根的判别式和含字母的方程
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式一元二次方程的根的判别式是指b²-4ac，它可以用来判断方程的根的情况。
当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程没有实数根。
判别式的应用包括不解方程判断根的情况、确定方程待定系数的取值范围、证明方程根的性质以及解决综合题。
正确理解判别式的性质并熟练灵活地运用它是本节的重点和难点。
举例来说，对于方程2x²-5x+10=0，其判别式为b²-4ac=(-5)²-4×2×10=－550，因此该方程有两个不相等的实数根。
对于方程x²-2kx+4(k-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-2k)²-4×1×4(k-1)=4(k-2)²≥0，因此该方程有实数根。
对于方程2x²-(4m-1)x+(m-1)=0，其判别式为b²-4ac=(-(4m-1))²-4×2×(m-1)=4(2m-1)²+5>0，因此该方程有两个不相等实根。
对于方程4x²+2nx+(n²-2n+5)=0，其判别式为b²-4ac=(2n)²-4×4(n²-2n+5)=－12(n-4/3)²－176/33<0，因此该方程没有实数根。
解这类题目时，一般先求出判别式Δ=b^2-4ac，然后对XXX进行化简或变形，使其符号明朗化，进而说明Δ的符号情况，得出结论。
对判别式进行变形的基本方法有因式分解、配方法等。
在解题前，首先应将关于x的方程整理成一般形式，再求Δ=b^2-4ac。
当Δ≥0时，方程有实数根，反之也成立。
例2已知关于x的方程x-(m-2)x+m^2=0，求解以下问题：1)有两个不相等实根，求m的范围。
一元二次方程根的判别式、根与系数关系
上述命题的逆命题也正确
例1：不解方程判断下列方程根的情况 ① x²-4x-1=0 ②x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
例2：k取何值时，方程4 x²-（k+2）x+（k-1）=0 ①有一个根是-1。 ②有两个相等的实根
解：∵方程x²+2ax+1=0有两个不相等的实根 ∴Δ 1=4a²-4＞0 既a²＞1 方程②中a＞1 ∴ 2a²-1＞1≠0 既方程②为一元二次方程 Δ 2=4a²-4（2a-1）2=-4（4a-1）（a-1） ∵a²＞1 ∴a²-1＞0 ∴（4a²-1）＞0 2=-4（4a²-1）（a²-1）<0 ∴方程②无实根
一元二次方程的根与系数关系
一元二次方程的根与系数关系(或称韦达定理)是初中数学内容中一个很重要的 知识点，在中考中占有重要的地位，纵观近年全国各地的中考试题，这个知 识点的考查可以解决以下几个问题：
一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x 1，x 2，那么
点评：本题的解题关键是把a、b看作一元二次方程x 2－3x＋1＝0的 两根，利用根与系数关系得a＋b＝3，ab＝1，再通过运用整体代换 的思想代入运算，问题可求．利用根与系数的关系求与根有关的代数 式的值，
五、利用给出条件，确定一个一元二次方程中某个字母系数的值
例3 已知关于x的方程x 2＋px＋q＝0的两实数根和的平方比两实数根之积 大7，而两实数根差的平方比两实数根之积的3倍小5，求p、q值．
(x 1－x 2) 2＝3 x 1·x 2－5 ……③ ∵(x 1－x 2) 2＝(x 1＋x 2) 2-4 x 1·x 2
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用
一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用【主体知识归纳】1．一元二次方程的根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式．通常用符号“Δ”来表示．2．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程没有实数根．反过来也成立．3.如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-ab，x1x2=ac4. 如果关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-p，x1x2=q【基础知识讲解】1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系2.根的判别式是指Δ＝b2－4ac，而不是指Δ＝acb42 ．3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数的符号．4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，不要丢掉等号．5. 利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：（1）二次项系数a≠0，即保证是一元二次方程；（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：b2－4ac≥06．判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明．根与系数的关系有以下应用：(1)已知一根，求另一根及求知系数；(2)不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；(3)已知两数，求以这两数为跟的方程；已知两数的和与积，求这两个数(4)确定方程中字母系数的取值范围(5)确定根的符号。
【例题罗列】根的判别式类型1：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）3x2－2x－1＝0；（2）y2＝2y－4；（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）解：(1)∵Δ＝（－2）2－4×3×（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是y2－2y＋4＝0．∵Δ＝（－2）2－4×1×4＝4－16＜0，∴原方程无实数根．(3)∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．又∵Δ＝（－2k）2－4（2k2＋1）×1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．(4)Δ＝［－（p＋7）］2－4×9×（p－3）＝（p－11）2＋36，∵不论p取何实数，（p－11）2均为非负数，∴(p－11)2＋36＞0，即Δ＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．升级:如果关于x的方程x2＋2x＝m＋9没有实数根，试判断关于y的方程y2＋my－2m＋5＝0的根的情况．这是一类需要自己找出隐含条件的题解：∵x2＋2x－m－9＝0没有实数根，∴Δ1＝22－4(－m－9)＝4m＋40＜0，即m＜－10．又y 2＋my －2m ＋5＝0的判断式Δ2．Δ2＝m 2－4(－2m ＋5)＝m 2＋8m －20 当m ＜－10时，m 2＋8m －20>0，即Δ2>0．∴方程y 2＋my －2m ＋5＝0有两个不相等的实数根． 类型2：1.已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2kx ＋k ＋3＝0．k 取什么值时， (1)方程有两个不相等的实数根? (2)方程有两个相等的实数根? (3)方程没有实数根?解：Δ＝(2k )2－4（k －1）（k ＋3）＝－8k ＋12．(1)当－8k ＋12＞0，且k －1≠0，即k ＜23且k ≠1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当－8k ＋12＝0，且k －1≠0，即k ＝23时，方程有两个相等的实数根；(3)当－8k ＋12＜0，且k －1≠0，即k ＞23时，方程没有实数根．说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零．2．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且方程a(1+x 2)+2bx-c(1-x 2)=0有两个相等的实数根，则此三角形为（ ）A 、等腰三角形B 、等边三角形C 、直角三角形D 、斜三角形 看到有两个相同的实数根立即判断 应用根的判别式解：原方程可化为（a+c ）x 2＋2bx ＋a-c ＝0，Δ＝(2b)2－4（a +c ）（a -c ）＝0得到a 2=b 2+c 2，因此此三角形为直角三角形。
根的判别式及其应用-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
根的判别式及其应用【知识梳理】一：判别式的值与根的关系1.一元二次方程根的判别式：我们把24b ac −叫做一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，通常用符号“∆”表示，记作2=4b ac ∆−．2.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，当2=40b ac ∆−>时，方程有两个不相等的实数根； 当2=40b ac ∆−=时，方程有两个相等的实数根； 当2=40b ac ∆−<时，方程没有实数根． 二：根的判别式的应用（1）不解方程判定方程根的情况； （2）根据参数系数的性质确定根的范围； （3）解与根有关的证明题． 三：韦达定理韦达定理：如果12,x x 是一元二次方程20ax bx c ++= (0)a ≠的两个根,由解方程中的公式法得,1x 2x = 那么可推得1212,b cx x x x a a+=−=． 这是一元二次方程根与系数的关系【考点剖析】 题型一：判别式的值与根的关系例1．不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）24530x x −−=； （2）22430x x ++=；（3）223x +=；（4）22340x x +−=．【答案】（1）方程有两不等实根；（2）方程无实数根；（3）方程有两相等实根； （4）方程有两不等实根．【答案】【答案】【解析】（1）4a =，5b =−，3c =−，24730b ac ∆=−=>，方程有两不等实根；2a =，4b =，3c =，2480b ac ∆=−=−<，方程无实数根；2a =，b =−3c =，240b ac ∆=−=，方程有两相等实根；（4）2a =，3b =，4c =−，24410b ac ∆=−=>，方程有两不等实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，先将方程整理成一般形式，列出方程中的a 、b 、c ，再代值计算∆，根据∆与0的大小关系确定方程根的情况，注意a 、c 异号时则必有两不等实根．【变式1】已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx −++=根的判别式的值为4，求m 的值． 【答案】0．【答案】【答案】【解析】∵1a m =−，2b m =，1c =， ∴()()()2224241414b ac m m m m ∆=−=−⨯−=−+=，整理即得20m m −=，解得：11m =，20m =，同时方程是一元二次方程，知10a m =−≠，故1m ≠，由此得0m =．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于含有字母系数的一元二次方程，尤其是二次项系数中含有字母的情况，一定要注意字母所隐含的取值范围，即二次项系数不能为0． 例2.当m 取何值时，关于x 221(2)104x m x m +−+−=，（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？（3）没有实数根？ 【答案】（1）2m <；（2）2m =；（3）2m >．【解析】对此方程，1a =，2b m =−，2114c m =−，则()22214241484b ac m m m ⎛⎫∆=−=−−−=−+ ⎪⎝⎭，由此可知，（1）当480m ∆=−+>，即2m <时，方程有两个不相等的实数根； （2）当480m ∆=−+=，即2m =时，方程有两两个相等的实数根； （3）当480m ∆=−+<，即2m >时，方程无实数根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【变式1】一元二次方程220x x −−=的根的情况是（ ）A. 有两个相等的实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 没有实数根；D. 不确定. 【答案】B【解析】因为2(1)41(2)1890∆=−−⨯⨯−=+=>，所以方程有两个不相等的实数根. 【变式2】关于x 的方程210x mx m −+−=根的情况，下列说法正确的是（ ）A. 没有实数根；B. 有两个不相等的实数根；C. 有两个不相等的实数根；D. 有两个实数根. 【答案】D【解析】 因为判别式2224(1)44(2)0m m m m m ∆=−−=−+=−≥，故原方程有两个实数根，故选D. 【变式3】下列方程中，没有实数根的是（ ）A. 2250x x −−=B. 2210x x −+=C. 220x x −= D. 225x x −=−【答案】D.【解析】A 、420240∆=+=>，有两不等实数根；B 、440∆=−=，有两个相等实数根；C 、40∆=>，有两个不相等的实根；D 、420160∆=−=−<，无实数根. 故正确答案选D.【变式4】当a ＝ 时，关于x 的方程2210x ax −+=有两个相等的实数根.【答案】1±【解析】由2440a ∆=−=得，1a =±.【变式5】已知方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，试判断关于x 的方程20x ax b ++=的根的情况．【答案】方程无实数根．【答案】【答案】【解析】方程组18ax y x by −=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，代入即得：231238a b −=⎧⎨+=⎩，可解得：22a b =⎧⎨=⎩， 此时方程即为2220x x ++=，其中1a =，2b =，2c =，2480b ac ∆=−=−<，可知方程无实数根． 【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，根据题目条件确定字母取值，再确定其∆值，判定方程解的情况．【变式6】当k 为何值时，关于x 的方程224(21)0x kx k −+−=有实数根？并求出这时方程的根（用含k 的代数式表示）．【答案】14k ≥时，方程有实数根；方程的根为2x k =± 【答案】【答案】【解析】对此方程，1a =，4b k =−，()221c k =−，则()()22244421164b ac k k k ∆=−=−−−=−，因为方程有实数根，则有1640k ∆=−≥，即14k ≥时，方程有实数根；根据一元二次方程求根公式，可知方程解为()4222k b x k a −−−===【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，对于系数含有字母的情况，先确定其∆值，方程可由∆值判定其根的情况，同样地，可由方程根的情况确定其∆值与0的大 题型二：根的判别式的应用例3．证明：方程()()212x x k −−=有两个不相等的实数根．【解析】证明：对原方程进行整理，即为：22320x x k −+−= 其中1a =，3b =−，22c k =−则()()22224342410b ac k k ∆=−=−−−=+>恒成立，由此可证得方程有两个不相等的实数根．【总结】将方程整理成一元二次方程的一般形式，方程的根的情况，只需要根据方程的∆值即可以确定下来．【变式1】当k 为何值时，方程()()222210kx k x x k k −−=−−≠，（1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根．【答案】（1）54k <且1k ≠；（2）54k =；（3）54k >．【答案】【答案】【解析】将方程整理成关于x 的一元二次方程的一般形式，即得：()()()212210k x k x k −−−++=，此时，1a k =−，()22b k =−−，1c k =+，由方程为一元二次方程，可知10a k =−≠，故1k ≠；()()()224424111620b ac k k k k ∆=−=−−−+=−+，由此可知，（1）当16200k ∆=−+>，即54k <且1k ≠时，方程有两不等实根； （2）当16200k ∆=−+=，即54k =时，方程有两相等实根； （3）当16200k ∆=−+<，即54k >时，方程无实根．【总结】考查一元二次方程根的判别式判定方程根的情况，首先将方程整理成一元二次方程的一般形式，然后确定二次项系数不能为0的情况，然后确定其∆值，可由方程根的情况确定其∆值与0的大小关系，可在此基础上进行分类讨论．【答案】【答案】【变式2】已知关于x 的一元二次方程()21230m x mx m +++−=有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥−且1m ≠−．【答案】【答案】【解析】由原方程是一元二次方程，可知10m +≠，即1m ≠−；对此方程， 其中1a m =+，2b m =，c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−；即m 的取值范围为32m ≥−且1m ≠−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定相关隐含条件，既要保证一元二次方程的二次项系数不能为0，然后在此基础上进行解题和计算．【变式3】如果m 是实数，且不等式(1)1m x m +>+的解集是1x <，那么关于x 的一元二次方程21(1)04mx m x m −++=的根的情况如何?【答案】方程无实根．【答案】【答案】【解析】由(1)1m x m +>+的解集是1x <，可知10m +<，即1m <−，对一元二次方程21(1)04mx m x m −++=而言，其中a m =，()1b m =−+，14c m =， 则()221414214b ac m m m m ∆=−=+−⋅=+，1m <−时，0∆<恒成立，由此可知方程无实数根．【总结】探求含有字母的一元二次方程根的情况，需要根据题目条件确定相关字母取值范围，再根据其∆值确定相关方程根的情况．【变式4】已知关于x 的方程()21230m x mx m +++−=总有实数根，求m 的取值范围．【答案】32m ≥−．【答案】【答案】【解析】（1）当10m +=，即1m =−时，方程为一元一次方程240x −−=，方程有实根； 当10m +≠，即1m ≠−时，方程为一元二次方程，其中1a m =+，2b m =，3c m =−，方程有实根，则必有：()()()22424138120b ac m m m m ∆=−=−+−=+≥，可解得32m ≥−且1m ≠−；综上所述，m 的取值范围为32m ≥−．【总结】对于形如20ax bx c ++=的方程，首先要根据题意确定二次项系数能否为0，在此基础上进行相关分类讨论和计算． 题型三：韦达定理例4．写出下列一元二次方程（方程的根为12,x x ）的两实数根的和与两实数根的积 （1）2310x x −+=，12x x +=________；12x x =________；（2）23220x x −−=，12x x += ________；12x x =________．【答案】（1）3，1；（2）23，【答案】【答案】23−．【解析】（1）1a =，3b =−，1c =，根据一元二次方程根与系数的关系，可得123b x x a +=−=，121c x x a ==；（2）3a =，2b =−，2c =−，根据一元二次方程根与系数的关系，可得1223b x x a +=−=，1223c x x a ==−；【总结】考查一元二次方程根与系数的关系，在方程有实数根的前提下，由一般式确定相应的a 、b 、c 值即可快速得到结果．【变式1】已知方程2560x kx +−=的一个根是2，求另一根及k 值．【答案】方程另一根为35x =−，【答案】【答案】7k =−．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125kx x +=−，1265x x =−， 令12x =，则可求得235x =−，代入可得12755k x x +=−=，可得7k =−． 【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式2】已知：关于x 的方程23190x x m −+=的一个根是1，求另一根及m 值．【答案】方程另一根为163x =，【答案】【答案】16m =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，12193x x +=，123mx x =，令11x =，则可求得2163x =，代入可得121633m x x ==，可得16m =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式3】如果5−是方程25100x bx +−=的一个根，求另一个根及b 值．【答案】方程另一根为25x =，【答案】【答案】23b =．【解析】根据韦达定理，可知方程两根满足条件，125b x x +=−，121025x x −==−，令15x =−，则可求得225x =，代入可得122355b x x +=−=−，可得23b =．【总结】考查韦达定理的应用，本题可根据一元二次方式根的定义代入求值计算，但是更简单的，可以通过韦达定理直接快速得到题目结果．【变式4】已知12,x x 是方程230x px q ++=的两个根，分别根据下列条件求出p q 、的值． （1）12x x == （2）1222x x =−+=− 【答案】（1）0p =，21q =−；（2）12p =，3q =．【答案】【答案】【解析】（1）根据韦达定理，可得1203px x +=−=，1273q x x ==−，可得0p =，21q =−； （2）根据韦达定理，可得1243px x +=−=−，1213q x x ==，可得12p =，3q =． 【总结】考查韦达定理的应用，可快速由方程的根得到方程中的相关字母量．【变式5】设12,x x 是方程22430x x +−=的两个根，求()()1211x x ++的值．【答案】【答案】【答案】52−．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足12422x x +=−=−，1232x x =−， 由此()()()()121212*********x x x x x x ⎛⎫++=+++=−+−+=− ⎪⎝⎭． 【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算．【变式6】已知方程22210x ax a +−+=的两个实根的平方和为174，求a 的值；【答案】【答案】【答案】3a =．【解析】根据韦达定理，可得方程两根满足122ax x +=−，12122a x x −=，依题意有 2212174x x +=，即()221212121227224a a x x x x −⎛⎫+−=−−⨯= ⎪⎝⎭，整理即得28330a a +−=，解得：111a =−，23a =；同时，韦达定理的前提是方程有实数根，由此需满足()2242211680a a a a ∆=−⨯−+=+−≥，仅在3a =时0∆≥成立，综上所述，可得3a =．【总结】考查韦达定理的应用，只需将所求式子转化为只含有两根之和和两根之积的式子即可进行求解计算，但一定要注意现阶段韦达定理的前提是方程有实数根，即还需满足0∆≥．【过关检测】一．选择题（共6小题）1．（2022秋•徐汇区期末）若方程﹣3x +m ＝0有一根是1，则另一根是（ ） A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2【分析】根据根与系数的关系列出关于另一根n 的方程，解方程即可得到答案． 【解答】解：设方程的另一根为n ， ∵方程x2﹣3x+m ＝0有一根是1， ∴1+n ＝3，解得：n ＝2， 故选：B ．【点评】本题考查了一元二次方程的解，根于系数的关系，解题的关键是弄清楚一元二次方程的两根之和与系数a 、b 的关系．2．（2022秋•青浦区校级期末）下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的方程是（ ）A ．B ．（x ﹣2）2＝5C ．x 2+2x ＝0D ．【分析】先把四个方程化为一般式，再计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断．【解答】解：A．x2﹣x+＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×＝0，∴方程有两个相等的实数根；B．x2﹣4x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣4）2﹣4×（﹣1）＝20＞0，∴方程有两个不相等的实数根；C．x2+2x＝0，∵Δ＝22﹣4×1×0＝4，∴方程有两个不相等的实数根；D．2x2﹣x+1＝0，∵Δ＝（﹣）2﹣4×2×1＝﹣6＜0，∴方程没有实数根．故选：A．ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系，当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．3．（2022秋•虹口区校级期中）关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜1C．k＞﹣1且k≠0D．k＜1且k≠0【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，然后解不等式即可得到k的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴k≠0且Δ＞0，即（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．4．（2022秋•黄浦区期中）下列方程中，无实数根的方程为（）A．2x2+6x＝3B．3x2+4x+6＝0C．x2﹣2x＝0D．3x2﹣4x﹣6＝0【分析】先分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断四个方程的根的情况即可．【解答】解：A．方程化为一般式为2x2+6x﹣3＝0，Δ＝62﹣4×2×（﹣3）＝60＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以A选项不符合题意；B．Δ＝42﹣4×3×6＝﹣56＜0，则方程没有实数根，所以B选项符合题意；C．Δ＝（﹣2）2﹣4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以C选项不符合题意；D．Δ＝（﹣4）2﹣4×3×（﹣6）＝88＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项不符合题意．故选：B．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．5．（2022秋•宝山区期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0，其中a，b在数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【分析】根据一元二次方程根的判别式得Δ＝b2+4a2b，根据根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，即可确定判别式得符号，进一步确定根的情况．【解答】解：在一元二次方程ax2+bx﹣ab＝0中，Δ＝b2+4a2b，根据a，b在数轴上的对应点，可得a＜0，b＞0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．6．（2022秋•闵行区期中）已知a、b、c是三角形三边的长，则关于x的一元二次方程ax2+2（b﹣c）x+a＝0的实数根的情况是（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定【分析】Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），根据三角形的三边关系可知Δ＜0，可知一元二次方程根的情况．【解答】解：Δ＝[2（b﹣c）]2﹣4a2＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a），∵a、b、c是三角形三边的长，∴b﹣c+a＞0，b﹣c﹣a＜0，∴Δ＝4（b﹣c+a）（b﹣c﹣a）＜0，∴原方程没有实数根，故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，三角形的三边关系，熟练掌握根的判别式与根的情况的关系是解题的关键．二．填空题（共12小题）7．（2022秋•黄浦区校级月考）方程x2﹣3x+2＝0两个根的和为，积为．【分析】直接利用根与系数的关系求解．【解答】解：根据根与系数的关系x2﹣3x+2＝0两个根的和为3，积为2．故答案为：3，2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．8．（2022秋•普陀区校级期中）若关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，则代数式的值是．【分析】根据方程的系数，结合根的判别式Δ＝0，即可得出b2＝﹣4c，将其代入中，即可求出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2+bx﹣c＝0（c≠0）有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4×1×（﹣c）＝0，∴b2＝﹣4c，又∵c≠0，∴＝＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．9．（2022秋•长宁区校级期中）已知关于x的方程（m+1）x2+2x＝1，方程有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．【分析】利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m 的取值范围．【解答】解：将原方程转化为一般形式得（m+1）x2+2x﹣1＝0，∵方程有两个不相等的实数根，∴，解得：m＞﹣2且m≠﹣1，∴m的取值范围是m＞﹣2且m≠﹣1．故答案为：m＞﹣2且m≠﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，利用二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．10．（20222，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+m＝0的两个根，则m的值为．【分析】讨论：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，利用判别式的意义得到∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解方程得到m的值；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，求出m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，然后根据三角形三边的关系可判断这种情况不符合题意．【解答】解：当底边长为2时，则腰长为方程x2﹣6x+m＝0的两个根，∴△＝（﹣6）2﹣4m＝0，解得m＝9；当腰长为2，则x＝2为方程x2﹣6x+m＝0的一个根，∴4﹣12+m＝0，解得m＝8，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4，∵2+2＝4，∴2、2、4不符合三角形三边的关系，舍去，综上所述，m的值为9．故答案为9．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了三角形三边的关系．11．（2022秋•浦东新区期中）已知关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m可取的最大整数是．【分析】由二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．【解答】解：∵关于x的方程mx2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4m×1＞0且m≠0，解得：m＜1且m≠0．故答案为：﹣1．【点评】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式Δ＞0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．12．（2022秋•徐汇区校级期中）如果关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，那么m的取值范围是．【分析】根据关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，得出Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，从而求出m的取值范围．【解答】解：∵一元二次方程x2+3x﹣2m＝0没有实数根，∴Δ＝9﹣4×（﹣2m）＜0，∴m＜﹣，故答案为：m＜﹣．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式，关键是掌握Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．13．（2022秋•浦东新区校级月考）等腰△ABC的一边长为3，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则m的值是．【分析】结合根与系数的关系，分已知边长3是底边和腰两种情况讨论．【解答】解：设关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根分别为a、b．∵方程x2﹣10x+m＝0有两个实数根，∴Δ＝100﹣4m≥0，得m≤25．①当底边长为3时，另两边相等时，a+b＝10，∴另两边的长都是为5，则m＝ab＝25；②当腰长为3时，另两边中至少有一个是3，则3一定是方程x2﹣10x+m＝0的根，而a+b＝10，∴另一根为：7．∵3+3＜7，不能构成三角形．∴m的值为25．故答案为：25．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质．14．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，则m＝．【分析】根据根的判别式得出方程（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝36，求出方程的解即可．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m2＝0根的判别式的值36，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣m2）＝36，解得：m＝±2，故答案为：±2．【点评】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．15．（2022秋•奉贤区期中）当k时，关于x的方程有两个实数根．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×≥0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝（﹣1）2﹣4k×≥0，解得k≤且k≠0，即k的取值范围为k≤且k≠0．故答案为：≤且k≠0．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．16．（2022秋•杨浦区期中）如果关于x的方程mx2﹣（2m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m≠0且Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得m≠0且Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4m（m﹣1）＞0，解得m＞﹣且m≠0，即m的取值范围为m＞﹣且m≠0，故答案为：m＞﹣且m≠0，【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．也考查了一元二次方程的定义．17．（2022秋•虹口区校级期中）已知关于x的方程（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0的根是正整数，则整数m的值为．【分析】利用因式分解法求出方程的两个根，再根据方程的两个实数根都为正整数，即可求出m的值．【解答】解：当m﹣3＝0，即m＝3时，方程为8x+24＝0，解得x＝﹣3，不合题意舍去；当m﹣3≠0，即m≠3时，（m﹣3）x2﹣（m2﹣m+2）x+2m2+2m＝0[（m﹣3）x﹣（2m+2）]（x﹣m）＝0，∴x1＝＝，x2＝m，∵方程的两个实数根都为正整数，∴是正整数，∴m＝4或5或7或11，故答案为：3或4或5或7或11．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解题的关键是结合方程的解为正整数，找出关于m的分式方程．18．（2022秋•黄浦区期中）写出一个一元二次方程，使它的一个根为1，另一个根为，这个方程的一般式是．【分析】根据根与系数的关系：x1+x2＝﹣，x1•x2＝，首先写出两根之和，再写出两根之积，可直接得到方程．【解答】解：∵1+（﹣）＝1﹣，1×（﹣）＝﹣，∴这个方程的一般式是x2+（﹣1）x﹣＝0．故答案为：x2+（﹣1）x﹣＝0．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与方程的系数相结合解题是一种经常使用的解题方法．三．解答题（共10小题）19．（2022秋•奉贤区期中）已知△ABC的两边是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，第三边的长为4，当m为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这两边的长．【分析】设△ABC的两边a、b是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，利用根与系数的关系得到a+b＝10，ab＝m，讨论：当a＝b＝5时，易得m＝25，△ABC为等腰三角形；当a＝4或b＝4时，a＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形．【解答】解：设△ABC的两边a、b是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两根，则a+b＝10，ab＝m，当a＝b＝5时，m＝5×5＝25，△ABC为等腰三角形；当a＝4时，b＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形；当b＝4时，a＝6，则m＝24，△ABC为等腰三角形；综上所述，当m＝25时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为5，5；当m＝24时，△ABC为等腰三角形，这两边的长分别为4，6．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了等腰三角形的判断．20．（2022秋•静安区校级期中）已知关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数）．（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围．（2）如果该方程有两个相等的实数根，求m的取值范围．（3）如果该方程没有实数根，求m的取值范围．【分析】先求出Δ＝4+4（m+1）＝4m+8，（1）根据该方程有两个不相等的实数根，可得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，进一步求解即可；（2）根据该方程有两个相等的实数根，可得Δ＝4m+8＝0，进一步求解即可；（3）根据该方程没有实数根，可得Δ＝4m+8＜0，进一步求解即可．【解答】解：关于x的一元二次方程（m+1）x2+2x＝1（m为实数），a＝m+1，b＝2，c＝﹣1，∴Δ＝4+4（m+1）＝4m+8，（1）根据题意，得Δ＝4m+8＞0，m+1≠0，解得m＞﹣2且m≠﹣1；（2）根据题意，得Δ＝4m+8＝0，解得m＝﹣2；（3）根据题意，得Δ＝4m+8＜0，解得m＜﹣2．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与根的判别式的关系是解题的关键．21．（2022x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根．求m的值并求出两个实数根．【分析】由一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，得Δ＝0，即Δ＝m2﹣4＝0，可解得m＝±2，然后把m＝±2代入方程，解此方程即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+1＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即Δ＝m2﹣4＝0，解得m＝±2，当m＝2时，原方程变为：x2﹣2x+1＝0，∴（x﹣1）2＝0，解得x1＝x2＝1，当m＝﹣2时，原方程变为：x2+2x+1＝0，∴（x+1）2＝0，解得x1＝x2＝﹣1．【点评】此题主要考查了一元二次方程的解法和根的判别式，熟记一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解与b2﹣4ac的关系：当b2﹣4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2﹣4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；当b2﹣4ac＜0时，方程无解是解决问题的关键．22．（2022秋•徐汇区校级期中）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）当m取最大非零整数时，求方程的两个根．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m 的取值范围；（2）由（1）的结论可得出m可取的最大非零整数为﹣1，将其代入原方程中，再利用公式法解一元二次方程，即可求出此时方程的两个根．【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣（2m﹣2）x+m2＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣2）]2﹣4×1×m2＝4﹣8m≥0，解得：m≤，∴m的取值范围为m≤．（2）∵m≤，∴当m取最大非零整数时，m＝﹣1．当m＝﹣1时，原方程为x2+4x+1＝0，解得：x1＝＝﹣2﹣，x2＝＝﹣2+．∴当m取最大非零整数时，方程的两个根分别为x1＝﹣2﹣，x2＝﹣2+．【点评】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）代入m的值，利用公式法求出一元二次方程的解．23．（2022秋•杨浦区期末）关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．【分析】由一元二次方程的Δ＝b2﹣4ac＝1，建立m的方程，求出m的解后再化简原方程并求解．【解答】解：由题意知，m≠0，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（3m﹣1）]2﹣4m（2m﹣1）＝1，∴m1＝0（舍去），m2＝2，∴原方程化为：2x2﹣5x+3＝0，解得，x1＝1，x2＝．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．24．（2022秋•青浦区期中）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣4mx+4m+6＝0有实数根，求m能取的正整数值．【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，然后求出m的取值范围，进而求出结果．【解答】解：根据题意得m﹣1≠0且Δ＝（﹣4m）2﹣4（m﹣1）（4m+6）≥0，解得m≤3且m≠1．故m能取的正整数值为2，3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．25．（2022秋•奉贤区校级期中）已知关于x的方程（k﹣2）x2+6kx+4k﹣1＝0．（1）只有一个根，求k的值，并求此时方程的根；（2）有两个相等的实数根，求k的值，并求此时方程的根．【分析】（1）由题意得k﹣2＝0≠0，即k＝2，列出方程求解可得；（2）根据题意得：k﹣2≠0且Δ＝0，解方程可得k的值，再代入列出关于x的方程，求解可得．【解答】解：（1）因为只有一个根所以k﹣2＝0且6k≠0，解得k＝2，∴方程为12x+7＝0，解得x＝，所以方程的根为x＝；（2）根据题意，得：k﹣2≠0，即k≠2，Δ＝0，即（6k）2﹣4（k﹣2）×（4k﹣1）＝0，解得k1＝，k2＝﹣2，当k＝时，方程为9x2﹣6x+1＝0，即（3x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝，当k＝﹣2时，方程为4x2+12x+9＝0，即（2x+3）2＝0，解得：x1＝x2＝﹣．【点评】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．26．（2022秋•杨浦区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0．（1）如果方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）如果等腰三角形ABC的一条边长为7，其余两边的边长恰好是该方程的两个根，求m的值．【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围；（2）分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0有实数根，∴Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+5）＝8m﹣16≥0，解得：m≥2，∴当方程有两个实数根，m的取值范围为m≥2．（2）当7为底时，由题意得，Δ＝，则8m﹣16＝0，解得m＝2，此时一元二次方程x2﹣6x+9＝0解得x＝3，因为3+3＜7，舍去；当7为腰时，将x＝7代入得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，解得m＝4或m＝10，当m＝10时，得三边长为7、7、15，因为7+7＜15（舍去），当m＝4时，算得三边长为3、7、7，可以构成三角形，故m的值为4．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决．27．（2022秋•浦东新区校级月考）已知：设三角形ABC的三边a，b，c为方程4x2+4x+2b﹣c＝0有两个。
第二讲 根的判别式及其应用
例4．已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0．
（2）若等腰∆ABC的一边a=1，另两边长b、c恰是这个方程的两个根，求
△ABC的周长．
（2）②若b≠c，则b=a=1或c=a=1，即方程有一根为1，
【解析】
把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0，得1-(k+2)+2k=0，解得k=1，
∴∆=b2-4ac =[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1) =8+8k2 >0，
∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.
k2≥
例2．当m为什么值时，关于x的方程 m2 −4 x2 +2 m+1 x+1=0有实根．
【点拨】讨论：分 m2 −4=0和m2 −4≠0 两种情况.
【解析】当m2−4=0，
一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的判别式
△=b2-4ac
一元二次方程的根的情况取决于
2
Δ=b -4ac>0
方程有两个不相等的实数根.
Δ=b2-4ac的符号.
Δ=b2-4ac=0
方程有两个相等的实数根.
Δ=b2-4ac<0
方程没有实数根.
反之也成立
注意
（1）使用判别式之前,一定要先把方程变化为一般形式，正确找出a、
∴方程总有两个实数根；
m 2 ( m 2)
x
（2）由求根公式得 x1=1，x2= 2 ，∵x1=1为整数，
2m
m
2
∴必须x2= 为整数即可，∵ m取正整数 ∴m =1或2．
m
例6．已知关于x的方程mx 2-(m+2)x+2=0(m≠0).
一元二次方程的根的判别式
一元二次方程的根的判别式【学习目标】1.知道什么是一元二次方程的根的判别式.2.会用判别式判定根的情况.【主体知识归纳】1.一元二次方程的根的判别式：b2—4ac叫做一元二次方程ax2+bx+ c =0 (a^O)的根的判别式.通常用符号“△”来表示.2.对于一元二次方程ax2 + bx+ c= 0 (a z 0),当4> 0时，方程有两个不相等的实数根；当△ = 0时，方程有两个相等的实数根；当△< 0 时，方程没有实数根.反过来也成立.【基础知识讲解】1 .根的判别式是指△= b —4ac,而不是指△ =、、b2 4ac .2.根的判别式是在一元二次方程一般形式下得出的，因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况.要注意方程中各项系数的符号.3.如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2—4ac>0,不要丢掉等号.4.判别式有以下应用：(1)不解方程，判定一元二次方程根的情况；(2)根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；(3)应用判别式进行有关的证明.例题精讲】例1 ：不解方程，判别下列方程的根的情况：2(1)3x —2x —1 = 0;(2)y2= 2y—4;(3)(2k2＋1) x2—2kx＋1=0；( 4) 9x2—( p＋7) x＋p—3= 0．解：(1) •「△=( —2) —4 x 3x( —1 )= 4+ 12> 0，—原方程有两个不相等的实数根．(2)原方程就是 y —2y + 4 = 0.T △=( —2) —4x 1 x4 = 4 —16 v 0,二原方程无实数根.(3)v 2k2 + 1工0,二原方程为一元二次方程.又•/ △=( —2k) 2—4 (2k2 + 1)x 1 = —4k2—4v0,二原方程无实数根.(4)△=[—( p+ 7)]2—4x 9x( p—3)=( p—11) 2+ 36，v不论p取何实数，(p—11) 2均为非负数，•••(p—11)2 + 36>0, 即卩△ >0,•••原方程有两个不相等的实数根.说明：(1) 运用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况时，要把不是一般形式的化为一般形式.(2)判别式的应用是以方程ax2 + bx+ c = 0中0为前提条件的，对于含字母系数的二次方程要特别注意这一点.⑶ 要判断含字母(代表实数)的二次式的正负等情况，配方是个有效的方法，如(4)小题.例2：已知关于x的一元二次方程(k —1)x2 + 2kx+ k + 3= 0. k取什么值时，(1)方程有两个不相等的实数根？ (2)方程有两个相等的实数根？ (3) 方程没有实数根？解：△= (2k)2—4 (k —1) (k+ 3)=—8k + 12.(1)当一8k + 12>0,且k —1工0, 即卩kv |且k工1时，方程有两个不相等的实数根；(2)当一8k + 12= 0,且k —1工0,即k= |时，方程有两个相等的实数根；(3)当一8k + 12v 0,且k —1工0,即k>1时，方程没有实数根.说明：当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：二次项系数不等于零.例3:求证：不论a、b、c为何值，关于x的方程(b—x)2—4(a — x)( c —x) = 0必有实数根.剖析：此题考查运用一元二次方程根的判别式的能力，由于所给方程从形式上不能直接判断出方程的类型，因此应将方程进行整理，得-2 23x + (4 a + 4c —2b) x + b —4ac= 0,显然是关于x的一元二次方程，所以只要证明△》0即可.证明：略说明：判断一代数式的正、负时，通常的方法是将其进行恒等变形，配成完全平方式，再利用其非负性的特点进行证明．例4:如果关于x的方程x2 + 2x= 9没有实数根，试判断关于 y的方程y2+ my- 2n+ 5 = 0的根的情况.剖析：要判断y2 + my-2m+ 5= 0根的情况，只要判断△ 2= vm- 4(—2m+ 5) = m + 8m—20的取值情况即可.而x2 + 2x— m—9= 0没有实数根，可得△ i = 2—4( 一 m—9) = 4m+ 40v 0,即m v—10,而当n v—10时，吊+8m-20恒大于零，所以方程y2 + my—2m+ 5=0 有两个不等的实数根.说明：判定△的值用到了Z0所得的结论m v—10,这种条件和结论的相互转化在解综合性的题目中常常遇到.【同步达纲练习】1 .选择题(1)关于x的方程mf+ 4x + 1 = 0有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是( )A.m v 4B. m K 4 且0C. mi> 4 且0D. m v 4 且0(2)关于 x 的方程 kx2+2x—1=0 无实数根,则 k 的取值范围是B. k v—1C. k K—1 ( )D. k=—1C. 1C.不论m 为何值，方程都没有实数根D.当一1v m< 1 A .无实数根 等的实数根C.有两个相等的实数根D .要根据a 、b 、 ⑶ 关于x 的一元二次方程(k — 1)x 2 + 2kx + k+ 3 = 0有两个不相等 的实数根，则k 的最大整数值是()A . 0B.— 1 D. 2 ⑷ 方程x 2+px+ q= 0有两个相等的实数根，则p 、q 之间的关系是 ()2 2A . p — 4q^0 B. p= 2、q C. p = 4qD. p 2> 4q(5) 关于x 的方程m i x 2 — 2mx^( mH 3)= 0的根的情况是()A .当m= 0时，方程有两个相等的实数根B .当m^ 0时，方程没有实数根时，方程有实数根(6) 设a 、b 、c 为三角形的三条边长，那么关于 x 的方程b 2x 2+(b 2+ c 2— a 2) x+c 2 = 0的根的情况是()B .有两个不相c的数值确定(7)已知a、b、c是厶ABC的三条边长，且关于x的方程(c— b) x2 + 2 (b— a) x+( a— b)= 0有两个相等的实数根，那么这个三角形是A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形(8)已知方程x2— px+ vm= 0 (m存0)有两个相等的实数根，则方程 x2 + px— m=0的根的情况是()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.有无实数根，不能确定2.不解方程，判断下列方程根的情况：(1) y2—2y+ 1 = 0; (2) 4x2 + 5= 10x; ( 3) t2 = 7t - 15;(4) x2—2 .5 x = 3; 2(5) 0. 1x —0. 2x + 1 = 0; (6) 3x —(2 一 . 3 ) x + 1 = 0;3 .已知关于x的方程丄“- -(m—2) x + m= 0.4(1)有两个不相等的实数根，求 m的取值范围；(2)有两个相等的实数根，求 m的值，并求此时方程的根；(3)没有实数根，求m的最小整数值.2 2 24.求证：关于x的方程(a+ 1)x —2ax + (a+ 4) = 0没有实数根.5.已知关于x的方程x2—2mx- 3吊+ 8m—4= 0.(1)当m> 2时，试判断方程根的情况;(2)若方程的两个实数根一个小于5,另一个大于2,求m的取值范围.6.(1) k是什么正整数时，方程2x2—10x + 5k = 0有两个不相等的实数根？(2)k是什么负整数时，方程 x2—4x+ 2 — k = 0有两个不相等的实数根？(3)k是什么正数时，方程(2 + k) x2 + 6kx +4k+1 = 0有两个相等的实数根？7.已知△ ABC的三边分别是a、b、c,其中a、b的长是方程x2—4( .3 + 1)x + 16 .3 = 0的两个根，且a>b,关于x的一元二次方程a(1 — x2) + c(1 + x2) + 2bx= 0有两个相等的实数根，求△ ABC的三个内角的度数和三条边的长.。
一元二次方程根的判别式知识点
一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
（2）一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)（Δ=b24ac）3、一元二次方程根的判别式的多种应用：一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
二、例1、判断下列方程根的情况三、2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、?已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？三、?证明方程根的性质。
例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
四、?判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
五、?判定二次三项式为完全平方式。
例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。
六、?利用判别式构造一元二次方程。
例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、?限制一元二次方程的根与系数关系的应用。
例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
根的判别式
∴k＞-1 又∵k≠0 ∴ k＞-1且k≠0
要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求取值范围等问题.
一元二次方程根的 判别式
• • • • • • • •
用公式法解下列方程： ⑴ x2＋x－1 = 0 ⑵ x2－2x＋1 = 0 ⑶ 2x2－2x＋1 = 0 由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）的 根的情况可由 b2－4ac 来判定： 当 b2－4ac＞0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 b2－4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 b2－4ac ＜ 0 时，方程没有实数根。 我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0） 的根的判别式。用符号“ ”表示，即
要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根. 2.根据根的情况，也可以逆推出Δ的情况，这方面 的知识主要用来求取值范围等问题.
1.求判别式时，应该先将方程化为一般形式. 2.应用判别式解决有关问题时，前提条件为 “方程是一元二次方程”，即二次项系数不为0.
）
问题一：不解方程，判断下列方程是否有解？
2 （1） 2 x 5x 7 0 ；
2 （2） 3 x x 0 ；
2 （3） x 4kx 2k 3 。
提示：步骤：第一步：写出判别式△；第二步根据△的正负写 结论。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系知识讲解
方法一：设方程另外一个根为 x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得
x1
2
k 5
，
2
x1
6 5
，从而解得：
x1
3 5
，k＝-7．
方法二：将 x＝2 代入方程，得 5×22+2k-6＝0，从而 k＝-7．
设另外一根为 x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得
x1
2
7 5
，从而
x1
3 5
，
故方程的另一根为 3 ，k 的值为-7． 5
∴ a≤ 且 a≠1，
∴整数 a 的最大值为 0．故选：B． 4.【答案】D；
【解析】求得 Δ=b2-4ac=-8＜0，此无实数根，故选 D.
5.【答案】B；
【解析】∵关于 x 的一元二次方程 x2+4x+k=0 有实数解， ∴b2﹣4ac=42﹣4×1×k≥0， 解得：k≤4，故选 B．
6.【答案】A；
① x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ；
② 1 1 x1 x2 ； x1 x2 x1 x2
③ x1 x22 x12 x2 x1 x2 (x1 x2 ) ；
④ x2 x1 x12 x22 (x1 x2 )2 2x1x2 ；
x1 x2
x1x2
x1x2
⑤ (x1 x2 )2 (x1 x2 )2 4x1x2 ；
9．若方程
的两根是 x1、x20．设一元二次方程 x2 3x 2 0 的两根分别为 x1 、 x2 ，以 x12 、 x22 为根的一元二次方程是________．
11．已知一元二次方程 x2-6x+5-k=0•的根的判别式△=4，则这个方程的根为_____
根的判别式的六种常见应用
根的判别式的六种常见应用方法指导：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．应用1：利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．2．已知关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．应用2：利用根的判别式求字母的值或取值范围3．已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．应用3：利用根的判别式求代数式的值4．已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m－1（2m－1）2＋2m的值．应用4：利用根的判别式解与函数综合问题5．y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数，则一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的根的情况为( )A ．没有实数根B ．有一个实数根C ．有两个不相等的实数根D ．有两个相等的实数根应用5： 利用根的判别式确定三角形的形状6．已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．应用6： 利用根的判别式探求菱形条件7．已知▱ABCD 的两边AB ，AD 的长是关于x 的方程x 2－mx ＋m 2－14＝0的两个根． (1)m 为何值时，▱ABCD 是菱形？并求出菱形的边长．(2)若AB 的长为2，求▱ABCD 的周长是多少？参考答案1．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4，∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．2．解：(1)Δ＝b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4m 2－4m 2＋4＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入方程中，得9＋2m ×3＋m 2－1＝0，即m 2＋6m ＋9＝1，∴(m ＋3)2＝1.∴m ＋3＝±1. ∴m 1＝－2，m 2＝－4.3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m. ∴x 1＝2m，x 2＝1. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数，∴m ＝1或m ＝2. 又∵方程的两个根不相等，∴m ≠2，∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，即2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114； 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526.5．A 解析：∵y ＝k －1x ＋1是关于x 的一次函数， ∴k －1≠0.∴k －1>0，解得k>1.又一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0的判别式Δ＝4－4k ， ∴Δ<0.∴一元二次方程kx 2＋2x ＋1＝0无实数根，故选A .6．解：∵方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0. 即b 2＋c 2＝a 2，∴此三角形是直角三角形．7．解：(1)∵▱ABCD 是菱形，∴AB ＝AD.∴Δ＝0，即m 2－4⎝⎛⎭⎫m 2－14＝m 2－2m ＋1＝0，∴m ＝1.此时原方程为x 2－x ＋14＝0， ∴x 1＝x 2＝12， ∴当m ＝1时，▱ABCD 是菱形，菱形ABCD 的边长为12. (2)∵AB ＝2，∴将x ＝2代入原方程得4－2m ＋m 2－14＝0， 解得m ＝52， 故原方程为x 2－52x ＋1＝0， 解得x 1＝2，x 2＝12，∴AD ＝12. 故▱ABCD 的周长为2×⎝⎛⎭⎫2＋12＝5.。
《一元二次方程根的判别式、根与系数的关系》培优
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【一元二次方程根的判别式】对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的求根公式x =242b b ac a -±-，我们称24b ac -叫根的判别式，通常用字母 “△” 表示，即△=ac b 42-。
（1） 当240b ac ->时，方程 根；（2） 当240b ac -=时，方程 根；（3） 当240b ac -<时，方程 根。
特别提醒：若一元二次方程02=++c bx ax 有实数根，则ac b 42- 0。
在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，别忘了要加上二次项系数不为零这个限制条件.练习：1、已知方程230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 。
2、 关于x 的一元二次方程2210kx x +-=两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 。
3、在下列方程中，有实数根 的是（ ）（A ）2310x x ++= （B ）411x +=- （C ）2230x x ++= （D ）111x x x =-- 4、当m 满足何条件时，方程()01122=-+--m x m mx 有两个不相等实根？有两个相等实根？有实根？5、关于x 的方程()05222=+++-m x m mx 无实根，试解关于x 的方程()()02252=++--m x m x m 。
6、已知关于x 的一元二次方程()241210x m x m +++-=，求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根。
【一元二次方程根与系数的关系】如果一元二次方程()200ax bx c a ++=≠存在实数根，由求根公式得x 1=a ac b b 242-+-，x 2=aac b b 242---，因此有两根之和=+21x x _________，两根之积=⋅21x x __________.这就是一元二次方程的根与系数的关系，又称为韦达定理。
(完整版)一元二次方程根的判别式知识点
一元二次方程根的判别式知识点及应用1、一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若△＞0则方程有两个不相等的实数根若△=0则方程有两个相等的实数根若△＜0则方程没有实数根2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理：在一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b²4ac若方程有两个不相等的实数根，则△＞0若方程有两个相等的实数根，则△=0若方程没有实数根，则△＜0特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。
（2）一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)（Δ=b²4ac）一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。
例1、判断下列方程根的情况2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0二、已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。
例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0 有两个实数根？三、证明方程根的性质。
例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。
四、判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。
例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围内因式分解。
五、判定二次三项式为完全平方式。
例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。
例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是完全平方式。
六、利用判别式构造一元二次方程。
例7、已知：（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0（x≠y）求证：2y=x+z七、限制一元二次方程的根与系数关系的应用。
例8、已知关于x的方程x2-（k-1）x-3k-2=0的两个实数根的平方和为17，求k的值。
根的判别式
4、已知x1，x2是方程2x2+3x-1=0的两
1 1 个根，则 值为 x1 x2
A 。
A. 3
C.
1 3
B.-3
D. -
1 3
5、关于x的方程 x² +(2k+1)x+k-1=０的根的情况是(A) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根
D. 根的情况无法确定
分析:Δ=(2k+1)2 - 4（k-1） = 4k2 + 5 > 0
分析:
方程整理为:(3 k -1)x²- 3x + 1= 0
由题意:Δ= b² －4ac = 9-4(3k-1)< 0
13 ∴ k > 12
∴ 整数k的最小值是 2.
8、若方程(1-k)x² －２x-1 =０有 两个不相等的实数根，则k的最大 整数值是（ D ） A．1 B．2 C．-1 D．0 Δ=b2－4ac=4+4(1-k)>0 ∴k < 2
注意：以三角函数为方程的根，有着丰 富的内容，我们还可以有以下引申：
已知：a、b、c分别是ΔABC的三内角∠A、 ∠B、∠C 的对边， 若∠C=90º ， (1)sinA，sinB是方程的根； (2)tanA，tanB是方程的根； (3)tanA，cotB是方程的根。
11、（河南）若一个直角三角形
相关知识：因式分解，三角形的三边关系
10、 已 知 ：a、 b、 c分别 是 ΔABC的 三 内 角 ∠A、 ∠B、∠C的对边,若∠C=90º ，且sinＡ、 cosB是关于x的方程ax² －４x＋１=0 的两根 （1）求a的值；（2）试求ΔABC的面积。 分析：在直角三角形中，sinA=cosB， 因此,此方程有两个相等的实数根。 解：由题意： ∠ C=90º ， ∴ sinA=cosB ∴ 方程有两个相等的实数根。 ∴ Δ= a ²－16=0， ∴ a= ±4(舍去负值) ∴ a 的值为4.
第五讲一元二次方程根的判别式、根与系数的关系
第5讲 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系一、根的判别式1.一元二次方程根的判别式的定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 2224()24b b acx a a -+=，显然只有当240b ac -≥时，才能直接开平方得：22424b b acx a a -+=±． 也就是说，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠只有当系数a 、b 、c 满足条件240b ac ∆=-≥时才有实数根．这里24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2.判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根由其系数a 、b 、c 确定，它的根的情况(是否有实数根)由24b ac ∆=-确定．判别式：设一元二次方程为20(0)ax bx c a ++=≠，其根的判别式为：24b ac ∆=-则①0∆>⇔方程有两个不相等的实数根21,24b b acx -±-=．②0∆=⇔方程有两个相等的实数根122bx x a==-．③0∆<⇔方程没有实数根．④⇔≥∆0方程有（两个）实数根典例分析知识点1：求根的判别式的值例1：（1）一元二次方程2x 2﹣4x+1=0的根的判别式的值是 （2）已知关于x 的一元二次方程x 2+（m ﹣2）x+m ﹣2=0． （1）求根的判别式△的值（用含m 的代数式表示）． （2）当m=4时，求此一元二次方程根．知识点2：利用根的判别式不解方程判断根的情况 例2：不解方程，判别下列方程的根的情况：（1）22340x x +-=；（2）216924y y +=；（3）()25170x x +-=知识点：利用根的判别式求待定字母系数的取值范围（1）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+2ax﹣3+a=0有实数根，则a ．（2）关于x的一元二次方程mx2﹣（2m﹣3）x+（m﹣1）=0有两个实数根．求m的取值范围；（3）已知分式，当x=2时，分式无意义，则a= ；当a＜6时，使分式无意义的x的值共有个．知识点4：利用根的情况判断三角形形状例4：已知a、b、c是三角形的三条边长，且关于x的方程（c﹣b）x2+2（b﹣a）x+（a﹣b）=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．知识点5：利用判别式求最值例5：阅读下列材料：求函数的最大值．解：将原函数转化成x的一元二次方程，得．∵x为实数，∴△==﹣y+4≥0，∴y≤4．因此，y的最大值为4．根据材料给你的启示，求函数的最小值．知识点:6：一元二次方程的简单应用例6：（1）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm 的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm 2，李明应该怎么剪这根铁丝？ （2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm 2，你认为他的说法正确吗？请说明理由．（2）如图，利用一面墙（墙的长度不超过45m ），用80m 长的篱笆围一个矩形场地．（1）怎样围才能使矩形场地的面积为750m 2？ （2）能否使所围矩形场地的面积为810m 2，为什么？（3）怎样围才能使围出的矩形场地面积最大？最大面积为多少？请通过计算说明．二、根与系数的关系 1、根与系数的关系如果20(0)ax bx c a ++=≠的两根是1x ，2x ，则12b x x a +=-，12cx x a=．(此公式的大前提：0∆≥)2、以两个数12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是：21212()0x x x x x x -++=3、根与系数的关系主要应用于以下几个方面：① 已知方程的一个根，求另一个根以及确定方程参数的值； ② 已知方程，求关于方程的两根的代数式的值； ③ 已知方程的两根，求作方程；④ 结合根的判别式，讨论根的符号特征；⑤ 求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱．典例分析知识点7：利用方程中各项系数求两根的和与积 例7：不解方程，求下列方程的两根和与积．（1）x 2﹣2x ﹣3=0； （2）3x 2+x ﹣1=0； （3）x 2+4x ﹣1=0．知识点8：已知方程的一个根，求另一个根例8：⑴若方程240x x c -+=的一个根为23+，则方程的另一个根为 ，c = ．（2）已知关于x 的方程220x kx +-=的一个解与方程131x x +=-解相同． ⑴求k 的值；⑵求方程220x kx +-=的另一个解．知识点9：已知方程，求关于方程的两根的代数式的值 例9：（1）已知方程2350x x +-=的两根为1x 、2x ，则2212x x += ．（2）已知α、β是方程2250x x +-=的两个实数根，22ααβα++的值为 ． （3）已知α、β是方程2520x x ++=βααβ的值．（４）如果a ，b 都是质数，且2130a a m -+=，2130b b m -+=，求b aa b+的值．知识点10：根据根与系数的关系确定方程参数的值 例10：（1）设1x 、2x 是方程()222120x k x k -+++=的两个不同的实根，且()()12118x x ++=，则k 的值是＿＿＿＿．（2）已知关于x 的方程22(23)30x k x k +-+-=有两个实数根1x ，2x ，且121211x x x x +=+，求k 值.（3）已知关于x 的方程222(2)50x m x m +++-=有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值。
根系的判别式及应用
根系的判别式及应用根系是由一个多项式的所有根所构成的集合。
判别式是用来判断多项式的根系类型的代数量，它可用于对多项式进行分类和分析。
判别式的计算公式取决于多项式的次数和系数，不同的判别式对应于不同的根系类型。
在数学中，根系的判别式及其应用具有广泛的意义和应用。
下面将介绍根系的判别式及其应用方面的内容。
第一节：根系的判别式对于一个n次多项式f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+...+an-1x+an，它的判别式可以用来判断它的根系类型。
具体而言：1. 如果判别式Δ=∏(ai-aj)^2=0，则多项式f(x)有重根。
也就是说，多项式f(x)存在至少两个根相等的情况。
2. 如果判别式Δ>0，则多项式f(x)有n个不同的实根。
这意味着多项式f(x)的根是一个由不同实数构成的集合。
3. 如果判别式Δ<0，则多项式f(x)有n个不同的复根。
也就是说，多项式f(x)的根是一个由复数构成的集合。
需要注意的是，当多项式的次数特别高时，计算判别式可能会非常复杂。
因此，在实际应用中，我们通常使用计算机来计算判别式。
第二节：根系判别式的应用根系判别式在数学和其他领域有着广泛的应用。
以下是根系判别式的一些常见应用：1. 多项式的因式分解：根系判别式可以用来判断一个多项式是否可分解，并找到它的因式。
通过判断判别式的值和类型，我们可以确定多项式是否可以被因式分解，以及如何找到它的因式。
2. 求解方程：根系判别式可以帮助我们求解各种类型的方程。
根据判别式的值和类型，我们可以确定方程的根的数量、根的类型（实根或复根）以及根的位置。
3. 研究函数的性质：根系判别式可以用来研究函数的性质，特别是在寻找函数的极值点和拐点时。
通过计算判别式的值和类型，可以确定函数的拐点和极值点的位置，并研究它们的性质。
4. 优化问题：根系判别式在一些优化问题中也有应用。
通过计算判别式的值和类型，我们可以确定函数的最大值、最小值以及它们的位置，从而得出问题的最优解。
考点04 一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系(解析版)
考点四一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系知识点整合一、一元二次方程根的判别式及根与系数关系1．根的判别式一元二次方程2(0)0ax bx c a ++=≠是否有实数根，由24b ac -的符号来确定，我们把24b ac -叫做一元二次方程根的判别式．2．一元二次方程根的情况与判别式的关系（1）当240b ac ->时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有两个不相等的实数根；（2）当240b ac -=时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠有1个（两个相等的）实数根；（3）当240b ac -<时，方程2(0)0ax bx c a ++=≠没有实数根．3．根与系数关系对于一元二次方程20ax bx c ++=（其中,,a b c 为常数，0a ≠），设其两根分别为1x ，2x ，则12b x x a +=-，12c x x a=．典例引领1．已知关于x 的一元二次方程()()22110x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根：(2)若该方程的一个根为1，求m 的值及另一个根．【答案】(1)证明见解析(2)当0m =时，方程的另一个根为0x =；当1m =时，方程的另一个根为2x =【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的相关知识是解题的关键．（1）只需要证明()()221410m m m ∆=-+-+>⎡⎤⎣⎦恒成立即可；（2）把1x =代入原方程得到20m m -=，解方程求出m 的值，进而根据m 的值解方程求出方程的另一根即可．【详解】（1）证明：由题意得，()()22141m m m ∆=-+-+⎡⎤⎣⎦依题意有：215x -+=，21x k -⋅=，解得26x =，6k =-，故k 的值为6-，方程的另一个根为6x =．9．求证：对于任意实数m ，关于x 的方程22220x mx m -+-=总有两个不相等的实数根．【答案】见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根情况，判断其根的情况，完全取决于24b ac ∆=-的符号，当0> 时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程没有实数根．【详解】解：()24422m m =--△2488m m =-+()2414m =-+．()210m -≥，∴()241440m =-+≥>△．∴对于任意实数m ，关于x 的方程22220x mx m -+-=总有两个不相等的实数根．10．已知关于x 的一元二次方程()2320x m x m ++++=．(1)求证：不论实数m 取何值，方程总有实数根；(2)当m 取何值时，方程有两个相等的实数根？【答案】(1)见详解(2)1m =-【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟记“24b ac ∆=-”是解题关键．（1）方程有实数根时240b ac ∆=-≥，由此即可求解．（2）方程有两个相等的实数根即240b ac ∆=-=，由此即可求解．【详解】（1）证明：()()2243412b ac m m ∆=-=+-⨯⨯+26948m m m =++--221m m =++()21m =+（2）由题意得，222229k k ⨯+-=，整理得，245k k -=，根据()223122023342023k k k k -+=-+，计算求解即可．【详解】（1）解：∵2229x kx k +-=，∴22290x kx k -+-=，∴()()222419360k k ∆=--⨯⨯-=>，∴此方程有两个不相等的实数根；（2）解：由题意得，222229k k ⨯+-=，整理得，245k k -=，∴()2231220233420231520232038k k k k -+=-+=+=，∴23122023k k -+的值为2038．13．已知关于x 的方程22220x mx m ++-=．(1)试说明：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；(2)若方程有一个根为3，求22122043m m ++的值．【答案】(1)证明见解析(2)2029【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，代数式求值；（1）根据一元二次方程根的判别式，进行证明即可；（2）根据方程有一个根为3，得出267m m +=-，然后整体代入求值即可．解题的关键是熟练掌握一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的根与24b ac ∆=-有如下关系：当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；当Δ0<时，方程无实数根．【详解】（1）证明：∵()()2222241244880m m m m ∆=-⨯⨯-=-+=>，∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程有一个根为3，∴223620m m ++-=，整理，得：267m m +=-，∴22122043m m ++()2262043m m =++()272043=⨯-+142043=-+2029=．14．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．(1)若该方程有一个根是2，求该方程的另一个根；(2)求证：该方程总有两个实数根．【答案】(1)1(2)见解析【分析】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，（1）直接把2x =代入到原方程中得到关于m 的方程，再解方程即可得到答案；（2）根据一元二次方程根的判别式进行证明．掌握对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，若240b ac ∆=->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac ∆=-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac ∆=-，则方程没有实数根；理解一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，是解决问题的关键．【详解】（1）解：当2x =时，4210m m -+-=3m ∴=，则原方程为：2320x x -+=，即：()()210x x --=，11x ∴=，22x =，∴另一个根1，（2）证明：()()2Δ411m m =--⨯⨯-244m m =-+()220m =-≥，∴该方程总有两个实数根；15．已知关于x 的一元二次方程()()25230x m x m +---=(1)求证：该方程总有两个实数根(2)如果该方程的两个实数根的差为4，求m 的值(2)“凤凰”方程必定有一个根是______；(3)已知方程20x mx n ++=是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，求mn 的值．【答案】(1)2230x x +-=(2)1(3)mn 2=-【分析】（1）本题主要考查一元二次方程根的情况，通过观察可以发现1x =是方程的根，直接写出一个根为1一元二次方程即可．（2）本题主要考查通过代数式观察，可以发现1x =是一元二次方程的一个根，直接求解即可．（3）本题主要考查由一元二次方程根的情况，推导出240b ac ∆=-=，可以得到一个方程，再由凤凰方程，又可以得到一个10m n ++=的方程，然后去求，m 和n 即可，最后求出mn 的值．【详解】（1）由题可知，要写出一个一元二次方程，并且满足一个根是1x =；即为：2230x x +-=．（2）关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，且满足0a b c ++=；∴1x =时，0a b c ++=；故凤凰”方程必定有一个根是1x =．（3）20x mx n ++= 是“凤凰”方程；10m n ∴++=，即1n m =--；方程20x mx n ++=有两个相等的实数根；240m n ∴∆=-=．将1n m =--代入，得()2410m m ---=；解得：2,1m n =-∴=；()212mn ∴=-⨯=-．19．已知关于x 的一元二次方程()23220x k x k ++++=．(1)求证：方程有两个实数根；(2)若方程的两个根分别为1x ，2x ，且1212217x x x x ++=，求k 的值．【答案】(1)见解析【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，根与系数的关系，解一元二次方程；（1）求出0∆>即可证明；（2）根据根与系数的关系得出1221k x k x -=++，123x x +=，结合已知等式得出关于k 的一元二次方程，解方程可得答案．【详解】（1）证明：∵()()()2222234194444452140k k k k k k k ∆=---++=+--=-+=-+>，∴无论k 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：∵方程22310x x k k ++--=有两个实数根1x ，2x ，∴1221k x k x -=++，123x x +=，又∵()()12113++=x x ，∴121213x x x x +++=，∴23131k k -+++=+，解得：12k =，21k =-．5．已知关于x 的一元二次方程220x x k ++=．(1)若方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；(2)若m 是方程的根，且222m m +=，求k 的值．【答案】(1)1k <(2)2k =-【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与一元二次方程的解的含义，理解原理的应用是解本题的关键；（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得240b ac ∆=->，求出k 的取值范围即可；（2）先由方程解的含义可得22m m k +=-，结合222m m +=即可求解．【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个不相等的实数根，∴24440b ac k ∆=-=->，解得：1k <；（2）∵m 是方程220x x k ++=的根，∴220m m k ++=即22m m k +=-，∵222m m +=，∴2k -=，解得：2k =-．6．已知关于x 的一元二次方程2210(0)nx x n -+=≠有实数根．(1)求n 的取值范围；(2)当n 取最大值时，求方程2210(0)nx x n -+=≠的根．【答案】(1)1n ≤且0n ≠(2)121x x ==【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式以及解一元二次方程．（1）根据题意，可得240b ac ∆=-≥，即440n -≥，解不等式，并根据一元二次方程的定义确定n 的取值范围即可；（2）结合n 的取值范围确定n 的最大值，然后利用配方法解该方程即可．【详解】（1）解：根据题意，一元二次方程2210(0)nx x n -+=≠有实数根，则224(2)41440b ac n n ∆=-=--⨯⨯=-≥，解得1n ≤，又∵0n ≠，∴n 的取值范围是1n ≤且0n ≠；（2）由1n ≤且0n ≠得，n 的最大值为1，把1n =代入原方程得2210x x -+=，∴2(1)0x -=，解得121x x ==．7．己知一元二次方程2410x x m -+-=．(1)若方程有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；(2)若方程有两个相等的实数根，求实数m 以及此时方程的根．【答案】(1)5m <(2)5m =，122x x ==【分析】本题考查了根的判别式，牢记“①当0∆>时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ0=时，方程有两个相等的实数根；③当Δ0<时，方程无实数根．”（1）由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出结论；（2）由方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）解：2(4)4(1)m ∆=---，方程有两个不相等的实数根，∴0∆>，解得5m <．（2） 方程有两个相等的实数根，∴Δ0=，即164(1)0m --=解得5m =(1)若所捂的部分为【详解】（1）解：∵方程有实数解是1x 和2x ，∴()22410k ∆=--≥，解得2k ≤，故k 的取值范围是2k ≤；（2）∵一元二次方程2210x x k ++-=的实数解是1x 和2x ，∴122x x +=-，121x x k ⋅=-，则()121221x x x x k +-=---，∵12121x x x x +-<-∴()211k ---<-，解得0k >，又由（1）知2k ≤，∴02k <≤，∵k 为整数，∴k 的值为1或2．13．已知关于x 的一元二次方程250x ax a ++-=．(1)若该方程的一个根为3，求a 的值及该方程的另一个根；(2)求证：不论a 为何值，该方程总有两个不相等的实数根．【答案】(1)方程的另一根为2-；(2)见解析【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，（1）将方程的根代入可求得a 的值，再根据根与系数的关系可求得另一个根；（2）用a 表示出其判别式，利用配方可化为平方的形式，可判断判别式的符号，可得出结论；掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系及根与系数的关系是解题的关键．【详解】（1）解：将3x =代入方程250x ax a ++-=可得：9350a a ++-=，解得1a =-；∴方程为260x x --=，设另一根为x ，则36x =-，。
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系【考点链接】1. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为 .（1）ac b 42->0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个 实数根，即=1x . =2x .（2）ac b 42-=0⇔一元二次方程有 相等的实数根，即==21x x .（3）ac b 42-<0⇔一元二次方程()002≠=++a c bx ax 实数根. 2． 一元二次方程根与系数的关系若关于x 的一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两根分别为1x ，2x ，那么=+21x x ，=⋅21x x .【课前热身】1．一元二次方程2210x x --=的根的情况为（ ）Ａ．有两个相等的实数根Ｂ．有两个不相等的实数根 Ｃ．只有一个实数根 Ｄ．没有实数根 2. 若方程kx 2－6x ＋1＝0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围是 .3．设x 1、x 2是方程3x 2＋4x －5＝0的两根,则=+2111x x ，.x 12＋x 22＝ . 4．关于x 的方程2x 2＋(m 2－9)x ＋m ＋1＝0，当m ＝ 时，两根互为倒数； 当m ＝ 时，两根互为相反数.5．若x 1 =23-是二次方程x 2＋ax ＋1＝0的一个根,则a ＝ ，该方程的另一个根x 2= .3．易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：① 根的判别式042≥-ac b ；② 二次项系数0a ≠，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.【典例精析】例1 当k 为何值时，方程2610x x k -+-=，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例2已知：关于x 的方程()a x ax a +-+=2202有两个不相等的实数根x 1和x 2， 求实数a 的取值范围；【中考演练】1．设x 1，x 2是方程2x 2＋4x －3＝0的两个根，则(x 1＋1)(x 2＋1)= __________，x 12＋x 22＝_________， 1211x x +＝__________，(x 1－x 2)2＝_______. 2．当c =______时，关于x 的方程2280x x c ++=有实数根．（填一个符合要求的数即可）3．一元二次方程2310x x -+=的两个根分别是12x x ，，则221212x x x x +的值是（ ）Ａ．3 Ｂ．3-Ｃ．13 Ｄ．13- 4．若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m<lB ．m>－1C ．m>lD ．m<－15．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有实数根，则实数a 的取值范围是（ ）A.a ≤1B. a<1C. a ≤-1D. a ≥16．已知关于x 的一元二次方程()2120x m x m --++=． （1）若方程有两个相等的实数根，求m 的值；（2）若方程的两实数根之积等于292m m -+。
根的判别式
90 2x40 2x 72% 90 40.
即
解：设金边的宽为 x cm，根据题意 得
x2+65x-350 ＝0.
解这个方程,得 x1 ＝5; x2 ＝-70(不合题意,舍去).
答:金链的宽应是5cm.
练习1、一群猴子分成两队,一队猴子数是猴子总数 1 的 8 的平方,另一队猴子数是12,那么猴子总数是 多少?你能解决这个问题吗? 解:设猴子总数是x只。
解设：增加了X行
(X+8)(X+12)=12×8+69
化简得
X² +20X=69
X1=3
,X =-23（舍）
2
答:增加了3行。
、解含有字母系数的一元二次方程
1、解关于X的方程mx 2 3x 1 0 1 解：当m 0，x 3 当m 0， 9 4m， 9 当9 4m 0，即m 时， 4
当x2 10 10时, 长40 2 x 20 2 10 25不合题意, 舍去. 答 : 鸡场的面积能达到180m 2 , 这时鸡场的宽为 10 10 m.
解这个方程, 得 x1 10 10 ; x2 10 10.
x
. 某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙( 墙长25m),另外三边用木栏围成,木栏长40m. 解:(1)设养鸡场的平行与墙的长为xm,根据题意得
E B
K
F H C
G D
2、课本55页问题解决2：
（课本55页1）如图，在一块长35m、宽26m的矩形地面上， 修建同样宽的两条互相垂直的道路，剩余部分栽种花草， 要使剩余部分的面积为850m2,道路的宽应为多少？
解：设道路的宽为x米
根的判别式
根的判别式一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）1. 一元二次方程2x2−2x−3＝0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定2. 下列一元二次方程没有实数根的是()A.x2−1=0B.x(x+5)=0C.x2−3x+2=0D.x2−2x+3=03. 已知关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有实数根，则m的取值范围是()A.m>1B.m<1C.m≥1D.m≤14. 已知方程x2−rx+1=0有两个相等的实数根，则r的值是( )A.2B.−2C.2或−2D.4或−45. 已知关于x的方程x2+mx+1=0根的判别式的值为5，则m=()A.±3B.3C.1D.±16. 关于x的一元二次方程(m−2)x2−2x+1=0有实数解，那么m的取值范围是( )A.m≠2B.m≤3C.m≥3D.m≤3且m≠2，若它们的图象对于任7. 已知二次函数y=ax2+bx+1，一次函数y=k(x+1)−k24意的非零实数k都只有一个公共点，则a，b的值分别为( )A.a=−1，b=−2B.a=1，b=−2C.a=−1，b=2D.a=1，b=28. 若一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是（（）A.m≤1B.m≤−1C.m≥1D.m≥−19. 一元二次方程2x2+4x+c＝0有两个相等的实数根，那么实数c的取值为（）A.c>2B.c≥2C.c＝2D.c＝10. 如果关于x的一元二次方程kx2−√2k+1x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（）A.k<12B.k<12且k≠0C.−12≤k<12D.−12≤k<12且k≠0二、填空题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分，）11. 若方程x2−3x+m=0有两个相等的实数根，则m=________，两个根分别为________．12. k=________，方程x2−(k−2)x+9=0有两个相等的实数根．13. 若关于x的一元二次方程2x2−3x+a=0有两个相等的实数根，则a的值为________.14. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且方程(a+b)x2−2cx+a=b有两个相等的实数根，则△ABC的形状是________．15. 已知关于x的一元二次方程m2x2+(2m−1)x+1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________．16. 关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，则c的取值范围为________．17. 关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是________．18. 已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有实数根，则m的取值范围是________．19. 关于x的一元二次方程x2+(2k−1)x+(k2−1)=0无实数根，则k的取值范围为________．20. 当k________时，关于x的一元二次方程x2+6kx+3k2+6=0有两个相等的实数根．三、解答题（本题共计 10 小题，每题 10 分，共计100分，）21. 已知关于x的方程x2+2(3−m)x−6m+3=0（m为常数），证明：不论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根．22. 求证：不论k为任何实数，关于x的方程x2−(k+1)x−k−3=0都有两个不相等的实数根．23. 一元二次方程x2−2x−3=0根的判别式的值是________．24. 已知关于x的一元二次方程x2−3x−k=0有两个实数根．（1）求k的取值范围．（2）求k的负整数值，并选择一个k的负整数值，求出方程的根．25. 关于x的一元二次方程x2−(2m−1)x+m2+1=0有两个实数根，求m的取值范围．26. 关于x的一元二次方程x2+2x−(n−1)＝0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若n为取值范围内的最小整数，求此方程的根．27. 已知：m2+2m−3=0．求证：关于x的方程x2−2mx−2m=0有两个不相等的实数根．28. 已知一元二次方程ax2−4x+1=0有两个不相等的实数根，求a的取值范围．29. 设实数a是不等于1的正数，证明：下列三个方程(x−a)(x−a2)=x−a3，(x−a2)(x−a3)=x−a，(x−a3)(x−a)=x−a2中至少有两个方程存在实数根．30. 已知a，b，c是三角形的三条边长，且关于x的方程(b+c)x2+√2(a−c)x−3(a−c)=0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状．4参考答案与试题解析根的判别式一、选择题（本题共计 10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】A【考点】根的判别式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答2.【答案】D【考点】根的判别式【解析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：A，Δ=4>0，故A有实数根，不符合题意；B，x(x+5)=x2+5x=0，Δ=25>0，故B有实数根，不符合题意；C，Δ=9−4×2×1=1>0，故C有实数根，不符合题意；D，Δ=4−12=−8<0，故D没有实数根，符合题意.故选D.3.【答案】D【考点】根的判别式【解析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有实数根，∴Δ=(−2)2−4m≥0，解得：m≤1．故选D.4.【答案】C【考点】根的判别式【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意，得Δ=r2−4=0，解得r=±2.故选C.5.【答案】A【考点】根的判别式【解析】先根据关于x的方程x2+mx−1＝0的根的判别式的值为5即可得出关于m的一元二次方程，求出m的值即可．【解答】解：∵关于x的方程x2+mx+1=0根的判别式的值为5，∴Δ=m2−4×1×1=5，解得m=±3．故选A.6.【答案】D【考点】根的判别式【解析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x的一元二次方程(m−2)x2−2x+1=0有实数根，∴{m−2≠0,Δ=(−2)2−4(m−2)≥0,解得：m≤3且m≠2．故选D．7.【答案】D【考点】根的判别式【解析】根据题意由y=ax2+bx+1，y=k(x+1)−k24，组成的方程组只有一组解，消去y，整理得，ax2+(b−k)x+1−k+k24=0，则Δ=(b−k)2−4a(1−k+k24)=0，整理(1−a)k2+2(2a−b)k+b2−4a=0，由于对于非零实数k都成立，故1−a=0，2a−b=0，b2−4a=0，求出a，b即可．【解答】解：根据题意得，{y=ax2+bx+1，y=k(x+1)−k24，消去y，整理得，ax2+(b−k)x+1−k+k24=0.∵它们的图象对于任意的非零实数k都只有一个公共点，则方程组只有一组解，∴Δ=(b−k)2−4a(1−k+k24)=0，∴(1−a)k2+2(2a−b)k+b2−4a=0.由于对于非零实数k都成立，∴1−a=0，2a−b=0，∴b2−4a=0，∴a=1，b=2.故选D．8.【答案】A【考点】根的判别式【解析】若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2−4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵方程有实数根，∴Δ=b2−4ac=22−4×m=4−4m≥0，解得：m≤1.故选A.9.【答案】C【考点】根的判别式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答10.【答案】D【考点】根的判别式【解析】根据方程有两个不相等的实数根，则△>0，由此建立关于k的不等式，然后就可以求出k的取值范围．【解答】解：由题意知：2k+1≥0，k≠0，Δ=2k+1−4k>0，∴ −12≤k <12，且k ≠0． 故选D ．二、 填空题 （本题共计 10 小题 ，每题 3 分 ，共计30分 ）11.【答案】94,x 1=x 2=32， 【考点】根的判别式【解析】若一元二次方程有两等根，则根的判别式△=b 2−4ac =0，建立关于m 的方程，求出m 的取值．代入原方程后求解即可得到方程的根．【解答】解：∵ 方程x 2−3x +m =0有两个相等实数根，∴ △=b 2−4ac =9−4m =0，解之得：m =94． ∴ 原方程为：x 2−3x +94=0解得：x 1=x 2=32．故答案为：94，x 1=x 2=32．12.【答案】8或−4【考点】根的判别式【解析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：∵ 方程x 2−(k −2)x +9=0有两个相等的实数根，∴ △=[−(k −2)]2−4×1×9=k 2−4k −32=0，解得：x 1=8，x 2=−4．故答案为：8或−4．13.【答案】98【考点】根的判别式【解析】根据根的判别式即可求出答案．【解答】解：由题意可知Δ=(−3)2−4×2×a =0，解得a=9．8．故答案为：9814.【答案】直角三角形【考点】根的判别式【解析】根据一元二次方程根的判别式可得△＝0，即(−2c)2−4(a+b)(a−b)＝0，整理可得到c2+b2＝a2，根据勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形．【解答】解：∵方程(a+b)x2−2cx+a=b有两个相等的实数根，∴Δ=0，即(−2c)2−4(a+b)(a−b)=0，整理，得c2−(a2−b2)=0，即c2−a2+b2=0，∴c2+b2=a2，∴△ABC的形状为直角三角形.故答案为：直角三角形.15.【答案】m<1且m≠04【考点】根的判别式【解析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．【解答】解：∵a=m，b=2m−1，c=1，方程有两个不相等的实数根，∴△=b2−4ac=(2m−1)2−4m2=1−4m>0，∴m<1．4又∵二次项系数不为0，∴m≠0即m<1且m≠0．416.【答案】c<1【考点】根的判别式【解析】本题考查了根的判别式．【解答】解：∵关于x的方程x2+2x+c=0有两个不相等的实数根，∴Δ=22−4c=4−4c>0，解得：c<1．故答案为：c<1．17.【答案】a>0【考点】根的判别式【解析】根据方程没有实数根，得到根的判别式小于0，求出a的范围即可．【解答】解：∵方程x2+a=0没有实数根，∴Δ=−4a<0，解得：a>0，故答案为：a>0.18.【答案】m≤1【考点】根的判别式【解析】先根据一元二次方程x2+2x+m=0得出a、b、c的值，再根据方程有实数根列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：由一元二次方程x2+2x+m=0，可知a=1，b=2，c=m，∵方程有实数根，∴Δ=22−4m≥0，解得m≤1．故答案为：m≤1．19.【答案】k>5 4【考点】根的判别式【解析】根据判别式的意义得到△=(2k−1)2−4(k2−1)<0，然后解不等式即可．【解答】根据题意得△=(2k−1)2−4(k2−1)<0，解得k>54．20.【答案】=±1【考点】根的判别式【解析】若一元二次方程有两个相等的实根，则根的判别式△=b2−4ac=0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围后，再作出选择．【解答】解：∵方程有两个相等的实数根，∴△=b2−4ac=(6k)2−4(3k2+6)=0；∴24k2=24，∴k=±1．故答案为：±1．三、解答题（本题共计 10 小题，每题 10 分，共计100分）21.【答案】证明：∵a=1，b=2(3−m)，c=−6m+3，∴△=b2−4ac=[2(3−m)]2−4×1×(−6m+3)=4m2+24>0，∴无论m取何值时，此方程总有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式【解析】求出方程的判别式，证明其总大于0即可．【解答】证明：∵a=1，b=2(3−m)，c=−6m+3，∴△=b2−4ac=[2(3−m)]2−4×1×(−6m+3)=4m2+24>0，∴无论m取何值时，此方程总有两个不相等的实数根．22.【答案】证明：△=(k+1)2−4(−k−3)=k2+6k+13=(k+3)2+4，∵(k+3)2≥0，∴(k+3)2+4>0，即△>0，∴关于x的方程x2+(k+3)x+k+1=0有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式【解析】先计算判别式的值得到△=(k+1)2−4(−k−3)，配方法后得△=(k+3)2+4，再根据非负数的性质得到△>0，然后根据判别式的意义即可得到结论．【解答】证明：△=(k+1)2−4(−k−3)=k2+6k+13=(k+3)2+4，∵(k+3)2≥0，∴(k+3)2+4>0，即△>0，∴关于x的方程x2+(k+3)x+k+1=0有两个不相等的实数根．23.16【考点】根的判别式【解析】根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=16，此题得解．【解答】解：∵ a=1，b=−2，c=−3，∴ Δ=b2−4ac=(−2)2−4×1×(−3)=16.故答案为：16.24.【答案】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2−3x−k=0有两个实数根，∴△≥0，∴9−4×1×(−k)≥0，∴k≥−9；4（2）由（1）可知，k的负整数值为−2，−1，当k=−2时，原方程可化为x2−3x+2=0，解得(x−1)(x−2)=0，x1=1，x2=2．【考点】根的判别式【解析】（1）根据根的判别式列出关于k的不等式解答；（2）根据（1）的结果，找出k的负整数值，选出一个代入原方程解答．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2−3x−k=0有两个实数根，∴△≥0，∴9−4×1×(−k)≥0，∴k≥−9；4（2）由（1）可知，k的负整数值为−2，−1，当k=−2时，原方程可化为x2−3x+2=0，解得(x−1)(x−2)=0，x1=1，x2=2．25.【答案】解：Δ=[−(2m−1)]2−4(m2+1)=−4m−3.∵方程有两个实数根，∴−4m−3≥0.解得，m≤−3．4【考点】根的判别式此题暂无解析【解答】解：Δ=[−(2m−1)]2−4(m2+1)=−4m−3.∵方程有两个实数根，∴−4m−3≥0.解得，m≤−3．426.【答案】根据题意得△＝22−4[−(n−1)]>0，解得n>6；因为n为取值范围内的最小整数，所以n＝1，方程化为x2+5x＝0，x(x+2)＝5，x＝0或x+2＝3，所以x1＝0，x6＝−2．【考点】根的判别式【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答27.【答案】解：∵m2+2m−3=0，∴m2+2m=3，∴△=4m2+8m=4(m2+2m)=12>0，∴原方程有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式【解析】求出根的判别式，判断其值大于0，即可得证．【解答】解：∵m2+2m−3=0，∴m2+2m=3，∴△=4m2+8m=4(m2+2m)=12>0，∴原方程有两个不相等的实数根．28.【答案】解：∵关于x的一元二次方程ax2−4x+1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0且△>0，即(−4)2−4⋅a⋅1>0，解得a<4，∴a的取值范围为a<4且a≠0．∴当a<4且a≠0时，关于x的一元二次方程ax2−4x+1=0有两个不相等的实数根．【考点】【解析】根据根的判别式建立关于a的不等式，注意a的数值不能为0，由此两者结合得出答案即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2−4x+1=0有两个不相等的实数根，∴a≠0且△>0，即(−4)2−4⋅a⋅1>0，解得a<4，∴a的取值范围为a<4且a≠0．∴当a<4且a≠0时，关于x的一元二次方程ax2−4x+1=0有两个不相等的实数根．29.【答案】解：设a>1，1<a<a2<a3，令函数y1=(x−a)(x−a2)−(x−a3)，y2=(x−a2)(x−a3)−(x−a)，y3=(x−a3)(x−a)−(x−a2)，三个函数均为二次项系数为正的二次函数，当x=a2时，y2=a−a2=a(1−a)<0，当x=a3时，y3=a2−a3=a2(1−a)<0，∴方程(x−a2)(x−a3)=x−a，(x−a3)(x−a)=x−a2存在实数根；设0<a<1，0<a3<a2<a<1，当x=a时，y1=−a+a3=a(a2−1)<0，当x=a时，y3=−a+a2=a(a−1)<0，∴方程(x−a)(x−a2)=x−a3，(x−a3)(x−a)=x−a2存在实数根；综上，三个方程(x−a)(x−a2)=x−a3，(x−a2)(x−a3)=x−a，(x−a3)(x−a)=x−a2中至少有两个方程存在实数根．【考点】根的判别式【解析】令函数y1＝(x−a)(x−a2)−(x−a3)、y2＝(x−a2)(x−a3)−(x−a)、y3＝(x−a3)(x−a)−(x−a2)，可知三个函数均为二次项系数为正的二次函数，若a>1知1<a<a2<a3，继而可得x＝a2时y2<0、x＝a3时y3<0，即第一、三两个方程有实数根，同理可判断0<a<1时方程的根的情况．【解答】解：设a>1，1<a<a2<a3，令函数y1=(x−a)(x−a2)−(x−a3)，y2=(x−a2)(x−a3)−(x−a)，y3=(x−a3)(x−a)−(x−a2)，三个函数均为二次项系数为正的二次函数，当x=a2时，y2=a−a2=a(1−a)<0，当x=a3时，y3=a2−a3=a2(1−a)<0，∴方程(x−a2)(x−a3)=x−a，(x−a3)(x−a)=x−a2存在实数根；设0<a<1，0<a3<a2<a<1，当x=a时，y1=−a+a3=a(a2−1)<0，当x=a时，y3=−a+a2=a(a−1)<0，∴方程(x−a)(x−a2)=x−a3，(x−a3)(x−a)=x−a2存在实数根；综上，三个方程(x−a)(x−a2)=x−a3，(x−a2)(x−a3)=x−a，(x−a3)(x−a)=x−a2中至少有两个方程存在实数根．30.【答案】(a−c)]=0，即2(a−c)2+3(b+解：根据题意得△=2(a−c)2−4(b+c)×[−34c)(a−c)=0，∴(a−c)(2a+3b+c)=0，∵2a+3b+c≠0，∴a−c=0，即a=c，∴原三角形为等腰三角形．【考点】根的判别式【解析】(a−c)]=0，再把等式左边分根据判别式的意义得到△=2(a−c)2−4(b+c)×[−34解得到(a−c)(2a+3b+c)=0，易得a=c，于是可判断原三角形为等腰三角形．【解答】(a−c)]=0，即2(a−c)2+3(b+解：根据题意得△=2(a−c)2−4(b+c)×[−34c)(a−c)=0，∴(a−c)(2a+3b+c)=0，∵2a+3b+c≠0，∴a−c=0，即a=c，∴原三角形为等腰三角形．。
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根的判别式和含字母的方程
1、（门头沟）已知关于x 的一元二次方程04)15(22=+++-m m x m x .
（1）求证：无论m 取何实数时，原方程总有两个实数根；
（2）若原方程的两个实数根一个大于3，另一个小于8，求m 的取值范围；
2、（丰台）关于x 的一元二次方程012)1(2=++--m mx x m ．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数.
3、（平谷）关于x 的一元二次方程023)3(2=+--x x k 有两个不相等的实数根．
（1）求k 的取值范围．（2）求当k 取何正整数时，方程的两根均为整数.
4、（通州）已知：关于x 的一元二次方程x 2＋ax ＋a －2＝0.
（1）求证：无论a 取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
（2）当方程的一个根为－2时，求方程的另一个根.
5、（怀柔）已知：关于x 的一元二次方程012)1(2
=++--m mx x m （m>1）．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根.
（2）m 为何整数时，此方程的两个实数根都为正整数？。