平行四边形及其性质讲义讲义
平行四边形性质和判定复习讲义
A BECFD ABOCDE AB E CFD ABCDF EG平行四边形性质与判定综合应用(2)6.如图所示，四边形ABCD 是平行四边形，且∠EAD ＝∠BAF 。
① 求证：ΔCEF 是等腰三角形；② 观察图形，ΔCEF 的哪两边之和恰好等于ABCD 的周长？并说明理由。
7.如图所示，ABCD 中的对角线AC 、BD 相交于O ，EF 经过点O 与AD 延长线交于E ，与CB 延长线交于F ， 求证：OE=OF8.如图所示，在ΔABC 中，AE 平分∠BAC 交BC 于E ，DE ∥AC 交AB 于D ， 过D 作DF ∥BC 交AC 于F 。
求证： AD=FC 9.如图,ABCD 中,G 是CD 上一点,BG 交AD 延长线于E ,AF=CG ,100=∠DGE .(1) 求证：DF=BG ; (2)求AFD ∠的度数.10. 如图，平行四边形ABCD 的相邻边AD ：AB=5：4，过点A 作AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，AE=4cm ，求AF 的长．CDBAFOMNDCBANMQ PDCB AF E DBA11、如图，已知AC 是□ABCD 的一条对角线，BM ⊥AC 于M ，DN ⊥AC 于N ，求证：四边形BMDN 是平行四边形.12. 如图,在平行四边形ABCD 中,M,N 分别是OA,OC 的中点,O 为对角线AC 与BD 的交点,试问四边形BMDN 是平行四边形吗?说说你的理由.13、如图4.2-7,在平行四边形ABCD 中,AC 的平行线MN 交DA 的延长线于M,交DC 的延长线于N,交AB,BC 于P,Q.(1) 请指出图中平行四边形的个数,并说明理由. (2) MP 与QN 能相等吗?14、□ABCD 中，E 、F 在AC 上，AE=CF ，求证：四边形DEBF 是平行四边形.ABCDE15.如图，AC ∥ED ，点B 在AC 上且AB=ED=BC ,找出图中的平行四边形。
平行四边形及其性质
19.1.1 平行四边形及其性质(一)教学目标：1．理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．3．培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．2．难点：运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．3．难点的突破方法：本节的主要内容是平行四边形的定义和平行四边形对边相等、对角相等的性质．这一节是全章的重点之一，学好本节可为学好全章打下基础．学习这一节的基础知识是平行线性质、全等三角形和四边形，课堂上可引导学生回忆有关知识．平行四边形的定义在小学里学过，学生是不生疏的，但对于概念的本质属性的理解并不深刻，所以这里并不是复习巩固的问题，而是要加深理解，要防止学生把平行四边形概念当作已知，而不重视对它的本质属性的掌握．为了有助于学生对平行四边形本质属性的理解，在讲平行四边形定义前，要把平行四边形的对边、对角让学生认清楚．讲定义时要强调“四边形”和“两组对边分别平行”这两个条件，一个“四边形”必须具备有“两组对边分别平行”才是平行四边形；反之，平行四边形，就一定是有“两组对边分别平行”的一个“四边形”．要指出，定义既是平行四边形的一个判定方法，又是平行四边形的一个性质．新教材是先让学生用观察、度量和猜想的方法得到平行四边形的对边相等、对角相等这两条性质的，然后用两个三角形全等，证明了这两条性质．这有利于培养学生观察、分析、猜想、归纳知识的自学能力．教学中可以通过大量的生活中的实例：如推拉门、汽车防护链、书本等引入新课，使学生在已有的知识和认知的基础上去探索数学发展的规律，达到用问题创设数学情境，提高学生学习兴趣．然后让学生通过具体问题的观察、猜想出一些不同于一般四边形的性质，进一步由学生归纳总结得到平行四边形的性质．同时教师整理出一种推导平行四边形性质的范式，让学生在教师的范式的诱导下，初步达到演绎数学论证过程的能力．最后通过不同层次的典型例、习题，让学生自己理解并掌握本节课的知识．三、例题的意图分析例1是教材P93的例1，它是平行四边形性质的实际应用，题目比较简单，其目的就是让学生能运用平行四边形的性质进行有关的计算，讲课时，可以让学生来解答．例2是补充的一道几何证明题，即让学生学会运用平行四边形的性质进行有关的论证，又让学生从较简单的几何论证开始，提高学生的推理论证能力和逻辑思维能力，学会演绎几何论证的方法．此题应让学生自己进行推理论证．四、课堂引入1．我们一起来观察下图中的竹篱笆格子和汽车的防护链，想一想它们是什么几何图形的形象？平行四边形是我们常见的图形，你还能举出平行四边形在生活中应用的例子吗？你能总结出平行四边形的定义吗？(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AD//BC（性质）．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角．（教学时要结合图形，让学生认识清楚）2．【探究】平行四边形是一种特殊的四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外，还有什么特殊的性质呢？我们一起来探究一下．让学生根据平行四边形的定义画一个一个平行四边形，观察这个四边形，它除具有四边形的性质和两组对边分别平行外以，它的边和角之间有什么关系？度量一下，是不是和你猜想的一致？（1）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．（相邻的角指四边形中有一条公共边的两个角．注意和第一章的邻角相区别．教学时结合图形使学生分辨清楚．）（2）猜想平行四边形的对边相等、对角相等．下面证明这个结论的正确性．已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA （ASA）．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．五、例习题分析例1（教材P93例1）例2（补充）如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．证明略．六、随堂练习1．填空：（1）在ABCD中，∠A=，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．七、课后练习1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是2．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．19.1.1 平行四边形的性质(二)教学目标：1．理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质．2．能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．3．培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力．二、重点、难点1．重点：平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．2．难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．3．难点的突破方法：（1）本节课的主要内容是平行四边形的性质3，它是通过旋转平行四边形，得到平行四边形是中心对称图形和对角线互相平分的性质．这一节综合性较强，教学中要注意引导学生．要注意让学生巩固基础知识和基本技能，加强对解题思路的分析，解题思想方法的概括、指导和结论的升华．（2）教学时要讲明线段互相平分的意义和表示方法．如图，设四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，若AC与BD互相平分，则有OA＝OC，OB＝OD．（3）在平行四边形中，从一条边上的任意一点，向对边画垂线，这点与垂足间的距离(或从这点到对边垂线段的长，或者说这条边和对边的距离)，叫做以这条边为底的平行四边形的高．这里所说的“底”是相对高而言的．在平行四边形中，有时高是指垂线段本身，如作平行四边形的高，就是指作垂线段．所以平行四边形的高，在作图时一般是指垂线段本身．在进行计算时，它的意义是距离，即长度．（4）平行四边形的面积等于它的底和高的积，即＝a·h．其中a可以是平行四边形的任何一边，h必须是a边与其对边的距离，即对应的高，如图（1）．要避免学生发生如图（2）的错误．为了区别，有时也可以把高记成、，表明它们所对应的底是a或AB．（5）学完本节后，归纳总结一下平行四边形比一般四边形多哪些性质，平行四边形有哪些性质．可以按边、角、对角线进行总结．通过复习总结，使学生掌握这些知识，也培养学生随时复习总结的习惯，并提高他们归纳总结的能力．三、例题的意图分析本节课安排了两个例题，例1是一道补充题，它是性质3的直接运用，然后对例1进行了引申，可以根据学生的实际情况选讲，并归纳结论：过平行四边形对角线的交点作直线交对边或对边的延长线，所得的对应线段相等．例1与后面的三个图形是一组重要的基本图形，熟悉它的性质对解答复杂问题是很有帮助的．例2是教材P94的例2，这是复习巩固小学学过的平行四边形面积计算．这个例题比小学计算平行四边形面积的题加深了一步，需要应用勾股定理，先求得平行四边形一边上的高，然后才能应用公式计算．在以后的解题中，还会遇到需要应用勾股定理来求高或底的问题，在教学中要注意使学生掌握其方法．四、课堂引入1．复习提问：（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系是：（2）平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质（内角和是）．②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．2．【探究】：请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC、BD和EG、HF，设它们分别交于点O．把这两个平行四边形落在一起，在点O处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转，观察它还和EFGH重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心；（2）平行四边形的对角线互相平分．五、例习题分析例1（补充）已知：如图4－21，ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O与AB、CD分别相交于点E、F．求证：OE＝OF，AE=CF，BE=DF．证明：在ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2．∠3＝∠4．又OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE＝OF，AE=CF（全等三角形对应边相等）．∵ABCD，∴AB=CD（平行四边形对边相等）．∴AB—AE=CD—CF．即BE=FD．※【引申】若例1中的条件都不变，将EF转动到图b的位置，那么例1的结论是否成立？若将EF向两方延长与平行四边形的两对边的延长线分别相交（图c和图d），例1的结论是否成立，说明你的理由．解略例2（教材P94的例2）已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10cm，AD＝8cm，AC ⊥BC，求BC、CD、AC、OA的长以及ABCD的面积．分析：由平行四边形的对边相等，可得BC、CD的长，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长．再由平行四边形的对角线互相平分可求得OA的长，根据平行四边形的面积计算公式：平行四边形的面积=底×高（高为此底上的高），可求得ABCD的面积．（平行四边形的面积小学学过，再次强调“底”是对应着高说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，高也就随之确定了．）3.平行四边形的面积计算解略（参看教材P94）．六、随堂练习1．在平行四边形中，周长等于48，①已知一边长12，求各边的长②已知AB=2BC，求各边的长③已知对角线AC、BD交于点O，△AOD与△AOB的周长的差是10，求各边的长2．如图，ABCD中，AE⊥BD，∠EAD=60°，AE=2cm，AC+BD=14cm，则△OBC的周长是____ ___cm．3．ABCD一内角的平分线与边相交并把这条边分成，的两条线段，则ABCD的周长是__ ___．七、课后练习1．判断对错（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．（）（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（）（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（）（4）平行四边形是轴对称图形．（）2．在ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是．4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．19.1.2（一）平行四边形的判定一、教学目标：1．在探索平行四边形的判别条件中，理解并掌握用边、对角线来判定平行四边形的方法．2．会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．3．培养用类比、逆向联想及运动的思维方法来研究问题．二、重点、难点4．重点：平行四边形的判定方法及应用．5．难点：平行四边形的判定定理与性质定理的灵活应用．3．难点的突破方法：平行四边形的判别方法是本节课的核心内容．同时它又是后面进一步研究矩形、菱形、正方形判别的基础，更是发展学生合情推理及说理的良好素材．本节课的教学重点为平行四边形的判别方法．在本课中，可以探索活动为载体，并将论证作为探索活动的自然延续与必要发展，从而将直观操作与简单推理有机融合，达到突出重点、分散难点的目的．（1）平行四边形的判定方法1、2都是平行四边形性质的逆命题，它们的证明都可利用定义或前一个方法来证明．（2）平行四边形有四种判定方法，与性质类似，可从边、对角线两方面进行记忆．要注意：①本教材没有把用角来作为判定的方法，教学中可以根据学生的情况作为补充；②本节课只介绍前两个判定方法．（3）教学中，我们可创设贴近学生生活、生动有趣的问题情境，开展有效的数学活动，如通过欣赏图片及识别图片中的平行四边形，使学生建立对平行四边形的直觉认识．并复习平行四边形的定义，建立新旧知识间的相互联系．接着提出问题：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？从而组织学生主动参与、勤于动手、积极思考，使他们在自主探究与合作交流的过程中，从整体上把握“平行四边形的判别”的方法．然后利用学生手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件．在学生拼图的活动中，教师可以以问题串的形式展开对平行四边形判别方法的探讨，让学生在问题解决中，实现对平行四边形各种判别方法的掌握，并发展了学生说理及简单推理的能力．（4）从本节开始，就应让学生直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题，凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明．应该对学生提出这个要求．（5）平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质去解决某些问题．例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或线段相等等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再眼再用平行四边形的性质去解决某些问题．（6）平行四边形的概念、性质、判定都是非常重要的基础知识，这些知识是本章的重点内容，要使学生熟练地掌握这些知识．三、例题的意图分析本节课安排了3个例题，例1是教材P96的例3，它是平行四边形的性质与判定的综合运用，此题最好先让学生说出证明的思路，然后老师总结并指出其最佳方法．例2与例3都是补充的题目，其目的就是让学生能灵活和综合地运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题．例3是一道拼图题，教学时，可以让学生动起来，边拼图边说明道理，即可以提高学生的动手能力和学生的思维能力，又可以提高学生的学习兴趣．如让学生再用四个不等边三角形拼一个如图的大三角形，让学生指出图中所有的平行四边形，并说明理由．四、课堂引入1．欣赏图片、提出问题．展示图片，提出问题，在刚才演示的图片中，有哪些是平行四边形？你是怎样判断的？2．【探究】：小明的父亲手中有一些木条，他想通过适当的测量、割剪，钉制一个平行四边形框架，你能帮他想出一些办法来吗？让学生利用手中的学具——硬纸板条通过观察、测量、猜想、验证、探索构成平行四边形的条件，思考并探讨：（1）你能适当选择手中的硬纸板条搭建一个平行四边形吗？（2）你怎样验证你搭建的四边形一定是平行四边形？（3）你能说出你的做法及其道理吗？（4）能否将你的探索结论作为平行四边形的一种判别方法？你能用文字语言表述出来吗？（5）你还能找出其他方法吗？从探究中得到：平行四边形判定方法1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
平行四边形的性质平行四边形的性质与判断方法
平行四边形的性质平行四边形的性质与判断方法平行四边形是一种特殊的四边形，它具有一些独特的性质和判断方法。
在本文中，我们将深入探讨平行四边形的性质，并介绍如何通过这些性质来判断一个四边形是否为平行四边形。
一、平行四边形的定义平行四边形是指四边形的对边两两平行的四边形。
四边形的对边是指相对的两条边，而平行的定义是指两条直线或线段在同一平面内永不相交。
二、平行四边形的性质1. 对角线互相平分平行四边形的两条对角线互相平分。
也就是说，连接平行四边形相对顶点的线段，其交点即为对角线的中点。
2. 对边等长平行四边形的对边长度相等。
即平行四边形的相对边长相等。
3. 内角和为180度平行四边形的内角和等于180度。
也就是说，平行四边形的内角之和是一个定值，无论其角度大小如何变化，内角之和始终等于180度。
4. 任意一组相邻内角补角为180度对于平行四边形来说，任意一组相邻内角的补角等于180度。
两条平行线被一条横切线所交，形成的内角和为180度。
5. 对角线等长平行四边形的对角线长度相等。
也就是说，连接平行四边形相对顶点的对角线长度相等。
三、判断平行四边形的方法1. 观察边长关系判断一个四边形是否为平行四边形，可以通过观察其边长关系。
如果四边形的对边长度相等，则可以判断为平行四边形。
2. 观察角度关系通过观察四边形的角度关系，也可以判断是否为平行四边形。
如果四边形的内角之和为180度，并且任意一组相邻内角的补角为180度，那么可以确定该四边形是平行四边形。
3. 观察对角线若一个四边形的对角线相等，则可证明该四边形为平行四边形。
这是因为平行四边形的对角线互相平分，所以如果四边形的对角线相等，那么可以得出结论它是平行四边形。
4. 使用截线定理截线定理是一种判断平行四边形的方法。
当一条直线与两条平行线相交时，它所切分的线段比例相等。
如果在一个四边形中，两组相邻边分别满足这个比例关系，那么可以得出结论该四边形是平行四边形。
平行四边形性质知识点
平行四边形性质知识点平行四边形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和特点。
本文将详细介绍平行四边形的性质知识点。
1. 平行四边形的定义平行四边形是具有两对对边平行的四边形。
对于一个平行四边形ABCD来说，AB || CD，AD || BC。
2. 平行四边形的性质（1）对边相等：平行四边形的对边相等，即AB = CD，AD = BC。
（2）同位角相等：平行四边形的同位角相等，即∠A = ∠C，∠B= ∠D。
（3）对角线互相平分：平行四边形的对角线互相平分，即AC和BD互为平分线。
（4）内角之和：平行四边形的内角之和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 180°。
（5）对角线比例：在平行四边形中，对角线所分割的小平行四边形面积之比等于对角线所分割的平行四边形面积之比。
3. 平行四边形的判定方法判定一个四边形是否为平行四边形有多种方法：（1）对边判定法：若四边形的对边分别平行，则四边形为平行四边形。
（2）夹角判定法：若四边形内两对邻角的对应角相等，则四边形为平行四边形。
4. 平行四边形的常见特殊情况（1）矩形：具有四个直角的平行四边形称为矩形。
矩形的对边相等且同位角相等，对角线相等且相互平分。
（2）正方形：具有四条边相等且四个直角的矩形称为正方形。
正方形是一种特殊的矩形，具有独特的性质，如对角线相等、内角为90度等。
（3）菱形：具有四条边相等的平行四边形称为菱形。
菱形的对角线互相垂直且相互平分。
（4）等腰梯形：具有两组对边相等的平行四边形称为等腰梯形。
5. 平行四边形的应用平行四边形在几何学中有广泛的应用，特别是在计算面积和周长等方面。
通过掌握平行四边形的性质，我们可以解决各种与平行四边形相关的几何问题，如证明两条线段平行、判断图形是否为平行四边形等。
总结：平行四边形是具有两对对边平行的四边形。
它具有对边相等、同位角相等、对角线互相平分等性质。
在判定和应用中，可以根据对边判定法和夹角判定法来确定是否为平行四边形，并利用平行四边形的性质来解决几何问题。
平行四边形及其性质
第四讲：平行四边形及其性质第一部分：知识模块与方法 知识模块一：平行四边形的性质与判别1．平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形的对角线：平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫做它的对角线。
2．平行四边形的性质：（1）平行四边形的对边相等； （2）平行四边形的对角相等；（3）平行四边形的对角线互相平分； （4）平行四边形的邻角互补。
3．平行线之间的距离：若两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离。
4．平行四边形的判定方法：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（4）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
知识、题型、方法平行四边形的性质与等量代换技巧（说明线段相等，求周长，求面积,求角的度数）例1：如图1，在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AD 于点E ，CF ⊥BA 且交BA 延长线于点F ，∠FBC ︒=30，3=CE cm ，=CF 5cm ，求平行四边形ABCD 的周长。
FA E DB C 图1例2：（2011，湖南常德节选）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，AF ，BE 分别是∠DAB ，∠CBA 的角平分线。
求证：DF =EC 。
ABCD E FM变式练习：1．（2011，浙江丽水）如图，在□ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是。
2．（2011，成都节选） 如图，已知线段AB ∥CD ，AD 与BC 相交于点K ，E 是线段AD 上一动点。
连接BE ，若BE 平分∠ABC ，且当AE =12AD 时，猜想线段AB 、BC 、CD 三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明。
平行四边形的性质(对边平行)
平行四边形的性质（对边平行）平行四边形是几何学中的一种特殊四边形，其具有特定的性质和特征。
其中最重要的性质就是其对边是平行的，即对边平行性质。
本文将对平行四边形的对边平行性质进行详细阐述和探讨。
1. 平行四边形的定义平行四边形是一种具有两组对边平行的四边形。
简单来说，它的两对对边分别平行且相等。
与此同时，平行四边形的两组对角线长度相等且互相平分。
2. 对边平行性质的证明对边平行性质可以通过多种方法进行证明。
下面我们给出一种常见的证明方法：假设ABCD是一个平行四边形，其中AB∥CD，AD∥BC。
我们需要证明AC∥BD。
首先，我们假设AC与BD不平行，即它们相交于一点O。
连接AO和DO，分别延长线段AO和DO，分别与BC和AD相交于点E和F。
根据平行线性质，我们可以得出∠ABO = ∠CDO和∠DAO =∠CBO。
又由于平行四边形的性质，我们知道∠ADO = ∠BCO和∠BDA = ∠CBA。
进一步观察可以发现，∠BDA + ∠BDA = 180°，而∠ABO +∠BDA + ∠CDA = 180°。
结合以上两个等式，可以得出∠CDA = ∠CDO。
再结合平行线性质，我们可以得出AC∥BD，这与我们的假设相矛盾。
因此，AC与BD是平行的，证明完成。
3. 对边平行性质的应用对边平行性质在几何学中有着广泛的应用。
下面我们介绍其中两个重要的应用场景：3.1 平行线的判定对边平行性质可以用来判定两条直线是否平行。
如果两个四边形的对边平行，那么这两条直线也是平行的。
这种判定方法在解决平行线问题时非常有效。
3.2 平行四边形的面积计算由于平行四边形的对边平行且相等，我们可以利用其面积计算公式进行求解。
平行四边形的面积等于其中一条对角线长度乘以与该对角线垂直的高度。
4. 平行四边形的其他性质除了对边平行性质外，平行四边形还具有其他一些重要的性质：4.1 邻边互补性平行四边形的相邻两边是互补角，即它们的和为180度。
平行四边形的性质及判定(四边形)讲义
EOABD C平行四边形的性质及判定一、知识提要1.定义有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形用“□”表示，平行四边形ABCD记作□ABCD.2.平行四边形的性质：对边相等,对角相等,对角线互相平分.3.三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.4.两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的，其中，两条平行线间最短的线段长度叫做平行线间的距离.5.平行四边形的判定：共5个①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对角分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.二、精讲精练1.(2011广东)已知□ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）A. 4B. 12C. 24D. 282.在平行四边形中，四个角之比可以成立的是( )A．1:2:3:4 B．2:2:3:3 C．2:3:3:2 D．2:3:2:33.（2011江苏）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O．若AC=6，则线段AO的长度等于________.4.（2011山东）如图，在□ABCD中，AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，3OE cm，则AD的长是＿＿cm.5.（2011湖南）如图所示，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AB≠AD，则下列式子不．正确．．的是( )A．AC⊥BD B．AB=CDC．BO=OD D．∠BAD=∠BCD6.在平行四边形ABCD中,∠B-∠A=20°,则∠D的度数是_______.7.平行四边形的两邻边分别为3，4，那么其对角线必( )A．大于1 B．大于1且小于7C．小于7 D．大于7或小于1A DCOB8. 以长为5cm, 4cm, 7cm 的三条线段中的的两条为边,另一条为对角线画平行四边形,可以画出形状不同的平行四边形的个数是 ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 49. 已知平行四边形的面积是144,相邻两边上的高分别为8和9,则它的周长是______.10. 在□ABCD 中，AB =3，BC =5，∠B 的平分线AE 交AD 于点E ，则DE 的长为__________.11. 在平面内和直线l 距离为8 cm 的直线有______条. 12. 平行四边形的一组对角的平分线( )A ．一定相互平行B ．一定相交C ．可能平行也可能相交D ．平行或共线13. （2011湖南）如图．下列四组条件中．不能．．判定四边形ABCD 是平行四边形的是（ ）A ．AB =DC ， AD =BCB ．AB ∥DC ，AD ∥BC C ．AB ∥DC ，AD =BCD ．AB ∥DC ，AB =DC14. 如图，平行四边形ABCD 中，AE =CG ， DH =BF ，连结E ，F ，G ，H ，E ，则四边形EFGH 是_____．15. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 是对角线AC 上的两点，且AE =CF ，则四边形BEDF 是___________．16. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，AD 的中点，则图中共有平行四边形的个数是( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 617. （2011天津）如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，连接DE 、EF 、FD ．则图中平行四边形的个数为__________.18. 已知四边形ABCD ，有以下四个条件，①AB ∥CD ；②AB =CD ；③BC ∥AD ；④BC =AD .从这四个条件中，任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法共有（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6FEDCBA DCBAHGA BCDEFF EDCBA FA BCDEABECFD 19. 如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，点E 为AB 中点，连结CE ，过点E 作ED ⊥BC 于点D ，在DE 的延长线上取一点F ，使AF =CE ．求证：四边形ACEF 是平行四边形．20. （2011湖北）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 中点，BE 的延长线与AD 的延长线相交于点F . （1）证明：∠DFE =∠CBE ； （2）证明：△DFE ≌△CBE ．21. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，AD =12，AB =13，BD ⊥AD ，求BC ，CD及OB 的长．22. (2011四川)如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，E 、F 在AC 上，G 、H 在BD 上，且AF =CE ，BH =DG ，求证：EG ∥HF .OD CBAH G O E DCBA F E DCB A F三、测试提高【板块一】平行四边形的性质1. （2011重庆）如图，在平行四边形 ABCD 中(AB ≠BC )，直线EF 经过其对角线的交点O ,且分别交AD 、BC 于点M 、N ，交BA 、DC 的延长线于点E 、F ，下列结论：①AO =BO ；②OE =OF ； ③△ODM ≌△OBN ； ④△EAO ≌△CNO ，其中正确的是( ) A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ③④2. （2011辽宁）如图，在□ABCD 中，点E 、F 分别在边AD 、BC 上，且BE ∥DF ，若∠EBF =45°，则∠EDF 的度数是（ ） A ．30° B ．45° C ．55° D ．75°3. （2011浙江）如图，已知E 、F 是□ABCD 对角线AC 上的两点，且BE ⊥AC ，DF ⊥AC ，对角线AC ，BD 相交于点O ，则图中有几对全等三角形（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．64. 如图，EF 过平行四边形ABCD 对角线的交点O ，并交AD 于点E ，交BC 于F ，若AB =4，BC =6，OE =2，那么四边形EFCD 的周长是（ ） A ．16 B ．14 C ．12 D ．10N MFE ODC BAFEDCBA O ABCDE FF E ODCB A【板块二】平行四边形的判定5. （2011广西）如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AD ， HN ∥AB ，则图中的平行四边形的个数共有( ) A ．12个 B ．9个 C ．7个 D ．5个四、课后作业1. 在□ABCD 中，∠A = 2∠B ，则∠C =________.2. 在□ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ∶∠D 的值可以是（ ）. A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶13. 已知平行四边形ABCD 的周长是100cm, AB :BC =4:1,则AB 的长是__________.4. 在平行四边形ABCD 中,∠A :∠B =3:2,则∠C =_______度，∠D =____度.5. 用20米长的一铁丝围成一个平行四边形,使长边与短边的比为3:2,则它的短边长为____.6. 平行四边形ABCD 的周长32, 5AB =3BC ,则对角线AC 的取值范围为_______.7. 在平行四边形ABCD 中,∠A =65°,则∠D 的度数是_______8. 由等腰三角形底边上任一点(端点除外)作两腰的平行线,则所成的平行四边形的周长等于等腰三角形的 ( ).A.周长B. 一腰的长C.周长的一半D. 两腰的和 9. 能够判定一个四边形是平行四边形的条件是 ( ). A. 一组对角相等 B. 两条对角线互相平分 C. 两条对角线互相垂直 D. 一对邻角的和为180°10. 关于四边形ABCD ：①两组对边分别平行②两组对边分别相等③有两组角相等④对角线AC 和BD 相等.以上四个条件中，可以判定四边形ABCD 是平行四边形的有______个.11. 四边形ABCD 中,AD ∥BC ,要判定ABCD 是平行四边形,那么还需满足 ( ). A. ∠A +∠C =180° B. ∠B +∠D =180° C. ∠A +∠B =180° D. ∠A +∠D =180°12. 已知平行四边形ABCD 中，AB = 12，AB 边上的高为3，BC 边上的高为6，则平行四边形ABCD 的周长为 .NHE D CBA F13.已知：如图，△ABC中，AB=AC，DE//AC，DF//AB．求证：DE+DF=AB14.如图，在□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，E，F是BD上的点，BE⊥EC，DF⊥AF，垂足分别为E、F.那么OE与OF是否相等？为什么？15.（2010江苏）如图，在□ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证：∠EBF=∠FDE．16.（2011福建）如图，四边形ABCD是平行四边形，BE、DF分别是∠ABC、∠ADC的平分线，且与对角线AC分别相交于点E、F.求证：AE=CF.FAB C DE OEDCB AFC ABD EFB DAFCE。
平行四边形的定义,性质与判定
平行四边形的定义、性质及判定
一
1.两组对边平行的四边形是平行四边形.
2.性质：
(1)平行四边形的对边相等且平行；
(2)平行四边形的对角相等，邻角互补；
(3)平行四边形的对角线互相平分.
3.判定：
(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
(4)两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
(5)对角线互相平分的四边形是平行四边形.
4.对称性：平行四边形是中心对称图形.
二
平行四边形定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.
性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分 .
判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
三
1.平行四边形定义：在同一个平面内，由两组平行线段组成的闭合图形，称为平行四边形。
2.平行四边形判定定理：两组对边分别平行且相等的四边形是平行四边形。
3.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。
平行四边形及其性质ppt课件
4.2 平行四边形及其性质
平行线的性质定理：
习题讲解书写部分
平行线性质定理的推论：
作业布置
【知识技能类作业】 3.如图,已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,且a∥b∥c,其中a与b
之间的距离是6,b与c之间的距离是8,则△ABC的面积是( C )
A.24 B.100 C.50
C a
B b
D.48
c
A
作 业 布 置 【综合实践类作业】
1.如图所示，在▱ABCD中，点E是DC边上一点，连结AE，BE， 已知AE是∠DAB的平分线，BE是∠CBA的平分线. （1）求证：AE⊥BE； （2）若AE＝3，BE＝2，求 ABCD的面积.
解： ∵AF∥EC,AB∥DC, ∴AE=FC. ∵EF∥BC,AB∥DC, ∴EB=FC. ∵AD∥EF,AB∥DC, ∴AE=DF, ∴EB=DF.
课堂总结
平行线有下面的性质定理是什么？ 夹在两条平行线间的平行线段相等. “夹在两条平行线间的平行线段相等”的推论是什么？ 夹在两条平行线间的垂线段相等.
例题精讲
例2 如图,一个放在墙角的立柜的上、下底面是一个等腰直角三角形， 腰长为1.4m.现要将这个立柜搬过一个宽为1.2m的通道,能通过吗?
思考：如果沿立柜上、下底面任一条直 角边方向平移，立柜能通过通道吗？
因为腰长1.4m大于通道宽1.2 m,所以在搬 这个立柜时，如果沿立柜上、下底面任一 条直角边方向平移,都不能通过.
作业布置
【知识技能类作业】 1.在▱ABCD中，AB=20，AD=16，AB和CD之间的距离为8，则
AD与BC之间的距离为( C )
A. 8
D
C
B. 9
C. 10 D. 11
平面几何中的平行四边形的性质及其判定
平面几何中的平行四边形的性质及其判定平行四边形是几何学中一种特殊的四边形，其特点是具有两对平行的边。
在本文中，我们将探讨平行四边形的性质以及如何进行判定。
一、平行四边形的性质平行四边形具有以下几个重要性质：1.对角线互相平分：平行四边形的两条对角线相交于一点，且该点同时是两条对角线的中点。
2.对边相等：平行四边形的对边长度相等，即相对的两条平行边的长度相等。
3.内角和为180度：平行四边形的内角之和等于180度。
4.对角线长度关系：平行四边形的对角线长度满足对角线定理，即两条对角线的平方和等于两对边的平方和。
二、判定平行四边形的条件要判定一个四边形是否为平行四边形，我们可以根据以下条件进行判断：1.对边相等且对角线互相平分：如果一个四边形的对边长度相等且两条对角线互相平分，那么这个四边形就是平行四边形。
2.相邻边互相平行：如果一个四边形的相邻边互相平行，那么这个四边形就是平行四边形。
3.已知边长和内角：如果一个四边形的边长已知且内角也已知，我们可以根据边长和内角的关系，计算出四边形的对边长度和内角和，如果对边长度相等且内角和为180度，则这个四边形是平行四边形。
4.对角线长度相等：如果一个四边形的两条对角线长度相等，那么这个四边形是平行四边形。
三、实例分析下面通过几个实例说明平行四边形的判定条件：1.已知四边形的对边长度相等且对角线互相平分，证明这个四边形是平行四边形。
解析：由于对边长度相等，可以得出该四边形的两对边是平行的。
又因为两条对角线互相平分，可以得到对角线的交点是对角线上点的中点。
根据平行四边形的性质1，可以证明该四边形是平行四边形。
2.已知四边形的相邻边互相平行，证明这个四边形是平行四边形。
解析：由于相邻边互相平行，可以推导出该四边形的两对边是平行的。
根据平行四边形的性质2，可以证明该四边形是平行四边形。
3.已知四边形的边长和内角，判断这个四边形是否是平行四边形。
解析：根据已知的边长和内角的关系，可以计算出四边形的对边长度和内角和。
《平行四边形及其性质》PPT课件
形ABCD，记作： ABCD； A
D
读作：平行四边形ABCD
用符号“ ”表示平行四边 B
C
形时，字母必须按逆时针或顺
时针排列，不可打乱顺序。
A
平行四边形相对的边称为 对边
相对的角称为 对角
B
邻边，邻角
平行四边形不相邻的两个顶点连成 PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛： 语文课件：/kejian/yuw en/
求证：OE=OF B
E O
F
D C
ABCD的对角线AC
与BD相交于点O，过点 E
O作一条直线，分别交
BA,DC的延长线于点
E,F。
A
求证：OE=OF
O
B F
D C
D
C
已知： ABCD的周长等于20 cm，
AC=7 cm，求△ABC的周长。
解：
A
B
∵四边形ABCD是平行四边形（已知）
∴ AB=CD，BC=AD（平行四边形的对边相等）
观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？
两组对边都不平行
一组对边平行， 一组对边不平行
平行四边形
两组对边 分别平行
四边形
有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
一、 平行四边形的概念：
1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫 平行四边形。
2、特征：①属于四边形； ②有两组对边分别平行。
3、符号：“ ”如平行四边
C 即AB+BC= 1
ABCD =10cm
2
又∵ AC=7 cm（已知）
平行四边形及其性质ppt课件
D' DE
C' C
A' A
F B' B
19
2.如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分 ∠ABC，求证：AB=CE
20
3、如图，四边形ABCD和BCEF均为平行四边形， AD =2cm，∠A =65°，∠E =33°， 求EF和∠BGC.
21
22
课堂小结
1、平行四边形的定义：两组对边分别平 行的四边形。 2、平行四边形的对角相等，对边相等。 3、平行四边形的不稳定性在实际生活中 的应用。
∠1＝∠2，BD＝DB，∠3＝∠4 ∴∠1＋∠4＝∠2＋∠3
∴ ABD
CDB（ASA） 即∠ABC＝∠CDA
∴AB＝CD，BC＝DA，∠A＝∠C
12
定理1：平行四边形的两组对边分别相等
几何语言：
D
C
∵ 四边形ABCD是平行四边
形∴
A
B
AB＝CD，AD＝BC．（平行四边形的对边相等）
在 ABCD中，
8
合作学习
用两个全等的三角形纸片可以拼出几种形状不 同的平行四边形？你发现平行四边形有哪些性质？
从拼图可以得到什么启示？
小结：平行四边形可以是由两个全等的三角形组成，
因此在解决平行四边形的问题时，通常可以连结对 角线转化为两个全等的三角形进行解题。
9
讨 论
1.平行四边形的边具有哪些性质？说说你 的理由。 2.平行四边形的角具有哪些性质？说说你 的理由。
40o、140o、40o、140o
17
已知:如图，E、F分别是 ABCD的边AD
、
BC上的点，且AF//CE
求证：DE=BF, ∠BAF＝A∠DCE.E
平行四边形的性质说课课件
周长应用
平行四边形的周长可以应用于各种场景，如标志设计、图形 周长比较、道路规划等。
04
CATALOGUE
平行四边形与三角形的关系
平行四边形与三角形的联系
平行四边形可以看作是两个三角 形组成的
平行四边形的对角线将其分成两 个全等三角形
三角形和平行四边形之间存在密 切的联系，可以通过对三角形的
操作来研究平行四边形的性质
日常用品
列举一些日常用品中平行 四边形的应用，如相框、 书本封面等。
02
CATALOGUE
平行四边形的性质
平行四边形的定义
总结词
两组对边分别平行的四边形
详细描述
首先，我们要了解平行四边形的定义。平行四边形是一个四边形，它的两组对 边分别平行。这种定义不仅给出了平行四边形的一种特性，也为我们提供了识 别平行四边形的方法。
平行四边形的性质说课课 件
CATALOGUE
目 录
• 引入 • 平行四边形的性质 • 平行四边形的面积与周长 • 平行四边形与三角形的关系 • 平行四边形的实际应用 • 总结与回顾
01
CATALOGUE
引入
引入平行四边形的概念
定义
平行四边形是一种四边形，它的 两组对边分别平行。
图形示例
展示常见的平行四边形示例，如 矩形、菱形、正方形等。
介绍平行四边形的历史背景
起源
介绍平行四边形的起源和早期发展， 突出其在几何学中的重要地位。
数学家贡献
简要介绍一些数学家对平行四边形性 质的研究和贡献。
展示平行四边形的应用场景
01
02
03
建筑设计
展示一些建筑设计中使用 平行四边形的案例，如窗 户、门等。
平行四边形及其性质讲义讲义1
平行四边形及其性质讲义讲义1本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21year.March辅导讲义课题平行四边形及其性质教学目标1．1理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．2理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．3．重点、难点1平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．2综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．3平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．考点及考试要求平行四边形性质, 有关的论证和计算教学内容一，基础知识(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB︒50︒360︒360︒180cm5cm7cmGFEDCBA24ABCD AB CD =AD BC =AB BC =AC BD=21边形AECD 是等腰梯形 D. ∠AEC=∠ADC7、已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ；④BC AD =．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ ） （A ）6种 （B ）5种 （C ）4种 （D ）3种8、点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（ ）.A 、一组对边相等，另一组对边平行；C 、一组对角相等，一组邻角互补；B 、一组对边平行，一组对角互补；D 、一组对角互补，另一组对角相等。
平行四边形的性质讲义
平行四边形的性质主讲教师：傲德重难点易错点辨析题一：如图所示，在□ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且A B ≠AD ，则下列式子不正确的是( )A ．BO =ODB ．AB =CDC ．AC ⊥BD D ．∠BAD =∠BCDOB C AD考点：平行四边形的性质金题精讲题一：如图，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上的一点，CE =CD ，若∠B =72°，则∠AEC 的度数是( )A ．144°B ．108°C ．102°D ．78°E B C A D考点：平行四边形的性质题二：如图所示，平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 的直线分别交AD 、BC 于点M 、N ，若△CON 的面积为2，△DOM 的面积为4，则△AOB 的面积为 ．MO N B A D考点：平行四边形的性质题三：如图，EF 是过平行四边形ABCD 的对角线交点O 的线段，分别交AB ，CD 于点E 、F ，如果平行四边形ABCD 的周长为16cm ，且OF =1.5cm ，那么四边形BCFE 的周长为 cm ．EOD B C AF考点：平行四边形的性质题四：如图，ABCD 是平行四边形，P 是CD 上一点，且AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ．(1)求∠APB 的度数；(2)如果AD =5cm ，AP =8cm ，求△APB 的周长．CD AP考点：平行四边形的性质思维拓展题一：如图所示，一个平行四边形被分成面积为S 1、S 2、S 3、S 4的四个小平行四边形，当CD 沿AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时，S 1•S 4与S 2•S 3的大小关系为( )A ．S 1•S 4＞S 2•S 3B ．S 1•S 4＜S 2•S 3C ．S 1•S 4=S 2•S 3D ．不能确定S 4S 3S 2S 1O DBE HA 考点：平行四边形的面积平行四边形的性质讲义参考答案重难点易错点辨析题一：C．金题精讲题一：B．题二：6．题三：11．题四：(1)90°；(2)24．思维拓展题一：C．。
平行四边形性质(一)课件
总结：平行四边形在各个领域都有着广泛的应用前景，尤其是在建筑设计、机械制造、计算机图形学等领域。
在建筑设计领域，平行四边形被广泛应用于建筑结构和装饰设计中，如窗户、门、装饰线条等。在机械制造领域，平行四边形被用于各种机构和机器的设计中，如连杆机构、齿轮机构、传送带等。在计算机图形学领域，平行四边形是构成各种复杂图形的基础，被广泛应用于游戏开发、动画制作、虚拟现实等领域。
总结：虽然平行四边形已经得到了广泛的研究和应用，但仍有许多问题需要进一步探讨和研究。
THANKS
感谢观看
详细描述
03
平行四边形的面积计算
VS
平行四边形的面积可以通过底乘高来计算。
详细描述
平行四边形的面积等于其底边长度乘以相应的高。这是平行四边形面积计算的基本公式，适用于任何平行四边形。
总结词
平行四边形的面积和周长之间没有直接的关系。
虽然周长和面积都是描述平行四边形大小的度量，但它们分别从不同的角度进行描述。周长是边的总长度，而面积是内部空间的度量。因此，平行四边形的面积和周长之间没有直接的关系。
总结词
详细描述
总结词
平行四边形的面积与对角线长度之间存在一定的关系。
详细描述
在平行四边形中，对角线的长度与面积之间存在一定的关系。具体来说，如果平行四边形的对角线长度分别为d1和d2，那么其面积A可以通过以下公式计算：A = (d1 × d2) / 2。这个公式表明，对角线长度与平行四边形的面积之间存在正比关系。
总结词
平行四边形的对角线互相平分。
详细描述
在平行四边形中，连接相对两边的线段（即对角线）会互相平分。这意味着对角线将平行四边形分成两个相等的三角形。这个性质在几何学中非常重要，并且在解决各种几何问题时经常被使用。
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辅导讲义课题平行四边形及其性质教学目标1．1理解并掌握平行四边形的概念和平行四边形对边、对角相等的性质．2．会用平行四边形的性质解决简单的平行四边形的计算问题，并会进行有关的论证．2理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质2、能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题．3．重点、难点1平行四边形对角线互相平分的性质，以及性质的应用．2综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算．3平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用．考点及考试要求平行四边形性质, 有关的论证和计算教学内容一，基础知识(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)表示：平行四边形用符号“”来表示．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，那么四边形ABCD是平行四边形．平行四边形ABCD记作“ ABCD”，读作“平行四边形ABCD”．①∵AB//DC ,AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形（判定）；②∵四边形ABCD是平行四边形∴AB//DC，AD//BC（性质）．注意：平行四边形中对边是指无公共点的边，对角是指不相邻的角，邻边是指有公共端点的边，邻角是指有一条公共边的两个角．而三角形对边是指一个角的对边，对角是指一条边的对角（3）由定义知道，平行四边形的对边平行．根据平行线的性质可知，在平行四边形中，相邻的角互为补角．（4）、平行四边形的对边相等、对角相等．证明结论：已知：如图ABCD，求证：AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D，∠BAD＝∠BCD．分析：作ABCD的对角线AC，它将平行四边形分成△ABC和△CDA，证明这两个三角形全等即可得到结论．（作对角线是解决四边形问题常用的辅助线，通过作对角线，可以把未知问题转化为已知的关于三角形的问题．）证明：连接AC，∵AB∥CD，AD∥BC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．又AC＝CA，∴△ABC≌△CDA （ASA）．∴AB＝CD，CB＝AD，∠B＝∠D．又∠1＋∠4＝∠2＋∠3，∴∠BAD＝∠BCD．由此得到：平行四边形性质1 平行四边形的对边相等．平行四边形性质2 平行四边形的对角相等．五、例习题分析例1如图，在平行四边形ABCD中，AE=CF，求证：AF=CE．分析：要证AF=CE，需证△ADF≌△CBE，由于四边形ABCD是平行四边形，因此有∠D=∠B ，AD=BC，AB=CD，又AE=CF，根据等式性质，可得BE=DF．由“边角边”可得出所需要的结论．证明：六、随堂练习1．填空：（1）在ABCD中，∠A=︒50，则∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（2）如果ABCD中，∠A—∠B=240，则∠A= 度，∠B= 度，∠C= 度，∠D= 度．（3）如果ABCD的周长为28cm，且AB：BC=2∶5，那么AB= cm，BC= cm，CD= cm，CD= cm．2．如图4.3－9，在ABCD中，AC为对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE＝DF．1．（选择）在下列图形的性质中，平行四边形不一定具有的是（）．（A）对角相等（B）对角互补（C）邻角互补（D）内角和是︒3602．在ABCD中，如果EF∥AD，GH∥CD，EF与GH相交与点O，那么图中的平行四边形一共有（）．（A）4个（B）5个（C）8个（D）9个3．如图，AD∥BC，AE∥CD，BD平分∠ABC，求证AB=CE．（2）平行四边形的性质：①具有一般四边形的性质（内角和是︒360）．②角：平行四边形的对角相等，邻角互补．边：平行四边形的对边相等．2．【探究】：在纸上画两个全等的ABCD 和EFGH ，并连接对角线AC 、BD 和EG 、HF ，设它们分别交于点O ．把这两个平行四边形落在一起，在点O 处钉一个图钉，将ABCD 绕点O 旋转 180，观察它还和EFGH 重合吗？你能从子中看出前面所得到的平行四边形的边、角关系吗？进一步，你还能发现平行四边形的什么性质吗？结论：（1）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心； （2）平行四边形的对角线互相平分．五、例习题分析例1（补充） 已知：如图4－21， ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ．求证：OE ＝OF ，AE=CF ，BE=DF ． 证明：在ABCD 中，AB ∥CD ，∴ ∠1＝∠2．∠3＝∠4．又 OA ＝OC(平行四边形的对角线互相平分)， ∴ △AOE ≌△COF （ASA ）．∴ OE ＝OF ，AE=CF （全等三角形对应边相等）． ∵ ABCD ，∴ AB=CD （平行四边形对边相等）． ∴ AB —AE=CD —CF ． 即 BE=FD ．例2（教材P94的例2）已知四边形ABCD 是平行四边形，AB ＝10cm ，AD ＝8cm ，AC ⊥BC ，求BC 、CD 、AC 、OA 的长以及ABCD 的面积．六、随堂练习1．在平行四边形中，周长等于48， ① 已知一边长12，求各边的长 ② 已知AB=2BC ，求各边的长③已知对角线AC 、BD 交于点O ，△AOD 与△AOB 的周长的差是10，求各边的长2．如图，ABCD 中，AE ⊥BD ，∠EAD=60°，AE=2cm ，AC+BD=14cm ，则△OBC 的周长是____ ___cm ． 3．ABCD 一内角的平分线与边相交并把这条边分成cm 5，cm 7的两条线段，则ABCD 的周长是_____cm．七、作业1．判断对错（1）在ABCD中，AC交BD于O，则AO=OB=OC=OD．（）（2）平行四边形两条对角线的交点到一组对边的距离相等．（）（3）平行四边形的两组对边分别平行且相等．（）（4）平行四边形是轴对称图形．（）2．在ABCD中，AC＝6、BD＝4，则AB的范围是__ ______．3．在平行四边形ABCD中，已知AB、BC、CD三条边的长度分别为（x+3），（x-4）和16，则这个四边形的周长是．4．公园有一片绿地，它的形状是平行四边形，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB＝15cm，AD＝12cm，AC⊥BC，求小路BC，CD，OC的长，并算出绿地的面积．课后练习平行四边形一、选择题1、如图，在□ABCD 中，E 是AD 边上的中点．若∠ABE=∠EBC ，AB=2，则平行四边形ABCD 的周长是 ．GFEDCBA1题图 2题图 3题图2、如图，在□ABCD 中，分别以AB 、AD 为边向外作等边△ABE 、△ADF ，延长CB 交AE 于点G ，点G 在点A 、E 之间，连结CG 、CF ，则以下四个结论一定正确的是（ ）①△CDF ≌△EBC ②∠CDF ＝∠EAF ③△ECF 是等边三角形 ④CG ⊥AE A ．只有①② B ．只有①②③ C ．只有③④ D ．①②③④3、如图，在□ABCD 中，AB=6，AD=9，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=24，则ΔCEF 的周长为（ ） A.8 B.9.5 C.10 D.11.54、如图，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3， 则□ABCD 的周长为 A ．6 B ．9 C ．12D ．154题图 5题图 6题图5、如图，四边形ABCD 的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么需要添加的条件是（ ） A ．AB CD =B ．AD BC = C ．AB BC =D ．AC BD =6、如图，在□ABCD 中，E 是BC 的中点，且∠AEC=∠DCE ，则下列结论不正确．．．的是 A .S △ADF =2S △EBF B .BF=21DF C .四边形AECD 是等腰梯形 D . ∠AEC=∠ADC 7、已知四边形ABCD ，有以下四个条件：①//AB CD ；②AB CD =；③//BC AD ；④BC AD =．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD 成为平行四边形的选法种数共有（ ）（A ）6种 （B ）5种 （C ）4种 （D ）3种8、点A 、B 、C 是平面内不在同一条直线上的三点，点D 是平面内任意一点，若A 、B 、C 、D 四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D 有 （ ）AB CDA ．1个B．2个C．3个D．4个9、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）.A、一组对边相等，另一组对边平行；C、一组对角相等，一组邻角互补；B、一组对边平行，一组对角互补；D、一组对角互补，另一组对角相等。
10、如图2，在□ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为( )A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm二、填空题1．如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为_______．2．如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．1题图 2题图 3题图3、如图2，四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为.（填一个即可）.4、如图，已知平行四边形ABCD，E是AB延长线上一点，连结DE交BC于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使CDF BEF△≌△，这个条件是．（只要填一个）4题图 5题图 6题图5、如图，在平行四边形ABCD中，∠A=130°，在AD上取DE=DC，则∠ECB的度数是.6、如图，在ABCD中，已知AB=9㎝，AD=6㎝，BE平分∠ABC交DC边于点E，则DE等于㎝.7过□ABCD对角线交点O作直线m，分别交直线AB于点E，交直线CD于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长是.8、如图，在平行四边形ABCD中，CD=10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且的面积的面积则CDEAEFECAE∆∆=,52= ，BF= .FACDAB EFD CDBCA4321图3FED CBA8题图9题图9、如图，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB=x，那么x的取值范围是10如图4，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1 A1、A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有个.三、解答题1、已知：如图，在平行四边形ＡＢＣＤ中，点Ｍ，Ｎ在对角线ＡＣ上，且ＡＭ＝ＣＮ．求证：四边形ＢＭＤＮ是平行四边形．D CMN2、如图所示，已知□ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形。