原角的余弦值的平方和正弦值的平方。
三、正切函数的半角与二倍角公式1. 正切函数的半角公式正切函数的半角公式可以用来计算一个角的一半的正切值。
假设原角为α，则其一半的角为α/2。
正切函数的半角公式如下：tan(α/2) = ±√[(1 - cosα)/(1 + cosα)]其中，α/2为角的半角，cosα为原角的余弦值。
三角函数二倍角公式推导
三角函数二倍角公式推导三角函数二倍角公式是指用角α的三角函数值来表示其二倍角2α的三角函数值的一组公式，包括正弦二倍角公式、余弦二倍角公式和正切二倍角公式。
这些公式在数学中有很多应用，例如求解三角恒等式、化简三角表达式、计算三角函数的极限等。
本文将介绍三角函数二倍角公式的推导过程和一些例题。
正弦二倍角公式正弦二倍角公式是：sin2α=2sinαcosα推导过程如下：根据正弦函数的和差角公式，有：sin(x+y)=sin x cos y+cos x sin y令x=y=α，则有：sin(2α)=sinαcosα+cosαsinα化简得：sin2α=2sinαcosα余弦二倍角公式余弦二倍角公式有三种形式，分别是：cos2α=cos2α−sin2αcos2α=2cos2α−1cos2α=1−2sin2α推导过程如下：根据余弦函数的和差角公式，有：cos(x+y)=cos x cos y−sin x sin y令x=y=α，则有：cos(2α)=cos2α−sin2α这是第一种形式。
利用正弦函数和余弦函数的平方关系，即sin2x+cos2x=1，可以得到另外两种形式。
将sin2x用1−cos2x替换，得到：cos(2α)=2cos2α−1这是第二种形式。
将cos2x用1−sin2x替换，得到：cos(2α)=1−2sin2α这是第三种形式。
正切二倍角公式正切二倍角公式是：tan2α=2tanα1−tan2α推导过程如下：根据正切函数的和差角公式，有：tan(x+y)=tan x+tan y1−tan x tan y 令x=y=α，则有：tan(2α)=tanα+tanα1−tan2α化简得：tan2α=2tanα1−tan2α例题例题一求sin75∘的值。
解：利用正弦二倍角公式，有：例题二求tan(−15∘)的值。
解：利用正切二倍角公式，有：sin75∘= sin(30∘+45∘)= (sin30∘)(cos45∘)+(cos30∘)(sin45∘)= (12)(√22)+(√32)(√22)= (√6+√24)tan(−15∘)= tan(30∘−45∘)=tan30∘−tan45∘1+tan30∘tan45∘=1√3−11+1√3=√3−33+√3=(√3−3)(3−√3)(3+√3)(3−√3)=−2√36= −√33。
正弦,余弦,正切,余切所有的公式和角度
诱导公式
sin(-a)=-sin(a)
cos(-a)=cos(a)
sin(pi/2-a)=cos(a)
cos(pi/2-a)=sin(a)
sin(pi/2+a)=cos(a)
cos(pi/2+a)=-sin(a)
sin(pi-a)=sin(a)
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b)
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b)
tan(a+b)=(tan(a)+tan(b))/(1-tan(a)tan(b))
tan(a-b)=(tan(a)-tan(b))/(1+tan(a)tan(b))
万能公式
sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan^2(a/2))
cos(a)= (1-tan^2(a/2))/(1+tan^2(a/2))
tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan^2(a/2))
其它公式
a*sin(a)+b*cos(a)=sqrt(a^2+b^2)sin(a+c) [其中，tan(c)=b/a]
cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(a)=2cos^2(a)-1=1-2sin^2(a)
半角公式
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
双曲函数
sinh(a)=(e^a-e^(-a))/2
二倍角的正弦、余弦、正切公式课件
三角形面积公式
可以通过二倍角公式计算三 角形的面积，进一步计算体 积，这在建筑设计和航空工 程中非常有用。
浪高相关问题
科学研究
海浪通常用余弦函数来描述。 二倍角公式为了简化计算， 常常在波长和浪高相关问题 的计算中应用。
二倍角公式在科学研究中非 常有用，如过敏体质预测、 药物效应预测等。
应用
二倍角在科学、数学和 工程等领域有着广泛的 应用，是解决一些问题 的有效工具。
二倍角公式的定义
公式
二倍角的正弦公式为 $sin 2 heta = 2sin hetacos heta$，二 倍角的余弦公式为 $cos 2 heta = cos^2 heta - sin^2 heta$，二倍角的正切公式为 $tan 2 heta = \frac{2tan heta}{1-tan^2 heta}$
二倍角的正弦、余弦、正 切公式
学习二倍角的正弦、余弦、正切公式有助于更快速、更准确地解决三角函数 计算问题。
什么是二倍角
定义
二倍角是指一个角度的 两倍大小的角度，较为 常见的二倍角有 $30^{circ}$，$45^{circ}$， $60^{circ}$和$90^{circ}$。
特点
二倍角具有一些特殊的 数值和三角函数值，对 于复杂计算非常有用。
推导过程
二倍角公式的推导可以使用 三倍角公式或欧拉公式等方 法实现。
学习建议
掌握二倍角公式的定义和推 导过程，加深对三角函数的 理解，有助于你在数学学科 中取得更出色的成绩。
二倍角公式的应用
1
科学应用
2
二倍角公式可以应用到物理和工程
等领域，如电磁学、波长的计算、
机械分析等。
3
三角函数计算
二倍角正弦余弦正切的公式
二倍角正弦余弦正切的公式二倍角公式是指将一个角的两倍角的正弦、余弦和正切表示为该角的正弦、余弦和正切的形式。
二倍角公式在三角函数的计算和证明中非常有用。
下面将详细介绍二倍角公式的推导和应用。
首先，我们先来看二倍角的定义。
对于一个角θ，它的两倍角是2θ。
也就是说，如果我们将角θ扩大2倍，得到的角度就是2θ。
接下来，我们来推导二倍角公式。
我们先从三角函数的角和公式开始。
三角函数的角和公式是指，当两个角的正弦、余弦和正切已知时，可以通过这个公式计算出这两个角的和的正弦、余弦和正切。
设角α和角β的正弦、余弦和正切分别为sinα、sinβ、cosα、cosβ、tanα和tanβ，则有以下关系式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβcos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβtan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)我们将角α和角β分别设为相同角θ，即α = β = θ，则上述公式可以简化为：sin(2θ) = sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθcos(2θ) = cosθcosθ - sinθsinθ = cos^2θ - sin^2θ = 1 - 2sin^2θ = 2cos^2θ - 1tan(2θ) = (tanθ + tanθ) / (1 - tanθtanθ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这就是二倍角公式的三种形式。
其中，sin(2θ) = 2sinθcosθ是二倍角正弦的公式，cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 1 -2sin^2θ = 2cos^2θ - 1是二倍角余弦的公式，tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)是二倍角正切的公式。
二倍角公式的应用非常广泛，下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 角的加倍：通过二倍角公式可以将一个角的两倍角表示为该角的正弦、余弦和正切的形式。
三角函数的二倍角与半角公式
三角函数的二倍角与半角公式三角函数是数学中重要的概念之一，涉及到角度与三角比的关系。
在求解三角函数值时，常常用到二倍角与半角的公式。
本文将介绍三角函数的二倍角与半角公式，以及它们的应用。
1. 二倍角公式在三角函数中，二倍角公式是指在已知一个角的三角函数值的情况下，求解该角的二倍角的三角函数值的公式。
我们用角θ 表示已知角，角2θ 表示其二倍角。
接下来，我们将分别介绍正弦、余弦和正切的二倍角公式。
1.1 正弦的二倍角公式已知角θ 的正弦值为sin θ，其二倍角2θ 的正弦值可以表示为：sin 2θ = 2sin θ cos θ这个公式表明，求解正弦的二倍角可以通过利用已知角的正弦、余弦和两者之积来计算。
1.2 余弦的二倍角公式已知角θ 的余弦值为cos θ，其二倍角2θ 的余弦值可以表示为：cos 2θ = cos² θ - sin² θ这个公式可以改写为：cos 2θ = 2cos² θ - 1 = 1 - 2sin² θ根据这个公式，我们可以通过已知角的余弦、正弦和两者之积来求解余弦的二倍角值。
1.3 正切的二倍角公式已知角θ 的正切值为tan θ，其二倍角2θ 的正切值可以表示为：tan 2θ = (2tan θ)/(1 - tan² θ)这个公式表明，正切的二倍角可以通过已知角的正切值来计算。
2. 半角公式半角公式是指在已知一个角的三角函数值的情况下，求解该角的一半角的三角函数值的公式。
接下来，我们将分别介绍正弦、余弦和正切的半角公式。
2.1 正弦的半角公式已知角θ 的正弦值为sin θ，其半角θ/2 的正弦值可以表示为：sin(θ/2) = ±√((1 - cos θ)/2)在这个公式中，正负号取决于角的象限。
2.2 余弦的半角公式已知角θ 的余弦值为cos θ，其半角θ/2 的余弦值可以表示为：cos(θ/2) = ±√((1 + cos θ)/2)同样地，正负号取决于角的象限。
三角函数的倍角公式和半角公式
三角函数的倍角公式和半角公式三角函数是数学中非常重要的一部分，它们在几何形状、物理学和工程学等领域中广泛应用。
在三角函数中，倍角公式和半角公式是计算和简化三角函数值的重要工具。
本文将介绍三角函数的倍角公式和半角公式，并探讨它们的应用。
一、倍角公式倍角公式是指通过给定角的两倍来计算该角的三角函数值。
在三角函数中，常见的倍角公式包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
1. 正弦函数的倍角公式：sin(2θ) = 2sinθcosθ2. 余弦函数的倍角公式：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ3. 正切函数的倍角公式：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)利用倍角公式，我们可以快速计算给定角的三角函数值，而无需通过查表或使用计算器。
例如，若需要计算sin 60°的值，我们可以使用正弦函数的倍角公式，将角度60°表示为90°的一半。
根据倍角公式sin(2θ) = 2sinθcosθ，可以得到sin 60° = 2sin 30°cos 30°。
由于sin 30°和cos 30°的值可以通过常见角的三角函数值得到，我们可以使用倍角公式计算sin 60°的近似值。
二、半角公式半角公式是指通过给定角的一半来计算该角的三角函数值。
和倍角公式一样，半角公式在三角函数的计算中也有着重要的应用。
1. 正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ± √[(1 - cosθ) / 2]2. 余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ± √[(1 + cosθ) / 2]3. 正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ± √[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)]半角公式可以将给定角的三角函数值转化为与原角度相关的三角函数值，这在求解复杂的三角函数问题时非常有用。
正弦余弦正切的二倍角公式
正弦余弦正切的二倍角公式
二倍角公式是用来计算正弦、余弦和正切的二倍角的公式。
在三角函
数中，二倍角指的是原角的角度加倍。
正弦、余弦和正切的二倍角公式有
以下三个：
1.正弦的二倍角公式：
sin(2θ) = 2sinθcosθ
正弦的二倍角公式表示了正弦函数的二倍角与原角之间的关系。
根据
这个公式，我们可以将正弦的二倍角的值表示为正弦与余弦的乘积的两倍。
这个公式可以用来计算正弦函数的值，特别是在需要计算较大角度的正弦
值时非常有用。
2.余弦的二倍角公式：
cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ
= 1 - 2sin^2θ
= 2cos^2θ - 1
余弦的二倍角公式表示了余弦函数的二倍角与原角之间的关系。
根据
这个公式，我们可以将余弦的二倍角的值表示为余弦与正弦的平方之差，
或者正弦的二倍角的平方之差与1的差。
这个公式可以用来计算余弦函数
的值。
3.正切的二倍角公式：
tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)
正切的二倍角公式表示了正切函数的二倍角与原角之间的关系。
根据这个公式，我们可以将正切的二倍角的值表示为原角的正切的两倍除以1减去原角正切的平方。
这个公式可以用来计算正切函数的值。
这些二倍角公式在解决三角函数相关问题时非常有用，尤其是在需要计算较大角度的三角函数值时。
它们为我们提供了一个简便的方法来计算正弦、余弦和正切的二倍角。
三角函数余切,正割,余割和差角,半角,二倍角等公式
三角函数余切,正割,余割和差角,半角,二倍角等公式三角函数，也叫三角形函数，是一类函数，可以表示和描述二维空间中三角形的属性、性质等，是非常重要的数学概念。
本文将主要介绍其中一些关于三角形的函数，如余切、正割、余割和差角、半角、二倍角等。
一、余切对于任一定模式三角形，我们可以把它分成三角形的各边和角，且每个角都有自己的度数，记作α，β，γ。
现在，我们把α的正切函数的反函数，就是α的余切函数，它的标记为tg(α)的倒函数，记作cotg(α)，它可以用来表示三角形角α的余切。
公式表示为：cotg=tan (90°-α)二、正割对于任一定模式三角形，我们可以把它分成三角形的各边和角，即α、β、γ，α的正割函数的反函数就是α的正割，它的标记为ctg(α)，它的定义为：把α的正弦函数的倒函数，即sin(α)的倒函数定义为α的正割函数。
公式表示为：ctg=cos (90°-α)三、余割余割与正割的定义类似，余割的定义为α的余弦函数的倒函数，它的标记为cosec(α)，它的定义为：把α的余弦函数的倒函数，即cos(α)的倒函数定义为α的余割函数。
公式表示为：cosec =sin (90°-α)四、差角差角就是把两个角之间的夹角表达出来，该夹角就是所谓的差角。
差角可由以下公式表示：差角=α+β-γ其中，α、β、γ分别是三角形的三个角。
五、半角半角指的是三角形中某一角的一半，即α的一半。
其定义为：α的一半，可由以下公式表示：半角/2=α/2六、二倍角二倍角指的是三角形中某一角的两倍，即α的两倍。
该角度可表示为：二倍角 2α=2α以上就是关于三角函数的余切、正割、余割和差角、半角、二倍角等公式的介绍。
三角函数有着非常重要的概念和应用，熟悉三角函数，不但能帮助我们掌握一般函数的概念，而且可以帮助我们解决数学问题，提高学习效率，拓宽我们的知识面。
三角函数 二倍角公式
三角函数二倍角公式
三角函数是数学中的一个重要分支，它广泛应用于物理学、工程学、统计学等领域。
其中，二倍角公式是三角函数中的重要公式之一。
二倍角公式是指将一个角的角度翻倍后所得角的正弦、余弦、正
切和余切值。
具体而言，对于一个角θ，其二倍角的角度为2θ，于
是有以下公式：
sin(2θ) = 2sinθ cosθ
cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ
tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)
cot(2θ) = (cot^2θ - 1) / 2cotθ
其中，sin、cos、tan和cot分别表示正弦、余弦、正切和余切
函数。
这些公式可以帮助我们更方便地计算角的值，同时也有助于我
们解决一些实际问题。
例如，在几何学中，我们需要计算一个三角形的面积，而面积的
公式中需要用到角的正弦值。
如果我们不知道这个角的正弦值，但是
知道它的二倍角的正弦值，那么我们就可以通过二倍角公式来计算出
这个角的正弦值，从而进一步求解三角形的面积。
在物理学中，二倍角公式也经常被用到。
例如，在研究振动问题时，我们需要计算振幅的最大值，而振幅的最大值与振角的余弦值有关。
如果我们知道振角的二倍角的余弦值，那么我们就可以通过二倍
角公式来计算出振角的余弦值，从而进一步计算出振幅的最大值。
总的来说，二倍角公式在数学、物理、工程等领域都具有重要的
应用价值。
掌握这些公式能够帮助我们更好地理解三角函数，更快地
求解实际问题。
三角函数的二倍角公式与半角公式
三角函数的二倍角公式与半角公式在数学中，三角函数是研究角度的函数，有很多重要的性质和公式。
其中，二倍角公式和半角公式是三角函数中非常重要且常用的公式。
它们可以用来简化计算，解决问题，以及推导其他数学关系。
本文将详细介绍三角函数的二倍角公式与半角公式，并探讨其应用。
一、二倍角公式二倍角公式是指将角度加倍后的三角函数与原始角度的三角函数之间的关系。
在三角函数中，正弦函数、余弦函数和正切函数都有对应的二倍角公式。
1. 正弦函数的二倍角公式对于任意角θ，其正弦函数的二倍角公式可以表示为：sin(2θ)= 2sinθcosθ这个公式表明，一个角度的正弦函数的两倍等于这个角度的正弦函数与其余弦函数的乘积。
通过这个公式，我们可以简化计算，快速求得任意角度的正弦函数值。
2. 余弦函数的二倍角公式对于任意角θ，其余弦函数的二倍角公式可以表示为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式表明，一个角度的余弦函数的两倍等于该角度的余弦函数的平方减去该角度的正弦函数的平方。
同样地，这个公式也可以帮助我们简化计算，快速求得任意角度的余弦函数值。
3. 正切函数的二倍角公式对于任意角θ，其正切函数的二倍角公式可以表示为：tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan²θ)这个公式表明，一个角度的正切函数的两倍等于该角度的正切函数的二倍除以1减去该角度的正切函数的平方。
同样地，这个公式也可以帮助我们简化计算，快速求得任意角度的正切函数值。
二、半角公式半角公式是指将角度减半后的三角函数与原始角度的三角函数之间的关系。
与二倍角公式相似，正弦函数、余弦函数和正切函数也有对应的半角公式。
1. 正弦函数的半角公式对于任意角θ，其正弦函数的半角公式可以表示为：sin(θ/2) = √[(1 - cosθ) / 2]这个公式表明，一个角度的正弦函数的一半等于该角度的余弦函数的差值减去1除以2的平方根。
三角函数公式大全
三角函数公式大全本文主要介绍三角函数公式的大全，包括正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、弧度制、角度制等，共计52个公式。
三角函数是初等数学中重要的一部分，以它为基础可以推导出很多数学公式，也是物理、化学等自然科学中常用的数学工具。
1、正弦(sin)与余弦(cos)的关系公式sin θ = cos(90° - θ)cos θ = sin(90° - θ)2、正弦(sin)与余切(ctg)的关系公式sin θ = 1 / ctg θctg θ = 1 / sin θ3、正弦(sin)与正割(sec)的关系公式sin θ = 1 / sec(90° - θ)sec θ = 1 / sin(90° - θ)4、余弦(cos)与正切(tan)的关系公式cos θ = 1 / tan(90° - θ)tan θ = 1 / cos(90° - θ)5、余弦(cos)与余切(cot)的关系公式cos θ = 1 / cot(90° - θ)cot θ = 1 / cos(90° - θ)6、余弦(cos)与余割(cosec)的关系公式c os θ = 1 / cosec(90° - θ)cosec θ = 1 / cos(90° - θ)7、正切(tan)与余切(cot)的关系公式tan θ = 1 / cot θcot θ = 1 / tan θ8、正切(tan)与正割(sec)的关系公式tan θ = 1 / sec(90° - θ)sec θ = 1 / cot(90° - θ)9、正切(tan)与余割(cosec)的关系公式tan θ = 1 / cosec(90° - θ)cosec θ = 1 / cot(90° - θ)10、余切(cot)与正割(sec)的关系公式cot θ = 1 / sec θsec θ = 1 / cot θ11、余切(cot)与余割(cosec)的关系公式cot θ = 1 / cosec(90° - θ)cosec θ = 1 / tan(90° - θ)12、正割(sec)与余割(cosec)的关系公式sec θ = 1 / cosec(90° - θ)cosec θ = 1 / sec(90° - θ)13、正弦(sin)的倒数公式sin(-θ) = -sin θsin(θ ± 360°) = sin θ14、余弦(cos)的倒数公式cos(-θ) = cos θcos(θ ± 360°) = cos θ15、正切(tan)的倒数公式tan(-θ) = -tan θtan(θ ± 180°) = tan θ16、余切(cot)的倒数公式cot(-θ) = -cot θcot(θ ± 180°) = cot θ17、正割(sec)的倒数公式sec(-θ) = sec θsec(θ ± 360°) = sec θ18、余割(cosec)的倒数公式cosec(-θ) = -cosec θcosec(θ ± 360°) = cosec θ19、正弦(sin)的平方公式sin² θ + cos² θ = 11 - sin² θ = cos² θsin² θ = 1 - cos² θ20、余弦(cos)的平方公式sin² θ + cos² θ = 11 - cos² θ = sin² θcos² θ = 1 - sin² θ21、正切(tan)的平方公式tan² θ + 1 = sec² θ1 + cot² θ = cosec² θtan² θ = sec² θ - 122、余切(cot)的平方公式cot² θ + 1 = cosec² θ1 + tan² θ = sec² θcot² θ = cosec² θ - 123、正弦(sin)的角和公式sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin Bsin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B 24、余弦(cos)的角和公式cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B 25、正弦(sin)的二倍角公式sin 2A = 2 sin A cos A26、余弦(cos)的二倍角公式cos 2A = cos² A - sin² A27、正切(tan)的二倍角公式tan 2A = 2 tan A / (1 - tan² A)28、余切(cot)的二倍角公式cot 2A = (cot² A - 1) / 2 cot A29、正割(sec)的二倍角公式sec 2A = (sec² A + 1) / (2 sec A)30、余割(cosec)的二倍角公式cosec 2A = (cosec² A + 1) / (2 cosec A) 31、正弦(sin)的三倍角公式sin 3A = 3 sin A - 4 sin³ A32、余弦(cos)的三倍角公式cos 3A = 4 cos³ A - 3 cos A33、正切(tan)的三倍角公式tan 3A = (3 tan A - tan³ A) / (1 - 3 tan² A) 34、余切(cot)的三倍角公式cot 3A = (3 cot A - cot³ A) / (3 cot² A - 1) 35、正弦(sin)的四倍角公式sin 4A = 4 sin A cos A (2 cos² A - 1) 36、余弦(cos)的四倍角公式cos 4A = cos² 2A - sin² 2A37、正切(tan)的四倍角公式tan 4A = (4 tan A - 4 tan³ A) / (1 - 6 tan² A + tan⁴ A) 38、余切(cot)的四倍角公式cot 4A = (cot² 2A - 1) / 2 cot 2A39、正弦(sin)的半角公式sin (A/2) = ±√[(1 - cos A) / 2]40、余弦(cos)的半角公式cos (A/2) = ±√[(1 + cos A) / 2]41、正切(tan)的半角公式tan (A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)]42、余切(cot)的半角公式cot (A/2) = ±√[(1 + cos A) / (1 - cos A)]43、正割(sec)的半角公式sec (A/2) = ±√[(1 + cos A) / (1 - cos A)]44、余割(cosec)的半角公式cosec (A/2) = ±√[(1 - cos A) / (1 + cos A)]45、正弦(sin)的万能公式a sin x +b cos x = √(a² + b²) sin(x + atan(b/a))46、余弦(cos)的万能公式a cos x -b sin x = √(a² + b²) cos(x + atan(b/a))47、正切(tan)的万能公式a tan x -b cot x = atan[(a sin x - b cos x)/(a cos x + b sin x)]48、余切(cot)的万能公式a cot x -b tan x = atan[(b sin x - a cos x)/(a sin x + b cos x)]49、正割(sec)的万能公式a sec x +b cosec x = 2 √(a² + b²) / [sin(2x + atan(b/a)) + sin(2x - atan(b/a))]50、余割(cosec)的万能公式a cosec x +b sec x = 2 √(a² + b²) / [sin(2x + atan(b/a)) - sin(2x - atan(b/a))]51、弧度制与角度制的转换公式弧度制 = 角度制× π / 180角度制 = 弧度制× 180 / π52、三角函数的图像正弦(sin)的图像：余弦(cos)的图像：正切(tan)的图像：余切(cot)的图像：正割(sec)的图像：余割(cosec)的图像：以上是三角函数公式的大全，通过掌握这些公式可以更深入地了解三角函数的性质和应用，有助于提高数学水平。
二倍角的正弦,余弦,正切公式
Sin2α=2sinα·cosα
倍 cos 2 cos 2 sin 角 cos 2 2 cos 1 公 cos 2 1 2 sin 2 式 2 tan tan 2 2 1 tan ( k2 且 k 4 2)
2 2
x 12cos2 2
12
【3】化简：
解：
我思考! 我会做， 你呢？
2 cos 40
sin 40 cos10
sin 80 cos10
； 时时娱乐
zth17awb
欲避无从避起、欲拈怕拈伤纤丝，分外为难。如今毓笙忽而明敏解语、豁达大方，他意外之喜，心胸都为之一爽，却又 想起宝音，笑声一敛，转为黯然神伤。乐韵于帘下服侍苏明远穿回雨具，院中又有人来，却是两个婆子，口称领嘉颜命， 奉两个盒子来，苏明远问道：“这样晚，是什么？”一个婆子道：“回大少爷，是些摆设用度之物。”另一个婆子嘴快： “都是重阳用的器皿糕点。”毓笙母逝父陋，苏老太太又非她亲生的外婆，表面上无一些亏待，实则是冷淡得多的，日 常用具、并节下玩器，都差着别屋，纵嘉颜细腻周到，也不能样样替毓笙院中额外照应，而今主子们都在山上没回来， 怎想到给毓笙院里加东西？苏明远心里微愕，也未加理会处，便回去了。婆子们一样样东西给乐韵看过，挎空盒子回去 了。乐韵将东西禀了毓笙，措辞小心，态度恭谨，几乎可以说有些畏惧。她一直是看不起这位 ，但几天前 几乎病死过 去，再醒来，就好像变了个人，莫非是鬼门关上打了转，看穿了生死？从前的怯懦不见了，小心眼更荡然无存，变得浩 然泠然，倒仿佛是——淬了火的刀！不久前把嘉颜都弹压住，也没费什么言辞、不曾递人一分把柄，这上下该来的东西 都送过来了，何等手段？她要再看不起 ，莫非是自己往刀口上送吗！洛月束起了帘帷，替 杯中续好暖茶捧来，毓笙啜 了一口，倚回引枕上，望着微微摆动的帘角。他刚刚坐在这儿，但连他都作梦也想不到罢……毓笙轻轻转过头，掩了唇 角忍不住滑出的冷笑。想不到，她这具身体里的魂儿，已是宝音。第五章 前生后世两茫茫（1）宝音清楚的记得，那 日——便是宝音活在人世的最后一日——真真的半点儿预兆都没有，她正忙着与嘉颜筹备重阳节下诸事宜。她与嘉颜， 是苏老太太身边的一等丫头，左膀右臂，一应事宜都躲不得闲。正是蛩声初动，桐叶生凉的好时节。游学在外的谢大公 子苏明远，也是刚回来没多久，厨下小丫头柳莺儿贪着偷看他，竟忘了火候，生生炊坏明儿要用的八屉儿重阳糕，管事 大娘气狠了，拧着她的耳朵，嚷嚷要把她撵出去。莺儿的亲姐姐燕儿唬得脸都黄了，找嘉颜，救她看在同乡份上救她一 救。宝音恰与嘉颜同对帐簿，一个数字怎么算也算不平，虽是小数目，宝音总觉可疑，嘉颜劝她：“算了！先过节要紧， 这等小小数字，想是谁记错了，回头对出来，再责打不迟。”宝音做事最认真，摇头道：“这干大娘大婶子们，颠三倒 四的记错不是一天两天，你去问她们，她们才肯承认呢！终究我需对出来，查到是哪个条目哪个人人，拿到她鼻子底下， 她才赖不掉了。过节么，”对着嘉颜撒赖的皱皱鼻子，“左右有你在，走不了大褶儿！”嘉颜好气又好笑，恰柳燕儿来， 又不肯说什么事，硬把嘉颜求扯到旁
【高中数学】两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)，β，α±β≠π2＋k π，k ∈两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α≠k π＋π2且α≠k π2＋π4，k ∈二倍角是相对的，例如，α2是α43α是3α2的二倍角．二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φsin φ＝b a 2＋b 2，cos φ考点一三角函数公式的直接应用[典例](1)已知sin α＝35，αtan β＝－12，则tan(α－β)的值为()A ．－211B.211C.112D ．－112(2)(2019·呼和浩特调研)若sin (π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为()A ．－229B ．－429C.229D.429[解析](1)因为sin α＝35，α所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34.所以tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝－211.(2)因为sin(π－α)＝sin α＝13，π2≤α≤π，所以cos α＝－1－sin 2α＝－223，所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×13×＝－429.[答案](1)A(2)B[解题技法]应用三角公式化简求值的策略(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．[题组训练]1．已知sin α＝13＋cos α，且α，则cos 2α()A ．－23B.23C ．－13D.13解析：选A因为sin α＝13＋cos α，所以sin α－cos α＝13，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4＋cos αsin π4＝(cos α－sin α)(cos α＋sin α)22(sin α＋cos α)＝－1322＝－23.2．已知sin α＝45，且αsin α________．解析：因为sin α＝45，且αα所以cos α＝－1－sin 2α＝－＝－35.因为sin 2α＝2sin αcos α＝－2425，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.所以αsin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝－24＋7350.答案：－24＋7350考点二三角函数公式的逆用与变形用[典例](1)(2018·全国卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解析](1)∵sin α＋cos β＝1，①cos α＋sin β＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1，∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°·tan 35°＝3(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3.[答案](1)－12(2)3[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin αsin α2±cos ；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.[提醒](1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．(3)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．[题组训练]1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是()A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b解析：选D由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a ＝cos 50°cos 127°＋cos40°cos 37°＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)＝cos 77°＝sin 13°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)＝22sin 56°－22cos 56°＝sin(56°－45°)＝sin 11°，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°＝1－sin 239°cos 239°1＋sin 239°cos 239°＝cos 239°－sin 239°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y ＝sin x ，x ∈0，π2为增函数，所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，所以a >c >b .2.已知sin α＝435，则________.解析：由sin α＝435，可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32cos α＝435，∴3sin ＝435，即＝45.答案：453.化简sin sin sin 2α的结果是________．解析：sin 2α＝1－12cos ααsin 2α＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12.答案：12考点三角的变换与名的变换考法(一)三角公式中角的变换[典例](2018·浙江高考改编)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点－35，－若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解析]由角α的终边过点－35，－得sin α＝－45，cos α＝－35.由sin(α＋β)＝513，得cos(α＋β)＝±1213.由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，所以cos β＝－5665或cos β＝1665.[答案]－5665或1665[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝考法(二)三角公式中名的变换[典例](2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解](1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β)＝－55，所以α＋β所以sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝255，所以tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247.所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan (α＋β)1＋tan 2αtan (α＋β)＝－211.[解题技法]三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．[题组训练]1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos ()A.12B.13C.14D.15解析：选C由tan θ＋1tan θ＝4，得sin θcos θ＋cos θsin θ＝4，即sin 2θ＋cos 2θsin θcos θ＝4，∴sin θcos θ＝14，∴cos ＝1－sin 2θ2＝1－2sin θcos θ2＝1－2×142＝14.2．(2018·济南一模)若＝7210A sin A 的值为()A.35B.45C.35或45D.34解析：选B ∵A A ＋π4∈∴＝－210，∴sin A ＝－π4＝cos π4－sin π4＝45.3．已知sin α＝－45，α∈3π2，2π，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝()A.613B.136C ．－613D ．－136解析：选A ∵sin α＝－45，α∈3π2，2π，∴cos α＝35.又∵sin (α＋β)cos β＝2，∴sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，∴tan(α＋β)＝613.[课时跟踪检测]A 级1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝()A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋1，则cos 2x ＝()A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若＝－33，则cos α＝()A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选C cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝3cos ＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝()A.3B.2C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33.5．若α3cos 2α＝sin 2α的值为()A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C由3cos 2α＝3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718.6．已知sin 2α＝13，则cos ()A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选Dcos ＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23.7．已知＝12，α－π2，cos________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以＝12cos α＋32sin α＝－12.答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cosαsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝＋π4＝tanπ41－tan π4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－111．已知tan α＝2.(1)求tan(2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝2＋11－2＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(2cos 2α－1)－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1.12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．解：(1)∵α，β，∴－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝45×31010＋35×＝91050.B 级1．(2019·广东五校联考)若4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan2θ＝________.解析：∵4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14，∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157.答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，则________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos 2(A ＋B )＝725，＝－45，可得cos (A ＋B )＝－2425×＋725×35＝117125.答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝x ∈R.(1)求f(2)若cos θ＝45，θf θ解：(1)－π4＋＝－12.(2)θθ－π3＋θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θsin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以θ＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×＝17250.。
正弦余弦正切公式大全
正弦余弦正切公式大全正弦公式：正弦函数是指在直角三角形中，对于任意角度θ，对边与斜边的比值。
正弦函数使用sin(θ)表示，其中θ为角度。
正弦公式可以表示为：sin(θ) = 对边/斜边余弦公式：余弦函数是指在直角三角形中，对于任意角度θ，邻边与斜边的比值。
余弦函数使用cos(θ)表示，其中θ为角度。
余弦公式可以表示为：cos(θ) = 邻边/斜边正切公式：正切函数是指在直角三角形中，对于任意角度θ，对边与邻边的比值。
正切函数使用tan(θ)表示，其中θ为角度。
正切公式可以表示为：tan(θ) = 对边/邻边在直角三角形中，还有两个重要的三角函数：余切函数和正割函数。
余切公式：余切函数是指在直角三角形中，对于任意角度θ，邻边与对边的比值。
余切函数使用cot(θ)表示，其中θ为角度。
余切公式可以表示为：cot(θ) = 邻边/对边正割公式：正割函数是指在直角三角形中，对于任意角度θ，斜边与邻边的比值。
正割函数使用sec(θ)表示，其中θ为角度。
正割公式可以表示为：sec(θ) = 斜边/邻边除了以上基本的三角函数公式，还有一些重要的三角函数恒等式：1.和差公式：sin(A ± B) = sin(A)cos(B) ± cos(A)sin(B)cos(A ± B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B)tan(A ± B) = (tan(A) ± tan(B))/(1 ∓ tan(A)tan(B))2.二倍角公式：sin(2A) = 2sin(A)cos(A)cos(2A) = cos^2(A) - sin^2(A)tan(2A) = 2tan(A)/(1 - tan^2(A))3.三倍角公式：sin(3A) = 3sin(A) - 4sin^3(A)cos(3A) = 4cos^3(A) -3cos(A)tan(3A) = (3tan(A) - tan^3(A))/(1 - 3tan^2(A))4.万能公式：sin^2(A) + cos^2(A) = 11 + tan^2(A) = sec^2(A)1 + cot^2(A) = csc^2(A)这些公式在解决三角函数的运算、证明、及物理模型等问题中起到非常关键的作用。
正弦、余弦、正切的二倍角公式
详细描述
为了证明正弦的二倍角公式，我们可以利用三角函数的和差化积公式。首先，将sin2A 表示为sin(A+A)，然后利用和差化积公式展开，得到2sinAcosA的结果。通过比较两
侧的表达式，我们可以证明正弦的二倍角公式sin2A=2sinAcosA是成立的。
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余弦的二倍角公式
详细描述
正切的半角公式是将角度减半后，利用二倍 角公式计算正切值。具体公式为：tan(α/2)
= ±√[(1-cosα)/(1+cosα)] 或 tan(α/2) = ±√[(1+cosα)/(1-cosα)]。
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正切的二倍角公式
公式推导
01 02
公式推导
利用三角函数的和差公式，将正切的二倍角公式推导出来。通过将正切 函数表示为余弦函数和正弦函数之比，利用三角函数的和差公式，推导 出正切的二倍角公式。
公式形式
正切的二倍角公式为tan(2α) = 2tan(α) / (1 - tan^2(α))。
03
推导过程
公式应用
总结词
列举几个常见的应用场景，说明余弦的二倍角公式的实际意义。
详细描述
余弦的二倍角公式在解决实际问题中有着广泛的应用，例如在求解三角形角度、 计算向量夹角、解决物理问题等场景中都会用到。通过余弦的二倍角公式，可以 方便地计算出二倍角的余弦值，进而得到其他三角函数值或角度值。
公式证明
要点一
总结词
给出余弦的二倍角公式的证明过程，展示公式的正确性和 可靠性。
要点二
详细描述
余弦的二倍角公式的证明过程可以通过三角函数的和差化积 公式进行推导。具体来说，利用三角函数的和差化积公式， 令$A = alpha$，$B = alpha$，可以得到$cos 2alpha = cos^2 alpha - sin^2 alpha$。进一步利用三角函数的基本 恒等式$cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1$，可以证明余弦 的二倍角公式的正确性。
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x) sin x 3 cos 2 x 2
2 , ] 上的单调性． 6 3
23．已知函数 f ( x ) 2sin x cos x, x R ． （Ⅰ）求 f ( ) 的值； （Ⅱ）求函数 f ( x ) 的最小正周期； （Ⅲ）求函数 g ( x ) = f ( x ) + f ( x
正余弦、正切二倍角公式
sin 2 2sin cos cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 1 2sin 2 cos 2 2 cos 2 1 tan 2 2 tan 1 tan 2 1 sin cos sin 2 2 2 2 cos sin cos 2 1 sin 2 (1 cos 2 ) 2 1 cos 2 (1 cos 2 ) 2 2 tan 1 tan 2 sin 2 cos 2 1 tan 2 1 tan 2
2
x ) 1( x R ) 是（ 4
）
1 2 ，则 cos ( ) （ 3 4
C．
B．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 2 的偶函数 ） D． ） D．
B．
1 2 ) ，则 cos( 2 ) （ 6 4 3
B．﹣ C．
） ) 的单调递增区间（ 2 A． (2k , 2k ) k Z B． (2k , 2k 2 ) k Z C． ( k , k ) k Z D． ( k , k , ) k Z 2 2 1 2 14．函数 f ( x ) (1 cos 2 x ) sin x, x R 是（ ） 2 A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的奇函数 2 C．最小正周期为 的偶函数 D．最小正周期为 的偶函数 2 15．函数 y sin x cos x 是（ ） A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数 C．最小正周期为 2 的奇函数 D．最小正周期为 2 的偶函数 3 12 3 16．已知 , cos( ) ,sin( ) ，则 sin 2 的值为（ 2 4 13 5 56 56 16 16 A． B． C． D． 65 65 65 65 17．函数 y sin( x ) cos( x ) 是（ ） 4 4 A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数 C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数 2 2 3 18． sin cos ，则 sin 2 =（ ） 3 2 2 2 2 A． B． C． D． 3 9 9 3 1 19．若 [ , ], cos 2 ，则 sin （ ） 4 2 8 7 3 3 4 A． B． C． D． 5 4 4 5 4 4 20．已知 x [ , ] ，则函数 y sin x cos x 的最小值是（ ） 12 3 3 1 A．﹣1 B． C． D．1 2 2
3． 2sin15°cos15°=（ A． ）
3 ，则 sinA+cosA=（ ） 4 7 7 7 7 A． ． B． . C．. D． 2 2 2 4 4 5．设 为锐角，若 cos = ，则 sin2 的值为（ ） 5 12 24 24 12 A． B． C． D． 25 25 25 25 4 6．设 为锐角，若 cos( ) ，则 sin(2 ) 的值为（ ） 6 5 3 12 24 24 12 A． B． C． D． 25 25 25 25 1 7．已知 sin( ) ，则 cos 2 =（ ） 3 4 2 7 8 7 A． B． C． D． 9 9 9 9 1 8．已知 sin( ) ，则 cos 2 等于（ ） 2 3 7 8 7 8 A． B． C． D． 9 9 9 9 x 2 9．函数 y 2 cos ( ) 1( x R ) 的图象的一条对称轴是（ ） 2 3
4．若△ABC 内角 A 满足 sin2A= A． x
1 2
B．
1 2
C．
3 2
D．
3 2
6
B． x
6
C． x
3
D． x
3
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10．函数 f ( x ) 2sin (
2
A．最小正周期为sin 2 A． 12．若 sin( A．﹣
13．函数 y cos ( x
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）
二．解答题（共 10 小题） 21．已知 为第二象限角，且 sin （Ⅰ）求 cos 2 的值； （Ⅱ）求 sin(
15 ， 4
) 的值． 6
22．已知函数 f ( x ) sin(
（Ⅰ）求 f ( x ) 的最小正周期和最大值； （Ⅱ）讨论 f ( x ) 在 [
4
) 的最大值． 4
24．设函数 f ( x ) 2sin ( x
2
（1）求函数 f ( x ) 的最大值，并求出此时 x 的值；
2 ) 2 cos 2 x( 0) 的图象上两个相邻的最低点之间的距离为 4 3 个单位长度， 再沿 y 轴对称后得到的， 求函数 g ( x ) 8
一．选择题（共 20 小题） 1．设 sin(
1 ） ) ，则 sin 2 等于（ 4 3 2 2 7 2 A． B． C． D． 9 3 9 6 1 2．已知 sin cos( ) ，则 sin 2 的值为（ ） 3 8 1 8 4 A． B． C． D． 9 9 9 9