最新2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷
山东省泰安肥城市2018-2019学年高一数学上学期期中试题
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16. a 3 或 a 9
2
2
17.(10 分)
解:(1)由题意得: 21 2x 23 ,即 1 x 3 ,
∴ A x | 1 x 3. ……………………………………………………………2 分
∴当 x Z 时,集合 A 0,1, 2. ……………………………………………………3 分
山东泰安肥城市 2018-2019 学年高一数学上学期期中试题
本试卷共 22 题,满分 150 分,共 6 页.考试用时 120 分钟. 注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框) 内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;
∴ B x | (x 2) x 3a 1 0 . ………………………………………………2 分
(1)当 a 1时, A 2, B x | x 2x 4 0 x | 2 x 4, …3 分
∴对 x A ,都有 x B ,
∴ A B . ………………………………………………………………………………5 分
分
即银行裁员 80 人,所获得的经济效益最大为 8160 万元.
分 21.(12 分)
………………………12
解:∵ a2 1 2a ,
∴ A x | 2a x a2 1 .……………………………………………………………1 分
又由 x2 3a 1x 23a 1 0 得 (x 2) x 3a 1 0 ,
2
(1)当 x Z 时,写出集合 A 的所有非空子集;
(2)若 A B x | 1 x 1,求 m 的值.
宁夏银川一中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷 Word版含解析
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银川一中2018—2019学年度(上)高一期中考试数学试题一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用补集的定义求出集合B的补集,利用交集的定义求出.【详解】∵,,∴={﹣1,2}∵,∴故选:A.【点睛】求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解;在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.2.函数的定义域是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由对数式的真数大于0,分式的分母不为0联立不等式组求解.【详解】由解,得x>0且x≠1.∴函数f(x)=+lgx的定义域是(0,1)∪(1,+∞).故选:B.【点睛】常见基本初等函数定义域的基本要求(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y=x0的定义域是{x|x≠0}.(5)y=a x(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.(6)y=log a x(a>0且a≠1)的定义域为(0,+∞).3.函数在区间上的最小值是()A. B. C. -2 D. 2【答案】B【解析】【分析】直接利用函数的单调性,求出函数闭区间上的最小值即可.【详解】函数f(x)=()x在区间[﹣1,1]上是减函数,所以函数的最小值为:f(1)=.故选:B.【点睛】本题考查指数函数的单调性的应用,基本知识的考查.4.下列函数中,在区间上单调递减的函数是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析给定四个函数在区间(0,+∞)上的单调性,可得结论.【详解】函数y=log2x在区间(0,+∞)上单调递增,不符合题意;函数y=在区间(0,+∞)上单调递增,不符合题意;函数y=|x|在区间(0,+∞)上单调递增,不符合题意;函数y=在区间(0,+∞)上单调递减,符合题意;故选:D.【点睛】本题考查的知识点是函数的单调性,熟练掌握各种基本初等函数的单调性是解答本题的关键.5.已知函数,则()A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】利用分段函数,通过函数的周期性,转化求解函数值即可.【详解】函数f(x)=,则f(﹣3)=f(﹣3+2)=f(﹣1)=f(﹣1+2)=f(1)=log21=0.故选:B.【点睛】本题考查分段函数的应用,函数值的求法,考查计算能力.6.已知幂函数在上是增函数,则实数()A. 2B. -1C. -1或2D.【答案】A【解析】【分析】根据幂函数的定义与性质,列出方程组求出m的值.【详解】幂函数f(x)=(m2﹣m﹣1)x m在(0,+∞)上增函数,则,解得m=2.故选:A.【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题,是基础题.7.已知,则函数与函数的图象可能是()A. B. C. D.【答案】D【解析】,,的函数与函数互为反函数,二者的单调性一至,且图象关于直线对称,故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查指数函数、对数函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意的选项一一排除.8.设是函数的零点,且,则的值为()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】因为函数是单调递增函数,,故,所以,故选B.9.函数的单调减区间是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可得﹣x2+4x+5≥0,解不等式结合二次函数的性质和复合函数的单调性可得答案.【详解】由﹣x2+4x+5≥0可解得﹣1≤x≤5,结合二次函数的性质和复合函数的单调性可得:函数y=的单调减区间是故选:C.【点睛】复合函数的单调性:对于复合函数y=f[g(x)],若t=g(x)在区间(a,b)上是单调函数,且y=f(t)在区间(g(a),g(b))或者(g(b),g(a))上是单调函数,若t=g(x)与y=f(t)的单调性相同(同时为增或减),则y=f[g(x)]为增函数;若t=g(x)与y=f(t)的单调性相反,则y =f[g(x)]为减函数.简称:同增异减.10.函数的零点个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】本题考查的是函数零点的个数判定问题.在解答时,可先结合函数的特点将问题转化为研究两个函数图象交点的问题.继而问题可获得解答.【详解】由题意可知:要研究函数f(x)的零点个数,只需研究函数y=,y=x2的图象交点个数即可.画出函数y=2x,y=x2的图象由图象可得有3个交点,如第一象限的A(-2,4),B(-4,16)及第一象限的点C.故选:C.【点睛】本题考查的是函数零点的个数判定问题.在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、数形结合的思想以及问题转化的思想.值得同学们体会和反思.11.下列结论正确的是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指数与对数函数单调性即可判断结论.【详解】A.∵<,∴log52<log32,因此不正确.B.∵0.93<1<30.9,因此不正确.C.∵log0.32<0<0.32,因此不正确.D.∵=﹣log32>﹣1,=﹣log23<﹣1,∴∵>.因此正确.故选:D.【点睛】本题考查了指数与对数函数单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.12.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家,用其名字命名的“高斯函数”为:设,用表示不超过的最大整数,则称为高斯函数,例如:,,已知函数,则函数的值域是()A. B. C. D.【答案】D【解析】,为奇函数,函数化简得出:,,,当时,,当时,,当时,,函数的值域为,故选D.【方法点睛】本题考查函数的值域、指数式的运算以及新定义问题,属于难题. 新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题定义高斯函数达到考查函数的值域、指数式的运算的目的.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.已知函数,则_________.【答案】【解析】【分析】令t=x-1,则x=t+1,代入可得f(t),即可得到f(x)的解析式【详解】由函数,令t=x-1,则x=t+1,即有f(t)=2(t+1)+1=2t+3,即f(x+1)=2x+5.故答案为:.【点睛】本题考查函数解析式的求法,注意运用换元法,考查运算能力,属于基础题.14.函数的图象恒过定点,且点在幂函数的图像上,则__________.【答案】9【解析】【分析】由log a1=0得2x﹣3=1,求出x的值以及y的值,即求出定点的坐标.再设出幂函数的表达式,利用点在幂函数的图象上,求出α的值,然后求出幂函数的表达式即可得出答案.【详解】∵log a1=0,∴当2x﹣3=1,即x=2时,y=4,∴点M的坐标是P(2,4).幂函数f(x)=xα的图象过点M(2,4),所以4=2α,解得α=2;所以幂函数为f(x)=x2则f(3)=9.故答案为:9.【点睛】本题考查对数函数的性质和特殊点,主要利用log a1=0,考查求幂函数的解析式,同时考查了计算能力,属于基础题.15.已知,则_________.【答案】2【解析】【分析】由可得代入目标,利用换底公式即可得到结果.【详解】∵∴,∴故答案为:2【点睛】本题考查对数的运算性质,考查了指数式和对数式的互化,考查了计算能力,属于基础题.16.定义在上的偶函数满足:对任意的(),有,且,则不等式的解集是__________.【答案】【解析】【分析】根据函数的奇偶性与单调性得到关于x的不等式组,解出即可.【详解】由题意:在区间(﹣∞,0]上,f(x)是减函数,又是偶函数,则在区间(0,+∞)上,f(x)是增函数.由<0⇒<0,则或,又f(2)=0,所以或,⇒x<﹣2或0<x<2.故不等式的解集是(﹣∞,﹣2)∪(0,2),故答案为:(﹣∞,﹣2)∪(0,2).【点睛】函数的单调性与奇偶性相结合,注意函数的单调性及奇偶性的定义,以及奇、偶函数图象的对称性.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.计算:(1);(2)已知,求的值.【答案】(1);(2)。
福建省福安市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学(含答案)
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2018—2019学年福安一中第一学期期中考高一数学试卷(满分:150分; 时间:120分钟)注意事项:1.答卷前,考生务必将班级、姓名、座号填写清楚。
2.每小题选出答案后,填入答案卷中。
3.考试结束,考生只将答案卷交回,试卷自己保留。
第I 卷(选择题 共60分)一、选择题:本小题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}.6,5,4,3,2,1=I {}6,2,1=M ,{}4,3,2=N . 则集合{}6,1= A .MNB .M NC .()I MN ðD .()I NM ð2.函数()lg(1)f x x =+的定义域是 A .),1(+∞- B .(1,1)- C. (]-11,D .)1,(--∞3.下列各组函数中,表示同一函数的是A. 2(),f x x =3()g x x =B. 2(),f x x =2()()g x x =C. 2(),x f x x =()g x x = D .,0(),(),0x x f x x g x x x ≥⎧==⎨-<⎩4.已知函数21,0(),0xx f x x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩, 若()3,f x = 则实数x 的值为A .3-B .1C .3-或1D . 3-或1或35.下列函数是奇函数且在(0,)+∞上单调递减的是A.2y x =- B.y x = C.12log y x = D. 1y x=6.函数()327x f x x =+-的零点所在的区间为A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4) 7.三个数0.63,a = 3log 0.6,b = 30.6c =的大小顺序是A .a >c >bB .a >b >cC .b >a >cD .c >a >b 8.函数()x f x a =与1g()log ax x =(01a a >≠且)在同一坐标系中的图象可以是9.已知定义在R上的函数()f x满足:()()()1f x y f x f y+=++,若(8)7f=, 则(2)f=A. 7B. 3C. 2D. 110.双“十一”要到了,某商品原价为a元,商家在节前先连续5次对该商品进行提价且每次提价10%.然后在双“十一”期间连续5次对该商品进行降价且每次降价10%.则最后该商品的价格与原来的价格相比A.相等B.略有提高C.略有降低D.无法确定11.已知()f x是定义域为[]3,3-的奇函数, 当30x-≤≤时, 2()2f x x x=-,那么不等式(1)(32)f x f x+>-的解集是A. []0,2 B.20,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C.2(,)3-∞ D.2(,)3+∞12.已知方程1ln0xxe⎛⎫-=⎪⎝⎭的两根为12,x x,且12x x>,则A.11211xx x<< B.21211xx x<< C.11211xx x<< D.21211xx x<<第II卷(非选择题共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡相应位置.13.幂函数()fx xα=的图像过点(2,,则(16)f= .14.函数213()log(9)f x x=-的单调递减区间为.15.设实数,yx满足:1832==yx,则=+yx21_________.16.给出下列说法①函数()11f x x x=++-为偶函数;②函数13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与3logy x=-是互为反函数;③函数lgy x=在(,0)-∞上单调递减;A. B. C. D.④函数1()(0)12xf x x =≠-的值域为(1,)+∞. 其中所有正确的序号是___________ .三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)求下列各式的值:(Ⅰ)+10221)-+;(Ⅱ)2l o g 32l g 12.5l g 8g 82++- . 18.(本小题满分12分)已知全集U =R ,集合}31|{≤≤=x x A ,集合}42|{>=x x B . (Ⅰ)求 ()U B A ð;(Ⅱ)若集合{}1C x a x a =<<+,且C A C =, 求实数a 的取值范围.19. (本小题满分12分)已知()f x 是定义在R 上的偶函数,当0x ≥时,21,02()515,2x x f x x x ⎧+≤<=⎨-+≥⎩(Ⅰ)在给定的坐标系中画出函数()f x 在R上的图像(不用列表);(Ⅱ)直接写出当0x <时()f x 的解析式; (Ⅲ)讨论直线()y m m =∈R 与()y f x =的图象 的交点个数. 20.(本小题满分12分)已知定义在R 上的函数3()13xxb f x a -=+⋅是奇函数.(Ⅰ)求实数,a b 的值;(Ⅱ)判断()f x 的单调性,并用定义证明.21.(本小题满分12分)水葫芦原产于巴西,1901年作为观赏植物引入中国. 现在南方一些水域水葫芦已泛滥成灾严重影响航道安全和水生动物生长. 某科研团队在某水域放入一定量水葫芦进行研究,发现其蔓延速度越来越快,经过2个月其覆盖面积为218m ,经过3个月其覆盖面积为227m . 现水葫芦覆盖面积y (单位2m )与经过时间(x x ∈N)个月的关系有两个函数模型(0,1)x y ka k a =>>与12(0)y px q p =+>可供选择.1.732,lg 20.3010,lg 30.4771≈≈≈≈ )(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;(Ⅱ)求原先投放的水葫芦的面积并求约经过几个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍. 22.(本小题满分12分) 已知函数2()log (21)xf x kx =+-的图象过点25(2,log )2. (Ⅰ)求实数k 的值; (Ⅱ)若不等式1()02f x x a +->恒成立,求实数a 的取值范围; (Ⅲ)若函数1()2()241f x xx h x m +=+⋅-,2[0,log 3]x ∈,是否存在实数0m <使得()h x 的最小值为12,若存在请求出m 的值;若不存在,请说明理由.高一数学试卷答案与评分标准一.选择题:13. 4 14.3+∞(,)15.1 16. ①②③ 三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分10分)解:(Ⅰ)原式=-············································· 4分=-1+1=··············································································· 5分(Ⅱ)原式=322lg12.58log 23⨯+- ································································ 8分=3lg10032+- =2-32··························································································· 9分=12 ····························································································· 10分18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)24x > 2x ∴>()2,B ∴=+∞··············································································· 2分 (],2u B ∴=-∞ð ············································································· 4分 ()(],3u B A ∴=-∞ð ··················································································· 6分(Ⅱ)C A C = C A ∴⊆ ······························································································ 7分 113a a ≥⎧∴⎨+≤⎩······························································································11分 12a ∴≤≤······························································································· 12分 (有讨论C=∅的情况,过程正确,不扣分) 19. (本小题满分12分) 1(Ⅰ)解:函数图象如图:·············································································································· 4分(Ⅱ)21,20()515,2x x f x x x ⎧+-<<=⎨+≤-⎩ ···························································· 6分(Ⅲ)设交点个数为()g m 当5m >时,()0g m =; 当5m =时,()2g m =; 当15m <<时,()4g m =; 当1m =时,()3g m =; 当1m <时,()2g m =;……………………………………………………..12分综上所述,0,52,1()3,14.15m m g m m m >⎧⎪<⎪=⎨=⎪⎪<<⎩或m=5(没有写出分段形式答案不扣分) 20.(I )3()13x xb f x a -=+⋅是定义在R 上的奇函数(0)0f ∴=即003013b a -=+⋅ ············································································ 1分 得1b = ··································································································· 2分1121323(1)113313f a aa ----===+⋅++⋅11132(1)1313f a a --==+⋅+ 由(1)(1)f f -=-得1a = ················································································ 3分经检验:1,1a b ∴==时,13()13x xf x -=+是定义在R 上的奇函数 ····························· 4分1,1a b ∴== ····························································································· 5分 解法二:3()13x xb f x a -=+⋅331()133x x xxb b f x a a---⋅-∴-==+⋅+ ···································· 1分由()()f x f x -=-得313313x x xxb b aa ⋅--=-++⋅ ························································· 3分1a ∴=, 1b = ···························································································· 5分 (II )()f x 在R 上单调递减. ······································································· 6分证明如下: 由(I )知13()13x xf x -=+设12,x x 是R 上的任意两个实数,且12x x <, ···················································· 7分 则1212122112121313()()1313(13)(13)(13)(13)(13)(13)x x x x x x x x x x f x f x ---=-++-+--+=++21122(33)(13)(13)x x x x -=++ ······················································································ 10分 21121212330,(13)(13)0()()0x x x x x x f x f x <∴->++>∴->即12()()f x f x >()f x ∴在R 上单调递减. ······················································· 12分解法二:132()11313x x xf x -==-+++ ································································· 6分 ()f x 在R 上单调递减. ··············································································· 7分 设12,x x 是R 上的任意两个实数,且12x x <,则 ················································· 8分 12121222()()(1)(1)1313221313x x x x f x f x -=-+--+++=-++21122(33)(13)(13)x x x x -=++ ···················································································· 10分 21121212330,(13)(13)0()()0x x x x x x f x f x <∴->++>∴->即12()()f x f x >()f x ∴在R 上单调递减. ······················································· 12分 21.(本小题满分12分) 解:(0,1)xy k a k a =>>的增长速度越来越快,12(0)y px q p =+>的增长速度越来越慢.(0,1)x y ka k a ∴=>>依题意应选函数 ······················································· 2分则有23=18=27ka ka ⎧⎪⎨⎪⎩, ·················································································· 4分解得3=2=8a k ⎧⎪⎨⎪⎩38()()2x y x N ∴=∈, ················································································ 6分 (Ⅱ)当0x =时,8y = ············································································ 7分 该经过x 个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍. 有38()810002x ⋅=⨯ ······················································································ 9分 32log 1000x ∴=lg10003lg 2=······························································································ 10分 3lg3lg 2=-17.03≈ ··································································································11分 答:原先投放的水葫芦的面积为8m 2, 约经过17个月该水域中水葫芦面积是当初投放的1000倍.12分22.(本小题满分12分)(I )函数2()log (21)x f x kx =+-的图象过点25(2,log )22225log (21)2log 2k ∴+-= 12k ∴=···································································································· 2分 (II )由(I )知21()log (21)2x f x x =+-1()()02g x f x x a ∴=+->恒成立即2log (21)0x a +->恒成立令2()log (21)x u x =+,则命题等价于min ()a u x < 而2()log (21)x u x =+单调递增 2()log 1u x ∴>即()0u x >0a ∴≤ ··································································································· 6分 (III )21()log (21)2x f x x =+-,21()log (21)2()2412412141xf x xx x x x h x m m m ++∴=+⋅-=+⋅-=++⋅-2(2)2x x m =+ ························································································· 7分 令22,[0,log 3],[1,3]x t x t =∈∴∈2,[1,3]y m t t t ∴=⋅+∈ 当0m <时,对称轴12t m=- ①当122t m =->,即104m -<<时 min 1(1)12y y m ==+=12m ∴=-,不符舍去. ················································································ 9分 ②当122t m =-≤时,即14m ≤-时 min 1(3)932y y m ==+= 51184m ∴=-<- 符合题意. ·········································································11分综上所述:518m =- ·················································································· 12分。
山东省青岛市第二中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题
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A.(﹣∞,1)B.(﹣∞,1]C.[﹣3,1]D.[1,+∞)
【答案】C
【解析】
分析】
根据偶函数的定义域特征,求出 的值,再由偶函数的定义求出 ,结合二次函数图像,即可求解.
【详解】已知偶函数 的定义域 ,
所以 , 恒成立,
即 恒成立,
故选:A.
【点睛】本题考查函数的定义域,考查用整体代换求复合函数的定义域,属于基础题.
5.函数 的单调递增区间是()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求函数的定义域,令 在 是单调递减,根据复合函数单调性,只需求出 在定义域内的递减区间,即可求解.
【详解】 有意义,需 ,
即 , 定义域为 .
【详解】函数 在 上单调递减,
需 ,解得 .
故选:B
【点睛】本题考查分段函数的单调性,要注意分段函数具有相同单调性合并的条件,属于中档题.
12.给出定义:若 (其中m为整数),则m叫做与实数x”亲密的整数”记作{x}=m,在此基础上给出下列关于函数 的四个说法:
①函数 在 是增函数;
②函数 的图象关于直线 对称;
③函数 在 上单调递增
④当 时,函数 有两个零点,
其中说法正确的序号是()
A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④
【答案】B
【解析】
【分析】
由 ,可证 , 是周期为 的函数,求出 的解析式,做出 函数图像,利用周期性做出函数 的图像,以及函数 图像,即可判断①②③④真假,得出结论.
【详解】 ,
的周期为1,当 时, ,
【答案】第四象限
【解析】
甘肃省民勤县第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案
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民勤一中2018--2019学年度第一学期期中考试试卷 高 一 数 学 命题人: 许 经( 时间 :120分钟 总分:150分)一、选择题(5×12=60分,每小题的四个选项只有一项符合要求 ) 1. 已知集合{}|2A x R x =∈≤,{|1}B x R x =∈≤,则A B ⋂等于( ) A. (,2]-∞B. []1,2C. []2,2D. []2,1-2. 下列对应法则f 为A 到B 的函数的是( ) A. A=R,B={x|x>0}.f:x y=|x|→B. 2,,:A Z B N f x y x +==→=C. A=Z,B=Z,f:x y →=D. []{}1,1,0,:0A B f x y =-=→=3. 图中阴影部分所表示的集合( )A. ()U B C A C ⋂⋃B. ()()A B B C ⋃⋃⋃C. U A C C B ⋃⋂D. ()U C A C B ⋃⋃⎡⎤⎣⎦4. 设集合{}22,1,2A a a a =--+,若4A ∈,则a = ( )A.-3或-1或2B.-3或-1C.-3或2D.-1或25. 设函数()()22g x x x R =-∈,()4,()(){(),()g x x x g x f x g x x x g x ++<=-≥,则()f x 的值域是( ) A. 9,0(1,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦ B. [)0,?+∞ C. 9,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D. 9,0(2,)4⎡⎤-⋃+∞⎢⎥⎣⎦6. 设函数3,1,(){2,1,x x b x f x x -<=≥若546f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则b = ( )A. 1B.78 C. 34 D. 127. 函数()245f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5,最小值为1,则实数m 的取值范围是( )A. []2,4B. [2,)+∞C. [0,4]D.(2,4]8. 若函数()f x 在()3,0-上单调递减()()3g x f x =-是偶函数,则下列结论正确的是( )A. ()37522f f f ⎛⎫⎛⎫-<-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ()73522f f f ⎛⎫⎛⎫-<-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. ()37522f f f ⎛⎫⎛⎫-<-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. ()73522f f f ⎛⎫⎛⎫-<-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9. 设2535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭,3525b ⎛⎫= ⎪⎝⎭,2525c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是( )A. a c b >>B. a b c >>C. c a b >>D.b c a >>10. 函数2()f x ax bx c =++,若(1)0,(2)0f f ><,则f ()x 在()1,2上零点的个数为( )A.至多有一个B.有一个或两个C.有且只有一个 D.一个也没有11. 已知函数()()2f 23a x log x x =+-,若()20f <,则此函数的单调递增区间是( )A. (,3)(1,)-∞-⋃+∞B. ()1,+∞C. (),1-∞-D.(,3)-∞-12. 某方程在区间(2,4)内有一实根,若用二分法求此根的近似值,要使所得近似值的精确度可达到0.1,则需要将此区间分( ) A.2次B.3次C.4次 D.5次 二、填空题(5×4=20,把答案填在横线上)13. 含有三个实数的集合既可表示成,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭又可表示成{}2,,0a a b +,20142015ab +=_____.14. 设集合{}1,2S =,A 与B 是S 的两个子集,若A B S ⋃=,则称(),A B 为集合S 的一个分拆,当且权当A B =时,(),A B 与(),B A 是同一个分拆,那么集合S 的不同的分拆有 个15. 已知函数()12,03,0x a x f x a x x ⎧≤⎪=⎨⎪->⎩(0,a >且1)a ≠是R 上的减函数,则实数a 的取值范围是_______ 16. 给出下列命题: ①幂函数图像不过第四象限; ②0y x =的图像是一条直线;③若函数2x y =的定义域是{}|0x x ≤,则它的值域是{}|1y y ≤; ④若函数1y x =的定义域是{}|2x x >,则它的值域是1|2y y ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭;⑤若函数2y x =的值域是{}|04y y ≤≤,则它的定义域一定是{}|22x x -≤≤. 其中假命题的序号是__________.三、解答题:(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分) 已知集合{}{}12,11A x ax B x x =<<=-<<,求满足A B ⊆的实数a 的取值范围.18.(12分) 已知函数2()lg(21)f x ax x =++. 1). 若函数()f x 的值域为R ,求实数a 的取值范围; 2). 若函数()f x 的定义域为R ,求实数a 的取值范围.19.(12分)求下列函数的值域: y x=20.(12分)设12 ().12xx f x-=+1).判断函数()f x的奇偶性;2).求函数()f x的单调区间。
河南省实验中学2018-2019学年高一上学期期中考试 数学 Word版含答案
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河南省实验中学2018——2019学年上期期中试卷高一 数学命题人:程建辉 审题人:张长海(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.已知全集U ={x ∈N |−1<x <5 },集合A ={1,2},则集合C U A =( ) A .{3,4} B .{0,3,4} C .{-1,0,3,4} D .{0,3,4,5)2.已知集合A ={1,3,√m},B ={1,m },A ∪B =A ,则m =( ) A .0或3 B .0或√3 C .1或√3 D .1或33.已知函数(1)f x -的定义域为[-2,3],则函数(21)f x +的定义域为( ) A. [-1,9] B.[-3,7] C.[]2,1- D.12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦4.下列各组函数是同一函数的是 ( )①()f x =()g x =②()f x x =与()g x =③0()f x x =与01()g x x =④2()1f x x x =-+与2()1g t t t =-+. A . ① ② B . ① ③ C . ③ ④ D . ① ④5.已知f(x)是奇函数,当x >0时f(x)=−x(1+x),当x <0时,f(x)等于( ) A . −x(1−x) B . x(1−x) C . −x(1+x) D . x(1+x)6..设a =log π3,b =20.3,c =log 213,则( )A . a >c >bB . c >a >bC . b >a >cD . a >b >c 7.已知幂函数223()m m y x m Z --=∈为偶函数,且在区间(0,)+∞上是减函数,则m 的取值集合是( )A .(-1,3)B .(-3,1)C .{}1,2D .{}1 8.函数1ln 22y x x =+-的零点所在的区间是( ) A .1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B .(1,2)C .(e,3)D .(2,e)9.已知()f x 是偶函数,且在[)0,+∞上是减函数,若(lg )(1)f x f >,则x 的取值范围是( )A .1(,1)10 B .(0,1)(10,)⋃+∞ C .1(,10)10 D . 1(0,)(1,)10⋃+∞ 10.已知奇函数f(x)满足f(x +2)=f(x),当x ∈(0,1)时,函数f(x)=2x ,则12(log 24)f =( ) A .32-B .32C . 34-D .3411.已知函数()f x =[0,)+∞,则m 的取值范围是( )A .[]0,4 B. (]0,4 C. (0,4) D.[4,)+∞ 12.已知函数21,0()log ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩,若函数(())1y f f x =+有四个不同的零点,则实数a 的取值范围是( )A .(1,0)-B . (,0)-∞C .(0,)+∞D .(0,1)二、填空题:请把答案填在题中横线上(每小题5分,共20分).13.若集合{x|ax 2+x +1=0}有且只有一个元素,则实数a 的取值集合是 . 14.已知函数f (x )=lg (−x 2+2ax )是区间(1,2)上的减函数,则实数a 的取值集合是 .15.已知函数()f x 满足11()2()2f x f x x+=+,则函数()f x 的解析式为 . 16. 已知函数[]1()1,1,05xf x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭,22()log +3,22g x a x a x ⎤=∈⎥⎣⎦,对任意的[]12,2x ∈-,总存在02,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦使得01()()g x f x =成立,则实数的取值范围是 .三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共70分). 17.(本小题满分10分)计算下列各式: (1)120.75013110.027()81()369-----++-;(2)5log 3229814log 3log 5log 4--+18. (本小题满分12分)已知全集U R =,集合{}13A x x =<<,6104B x x ⎧⎫=+<⎨⎬-⎩⎭,{}211C x m x m =-<<+(1)求集合()U C A B I ;(2)若B C B =Y ,求实数m 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知关于x 的函数()421xxf x m =+⋅+ ,定义域为(1,1]-(1)当1m =-时,解不等式()3f x ≥; (2)若函数()f x 有零点,求m 的取值范围.20.(本小题满分12分)已知二次函数()f x 的最小值为1,且(0)(2)3f f ==.(1)若()f x 在区间[2p ,p +1]上不单调,求p 的取值范围;(2)求()f x 在区[-1,m ]上的值域.21.(本小题满分12分)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比,已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图). (1)分别写出两种产品的收益和投资的函数关系;(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大的收益,其最大收益为多少万元?22.(本小题满分12分)已知函数()f x 对任意实数x 、y 恒有()()()f x y f x f y +=+,当x>0时,f (x )<0,且(1)2f =-.(1)判断()f x 的奇偶性;(2)求()f x 在区间[-3,3]上的最大值;(3)若2()22f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立,求实数m 的取值范围.河南省实验中学2018——2019学年上期期中答案高一 数学一、选择题:1-6 B A D C A C 7-12 D B C A D C 二、填空题:13.10,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭14.{}1 15.212()(0)333f x x x x =-+≠ 16.三、解答题:17.【解析】(1)原式= 103−36+27+1−13 =-5. L L L L L 5分(2)原式=log 2(34×481)−3+14=−34. L L L L L 10分18.【解析】(1)(,1][3,)U C A =-∞⋃+∞ L L L L L 2分又6210(2)(4)02444x x x x x x ++=<⇒+-<⇒-<<--(2,4)B =-L L L L L 4分()(2,1][3,4)U C A B =-⋃IL L L L L 6分(2)由B C B =Y 可知:C B ⊆若211m m -≥+即2m ≥时,C B =∅⊆ L L L L L 8分若211m m -<+即2m <时,21214m m -≥-⎧⎨+≤⎩解之可得:122m -≤< L L L L L 10分 综上所述:m 的取值范围为1[,)2-+∞ L L L L L 12分19.【解析】令2xt =,由11x -<≤可得122t <≤ . L L L L L 1分(1)当1m =-时,函数可化为21y t t =-+,原不等式可化为220(1)(2)01t t t t t --≥⇔+-≥⇔≤-或2t ≥ L L L L L 4分 又122t <≤故2t =即22x = 可得1x = L L L L L 5分 所以不等式解集为{}1 L L L L L 6分 (2)()f x 有零点即方程4210xxm +⋅+=有解,即4112x x m t t +-==+在1,22⎛⎤⎥⎝⎦上有解, L L L L L 7分 又1y t t=+在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上是减函数,在[1,2]上是增函数, L L L L L 9分 故当1t =时,min 2y =;当2t =时,max 52y =, 即函数的值域为5[2,]2,则522m ≤-≤L L L L L 11分故m 的取值范围是5[,2]2-- L L L L L 12分20.【解析】(1)由()()02f f =可知二次函数()f x 的对称轴为1x =,又其最小值为1,则可设二次函数()()211f x a x =-+,又()03f =,()013f a ∴=+=,()()22211243f x x x x ∴=-+=-+.即()2243f x x x =-+. L L L L L 2分由函数()f x 在区间[]2,1a a +上不单调, 所以211a a <<+,解得102a <<. L L L L L 4分(2)当11m -<≤时,()()2min 243f x f m m m ==-+,()()max 12439f x f =-=++=,此时函数值域为2243,9m m ⎡⎤-+⎣⎦; L L L L L 6分当13m <≤时,()()min 11f x f ==,()()max 19f x f =-=,此时值域为[]1,9;L 8分当3m >时,()()min 11f x f ==,()()2max 243f x f m m m ==-+.此时值域为21,243m m ⎡⎤-+⎣⎦. L L L L L 10分综上可得:当11m -<≤时,函数值域为2243,9m m ⎡⎤-+⎣⎦;当13m <≤时,值域为[]1,9;当3m >时,值域为21,243m m ⎡⎤-+⎣⎦. L L L L L 12分21. 【解析】(1)设投资额为x 万元,投资债券等稳健型产品收益为()f x ,投资股票等风险型产品收益为()g x ,则可设()1f x k x =,()g x k =, 由图像可得;可得()110.125f k ==,()210.5g k ==,则()0.125f x x =(x ≥0),()g x =(x ≥0);..........................4分(2)设投资债券类产品x 万元,则股票类投资为(20﹣x )万元,设收益为y 万元.由题意,得()(20)0.125y f x g x x =+-=+(0≤x ≤20), (6)分令[0,t = (8)分则220.125(20)0.50.125(2)3y t t t =-+=--+..............................10分当t =2,即x =16万元时,收益最大,此时y max =3万元,........................11分所以投资债券等稳健型产品16万元,投资股票等风险型产品4万元获得收益最大,最大收益为3万元 ..............................................................12分22.【解析】(1)取x=y=0,则f (0+0)=f (0)+f (0);则f (0)=0; 取y =﹣x ,则f (x ﹣x )=f (x )+f (﹣x ), ∴f (﹣x )=﹣f (x )对任意x ∈R 恒成立∴f (x )为奇函数; L L L L L 2分 (2)任取x 1,x 2∈(﹣∞,+∞)且x 1<x 2,则x 2﹣x 1>0; ∴f (x 2)+f (﹣x 1)=f (x 2﹣x 1)<0;∴f (x 2)<﹣f (﹣x 1), 又∵f (x )为奇函数, ∴f (x 1)>f (x 2);∴f (x )在(﹣∞,+∞)上是减函数; L L L L L 5分 ∴对任意x ∈[﹣3,3],恒有f (x )≤ f (﹣3)而f (3)=f (2+1)=f (2)+f (1)=3f (1)=﹣2×3=﹣6; ∴f (﹣3)=﹣f (3)=6;∴f (x )在[﹣3,3]上的最大值为6; L L L L L 7分(3)由(2)可知函数()f x 在[]1,1-的最大值为(1)2f -= 所以要使2()22f x m am <-+对所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立只需要2max 22()(1)2m am f x f -+>=-=即220m am ->对所有[]1,1a ∈-恒成立 L L L L L 9分 令[]2()2,1,1g a m am a =-∈-,则(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩即222020m m m m ⎧+>⎪⎨->⎪⎩解得22m m ><-,或者所以实数m 的取值范围是{}|2,2m m m ><-或者 -- 12分。
天津市武清区2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析

天津市武清区2018-2019学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.已知集合A={0,1,3,5,7,},B={2,4,6,8,0},则A ∩B 等于( )A .∅B .{∅}C .0D .{0}2.函数f (x )=x 2(x ∈R )是( )A .奇函数B .偶函数C .非奇非偶函数D .奇函数同时也是偶函数3.4+log 4等于( )A .0B .1C .D .44.函数f (x )=x 3+x+3的零点所在的区间是( )A .(﹣2,﹣1)B .(﹣1,0)C .(0,1)D .(1,2)5.已知a=log 23,b=log 2π,c=()0.1,则( )A .a >b >cB .b >a >cC .c >a >bD .c >b >a6.已知函数f (x )是幂函数,若f (2)=4,则f (3)等于( )A .9B .8C .6D .7.函数f (x )=2x+1(﹣1≤x ≤1)的值域是( )A .[0,2]B .[1,4]C .[1,2]D .[0,4]8.已知a >0且a ≠1,若log a 2<1,则实数a 的取值范围是( )A .0<a <1B .1<a <2C .a >2D .0<a <1或a >29.函数f (x )=ln (x 2+1)的图象大致是( )A .B .C .D .10.已知集合A={x ∈N|1≤x ≤10},B 是A 的子集,且B 中各元素的和为8,则满足条件的集合B 共有() A .8个 B .7个 C .6个 D .5个二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填写在题中横线上)11.函数f (x )=+lg (2﹣x )的定义域为 .12.已知全集U=R ,集合A={x|x ≥1},集合B={x|x ≤0},则∁∪(A ∪B )= .13.已知函数y=f (x )在区间[a ,b]上的图象是连续不断的一条曲线,有下列说法:①若f (a )•f (b )>0,则函数y=f (x )在区间(a ,b )上没有零点;②若f (a )•f (b )>0,则函数y=f (x )在区间(a ,b )上可能有零点;③若f (a )•f (b )<0,则函数y=f (x )在区间(a ,b )上没有零点;④若f (a )•f (b )<0,则函数y=f (x )在区间(a ,b )上至少有一个零点;其中正确说法的序号是(把所有正确说法的序号都填上).14.一批材料可以建成100m长的围墙,现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块封闭的矩形场地,中间隔成3个面积相等的小矩形(如图),则围成的矩形场地的最大总面积为(围墙厚度忽略不计)m2.15.已知函数f(x)、g(x)分别是定义在实数集上的奇函数、偶函数,且f(x)+g(x)=x2+ax+2a﹣1(a 为常数),若f(1)=2,则g(t)= .三、解答题(本大题共5小题,共60分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.已知函数f(x)=(x∈R),e是自然对数的底.(1)计算f(ln2)的值;(2)证明函数f(x)是奇函数.17.已知函数f(x)=.(1)在下面的坐标系中,作出函数f(x)的图象并写出单调区间;(2)若f(a)=2,求实数a的值.18.已知集合A={1,2,3},集合B={x|a+1<x<6a﹣1},其中a∈R.(1)写出集合A的所有真子集;(2)若A∩B={3},求a的取值范围.19.某学生在假期进行某种小商品的推销,他利用所学知识进行了市场调查,发现这种商品当天的市场价格与他的进货量(件)加上20成反比.已知这种商品每件进价为2元.他进100件这种商品时,当天卖完,利润为100元.若每天的商品都能卖完,求这个学生一天的最大利润是多少?获得最大利润时每天的进货量是多少件?20.已知函数f(x)=x++b,其中a,b是常数且a>0.(1)用函数单调性的定义证明f(x)在区间(0,]上是单调递减函数;(2)已知函数f(x)在区间[,+∞)上是单调递增函数,且在区间[1,2]上f(x)的最大值为5,最小值为3,求a的值.天津市武清区2018-2019学年上学期期中考试高一数学试卷参考答案一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的)1.已知集合A={0,1,3,5,7,},B={2,4,6,8,0},则A∩B等于()A.∅B.{∅} C.0 D.{0}【考点】交集及其运算.【分析】直接利用交集的运算法则求解即可.【解答】解:集合A={0,1,3,5,7,},B={2,4,6,8,0},则A∩B={0}.故选:D.2.函数f(x)=x2(x∈R)是()A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数 D.奇函数同时也是偶函数【考点】函数奇偶性的判断.【分析】判断f(﹣x)与f(x)的关系,利用定义判断.【解答】解:因为x∈R,并且f(﹣x)=(﹣x)2=x2=f(x);所以函数f(x)=x2(x∈R)是偶函数;故选B.等于()3.4+log4A.0 B.1 C.D.4【考点】对数的运算性质.【分析】利用对数与指数的运算性质、对数换底公式即可得出.【解答】解:原式=2+=2﹣=.故选:C.4.函数f(x)=x3+x+3的零点所在的区间是()A.(﹣2,﹣1)B.(﹣1,0)C.(0,1)D.(1,2)【考点】二分法的定义.【分析】利用函数零点存在定理,对区间端点函数值进行符号判断,异号的就是函数零点存在的区间.【解答】解:因为f(x)=x3+x+3,所以f′(x)=3x2+1>0,所以f(x)=x3+x+3单调递增,故函数f(x)至多有一个零点,因为f(﹣1)=﹣1﹣1+3=1>0,f(﹣2)=﹣8﹣2+3=﹣7<0,所以f(﹣1)f(﹣2)<0,所以函数f(x)=x3+x+3的零点所在区间是(﹣2,﹣1);故选:A.5.已知a=log 23,b=log 2π,c=()0.1,则( )A .a >b >cB .b >a >cC .c >a >bD .c >b >a【考点】对数值大小的比较.【分析】利用对数函数与指数函数的单调性即可得出.【解答】解:∵1<a=log 23<b=log 2π,c=()0.1<1,∴c <a <b .故选:B .6.已知函数f (x )是幂函数,若f (2)=4,则f (3)等于()A .9B .8C .6D .【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【分析】求出幂函数的解析式,再计算f (3)的值.【解答】解:设幂函数f (x )=x α,满足f (2)=4,∴2α=4,解得α=2;∴f (x )=x 2,∴f (3)=32=9,故选:A .7.函数f (x )=2x+1(﹣1≤x ≤1)的值域是( )A .[0,2]B .[1,4]C .[1,2]D .[0,4]【考点】函数的值域.【分析】利用复合函数的性质直接求解即可.【解答】解:函数f (x )=2x+1(﹣1≤x ≤1)是一个复合函数,令t=x+1,∵﹣1≤x ≤1∴0≤t ≤2.那么函数f (x )=2t 是一个增函数.当t=0时,函数f (x )取得最小值为1,当t=2时,函数f (x )取得最大值为4,所以函数f (x )=2x+1(﹣1≤x ≤1)的值域为[1,4].故选B .8.已知a >0且a ≠1,若log a 2<1,则实数a 的取值范围是() A .0<a <1 B .1<a <2 C .a >2 D .0<a <1或a >2【考点】指、对数不等式的解法.【分析】把不等式两边化为同底数,然后对a 分类讨论得答案.【解答】解:由log a 2<1,得log a 2<log a a ,∴或,即0<a <1或a >2.故选:D.9.函数f(x)=ln(x2+1)的图象大致是()A. B.C.D.【考点】函数的图象.【分析】∵x2+1≥1,又y=lnx在(0,+∞)单调递增,∴y=ln(x2+1)≥ln1=0,函数的图象应在x轴的上方,在令x取特殊值,选出答案.【解答】解:∵x2+1≥1,又y=lnx在(0,+∞)单调递增,∴y=ln(x2+1)≥ln1=0,∴函数的图象应在x轴的上方,又f(0)=ln(0+1)=ln1=0,∴图象过原点,综上只有A符合.故选:A10.已知集合A={x∈N|1≤x≤10},B是A的子集,且B中各元素的和为8,则满足条件的集合B共有()A.8个B.7个C.6个D.5个【考点】子集与真子集.【分析】列举出题集合A的所有元素,根据B中各元素的和为8,确定集合B的组成.即可得到满足条件集合B的个数.【解答】解:由题意:集合A={x∈N|1≤x≤10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}∵B⊆A,且B中各元素的和为8,满足条件有元素集合有:{8},{1,7},{2,6},{3,5},{1,2,5},{1,3,4}共6个.故选:C.二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填写在题中横线上)11.函数f(x)=+lg(2﹣x)的定义域为[1,2).【考点】函数的定义域及其求法;对数函数的定义域.【分析】根据使函数的解析式有意义的原则,我们可以根据偶次被开方数不小于0,对数的真数大于0,构造关于x的不等式组,解不等式组即可得到函数的定义域.【解答】解:要使函数的解析式有意义,自变量x须满足:解得:1≤x<2.故函数的定义域为[1,2)故答案为[1,2)(A∪B)= {x|0<x<1} .12.已知全集U=R,集合A={x|x≥1},集合B={x|x≤0},则∁∪【考点】交、并、补集的混合运算.【分析】根据并集与补集的定义进行计算即可.【解答】解:全集U=R,集合A={x|x≥1},集合B={x|x≤0},∴A∪B={x|x≤0或x≥1},∴∁(A∪B)={x|0<x<1}.∪故答案为:{x|0<x<1}.13.已知函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,有下列说法:①若f(a)•f(b)>0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上没有零点;②若f(a)•f(b)>0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上可能有零点;③若f(a)•f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上没有零点;④若f(a)•f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上至少有一个零点;其中正确说法的序号是②④(把所有正确说法的序号都填上).【考点】函数零点的判定定理.【分析】利用函数的零点判定定理以及反例判断即可.【解答】解:对于①②,如图:若f(a)•f(b)>0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上没有零点①不正确;若f(a)•f(b)>0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上可能有零点;所以②正确;对于③,若f(a)•f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上没有零点;不满足零点判定定理,所以错误;对于④若f(a)•f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上至少有一个零点;满足零点判定定理,正确;故答案为:②④.14.一批材料可以建成100m长的围墙,现用这些材料在一边靠墙的地方围成一块封闭的矩形场地,中间隔成3个面积相等的小矩形(如图),则围成的矩形场地的最大总面积为(围墙厚度忽略不计)625 m2.【考点】基本不等式在最值问题中的应用.【分析】设出宽,进而可表示出长,利用矩形面积公式求得面积的表达式,再利用二次函数的性质求得矩形面积的最大值.【解答】解:设每个小矩形的高为am ,则长为b=m ,记面积为Sm 2则S=3ab=a •=﹣4a 2+100a=﹣4(a ﹣)2+625(0<a <25)∴当a=12.5时,S max =625(m 2)∴所围矩形面积的最大值为625m 2故答案为625.15.已知函数f (x )、g (x )分别是定义在实数集上的奇函数、偶函数,且f (x )+g (x )=x 2+ax+2a ﹣1(a 为常数),若f (1)=2,则g (t )= t 2+4t ﹣1 .【考点】函数奇偶性的性质.【分析】根据f (x )、g (x )的奇偶性,得出f (﹣x )+g (﹣x )=﹣f (x )+g (x )=x 2﹣ax+2a ﹣1②,又f (x )+g (x )=x 2+ax+2a ﹣1①;由①、②求得f (x )、g (x ),结合f (1)=2,可得结论.【解答】解:∵f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,∴f (﹣x )=﹣f (x ),g (﹣x )=g (x ),又f (x )+g (x )=x 2+ax+2a ﹣1①,∴f (﹣x )+g (﹣x )=(﹣x )2+a (﹣x )+2a ﹣1,即﹣f (x )+g (x )=x 2﹣ax+2a ﹣1②;由①、②解得f (x )=ax ,g (x )=x 2+2ax ﹣1.∵f (1)=2,∴a=2,∴g (t )=t 2+4t ﹣1.故答案为t 2+4t ﹣1.三、解答题(本大题共5小题,共60分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.已知函数f (x )=(x ∈R ),e 是自然对数的底.(1)计算f (ln2)的值;(2)证明函数f (x )是奇函数.【考点】函数奇偶性的性质;函数的值.【分析】(1)直接代入计算f (ln2)的值;(2)利用奇函数的定义证明函数f (x )是奇函数.【解答】(1)解:f (ln2)==;(2)证明:函数的定义域为R .f (﹣x )==﹣=﹣f (x ),∴函数f (x )是奇函数.17.已知函数f (x )=.(1)在下面的坐标系中,作出函数f(x)的图象并写出单调区间;(2)若f(a)=2,求实数a的值.【考点】函数的图象.【分析】(1)分段做出f(x)的函数图象,根据函数图象得出f(x)的单调区间;(2)对a的范围进行讨论列出方程解出a.【解答】解:(1)做出f(x)的函数图象如图所示:由图象得f(x)的增区间为(,1],(1,+∞),减区间为(﹣∞,].(2)∵f(a)=2,∴或.解得a=﹣1或a=5.18.已知集合A={1,2,3},集合B={x|a+1<x<6a﹣1},其中a∈R.(1)写出集合A的所有真子集;(2)若A∩B={3},求a的取值范围.【考点】交集及其运算.【分析】(1)找出集合A的所有真子集即可;(2)根据A与B的交集,确定出a的范围即可.【解答】解:(1)∵A={1,2,3},∴A的真子集为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3};(2)∵A={1,2,3},集合B={x|a+1<x<6a﹣1},且A∩B={3},∴,解得:1≤a <2.19.某学生在假期进行某种小商品的推销,他利用所学知识进行了市场调查,发现这种商品当天的市场价格与他的进货量(件)加上20成反比.已知这种商品每件进价为2元.他进100件这种商品时,当天卖完,利润为100元.若每天的商品都能卖完,求这个学生一天的最大利润是多少?获得最大利润时每天的进货量是多少件?【考点】函数模型的选择与应用.【分析】根据这种商品当天的市场价格与他的进货量(件)加上20成反比,这种商品每件进价为2元.他进100件这种商品时,当天卖完,利润为100元,求出比例系数,可得利润函数,再换元,利用基本不等式,即可得出结论.【解答】解:由题意,设市场价格y 元,他的进货量为x 件,则y=,∵这种商品每件进价为2元.他进100件这种商品时,当天卖完,利润为100元,∴100=(﹣2)×100,∴k=360, ∴利润L=(﹣2)x ,设x+20=t (t ≥20),则L=400﹣(+2t )≤400﹣240=160,当且仅当=2t ,即t=60,x=40时,最大利润是160元.20.已知函数f (x )=x++b ,其中a ,b 是常数且a >0.(1)用函数单调性的定义证明f (x )在区间(0,]上是单调递减函数;(2)已知函数f (x )在区间[,+∞)上是单调递增函数,且在区间[1,2]上f (x )的最大值为5,最小值为3,求a 的值.【考点】利用导数研究函数的单调性;函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义.【分析】(1)证法一:任取设0<x 1<x 2≤,作差比较可得f (x 1)>f (x 2),结合函数单调性的定义,可得:f (x )在区间(0,]上是单调递减函数;证法二:求导,分析出当x ∈(0,]时,f ′(x )≤0恒成立,故f (x )在区间(0,]上是单调递减函数;(2)结合对勾函数的图象和性质,分析函数f (x )在区间[1,2]上f (x )的最值,可求出满足条件的a 值.【解答】(1)证法一:∵函数f (x )=x++b ,其中a ,b 是常数且a >0,任取设0<x 1<x 2≤,则x 1﹣x 2<0,0<x 1•x 2<a ,f (x 1)﹣f (x 2)=(x 1++b )﹣(x 2++b )=(x 1﹣x 2)﹣=(x 1﹣x 2)>0,即f(x1)>f(x2),∴f(x)在区间(0,]上是单调递减函数;证法二:∵函数f(x)=x++b,其中a,b是常数且a>0,∴f′(x)=1﹣=,当x∈(0,]时,f′(x)≤0恒成立,故f(x)在区间(0,]上是单调递减函数;(2)已知函数f(x)在区间[,+∞)上是单调递增函数,且在区间[1,2]上f(x)的最大值为5,最小值为3,当a≤1时,即,解得:a=﹣2(舍去);当1<a≤2.25时,即,解得:a=0(舍去),或:a=16(舍去);当2.25<a<4时,,解得:a=3+2(舍去),当a≥4时,即,解得:a=6;综上可得:a=6。
辽宁省抚顺县高级中学、第二高级中学、四方高中2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案
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1 抚顺市三校研训体2018-2019上学期高一期中考试数学试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分,考试时间为90分钟,满分100分。
第I 卷(40分)一、选择题:本大题共10小题,每小题4分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.下列四个选项表示的关系正确的是()A .0ΝB .3Q 2C .Q D .02.已知集合{1,2,3,4,5}A ,{1,4,6}B ,则A B ()A .{1}B .{1,4}C .{1,2,3,4,5}D .{1,4,6}3.若集合{|20}A x x ,{|13}B x x ,则A B ()A .{|23}x xB .{|21}x x C .{|10}x x D .{|03}x x 4.已知一次函数的图象过点(0,1),(1,2),则这个函数的解+析式为()A .1y xB .1y xC .1y xD .1y x 5.下列函数中,在(0,)内单调递增的是()A .1y xB .1y xC .2y xD .21y x 6.下列函数是偶函数的是()A .3()f x xB .()||f x xC .1()f x x x D .2()2f x x x7.已知函数2()2(1)2f x x a x 的递增区间是(,4),则实数a 的值是()A .5a B .3a C .3a D .5a 8.已知3212,log 3a b ,则()A .1a bB .0a bC .1a bD .1b a9.函数2()f x x x 的零点为()。
河南新乡市2018-2019年高一上学期期中考试数学试题(名师解析)
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10.奇函数 是 R 上的增函数,且
A.
B.
C.
【答案】C 【解析】
【分析】
,则不等式 D.
的解集为
由 为奇函数,且不等式 是在 R 上的增函数,即可求解.可得,Fra bibliotek等价于
,等价于
,再根据
【详解】因为 是奇函数,所以
,则
等价于
,因为
,所以
.因
为 在 R 上的增函数,所以
,即 .
答案选 C.
【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性,难点在于化简不等式,对于不等式可作如下转化进行化简,转化过
程如下: 11.已知函数 为
,若对任意
,本题属于中等题. ,任意 x∈R,不等式
恒成立,则 k 的最大值
A.
B. 1 C.
D.
【答案】D
【解析】 【分析】
化简不等式可得,
,根据不等式恒成立的转化关系可得,
等价于
大值
,等价于
,其中 为关于 的一次函数,故分别代入 和 即可求出 k 的最
【详解】因为
,所以
【详解】因为
,求出集合
,所以
【点睛】本题考查集合的交集运算,属于简单题.
,答案选 A
2.已知函数
,则 在[0,2]上的最小值为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】
【分析】
求出函数 的对称轴,判断所属区间在对称轴的右边,可求出 的最小值为 ,代入求解即可.
【详解】
, 图象的对称轴方程为 ,故 在 上的最小值为
【答案】10
【点睛】本题考查二次函数的图像性质,使用数形结合的方法即可求解.
.答案选 B.
3.函数
2018-2019湖北省沙市中学高一上学期期中考试数学试题(解析版)
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2018-2019学年湖北省沙市中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1.,,则=()A.B.C.D.【答案】C【解析】利用集合元素特征及补集定义,求得集合A与集合B的补集,结合交集运算即可求解。
【详解】根据补集定义可得=而,所以所以=所以选C【点睛】本题考查了集合交集、补集的简单运算,注意集合A元素的特征,属于基础题。
2.直线与函数的图象()A.必有一个交点B.至少一个交点C.最多一个交点D.没有交点【答案】C【解析】利用函数定义,判断出x=1与函数的图象交点个数。
【详解】根据函数定义,在定义域内任意x只能对应唯一的函数值y所以直线与函数的图象最多有一个交点,也可能没有交点所以选C【点睛】本题考查了对函数定义的理解,掌握好定义域的任意性与值域的唯一性,属于基础题。
3.函数的定义域是()A.B.C.D.【答案】B【解析】根据二次根式及分母有意义,及零次幂有意义的条件,即可求得函数的定义域。
【详解】将化为,所以定义域为因为,所以综上,定义域为所以选B【点睛】本题考查了函数定义域的求解,注意几个关键定义域的范围,属于基础题。
4.若的值域是[1,2],则的值域是()A.[2,3]B.[0,1]C.[1,2]D.[-1,1]【答案】C【解析】根据函数图象的平移变换可得到的图象,结合函数图象特征即可求得值域。
【详解】因为的值域是[1,2],即将的图象向右平移一个单位得到的图像因为图象左右平移没有改变函数值所以的值域为[1,2]所以选C【点睛】本题考查了函数图象的平移变换及其特征,属于基础题。
5.的单调递增区间是()A.B.C.D.【答案】C【解析】利用复合函数单调性的判断原则“同增异减”可求得函数的单调区间,结合对数的真数大于0,即可求得整个函数的单调递增区间。
【详解】根据复合函数单调性的判断原则,即求的单调递减区间,且由二次函数的图象可知单调递减区间为x<1解不等式得或综上可知,的单调递增区间为即x∈所以选C【点睛】本题考查了复合函数单调性的判断,注意对数函数的真数部分对x的特殊要求,属于基础题。
北京市101中学2018-2019学年高一(上)期中考试数学试题(解析版)
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2018-2019学年北京市101中学高一(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共8小题,共40.0分)1.设集合M={x|x<1},N={x|0<x≤1},则M∪N=( )A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对集合M和N取并集即可得到答案.【详解】∵M={x|x<1},N={x|0<x≤1};∴M∪N={x|x≤1}.故选:C.【点睛】本题考查集合的并集运算.2.下列函数中,在(-1,+∞)上为减函数的是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意,依次分析选项中函数的单调性,即可得答案.【详解】根据题意,依次分析选项:对于A,y=3x,为指数函数,在R上为增函数,不符合题意;对于B,y=x2-2x+3=(x-1)2+2,在(1,+∞)上为增函数,不符合题意;对于C,y=x,为正比例函数,在R上为增函数,不符合题意;对于D,y=-x2-4x+3=-(x+2)2+7,在(-2,+∞)上为减函数,符合题意;故选:D.【点睛】本题考查指数函数和二次函数的单调性,关键是掌握常见函数的单调性,属于基础题.3.计算log416+等于( )A. B. 5 C. D. 7【答案】B【解析】【分析】利用指数与对数运算性质即可得出.【详解】log416+=2+3=5.【点睛】本题考查指数与对数运算性质,属于基础题.4.函数=+的定义域为().A.B.C.D.【答案】A【解析】试题分析:由题,故选考点:函数的定义域。
5.函数y=的单调增区间是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用复合函数的单调性进行求解即可.【详解】令t=-x2+4x+5,其对称轴方程为x=2,内层二次函数在[2,+∞)上为减函数,而外层函数y=为减函数,∴函数y=的单调增区是[2,+∞).故选:D.【点睛】本题考查指数型复合函数的单调性,复合函数的单调性满足同增异减,是基础题.6.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,则满足f(2x-1)>f()的x的取值范围是( )A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由函数为偶函数得f(|2x-1|)>f(),由函数的单调性可得|2x-1|<,解不等式即可得答案.【详解】根据题意,偶函数f(x)在区间[0,+∞)上是减函数,则f(2x-1)>f()⇒f(|2x-1|)>f()⇒|2x-1|<,解可得:<x<,即x的取值范围为;故选:C.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于基础题.7.若函数f(x)=a|x+1|(a>0.a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(0)的关系是( )A. B. C. D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】由函数f(x)的值域可得a>1,然后利用单调性即可得到答案.【详解】∵|x+1|≥0,且f(x)的值域为[1,+∞);∴a>1;又f(-4)=a3,f(0)=a;∴f(-4)>f(0).故选:A.【点睛】本题考查指数函数的单调性,并且会根据单调性比较函数值的大小.8.对于实数a和b定义运算“*”:a•b=,设f(x)=(2x-1)•(x-2),如果关于x的方程f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1,x2,x3,则m的取值范是( )【答案】C【解析】【分析】画出函数f(x)的图象,由题知y=f(x)与y=m恰有3个交点,观察图像即可得到答案.【详解】由已知a•b=得f(x)=(2x-1)•(x-2)= ,其图象如下:因为f(x)=m恰有三个互不相等实根,则y=m与y=f(x)图像恰有三个不同的交点,所以0<m<,故选:C.【点睛】本题考查函数与方程的综合运用,属中档题.二、填空题(本大题共6小题,共30.0分)9.已知全集U=R,集合A={x|x2-4x+3>0},则∁U A=___.【答案】{x|1≤x≤3}【解析】【分析】求出集合A,然后取补集即可得到答案.【详解】A={x|x<1或x>3};∴∁U A={x|1≤x≤3}.故答案为:{x|1≤x≤3}.【点睛】本题考查集合的补集的运算,属基础题.10.若0<a<1,b<-1,则函数f(x)=a x+b的图象不经过第___象限.【答案】一【解析】利用指数函数的单调性和恒过定点,再结合图像的平移变换即可得到答案.【详解】函数y=a x(0<a<1)是减函数,图象过定点(0,1),在x轴上方,过一、二象限,函数f(x)=a x+b的图象由函数y=a x的图象向下平移|b|个单位得到,∵b<-1,∴|b|>1,∴函数f(x)=a x+b的图象与y轴交于负半轴,如图,函数f(x)=a x+b的图象过二、三、四象限.故答案为:一.【点睛】本题考查指数函数的图象和性质,考查图象的平移变换.11.已知log25=a,log56=b,则用a,b表示1g6=______.【答案】【解析】【分析】先由lg2+lg5=1结合log25=a,解出lg5,然后利用换底公式log56=进行计算整理即可得到答案.【详解】∵log25=a=,解得lg5=.log56=b=,∴lg6=blg5=.故答案为:.【点睛】本题考查了对数运算性质,重点考查对数换底公式的应用,考查推理能力与计算能力,属于基础题.12.函数y=(x≤0)的值域是______.【答案】(-∞,2]∪(3,+∞)【解析】【分析】先对函数进行分离常数,然后利用函数单调性即可求出值域.【详解】y=∴该函数在(-2,0],(-∞,-2)上单调递增;∴x∈(-2,0]时,y≤2;x∈(-∞,-2)时,y>3;∴原函数的值域为(-∞,2]∪(3,+∞).故答案为:(-∞,2]∪(3,+∞).【点睛】考查函数值域的概念及求法,分离常数法的运用,反比例函数值域的求法,属基础题.13.已知a>0且a≠1,函数f(x)=满足对任意不相等的实数x1,x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0,成立,则实数a的取值范围______.【答案】(2,3]【解析】【分析】根据已知条件(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0得到函数f(x)的单调性,然后利用分段函数的单调性列不等式组即可得到答案.【详解】对任意实数x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,可得f(x)在R上为单调递增,则即解得a的取值范围为:2<a≤3.故答案为:(2,3].【点睛】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下几点:(1)若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值;(3)复合函数的单调性,不仅要注意内外函数单调性对应关系,而且要注意内外函数对应自变量取值范围. 14.设函数f(x)=a x+b x-c x,其中c>a>0,c>b>0.若a,b,c是△ABC的三条边长,则下列结论正确的是______(写出所有正确结论的序号)①对任意的x∈(-∞,1),都有f(x)>0;②存在x∈R,使a x,b x,c x不能构成一个三角形的三条边长;③若△ABC是顶角为120°的等腰三角形,则存在x∈(1,2),使f(x)=0.【答案】①②③【解析】【分析】在①中,利用不等式的性质分析即可,在②中,举例a=2,b=3,c=4进行说明,在③中,利用零点存在性定理分析即可.【详解】在①中,∵a,b,c是△ABC的三条边长,∴a+b>c,∵c>a>0,c>b>0,∴0<<1,0<<1,当x∈(-∞,1)时,f(x)=a x+b x-c x=c x[()x+()x-1]>c x(+-1)=c x•>0,故①正确;在②中,令a=2,b=3,c=4,则a,b,c可以构成三角形,但a2=4,b2=9,c2=16不能构成三角形,故②正确;在③中,∵c>a>0,c>b>0,若△ABC顶角为120°的等腰三角形,∴a2+b2-c2<0,∵f(1)=a+b-c>0,f(2)=a2+b2-c2<0,根据函数零点存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点,即∃x∈(1,2),使f(x)=0,故③正确.故答案为:①②③.【点睛】本题考查命题真假的判断,考查指数函数单调性、零点存在性定理和不等式性质的运用.三、解答题(本大题共5小题,共50.0分)15.已知函数f(x)=a x-1(x≥0).其中a>0,a≠1.(1)若f(x)的图象经过点(,2),求a的值;(2)求函数y=f(x)(x≥0)的值域.【答案】(1)4 ;(2)见解析.【解析】【分析】(1)将点(,2)代入函数解析式,即可得到a值;(2)按指数函数的单调性分a>1和0<a<1两种情况,分类讨论,求得f(x)的值域.【详解】(1)∵函数f(x)=a x-1(x≥0)的图象经过点(,2),∴=2,∴a=4.(2)对于函数y=f(x)=a x-1,当a>1时,单调递增,∵x≥0,x-1≥-1,∴f(x)≥a-1=,故函数的值域为[,+∞).对于函数y=f(x)=a x-1,当0<a<1时,单调递减,∵x≥0,x-1≥-1,∴f(x)≤a-1=,又f(x)>0,故函数的值域为.综上:当a>1时,值域为[,+∞).当0<a<1时,值域为.【点睛】本题考查指数函数图像和性质的应用,主要考查函数的单调性和函数值域问题.16.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+(a-1)x+a2-5=0}.(1)若A∩B={2},求实数a的值;(2)若A∪B=A,求实数a的取值范围.【答案】(1)a=-3或a=1;(2){a|a≤-3或a>或a=-2或a=-}.【解析】【分析】(1)根据A∩B={2},可知B中有元素2,带入求解a即可;(2)根据A∪B=A得B⊆A,然后分B=∅和B≠∅两种情况进行分析可得实数a的取值范围.【详解】(1)集合A={x|x2-3x+2=0}={x|x=1或x=2}={1,2},若A∩B={2},则x=2是方程x2+(a-1)x+a2-5=0的实数根,可得:a2+2a-3=0,解得a=-3或a=1;(2)∵A∪B=A,∴B⊆A,当B=∅时,方程x2+(a-1)x+a2-5=0无实数根,即(a-1)2-4(a2-5)<0解得:a<-3或a>;当B≠∅时,方程x2+(a-1)x+a2-5=0有实数根,若只有一个实数根,x=1或x=2,则△=(a-1)2-4(a2-5)=0解得:a=-3或a=,∴a=-3.若只有两个实数根,x=1、x=2,△>0,则-3<a<;则(a-1)=-3,可得a=-2,a2-5=2,可得a=综上可得实数a的取值范围是{a|a≤-3或a>或a=-2或a=-}【点睛】本题考查并,交集及其运算,考查数学分类讨论思想.17.函数f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(1)=1.(1)求a,b的值;(2)判断并用定义证明f(x)在(+∞)的单调性.【答案】(1)a=5,b=0;(2)见解析.【解析】【分析】(1)根据函数为奇函数,可利用f(1)=1和f(-1)=-1,解方程组可得a、b值,然后进行验证即可;(2)根据函数单调性定义利用作差法进行证明.【详解】(1)根据题意,f(x)=是定义在R上的奇函数,且f(1)=1,则f(-1)=-f(1)=-1,则有,解可得a=5,b=0;经检验,满足题意.(2)由(1)的结论,f(x)=,设<x1<x2,f(x1)-f(x2)=-=,又由<x1<x2,则(1-4x1x2)<0,(x1-x2)<0,则f(x1)-f(x2)>0,则函数f(x)在(,+∞)上单调递减.【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用,属于基础题.18.已知二次函数满足,.求函数的解析式;若关于x的不等式在上恒成立,求实数t的取值范围;若函数在区间内至少有一个零点,求实数m的取值范围【答案】(1)f(x)=2x2-6x+2;(2)t>10;(3)m<-10或m≥-2.【解析】【分析】(1)用待定系数法设二次函数表达式,再代入已知函数方程化简即可得答案;(2)分离参数后求f(x)的最大值即可;(3)先求无零点时m的范围,再求补集.【详解】(1)设二次函数f(x)=ax2+bx+2,(a≠0)∴a(x+1)2+b(x+1)+2-ax2-bx-2=4x-4∴2ax+a+b=4x-4,∴a=2,b=-6∴f(x)=2x2-6x+2;(2)依题意t>f(x)=2x2-6x+2在x∈[-1,2]上恒成立,而2x2-6x+2的对称轴为x=∈[-1,2],所以x=-1时,取最大值10,t>10;(3)∵g(x)=f(x)-mx=2x2-6x+2-mx=2x2-(6+m)x+2在区间(-1,2)内至少有一个零点,当g(x)在(-1,2)内无零点时,△=(6+m)2-16<0或或,解得:-10≤m<-2,因此g(x)在(-1,2)内至少有一个零点时,m<-10或m≥-2.【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式,考查恒成立问题的解法以及二次函数的零点问题,属于基础题.19.设a为实数,函数f(x)=+a+a.(1)设t=,求t的取值范图;(2)把f(x)表示为t的函数h(t);(3)设f (x)的最大值为M(a),最小值为m(a),记g(a)=M(a)-m(a)求g(a)的表达式.【答案】(1)[,2];(2)h(t)=at+,≤t≤2;(3)g(a)=..【解析】【分析】(1)将t=两边平方,结合二次函数的性质可得t的范围;(2)由(1)可得=,可得h(t)的解析式;(3)求得h(t)=(t+a)2-1-a2,对称轴为t=-a,讨论对称轴与区间[,2]的关系,结合单调性可得h(t)的最值,即可得到所求g(a)的解析式.【详解】(1)t=,可得t2=2+2,由0≤1-x2≤1,可得2≤t2≤4,又t≥0可得≤t≤2,即t的取值范围是[,2];(2)由(1)可得=,即有h(t)=at+,≤t≤2;(3)由h(t)=(t+a)2-1-a2,对称轴为t=-a,当-a≥2即a≤-2时,h(t)在[,2]递减,可得最大值M(a)=h()=a;最小值m(a)=h(2)=1+2a,则g(a)=(-2)a-1;当-a≤即a≥-时,h(t)在[,2]递增,可得最大值M(a)=h(2)=1+2a;最小值m(a)=h()=a,则g(a)=(2-)a+1;当<-a<2即-2<a<-时,h(t)的最小值为m(a)=h(-a)=-1-a2,若-1-≤a<-,则h(2)≥h(),可得h(t)的最大值为M(a)=h(2)=1+2a,可得g(a)=2+2a+a2;若-2<a<-1-,则h(2)<h(),可得h(t)的最大值为M(a)=h()=a,可得g(a)=a+1+a2;综上可得g(a)=.【点睛】本题考查函数的最值求法,注意运用换元法和二次函数在闭区间上的最值求法,考查分类讨论思想方法和化简整理运算能力,属于中档题.。
2018-2019学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷(解析版)
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2018-2019学年山东省潍坊市高一(上)期中数学试卷一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.设集合A={x∈N|-2<x<2}的真子集的个数是()A. 8B. 7C. 4D. 32.下列函数中,既是奇函数又是增函数的是()A. B. C. D.3.已知f(x)=,则f[f(2)]=()A. 5B.C.D. 24.a=40.9、b=80.48、c=()-1.5的大小关系是()A. B. C. D.5.已知函数f(x+1)=2x-3,若f(m)=4,则m的值为()A. B. C. D.6.函数f(x)=a x-(a>0,a≠1)的图象可能是()A. B.C. D.7.设f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,则()A. B. C. D.8.下列变化过程中,变量之间不是函数关系的为()A. 地球绕太阳公转的过程中,二者间的距离与时间的关系B. 在银行,给定本金和利率后,活期存款的利息与存款天数的关系C. 某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系D. 近年来,中国高速铁路迅猛发展,中国高铁年运营里程与年份的关系9.已知实数a,b满足等式2017a=2018b,下列关系式不可能成立的是()A. B. C. D.10.一次社会实践活动中,数学应用调研小组在某厂办公室看到该厂5年来某种产品的总产量y与时间x(年)的函数图象(如图),以下给出了关于该产品生产状况的几点判断:①前三年的年产量逐步增加;②前三年的年产量逐步减少;③后两年的年产量与第三年的年产量相同;④后两年均没有生产.其中正确判断的序号是()A. B. C. D.11.已知函数f(x)=,若函数g(x)=f(x)-m恰有一个零点,则实数m的取值范围是()A. B.C. ,D. ,12.已知f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=()A. 10B. 2C. 0D. 4二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13.计算(2)×(3)=______.14.如图所示,图中的阴影部分可用集合U,A,B,C表示为______.15.已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)=______.16.已知函数f(x)=(t>0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为______.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)17.已知函数f(x)=+的定义域为集合M.(1)求集合M;(2)若集合N={x|2a-1≤x≤a+1},且M∩N={2},求N.18.已知函数f(x)=(a∈R).(1)若f(x)为奇函数,求实数a的值;(2)当a=0时,判断函数f(x)的单调性,并用定义证明.19.已知四个函数f(x)=2x,g(x)=()x,h(x)=3x,p(x)=()x,若y=f(x),y=g(x)的图象如图所示.(1)请在如图坐标系中画出y=h(x),y=p(x)的图象,并根据这四个函数的图象抽象出指数函数具有哪些性质?(2)举出在实际情境能够抽象出指数函数的一个实例并说明理由.20.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的一年收益与投资额成正比,其关系如图①;投资股票等风险型产品的一年收益与投资额的算术平方根成正比,其关系如图②.(注:收益与投资额单位:万元)(Ⅰ)分别写出两种产品的一年收益与投资额的函数关系;(Ⅱ)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使一年的投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?21.已知函数f(x)是定义在R上的增函数,且满足f(x+y)=f(x)•f(y),且f(2)=.(1)求f(4)的值;(2)当x∈[,]时,f(kx2)<2f(2x-5)恒成立,求实数k的取值范围.22.对于区间[a,b](a<b),若函数y=f(x)同时满足:①f(x)在[a,b]上是单调函数;②函数y=f(x),x∈[a,b]的值域是[a,b],则称区间[a,b]为函数f(x)的“保值”区间.(1)求函数y=x2的所有“保值”区间;(2)函数y=x2+m(m≠0)是否存在“保值”区间?若存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由.答案和解析1.【答案】D【解析】解:∵集合A={x∈N|-2<x<2}={0,1},∴集合A的真子集的个数是:22-1=3.故选:D.先求出集合A={0,1},由此能求出集合A的真子集的个数.本题考查集合的真子集的个数的求法,考查子集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.2.【答案】D【解析】解:根据题意,依次分析选项:对于A,y=是奇函数但不是增函数,不符合题意;对于B,y=x-1,不是奇函数,不符合题意;对于C,y=-x2,为偶函数不是奇函数,不符合题意;对于D,y=2x是正比例函数,既是奇函数又是增函数,符合题意;故选:D.根据题意,依次分析选项中函数的奇偶性以及单调性,综合即可得答案.本题考查函数奇偶性、单调性的判定,关键是掌握常见函数的奇偶性、单调性,属于基础题.3.【答案】D【解析】解:f(2)=-2×2+3=-1,所以f[f(2)]=f(-1)=(-1)2+1=2.故选D.根据所给解析式先求f(2),再求f[f(2)].本题考查分段函数求值问题,属基础题,关键看清所给自变量的值所在范围.4.【答案】D【解析】解:∵a=40.9=21.8,b=80.48=21.44,c==21.5,∵y=2x为单调增函数,而1.8>1.5>1.44,∴a>c>b.故选:D.利用有理指数幂的运算性质将a,b,c均化为2x的形式,利用y=2x的单调性即可得答案.本题考查不等关系与不等式,考查有理数指数幂的化简求值,属于中档题.5.【答案】B【解析】解:∵函数f(x+1)=2x-3,f(m)=4由2x-3=4,得x=,∴m=x+1=.故选:B.由2x-3=4,得x=,再由m=x+1,能求出结果.本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.6.【答案】D【解析】解:当0<a<1时,函数f(x)=a x-,为减函数,当a>1时,函数f(x)=a x-,为增函数,且当x=-1时f(-1)=0,即函数恒经过点(-1,0),故选:D.先判断函数的单调性,再判断函数恒经过点(-1,0),问题得以解决.本题主要考查了函数的图象和性质,求出函数恒经过点是关键,属于基础题.7.【答案】D【解析】解:f(x)是(-∞,+∞)上的减函数,当a>0时,a<2a,f(a)>f(2a),当a≤0时,a≥2a,f(a)≤f(2a),故A错误;当a=0,则a2=a,则f(a2)=f(a),故B错误;当a=0,a2+a=a,则f(a2+a)=f(a),故C错误;由a2+1>a,则f(a2+1)<f(a).故选:D.采用排除法,根据a的取值范围,根据导数与函数单调性的关系,即可求得答案.本题考查导数与函数的单调性的关系,属于基础题.8.【答案】C【解析】解:根据函数的定义得:某地区玉米的亩产量与灌溉次数的关系不是函数关系,故选:C.根据函数的定义对各个选项分别判断即可.本题考查了函数的定义,考查对应关系,是一道基础题.9.【答案】A【解析】解:分别画出y=2017x,y=2018x,实数a,b满足等式2017a=2018b,可得:a>b>0,a<b<0,a=b=1.而0<a<b成立.故选:A.分别画出y=2017x,y=2018x,根据实数a,b满足等式2017a=2018b,即可得出.本题考查了函数的单调性、不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.10.【答案】B【解析】解:由该厂5年来某种产品的总产量y与时间x(年)的函数图象,得:前三年的年产量逐步减少,故错误,正确;后两年均没有生产,故错误,正确.故选:B.利用该厂5年来某种产品的总产量y与时间x(年)的函数图象直接求解.本题考查命题真假的判断,考查该厂5年来某种产品的总产量y与时间x(年)的函数图象的性质等基础知识,考查数形结合思想,是基础题.11.【答案】D【解析】解:令g(x)=0得f(x)=m,作出y=f(x)的函数图象如图所示:由图象可知当m<0或m≥1时,f(x)=m只有一解.故选:D.作出f(x)的函数图象,根据图象判断m的值.本题考查了函数的零点与函数图象的关系,属于中档题.12.【答案】C【解析】解:∵f(x)是定义域为R的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x),∴f(2+x)=f(1-(x+1))=f(-x)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),∵f(1)=2,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(0)+f(-1)+f(0)=0.故选:C.推导出f(2+x)=f(1-(x+1))=f(-x)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),从而f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(0)+f (-1)+f(0),由此能求出结果.本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.13.【答案】1【解析】解:(2)×(3)===.故答案为:1.化带分数为假分数,再由有理指数幂的运算性质化简求值.本题考查有理指数幂的运算性质,是基础的计算题.14.【答案】(A∩B)∩(∁U C)【解析】解:如图所示,图中的阴影部分可用集合U,A,B,C表示为:(A∩B)∩(∁U C).故答案为:(A∩B)∩(∁U C).利用维恩图直接求解.本题考查集合的交集的求法,考查维恩图的性质等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.15.【答案】1【解析】解:由f(x)-g(x)=x3+x2+1,将所有x替换成-x,得f(-x)-g(-x)=-x3+x2+1,∵f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,∴f(x)=f(-x),g(-x)=-g(x),即f(x)+g(x)=-x3+x2+1,再令x=1,得f(1)+g(1)=1.故答案为:1.将原代数式中的x替换成-x,再结合着f(x)和g(x)的奇偶性可得f(x)+g(x),再令x=1即可.本题考查利用函数奇偶性求值,本题中也可以将原代数式中的x直接令其等于-1也可以得到计算结果,属于基础题.16.【答案】2【解析】解:由题意,f(x)==+t,显然函数g(x)=是奇函数,∵函数f(x)最大值为M,最小值为N,且M+N=4,∴M-t=-(N-t),即2t=M+N=4,∴t=2,故答案为:2.由题意f(x)=t+g(x),其中g(x)是奇函数,从而2t=4,即可求出实数t的值.本题考查函数的最大值、最小值,考查函数是奇偶性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.17.【答案】解:(1)要使函数f(x)=有意义,则需;解得-3<x≤2;∴函数f(x)的定义域M=(-3,2];(2)∵M∩N={2},且M=(-3,2];∴2∈N;∴ ;解得;∴ ,.【解析】(1)要使得函数f(x)有意义,则需满足,从而求出M=(-3,2];(2)根据M∩N={2},便可得出2∈N,从而得出2a-1=2,求出a即可得出集合N.考查函数定义域的概念及求法,指数函数的单调性,交集的概念,元素与集合的关系.18.【答案】解:(1)函数f(x)的定义域是R,且f(-x)==,由y=f(x)是奇函数,得对任意的x都有f(x)=-f(-x),故=-,得2x(a-1)=1-a,解得:a=1;(2)由a=0得:f(x)=1-,任取x1,x2∈R,设x1<x2,则f(x2)-f(x1)=-=,∵y=2x在R递增且x1<x2,∴ ->0,又(+1)(+1)>0,故f(x2)-f(x1)>0即f(x2)>f(x1),故f(x)在R递增.【解析】(1)根据函数的奇偶性的定义求出a的值即可;(2)根据函数的单调性的定义证明即可.本题考查了函数的奇偶性和函数的单调性问题,考查单调性的证明,是一道中档题.19.【答案】解:(1)画出y=h(x),y=p(x)的图象如图所示:4个函数都是y=a x(a>0,a≠1)的形式,它们的性质有:①定义域为R;②值域为(0,+∞);③都过定点(0,1);④当a>1时,函数在定义域内单调递增,0<a<1时,函数在定义域内单调递减;⑤a>1时,若x<0,则0<y<1,若x>0,则y>1.0<a<1时,若x>0,则0<y<1,若x<0,则y>1;⑥对于函数y=a x(a>0,a≠1),y=b x(b>0,b≠1),当a>b>1时,若x<0,则0<a x<b x<1;若x=0,则a x=b x=1;若x>0,则a x>b x>1.当0<a<b<1时,若x<0,则a x>b x>1;若x=0,则a x=b x=1;若x>0,则0<a x<b x<1.(2)举例:原来有一个细胞,细胞分裂的规则是细胞由一个分裂成2个,则经过x次分裂,细胞个数y,则y=2x,是一个指数函数.【解析】(1)根据指数函数的图象性质,得出结论.(2)举细胞分裂的例子,抽象出指数函数的一个实例.本题主要考查指数函数的性质,指数函数的应用,属于中档题.20.【答案】解:(Ⅰ)f(x)=k1x,g(x)=k2,∴f(1)==k1,g(1)=k2=,∴f(x)=x(x≥0),g(x)=(x≥0)(Ⅱ)设:投资债券类产品x万元,则股票类投资为20-x万元.y=f(x)+g(20-x)=+(0≤x≤20)令t=,则y==-(t-2)2+3所以当t=2,即x=16万元时,收益最大,y max=3万元.【解析】(Ⅰ)由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比,结合函数图象,我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系;(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论,我们设设投资债券类产品x万元,则股票类投资为20-x万元.这时可以构造出一个关于收益y的函数,然后利用求函数最大值的方法进行求解.函数的实际应用题,我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程,在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制,解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题,利用函数模型,转化为求函数的最大(小)是最优化问题中,最常见的思路之一.21.【答案】解:(1)令x=y=2,得:f(2+2)=f(2)•f(2),即f(4)═2(2)2f(2x-5)=f(4),f(2x-5)=f(2x-1)所以f(kx2)<2f(2x-5)化为:f(kx2)<f(2x-1),因为函数f(x)是定义在R上的增函数,所以kx2<2x-1在x∈[,]时恒成立,即k<在x∈[,]时恒成立,令y===-()2+1,x∈[,],∈[,],y有最小值为0.所以,k<0.【解析】(1)利用赋值法,x=y=2求解即可.(2)利用已知条件化简不等式为f(kx2)<f(2x-1),利用函数的单调性,分离变量,通过二次函数的性质求解闭区间上的最值即可.本题考查函数与方程的应用,函数的单调性以及二次函数的性质的应用,考查转化思想以及计算能力.22.【答案】解:(1)因为函数y=x2的值域是[0,+∞),且y=x2在[a,b]的值域是[a,b],所以[a,b]⊆[0,+∞),所以a≥0,从而函数y=x2在区间[a,b]上单调递增,或故有解得或又a<b,所以所以函数y=x2的“保值”区间为[0,1].…(3分)(2)若函数y=x2+m(m≠0)存在“保值”区间,则有:①若a<b≤0,此时函数y=x2+m在区间[a,b]上单调递减,所以消去m得a2-b2=b-a,整理得(a-b)(a+b+1)=0.因为a<b,所以a+b+1=0,即a=-b-1.又所以<.因为<,所以<.…(6分)②若b>a≥0,此时函数y=x2+m在区间[a,b]上单调递增,所以消去m得a2-b2=a-b,整理得(a-b)(a+b-1)=0.因为a<b,所以a+b-1=0,即b=1-a.又所以<.因为<,所以<.因为m≠0,所以<<.…(9分)综合①、②得,函数y=x2+m(m≠0)存在“保值”区间,此时m的取值范围是,,.…(10分)【解析】(1)由已知中保值”区间的定义,结合函数y=x2的值域是[0,+∞),我们可得[a,b]⊆[0,+∞),从而函数y=x2在区间[a,b]上单调递增,则,结合a<b即可得到函数y=x2的“保值”区间.(2)根据已知中保值”区间的定义,我们分函数y=x2+m在区间[a,b]上单调递减,和函数y=x2+m在区间[a,b]上单调递增,两种情况分类讨论,最后综合讨论结果,即可得到答案.本题考查的知识点是函数单调性,函数的值,其中正确理解新定义的含义,并根据新定义构造出满足条件的方程(组)或不等式(组)将新定义转化为数学熟悉的数学模型是解答本题的关键.。
山西省太原市2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷(精品解析含详解)
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2018-2019学年山西省太原市高一(上)期中数学试卷一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1.已知集合,,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】画数轴结合子集的概念即可得到答案.【详解】∵集合,,∴.故选:A.【点睛】本题考查集合间的基本关系.2.函数的定义域为()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质以及分母不为0,求出函数的定义域即可.【详解】要使函数有意义,只需x>0,故选:B.【点睛】本题考查了求函数的定义域问题,考查二次根式的性质.3.若集合,,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出集合A和B,取两集合的交集即可.【详解】由集合A得:(x-5)(x+1)=0,解得:x=5或x=-1,∴集合A={-1,5},由集合B解得:x=1或x=-1,∴集合B={-1,1},则A∩B={-1}.故选:C.【点睛】本题考查集合的交集运算.4.已知函数,且,则()A. 4B. 2C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函数解析式得log2a=2,即可得a的值.【详解】根据题意,f(a)=2,则log2a=2,解可得:a=4,故选:A.【点睛】本题考查函数值的计算,关键是掌握函数解析式的定义.5.已知集合,若B∪A=A,则满足该条件的集合的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】由题意得B⊆A,即可求出满足该条件的集合B的个数.【详解】∵B∪A=A,∴B⊆A,集合A={0,1},∴满足该条件的集合B的个数为:22=4.故选:D.【点睛】本题考查满足该条件的集合的个数的求法,考查并集、子集定义等基础知识.6.下列函数中,既是偶函数又在上是增函数的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意,依次分析选项中函数的单调性以及奇偶性,即可得答案.【详解】根据题意,依次分析选项:对于A,,函数为偶函数,由指函数的性质可知在上为减函数,不符合题意;对于B,f(-x)=-f(x),函数为奇函数,不符合题意;对于C,f(-x)=f(x),函数为偶函数,由对数函数的性质可知在(0,+∞)上是增函数,符合题意;对于D,定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,不符合题意;故选:C.【点睛】本题考查函数的单调性、奇偶性和指对函数图像的性质.7.已知,,,则()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出.【详解】由指数函数的性质可知∈(0,1),>1,由对数函数的性质可知<0,则c<a<b.故选:C【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图像的性质.8.已知全集,集合和关系的韦恩图如图所示,则阴影部分所示集合中的元素共有()A. 3个B. 4个C. 5个D. 无穷多个【答案】B【解析】试题分析:因,故或,图中阴影部分表示的集合为,故该集合中有个元素.应选B.考点:补集交集的概念及运算.9.已知集合中有且只有一个元素,那么实数的取值集合是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意分方程为一次方程和二次方程两种情况分别求解.【详解】由集合中有且只有一个元素,得a=0或,∴实数a的取值集合是{0, }故选:B.【点睛】本题考查实数的取值集合的求法,考查单元素集的性质等基础知识.10.已知函数,则函数的图象()A. 关于轴对称B. 关于轴对称C. 关于直线对称D. 关于原点对称【答案】D【解析】【分析】先根据f(-x)=-f(x),可得f(x)为奇函数,故f(x)的图象关于原点对称.【详解】∵,∴=-=-f(x),∴f(x)为奇函数,故f(x)的图象关于原点对称,故选:D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,奇函数图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称.11.已知函数,若对任意的实数都存在,使得成立,则()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】分别讨论x>1和x≤1时,由函数的单调性可得f(x)的最大值为f(1)=2,由题意可得所求值.【详解】函数,可得x>1时,f(x)递减,可得f(x)∈(0,2);x≤1时,f(x)=递增,可得f(x)≤2,且x=1时,f(x)取得最大值2,由对任意的实数x都存在,使得成立,可得=1,故选:A.【点睛】本题考查分段函数的单调性和最值求法,考查运算能力和推理能力.12.已知函数的图象如图所示,则函数的图象可能是()A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用f(x)的图象可推出a<0,b>0,c<0,然后即可判断g(x)的图象.【详解】由f(x)的图象可知,f(0)>0,∴b>0,又由图知,得c<0,且x>c时,f(x)=<0,所以 a<0,故二次函数g(x)=ax2+bx-c的图象为B.故选:B.【点睛】本题考查了函数的图象的识别,经常从函数的奇偶性,单调性和特殊点的函数值来考虑.二、填空题:本大题共4小题,每小题3分,共12分,把答案填在题中横线上13.已知全集,集合,则_____.【答案】【解析】【分析】由补集的运算即可求出C U A.【详解】因为全集U={1,2,3,4,5},集合 A={2,4},所以C U A={3,5},故答案为:{3,5}.【点睛】本题考查补集及其运算.14.函数在上的最大值为_____.【答案】【解析】【分析】由指数函数的性质可得到函数的单调性,从而可得到函数的最大值.【详解】由指数函数的性质可知y=2x在R上为增函数,则函数y=2x-1在[1,3]上为增函数,则其在[1,3]上的最大值为f(3)=23-1=7,故答案为:7.【点睛】本题考查指数函数的单调性以及应用,涉及函数的最值,属于基础题.15.已知函数是定义在上的奇函数,当时,,那么_____.【答案】【解析】【分析】根据奇函数f(0)=0,求出m的值,利用f(-1)=-f(1)即可得到答案.【详解】∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(0)=0,∴m=-1,,∴f(-1)=-f(1)=-(-1+ )=故答案为:【点睛】本题考查函数的奇偶性,根据奇偶性的定义求出m值,是解决该类问题的关键.16.已知,函数,若函数的图象与轴恰有两交点,则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可;利用函数的图象,通过函数的零点得到不等式求解即可.【详解】函数的草图如图:函数f(x)恰有2个零点,则1<λ≤3或λ>4.故答案为:(1,3]∪(4,+∞).【点睛】本题考查函数与方程的应用,考查数形结合以及函数的零点个数的判断,考查发现问题解决问题的能力.三、解答題:本大题共3小题共52分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17.已知集合,,若,求实数,的值.【答案】或.【解析】【分析】利用集合相等的定义列出方程组,再结合集合中元素的互异性质能求出实数a,b的值.【详解】解:由已知,得(1)或.(2)解(1)得或,解(2)得或,又由集合中元素的互异性得或.【点睛】本题考查集合相等的的定义,同时要注意集合中元素的互异性.18.(1)已知,求的值;(2)已知,求的值.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)由对数式可得x6=8,即可解得x.(2)先利用对数的四则运算得1+log3x=,然后利用对数相等解得x.【详解】解:(1)因为,所以,所以.(2)因为,所以,所以,解得.【点睛】本题考查了指数与对数的互化,指数与对数的四则运算性质.19.已知幂函数的图象经过点.(1)求函数的解析式;(2)设函数,求函数在区间上的值域.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)设出幂函数解析式,代入点的坐标,即可求出函数的解析式(2)求出g(x)的解析式,根据函数的单调性求出函数的值域即可.【详解】解:(1)设,则,则,所以.(2)因为,且函数在区间上为增函数,所以时,有最大值-1,时,有最小值-3.所以函数在上的值域为.【点睛】本题考查了幂函数的定义,考查函数的值域以及函数的单调性问题.20.(A)已知函数在区间上有最小值.(1)求实数的取值范围;(2)当时,设函数,证明函数在区间上为增函数.【答案】(1);(2)详见解析.【解析】【分析】(1)由题意知二次函数的对称轴在区间内,可得a的取值范围;(2)求得g(x)的解析式,运用函数单调性的定义进行证明.【详解】(A)(1)函数的图象开口向上,对称轴为,则函数在上为减函数,在上为增函数,所以,即实数的取值范围是.(2)函数,设,为上任意两个实数,且,则,由,得,,即,,所以函数在区间上为增函数.【点睛】本题考查二次函数的图象和性质,考查函数单调性的证明,用定义法证明单调性的具体步骤:作差、变形和定符号、下结论等..21.(B)已知函数,的图象如图所示点,在函数的图象上,点在函数图象上,且线段平行于轴.(1)证明:;(2)若为以角为直角的等腰直角三角形,求点的坐标.说明:请同学们在(A)、(B)两个小题中任选一题作答【答案】(1)详见解析;(2).【解析】【分析】(1)由AC∥y轴,可得x1=x3.代入函数关系进而证明结论.(2)由△ABC为以角C为直角的等腰直角三角形,可得|AC|=|BC|,y2=y3.可得x3-x2=,.化简即可得出.【详解】(B)证明(1)因为线段平行于轴,所以,又,,则.(2)由等腰直角三角形,和,且平行于轴,所以,且,又,,则,解得,所以,所以点的坐标为.【点睛】本题考查了对数运算性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质.22.已知函数,.(1)若函数为奇函数,求实数的值.(2)若对任意的都有成立,求实数的取值范围.【答案】(I)(II)【解析】试题分析:(1)已知函数为奇函数,由,求得的值;(2)恒成立问题通常是求最值,将原不等式整理为对恒成立,进而求在上的最小值,得到结果.试题解析:(1)因为是奇函数,所以,即所以对一切恒成立,所以.(2)因为,均有即成立,所以对恒成立,所以,因为在上单调递增,所以,所以. 10分考点:1.奇函数的特点;2.函数恒成立.3.求最值.23.已知函数是定义在上的奇函数,且时,.(1)求函数的解析式并在如图所示的坐标系中作出函数的图象;(2)若对任意的有恒成立,求实数的最小值.【答案】(1)详见解析;(2).【解析】【分析】(1)根据函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且x≥0时,f(x)=|x-2|-2.利用奇函数的定义可得解析式;(2)根据f(x)的图象即可求实数a的最小值.【详解】(B)(1)当时,,,又函数是定义在上的奇函数,则有,则有,所以.图象如图所示(2)函数的图象是由函数的图象向右平移个长度单位得到,由(1)中的图象可知,只要把函数的图象至少向右平移8个长度单位就满足,所以实数的最小值为8.【点睛】本题考查了函数的奇偶性和单调性的性质和函数图象应用.。
上海市华东师范大学第三附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(解析版)
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上海市2018-2019学年华师大三附中高一上期中考试数学试卷一、填空题(本答题共有12题,满分36分)考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写结果.每个空格填对得3分,否则一律得零分.1.集合的真子集的个数为_________【答案】3【解析】【分析】由真子集的定义,将集合的真子集列举出来即可.【详解】集合的真子集有,共3个,故答案为3.【点睛】集合的真子集是指属于该集合的部分(不是所有)元素组成的集合,包括空集.2.设集合,集合,则__________【答案】【解析】【分析】利用绝对值不等式的解法化简集合,由交集的定义可得结果.【详解】,即,解得,即,集合,则,故答案为.【点睛】本题考查交集的求法以及绝对值不等式的解法,意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,是基础题,解题时要认真审题.3.“”是“”的__________【答案】必要不充分【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法化简不等式,利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由得,则“”是“”的的必要不充分条件,故答案为必要不充分.【点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题,将一元二次不等式的解法、充分条件、必要条件相关的问题联系在起来,体现综合应用数学知识解决问题的能力,是基础题.4.命题“已知,如果,那么或.”是__________命题.(填“真”或“假”)【答案】真【解析】【分析】先写出原命题的逆否命题,并判断其真假,进而根据互为逆否的两个命题真假性一致,得到结论.【详解】命题“已知,如果,那么或” 的逆否命题为“已知,如果且,那么” 为真命題,故命题“已知,如果,那么或”是真命题,故答案为真.【点睛】本题考査的知识点是命题的真假判断与应用,其中当原命题的真假判断比较麻烦或无法证明时,常去判断其逆否命题的真假,进而根据互为逆否的两个命题真假性一致,得到结论.5.函数的定义域是__________.【答案】【解析】【分析】根据分式的分母不为零,且二次根式的被开方数大于或等于零,由此建立关于的不等式组,解之即得函数的定义域.【详解】要使函数有意义,则,等价于,函数的定义域是,故答案为.【点睛】定义域的三种类型及求法:(1)已知函数的解析式,则构造使解析式有意义的不等式(组)求解;(2) 对实际问题:由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解;(3) 若已知函数的定义域为,则函数的定义域由不等式求出.6.已知,则的解析式为__________.【答案】【解析】【分析】令,则,求出,从而可得结果.【详解】因为,令,则,,函数的解析式为.,故答案为.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法,属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种:(1)根据实际应用求函数解析式;(2)换元法求函数解析式,利用换元法一定要注意,换元后参数的范围;(3)待定系数法求函数解析式,这种方法适合求已知函数名称的函数解析式;(4)消元法求函数解析式,这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.7.集合,的元素只有1个,则的取值范围是__________.【答案】【解析】【分析】由中有且仅有一个元素,可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根;利用分类讨论思想,可求出的范围.【详解】联立即,是单元素集,分两种情况考虑:,方程有两个相等的实数根,即,可得,解得,方程只有一个根,符合题意,综上,的范围为故答案为.【点睛】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数的关系,意在考查综合应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.8.若函数在区间上是增函数,则实数__________.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质,判断出其图象是开口方向朝上,以为对称轴的抛物线,利用为的子集可构造一个关于的不等式,解不等式即可得到实数的取值范围.【详解】函数的图象是开口方向朝上,以为对称轴的抛物线,若函数在区间上是增函数,所以为的子集,则,解得,故答案为.【点睛】本题考査的知识点是函数单调性及二次函数的性质,属于简单题.利用单调性求参数的范围的常见方法:① 视参数为已知数,依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式或恒成立问题求参数范围,本题是利用方法① 求解的.9.已知函数是定义在上的奇函数,且当时,,则__________.【答案】2【解析】【分析】由为上的奇函数即可得出,并且时,,从而将代入的解析式即可求出,从而求出.【详解】是定义在上的奇函数,并且时,,,故答案为2 .【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数奇偶性的应用,意在考查对基础知识掌握的熟练程度,属于简单题. 10.已知函数,且,则的最大值是__________.【答案】【解析】【分析】由可得,由基本不等式可得,注意等号成立的条件即可.【详解】函数,且有,,且,当且即当时,取最大值,故答案为.【点睛】本题主要考查指数幂的运算以及利用基本不等式求最值,属于中档题. 利用基本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正,二定,三相等”的内涵:一正是,首先要判断参数是否为正;二定是,其次要看和或积是否为定值(和定积最大,积定和最小);三相等是,最后一定要验证等号能否成立(主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是多次用或时等号能否同时成立).11.已知关于的一元二次不等式的解集为.则关于的不等式的解集为__________. 【答案】【解析】【分析】构造解集和是同解的不等式,然后可得出,再代入求求解即可.【详解】的解集为,则与是同解不等式,,则关于的不等式的解集即为的解集,,即,解得,故关于的不等式的解集为,故答案为.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法,以及特值法在解题中的应用,意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.12.设,则当__________时,取得最小值【答案】【解析】【分析】需要分类讨论,当和当,分别化简,利用基本不等式即可得到结论.【详解】,,即,当时,,当且仅当取等号故当时,取得最小值,当时,,当且仅当取等号,故当时,取得最小值,综上所述的值为时,取得最小值,故答案为.【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,属于难题. 在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用,否则会出现错误.二、选择题:(本大题共4题,满分12分)每题有且仅有一个正确答案,考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写选项,选对得3分,否则一律得零分.13.已知实数满足,则“成立”是“成立”的()A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质,利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】由,,若成立,则,即成立,反之若,,,即成立,“成立”是“成立”充要条件,故选C.【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用,属于中档题.判断充要条件应注意:首先弄清条件和结论分别是什么,然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题,除借助集合思想化抽象为直观外,还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性,转化为判断它的等价命题;对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.14.已知函数的定义域为,只有一个子集,则()A. B. C. D.【答案】A【解析】空集是任何集合的子集,只有一个子集那只能是空集,所以=Φ所以f(x)的定义域不包含x=0,所以,a、b同号,且均不为零,所以ab>0故选:A点睛:本题主要考查了函数的定义,对定义域上的每个x,有且只有一个y值与其对应,若x不在定义域上,当然就不存在y值与其对应,此时=Φ.15.设是定义在上的函数.①若存在,使成立,则函数在上单调递增;②若存在,使成立,则函数在上不可能单调递减;③若存在对于任意都有成立,则函数在上单调递减.则以上真命题的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】B【解析】【分析】根据增函数和减函数的定义判断,注意关键的条件:“存在” 、“任意”以及对应的自变量和函数值的关系.【详解】对于①,“任意”,使成立,函数在上单调递增,故①不对;对于②,由减函数的定义知,必须有“任意”,使成立,即若存在,使成立,函数在上不可能单调递减,故②对;对于③,存在对于任意都有成立,则函数不在上单调递减,故③不对;即真命题的个数为1,故选B.【点睛】本题主要考查阅读能力以及对增函数与减函数定义的理解与应用,意在考查对基本概念掌握的熟练程度和灵活应用所学知识解答问题的能力,属于中档题.16.某学校要召开学生代表大会,规定各班每10人推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么,各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为( )A. y=B. y=C. y=D. y=【答案】B【解析】【分析】根据规定10推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表,即余数分别为7,8,9时可以增选一名代表,也就是x要进一位,所以最小应该加3.进而得到解析式.【详解】根据规定10推选一名代表,当各班人数除以10的余数大于6时再增加一名代表,即余数分别为7,8,9时可以增选一名代表,也就是x要进一位,所以最小应该加3.因此利用取整函数可表示为y=[]也可以用特殊取值法若x=56,y=5,排除C、D,若x=57,y=6,排除A;故选:B.【点睛】本题主要考查给定条件求函数解析式的问题,这里主要是要读懂题意,再根据数学知识即可得到答案.对于选择题要会选择最恰当的方法.三、解答题:(本大题共有5题,满分52分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知集合,若,求实数的取值范围.【答案】【解析】【分析】利用分式不等式的解法化简集合利用绝对值不等式的解法化简集合,再由,根据并集的定义直接求实数的取值范围.【详解】集合或,,若,则,得,所以实数的取值范围.【点睛】集合的基本运算的关注点:(1)看元素组成.集合是由元素组成的,从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提;(2)有些集合是可以化简的,先化简再研究其关系并进行运算,可使问题简单明了,易于解决;(3)注意数形结合思想的应用,常用的数形结合形式有数轴、坐标系和图.18.已知关于的不等式有解,求关于的不等式的解.【答案】【解析】【分析】由关于的不等式有解,可知,,又由,分或或三种情况,解出不等式的解即可得到结果.【详解】由于关于的不等式有解,则,即或,又由等价于,则当时,,所以不等式的解为,当时,不等式无解,当时,,所以不等式的解为.【点睛】分类讨论思想的常见类型⑴问题中的变量或含有需讨论的参数的,要进行分类讨论的;⑵问题中的条件是分类给出的;⑶解题过程不能统一叙述,必须分类讨论的;⑷涉及几何问题时,由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.19.设函数.(1)判断函数的奇偶性;(2)探究函数,上的单调性,并用单调性的定义证明.【答案】(1)奇函数;(2)单调递增,证明见解析.【解析】试题分析:(1)由函数可得函数的定义域关于原点对称,再化简得,即可判定函数的奇偶性;(2)利用函数的单调性的定义,即可证明函数在上的单调递增.试题解析:(1)的定义域,为奇函数;(2)函数在上的单调递增,证明:,,任取,且则,且,,,则,即函数在上的单调递增.考点:函数的性质的判定与证明.【方法点晴】本题主要考查了函数的性质的判定与证明,其中解答中涉及到函数奇偶性的判定与证明,函数的单调性的判定与证明,函数单调性的定义等知识点的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,本题的解得中熟记函数的奇偶性和单调性的判定方法是解答的关键,试题比较基础,属于基础题.20.运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.【答案】(1)y=,x∈[50,100].(2)当x=时,这次行车的总费用最低,最低费用为元【解析】试题分析:(1)由行车所以时间小时,即可列出行车总费用关于的表达式;(2)由(1)知,利用基本不等式求解最值,即可求解结论.试题解析:(1)行车所以时间小时,∴;...........6分(2),当且仅当,即时等号成立,所以当时,这次行车的总费用最低,最低费用为元.............12分考点:函数的解析式;基本不等式的应用.【方法点晴】本题主要考查了实际问题的应用,其中解答中涉及到函数的解析式、基本不等式的求最值及其应用等知识点的综合考查,注重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,试题比较基础,属于基础题,此类问题的解答中准确审题,根据题设条件,列出关系式是解答的关键.21.对于函数,若存在实数 ,使成立,则称为的不动点.(1)当时,求的不动点;(2)若对于任意的实数函数恒有两个相异的不动点,求实数的取值范围;(3)在(2)的条件下,若的图象上两点的横坐标是函数的不动点,且直线是线段的垂直平分线,求实数的取值范围.【答案】(1);(2);(3).【解析】【分析】(1)设为不动点,则有,变形为,解方程即可;(2)将转化为,由已知,此方程有相异二实根,则有恒成立,可得,由可得结果;(3)由垂直平分线的定义解答,由两点的横坐标是函数的不动点,则有,再由直线是线段的垂直平分线,得到,再由中点在直线上可得利用基本不等式求解即可.【详解】,(1)当时,,设为其不动点,即,则,即的不动点是.(2)由得,由已知,此方程有相异二实根,则有恒成立即,即对任意恒成立,,.(3)设,直线是线段的垂直平分线,,记的中点,由(2)知,在上,,化简得(当时,等号成立)即,即.【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、直线的方程以及利用基本不等式求最值与新定义问题,属于难题.新定义题型的特点是:通过给出一个新概念,或约定一种新运算,或给出几个新模型来创设全新的问题情景,要求考生在阅读理解的基础上,依据题目提供的信息,联系所学的知识和方法,实现信息的迁移,达到灵活解题的目的.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.。
2018-2019学年高一数学上学期期中模块考试试题
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山东省淄博第一中学2018-2019学年高一数学上学期期中模块考试试题一、选择题(本题共16小题,每题5分,共80分) 1.已知集合1|222x A x ⎧⎫=<≤⎨⎬⎩⎭,1|ln 02B x x ⎧⎫⎛⎫=-≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭,则()R A C B ( ) A. B. 11,2⎛⎤- ⎥⎝⎦C. 1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. (]1,1- 2、设集合24{|20},{|0}1x M x x x N x x -=-->=≤+,则M N ⋂=( ) A .{|24}x x <≤ B .{|14}x x <≤ C .{|14}x x -<≤ D .{|14}x x -≤≤3.函数()f x =( )A. {}| 6 x x ≤B. {}|2x 6x ≤≤C. {}|2<x 6x ≤D. {}|2<x<6x4.集合A={y|y= log 2x ,x>}, B={y|y =则A∩B=( )A. {y|0<y<12} B. 1{|1}2y y <≤ C. 1{|1}2y y << D. {|01}y y <<5.设集合A={x|1<x <2},B={x|x <a}满足A B ⊆,则实数a 的取值范围是( ) A .[2,+∞) B .(﹣∞,1]C .(2,+∞)D .(﹣∞,2]6.函数()ln 1xf x ex =--的图像大致是( )7.若238log ,log 2,l 3og 21a b c ===,则( )A. c a b >>B. c b a >>C. a b c >>D. a c b >>8.已知()f x 是定义在R 上奇函数,0x ≥时,2()2f x x x =-,则在0x <上()f x 的表达式是( ) A.()22f x x x =+ B. ()22f x x x =-- C. ()22f x x x =- D.()22f x x x =-+9.下列函数中,既是偶函数,又在()0,+∞上单调递增的是( )A. ()2f x x =- B. ()||2x f x -= C. ()1||f x x= D. ()lg (1)a f x x a =>10、设偶函数()log ||a f x x b =-在(,0)-∞上递增,则(1)f a +与(3)f b +的大小关系是( )(1)(3)f a f b +=+(1)(3)f a f b +>+ (1)(3)f a f b +<+不确定11.函数221()3x xy -=的单调增区间是( )A . (,1]-∞B .[1,)+∞C .(,2]-∞D .[2,)+∞12.已知定义域为R 的函数)(x f 在),8(+∞上为减函数,且函数)8(+=x f y 为偶函数,则()A 、)7()6(f f >B 、)9()6(f f >C 、)9()7(f f > D、)10()7(f f >13.设函数()223,{22,x f x x x -=--1,1.x x ≥<若()01f x =,则0x =( )A. -1或3B. 2或3C. -1或2D. -1或2或314.已知函数y=f (x )是函数y=log a x (a >0,a ≠1)的反函数,若f (x )的图象过点(2,), 则的值为( )A.1B.2C. 14错误!未找到引用源。
河南省上蔡县第二高级中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷
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2018—2019学年度第一学期期中考试高一数学试题注意事项:1、本试卷共4页,三大题,满分150分,考试时间120分钟。
2、本试卷上不要答题,请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填在答题卡上。
答在试卷上的答案无效第I 卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1、已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U = ,集合{}2,3,5,6A = ,集合{}1,3,4,6,7B = ,则集合)(B C A U = ( )A.{}3,6B.{}2,5C.{}2,5,6D.{}2,3,5,6,82、下列命题中正确的是 ( )A. 有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B. 有两个面平行,其余各面都是梯形的几何体叫棱台C. 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D. 棱台各侧棱的延长线交于一点3、函数x x f x 32)(+=的零点所在的一个区间是 ( )A.2(-,)1-B.1(-,)0C.0(,)1D.1(,)24、函数31)1()(0++-=x x x f 的定义域是 ( ) A.3(-,1()1⋃ ,)∞+ B.3(-,)1C.3(-,)∞+D.3[-,1()1⋃ ,)∞+5、一个简单几何体的主视图、俯视图如图所示,则其左视图不可能为( )A .正方形B .圆C .等腰三角形D .直角梯形6、若函数00)2(1)(<≥⎩⎨⎧++=x x x f x x f ,,,那么)2(-f 的值为 ( )A.2-B.0C.1D.27、函数1()4x f x a -=+(0a >,且1a ≠)的图像过一个定点,则这个定点坐标是 ( )A .(1,5)B .(5,1)C .(1,4)D .(4,1)8、已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,且满足)()2(x f x f -=+,则)6(f 的值为 ( )A.1-B.0C.1D.29、函数2()2(1)2f x ax a x =+-+在区间(,4)-∞上为减函数,则a 的取值范围为 ( ) A. 105a <≤ B.105a << C. 15a > D.105a ≤≤ 10、函数)12(log )(2.0+=x x f 的值域为( ) A.0(,)∞+ B.[0,)∞+ C.-∞(,)0。
江西省南昌市第二中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题
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南昌二中2018—2019学年度上学期期中考试高一数学试卷命题人:曹玉璋 审题人:黄洁琼一、选择题(每小题5分,共60分.)1.若集合M ={x|1≤x },N ={y|y =x 2,1≤x },则( ) A .M∩N =]10(, B .M ⊆N C .N ⊆M D .M =N2.已知集合A ={1<x x },B ={x |13<x },则( )A .A∩B ={x|x<0} B .A ∪B =RC .A ∪B ={x|x>1}D .A∩B =φ 3.若全集U =R ,集合A ={x |x y 2020log =},集合B ={y |1+=x y },则A∩(∁U B) =( )A .φB .(0,1)C . (0,1]D .(1,+∞) 4.已知函数f (x )=⎩⎨⎧2x +1,x <1x 2+ax ,x ≥1,若f (f (0))=4a ,则实数a 等于( )A.12B.45C .9D .2 5.已知函数)(x f y =的定义域]1,8[-,则函数2)12()(++=x x f x g 的定义域是( )A. ]3,15[-B.]0,29[-C.]0,2(2,29[--- )D ]3,2(2,15[--- )6.已知函数x x x f )1()(γγ-=(其中欧拉常数0.577≈γ),则)(x f ( )A .是奇函数,且在R 上是减函数B .是偶函数,且在R 上是增函数C .是奇函数,且在R 上是增函数D .是偶函数,且在R 上是减函数 7.方程x x 8201log )92011(=的解的个数是A. 3个B. 2个C. 1`个D. 0个8.方程03lg =-+x x 根所在的区间是( )9.函数y =x -5x -a -2在(-1,+∞)上单调递增,则a 的取值范围是( )A .a =-3B .a <3C .a ≤-3D .a ≥-310.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是( )A .[2,2]-B .[1,1]-C .[0,4]D .[1,3]11.已知定义在R 上的偶函数)(x f ,且x≥0时,1,35310,1{)(3>+≤≤+=-x x x x f x 方程m x f =)( 恰好有4个实数根,则实数m 的取值范围是( )A .),(20B .),(21 C .),(235 D .),235[ 12.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,对任意两个不相等的正数21,x x 都有0)()(212112>--x x x f x x f x ,记:1.4log )1.4(log ,4.0)4.0(,1.4)1.4(2.02.01.21.22.02.0f c f b f a ===,则( ) 二、填空题(每小题5分,共20分.)13.函数12+=+x a y )10(≠>a a 且的图象恒过的定点是 . 14.幂函数m x m m x f )2()(2+=在),0[+∞上为单调递增的,则=m ___________. 15.若函数()f x 是定义在R 上的偶函数,且在区间[)0,+∞上是单调减函数.如果实数t 满足()()1ln ln 21f t f f t ⎛⎫+< ⎪⎝⎭时,那么t 的取值范围是 .16. 函数2012)(x x x x x x f ++++=--的值域是 . 三、解答题(共70分)17.(本小题共10分)已知A ={x |0<log 2(x +1)<2},B ={x |ax 2-ax -4<0}.(1)当a =2时,求A ∩B ;(2)若B=R ,求实数a 的取值范围. 18.(本小题共12分)化简与求值(1)(2)19. (本小题共12分)求下列函数的值域(1))1,(,432)(2-∞∈⨯-=+x x f x x ; (2)]4,1[,2log 4log )(22∈⋅=x x xx f ; (3)R x x e x f x∈+=,)(.20. (本小题共12分)已知函数为偶函数,且.(1)求m 的值,并确定的解析式;(2)若])([log )(ax x f x g a -=(a >0且1≠a ) 在]3,2(上为增函数,求实数a 的取值范围.21. .(本小题共12分)如果函数在其定义域D 内,存在实数使得成立,则称函数为“可拆分函数”.(1)判断函数x x f x x f x x f x x f x x f 2)(,ln )(,)(,1)(,)(543221=====是否为“可拆分函数”?(需说明理由)(2)设函数12lg)(+=xax f 为“可拆分函数”,求实数a 的取值范围。
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一、单选题1.若U=R,集合A={x|−3≤2x −1≤3},集合B 为函数y =lg(x −1)的定义域,则图中阴影部分对应的集合为A .(−1,1)B .[−1,1]C .[1,2)D .(1,2] 2.下列函数中,既是奇函数又在区间(0,+∞)是增函数的是 A .y =x 12B .y =x 3C .y =(12)x D .y=|x ﹣1| 3.函数f(x)=lnx −1x 的零点所在的大致区间是A .(1e ,1) B .(1,e) C .(e ,e 2) D .(e 2,e 3) 4.已知a=(35)−13,b=(35)−14,c=(23)−14,则a 、b 、c 的大小关系是 A .c <a <b B .a <b <c C .b <a <c D .c <b <a 5.已知函数y =x m2−5m+4(m ∈Z )为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m=A .2或3B .3C .2D .16.已知函数f (x )=log a (x 2﹣2ax )在[4,5]上为增函数,则a 的取值范围是 A .(1,4) B .(1,4] C .(1,2) D .(1,2]7.设f(x)=3ax +1−2a 在(−1,1)内存在x 0使f(x 0)=0,则a 的取值范围是 A .−1<a <15B .a >15C .a >15或a <−1 D .a <−18.若2a =3b=6,则1a +1b = A .2 B .3 C .12 D .19.定义在R 上的偶函数f (x )在[0,+∞)上递增,f(13)=0,则满足f(log 18x)>0的x 的取值范围是A .(0,+∞)B .(0,18)∪(12,2) C .(0,12)∪(2,+∞) D .(0,12)10.若方程x 2+ax+a=0的一根小于﹣2,另一根大于﹣2,则实数a 的取值范围是 A .(4,+∞) B .(0,4)C .(﹣∞,0)D .(﹣∞,0)∪(4,+∞)11.已知函数f(x)={ln(x +1),x >0−x 2−2x +3,x ≤0,若函数g (x )=f (x )﹣m 有3个零点,则实数m 的取值范围是A .(﹣∞,4)B .(﹣∞,4]C .[3,4)D .[3,4]12.设函数f (x )=ln (x+√x 2+1)+x 3(﹣1<x <1),则使得f (x )>f (3x ﹣1)成立的x 的取值范围是A .(0,12) B .(﹣∞,12) C .(12,23) D .(﹣1,12)二、填空题13.已知函数()22f x x ax b =-+是定义在[]2,31b b --区间上的偶函数,则函数()f x 的值域为__________.14.设函数f(x)={2−x x <1log 4x x >1 , 则满足f(x)=14的x 的值__________.15.如果(m +4)−12<(3−2m)−12,则m 的取值范围是__.16.已知函数f (x )=log 2(4x +1)+mx ,当m >0时,关于x 的不等式f (log 3x )<1的解集为_____.三、解答题17.(1)已知5a =3,5b =4,求a ,b ; 并用a ,b 表示log 2512. (2)求值 (214)12−(√3−π)0+log 313+712log 7418.已知集合A ={x|a −1<x <2a +1}(a ∈R),B ={x|x 2−x <0}, (1)若a =1,求A ∪B ,A ∩(C R B); (2)若A ∩B =φ,求实数a 的取值范围. 19.已知()()122x x f x a a R +-=+⋅∈.(1)若()f x 是奇函数,求a 的值,并判断()f x 的单调性(不用证明); (2)若函数()5y f x =-在区间()0,1上有两个不同的零点,求a 的取值范围.20.某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车,已知生产新样式单车的固定成本为20000元,每生产一件新样式单车需要增加投入100元.根据初步测算,自行车厂的总收益(单位:元)满足分段函数h (x ),其中ℎ(x)={400x −12x 2,0<x ≤40080000,x >400,x 是新样式单车的月产量(单位:件),利润=总收益﹣总成本.(1)试将自行车厂的利润y 元表示为月产量x 的函数;(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大?最大利润是多少?21.已知函数f (x )=ax 2﹣2ax+1+b (a >0)在区间[2,3]上有最大值4和最小值1. (Ⅰ)求实数a ,b 的值; (Ⅱ)设函数g (x )=f(x)x,若不等式g (2x )﹣k•2x ≤0在x ∈[﹣1,1]上恒成立,求实数k 的取值范围.22.已知函数()1log 1amxf x x -=+(a >0,a≠1,m≠﹣1),是定义在(﹣1,1)上的奇函数.(I )求f (0)的值和实数m 的值;(II )当m=1时,判断函数f (x )在(﹣1,1)上的单调性,并给出证明; (III )若102f ⎛⎫>⎪⎝⎭且f (b ﹣2)+f (2b ﹣2)>0,求实数b 的取值范围参考答案1.B【解析】【分析】解一元一次不等式,求对数函数的定义域求出集合A,B,阴影部分表示的集合为A∩∁U B,根据集合关系即可得到结论.【详解】阴影部分表示的集合为A∩∁U B,∵A={x|−3≤2x−1≤3}=[−1,2],B=(1,+∞),∴∁U B=(−∞,1],∴A∩∁U B=[−1,1],故选B.【点睛】本题主要考查集合的基本运算,对数函数的定义域,根据图象确定集合关系是解决本题的关键,比较基础.2.B【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性的定义,即可判断既是奇函数又在区间(0,+∞)上单调递增的函数.【详解】对于A,定义域为[0,+∞)不关于原点对称,故不为奇函数,故A错.对于B,f(−x)=−f(x),则f(x)为奇函数,在区间(0,+∞)上单调递增,故B对;对于C,y=(12)x为非奇非偶函数,故C错误;对于D,y=|x−1|的图象关于x=1对称,为非奇非偶函数,故D错误,故选B.【点睛】本题考查函数的性质和运用,考查函数的奇偶性的判断和单调性的判断,考查运算能力,属于基础题.3.B【解析】【分析】根据函数零点的判断条件,即可得到结论.【详解】∵f(x)=lnx−1x,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,∵f(1)=−1<0,f(e)=1−1e>0,∴f(1)⋅f(e)<0,在区间(1,e)内函数f(x)存在零点,故选B.【点睛】本题主要考查方程根的存在性,利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本题的关键,属于基础题.4.D【解析】【分析】根据指数函数y=(35)x的单调性可以判断a,b的大小,根据幂函数y=x−14的单调性可以判断b,c的大小,综合可得结果.【详解】∵0<35<1,可得y=(35)x是单调减函数,∵−13<−14,∴a=(35)−13>b=(35)−14,∵−14<0,可得y=x−14为减函数,∵35<23,∴b=(35)−14>c=(23)−14,综上可得c<b<a,故选D.【点睛】本题考查大小比较,解题的关键是利用指数函数、幂函数的单调性,常见的做法还有可能与1比较,属于基础题.5.A【解析】【分析】由幂函数y=x m2−5m+4为偶函数,又它在(0,+∞)递减,故它的幂指数为负,由幂指数为负与幂指数为偶数这个条件,即可求出参数m的值.【详解】幂函数y=x m2−5m+4为偶函数,且在(0,+∞)递减,∴m2−5m+4<0,且m2−5m+4是偶数,由m2−5m+4<0得1<m<4,又由题设m是整数,故m的值可能为2或3,验证知m=2或者3时,都能保证m2−5m+4是偶数,故m=2或者3即所求.故选:A【点睛】本题考查幂函数的性质,已知性质,将性质转化为与其等价的不等式求参数的值属于性质的变形运用,请认真体会解题过程中转化的方向.6.C【解析】【分析】由题意可得g(x)=x2−2ax的对称轴为x=a,①当a>1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[4,5]单调递增,且g(x)>0在[4,5]恒成立,②0<a<1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[4,5]单调递增,且g(x)>0在[4,5]恒成立从而可求a.【详解】由题意可得g(x)=x2−2ax的对称轴为x=a,①当a>1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[4,5]单调递增,且g(x)>0在[4,5]恒成立,则{a>1g(4)=16−8a>0a≤4,∴1<a<2②0<a<1时,由复合函数的单调性可知,g(x)在[4,5]单调递增,且g(x)>0在[4,5]恒成立,则{0<a<1 a≥5g(5)=25−10a>0,此时a不存在,综上可得1<a<2,故选C.【点睛】本题主要考查了由对数函数及二次函数复合二次的复合函数的单调性的应用,解题中一定要注意对数的真数大于0这一条件的考虑,属于中档题.7.C【解析】略8.D【解析】【分析】首先将指数式化为对数式解出a和b,将换底公式与对数的加法运算性质相结合即可得到最后结果.【详解】∵2a=3b=6,∴a=log26,b=log36,∴1a+1b=1log26+1log36=log62+log63=log66=1,故选D.【点睛】本题主要考查了指数式与对数式的互化,换底公式(当两对数底数和真数位置互换时,两数互为倒数)与对数加法运算法则的应用,属于基础题.9.C【解析】【分析】由题意可得偶函数f(x)在[0,+∞)上递增,在(−∞,0]上递减,结合题意可得log18x>13①,或log18x<−13②,分别求得①②的解集,再取并集,即得所求.【详解】由题意可得偶函数f(x)在[0,+∞)上递增,在(−∞,0]上递减,且f(−13)=f(13)=0,故由f(log18x)>0可得log18x>13①,或log18x<−13②.由①可得lgx3lg12>13,lgx<lg12,解得0<x<12.由②可得lgx3lg12<−13,lgx>−lg12=lg2,解得x>2.综上可得,不等式的解集为(0,12)∪(2,+∞),故选C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性在解不等式中的应用,解对数不等式,对数的熟练运算是解题的关键,属于中档题.10.A【解析】【分析】令f(x)=x2+ax+a,利用函数与方程的关系,结合二次函数的性质,列出不等式f(−2)<0求解即可.【详解】令f(x)=x2+ax+a,∵方程x2+ax+a=0的一根小于−2,另一根大于−2,∴f(−2)<0,即(−2)2−2a+a<0,解得a>4,即实数a的取值范围是a>4,故选A.【点睛】本题考查一元二次函数的零点与方程根的关系,数形结合思想在一元二次函数中的应用,是基本知识的考查.11.C【解析】【分析】将函数g(x)的零点问题转化为y=f(x)与y=m的图象的交点问题,借助于函数图象可得到结果.【详解】由于函数g(x)=f(x)−m有3个零点,则方程f(x)−m=0有三个根,故函数y=f(x)与y=m的图象有三个交点.函数f(x)={ln(x+1),x>0−x2−2x+3,x≤0,其图象如图所示,故函数f(x)的极大值为f(−1)=4,极小值为f(0)=3,则实数m的取值范围[3,4),故选:C.【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数判断,以及函数与方程的思想,常见的转化思想即方程f(x)−g(x)=0根的个数等价于函数y=f(x)和y=g(x)图象交点的个数,该题中画出函数f(x)的图象是解题的关键,属于中档题.12.A【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及函数的单调性易得f(x)=ln(x+√x2+1)+x3(−1<x<1)为奇函数且为增函数,进而得到关于x的不等式组,解出即可.【详解】∵f(x)=ln(x+√x2+1)+x3(−1<x<1),定义域关于原点对称,f(−x)=ln(−x−√x2+1)−x3=x+√x2+1x3=−[ln(x+√x2+1)+x3]=−f(x)∴f(x)是奇函数,而x>0时,f(x)递增,故x<0时,f(x)递增,故f(x)在(−1,1)递增,若f(x)>f(3x−1),则{−1<x<1−1<3x−1<1x>3x−1,解得0<x<12,故选A.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性问题,考查转化思想,观察得到y=ln(x+√1+x2)为奇函数是难点,常见与对数相结合的奇函数还有y=ln1+x1−x,在该题中容易遗漏的知识点为函数的定义域即{−1<3x−1<1−1<x<1,是一道中档题.13.[]1,5【解析】试题解析:∵函数在区间[]2,31b b--上的偶函数∴23101b b b-+-=⇒=()()0f x f x a=-⇒=∴()()()()min max01;254f x f f x f a====-即[]1,5考点:本题考查函数性质点评:解决本题的关键是利用函数奇偶性,定义域关于原点对称14.√2【解析】【分析】根据分段函数的解析式f(x)={2−x x<1log4x x>1,分为x<1和x>1两种情形,列出方程,然后求解即可.【详解】函数f(x)={2−x x<1log4x x>1,可得当x<1时,2−x=14,解得x=2舍去.当x>1时,log4x=14,解得x=√2.故答案为√2.【点睛】本题考查函数值的求法,分段函数的应用,考查计算能力,属于基础题.15.(−13,32) 【解析】 【分析】 由(m +4)−12<(3−2m)−12,可得m +4>3−2m >0,解出即可得出【详解】∵(m +4)−12<(3−2m)−12, ∴m +4>3−2m >0,解得−13<m <32,故m 的取值范围为−13<m <32.故答案为(−13,32).【点睛】本题考查了幂函数的单调性,注意函数的定义域,考查了推理能力与计算能力,属于中档题 16.(0,1) 【解析】 【分析】首先得到函数f (x )=log 2(4x +1)+mx 为增函数,原不等式等价于f (log 3x )<f (0),结合单调性解出即可.【详解】函数f (x )=log 2(4x +1)+mx ,当m >0时,可知f (x )单调递增函数, 当x =0时,可得f (0)=1,那么不等式f (log 3x )<f (0)的解集, 即{x >0log 3x <0 ,解得0<x <1,故答案为(0,1). 【点睛】本题主要考查的知识点是对数函数的图象和性质,复合函数的单调性判断,将不等式转化为f (log 3x )<f (0)是解题的关键,在解关于对数函数的不等式时务必要保证真数部分大于0,属于基础题.17.(1)a =log 53,b =log 54,a+b 2;(2) 32【解析】 【分析】(1)将指数式化为对数式根据对数的运算性质化简即可;(2)利用幂指数的运算性质,对数的定义即可得到答案.【详解】(1)因为5a =3,5b =4,所以a =log 53,b =log 54, 所以log 2512=12log 53+12log 54=a+b 2.(2)原式=(94)12−1+7log 72=32−1−1+2=32. 【点睛】本题考查有理数指数幂的运算性质,对数的运算性质,考查计算能力,是基础题. 18.(1)见解析(2)a ≤−12或a ≥2 【解析】 【分析】(1)把a =1代入集合A ,求解一元二次不等式化简B ,再由交、并、补集的运算得答案;(2)分为A =∅和A ≠∅两类分析,当A ≠∅时,列关于a 的不等式组求解.【详解】 解:(1)当(2)若,求实数a 的取值范围.①当A=时,有; ②当A 时,有又∵,则有或,解得:或∴或综上可知:或.【点睛】本题考查交集及其运算以及子集的概念,考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法,是中档题.19.(1) 2a =- (2) 253,8a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】试题分析:(1)奇函数满足()()0f x f x +-=恒成立,据此得到关于实数a 的等式,据此可得2a =-;结合指数函数的性质可知()()222x x f x -=-在(),-∞+∞上是单调递增函数.(2)原问题等价于方程12250x xa +-+⋅-=在区间()0,1上有两个不同的根,换元即方程225a t t =-+在区间()1,2t ∈上有两个不同的根,结合二次函数的性质可得a 的取值范围是253,8⎛⎫⎪⎝⎭. 试题解析:(1)因为()f x 是奇函数, 所以()()12x f x f x -+-+=+ ()12222x x xa a a +-⋅++⋅=+ ()22xx-+ 0=,所以2a =-;()()222x x f x -=-在(),-∞+∞上是单调递增函数.(2)()5y f x =-在区间()0,1上有两个不同的零点,⇔方程12250x xa +-+⋅-=在区间()0,1上有两个不同的根,⇔方程22252x x a =-⋅+⋅在区间()0,1上有两个不同的根, ⇔方程225a t t =-+在区间()1,2t ∈上有两个不同的根,253,8a ⎛⎫⇔∈ ⎪⎝⎭.20.(1)见解析(2)当月产量x=300件时,自行车厂的利润最大,最大利润为25000元 【解析】 【分析】(1)求出总成本,由利润=总收益-总成本可得自行车厂的利润y 元与月产量x 的函数式;(2)当0≤x ≤400时,利用配方法求二次函数的最大值25000,当x >400时,由函数的单调性可得y <20000,由此得答案.【详解】解:(1)依题设,总成本为20000+100x , 则y ={−12x 2+300x −20000,0<x ≤400,且x ∈N60000−100x,x >400且x ∈N;(2)当0≤x≤400时,,则当x=300时,y max =25000;当x >400时,y=60000﹣100x 是减函数, 则y <60000﹣100×400=20000,∴当月产量x=300件时,自行车厂的利润最大,最大利润为25000元. 【点睛】本题考查函数模型的选择及应用,考查简单的数学建模思想方法,训练了分段函数最值的求法,是中档题.21.(1)a=1,b=0;(2)[1,+∞) 【解析】【分析】(Ⅰ)a >0时,f (x )在区间[2,3]上单调递增,可得{g (2)=1g (3)=4,解出即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得g (x )=x +1x −2,原题可化为2x +12x −2−k ⋅2x ≤0,分离参数k ,令ℎ(t )=t 2−2t +1=(t −1)2,t ∈[12,2],求出ℎ(t )的最大值即可.【详解】解:(Ⅰ)f (x )=ax 2﹣2ax+1+b=a (x ﹣1)2+1+b ﹣a . ∵a >0,∴f (x )在区间[2,3]上单调递增, ∴{g (2)=4a −4a +1+b =1g (3)=9a −6a +1+b =4 ,解得a=1,b=0; (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f (x )=x 2﹣2x+1,∴g (x )==,不等式g (2x )﹣k•2x ≤0可化为,即k .令t=,∵x ∈[﹣1,1],∴t ∈[,2],令h (t )=t 2﹣2t+1=(t ﹣1)2,t ∈[,2],∴当t=2时,函数取得最大值h(2)=1.∴k≥1.∴实数k的取值范围为[1,+∞).【点睛】本题考查二次函数在闭区间上最值的求法,考查恒成立问题的求解方法,训练了利用换元法及配方法求最值,是中档题;考查恒成立问题,正确分离参数是关键,也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为a>ℎ(x)或a<ℎ(x)恒成立,即a>ℎmax(x)或a<ℎmin(x)即可,求出ℎmax(x)或ℎmin(x)即得解.【答案】(1)1(2)见解析(3)43, 32⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】试题分析:(I)由奇函数的定义可得f(﹣x)+f(x)= log a=0,进一步整理得1﹣m2x2=1﹣x2恒成立,比较系数可得m=1或m=﹣1(舍去);(II)根据函数单调性的定义证明即可;(III)由,得0<a<1,根据条件构造不等式f(b﹣2)>f(2﹣2b),然后利用函数的单调性得到关于b的不等式求解即可。