极限与连续部分基本概念(20200511213748)
第一章极限与连续
第一章 极限与连续一、极限的概念1、极限概念当函数的x 逐渐趋近某个定值时，该函数的值也会逐渐趋近某个值，这个值就是函数的“极限”.2、当x →∞时函数的极限定义中的x →∞指|x |→∞.如果从某一时刻起，x 总取正值而且无限增大，则记为x →+∞.如果从某一时刻起，x 总取负值而且|x |无限增大，则记为x →-∞.下面的规律在计算中可以利用：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>∞<==++++++--∞→m n m n m n b a b x b x b a x a x a m m m n n n x 0lim 00110110只要能记住这类题目分子分母同除以x 的最高次幂，然后分别求分子分母各项的极限即可.3、当x →x0时函数的极限理解定义，要注意：根据极限定义，)(lim 0x f x x →存在，函数可以在点x0没有定义. 二、极限的运算法则在某一变化过程中，两个变量的和、差、积、商（分母不为0）、幂的极限等于两个变量极限的和、差、积、商、幂.这些运算法则可以推广到有限多个函数的代数和及乘积的情况，但无限个函数的代数和及乘积就不能用这些法则来计算.三、两个重要极限第一个是记住：分子分母都是无穷小量，而且分母和sin 后的东西完全相同才行.第二个是它的变形是记住：括号里是1+无穷小量，指数是括号里的无穷小的倒数.对重要极限要熟悉变量的关系和在表达式中的位置.能用第一个重要极限公式求解的极限也可以用罗比达法则求解.四、函数的连续性1、连续的概念在一个单位里，如果有人离开，那么总要提前找接替的人，进行工作交接，以使工作继续按现状运转，不至于中断.“不中断”，就是连续性的意义所在了.2、函数在一点连续如果有)()(lim 00x f x f x x =→，则f(x)在点x0处连续，还可以这么说：若f(x)在点x0处连续，则)()(lim )(lim 000x f x f x f x x x x ==-+→→ 函数在一点连续的定义要求同时满足以下三个条件：（1）f(x)在点x0极其邻域内有定义；（2）函数的极限)(lim 0x f x x →存在； （3）这个极限值与这点的函数值相等，即)()(lim 00x f x f x x =→. 3、函数在区间上连续如果函数f(x)在某区间上每一点都连续，则称f(x)在此区间上连续，并称此区间为f(x)的连续区间.3、函数的间断点)(x f 在a x =是连续的，条件有三：（1）)(a f 是有定义的；（2）)(lim x f ax →存在； （3）)()(lim a f x f ax =→. 下面看看这三个条件具体有啥意思：● 条件1的意思是，我们所考虑的这个点a x =包含在函数的定义域内，如果是函数11)(-=x x f ，我们就不能问它在1=x 是否连续，因为它在1=x 根本没有意义；● 条件2的意思是说，当x 从a 的左右两边向a 趋近时，该函数的值会向某个值趋近； ● 条件3说的是，)(x f 所趋近的那个值，就是它在a 那一点的函数值.函数)(x f 在点a x =处不连续，则称点a x =为)(x f 的间断点.4、连续函数的运算法则连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍为连续函数.基本初等函数在其定义域内都是连续函数，一般初等函数在其定义域区间内都是连续的.5、闭区间上连续函数的性质了解零点存在定理.五、无穷大量和无穷小量1、无穷大量和无穷小量的概念无穷小量即极限为0的变量.无穷小量是变量，它不是表示量的大小，而是表示变量的变化趋势为零.无穷大量和无穷小量是相对某一极限过程而言.一个变量是否为无穷小量但是与自变量的变化趋势紧密相关的，在不同的变化过程中，同一个变量可以有不同的变化趋势.很小很小的数不是无穷小量，越变越小的变量也不一定是无穷小量.无穷小量不是一个数，但数“0”是无穷小量中唯一的一个数，即数“0”是无穷小量.无穷大（用一个睡觉的8表示：∞.）不是一个数，是一个记号，不能写成x=∞或f(x)=∞.2、无穷小量的运算性质（1）有限个无穷小量之和仍为无穷小量（2）有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量. 如1sin lim =∞→xx x 并不能用重要极限来解，因为x 的变化趋势不是x →0而是x →∞，注意01lim =∞→x x ，因此当x →∞时1/x 是无穷小量，而正弦函数是一个有界变量，利用这个性质来解是最方便的，他们乘积的极限直接得出等于0.例：limsin2x/x=0(x →∞)而limsin2x/x=2(x →0)为什么不一样？第一个用的是无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积仍然为无穷小量；第二个用的是重要极限公式.x 趋向不同，结果当然不同了.注意：在用公式求极限时，要注意它的形式必须和公式完全相同，模拟1一、8不能用重要极限公式，因为它的自变量的趋向和公式不同.（3）有限个无穷小量之积仍为无穷小量.这些性质不能推广到无穷大量之中.3、无穷小量阶的比较.两个无穷小量阶的比较是求它们比的极限，即比较两个无穷小量趋于0的速度.注意求两个无穷小量的比的极限时，通常把较简单的函数作为分母，这样计算要简单些. 两个等价无穷小量可以互相代换，具有下列性质：如果当x →x 0（x →∞）时，βαβα'',,,均为无穷小量，又ββαα''~,~，且βα''∞→→)(0lim x x x 存在，则βαβα''=∞→→∞→→)()(00lim lim x x x x x x 这个性质常用在极限运算中，可以简化运算，熟悉的同学可以将此性质用在极限的乘积运算中，但要说明理由.常用的等价无穷小量代换有：当x →0时，2~cos 1;1~;~)1ln(;~arcsin ;~arctan ;~tan ;~sin 2x x x e x x x x x x x x x x x --+ 如果对此方法把握不大，还是运用常用的方法如罗比达法则来求解.六、求极限的方法1、直接代入求函数值，如果结果是一个常数，而且该函数不是分段函数，那么，f （a ）就是我们所要求的极限；2、利用极限的四则运算求极限；3、利用无穷小量的性质求极限；4、利用等价无穷小求极限；5、利用两个重要极限求极限；6、利用罗比达法则求极限；7、利用通分化简或根式有理化求极限；8、消去分子分母中极限为0的因子求极限；9、分别提取分子分母中最高阶的无穷因子求极限；也有几种方法合并起来用的.。
数学中的函数极限与连续性知识点
数学中的函数极限与连续性知识点函数极限与连续性是数学中非常重要的概念，在解决实际问题和理论研究中起着至关重要的作用。
在本文中，我们将深入探讨函数极限与连续性的基本概念、性质以及相关定理，并举例说明其在实际问题中的应用。
一、函数极限的定义与性质函数极限是研究函数在某一点上的变化趋势的重要工具。
在介绍函数极限之前，我们首先需要定义一些基本的概念。
设函数f(x)在点x_0的某个去心邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，都能找到另一个正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x) - A| < ε成立，其中A为常数，则称函数f(x)在点x_0处极限为A，记作lim┬(x→x_0)f(x)=A。
函数极限具有以下性质：1.唯一性：函数极限是唯一的，即一个函数在某一点的极限只能有一个值。
2.局部有界性：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有|f(x)| < M成立，其中M为常数。
3.局部保号性：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，则存在正数δ，使得当0 < |x - x_0| < δ时，有f(x)与A同号。
二、连续性的概念与性质连续性是函数学中的一个重要的概念，是函数极限的基础。
一个函数在一个点x_0处连续，意味着在该点的函数值与极限值相等。
函数f(x)在区间[a, b]上连续，是指f(x)在该区间内的每一个点都连续。
在具体分析连续性时，我们需要关注以下几个方面的性质：1. 初等函数的连续性：常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等初等函数在其定义域内连续。
2. 复合函数的连续性：若f(x)在点x_0处连续，且g(x)在点y_0=f(x_0)处连续，则复合函数h(x) = g[f(x)]在点x_0处连续。
3. 极限运算法则：若lim┬(x→x_0)f(x)=A，lim┬(x→x_0)g(x)=B，则lim┬(x→x_0)[f(x)±g(x)] = A±B，lim┬(x→x_0)[f(x)g(x)] = A·B，及lim┬(x→x_0)[f(x)/g(x)] = A/B（其中B≠0）。
极限与连续性的基本概念与性质
极限与连续性的基本概念与性质极限和连续性是微积分中的基本概念，它们在数学分析和实际问题的求解中起着重要的作用。
本文将介绍极限和连续性的基本概念，并探讨它们的性质。
一、极限的基本概念与性质1.1 极限的定义在数学中，极限用于描述一个函数在某一点附近的表现。
设函数f(x)在点a的某个邻域内有定义，如果存在一个常数L，对于任意给定的正数ε，总存在另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立，则称函数f(x)在点a处的极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
1.2 极限的性质极限具有以下性质：（1）唯一性：如果lim┬(x→a)〖f(x) = L〗，则L唯一确定。
（2）局部有界性：如果lim┬(x→a)〖f(x) = L〗，则存在一个邻域，使得函数f(x)在该邻域内有界。
（3）局部保号性：如果lim┬(x→a)〖f(x) = L〗，且L>0（或L<0），则存在一个邻域，使得函数f(x)在该邻域内保持正号（或负号）。
（4）四则运算法则：设lim┬(x→a)〖f(x) = A〗，lim┬(x→a)〖g(x) = B〗，则有以下结果：a) li m┬(x→a)〖(f(x)+g(x)) = A+B〗；b) lim┬(x→a)〖(f(x)-g(x)) = A-B〗；c) lim┬(x→a)〖(f(x)·g(x)) = A·B〗；d) lim┬(x→a)〖(f(x)/g(x)) = A/B〗（B≠0）。
1.3 极限的应用极限的概念在微积分和物理学等领域有广泛的应用。
例如，在求解函数的导数和积分时，常常需要利用极限的性质。
二、连续性的基本概念与性质2.1 连续函数的定义在数学中，连续函数是指在定义域内没有突变或断裂的函数。
设函数f(x)在点a处有定义，如果lim┬(x→a)〖f(x) = f(a)〗，则称函数f(x)在点a处连续。
极限与连续性的基本概念
极限与连续性的基本概念在数学中，极限和连续性是两个基本概念，位于微积分的核心地位。
它们在解决实际问题和分析数学对象的性质时起着重要的作用。
本文将探讨这两个概念的定义、性质以及它们之间的联系。
一、极限的概念在数学中，极限是指函数在某一点处的趋于（接近）一个确定值的过程。
具体而言，在给定函数f(x)和点a时，如果当自变量x无限接近于a时，函数值f(x)无限接近于一个常数L，我们就称函数在点a处的极限为L，并记作：lim(x→a) f(x) = L这里，lim表示极限的符号，(x→a)表示x趋于a，f(x)是函数在点x处的取值。
极限可以存在或不存在，有无穷大极限和无穷小极限等多种情况。
二、极限的性质极限具有一些基本的性质，包括四则运算法则、夹逼定理、唯一性等。
下面分别介绍：1. 四则运算法则：设lim(x→a) f(x) = A，lim(x→a) g(x) = B，则有以下运算法则：a) lim(x→a) [f(x) ± g(x)] = A ± Bb) lim(x→a) [f(x) * g(x)] = A * Bc) 当B≠0时，lim(x→a) [f(x) / g(x)] = A / B2. 夹逼定理：设函数f(x)，g(x)，h(x)在点a的某个去心邻域内满足f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，且lim(x→a) f(x) = lim(x→a) h(x) = A，则有lim(x→a) g(x) = A。
3. 唯一性：如果函数在点a处存在极限，那么该极限是唯一的。
换言之，如果lim(x→a) f(x) = A且lim(x→a) f(x) = B，则必有A = B。
三、连续性的概念连续性是指函数在某一区间或整个定义域上的无间断性。
具体而言，如果函数在某一点处的极限等于该点的函数值，那么该函数在该点处就是连续的。
即对于函数f(x)和点a，如果满足以下条件，就称函数f(x)在点a处是连续的：a) f(a)存在；b) lim(x→a) f(x)存在；c) lim(x→a) f(x) = f(a)。
高考数学应试技巧之极限与连续
高考数学应试技巧之极限与连续高考数学对于许多学生而言是一道难以逾越的关口，其中涉及的极限与连续更是让许多学生望而生畏。
然而，只要我们理解了它们的基本概念与思维方法，便可以化解我们的忧虑，轻松面对高考数学。
本文将从极限与连续的基本概念、思维模式与应试技巧三个方面为大家进行详细阐述。
一、极限与连续的基本概念1. 极限：极限是一种数学概念，是表示某个函数在一个点上的变化趋势的一种方法。
也就是说，极限是指在某一个自变量取值的时候，函数的取值向一个特定的值靠近，但并不一定等于这个值。
记作lim f(x) = A(x → x0)，其中x0表示自变量的趋近值，而A则表示函数的极限值。
2. 连续：连续是指函数在某一点附近的取值与该点处的函数值越来越接近，如果存在这种特性，就被称为函数在该点处是连续的。
也就是说，如果$f(x_0)$存在，且$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)$存在，两者相等，则函数在$x_0$处是连续的。
二、极限与连续的思维模式1. 确定极限的方法：a. 代入法：将$x$趋近于某个值时，取对应的$f(x)$的值，然后判断是否趋近于某个值$A$，如果是则可能存在极限，否则不存在。
b. 夹逼准则：如果$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}g(x)=L$，并且$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}h(x)=L$，并且对于$x\rightarrowx_0$的所有$x$，有$g(x)≤f(x)≤h(x)$，则$f(x)$的极限存在，并且等于$L$。
c. 无穷小量：当$x\rightarrow x_0$时，如果$f(x)$可以表示为$kx$，其中$k$为确定的常数，则称$kx$是当$x\rightarrow x_0$时的函数的无穷小量。
2. 连续的判定：a. 定义法：如果$\lim\limits_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)$，则$f(x)$在$x_0$处是连续的。
极限与连续的基本概念
极限与连续的基本概念极限与连续是微积分学科中的两个基本概念，它们是理解和应用微积分的重要基础。
本文将介绍这两个概念的定义、性质与应用，并探讨它们在数学与科学领域中的实际意义。
一、极限的定义与性质极限是数列和函数在无穷接近某一值时的行为。
用数学语言描述，对于函数f(x)，当自变量x无限地接近某一值a时，如果f(x)的值无限接近于一个常数L，则称函数f(x)在x趋于a的极限为L，记作：lim(x→a) f(x) = L其中，lim表示极限的运算符号。
极限的定义使用ε-δ语言，即对于任意给定的ε>0，总存在与之对应的δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
极限具有以下重要性质：1. 极限存在唯一性：如果函数f(x)在x趋于a时极限存在，则该极限是唯一的。
2. 有界性：如果函数f(x)在x趋于a的过程中极限存在，则f(x)在某个邻域内有界。
3. 保号性：如果函数f(x)在x趋于a的过程中极限存在且为正值，那么在足够接近a的x值的邻域内，f(x)的取值都是正的。
4. 代数运算法则：可以对极限进行代数运算，包括加减乘除等。
二、连续的定义与性质连续是函数在定义域上的一种平滑性质，它与极限的概念密切相关。
在数学上，如果函数f(x)在某一点a处的极限存在，并且等于f(a)，那么我们称函数f(x)在点a处连续。
连续函数的定义可以用极限的语言表达，即对于任意给定的ε>0，存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立。
连续函数具有以下重要性质：1. 连续函数的局部性质：如果函数f(x)在某一点a处连续，则在a的某个邻域内，函数f(x)都是连续的。
2. 连续函数的代数运算法则：连续函数可以进行加减乘除等代数运算，并且结果仍然是连续函数。
3. 连续函数的复合性质：若函数f(x)在点a处连续，函数g(x)在点b 处连续，并且b是f(x)的定义域，则复合函数g(f(x))在点a处连续。
极限与连续性
极限与连续性极限与连续性是微积分中的重要概念，它们在解析几何、物理学和工程学等领域中有着广泛的应用。
本文将探讨极限与连续性的概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、极限的概念在数学中，极限用于描述函数在某一点附近的行为。
具体而言，对于给定的函数f(x)，当x无限接近某一特定值a时，如果f(x)的取值也趋近于一个确定的值L，则称L为函数f(x)在点a处的极限。
数学符号表示为：lim(x->a) f(x) = L极限的计算可以通过直接代入、夹逼定理、导数等方法进行。
它是分析函数在特定点或无穷处的性质的基础。
二、极限的性质极限具有以下基本性质：1. 唯一性：如果函数f(x)在点a处的极限存在，则该极限唯一。
2. 保序性：如果在点a的某一邻域中，函数f(x)的值总是小于等于另一个函数g(x)的值（或总是大于等于），则在点a处，f(x)的极限小于等于（或大于等于）g(x)的极限。
3. 四则运算法则：如果函数f(x)和g(x)在点a处的极限都存在，则它们的和、差、积和商在点a处的极限也存在，分别满足以下关系：lim(x->a) [f(x) ± g(x)] = lim(x->a) f(x) ± lim(x->a) g(x)lim(x->a) [f(x) × g(x)] = lim(x->a) f(x) × lim(x->a) g(x)lim(x->a) [f(x) / g(x)] = lim(x->a) f(x) / lim(x->a) g(x) (其中lim(x->a) g(x) ≠ 0)三、连续性的概念连续性是函数的一个重要特性，用于描述函数在其定义域上的行为。
如果函数f(x)在定义域上的每个点都满足以下条件，那么它被称为连续函数：1. 函数在其定义域上有定义。
2. 函数在其定义域上的每个点都有极限。
极限与连续知识点
极限与连续知识点在数学的广袤天地中，极限与连续是两个极为重要的概念，它们就像基石一样，支撑着微积分这座宏伟的大厦。
接下来，让我们一同深入探索极限与连续的神秘世界。
首先，咱们来聊聊极限。
极限这个概念呢，简单来说，就是一个变量无限接近某个固定的值。
比如说，当 x 无限接近 1 的时候，函数 f(x)的值会趋近于一个特定的数 L，那我们就说函数 f(x)在 x 趋近于 1 时的极限是 L 。
极限的计算方法有很多种。
其中一种常见的方法是通过代数运算来求解。
比如说，对于简单的分式函数，如果分子和分母都可以因式分解，那么通过约分就可能求出极限。
再比如，有的时候可以通过有理化分子或分母来简化式子，从而求出极限。
还有一种重要的方法是利用极限的性质。
比如极限的四则运算法则，两个函数的和、差、积、商的极限等于它们各自极限的和、差、积、商（在除法的情况下，分母的极限不能为 0 ）。
再来说说连续。
连续是什么意思呢？一个函数在某个点处连续，意味着当自变量在这个点附近稍微变动时，函数值的变动也很小。
具体来说，如果函数 f(x)在点 x ＝ a 处满足三个条件：函数 f(x)在点 x ＝ a处有定义；函数 f(x)在 x 趋近于 a 时的极限存在；并且这个极限等于f(a) ，那么我们就说函数 f(x)在点 x ＝ a 处连续。
连续函数具有很多很好的性质。
比如，连续函数的和、差、积、商（分母不为 0 ）仍然是连续函数。
而且，如果一个函数在闭区间 a, b上连续，那么它在这个区间上一定能取到最大值和最小值。
那极限和连续之间又有什么关系呢？其实，函数在某点处连续的前提是该点处的极限存在，并且极限值等于函数在该点的函数值。
咱们通过一些实际的例子来更好地理解这些概念。
比如说，函数f(x) ＝ x ＋ 1 ，它在整个实数范围内都是连续的。
因为对于任何一个实数 a ，当 x 趋近于 a 时，f(x) 的极限就是 a ＋ 1 ，而 f(a) 也是 a ＋ 1 ，两者相等，所以函数在点 a 处连续。
极限与连续知识点
极限与连续知识点极限和连续是微积分的重要概念，在解析几何、微分方程、物理学等领域中有着广泛的应用。
本文将对极限和连续的基本概念和性质进行介绍，并探讨它们在相关领域中的具体应用。
一、极限的基本概念和性质1. 极限的定义在数学中，当自变量趋近于某个特定值时，函数的值可能会发生变化。
极限的概念描述了这种变化趋势。
对于函数f(x)，当自变量x无限接近于某个数a时，如果可以使得f(x)无限接近于一个确定的数L，那么就称函数f(x)在x趋近于a时的极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
2. 极限的性质（1）唯一性：如果函数f(x)在x趋近于a的过程中极限存在，那么这个极限是唯一的。
（2）局部有界性：如果函数f(x)在x趋近于a时的极限存在且有限，那么函数f(x)在x趋近于a时局部有界。
二、连续函数的性质和分类1. 连续函数的定义在数学中，一个函数在某个点处连续是指这个函数在该点的极限等于该点的函数值。
具体而言，对于函数f(x)在点x=a处连续，需要满足以下条件：（1）f(a)存在（2）lim┬(x→a)〖f(x)存在，并且lim┬(x→a)〖f(x)=f(a)〗2. 连续函数的性质（1）若f(x)和g(x)在点x=a处连续，则f(x)+g(x)、f(x)-g(x)、f(x)g(x)也在点x=a处连续。
（2）若f(x)在点x=a处连续，g(x)在点x=b处连续，且与f(a)、f(b)不为零，则(g(x))/(f(x))在点x=a处连续。
（3）若f(x)在点x=a处连续，且在点x=a的某个邻域内恒不为零，在该邻域内，(1)/(f(x))也在点x=a处连续。
3. 连续函数的分类根据函数在定义域上的性质，连续函数可以分为以下几类：（1）开区间上连续函数：在开区间(a, b)上的函数f(x)，当x在(a, b)内变化时，f(x)在(a, b)上连续。
（2）闭区间上连续函数：在闭区间[a, b]上的函数f(x)，当x在[a, b]内变化时，f(x)在[a, b]上连续。
函数的极限与连续性的概念与性质
函数的极限与连续性的概念与性质函数的极限与连续性是微积分中非常重要的概念，它们用来描述函数的趋势以及函数在某一点的行为。
本文将介绍函数极限和连续性的概念，并探讨它们的性质。
一、函数的极限的概念与性质函数的极限是研究函数趋势的基本工具。
我们先来介绍一下极限的概念。
1.1 极限的定义设函数 f(x) 在点 a 的某个去心领域内有定义，如果存在一个常数 L，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε 成立，那么我们称函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时以 L 为极限，记为lim┬(x→a)〖f(x) = L〗。
1.2 函数极限的性质函数极限具有一些重要的性质，包括极限的唯一性、四则运算法则等。
这里只介绍其中的一些性质。
（1）极限的唯一性：如果函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时以 L 为极限，同时又以 M 为极限，那么 L = M。
（2）四则运算法则：设函数 f(x) 和 g(x) 当 x 趋近于 a 时分别以 L和 M 为极限，则有以下运算法则：- f(x) ± g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L ± M 为极限；- f(x)g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L × M 为极限；- f(x)/g(x) 当 x 趋近于 a 时以 L/M 为极限（假设M ≠ 0）。
这些性质为我们进行函数极限的计算提供了便利。
二、函数的连续性的概念与性质函数的连续性是指函数在其定义域内没有间断点，即函数的图像是连续的。
接下来我们会详细讨论连续性的概念与性质。
2.1 连续性的定义设函数 f(x) 在某个区间 (a, b) 内有定义，如果对于任意选取的点x0∈(a, b)，当 x 趋近于 x0 时，函数 f(x) 的极限都存在且等于 f(x0)，那么我们称函数 f(x) 在点 x0 处连续。
2.2 连续函数的性质连续函数具有一些重要的性质，包括若干个连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数，以及连续函数的复合仍然是连续函数等。
极限与连续性
极限与连续性在数学领域中，极限和连续性是两个重要的概念，它们在各个数学分支中都有着广泛的应用。
本文将对极限和连续性的定义、性质以及它们之间的关联进行探讨。
一、极限的定义和性质1.1 极限的定义在数学中，当一个函数的自变量趋近于某一值时，函数的取值也会趋近于一个特定的值。
这个特定的值就称为函数的极限。
对于函数 f(x)，当 x 趋近于 a 时，如果存在常数 L，使得对于任意给定的正数ε，都存在一个正数δ，满足当 0 < |x-a| < δ 时有 |f(x)-L| < ε，那么我们说函数 f(x) 在 x= a 处的极限是 L。
1.2 极限的性质极限有一些重要的性质，包括唯一性、局部性和四则运算法则。
（1）唯一性：一个函数在某一点的极限是唯一的，即使通过不同的途径趋近于该点，极限仍然是相同的。
（2）局部性：函数在某一点的极限与该点附近的函数值相关，与整个函数曲线在其他地方的行为无关。
（3）四则运算法则：如果两个函数 f(x) 和 g(x) 在某一点的极限都存在，那么它们的和、差、积和商的极限也将存在，并具有相应的性质。
二、连续性的定义和性质2.1 连续性的定义连续性是指函数在其定义域上的无间断性。
当函数在某一点的极限与该点的函数值相等时，我们称函数在该点连续。
对于函数 f(x)，如果对于任意给定的 x=a，有f(a)=lim┬(x→a)〖f(x)〗，那么我们说函数 f(x) 在 x=a 处是连续的。
2.2 连续性的性质连续函数具有以下性质：（1）连续函数与四则运算：如果两个函数 f(x) 和 g(x) 在某一点连续，那么它们的和、差、积和商也将在该点连续。
（2）复合函数的连续性：如果函数 g(x) 在 x=a 处连续，而函数 f(x) 在 g(a) 处连续，则复合函数 f(g(x)) 在 x=a 处连续。
（3）闭区间上的连续函数：如果函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且在开区间 (a, b) 上可导，则在开区间 (a, b) 上 f(x) 的极限存在。
极限与连续函数知识点
极限与连续函数知识点在微积分学中，极限和连续函数是两个重要的概念。
它们在数学领域的应用极为广泛，对于理解和解决各种问题都起着关键作用。
本文将介绍极限和连续函数的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、极限的概念极限是微积分学中最基本的概念之一。
通俗地说，极限可以理解为一个数列或者函数在某一点无限接近于某个确定的值。
在数学符号中，我们用lim表示极限。
一个数列或者函数的极限有两种可能情况：正向极限和负向极限。
1.1 正向极限设函数f(x)在x→a的过程中，当x从a的右侧无限接近a时，f(x)的值趋于L。
我们将此时的极限称为正向极限。
数学上表示为：lim┬(x→a⁺)f(x)=L其中，x→a⁺表示x趋于a的右侧。
1.2 负向极限类似地，设函数f(x)在x→a的过程中，当x从a的左侧无限接近a时，f(x)的值趋于L。
我们将此时的极限称为负向极限。
数学上表示为：lim┬(x→a⁻)f(x)=L其中，x→a⁻表示x趋于a的左侧。
二、极限的性质在研究极限的过程中，我们需要掌握一些重要的性质。
2.1 极限的唯一性一个函数在某一点的极限值是唯一确定的。
也就是说，如果一个函数在某一点的极限存在，那么它只能有一个确定的值。
2.2 极限的四则运算对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们在某一点的极限存在，那么它们的和、差、积和商的极限也存在，并且可以通过以下公式计算：lim┬(x→a)(f(x)±g(x))=lim┬(x→a)f(x)±lim┬(x→a)g(x)lim┬(x→a)(f(x)g(x))=lim┬(x→a)f(x)⋅lim┬(x→a)g(x)lim┬(x→a)(f(x)/g(x))=lim┬(x→a)f(x)/lim┬(x→a)g(x) (其中lim┬(x→a)g(x)≠0)三、连续函数的概念连续函数是一类与极限相关的函数。
在数学中，我们称一个函数f(x)在某一点x=a处连续，如果满足以下条件：1) f(a)存在；2) lim┬(x→a)f(x)存在；3) lim┬(x→a)f(x)=f(a)。
极限与连续性重点知识点总结
极限与连续性重点知识点总结在数学的学习中，极限与连续性是重要的概念，它们是解决各类问题和证明数学定理的基础。
本文将对极限与连续性的重点知识点进行总结，并探讨它们在数学中的应用。
一、极限1. 无穷大与无穷小在极限的概念中，我们需要理解什么是无穷大和无穷小。
当自变量趋近于某个数值时，如果函数值趋近于正无穷或负无穷，我们称之为无穷大；而如果函数值趋近于零，我们称之为无穷小。
2. 极限的定义极限的定义是指自变量逼近某个值时，函数值趋近于一个固定的结果。
对于函数 f(x)，当 x 趋近于某个值 a 时，如果存在一个数 L，对于任意小的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 < |x - a| < δ 时，有 |f(x) - L| < ε 成立，则称 L 是函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限。
3. 常见的极限- 常数函数的极限：对于 f(x) = C，其中 C 为常数，则 f(x) 在任意点的极限都等于 C。
- 幂函数的极限：对于 f(x) = x^n，其中 n 是正整数，则 f(x) 在 x 趋近于 0 的时候的极限为 0。
- 正弦函数与余弦函数的极限：正弦函数和余弦函数的极限存在且有界，即 sin(x) 和 cos(x) 的极限在闭区间 [-1, 1] 内取值。
二、连续性1. 连续函数的定义连续函数是指函数图像上没有突变、断点或间断的函数。
对于函数 f(x)，如果它在某个点 a 处的极限和函数值 f(a) 相等，即lim(x→a)f(x) = f(a)，则称函数 f(x) 在点 a 处连续。
2. 连续函数的性质- 连续函数的四则运算性质：对于连续函数 f(x) 和 g(x)，它们的和、差、积、商（分母不为0的情况下）仍然是连续函数。
- 连续函数的复合性质：如果 f(g(x)) 在点 a 连续，且 g(x) 在点 a连续，则 f(x) 在点 g(a) 处连续。
3. 常见的连续函数- 多项式函数：多项式函数在实数范围内的定义域上都是连续函数。
函数极限和连续知识点总结
函数极限和连续知识点总结一、函数极限1.1 函数极限的定义在数学中，我们常常要研究函数在某一点的“趋于”某一值的情况。
这种趋向的性质称为函数的极限。
在正式介绍函数极限的定义之前，我们先来看一个例子。
例：设函数f(x)=2x+3，当x趋于2时，f(x)的取值如下：当x向2的左侧靠近时，f(x)的取值逐渐减小，但始终没有超过7；当x向2的右侧靠近时，f(x)的取值逐渐增加，但始终没有超过7。
这种情况下，我们会说f(x)当x趋近2时“趋近7”，即f(x)的极限是7。
现在，我们来正式介绍函数极限的定义。
定义：设函数f(x)在点x=a的某个去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正实数ε，总存在另一正实数δ，使得当0<|x-a|<δ时，都有|f(x)-A|<ε成立。
那么常数A 叫做函数f(x)当x趋于a时的极限，记作lim┬(x→a)〖f(x)〗=A1.2 函数极限的性质在函数极限的研究中，我们需要了解一些极限的性质，其中最重要的包括以下几点：（1）唯一性：如果极限存在，那么这个极限是唯一的；（2）有界性：如果函数在某点的极限存在，那么该函数在该点附近必定有界；（3）性态：如果一个函数在某点的左极限和右极限都存在，且相等，那么函数在该点一定有极限；（4）夹逼准则：如果函数在某点的左右两极限都趋于同一值L，且有另外一个函数g(x)与f(x)相夹，且g(x)的极限也趋于L，那么f(x)的极限也趋于L。
1.3 常见函数的极限在函数极限的研究中，有一些常见的函数的极限是需要我们掌握的。
这些函数包括：（1）多项式函数的极限：当x趋于某个常数时，多项式函数的极限等于该常数的某个幂次的项系数；（2）指数函数和对数函数的极限：当x趋于正无穷时，指数函数的极限为正无穷；当x 趋于0时，对数函数的极限为负无穷；（3）三角函数的极限：当x趋于某些特定值时，三角函数的极限存在，且具有特定的值。
1.4 函数极限的求解方法在求解函数极限的过程中，可以使用以下几种方法：（1）直接代入法：即直接将x的值代入函数中，求出随着x的变化，函数的取值情况；（2）因子分解法：将一个不定式进行因式分解，从而更好地求出函数的极限；（3）洛必达法则：在求解不定式极限问题时，可以使用洛必达法则来简化问题，从而更好地求解函数的极限；（4）泰勒展开法：对于一些复杂的函数，可以使用泰勒展开公式来求解函数的极限。
高中数学知识点总结极限与连续性
高中数学知识点总结极限与连续性高中数学知识点总结：极限与连续性在高中数学学习过程中，极限与连续性是非常重要的概念和理论。
它们是分析数学中的基本内容，也是数学推理和问题解决的核心工具。
本文将对高中数学中的极限与连续性进行总结和归纳，帮助读者更好地理解和掌握这些知识点。
一、极限的概念与性质1. 极限的定义极限是指当自变量趋于某个值时，函数取值的趋势或趋近于的值。
对于函数f(x)，当x趋近于a时，若存在实数L，使得对于任意给定的正数ε，总可以找到正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，都有|f(x) - L| < ε成立，则称函数在x趋近于a时极限为L，记作lim┬(x→a)〖f(x)=L〗。
2. 极限的性质（1）极限唯一性：如果极限存在，则极限值唯一。
（2）局部有界性：如果lim┬(x→a)〖f(x)=L〗，则存在一个δ>0，当0 < |x - a| < δ时，f(x)有界。
（3）四则运算法则：设lim┬(x→a)〖f(x)=A，lim┬(x→a)〖g(x)=B〗〗，其中A、B为有限数，常数C为常数，则有：a) lim┬(x→a)[f(x)±g(x)]=A±Bb) lim┬(x→a)[f(x)×g(x)]=A×Bc) lim┬(x→a)[f(x)/g(x)]=A/B，其中B≠0。
3. 左极限与右极限对于函数f(x)，以a为自变量的取值上界时的极限值称为左极限，以a为自变量的取值下界时的极限值称为右极限。
记作lim┬(x→a⁻)f(x)和lim┬(x→a⁺)f(x)，分别对应于x从a左侧和右侧趋近。
二、连续性与间断点1. 连续性的定义连续性是指函数在某个点上没有突变、断裂或跳跃，并且与该点邻近的点上函数值变化相对较小。
对于函数f(x)，如果对于任意给定的ε>0，存在对应的δ>0，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x)-f(a)|<ε成立，则称函数在点a上连续。
极限与连续知识点总结
极限与连续知识点总结一、关键信息1、极限的定义名称：极限定义：当自变量趋近于某个值时，函数值趋近于一个确定的常数。
2、极限的性质名称：极限的性质内容：唯一性、局部有界性、局部保号性等。
3、连续的定义名称：连续定义：函数在某点的极限值等于该点的函数值。
4、连续的条件名称：连续的条件内容：左右极限存在且相等，并等于该点的函数值。
5、间断点的分类名称：间断点的分类内容：可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点。
二、极限的定义11 数列的极限对于数列｛an}，如果存在常数 A，当 n 无限增大时，an 无限趋近于 A，则称 A 为数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。
111 函数的极限设函数 f(x) 在点 x0 的某一去心邻域内有定义，如果当 x 无限趋近于 x0 时，函数 f(x) 的值无限趋近于一个确定的常数 A，则称 A 为函数f(x) 当 x 趋近于 x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A。
112 单侧极限左极限：lim(x→x0-） f(x) ＝ A，表示 x 从 x0 的左侧无限趋近于 x0 时，f(x) 趋近于 A。
右极限：lim(x→x0+） f(x) ＝ A，表示 x 从 x0 的右侧无限趋近于x0 时，f(x) 趋近于 A。
三、极限的性质12 唯一性若极限lim(x→x0) f(x) 存在，则极限值唯一。
121 局部有界性如果lim(x→x0) f(x) 存在，则存在 x0 的某一去心邻域，使得 f(x) 在该邻域内有界。
122 局部保号性若lim(x→x0) f(x) ＝ A ＞ 0（或 A ＜ 0），则存在 x0 的某一去心邻域，使得在该邻域内 f(x) ＞ 0（或 f(x) ＜ 0）。
四、极限的运算13 四则运算若lim(x→x0) f(x) 和lim(x→x0) g(x) 都存在，则：lim(x→x0) f(x) ± g(x) ＝lim(x→x0) f(x) ± lim(x→x0) g(x)lim(x→x0) f(x) · g(x) ＝lim(x→x0) f(x) · lim(x→x0) g(x)lim(x→x0) f(x) ／ g(x) ＝lim(x→x0) f(x) ／lim(x→x0) g(x)（lim(x→x0) g(x) ≠ 0）131 复合函数的极限设函数 y ＝ fg(x) 是由函数 u ＝ g(x) 和 y ＝ f(u) 复合而成，若lim(x→x0) g(x) ＝ u0，lim(u→u0) f(u) ＝ A，且当x ≠ x0 时，g(x) ≠ u0，则lim(x→x0) fg(x) ＝ A。
连续与极限的基本概念
连续与极限的基本概念在数学中，连续与极限是两个十分重要的概念，它们在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍连续与极限的基本概念以及相关的性质和定理。
一、连续的基本概念连续是指函数在某个区间上的无间断性。
具体来说，给定一个函数f(x)，如果对于该函数的任意x值，只要x在该函数的定义域内，都有f(x)存在且存在有限，那么我们就说函数f(x)在该定义域上是连续的。
连续函数具有以下性质：1. 第一类间断点：如果在某个点a处，函数f(x)的左、右极限存在且相等，但与f(a)不相等，那么称a为函数f(x)的第一类间断点。
2. 第二类间断点：如果在某个点a处，函数f(x)的左、右极限存在，但左、右极限不相等或者其中至少一个不存在，那么称a为函数f(x)的第二类间断点。
二、极限的基本概念极限是指函数在某个点上的趋近性。
具体来说，给定一个函数f(x)，如果对于给定的实数L，对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε，那么我们就说函数f(x)在x=a处的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限具有以下性质：1. 一致极限性质：如果对于函数f(x)，当x无穷大时，其极限L与任意ε都存在这样的N，当x > N时，有|f(x) - L| < ε，那么我们称函数f(x)在无穷远处的极限为L。
2. 唯一性：函数f(x)在某个点x=a处的极限若存在，则该极限唯一。
3. 局部有界性：如果函数f(x)在某个点x=a处的极限存在，那么该函数在该点附近存在一个区间，使得函数在该区间上有界。
三、连续与极限的关系连续与极限是密切相关的。
事实上，连续函数在其定义域上的每个点处的极限都存在且与函数在该点处的函数值相等。
四、重要定理连续函数具有一些重要的性质和定理，其中包括：1. 介值定理：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，并且对于任意给定的实数α和β，且α < β，存在一个实数c，使得f(c) = ξ，其中α < ξ< β，那么函数f(x)在开区间(α, β)上至少存在一个点x0，使得f(x0) = ξ。
考研数学极限与连续的知识点
考研数学极限与连续的知识点在考研数学中，极限与连续是非常重要的基础知识点，理解和掌握好这部分内容对于后续的学习和解题至关重要。
接下来，咱们就来详细聊聊这部分的知识。
一、极限的概念极限是描述函数在某个过程中变化趋势的数学概念。
简单来说，就是当自变量无限接近某个值时，函数值无限接近的那个数。
比如，当 x 趋近于 1 时，函数 f(x) ＝ x ＋ 1 的极限就是 2。
极限有多种类型，比如数列的极限和函数的极限。
数列的极限就是当项数 n 无限增大时，数列的通项无限接近某个值。
对于函数的极限，又分为左极限和右极限。
左极限是指自变量从左边无限趋近于某个值时函数的极限，右极限则是从右边趋近时的极限。
函数在某点的极限存在，当且仅当左极限和右极限都存在且相等。
二、极限的计算方法1、代入法如果函数在某点连续，那么直接将该点的数值代入函数，就可以得到极限值。
2、化简法通过对函数进行化简，比如约分、有理化等，把复杂的函数形式变得简单，从而求出极限。
3、等价无穷小替换当自变量趋近于0 时，一些函数可以用与其等价的无穷小量来替换，从而简化计算。
4、洛必达法则当遇到分子分母都趋近于 0 或者无穷大的情况，可以使用洛必达法则，对分子分母分别求导，再求极限。
5、夹逼准则如果存在两个函数，在某个点附近，一个函数始终大于目标函数，另一个始终小于目标函数，并且这两个函数在该点的极限相同，那么目标函数在该点的极限就等于这个相同的值。
三、连续的概念连续是指函数在某个区间内没有断点，也就是说，函数在该区间内任意一点的极限值都等于该点的函数值。
直观地说，如果我们能一笔不间断地画出函数的图像，那么这个函数在相应区间就是连续的。
四、连续的条件1、函数在某点有定义。
2、函数在该点的极限存在。
3、极限值等于函数在该点的函数值。
只有同时满足这三个条件，函数在该点才是连续的。
五、间断点的类型1、可去间断点函数在该点的极限存在，但不等于该点的函数值。
2、跳跃间断点函数在该点的左极限和右极限都存在，但不相等。
极限与连续概述
极限与连续概述极限与连续是微积分中的基础概念，对理解和应用微积分具有重要意义。
本文将对极限与连续进行概述，旨在为读者提供清晰的理解和学习指导。
1. 极限的定义与性质极限是函数在某一点附近的表现，描述了函数值的趋近情况。
函数f(x)在x=a处的极限可以表示为lim┬(x→a)〖f(x)〗，其中lim表示极限，x→a表示x趋向于a，f(x)为函数f在x处的取值。
极限具有以下基本性质：- 极限存在性：若lim┬(x→a)〖f(x)〗存在，则称函数f(x)在点a处有极限。
- 唯一性：函数在某点的极限是唯一的，即存在多个极限时，函数在该点无极限。
- 代数运算：极限与函数的代数运算有关，例如极限的和、差、积、商等运算规则。
2. 极限的计算方法在计算函数极限时，常用的方法有以下几种：- 代入法：直接将x的值代入函数进行计算，适用于能够直接得到函数值的情况。
- 极限基本性质：利用极限的加减乘除运算规则进行计算，常用于复合函数、无穷大极限等情况。
- 夹逼准则：对于存在极限的函数，在某些情况下，可以通过夹逼定理来确定极限值。
- 积分法：将待求的极限转化为一个积分来计算，适用于一些复杂的函数极限问题。
3. 连续函数与连续性连续函数是指在定义域内没有突变或间断的函数。
具体来说，函数f(x)在x=a处连续，需满足以下条件：- 函数f(x)在a处有定义；- 极限lim┬(x→a)〖f(x)〗存在；- 函数f(x)在x=a处的极限值等于f(a)。
连续函数具有以下基本性质：- 连续函数的和、差、积、商仍为连续函数；- 复合函数中，若内外函数均为连续函数，则复合函数也是连续函数；- 闭区间上的连续函数必定有最大值与最小值。
4. 极限与连续的应用极限与连续在数学和科学领域中具有广泛应用，例如：- 在微积分中，极限作为微积分的基础概念，被广泛应用于函数的导数和积分的计算；- 在物理学中，极限与连续被用于描述物体在时间、空间的变化趋势，如速度、加速度等；- 在经济学中，极限与连续被用于描述市场变化、供求关系等经济现象。
极限与连续部分基本概念
极限与连续（包含第三章集合 映射和函数）§1 函数及其特性基本概念1． 集合 集合的表示方法 集合的关系及运算 （见书中概念）2． 映射3． *函数 定义域 值域函数的两要素：定义域 对应法则4． 反函数 )(x f y =，)(1x f y -=注意（1）不是任一函数都存在反函数，反函数存在的条件；（2）一个函数)(x f y =与它的反函数)(1x f y -=互为反函数；（3）)(x f y =与)(1x f y -=图像关于直线y=x 对称；（4）)(x f y =的定义域即为)(1x f y -=值域，而)(x f y =的值域即为)(1x f y -=的定义域。
5．函数的基本性质（1）有界性界是不唯一的；函数的有界性与区间有关（如函数xy 1=在区间（1，2）有界，但在（0，1）无界）；（2）单调性 函数的单调性在后面的导数应用中还会用到函数的单调性也与区间有关（如函数2x y =在)0,(-∞上是减函数，),0(+∞上是增函数）；如一函数在某区间是严格增函数（或减函数），则其必有反函数。
（3）奇偶性（函数要定义在一对称区间上）偶函数的图像关于y 轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称且f (0)=0;判断一函数的奇偶性只需验证f (x )与f (-x )关系.（4）周期性f (x )= f (x +T)= f (x +k T) k 为整数三角函数的周期性。
6． 幂函数，指数函数，对数函数常用的指数函数：x e y =，常用的对数函数：x y ln =；指数函数与对数函数互为反函数。
7． 基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数统称为基本初等函数。
对于基本初等函数的图形及其基本特性必须熟练掌握。
8． 复合函数掌握两个（或多个函数）是如何复合构成新函数的（即复合函数是如何复合而成的）。
9． 初等函数10. 分段函数分段函数不是两个或多个函数，它是一个函数，只是自变量在不同的取值范围其函数表达式不同。
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极限与连续(包含第三章集合映射和函数)
§ 1函数及其特性
基本概念
1. 集合集合的表示方法集合的关系及运算(见书中概念)
2 •映射
3. *函数定义域值域
函数的两要素：定义域对应法则
4. 反函数y=f(x) y= f_1(x)
注意(1)不是任一函数都存在反函数，反函数存在的条件；
(2) 一个函数y=f(x)与它的反函数y= f _1(x)互为反函数;
(3) y=f(x)与y二f'(x)图像关于直线y=x对称；
(4) y = f (x)的定义域即为y二f」(x)值域，而y二f(x)的值域即为y二f
'(X)的定义域。
5. 函数的基本性质
(1)有界性
界是不唯一的；函数的有界性与区间有关(如函数y二丄在区间(1, 2)
x
有界，但在(0, 1)无界);
(2)单调性函数的单调性在后面的导数应用中还会用到
函数的单调性也与区间有关(如函数y二x2在(」：,0)上是减函数，
(0/ )上是增函数)；如一函数在某区间是严格增函数(或减函数)，则其必有
反函数。
(3)奇偶性(函数要定义在一对称区间上)
偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称且f(0)=0;判断一函数的奇偶性只需验证f(x)与f(-x)关系.
(4)周期性
f (x)= f (x+T)= f (x+ 灯) k 为整数
三角函数的周期性。
6. 幕函数，指数函数，对数函数
常用的指数函数：y二e x，常用的对数函数：y = In x ；指数函数与对数函
数互为反函数。
7. 基本初等函数
幕函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数统称为基本初等函数。
对于基本初等函数的图形及其基本特性必须熟练掌握。
8. 复合函数
掌握两个（或多个函数）是如何复合构成新函数的（即复合函数是如何复合而成的）。
9. 初等函数
10. 分段函数
分段函数不是两个或多个函数，它是一个函数，只是自变量在不同的取值范围其函数表达式不同。
分段函数在分段点处极限的存在性，连续性，可导性等都是难点。
§ 2数列极限
基本概念
1. 数列极限
数列极限是一常数，是随着数列项数的增加通项的一种变化趋势
2. 数列极限的四则运算
数列极限的四则运算的前提两个数列极限都存在。
§ 3函数极限
一、基本概念
1. 函数极限
自变量的变化趋势共有6种情形:
f （x）在（a,=）上有定义；
f （x）在（- ：,a）上有定义；
f （x）在（-，-a）一（a,二）上有定义;
结论：limf(x)=A二lim f(x)= lim f(x) = A X »二x、二X W
曲型：
(a) lim arctan x ，lim arctan x -
XT讼 2 i q 2 (1) lim f (x)二A
XT讼
(2) lim f (x)二A
X T-°O
(3) lim f(x)二A
X T^O
lim a ret axr不存在;
x
(b) l i me* 二：，lim e^ 0
讼XT
lim e X不存在.
X—：:
(4)lim f(x)=A f (x)在X o邻域内有定义(X o除外)；
XTX O
(5)左极限lim f(x) = A二f(x00);
X0 —
(6)右极限lim f(x) = A 二f (Xt j 0);
XTXo +
左右极限主要用于求分段函数在分段点处的极限。
结论：lim f(x)二A 二lim f(x)二lim f(x)二A
X—. X0 X—. X0 …X》X0 亠
注：函数在某点X0处的极限与函数在该点X0处是否有定义无关，与函数在此点X0取何值也无关(函数在某点X0的极限与此点无关，而与X0周围点有关)。
2. 函数极限的性质
(1)极限是唯一；
(2)若lim f(x)二A，则f (x)在X0邻域内有界，若limf(x)二A，则
X T X0 X TM
f (X)在|x|充分大时是有界的；
(3)若lim f (x)二A • 0 (或<0)，则在x°邻域内 f (x)>0 (或<0).
X T X0
3. 函数极限的运算法则
(1)四则运算法则
l i mC二C，其他同数列极限；x r x。
(2)复合函数的极限法则。
4. 两个重要极限
丄
(1) lim(1 丄)x二e, lim(1 x)X二e，( lim(1 -)^e)；
X T比x XT0宀血n
变形：
1
lim (1 (x)) (X)二e ；：(x) >0
S!nX=1 ；
(2) lim
XT0 X
7
2
(7) lim -
XTO
— cosx
变形：lim S i^<X )=i
a(xXO a (x)
5. 无穷小量和无穷大量
注：(1)无穷小量是f (x)有极限的特殊情形；
(2) 无穷大量是f (x)没有极限的特殊情形; (3) 无穷小量和无穷大量之间的关系。
6. 无穷小量的性质
(8)若 x —； x 0时，f (x) > a 0,
(x) > b ，则 lim f (x) (x)二 a b 。
XT x 0
注意无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量的应用(如
sinx
lim
x 厂：x
7. 无穷小量的比较
高阶无穷小量，同阶无穷小量，等价无穷小量 在应用这些概念时注意前提必须是无穷小量才能比较, 否则没有任何意义
&无穷小量的替换(代换)
在进行无穷小量替换时只有在乘除时能替换, 在加减时是不能替换的
二、难点
1. 分段函数在分段点处的极限(如何思考)；
2. 等价无穷小代换在求极限过程中的灵活应用;
3. 重要极限的准确运用；
4. 一些常用结论
1
1
(1) lim
lim 八；
X 》：：X
x-;0 X
(2)
lim e x
= ， lim e x = 0 ；
X > ::
X —
tan x - arcsinx _
arctan x
(3) lim
1 lim 1 lim 1
x —；0 X x 「0 X Xr 0 X
⑷问虹凶
XTO
x
(5)
lim —
x —;0
x (6) lim ―=1，
XTO x
』1 + x — 1
特殊地lim 1 x -1 ；
XTO
x
2
常用的等价无穷小(必须熟记)
若0时，x 〜sinx 〜tanx 〜arcsinx 〜arctanx 〜ln(4 x)〜e x- 1 〜------ 1 2
2( 1 x -1) , 1 -cox 〜-x .
§ 4函数的连续性基本概念
1. 函数f (x)在某点X。
连续：lim f(x)二f(x0)(或lim y = 0)，它包含三个
X T X。
&T 0
方面(1)函数在此点有定义，(2)函数在此点的极限存在，(3 )极限值等于这点的函数值。
三个条件缺一不可。
函数在某点右连续，在某点左连续；
f (x)在某点X0 连续=f(X0 -0) = f(X0 0) = f(X0)。
2. 函数f (x)在开区间(a,b)连续，在闭区间［a,b］连续。
3■间断点(不连续点)：三个条件不能都满足。
间断点分类：
第一类间断点：左右极限f(x。
-0), f(x。
0)都存在，(1)若相等但不等于此
点函数值，称为可去间断点；(2)左右极限不等，称为跳跃间断点；
第二类间断点：非第一类间断点(或左右极限f(x^0), f(x0 0)至少有一个
不存在)。
4. 连续函数的运算性质结论：初等函数在其定义区间上都是连续的。
这个结论为极限的计算带来很大的方便，即要求一连续函数的极限转化为求函数在此点的函数值。
5■闭区间上连续函数的性质
要注意分段函数在分段点处的连续性(由定义去求解) 。