13简明材料力学习题_答案_第十三章

13.1. 两根圆截面杆材料相同,尺寸如图所示,一根为等截面杆,一根为变截面杆，试比较两杆

的变形能。

解：方法1:

两杆的变形

()()()()()2222

13/8/447 2/442/4

a b P L P L PL PL PL

l l EA E d E d E d E d ππππ∆=

=∆=⨯+= 外力的功

22()

()()()22

1217 228a a b b P L P L

W P l W P l E d E d ππ=∆==∆= 功能原理

22()()

()()22

27 8a a b b P L P L U W U W E d E d ππ==== 方法2:

两杆的内力

()() a b N P N P ==

变形能

()()()222()22

222()

22

2222/43/8/4722/4822/4

a b N L P L P L

U EA E d E d P L P L P L U E d E d E d πππππ===

=⨯+=

13.2. 图示杵架各杆的材料相同截面面积相等，在P 力作用下，试求桁架的变形能。

解：(1) 求约束力

/8

/8

(a) (b)

上海理工大学 力学教研室

1

0 0 0 20 2

0 0 2

A

A A

B B B A A X P X X P

P M

R l P l R P Y R Y Y =-===⨯-⨯==

=-==

∑∑∑ (2) 分析铰B

2BD B BC B P N R N ==

==

(3) 分析铰D

02

DA DB BD DC P

N N N N ===

= (4) 分析铰C

CA CB BC N N N ===

(5) 桁架的变形能

(

)

)

22222

222212211220.95722222i i BC BC AC AC BD BD DA DA N l U N l N l N l N l EA EA

P P l P l l EA EA EA ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎫⎢⎥=⨯⨯+⨯⨯== ⎪ ⎪⎪

⎢⎥⎝⎭⎭⎝⎭⎣⎦

∑ 13.3. 计算图示各杆的变形能。

解：(b)

(b)

B

N BD

N BC R

BD

45o

N DB

N DA

P CB

P

N CB N CA

2

方法1：

(1) 查表得C 截面的转角

2224336999C M l l Ml l EIl EI

θ⎛⎫=-⨯-⨯=- ⎪

⎝⎭ (2) 由功能原理

21218C M l U W M EI

θ===

方法2

(1) 列出梁的弯矩方程

112

2()()M M x x l

M M x x M l ⎧

=-⎪⎪⎨

⎪=-+⎪⎩

(2) 求弯曲变形能

22

222/3

12

120

/3()()82216216218l l l M x M x M l M l M l U dx dx EI EI EI EI EI

=+=+=⎰

⎰

(c)

(1) 列出梁的弯矩方程

θPR θM sin )(-=

(2) 求弯曲变形能

22

/2023

()

(sin )228l M PR U ds Rd EI EI

P R EI

πθθθ

π-==⨯=

⎰⎰ 13.4. 传动轴受力情况如图所示，轴直径为40 mm ，E=210 GPa ，G=80 GPa 。试计算轴的变

形能。

M (N (θ

/l

上海理工大学 力学教研室

3

解：(1) 传动轴受力

0.5 0.18 A B A B Z Z kN Y Y kN ====

(2) 弯矩方程和扭矩方程

()()()500 180 80y A z A M x Z x x M x Y x x T x =====

(3) 变形能

()

()

()

()()()

()()2

2

2

0.2

0.2

0.2

2

0.2

0.2

2

2

3322

94

2

945001808022222800.2

150018021

0.20.2500180210100.04/6433800.2

280100.04/320.0604 y

z

P

P

x x U dx dx dx

EI EI GI x dx x dx

EI

GI J

ππ=++⨯=++

⎛⎫=⨯+⨯ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭⨯+

⨯⨯⨯⨯=⎰

⎰

⎰

⎰

⎰

(4) 使用功能原理求解本题

()()333222

32229494111222

111/224824829640.4800.4360100096210100.04/64480100.04/320.0604 y y z z y z y z y z z y P P U W P f P f T P l P l T l l T l P P T P P EI EI GI EI GI J

φππ==

++⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯=++⨯=++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯= 13.6. 试用互等定理求跨度中点C 的挠度，设EI =常量。

(a )

D

(b

)