全称量词与存在量词例题

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全称量词与存在量词及命题练习

全称量词与存在量词练习(25分钟50分)1.(5分)给出以下命题：①任意x∈R，有x2>x；②存在α∈R，使得3α2＝α；③存在a∈R，使得x2＋a2＋1＝0.其中真命题的个数为()A．0 B．1C．2 D．3B解析：①中，当x＝0时，x2＝x，故为假命题；②中，当α＝0时，3α2＝α成立，故为真命题；③中，由于x2≥0，a2≥0，x2＋a2＋1＞1，所以是假命题，故选B.2．(5分)给出下列四个命题：①平行四边形的对角线相互平分；②矩形都不是梯形；③存在x，y∈R，x2＋y2≤1；④任意两个全等三角形的面积相等．其中全称量词命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4C解析：①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．3．(5分)下列全称量词命题中真命题的个数为()①负数的绝对值是它的相反数；②对任意的实数a，b，都有a2＋b2－2ab≥0；③二次函数y＝x2－ax－1与x轴恒有交点；④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.A．1 B．2C．3 D．4C解析：①②③为真命题．4.(5分)有下列四个命题：p 1：存在x ∈{x |x <－2}，x 2＜1；p 2：存在x ∈{x |1<x <9}，x 2＝4；p 3：任意x ∈{x |x >0}，x ＋1＜0；p 4：任意x ∈{x |1<x <2}，x 2＜4.其中为真命题的是________．p 2，p 4 解析：p 2，p 4是真命题，p 1，p 3是假命题．5.(5分)对任意x ＞3，x ＞a 恒成立，则实数a 的取值范围是________．{a |a ≤3} 解析：对任意x ＞3，x ＞a 恒成立，即大于3的数恒大于a ，∴a ≤3.实数a 的取值范围是{a |a ≤3}．6.(5分)已知命题p ：存在c ＞0，使0＜3－c ＜1，命题q ：任意x ∈R ，方程x 2＝2c －3有两个不等实数根，若p 和q 都是真命题，则实数c 的取值范围为________．{c |2＜c ＜3} 解析：因为p 和q 都是真命题，所以⎩⎨⎧0＜3－c ＜1，2c －3＞0，解得2＜c ＜3.故实数c 的取值范围为2＜c ＜3.7.(10分)判断下列命题是否为全称量词命题或存在量词命题，并判断其真假．(1)存在一个三角形，其内角和不等于180°；(2)对所有的实数a ，b ，方程ax ＋b ＝0都有唯一解；(3)存在实数x ，使得1x 2－x ＋1＝2. 解：(1)是存在量词命题，是假命题．(2)是全称量词命题，是假命题．(3)是存在量词命题，是假命题．8.(10分)已知命题p ：“任意x ∈{x |1≤x ≤2}，x 2－a ≥0”，命题q：“存在x0∈R，x20＋2x0＋1－a＝0”，若命题p，q都是真命题，求实数a 的取值范围．解：由p，q都是真命题，知p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，则a≤x2对于x∈[1，2]恒成立，所以a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2x＋1－a＝0有实根，所以Δ＝4－4(1－a)≥0，即a≥0.综上，实数a的取值范围为{a|0≤a≤1}．全称量词命题和存在量词命题的否定练习(30分钟60分)1.(5分)命题“∀x∈R，x2－x＋2＜0”的否定是()A．∃x∈R，x2－x＋2＜0B．∀x∈R，x2－x＋2≥0C．∃x∈R，x2－x＋2≥0D．∀x∈R，x2－x＋2<0C解析：“＜”的否定是“≥”，全称量词命题的否定是存在量词命题．2．(5分)设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A，2x∈B，则命题p的否定是()A．∀x∈A，2x∈BB．∀x∉A，2x∉BC．∃x∉A，2x∈BD．∃x∈A，2x∉BD解析：命题p：∀x∈A，2x∈B是一个全称量词命题，其命题的否定应为∃x∈A，2x∉B，选D.3．(5分)命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根”，则“非p”形式的命题是()A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根C解析：命题p是存在量词命题，其否定形式为全称量词命题，即¬p：对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根．4．(5分)命题“∀n∈N*，2n∈N*且n2≤n”的否定形式是()A．∀n∈N*，2n ∉N*且n2>nB．∀n∈N*，2n ∉N*或n2>nC．∃n∈N*，2n∉N*且n2>nD．∃n∈N*，2n ∉N*或n2>nD解析：“∀n∈N*，2n∈N*且n2≤n”的否定为“∃n∈N*，2n ∉N*或n2>n”，全称量词命题的否定为存在量词命题，故选D.5．(5分)已知集合A＝{x|0≤x≤3}，B＝{x|－3≤x≤2}，则下列选项中的命题为真命题的是()A．∀x1∈A，∀x2∈B, x1≤x2B．∃x1∈A，∀x2∈B, x1≤x2C．∀x1∈A，∃x2∈B, x1≥x2D．∃x1∈A，∃x2∈B, x1≤x2D解析：把集合A和B表示在数轴上，由图可知，只有D正确．6.(5分)命题“零与任意实数的积都为零”的否定为________________．有的实数与零的积不是零解析：命题“零与任意实数的积都为零”即“任意的实数与零的积都是零”，是全称量词命题，其否定为存在量词命题“有的实数与零的积不是零”．7.(5分)已知p(x)：x2＋2x－m>0，若p(1)是假命题，p(2)是真命题，则实数m的取值范围是________．{m|3≤m<8}解析：因为p(1)是假命题，所以1＋2－m≤0，解得m≥3.又因为p(2)是真命题，所以4＋4－m>0，解得m<8.故实数m的取值范围是3≤m<8.8.(12分)命题p是“对某些实数x，有x－a>0或x－b≤0”，其中a，b是常数．(1)写出命题p的否定；(2)当a，b满足什么条件时，命题p的否定为真？解：(1)命题p的否定：对任意实数x，有x－a≤0且x－b>0.(2)要使命题p的否定为真，需要使不等式组x－a≤0，x－b>0的解集不为空集，通过画数轴可看出，a，b应满足的条件是b<a.9.(13分)已知命题p：“∀x∈{x|1≤x≤4}，x－a≥0”，命题q：“∃x∈R，x2＋2x＋a－3＝0”，若命题p与q都是真命题，求实数a的取值范围．解：由题意知p为真命题，q也为真命题．若p为真命题，则a≤1.若q为真命题，则关于x的方程x2＋2x＋a－3＝0有实根，所以Δ＝4－4(a －3)≥0，即a≤4.综上，实数a的取值范围为{a|a≤1}．。

1.4.1全称量词与存在量词练习题

一、选择题1．下列全称命题中真命题的个数是（）①末位是0的整数，可以被2整除；②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；③正四面体中两侧面的夹角相等；A ．1B ．2C ．3D ．42．下列存在性命题中假命题的个数是（）①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形；A ．0B ．1C ．2D ．33．下列命题为存在性命题的是（）A ．偶函数的图象关于y 轴对称B ．正四棱柱都是平行六面体C ．不相交的两条直线是平行直线D ．有很多实数不小于34．下列命题中为全称命题的是（）A.圆内接三角形中有等腰三角形B.存在一个实数与它的相反数的和不为0C.矩形都有外接圆D.过直线外一点有一条直线和已知直线平行5．下列命题中，真命题的是（）A.一元二次方程都有两个实数根B.一切实数都有算术根C.有些直线没有倾斜角D.存在体积相等的球和正方体6．命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（）A. 所有自然数的平方都不是正数B. 有的自然数的平方是正数C. 至少有一个自然数的平方是正数D. 至少有一个自然数的平方不是正数7．命题“存在一个三角形，内角和不等于1800”的否定为（）A ．存在一个三角形，内角和等于1800B ．所有三角形，内角和都等于1800C ．所有三角形，内角和都不等于1800D ．很多三角形，内角和不等于18008． “220a b +≠”的含义是（）A ．,a b 不全为0B ． ,a b 全不为0C ．,a b 至少有一个为0D ．a 不为0且b 为0，或b 不为0且a 为09. 命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p ”形式的命题是（）A ．存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根；B ．不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根；C ．对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根；D ．至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根；10. “至多四个”的否定为（）A ．至少有四个B ．至少有五个C ．有四个D ．有五个二、填空题11．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是___________________ ；12．命题“∀x ∈R ，x 2－x+3>0”的否定是______________；13．将“勾股定理”改写为含有量词的形式是；14．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否定形式是；否命题是；三、解答题15．用符号“∀”与“∃”表示含有量词的命题（1）实数的平方大于等于0（2）存在一对实数，使2x＋3y＋3>0成立16．判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出全称量词和存在量词（1）有的集合没有真子集；（2）三角形中两边之和大于第三边；17．写出下列命题的否定：（1）存在实数x是方程5x-12＝0的根；（2）对于任意实数x，存在实数y，使x＋y>0；18. 用全称量词和存在量词符号“∀”、“∃”翻译下列命题，并写出它们的否定：（1）若2x>4，则x>2；（2）若m≥0，则x2＋x－m＝0有实数根；19. 已知a、b为实数，若x2+a x+b≤0 有非空解集，则a2－4b≥0。

高一数学全称量词与存在量词试题

高一数学全称量词与存在量词试题1.下列命题是全称命题并且是真命题的是．①每个二次函数的图象都开口向上；②对任意非正数c，若a≤b+c，则a≤b；③存在一条直线与两个相交平面都垂直；④存在一个实数x0使不等式x2﹣3x+6＜0成立．【答案】②【解析】先确定各命题中是否含有全称量词，然后再判断真假．解：①含有全称量词“每个”，所以为全称命题．当二次函数的二次项系数小于时，二次函数的图象开口向下，所以①为假命题．②含有全称量词“任意”，所以为全称命题．∵c≤0，∴b+c≤b．∵a≤b+c，∴a≤b．所以②为真命题．③含有特称量词“存在一条”，所以不是为全称命题．所以③不满足条件．④含有特称量词“存在一个”，所以不是为全称命题．所以④不满足条件．故答案为：②．点评：本题主要考查命题是否是全称命题，以及全称命题的真假判断，比较基础．2.命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是．【答案】对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．【解析】利用特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定．解：因为命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”是特称命题，根据特称命题的否定是全称命题，可得命题的否定为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．故答案为：对任何x∈R，都有x2+2x+5≠0．点评：本题主要考查特称命题的否定，比较基础．3.命题“对任何x∈R，|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是．【答案】存在x∈R，使得|x﹣2|+|x﹣4|≤3．【解析】利用全称命题的否定是特称命题，可求命题的否定．解：因为命题为全称命题，根据全称命题的否定是特称命题得到命题“对任何x∈R，|x﹣2|+|x﹣4|＞3”的否定是：存在x∈R，使得|x﹣2|+|x﹣4|≤3．故答案为：存在x∈R，使得|x﹣2|+|x﹣4|≤3．点评：本题主要考查全称命题的否定，比较基础．4.已知命题“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，求a的取值范围．【答案】[﹣8，+∞）．【解析】求出x∈[1，2]时，x2+2x的最大值，然后求出a的范围即可．解：因为命题“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题，x∈[1，2]时，x2+2x的最大值为8，所以a≥﹣8时，命题“∃x∈[1，2]，使x2+2x+a≥0”为真命题．所以a的取值范围：[﹣8，+∞）．点评：本题考查命题的真假的判断，特称命题的判断，考查基本知识的应用．5.下列存在性命题中，是真命题的是．①∃x∈R，x≤0；②至少有一个整数，它既不是合数，也不是质数；③∃x∈{x|x是无理数}，x2是无理数．【答案】①②③【解析】利用特称命题的真假的判断方法分别判断．解：①真命题，如当x=﹣1时，x≤0成立；②真命题，1既不是合数，也不是质数；③真命题，如x=，x2=为无理数．故答案为：①②③．点评：本题主要考查特称命题的真假判断，对于特称命题，存在即为真命题，否则为假命题．6.下列全称命题中是假命题的是．①2x+1是整数（x∈R）；②对所有的x∈R，x＞3；③对任意的x∈Z，2x2+1为奇数．【答案】①②【解析】根据全称命题的定义和含有量词的命题的判断方法判断命题的真假．解：①是全称命题，是假命题，当x=0.6时，2x+1=2.2，不是整数；②是全称命题，是假命题，当x=1时，x＜3；③是全称命题，是真命题，∵x∈Z，∴2x2必为偶数，∴2x2+1必为奇数．故答案为：①②．点评：本题主要考查全称命题的真假判断，比较基础．7.判断下列命题是全称命题还是存在性命题，并写出它们的否定：（1）p：对任意的x∈R，x2+x+1=0都成立；（2）p：∃x∈R，x2+2x+5＞0．【答案】（1）全称命题；￢p：存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“∃x∈R，使x2+x+1≠0成立”；（2）存在性命题；￢p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即“∀x∈R，x2+2x+5≤0”．【解析】利用全称命题和特称命题的定义分别判断，然后写出它们的否定．解：（1）由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称命题；又由于“任意的”的否定为“存在一个”，因此，￢p：存在一个x∈R，使x2+x+1≠0成立，即“∃x∈R，使x2+x+1≠0成立”；（2）由于“∃x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在性命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，￢p：对任意一个x都有x2+2x+5≤0，即“∀x∈R，x2+2x+5≤0”．点评：本题主要考查含有量词的命题的判断，以及含有量词的命题的否定，比较基础．8.判断下列命题的真假．（1）∀x∈R，|x|＞0；（2）∀a∈R，函数y=logax是单调函数；（3）∀x∈R，x2＞﹣1；（4）∃∈{向量}，使=0；（5）∃x＞0，y＞0，使x2+y2=0．【答案】（1）假命题．（2）假命题．（3）真命题．（4）真命题．（5）假命题．【解析】根据全称命题和特称命题判断条件分别判断命题的真假．解：（1）由于0∈R，当x=0时，|x|＞0不成立，因此命题“∀x∈R，|x|＞0”是假命题．（2）由于1∈R，当a=1时，y=loga x无意义，因此命题“∀a∈R，函数y=logax是单调函数”是假命题．（3）由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＞﹣1．因此命题“∀x∈R，x2＞﹣1”是真命题．（4）由于∈{向量}，当时，能使•=0，因此命题“∃∈{向量}，使•=0”是真命题．（5）由于使x2+y2=0成立的只有x=y=0，而0不是正实数，因而没有正实数x，y，使x2+y2=0，因此命题“∃x＞0，y＞0，使x2+y2=0”是假命题．点评：本题主要考查含有量词的命题的真假判断．9.已知：对∀x＞0，a≤x+恒成立，则a的取值范围为．【答案】a≤2．【解析】要使不等式恒成立，只要求出函数y=x+的最小值即可．解：∀x＞0，y=x+≥2（当且仅当x=时等号成立），所以min=2；而对∀x＞0，a≤x+恒成立，所以a≤2．故答案为：a≤2．点评：本题主要考查不等式恒成立问题，利用基本不等式求函数y=x+的最小值是解决本题的关键．10.已知命题p：∀x∈R，ax2+2x+3＞0，如果命题￢p是真命题，那么实数a的取值范围是．【答案】a≤【解析】根据命题￢p是真命题，等价于命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax2+2x+3＞0对一切x∈R恒成立，解得a的取值范围，从而得出当命题p是假命题，即命题￢p是真命题时，实数a的取值范围．解析：因为命题￢p是真命题，所以命题p是假命题，而当命题p是真命题时，就是不等式ax2+2x+3＞0对一切x∈R恒成立，这时就有，解得a＞，因此当命题p是假命题，即命题￢p是真命题时，实数a的取值范围是a≤．故答案：a≤点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了含有字母参数的不等式恒成立的知识点，属于基础题．。

高中数学选修2-1全称量词与存在量词例题解析

全称量词与存在量词例题解析【例1】试判断以下命题的真假：(1)∃x∈R，使x3＜1；(2)∃ x∈Q，使x2=2；(3)∀ x∈N，有x3＞x2；(4)∀ x∈R，有x2+1＞0．值，使【分析】要判定一个存在性命题是真，只要在限定的集合M中，至少能找到一个x=x0 )成立即可，否则，这一存在性命题就是假的．要判定一个全称命题是真，必须对限定集p(x，合M中的每一个x验证p(x)成立；但要判定全称性命题是假，却只要能举出集合M中一个x=x0 )为假即可．使得p(x【解】(1)由于x∈R，因而可取x=-1，满足x3＜1，所以命题“∃x∈R，使x3＜1”是真命题．(2)由于使x2=2成立的数只有±2，而它们都不是有理数，因此，没有任何一个有理数的平方能等于2，所以命题“∃ x∈Q，使x2=2”是假命题．(3)由于x取自然数l时，x2＞x是不成立的，因此，全称命题“∀x∈N，有x3＞x2”是假命题．(4)由于任何一个实数x的平方都是非负的，即x2≥0，因而有x2+1＞0．所以，命题“∀x∈R，有x2+1＞0”是真命题．【例2】判断下列命题是全称命题还是存在性命题：(1)与同一平面所成角相等的两条直线平行；(2)有的三角形三个内角成等差数列；(3)和圆只有一个公共点的直线与圆相切．【解析】(1)全称命题；(2)存在性命题；(3)全称命题．【例3】写出下列命题的否定： (1)菱形的对角线互相垂直； (2)平行直线的斜率相等. 【解析】(1)“菱形的对角线互相垂直”的否定是“有的菱形的对角线彼此不垂直”．(2)“平行直线的斜率相等”的否定是“存在平行的直线，它们的斜率不相等”【例4】命题q：有些三角形是直角三角形．写出它的否定命题.由此可得出一般结论：【解析】这是一个存在性命题，即“∃三角形x，x是直角三角形”．其否定命题是: ⌝q：∀三角形x，x都不是直角三角形．也就是说：“没有一个三角形是直角三角形”，或者说“没有直角三角形”．【点评】存在性命题q：∃x∈A，使p(x)成立．它的否定命题是⌝q：∀x∈A, ⌝p(x)(p(x)不成立)．。

全称量词与存在量词练习(含详解)-题型大全

全称量词与存在量词练习一、选择题（本大题共20小题，共100.0分）1.命题“∀x∈R，使得2x2+(a−1)x+12>0”成立的一个必要不充分条件可以是()A. (0,1)B. (−3,+∞)C. (−1,3)D. (−3,1)2.已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=(12)x−m，若∀x1∈[0,3],∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m 的取值范围是()A. [14,+∞) B. [12,+∞) C. (−∞,14] D. (−∞,12]3.已知函数f(x)=13x3+bx2+(b−4)x，若存在x∈[−3,−1]使得成立，则实数b的最值情况是()A. 有最大值1B. 有最大值−3C. 有最小值1D. 有最小值−34.若“∃x∈[12,2]，使得2x2−λx+1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是()A. (−∞,2√2]B. [2√2,3]C. [−2√2,3]D. λ=35.将a2+b2+2ab=(a+b)2改写成全称命题是()A. ∃a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)2B. ∃a<0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2C. ∀a>0，b>0，a2+b2+2ab=(a+b)2D. ∀a，b∈R，a2+b2+2ab=(a+b)26.已知函数f(x)=x2−2x+2，g(x)=log2x+t，对∀x1∈[0,2]，∃x2∈[12,16]使得f(x1)=g(x2)，则实数t的取值范围()A. (−∞,−2]B. [2,+∞)C. (−2,2)D. [−2,2]7.已知函数f(x)=lnx+1x−5,g(x)=x2−2ax，对于∀x1都∃x2，使f(x1)>g(x2)，则a的取值范围为()A. [−2.2]B. (0,2]C. (−2,0)D. (−∞,−2)⋃(2.+∞)8.若命题“∃x0∈R，x02+(a−1)x0+1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是()A. [−1,3]B. (−1,3)C. (−∞,−1]∪[3,+∞)D. (−∞,−1)∪(3,+∞)9.下列命题中，是真命题且是全称量词命题的是()A. 对任意的a，b∈R，都有a2+b2−2a−2b+2<0B. 菱形的两条对角线相等C. 存在x∈R，使得x2=xD. 二次函数y=x2−ax−1与x轴恒有交点10.下列命题中的假命题是()A. ∃x0∈R，sinx0+cosx0=√3B. ∃x0∈R，tanx0=2013C. ∀x>0，x>lnxD. ∀x∈R，2x>011.下列命题为真命题的是())x0≤0A. ∃x0∈R，(12B. ∀x∈R，log a x>0C. “∃x0∈R，2x0>x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”D. “∀x∈R，2x>x2”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”12.已知命题p：∃x∈R，x2+ax+a<0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是()A. 0≤a≤4B. 0<a<4C. a<0或a>4D. a≤0或a≥413.命题“∀x∈R,x2−2x+4≤0”的否定为()A. ∀x∈R,x2−2x+4≥0B. ∃x0∈R,x02−2x0+4>0C. ∀x∉R,x2−2x+4≤0D. ∃x0∉R,x02−2x0+4>014.p:∀x∈R，x2≥0的否定是()A. ¬p:∀x∈R，x2<0B. ¬p:∃x∈R，x2≤0C. ¬p:∃x∈R，x2<0D. ¬p:∀x∈R，x2≤015.若命题“∃x∈R，(k2−1)x2+4(1−k)x+3≤0”是假命题，则k的取值范围是()A. {k|1<k<7}B. {k|1≤k<7}C. {k|−7<k<1}D. {k|−7<k≤−1}16.下列关于充要条件的叙述正确的有：<1′′的充分不必要条件②′′a≠0′′是′′ab≠0′′的必要不充分条件①′′a>1′′是′′1a③′′m>0′′是“命题′′∀x∈R,x2−2x+(m+2)≠0′′为真”的必要不充分条件④命题′′p:对∀x<1，x2<1′′的否定是“存在x≥1，x2≥1′′A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个17.下列有关命题的说法正确的是()A. 若命题p ：∃x 0∈R ，e x 0<1，则命题¬p ：∀x ∈R ，e x >1；B. “sinx =√32”的一个必要不充分条件是“x =π3”；C. 若a ⃗ //b ⃗ ,b ⃗ //c ⃗ ,，则a⃗ //c ⃗ ； D. 设点A ，B ，C 不共线，则“AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为锐角”是“|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |>|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |”的充分必要条件． 18. 已知命题p:∀x >0，总有(x +1)e x >1，则¬p 为( )A. ∃x 0≤0，使得(x 0+1)e x 0≤1B. ∀x >0，总有(x +1)e x ≤1C. ∃x 0>0，使得(x 0+1)e x 0≤1D. ∃x 0≤0，总有(x 0+1)e x 0≤119. 设命题p ：所有正方形都是平行四边形.则¬p 为( )A. 所有正方形都不是平行四边形B. 有的平行四边形不是正方形C. 有的正方形不是平行四边形D. 不是正方形的四边形不是平行四边形20. 下列四个命题中真命题是( )．P 1:∀x ∈(0,1)，log 12x ≤log 13x P 2:∃x ∈(0,+∞)，(12)x≤log 12x P 3:∃x ∈(0,13)，(12)x ≥log 13x P 4:∀x ∈(0,+∞)，(12)x ≥(13)xA. P 2，P 3B. P 2，P 4C. P 1，P 3D. P 1，P 4答案和解析1.B 解：命题“∀x ∈R ，使得2x 2+(a −1)x +12>0”成立，则Δ=(a −1)2−4×2×12<0，解得−1<a <3，由，所以是命题“∀x ∈R ，使得2x 2+(a −1)x +12>0”成立的一个必要不充分条件，2.A 解：∵f(x)=ln(x 2+1),g(x)=(12)x −m ，f(x)在[0,3]上单调递增，g(x)在[1,2]上单调递减，∴x 1∈[0,3]时，f(x 1)∈[0,ln10]，x 2∈[1,2]时，g(x 2)∈[14−m,12−m]，又，使得f(x 1)≥g(x 2)，即f(x)min ≥g(x)min 恒成立， ∴只需0≥14−m ，解得m ≥14，3.A 解：f(x)=13x 3+bx 2+(b −4)x ，则f′(x)=x 2+2bx +b −4=(x +b)2−b 2+b −4f′(x)为二次函数，其开口向上且对称轴为x =−b ，而区间[−3,−1]的中点为−2，当{−b ≥−2f′(−3)≥0，即{b ≤29−6b +b −4≥0时，解得b ≤1，当{−b <−2f′(−1)≥0，即{b >21−2b +b −4≥0时，无解，若存在x ∈[−3,−1]使得f′(x)⩾0成立，必有b ≤1，即b 有最大值1， 4.A 解：∵若“∃x ∈[12,2]，使得2x 2−λx +1<0成立”是假命题，即“∃x ∈[12,2]，使得λ>2x +1x 能成立”是假命题，即“∀x ∈[12,2]，使得λ≤2x +1x 恒成立”是真命题，令f(x)=2x +1x ，x ∈[12,2]，2x +1x ⩾2√2x ·1x =2√2，当且仅当x =√22时取得最小值， ∴λ≤f (x )min =2√2，故实数λ的取值范围为5.D 解：命题对应的全称命题为：∀a ，b ∈R ，a 2+b 2+2ab =(a +b)26.D 解：由题意 f (x )∈[1,2],g (x )∈[t −1,t +4]，由条件可知f (x )⊆g (x )即[1,2]⊆[t −1,t +4]，可得−2≤t ≤2．7.D 解：根据题意，问题转化为f(x)min >g(x)min ，∵f(x)=ln x +1x −5， ∴f′(x)=1x −1x 2=x−1x 2，当0<x <1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，当x >1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴x =1时，f(x)取最小值，即f(x)min =f(1)=−4，∵g(x)=x 2−2ax =(x −a)2−a 2，∴g(x)min =g(a)=−a 2，∴−4>−a 2，即a 2>4，解得a <−2或a >2，故a 的取值范围为(−∞,−2)⋃(2.+∞)．8.D 解：命题“∃x 0∈R ，x 02+(a −1)x 0+1<0”的否定是假命题，则命题“∃x 0∈R ，x 02+(a −1)x 0+1<0”是真命题，即Δ=(a −1)2−4>0，解得a −1>2或a −1<−2，即a >3或a <−1；∴实数a 的取值范围是(−∞,−1)∪(3,+∞)．9.D 解：A 中含有全称量词“任意的”，故是全称量词命题．由于a 2+b 2−2a −2b +2=(a −1)2+(b −1)2≥0，故A 是假命题．B ，D 中在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，故是全称量词命题．菱形的两条对角线不一定相等，所以B 是假命题．C 是存在量词命题．10.A 解：对于A ，，所以A 不正确；因为y =tanx ∈R ，所以B 正确；令g(x)=e x −x ，g ′(x)=e x −1，x >0时，g ′(x)>0，g(x)>g(0)=1，因为x =lne x >lnx ，当x >0恒成立，所以C 正确；由指数函数的性质可知D 正确．11.C 解：因为y =(12)x ∈(0,+∞)，所以选项A ：∃x 0∈R ，(12)x 0≤0，不正确；∀x >0，log a x ∈R ，所以选项B ：∀x ∈R ，log a x >0，不正确；“∃x 0∈R ，2x 0>x 02”的否定为“∀x ∈R ，2x ≤x 2”满足命题的否定形式，正确；“∀x ∈R ，2x >x 2”的否定为“∀x ∈R ，2x ≤x 2”不满足命题的否定形式，所以D 不正确． 12.A 解：假设p 为真，则∃x ∈R ，x 2+ax +a <0．由Δ>0得a >4或a <0．∵p 为假，∴0≤a ≤4．13.B 解：命题“∀x ∈R,x 2−2x +4≤0”的否定为∃x 0∈R,x 02−2x 0+4>014.C 解：因为命题是全称命题，根据全称命题的否定是特称命题，所以命题的否定：∃x ∈R ，x 2<0． 15.B 解：由题可知，命题是真命题．当k 2−1=0，k =1或k =−1；若k =1，则原不等式为3>0，恒成立.符合题意：若k =−1，则原不等式为8x +3>0，不恒成立，不符合题意．当k 2−1≠0时，依题意得{k 2−1>016(1−k)2−4(k 2−1)×3<0, 即{(k +1)(k −1)>0(k −1)(k −7)<0，解得1<k <7．综上所述，实数k 的取值范围为{k|1≤k <7}．16.B 解：①a >1时有0<1a <1，故′′a >1′′是′′1a <1′′的充分条件，a =−1也有1a <1，但a >1不成立，故′′a >1′′不是′′1a <1′′的必要条件，故①正确;②a =0，b =0时有ab =0，故“a ≠0′′不是′′ab ≠0′′的充分条件，ab ≠0时必然有a ≠0,b ≠0，故′′a ≠0′′是′′ab ≠0′′的必要条件，故②正确;，即此方程无实根，Δ=4−4(m +2)=−4(m +1)<0，解得m >−1，显然故③错误;④按命题的否定，命题p 的否定是′′∃x <1,x 2⩾1′′，故④错误， 17.D 略18.C 解：命题p 的否定为：“∃x 0>0，使得(x 0+1)e x 0≤1”，19.C 解：由题意知命题p ：所有正方形都是平行四边形，该命题为全称命题，则¬p 为特称命题，且否定p 的结论，故¬p 为：有的正方形不是平行四边形． 20.A 解：对于P 1，令，所以log 12x ≤log 13x 不成立，故P 1错误；对于P 2，令x =12满足(12)x ≤log 12x 成立，故P 2正确；对于P 3，由函数图像可知，正确；，对于P 4，由y =(12)x ,y =(13)x 图像可知，不正确．故选A ．。

2.3全称量词命题与存在量词命题(解析版)

§2.3 全称量词命题与存在量词命题题型一：全称命题的否定及其真假判断1．已知命题p ：∃n ∃N ，n 2>3，则﹁p 为（）A ．∃n ∃N ，n 2≤3B ．∃x ∃N ，n 2≤3C ．∃n ∃N ，n 2>3D ．∃n ∃N ，n 2＝3【答案】A【点拨】根据特称命题的否定形式，即可判断选项.【详解】根据特称命题的否定形式，可知:p x N ⌝∀∈，23n ≤.故选：A2．命题“x ∃∈R ，12y <≤”的否定形式是（）A ．x ∀∈R ，12y <≤B ．x ∃∈R ，1y <或2y >C ．x ∀∈R ，1y ≤或2y >D ．x ∃∈R ，1y ≤或2y >【答案】C【点拨】根据特称命题的否定直接求解即可.【详解】命题“x ∃∈R ，12y <≤”的否定形式是x ∀∈R ，1y ≤或2y >.故选：C.3．命题“∃实数x ，使1x >”的否定是（）A ．∀实数x ，都有1x >B ．∃实数x ，使1x <C ．∀实数x ，都有1x ≤D ．∃实数x ，使1x ≤【答案】C【点拨】根据存在量词命题的否定是全称量词命题可得答案．【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以命题“∃实数x ，使1x >”的否定是“∀实数x ，都有1x ≤”.故选：C ．4．命题“0x ∃>，2230x x -+<”的否定是（）A ．0x ∃≤，2230x x -+<B ．0x ∀≤，2230x x -+<C ．0x ∃>，2230x x -+≥D ．0x ∀>，2230x x -+≥一维练基础【答案】D【点拨】将特称命题否定为全称命题即可.【详解】命题“0x ∃>，2230x x -+<”的否定是“0x ∀>，2230x x -+≥”，故选：D5．命题:p x Z ∃∈，0x <，则p ⌝是（）A ．x Z ∀∈，0x ≤B ．x Z ∀∈，0x ≥C ．x Z ∃∈，0x ≤D ．x Z ∃∈，0x ≥【答案】B【点拨】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；【详解】解：命题:p x Z ∃∈，0x <，为特称量词命题，其否定为x Z ∀∈，0x ≥；故选：B题型二：特称命题的否定及其真假判断1．命题“0x ∀>，220x +≥”的否定是（）A ．0x ∃>，220x +<B ．0x ∀>，220x +<C ．0x ∃≤，220x +<D ．0x ∀≤，220x +<【答案】A【点拨】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定.【详解】0x ∀>，220x +≥的否定是0x ∃>，220x +<．故选：A ．2．命题“x ∀∈R ，210x -<”的否定是（）A ．x ∀∈R ，210x -B ．x ∃∈R ，210x -C ．x ∃∈R ，210x -D ．x ∀∈R ，210x -<【答案】B【点拨】全称量词命题的否定，是把全称量词改成存在量词，并把后面的结论否定.【详解】根据全称命题的否定是特称命题可得，命题“x ∀∈R ，210x -<”的否定是“x ∃∈R ，210x -”. 故选：B.3．命题p ：(0,),310x x ∀∈+∞+<则命题p 的否定为（）A ．(0,),310x x ∀∈+∞+>B ．(0,),310x x ∃∈+∞+>C ．(0,),310x x ∀∉+∞+≥D ．(0,),310x x ∃∈+∞+≥【答案】D【点拨】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.【详解】解：因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题p 的否定为(0,),310x x ∃∈+∞+≥.故选：D.4．命题“20,10x x x ∀>-->”的否定是（）A ．20,10x x x ∃>--≤B ．20,10x x x ∀>--≤C ．20,10x x x ∃≤--≤D ．20,10x x x ∀≤--≤【答案】A【点拨】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】由题意，命题“20,10x x x ∀>-->”是全称量词命题，根据全称命题与存在性命题的关系，可得其否定是“2“0,10x x x ∃>--≤”.故选：A.5．命题“0x ∀≠，222x x +≥”的否定是（） A ．0x ∀≠，222x x +<B ．0x ∃=，222x x +≥ C ．0x ∃≠，222x x +<D ．0x ∃=，222x x+< 【答案】C【点拨】全称命题的否定是特称命题，按规则否定即可【详解】命题“0x ∀≠，222x x +≥”的否定是： 0x ∃≠，222x x+<，故选：C1．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（）A ．矩形的两条对角线垂直B ．对任意a ，b ∈R ，都有a 2 + b 2 ≥ 2（a ﹣b ﹣1）C ．∃x ∈R ， |x | + x = 0D ．至少有一个x ∈Z ，使得x 2 ≤ 2成立二维练能力【答案】B【点拨】根据全称量词和特称量词命题的定义判断，全称量词命题要为真命题必须对所以的成立，对选项逐一判断即可.【详解】A 选项为全称量词命题，却是假命题，矩形的两条对角线相等，并不垂直，故A 错误. C,D 选项是特称量词命题，故错误.B 选项是全称量词命题，用反证法证明，因为()()2222222110a b a b a b +-++=-++≥所以对,a b ∀∈R ,()2221a b a b +--≥,故B 正确. 故选:B.2．下列选项中，可以作为a b >的必要不充分条件的是（）A ．0x ∃≤，a x b +>B ．0x ∃<，a x bC ．0x ∀≥，a b x >-D ．0x ∀≥，a b x -≥【答案】D【点拨】根据充要条件和必要条件的概念，直接判定即可.【详解】A ，B ，C 选项均等价于a b >，D 选项等价于a b ≥，而a b ≥是a b >的必要不充分条件. 故选:D.3．下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（）．A ．实数都大于0B ．有些菱形是正方形C ．三角形内角和为180°D ．有小于1的自然数【答案】C【点拨】B 、D 不是全称命题，A 、C 是全称命题而A 显然错误.【详解】实数都大于0，是全称命题，但不是真命题，所以A.选项错误；有些菱形是正方形，不是全称命题，所以B 选项错误；三角形内角和为180°，是真命题，也是全称命题，所以C 选项正确；有小于1的自然数，是真命题，但不是全称命题，所以D 选项错误.故选：C.4．下列四个命题中的真命题为（）A ．0x Z ∃∈，0143x <<B ．0x Z ∃∈，0410+=xC ．∃x ∃R ，210x -=D ．∃x ∃R ，2220x x -+≥【答案】D【点拨】根据全称命题和特称命题的定义进行推理即可．【详解】若1＜04x ＜3，得14＜0x 34＜，则0Z x ∉，故A 错误，由0410+=x 得0x 14=-，则0Z x ∉，故B 错误，由210x -=得1x =±，故C 错误，()2222110-+=-+≥x x x 恒成立，故D 正确，故选：D ．5．已知集合{}|0A x x a =≤≤，集合{}22|34B x m x m =+≤≤+，如果命题“m ∃∈R ，A B ⋂≠∅”为假命题，则实数a 的取值范围为______.【答案】(),3-∞【点拨】先由题意得到“m ∀∈R ，A B =∅”为真命题，讨论0a <和0a ≥两种情况，即可求出结果.【详解】命题“m ∃∈R ，A B ⋂≠∅”为假命题，则其否定“m ∀∈R ，A B =∅”为真命题.当0a <时，集合A =∅，符合A B =∅.当0a ≥时，因为230m +>，所以由m ∀∈R ，A B =∅，得23a m <+对于任意m ∈R 恒成立，又233m +≥，所以03a ≤<.综上，实数a 的取值范围为(),3-∞.故答案为：(),3-∞.6．已知命题“x ∀∈R ，220x x m -+>”为假命题，则实数m 的取值范围为______．【答案】1m【点拨】根据命题的否定与原命题真假性相反，即可得到x ∃∈R ，220x x m -+≤为真命题，则0∆≥，从而求出参数的取值范围；【详解】解：因为命题“x ∀∈R ，220x x m -+>”为假命题，所以命题“x ∃∈R ，220x x m -+≤”为真命题，所以()2240m ∆=--≥，解得1m ；故答案为：1m7．若命题2:R,21p x x x ∃∈-≥-，则p 的否定为_____________．【答案】2R,21x x x ∀∈-<-【点拨】根据给定条件利用含有一个量词的命题的否定方法直接写出p 的否定作答.【详解】命题2:R,21p x x x ∃∈-≥-，则命题p 是存在量词命题，其否定是全称量词命题，所以p 的否定是：2R,21x x x ∀∈-<-.故答案为：2R,21x x x ∀∈-<-8．已知命题2:,20p x R x x a ∀∈++≥恒成立；2:,10q x R x ax ∃∈-+<，若p ，q ⌝均为真，则实数a 的取值范围__________．【答案】[]1,2【点拨】根据题意得到命题p 为真命题，q 为假命题，结合二次函数的图象与性质，即可求解.【详解】根据题意，命题p ，q ⌝均为真命题，可得命题p 为真命题，q 为假命题，由命题2:,20p x R x x a ∀∈++≥恒成立，可得21240a ∆=-≤，解得1a ≥；又由命题2:,10q x R x ax ∃∈-+<为假命题，可得22()40a ∆=--≤，解得22a -≤≤，所以12a ≤≤，即实数a 的取值范围为[]1,2.故答案为：[]1,2.9．写出下列命题的否定．(1)有些四边形的四个顶点在同一个圆上；(2)x ∀∈Q ，211123x x -+∈Q ； (3)所有能被3整除的数都是奇数；(4)1∃<a ，12a a+=； (5)不论m 取何实数，方程20x x m +-=必有实数根．【答案】(1)所有四边形的四个顶点不在同一个圆上(2)x ∃∈Q ，211123x x -+∉Q (3)有些能被3整除的数不是奇数(4)1a ∀<，12a a+≠ (5)存在实数m ，使得20x x m +-=没有实数根【点拨】首先分析命题是全称命题还是特称命题，再根据全称命题和特称命题的否定形式，即可求解.【详解】（1）此命题是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即“所有四边形的四个顶点不在同一个圆上”；（2）此命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题，即“x ∃∈Q ，211123x x -+∉Q ”；（3）此命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题，即“有些能被3整除的数不是奇数”；（4）此命题是特称命题，特称命题的否定是全称命题，即“1a ∀<，12a a+≠”；（5）此命题是全称命题，全称命题的否定是特称命题，即“存在实数m ，使得20x x m +-=没有实数根”. 10．判断下列命题的真假：(1)Z x ∃∈，22x =；(2)R x ∃∈，22x =；(3)线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；(4)平面上任意两条直线必有交点．【答案】(1)假命题；(2)真命题；(3)真命题；(4)假命题【点拨】解方程，即可判断（1）（2），根据垂直平分线的性质判断（3），根据平面内两直线的位置关系判断（4）；【详解】（1）解：若22x =，解得2x =±，因为2±不是整数，故命题“Z x ∃∈，22x =”为假命题；（2）解：若22x =，解得2x =±，因为2R ±∈，故命题“R x ∃∈，22x =”为真命题；（3）解：根据垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；故命题：“线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；”为真命题；（4）解：平面上两条直线的位置关系有相交与平行，当两直线平行时，两直线没有交点，故命题“平面上任意两条直线必有交点．”为假命题；1．命题“[]1,2x ∀∈，230x a -≥”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．2a ≤B ．2a ≥C ．3a ≤D ．4a ≤【答案】A【点拨】根据不等式恒成立求出命题为真命题时a 的范围，再选择其真子集即可求解.【详解】若“[]21,2,30x x a ∀∈-≥为真命题，得23a x ≤对于[]1,2x ∈恒成立，只需()2min 33a x ≤=，三维练素养所以2a ≤是命题“[]21,2,30x x a ∀∈-≥为真命题的一个充分不必要条件，故选：A.2．下列说法错误的是（）A ．命题“x ∃∈R ，210x x ++<”，则p ⌝：“x ∀∈R ，210x x ++≥”B ．已知a ，b ∈R ，“1a >且1b >”是“1ab >”的充分而不必要条件C ．“1x =”是“2320x x -+=”的充要条件D ．若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件【答案】C【点拨】根据充分条件，必要条件，全称与特称命题的否定依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A 选项，命题p ：“x ∃∈R ，210x x ++<”，则，p ⌝：“x ∀∈R ，210x x ++≥”满足命题的否定形式，所以A 正确；对于B 选项，已知a ，b ∈R ，“1a >且1b >”能够推出“1ab >，“1ab >”不能推出“1a >且1b >”，所以B 正确；对于C 选项，1x =时，2320x x -+=成立，反之，2320x x -+=时，1x =或2x =，所以C 不正确；对于D 选项，若p 是q 的充分不必要条件，则q 是p 的必要不充分条件，满足充分与必要条件的定义，所以D 正确．故选：C ．3．给出下面四个命题：∃x R ∀∈，11x +≥；∃x R ∀∈，0x x +≥；∃x R ∃∈，2x 的个位数字等于3；∃x R ∃∈，210x x -+=.其中真命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【点拨】∃根据不等式性质和全称命题定义判断；∃根据不等式性质和称命题定义判断；∃用例举法判断；∃用一元二次方程根的判断式判断.【详解】对于∃，因为0x ≥，所以x R ∀∈，11x +≥，所以∃对；对于∃，当0x ≥时，20x x x +=≥，当0x <时，00x x +=≥，所以x R ∀∈，0x x +≥成立，所以∃对；对于∃，设10x a b =+，{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9b ∈，()22210102x a ab b =++，2x 的个位数字等于2b 的个位数字，所以2x 的个位数字都不等于3，所以∃错；对于∃，因数()2141130∆=--⨯⨯=-<，所以方程210x x -+=无实数解，所以∃错.故选：B. 4．下列四个命题中，假命题是（）A ．1,2x R x x∀∈+≥B ．2,5x R x x ∃∈-> C ．,|1|0x R x ∃∈+<D ．,|1|0x R x ∀∈+>【答案】ACD【点拨】取0x <，可判断A ；取3x =，可判断B ；根据绝对值的定义，可判断C ；取1x =-，可判断D【详解】对于A 中，当0x <时，10x x+<不成立，所以命题“1,2x R x x ∀∈+≥”是假命题；对于B 中，取3x =时，265x x -=>，所以命题“2,5x R x x ∃∈->”为真命题；对于C 中，根据绝对值的定义，可得10x +≥恒成立，所以命题“,10x R x ∃∈+<”是假命题；对于D 中，当1x =-时，10x +=，所以命题“,10x R x ∀∈+>”为假命题.故选：ACD5．下列命题中，真命题的是（）A ．0a b +=的充要条件是1a b=- B ．1a >，1b >是1ab >的充分条件C ．命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“R x ∀∈都有210x x ++≥”D ．“1x >”是“220x x +->”的充分不必要条件【答案】BCD【点拨】根据充分必要条件的定义，命题的否定的定义判断．【详解】0a b 时，0a b +=，但a b无意义，A 错； 1,1a b >>时一定有1ab >，而当2,3a b =-=-时，61ab =>，但1,1a b <<，充分性正确，B 正确；由存在命题的否定是全称命题，命题“R x ∃∈，使得210x x ++<”的否定是“R x ∀∈都有210x x ++≥”，C 正确；22(1)(2)0x x x x +-=-+>，2x <-或1x >，因此D 正确．故选：BCD ．6．下列语句是假命题的是______（填序号）．∃所有的实数x 都能使2360x x -+>成立；∃存在一个实数0x ，使200360x x -+<成立； ∃存在一个实数0x ，使200360x x -+=．【答案】∃∃【点拨】由二次方程2360x x -+=的判别式可得二次函数的性质，进而可判断∃∃∃是否正确，可得正确答案.【详解】因为在2360x x -+=中，()2346150=--⨯=-<∆，所以2360x x -+=无解，2360x x -+>恒成立．所以所有的实数x 都能使2360x x -+>成立；∃是真命题，不存在实数0x ，使200360x x -+<成立，∃是假命题，不存在实数0x ，使200360x x -+=，∃是假命题，所以∃∃是假命题．故答案为：∃∃.7．命题“对2,210x R ax x ∀∈++≥”为真命题，则实数a 的最小值是_______.【答案】1【点拨】分两种情况讨论a ，根据不等式恒成立，结合抛物线的图象，列不等式求解即可.【详解】当0a =时，210x +≥不恒成立，为假命题，不符合题意；当0a ≠时，要使x R ∀∈，2210ax x ++≥为真命题，则需201440a a a >⎧⇒≤⎨∆=-≤⎩，综上可得实数a 的最小值是1.故答案为：18．已知命题:p {|620}x x x ∃∈≤≤，2x a < ，命题:q 2R,20x x x a ∀∈+->.(1)若命题p 和命题q ⌝有且只有一个为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若命题p 和命题q 至少有一个为真命题，求实数a 的取值范围.【答案】(1)[1,3]-;(2)(,1)(3,)-∞-⋃+∞.【点拨】(1)先分别解出当命题p 、q 均为真时，实数a 的范围,再分p 真q ⌝为假和p 假q ⌝为真两种情况分别求解后取并集即可；(2)运用补集思想，结合(1)中p 假q 假的结论，即可求得结论.【详解】（1）解：当命题p 为真时有：26a >，解得3a >;当命题q 为真时有：440a ∆=+<，解得：1a <-，又命题p 和命题q ⌝有且只有一个为假命题，当p 真时，q ⌝为假，即p 真q 真，所以31a a >⎧⎨<-⎩，无解；当p 假时，q ⌝为真，即p 假q 假，所以31a a ≤⎧⎨≥-⎩，解得13a -≤≤. 综上所述，实数a 的取值范围为：[1,3]-;（2）解：由(1)可知当p 假q 假时，13a -≤≤.所以当命题p 和命题q 至少有一个为真命题时，实数a 的取值范围为：(,1)(3,)-∞-⋃+∞。

高中数学(必修一)第一章全称量词与存在量词练习题

高中数学（必修一）第一章全称量词与存在量词练习题（含答案解析）学校:___________姓名：___________班级：_______________一、单选题1．下列命题中，是全称量词命题的是（）A ．R x ∃∈，20x ≤B ．当3a =时，函数()f x ax b =+是增函数C ．存在平行四边形的对边不平行D ．平行四边形都不是正方形2．下列命题中是全称量词命题的个数为（）①任意一个自然数都是正整数；①有的等差数列也是等比数列；①三角形的内角和是180︒．A ．0B ．1C ．2D ．33．下列命题中是存在量词命题的是（）A ．①x ①R ，x 2＞0B ．①x ①R ，x 2≤0C ．平行四边形的对边平行D ．矩形的任一组对边相等4．下列命题是全称量词命题的是（）A ．有些平行四边形是菱形B ．至少有一个整数x ，使得23x x +是质数C ．每个三角形的内角和都是180°D ．x ∃∈R ，220x x ++=5．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（）A ．实数都大于0B ．梯形两条对角线相等C ．有小于1的自然数D ．三角形内角和为180度6．设非空集合P ，Q 满足P Q Q ⋃=，则下列命题正确的是（）A ．x P ∀∈，x Q ∈B ．∃∈x Q ，x P ∉C ．x P ∃∈，x Q ∉D ．x Q ∀∈，x P ∉7．给出下列命题:①若a b b c-=-，则-a ，b ，-c 成等比数列(abc ≠0)；①若b 2=ac ，则a ，b ，c 成等比数列；①若an+1=anq (q 为常数)，则{an }是等比数列.其中正确的命题有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题8．根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为_______________.13+23＝（1+2）2，13+23+33＝（1+2+3）2，13+23+33+43＝（1+2+3+4）2，13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2，……9．已知集合{}25A x x =-≤≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若命题:p x B ∀∈，x A ∈是真命题，则m 的取值范围为______．10．若“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题，则实数a 的最小值为______．三、双空题11．下列命题中，是全称量词命题的是________,是存在量词命题的是________.（1）正方形的四条边相等；（2）所有两个角是45︒的三角形都是等腰直角三角形；（3）正数的平方根不等于零；（4）至少有一个正整数是偶数；（5）所有正数都是实数吗？四、解答题12．判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题：（1）任意的m ＞1方程x 2﹣2x +m ＝0无实数根；（2）存在一对实数 x ，y ，使2x +3y +3＞0成立；（3）存在一个三角形没有外接圆；（4）实数的平方大于等于0.13．判断下列语句是不是命题，如果是，说明是全称命题还是特称命题．（1）任何一个实数除以1，仍等于这个数；（2）三角函数都是周期函数吗？（3）有一个实数x，x不能取倒数；（4）有的三角形内角和不等于180︒．14．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)有理数都是实数；(2)至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除；(3)∀x①{x|x＞0}，x1x+＞2．15．ABC的三边长分别为a，b，c，试判断命题“若222a b c ab bc ca++=++，则ABC为等边三角形”是真命题还是假命题，并证明你的结论．参考答案与解析：1．D【分析】全称命题是含有全称量词的命题，全称量词有所有，任意，每一个. A C选项是特称命题，细化分析B选项存在一个3a=使得函数是增函数，所以B选项也是存在命题. D选项是全称命题.【详解】全称命题是含有全称量词的命题，全称量词有所有，任意，每一个.A C选项含有存在量词：存在，所以是特称命题，B选项存在一个3a=使得函数是增函数，所以B选项也是特称命题. D选项所有的平行四边形都不是正方形，所以是全称命题.故选：D.2．C【分析】利用含有全称量词的命题为全称量词命题对①①①逐个进行分析，即可得到结果.【详解】命题①含有全称量词，为全称量词命题；命题①含有存在量词，为存在量词命题；命题①可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，为全称量词命题．故有2个全称量词命题．故选:C．3．B【分析】判断每个命题的量词，即可判断选项.【详解】A含有全称量词①，为全称量词命题，B含有存在量词①，为存在量词命题，满足条件．C省略了全称量词所有，为全称量词命题，D 省略了全称量词所有，为全称量词命题.故选：B ．4．C【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义即可得到答案.【详解】根据全称量词和存在量词命题的定义可知，A ，B ，D 是存在量词命题，C 是全称量词命题．故选：C.5．D【分析】利用全称量词的定义，分别判断选项.【详解】A.实数都大于0，是全称量词命题，假命题；B.梯形两条对角线相等，是全称量词命题，假命题；C.有小于1的自然数，是特称命题，真命题；D.三角形的内角和为180度，是全称量词命题，真命题.故选：D6．A【分析】由已知得P Q ⊆，再依次判断选项.【详解】因为非空集合P ，Q 满足P Q Q ⋃=，所以P Q ⊆，对于AC ，由子集的定义知P 中任意一个元素都是Q 中的元素，即x P ∀∈，x Q ∈，故A 正确，C 错误；对于BD ，由P Q ⊆，分类讨论：若P 是Q 的真子集，则∃∈x Q ，x P ∉；若P Q =，则x Q ∀∈，x P ∈；故 BD 错误．故选：A ．7．B【分析】根据等比数列定义结合对命题①，①，①的题设条件进行分析即可判断作答.【详解】对于①，题设条件与等比数列定义相一致，①正确；对于①，满足题设条件的a ，b ，c 值有a =b =0或c =b =0或a =b =c =0之一发生时, a ，b ，c 不成等比数列；对于①，满足题设条件的q=0时，{an }不是等比数列，即命题①，①，①中，只有①是正确的命题.故选：B8．∀n ①N *，13+23+33+…+n 3＝（1+2+3+…+n ）2【分析】观察到从1开始加，连续的几个数的三次方相加，就得其和的三次方，总结一下就是：任意从1开始的连续n 个整数的三次方和等于其和的三次方.【详解】解：根据已知条件的规律结合13＝12可得：∀n ①N *，13+23+33+…+n 3＝（1+2+3+…+n ）2.故答案为：∀n ①N *，13+23+33+…+n 3＝（1+2+3+…+n ）29．{}3m m ≤【分析】由题可得B A ⊆，然后分类讨论根据集合的包含关系即得.【详解】由于命题:p x B ∀∈，x A ∈是真命题，所以B A ⊆,当B =∅时，121m m +>-，解得2m <；当B ≠∅时，12112215m m m m +≤-⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，解得23m ≤≤，综上，m 的取值范围是{}3m m ≤．故答案为：{}3m m ≤．10．3【分析】由题意可知命题的否定是真命题，从而可求出a 的取值范围，进而可求得a 的最小值【详解】“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”的否定为“[1,1]x ∀∈-，都有20x a +-≤”，因为“[]01,1x ∃∈-，020x a +->”为假命题，所以“[1,1]x ∀∈-，都有20x a +-≤”为真命题，所以2a x +≥在[1,1]x ∈-上恒成立，所以3a ≥，所以实数a 的最小值为3，故答案为：311．（1）（2）（3）（4）【分析】利用全称量词命题和存在量词命题和定义判断即可【详解】（1）表示所有的正方形，所以是全称量词命题，（2）含有全称量词，所以是全称量词命题，（3）表示所有的正数，所以是全称量词命题，（4）含有存在量词，所以是存在量词命题，（5）不是命题，故答案为：（1）（2）（3），（4）12．（1）全称命题；∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根；（2）特称命题；∃一对实数x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）特称命题；∃一个三角形没有外接圆；（4）全称命题；∀x①R，x2≥0.【分析】根据全称命题和特称命题的定义进行逐一求解即可.【详解】解：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为：∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根；（2）存在一对实数x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个特称命题，用符号表示为：∃一对实数x，y，使2x+3y+3＞0成立；（3）存在一个三角形没有外接圆，是一个特称命题，用符号表示为：∃一个三角形没有外接圆；（4）实数的平方大于等于0，是一个全称命题，用符号表示为：∀x①R，x2≥0.13．（1）是全称命题；（2）不是命题；（3）是特称命题；（4）是特称命题．【分析】（1）根据题中包含的全称量词可确定为全称命题；（2）根据命题的概念即可确定答案；（3）根据题中的描述可确定为特称命题；（4）根据题中的描述可确定为特称命题.【详解】解：对于（1），任何一个实数除以1，仍等于这个数，是命题，且是全称命题；对于（2），三角函数都是周期函数吗？不是判断句故不是命题；对于（3），有一个实数x，x不能取倒数，是命题，是特称命题；对于（4），有的三角形内角和不等于180 ，是命题，是特称命题．14．(1)全称量词命题，且是真命题(2)是存在量词命题，是真命题(3)是全称量词命题，假命题【分析】（1）（2）（3）根据特称命题和全称命题的定义判断即可．（1）命题中隐含了全称量词“所有的”，所以此命题是全称量词命题，且是真命题．（2）命题中含有存在量词“至少有一个”，所以此命题是存在量词命题，举例99既能被11整除，又能被9整除，所以是真命题．（3）命题中含有全称量词“∀”，所以此命题是全称量词命题，因为当x ＝1时，x 1x+=2，所以命题是假命题． 15．真命题，证明见解析【分析】直接配方化简即得解.【详解】解：是真命题，证明如下：因为222a b c ab bc ca ++=++，所以2220a b c ab bc ca +--+-=，所以()()()2220a b b c c a -+-+-=，所以0a b -=，0b c -=，0c a -=，即a b c ==．所以ABC 为等边三角形．所以原命题是真命题.。

高考数学专项：全称量词与存在量词(习题作业)解析版

1.5全称量词与存在量词一、单选题1．命题“R x ，0x x ．”的否定是（）A ．R x ，0x xB ．R x ，0x xC ．R x ，0x xD ．R x ，0x x 【答案】B【分析】根据存在量词命题的否定形式，直接判断选项.【详解】因为存在量词命题的否定是全称存在量词命题，所以命题“R x ，0x x ．”的否定是“R x ，0x x ”.故选：B2．命题“0x ，2560x x ”的否定为（）A ．0x ，2560x x B ．0x ，2560x x C ．00x ，200560x x D ．00x ，200560x x 【答案】C【分析】根据全称命题的否定为特称命题判断即可.【详解】根据全称命题的否定可得，命题“0x ，2560x x ”的否定为“00x ，200560x x ”.故选：C3．命题“ 21,3,320x x x ”的否定为（）A ． 20001,3,320x x x B ． 21,3,320x x x C ． 21,3,320x x x D ． 20001,3,320x x x 【答案】A【分析】根据全称命题的否定：任意改存在并否定结论，即可得答案.【详解】由全称命题的否定为特称命题知：原命题的否定为 20001,3,320x x x .故选：A4．命题“ 0,a ，sin a a ”的否定形式是（）A ． 0,a ，sin a aB ． 0,a ，sin a aC ． ,0a ，sin a aD ． ,0a ，sin a a【答案】A【分析】直接根据特称命题的否定是全称命题得到答案.【详解】特称命题的否定是全称命题，命题“ 0,a ，sin a a ”的否定形式是 0,a ，sin a a .故选：A.5．命题 :15p x x x ，245x x ，则命题p 的否定是（）A ． 15x x x ，245x xB ． 15x x x ，245x xC ． 15x x x ，245x xD ． 15x x x ，245x x 【答案】B【分析】利用含有一个量词的命题的否定的定义判断.【详解】解：因为命题 15x x x ，245x x 是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即 15x x x ，245x x ，故选：B6．已知命题2:0,0p x x x ，则p 为（）A ．20,0x x xB ．20,0 x x xC ．20,0 x x xD ．20,0x x x 【答案】C【分析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案.【详解】命题2:0,0p x x x ，则p 为20,0 x x x .故选：C7．若命题“x R ，都有2410mx x ”为假命题，则实数m 的取值范围为（）A ．40mB ．0mC ．4mD ．40m 【答案】C【分析】根据全称命题的否命题为真，即方程有解的条件求实数m 的范围即可．【详解】解：由题意得R x ，使得2410mx x ，当0m ，14x符合题意；当0m ，只要1640m 即可，解得4m ，综上：4m ．故选：C ．8．已知2:R,40p x x x a ，若p 是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ． 0,4B ． ,4C ． ,0D ．4, 【答案】B【分析】根据特称命题为真命题转化为方程有实数根，结合一元二次方程有实数解的条件即可求解.【详解】因为2:R,40p x x x a 是真命题，所以方程240x x a 有实数根，所以2440a ，解得4a ，故实数a 的取值范围为 ,4 .故选：B.9．已知命题“200014(2)04R,x x a x”是假命题，则实数a 的取值范围为（）A ． ,0B ． 0,4C ． 4,D ．0,4【答案】D【分析】根据题意可知该命题的否定是真命题，再根据一元二次不等式恒成立即可求解.【详解】由题意可知，命题“200014(2)04R,x x a x ”是假命题则该命题的否定“214(2)0R,4x x a x >”是真命题，所以2(2)40a <，解得04a ；故选：D.10．已知命题“存在{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是假命题，则实数m 的取值范围是（）A ． 3,6B ． ,36,C ． 3,6D ．,36, 【答案】D【分析】根据特称命题的否定是全称命题，结合原命题和否命题真假的关系即可求解.【详解】由已知命题“存在{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是假命题，等价于“任意的{12}x xx ∣，使得等式30x m 成立”是真命题，又因为12x ，所以336x ，要使3x m ，则需3m 或6m .所以实数m 的取值范围为 ,36, .故选：D.11．命题“2R,10x x ax ”为假命题的一个必要不充分条件是（）A ．[2,2]aB ．(2,1)aC ．[2,3]aD ．(2,3)a 【答案】C【分析】先将命题“R x ，210x ax ”为假命题转化“x R ，210x ax ”为真命题，求出其充要条件，再利用数集间的包含关系进行求解.【详解】命题“R x ，210x ax ”为假命题，即命题“x R ，210x ax ”为真命题，则 2Δ=40a ，解得22a ，对于A ：[2,2]a 是命题“2R,+1<0x x ax ”为假命题的充要条件，即选项A 错误；对于B ：(2,1) 是[2,2] 的真子集，所以(2,1)a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个充分不必要条件，故选项B 错误；对于C ：[2,2] 是[2,3] 的真子集，所以[2,3]a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个必要不充分条件，故选项C 正确；对于D ：(2,3) 与[2,2] 无包含关系，所以(2,3)a 是“2R,10x x ax ”为假命题的一个既不充分也不必要条件，故选项D 错误.故选：C.12．若 :1,5p x ，240ax x 是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．925aB ．116aC ．5aD ．5a 【答案】C【分析】利用参变量分离法可得出241a x x ，当1,5x 时，求出241x x的取值范围，即可得出实数a 的取值范围.【详解】对任意的 1,5x ，240ax x ，则241a x x，因为 1,5x ，则1115x，则2419,525x x ，5a .故选：C.二、多选题13．下列说法正确的是（）A ．22,2 B ．“R x ，210x x ”的否定是“R x ，210x x ”C ．“212x ”是“1x ”的充分不必要条件D ．“a b ”是“22ac bc ”的必要不充分条件【答案】ACD【分析】根据元素和集合的关系判断A ；根据全称量词命题的否定可判断B ；根据充分条件以及必要条件的判断可判断C ，D.【详解】对于A ， 2,2的元素是 2,2，故 22,2 ，正确；对于B ，“R x ，210x x ”为全称量词命题，它的否定是“R x ，210x x ”，B 错误；对于C ，由212x ，可得312212,22x x ，则1x 成立，当1x 时，比如取2x ，推不出212x 成立，故“212x ”是“1x ”的充分不必要条件，C 正确；对于D ，当a b 时，若0c =，则22ac bc 不成立，当22ac bc 成立时，则0c ，则20c ，故a b ，故“a b ”是“22ac bc ”的必要不充分条件，D 正确，故选：ACD14．下列命题中，是真命题的有（）A ．命题“1x ”是“2320x x ”的充分不必要条件B ．命题2:R,10p x x x ，则2:R,10p x x xC ．命题“1x ”是“210x -¹”的充分不必要条件D ．“2x ”是“2320x x ”的充分不必要条件【答案】ABD【分析】根据判断充分不必要条件的逻辑关系分别判断A ，C ，D ；根据全称命题的否定形式可判断B.【详解】对于A ，当1x 时，2320x x 成立，反之，当2320x x 时，解得1x 或2x ，不一定是1x ，故“1x ”是“2320x x ”的充分不必要条件，A 正确；对于B ，命题2:R,10p x x x 为全称命题，其否定为特称命题，即2:R,10p x x x ，B 正确；对于C ，1x 推不出210x -¹，因为1x 时，210x -=，当210x -¹时，一定有1x 且1x ，故命题“1x ”是“210x -¹”的必要不充分条件，C 错误；对于D ，解2320x x 可得1x 或2x ，故2x 时，一定有2320x x 成立，当2320x x 时，也可能是1x ，不一定是2x ，故“2x ”是“2320x x ”的充分不必要条件，D 正确，故选：ABD15．下列说法正确的是（）A ．命题2000:,220R p x x x ，则命题p 的否定是2R,220x x x B ．全称命题“2R,2x x x ”是真命题.C ．命题“2000,10R x x x ”是假命题D ．集合 28120A x x x .集合260C x ax x ，若A C C ，则a 的取值范围是124a【答案】AC【分析】A 选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；B 选项，举出反例；C 选项，由根的判别式得到210x x 恒成立，C 错误；D 选项，根据交集结果得到C A ，分C 和C 两种情况，分类讨论，得到a 的取值范围.【详解】A 选项，命题p 的否定是2,220 R x x x ，A 正确；B 选项，当2x 时，22x x ，故B 错误；C 选项，对于21y x x ，2Δ(1)41130 ，故对任意的x ，210x x ，C 正确；D 选项，因为A C C ，所以C A ，又 2,6A ，当C 时，若6C ，则36660a ，解得0a ，此时 6C ，满足C A ，若2C Î，则4260a ，解得1a ，此时 3,2C ，不满足C A ，当C 时，Δ12400a a ，解得124a ，综上，a 的取值范围为0a 或124a ，D 错误.故选：AC16．下列命题为真命题的是（）A ．若2:,2n p n N n ，则2:,2n p n N n ；B ．若0,0a b c d ，则a b d c；C ．使不等式110x成立的一个充分不必要条件是1x 或1x D ．若,,(1,2)i i i a b c i 是全不为0的实数，则“111222a b c a b c ”是“不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集相等”的充分不必要条件【答案】BC【分析】A 选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论；B 选项：由不等式的同向可乘性可以判断；C 选项：通过检验就可以判断；D 选项：通过分析不等式以及充分不必要条件就可以判断.【详解】A 选项：特称命题的否定是将存在词变为全称量词后否定结论，所以命题p :n N ,22n n .则p :N n ,22n n ，A 是假命题；B 选项：0,0c d a b ∵，0,0c d ac bd 0cd ∵又，,ac bd a b cd cd d c即，a b d c，B 是真命题；C 选项：若1x 或1x ，则110x 成立，故满足充分性；当110x时，1x 或0x ，不满足必要性，C 是真命题；D 选项：设1112220a b c m m a b c ，则121212,,a ma b mb c mc 所以不等式21110a x b x c 等价于22220m a x b x c .若0m ，此时 22220m a x b x c 等价于22220a x b x c ，此时两者解集相等；若0m ，此时22220m a x b x c 等价于22220a x b x c ，此时两者解集不相等；若不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集为，则两个不等式的系数没有关系.所以“111222a b c a b c ”是“不等式21110a x b x c 和22220a x b x c 解集相等”的既不充分也不必要条件，D 是假命题.故选：BC.【点睛】关键点睛：解决本题，一是理解命题，二是要怎么样处理充分性以及必要性，三是要推理正确.17．下列命题是真命题的是（）A ．x R ，x xB ．x R ，x xC ．x R ，2350x xD ．x R ，2350x x 【答案】ABD【分析】利用绝对值的性质可判断A 选项的正误；取0x ，可判断B 选项的正误；取0x ，可判断C 选项的正误；取5x ，可判断D 选项的正误.【详解】对于A ：当0x 时，x x ；当0x 时，0x x x ；综上所述：x R ，x x ，故A 正确；对于B ：当0x 时，满足x x ，故B 正确；对于C ：当0x 时，23550x x ，故C 错误；对于D ：当5x 时，23550x x ，故D 正确；故选：ABD ．18．已知全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ð，则下列关系一定正确的是（）A ．x U ，x A 且xB B ．x A ，x BC ．x U ，x A 或x BD ．x U ，x A 且x B【答案】AB【分析】根据给定条件画出韦恩图，再借助韦恩图逐一分析各选项判断作答.【详解】全集为U ，A ，B 是U 的非空子集且U A B ð，则A ，B ，U 的关系用韦恩图表示如图，观察图形知，x U ，x A 且x B ，A 正确；因A B ，必有x A ，x B ，B 正确；若AU B ð，则()()U U A B 痧，此时x U ，[()()]U U x A B 痧，即x A 且x B ，C 不正确；因A B ，则不存在x U 满足x A 且x B ，D 不正确.故选：AB19．下列条件中，为“关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立”的充分不必要条件的有（）A ．04mB ．02mC ．14mD ．16m 【答案】BC【分析】对m 讨论：0m ；0m ，Δ0 ；0m ，结合二次函数的图象，解不等式可得m 的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.【详解】因为关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立，当0m 时，原不等式即为10 恒成立；当0m 时，不等式210mx mx 对R x 恒成立，可得Δ0 ，即240m m ，解得：04m .当0m 时，21y mx mx 的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m 的取值范围为： 0,4.所以“关于x 的不等式210mx mx 对R x 恒成立”的充分不必要条件的有02m 或14m .故选：BC.20．下列说法正确的是（）A ．“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a 不成立”B ．“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a 成立”C ．命题“ 12x x x ，x 为真命题的一个充分不必要条件是7aD ．已知a ，b R ，则“a b ”是成立的充要条件【答案】BC【分析】对四个选项一一验证：对于A 、B ：利用存在命题的否定直接判断；对于C ：先求出4a ，即可判断；对于D ：由0,0a b .故D 错误即可判断.【详解】对于A 、B ：因为“1a ，使得260a a 成立”的否定是“1a ，有260a a成立”，所以A 错误，B 正确；对于C ：命题“ 12x x x ，x 为真命题，则4a ，所以7a 是一个充分不必要条件.故C 正确；对于D ：当0,0a b .故D 错误.故选：BC三、填空题21．请把命题“勾股定理”写成含有量词的命题：_____________.【答案】对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方【分析】根据勾股定理的内容，结合任意性的定义进行求解即可.【详解】在任意的直角三角形中，都有两条直角边的平方和等于斜边的平方，故答案为：对任意的直角三角形，两条直角边的平方和等于斜边的平方22．命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是_______．【答案】所有的正整数，它的算术平方根不是正整数【分析】根据特称命题的否定即可得.【详解】解：命题“有的正整数，它的算术平方根是正整数”的否定是：“所有的正整数，它的算术平方根不是正整数”.故答案为：所有的正整数，它的算术平方根不是正整数.23．“所有的自然数都大于零”的否定是_______．【答案】存在一个自然数小于或等于零【分析】根据全称命题的否定形式为对应的特称命题进行改写.【详解】替换量词并否定结论，“所有的自然数都大于零”的否定是“存在一个自然数小于或等于零”．故答案为：存在一个自然数小于或等于零24．将“方程210x 无实根”改写成含有一个量词的命题的形式，可以写成________．【答案】2R ,10x x 【分析】根据全称量词命题的形式改写即可．【详解】由已知，“方程210x 无实根”是全称量词命题，故可改写为：2R ,10x x ，故答案为：2R ,10x x ．25．命题“x R ，20x x ”的否定是______．【答案】R x ，20x x 【分析】由全称量词命题的否定形式即可得答案.【详解】命题“x R ，20x x ”的否定是“R x ，20x x ”.故答案为：R x ，20x x 四、解答题26．已知命题22:,20p x x x a R ，命题p 为真命题时实数a 的取值集合为A ．(1)求集合A ；(2)设集合 231B am a m ∣，若A 是B 的真子集，求实数m 的取值范围．【答案】(1) 11A aa ∣；(2)01m ．【分析】(1)命题为真命题，即方程2220x x a 有根，则2Δ440a ，解出即可.(2)因为A 是B 的真子集，列不等式组解出即可.【详解】（1）由命题p 为真命题，得2Δ440a ，得11a11A a a ∣（2）A ∵是B 的真子集．23111231m m m m，解得01m ．27．写出下列命题的否定，并判断它们的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)三个连续整数的乘积能被6整除;(3)三角形不都是中心对称图形;(4)至少有一个整数2,1n n 是4的倍数.【答案】(1)所有实数都不是无限不循环小数，假命题(2)存在三个连续整数的乘积不能被6整除，假命题(3)任意一个三角形都是中心对称图形，假命题(4)任意整数2,1n n 不是4的倍数，真命题【分析】根据特称命题的否定是全称命题，全称命题的否定是特称命题，以及命题的形式直接写出命题的否定，并判断真假即可.【详解】（1）命题的否定为：“所有实数都不是无限不循环小数”，是无限不循环小数，所以其为假命题；（2）命题的否定为：“存在三个连续整数的乘积不能被6整除”，因为三个连续整数中必有一个能被2整除，一个能被3整除，则三个连续整数的乘积一定能被6整除，所以其为假命题；（3）命题的否定为：“任意一个三角形都是中心对称图形”，因为等边三角形不是中心对称图形，所以其为假命题；（4）命题的否定为：“任意整数2,1n n 不是4的倍数”，当2,Z n k k 时，22141n k 不是4的倍数；当21,Z n k k 时，2214()2n k k 不是4的倍数，所以其为真命题.28．写出下列命题的否定，并判断真假．(1)正方形都是菱形；(2)R x ，使43x x ；(3)R x ，有12x x .【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)答案见解析.【分析】根据含有量词的命题的否定写出命题的否定,对(1)可根据正方形与菱形的关系判断真假;对(2)举例说明43x x 不成立;对(3)举例说明12x x 成立.【详解】（1）命题的否定：正方形不都是菱形，是假命题．（2）命题的否定：R x ，有43x x ．因为当2x 时，42352 ，所以“R x ，有43x x ”是假命题．（3）命题的否定：R x ，使12x x ．因为当2x 时，121322x ，所以“R x ，使12x x ”是真命题．29．写出下列命题的否定，并判断真假.(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)每一个素数都是奇数；(3)有些实数的绝对值是正数；(4)某些平行四边形是菱形.【答案】(1)命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.(2)命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题(3)命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题(4)命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.【分析】根据全称命题和特称命题的否定定义求解即可.【详解】（1）命题的否定：存在一个矩形不是平行四边形，为假命题.（2）命题的否定：存在一个素数不是奇数，为真命题.（3）命题的否定：所有实数的绝对值都不是正数，为假命题.（4）命题的否定：每一个平行四边形都不是菱形，为假命题.30．已知全集U R ，集合{|13}A x x ，集合{|21}B x m x m ．(1)若A B B I ，求实数m 的范围；(2)若1x A ，2x B ，使得12x x ，求实数m 的范围．【答案】(1)1(,)3(2)(,2)【分析】（1）可先求出A B B ∩，即B A 时m 的范围，即可求解；（2）先得到A B ，再列出不等式，即可求解【详解】（1）若A B B ∩，则B A ，当B 时，则21m m ³-，13m ，当B 时，则212113m m m m，则m 不存在，综上，13m ，A B B ∩，实数m 的范围为1(,)3 ．（2）1x A ∵，2x B ，使得12x x ，A B ，且A ，则2113m m ，2m ，实数m 的范围为(,2) ．31．已知集合 25A x x ， 121B x m x m ，且B .(1)若命题p ：“x B ，x A ”是真命题，求m 的取值范围；(2)若命题q ：“x A ，x B ”是真命题，求m 的取值范围．【答案】(1)2,3(2)2,4【分析】（1）根据命题p 为真命题，得到,B A B ，从而得到不等式组，求出m 的取值范围；（2）根据命题q 为真命题，得到A B ，从而得到不等式组，求出m 的取值范围.【详解】（1）命题p ：“x B ，x A ”是真命题，故,B A B ，所以12112215m m m m，解得23m ，故m 的取值范围是 2,3.（2）由于命题q 为真命题，则A B ，因为B ，所以121m m ，所以2m ,当2m 时，一定有13m ，要想满足A B ，则要满足15m ，解得4m ，故A B 时，24m ，故m 的取值范围为 2,4.32．已知命题:q “x 满足22x ，使220x x a ”，(1)命题:p “ 2R,140x x a x ”，若命题,p q 中至少一个为真，求实数a 的范围.(2)命题:21p a x a ，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的范围.【答案】(1) 3a a 或 1a ；(2)1,2【分析】（1）先求出命题,p q 为真和假时a 的取值范围，由此可得命题,p q 都为假命题时a 的取值范围，进而即可求解；（2）记 1,8,2,1A B a a ，由题意可得BA ，由集合的包含关系，分类讨论即可求解；【详解】（1）命题:q “x 满足22x ，使220x x a ”，为真命题时，22a x x ，令 22,22f x x x x ，则 18f x ，所以18a ，所以命题q 为假时，则1a 或8a ，命题:p “ 2R,140x x a x ”，为真命题时，21440a ，解得3a 或5a ，所以命题q 为假时，则35a ，又因为命题,p q 都为假命题时，3518a a a或，即31a ，所以命题,p q 中至少一个为真时，实数a 的范围是 3a a 或 1a ；（2）由（1）可知：命题q 为真命题时，18a ，记1,8,2,1A B a a 因为p 是q 的充分不必要条件，所以B A ，当B 即21a a ，也即1a 时，满足条件；当B 时，212118a a a a ，解得112a ；综上可知：实数a 的范围是1,233．已知命题:p x R ，2210ax x +-=为假命题．(1)求实数a 的取值集合A ；(2)设集合 64242B x m x m ，若“x A ”是“x B ”的必要不充分条件，求m 的取值范围．【答案】(1)1A a a (2)3m 或m 1【分析】（1）根据一元二次方程无解的条件即Δ0 求解即可；（2）根据题意先求得B A ，再分情况求得m 的范围即可．【详解】（1）解：命题p 的否命题为R x ，2210ax x 为真，0a 且Δ440a ，解得1a ．∴ 1A a a ．（2）解：由64242m x m 解得32m x m <<，若“x A ”是“x B ”的必要不充分条件，则B A ，∴当B 时，即32m m ，解得m 1 ；当1m 时，21m ，解得3m ，综上：3m 或m 1 ．34．已知命题p ：“x R ，使不等式220x x m 成立”是假命题．(1)求实数m 的取值集合A ；(2)若:44q m a 是p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1),1 (2),5 【分析】（1）把特称命题转化为全称命题，即可根据一元二次不等式恒成立问题得出答案；（2）利用充分条件和必要条件的关系以及不等式的解法求出结果.【详解】（1）命题p ：“x R ，使不等式220x x m 成立”是假命题，则“x R ，使不等式220x x m 恒成立”是真命题，故440m ，解得1m ，故 ,1m ，即 ,1A .（2）由于命题：:44q m a ，整理得：44a m a ，由小问1得p ：1m ，由于q 是p 的充分不必要条件，所以41a ，解得5a ，故实数a 的取值范围为 ,5 .35．已知命题：“0x R ，使得2002430x mx m ”为真命题．(1)求实数m 的取值的集合A ；(2)设不等式()(3)0x a x a 的解集为B ，若x A 是x B 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 1A m m 或 3m ；(2)(,2][3,) ．【分析】（1）根据一元二次方程的判别式进行求解即可；（2）根据必要不充分条件的性质进行求解即可.【详解】（1）命题“0x R ，使得2002430x mx m ”为真命题，所以2(2)4(43)0m m ，即2430m m ，解之得1m £或3m ，所以实数m 的取值的集合 1A m m 或 3m ；；（2）不等式()(3)0x a x a 的解集为 3B x a x a ，因为x A 是x B 的必要不充分条件，所以B A ，则3a 或31a ，所以3a 或2a ，故实数a 的取值范围为(,2][3,) ．。

典型例题：全称量词与存在量词

全称量词与存在量词
例1判定下列命题的真假：
1∃∈Q，使2=2；
2∃∈R，使2<1;
3∀∈N，有3＞2；
4∀∈R,有21>0
分析：要判定一个特称命题真，只要在限定集合中至少找到一个=0值，使中的每一个验证中一个=0，使p0为假．
解：1∵使2=2成立的实数只有2
±∉Q，∴没有一
±，而2
个有理数，使2=2可见命题“∃∈Q，使2=2”是假命题．
2由于∈R，取=-1，满足3＜1因此命题“∃∈R，使2<1”
是真命题．
3∵=1时，3＞2不成立．∴命题“∀∈N，有3＞2”是假命题．
4由于对∀∈R，都有2≥0⇒21≥1>0．因此命题“∀∈R,有21>0”是真命题．
例2．试写出下列命题的否定，并判断其真假：
1命题P：所有的菱形都是正方形．
2命题q：对任何实数，总有2一21≥0成立．
3命题r：至少有一个实数，使2-2=0成立．
4命题s：∃∈R，使2＋2＋2≤0成立．
分析：1、2是全称命题，其否定应为特称命题．3、4是特称命题，其否定应为全称命题．
解：l¬P：∃一个菱形，它不是正方形．
∵由两个全等的等边三角形拼成的菱形就不是正方形，
∴¬p是真命题．
2q：∃∈R．、2-21＜0．
∵2-21=-12≥0对∀∈R都成立．∴¬q是假命题．
3¬r：∀∈R，2-2≠0．
∵存在=2
±，使2-2=0，∴¬r是假命题．
4¬S：∀∈R，2＋2＋2＞0．
∵2＋2＋2=＋12＋1，12≥0，∴对∀∈R，都有2＋2＋2=≥1＞0
可见¬S是真命题．。

全称量词与存在量词附答案

1.4全称量词与存在量词(1)第1课时：全称量词与存在量词情景设计：已知p(x):x2 x 2 0 , q(x):sinx cosx ,(1)语句p(x) , q(x)是命题吗？为什么？(2)如果在语句p(x)或q(x)前面加上“对所有x R”或“存在一个x R”，它们是命题吗？为什么？点拔提示：(1)在x未赋值之前，语句p(x)，q(x)不能判断其真假，所以它们不是命题；(2)在语句p(x)或q(x)前面加上“对所有x R”或“存在一个x R”后，p(x)，q(x) 的真假就能确定，所以它们是命题•阅读与积累：1 •短语“___________ ”、“___________ ”逻辑中称为全称量词，并用符号“ _________ ”表示。

对所有的对任意一个2•短语“___________ ”、“___________ ”逻辑中称为存在量词，并用符号“ _________ ”表示。

存在一个至少有一个3. ___________________________________ 含有全称量词的命题称为 ______________ ;含有存在量词的命题称为 _________________________ .全称命题特称命题4. ___________________________ 全称命题形式：______________ ;特称命题形式：。

其中M 为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题。

x M , p(x) x M , p(x)问题与思考：题1:判断下列命题是全称命题还是特称命题(1 )对任意的n €乙2 n +1 (3)有的平行四边形是菱形(答案：(1) (2)都是全称命题；是奇数(2)所有的正方形都是矩形4)有一个素数不是奇数(3) (4) 都是特称命题题2：判断下列命题的真假吗？(1) x N ,有x41(2) x R,有x2 x 1 0(3) x R,使x2 x 1(4) x乙使x25答案：(1)假命题 (2)真命题(3)真命题(4)假命题［合作学习与问题探究］［难点•疑点•方法］问题1：你能用符号“ ”与“”表达下列命题吗？①自然数的平方大于或等于零___________________________________________②圆x2 y21上存在一个点到直线y x 1的距离等于圆的半径③基本不等式:④对于数列，总存在正整数n ,使得a n与1之差的绝对值小于0.01:n 1解：①x2 2 2x y 1 N,x20;②(x,y) x, y /x2 y2 1 ,—1V2③ a,b R，-^^ 屈；④ n N , a n 1| 0.01名师讲析：一般地，全称命题写成“x M, p(x) ”特称命题写成“x M , p(x) ”其中M为给定的集合，p(x)是一个关于x的命题。

全称量词与存在量词(精讲)(解析版)

1.5 全称量词与存在量词【典例精讲】考点一全称命题的判断【例1】（2020·全国高一课时练习）下列命题含有全称量词的是（ ) A ．某些函数图象不过原点 B ．实数的平方为正数 C ．方程2250x x ++=有实数解 D ．素数中只有一个偶数【答案】B【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程2250x x ++=有实数解”即“存在实数x ，使2250x x ++=”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B.【一隅三反】1．（2020·全国高一）下列语句不是全称量词命题的是（）A ．任何一个实数乘以零都等于零B ．自然数都是正整数C ．高一(一)班绝大多数同学是团员D ．每一个实数都有大小【答案】C【解析】A 中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A 是全称量词命题； B 中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B 是全称量词命题； C 中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C 不是全称量词命题； D 中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D 是全称量词命题．故选：C. 2．（2020·全国高一单元测试）（多选）下列命题中，是全称量词命题的有（） A ．至少有一个x 使2210x x ++=成立 B ．对任意的x 都有2210x x ++=成立 C ．对任意的x 都有2210x x ++=不成立 D ．存在x 使2210x x ++=成立E.矩形的对角线垂直平分【答案】BCE 【解析】A 和D 中用的是存在量词“至少有一个”“存在”，属存在量词命题；B 和C 用的是全称量词“任意的”，属全称量词命题，所以B 、C 是全称量词命题； E 中命题“矩形的对角线垂直平分”省略量词“任意”，是全称量词命题.故选：BCE考点二特称命题的判断【例2】（2020·全国高一）指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. （1）∀x ∈N ，2x ＋1是奇数；（2）存在一个x ∈R ，使11x -＝0；（3）对任意实数a ，|a |＞0；【答案】（1）是全称量词命题；是真命题；（2）是存在量词命题；是假命题；（3）是全称量词命题；是假命题.【解析】（1）是全称量词命题.因为,21x N x ∀∈+都是奇数，所以该命题是真命题. （2）是存在量词命题.因为不存在x ∈R ，使101x =-成立，所以该命题是假命题.（3）是全称量词命题.因为00=，所以||0a >不都成立，因此，该命题是假命题. 【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x ∈R ，总有2111x +；存在量词命题的个数是（） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】命题①中含有存在量词，是存在量词命题；命题②中全称量词省略，可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③中全称量词省略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④中有全称量词“总有”，是全称量词命题故有1个存在量词命题；故选：B . 2．（2020·全国高一课时练习）下列命题不是存在量词命题的是（） A ．有的无理数的平方是有理数 B ．有的无理数的平方不是有理数 C ．对于任意x ∈Z ，21x +是奇数 D ．存在x ∈R ，21x +是奇数【答案】C【解析】A 、B 、D 中都有存在量词，是存在量词命题，C 中含有量词“任意”，为全称量词命题，故选：C .考点三全称、特称命题真假的判断【例3】（2020·全国高一课时练习）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的否定命题，并判断真假:(1)不论m 取何实数,关于x 的方程20x x m +-=必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)函数y kx =图象恒过原点. 【答案】见解析【解析】(1)即“所有m R ∈，关于x 的方程20x x m +-=都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数m ，使得方程20x x m +-=没有实数解”，真命题；(2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题； (3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题；(4)即“所有k ∈R ，函数y kx =图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数k ，使函数y kx =图象不过原点”，是假命题.【一隅三反】1．（2020·平罗中学高二期末（文））下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2>0 B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x 20>1D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0【答案】BA 、B 、D 中命题均为全称命题，但A 、D 中命题是假命题．故选B ．2．（2020·全国高一课时练习）关于命题“当[]1,2m ∈时，方程220x x m -+=没有实数解”，下列说法正确的是（ )A ．是全称量词命题，假命题B ．是全称量词命题，真命题C ．是存在量词命题，假命题D ．是存在量词命题，真命题【答案】A【解析】原命题的含义是“对于任意[]1,2m ∈，方程2x 2x m 0-+=都没有实数解”，但当1m =时，方程有实数解1x =，故命题是含有全称量词的假命题，所以正确选项为A. 3．（2020·全国高一）用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题,并判断真假： (1)任意实数的平方大于或等于0；(2)对任意实数a ，二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称； (3)存在整数x ，y ，使得243x y +=； (4)存在一个无理数，它的立方是有理数. 【答案】(1)2,0x R x∀∈.真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题； (3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈，真命题.【解析】(1)2,0x R x ∀∈≥，是真命题；(2)a ∀∈R ,二次函数2y x a =+的图象关于y 轴对称,真命题，；(3),,243x Z y Z x y ∃∈∈+=假命题,因为242(2)x y x y +=+必为偶数；(4)3,R x Q x Q ∃∈∈.真命题,例如32x x Q ==∈.考点四命题的否定【例4】（2020·全国高一课时练习）设A 是奇数集，B 是偶数集，则命题“x A ∀∈，2x B ∉”的否定是（ ) A ． x A ∃∈，2x B ∈ B ．x A ∃∉，2x B ∈ C ． x A ∀∉，2x B ∉ D ．x A ∀∉，2x B ∈【答案】A【解析】“x A ∀∈，2x B ∉”即“所有x A ∈，都有2x B ∉”，它的否定应该是“存在x A ∈，使2x B ∈”，所以正确选项为A.【一隅三反】1．（2020·全国高一课时练习）下列命题的否定为假命题的是（） A ．x ∃∈Z ，143x << B ．x ∃∈Z ，510x += C ．x ∀∈R ，210x -= D ．x ∃∈R ，2320x x ++=【答案】D【解析】对A ，命题的否定为假命题等价于该命题是真命题，由143x <<得1344x <<，这样的整数x 不存在，故A 为假命题，其否定为真命题，故A 错误；对B ，510x +=，15x =-∉Z ，故B 为假命题，其否定为真命题，故B 错误；对C ，210x -=⇒1x =±，故C 为假命题，其否定为真命题，故C 错误；对D ，存在1x =-或2x =-，使232(1)(2)0x x x x ++=++=，故D 为真命题，从而D 的否定是假命题，故D 正确.故选：D.2．（2020·湖南天心.长郡中学高三其他（文））已知命题:p x R ∃∈，2230x x ++<，则命题p 的否定是（）A ．x R ∃∈，2230x x ++>B ．x R ∀∈，2230x x ++≤C ．x R ∀∈，2230x x ++≥D ．x R ∀∈，2230x x ++>【答案】C【解析】命题p 为特称命题，其否定为:p x R ⌝∀∈，2230x x ++≥.故选：C.3．（2019·银川唐徕回民中学高三月考（理））命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为（）A ．2,240x R x x ∀∈-+≥B ．2000,240x R x x ∃∈-+> C ．2,240x R x x ∀∉-+≥ D ．2000,240x R x x ∃∉-+>【答案】B【解析】根据全称命题的否定是特称命题，将全称量词∀换为存在量词∃，不等号≤换为＞，可得命题“2,240x R x x ∀∈-+≤”的否定为“2000,240x R x x ∃∈-+>”，故选：B.考点五全称特称求参数【例5】（1）（2020·湖南雁峰.衡阳市八中高二期中）命题“[]1,2x ∀∈，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是（） A ．4a ≥B ．5a ≥C ．3a ≥D ．5a ≤（2）（2020·浙江高一课时练习）若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．13a ≤≤ B ．13a ≤≤－ C ．33a ≤≤－D ．11a ≤≤－（3）（2019·四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数2()2f x x x =-，()2(0)g x ax a =+>，若1[1,2]x ∀∈-，2[1,2]x ∃∈-，使得12()()f x g x =，则实数a 的取值范围是( )A ．1(0,]2B ．[0,3]C ．(0,3]D ．[3,)+∞【答案】（1）B （2）B （3）D【解析】（1）[]1,2x ∀∈，214x ≤≤，∴要使20x a -≤恒成立，则2a x ≥恒成立，即4a ≥，本题求的是充分不必要条件，结合选项，只有B 符合.故选：B.（2）由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使21()10x a x ≥＋－＋”，即2(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B. （3）由()22()211f x x x x =-=--，知当1[1,2]x ∈-时，[]1()1,3f x ∈- 由()2(0)g x ax a =+>，知当[]21,2x ∈-时，[]2()2,22g x a a ∈-++ 由题意得：[][]1,32,22a a -⊆-++，即21223a a -+≤-+≥⎧⎨⎩，解得3a ≥综上，3a ≥.故选：D【一隅三反】1．（2020·浙江高一课时练习）若命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则实数a 的取值范围是（）.A ．2{|}2a a -≤≤B ．2{2}|a a a ≤-≥或C ．2{|2}a a -<<D ．2{}2|a a a <->或【答案】B【解析】命题“2,10x R x ax ∃∈-+≤”是真命题，则需满足240a ∆=-≥，解得2a ≥或2a ≤-.故选：B .2．（2020·全国高一课时练习）命题“已知1y x =-，x R ∀∈都有m y ≤”是真命题，则实数m 的取值范围是（ ) A ．1m ≥- B ． 1m >- C ． 1m ≤- D ．1m <-【答案】C【解析】由已知1y x =-，得1y ≥-，要使x R ∀∈，都有m y ≤成立，只需1m ≤-，所以正确选项为C.3．（2020·广东高三其他（文））已知命题2000:,20p x R x x a ∃∈++≤，命题1:0,q x x a x∀>+>，若p 假q 真，则实数a 的取值范围为（） A ．(1,)+∞ B ．(,2]-∞ C ．(1,2) D ．(1,2]-【答案】C【解析】命题0:p x R ∃∈，20020x x a ++≤为假命题，则2,20x R x x a ∀∈++>为真命题，满足2240a ∆=-<，解得1a >；命题1:0,q x x a x ∀>+>为真命题，由12x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立，可知2a <，故实数a 的取值范围为(1,2)，故选：C.4．（2019·四川省绵阳南山中学高三月考（理））已知函数2,1()1,1x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】(,2)-∞【解析】函数2y x ax =-+的对称轴为=2a x ，当12a<即2a <时，2y x ax =-+在(),1-∞上不是单调函数，则()f x 在R 上也不是单调函数，满足题意；当12a>即2a >时，分段函数为R 上的单调增函数，不满足题意.故答案为：(,2)-∞。

全称量词与存在量词典型例题

《全称量词与存在量词》典型例题例1. 写出下列命题的否定。

（1）所有自然数的平方是正数。

（2）任何实数x都是方程5x-12=0的根。

（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y＞0.（4）有些质数是奇数。

解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数。

（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根。

（3）的否定：存在实数x,对所有实数y，有x+y≤0。

（4）的否定：所有的质数都不是奇数。

解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量词的简化形式，如“若x＞3，则x2＞9”。

在求解中极易误当为简单命题处理；这种情形下时应先将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

例2. 写出下列命题的否定。

（1）若x2＞4 则x＞2.。

（2）若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

（3）可以被5整除的整数，末位是0。

（4）被8整除的数能被4整除。

（5）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。

解（1）否定：存在实数，虽然满足＞4，但≤2。

或者说：存在小于或等于2的数，满足＞4。

（完整表达为对任意的实数x, 若x2＞4 则x＞2）（2）否定：虽然实数m≥0,但存在一个，使+ -m=0无实数根。

（原意表达：对任意实数m,若m≥0,则x2+x-m=0有实数根。

）（3）否定：存在一个可以被5整除的整数，其末位不是0。

（4）否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.(原意表达为所有能被8整除的数都能被4整除)（5）否定：存在一个四边形，虽然它是正方形，但四条边中至少有两条不相等。

（原意表达为无论哪个四边形，若它是正方形，则它的四条边中任何两条都相等。

）例3. 写出下列命题的非命题与否命题，并判断其真假性。

（1）p：若x＞y,则5x＞5y；（2）p：若x2+x﹤2,则x2-x﹤2；（3）p：正方形的四条边相等；（4）p：已知a,b为实数，若x2+ax+b≤0有非空实解集，则a2-4b≥0。

解：（1）⌝ P：若 x＞y，则5x≤5y；假命题否命题：若x≤y，则5x≤5y；真命题（2）⌝ P：若x2+x﹤2，则x2-x≥2；真命题否命题：若x2+x≥2，则x2-x≥2）；假命题。

高考数学专项：全称量词与存在量词(讲义)原卷版

1.5全称量词与存在量词1.全称量词与全称量词命题（1）全称量词短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示（2）全称量词命题含有全称量词的命题，叫做全称量词命题（3）全称量词命题的符号及记法记作：M x ，x p 读作：对任意x 属于M ，有 x p 成立考点1.判断全称量词命题的真假例1（1）每个四边形的内角和都是360°；（2）任何实数都有算术平方根；（3）{|x y y 是无理数}，3x 是无理数.例2将下列命题用量词等符号表示，并判断命题的真假：（1）所有实数的平方都是正数；（2）任何一个实数除以1，仍等于这个实数．判断下列全称量词命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；（2）x R ，11 x ；（3）对任意一个无理数x ，2x 也是无理数.变式2-2判断下列全称量词命题的真假:(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;(3)对任意负数2,x x 的平方是正数;(4)梯形的对角线相等2.存在量词与存在量词命题（1）存在量词短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示（2）存在量词命题含有存在量词的命题，叫做存在量词命题（3）存在量词命题的符号及记法记法：M x ，x p 读法：存在M 中的元素x ，使得 x p 成立考点2.判断存在量词命题的真假例3判断下列存在量词命题的真假:(1)有些实数是无限不循环小数;(2)存在一个三角形不是等腰三角形;(3)有些菱形是正方形;(4)至少有一个整数2,1n n 是4的倍数.判断下列存在量词命题的真假，并说明理由．（1）存在一个质数是偶数；（2）有一个实数x ，使2230x x ．例4试判断以下命题的真假：（1）2,20x x R ；（2）N x ，14 x （3）3,1x x Z ；（4）2,3x x Q ．变式4-1判断下列命题的真假：（1）2,x x x R ；（2）2,x x x R ；（3）2,80x x Q ；（4）2,20x x R ．3.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题的否定全称量词命题：M x ，x p 否定为：M x ，x p （2）存在量词命题的否定存在量词命题：M x ，x p 否定为：M x ，x p考点3.全称量词命题和存在量词命题的否定例5命题“1x ”的否定是（）A ．01xB ．01xC ．01xD ．01x 变式5-1命题“(0,1),x 20x x ”的否定是（）A ．0(0,1),x 2000x x B ．0(0,1),x 2000x x C ．0(0,1),x 2000x x D ．0(0,1),x 2000x x 变式5-2命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是A ．所有不能被2整除的数都是偶数B ．所有能被2整除的数都不是偶数C ．存在一个不能被2整除的数是偶数D ．存在一个能被2整除的数不是偶数例6命题“0R x ，20010x x ”的否定是（）A ．R x ，210x x B ．R x ，210x x C ．R x ，210x x D ．R x ，210x x变式6-1已知命题:N,21000n P n ，则P 为（）A ．N,2100n n B ．N,21000n n C ．N,21000n n D ．N,21000n n 变式6-2若命题 2000:3,3,210p x x x ，则命题p 的否定为（）A ． 23,3,210x x x B ． 2,33,,210x x x C ． 2,33,,210x x x D ． 20003,3,210x x x 变式6-3写出下列各题中的p ：（1）:,10p x Z x ；（2）:,20p x Q x ；（3）2:,10p x R x ；（4）2:,10p x R x .考点4.全称量词命题和存在量词命题的综合问题例7是否存在整数m ，使得命题“x R ，221m m x x ”是真命题？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．例8已知命题p ：“至少存在一个实数[1,2]x ，使不等式2220x ax a 成立”的否定为假命题，试求实数a 的取值范围．变式8-1命题p ：任意x R ,2x -230mx m ->成立；命题q ：存在x R ,2x +410mx +<成立.（1）若命题p 为真命题,求实数m 的取值范围;（2）若命题q 为假命题,求实数m 的取值范围;（3）若命题p 、q 至少有一个为真命题,求实数m 的取值范围;变式8-2命题:p 存在实数x R ，使得方程2210ax x +-=成立。

1.5全称量词与存在量词

这个新命题称为原命题的否定.
（2）每一个素数都是奇数；
（3）∀ ∈ ， + || ≥ 0.
对于含有一个量词的全称量词命题的否定，
有下面的结论：
全称量词命题：∀ ∈ ， (ሻ，
它的否定：∃ ∈ ，¬( ሻ.
全称量词命题的否定是存在量词命题.
探究：写出下列命题的否定:
（1）存在一个实数的绝对值是正数；
（1）∀ ∈ , || ∈ ；
（2）所有可以被5整除的数，末位数字都是0；
（3）∃ ∈ , + 1 ≥ 0;
（4）存在一个四边形，它的对角线互相垂直.
概念
全称量词
全称量词命题
含义
关系
存在量词
存在量词命题
本质
作用
练习1 判断下列全称量词命题的真假：
（1）每个四边形的内角和都是360°；
（2）任何实数都有算术平方根；
（3）∀ ∈ {|是无理数}， 3 也是无理数.
例2 判断下列存在量词命题的真假：
（1）有一个实数 x，使 2 + 2 + 3 = 0；
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线；
（3）有些平行四边形是菱形.
练习2 判断下列存在量词命题的真假：
（1）存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直；
（2）至少有一个整数，使得2 + 为奇数；
（3）∃ ∈ {|是无理数}， 2 也是无理数.
探究：写出下列命题的否定：
对一个命题进行否定，得到一个新的命题，
（1）所有的矩形都是平行四边形；
（2）有的三角形是等边三角形；
（3）有一个偶数是素数.
练习4 写出下列命题的否定：
（1）有些三角形是直角三角形；

全称量词与存在量词

（3）p：有些函数没有反函数；
（4）p：存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分；（5） p：不是每一个人都会开车；
（6）p：在实数范围内，有些一元二次方程无解。
小结
1、全称量词它的否定 p : x M,p(x) 2、存在量词特称命题 p : x M,p(x) 3、全称命题它的否定 p : x M,p(x) 4、特称命题 5、全称量词与特称命题真假的判断
x M,p(x) x M,p(x)
x M,p(x)
x M,p(x) x M,p(x)
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看,特称命题的否定都变成了
全称命题. 含有一个量词的特称命题的否定,有下面的结论
特称命题 p : x M,p(x) 它的否定
这些命题和它们的否定在形式上有什么变化？
从形式看，全称命题的否定是特称命题。
含有一个量词的全称命题的否定,有下面的结论全称命题 p : x M,p(x)
它的否定 p : x M,p(x)
练习：写出下列全称命题的否定： 1）p:所有能被3整除的整数都是奇数；
2 2）p:对任意x Z， x 的个位数字不等于3。
1.3 全称量词与存在量词
问题1:观察下列命题 (1)对所有的x∈R，x2>3
(2)对任意一个x∈Z，2x+1是整数
短语“所有的”“任意一个”在指定范围内表示整体或全部含义的逻辑量词叫做全称量词含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立
: x∈M, p(x)
3．“末位数字是0或5的整数能被5整除”的否命题是 ________________． 1．非p：∀x∈R，x2＋2x＋2>0

1.5 全称量词与存在量词(精炼)(原卷版附答案).pdf

x R , x2 mx 1 0 恒成立.若 p q 为假命题,则实数 m 的取值范围为（）
A． m 2
B． m 2 或 m 1
C． m 2 或 m 2
D． 1 m 2
5
2x2 (a 1)x 1 0
3．（2020·沈阳二中北校高三其他（文））已知命题“ x R ,使
2 ”是假命题,则实数 a 的
A．斜三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数 x ,使 x3 0
C．任一无理数的平方必是无理数
1 2 D．存在一个负数 x ,使 x
. 2．（2020·全国高一课时练习）判断下列命题的真假：
（1） x R, x2 3x 2 0 （2） x R, x2 1 0 （3） x Q,| x | x… 0 （4） x R, 4x2 2x 1 3x2 （5） x (7,3), x [7,3) （6） x (, 2], x2 1 3．（2020·全国高一课时练习）用量词符号“ ”“ ”表述下列命题,并判断真假. （1）对所有实数 a,b,方程 ax b 0 恰有一个解；
【参考答案】A
【解析】A 命题即为所有的圆都有内接四边形,是全称命题．其余三命题均不为全称命题．故选 A．
2．（2020·全国高一课时练习）下列命题中全称命题的个数为( )
①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两边平行；③存在一个菱形,它的四条边不相等．
A．0
B．1
C．2
D．3
【参考答案】C
【解析】①②满足“对所有的…都成立”的特点,是全称命题,③含有“存在”,是特称命题．
【题组五全称特称求参数】
1．（2020·定远县民族学校高二月考（理））命题“ x R ,使得 x2 mx m 0 ”为真命题,则实数 m 的取值

第12讲存在量词与全称量词 (解析版)

第12讲存在量词与全称量词 (解析版）【高中新知识预习篇】一、基本知识及其典型例题知识一量词【例1】判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)矩形的对角线不相等； (2)凸多边形的外角和等于360°； (3)存在x ∈N,使得2x ＋1是偶数；(4)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．【解析】(1)可以改为所有矩形的对角线不相等，故为存在量词命题． (2)可以改为所有的凸多边形的外角和等于360°，故为全称量词命题． (3)含有存在量词“存在”，故是存在量词命题．(4)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为存在量词命题．【变式1】判断下列命题是全称命题还是特称命题：（1）存在实数x ，使得x 2+2x +3＞0；（2）菱形都是正方形；（3）方程x 2﹣8x +12＝0有一个根是奇数．【详解】（1）该命题是特称命题，（2）该命题是全称命题，（3）该命题是特称命题，【例2】将下列命题用“∈”或“∈”表示．1.全称量词与全称量词命题全称量词所有的、任意一个、一切、每一个、任给符号 ∈全称量词命题含有全称量词的命题形式“对M 中任意一个x ，有p (x )成立”，可用符号简记为“∈x ∈M ，p (x )”2.存在量词与存在量词命题存在量词存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的符号表示 ∈存在量词命题（特称命题）含有存在量词的命题形式“存在M 中的一个x 0，使p (x 0)成立”可用符号简记为“∈x 0∈M ，p (x 0)”(1)实数的平方是非负数；(2)方程ax 2＋2x ＋1＝0(a <0)至少存在一个负根；【解析】 (1)∈x ∈R ，x 2≥0.(2)∈x 0<0，ax 20＋2x 0＋1＝0(a <0)．【变式2】用符号“∀”“∃”表达下列命题. （1）实数都能写成小数的形式；（2）存在一实数对()x y ，，使30x y ++<成立；（3）任意实数乘1-，都等于它的相反数；（4）存在实数x ，使得32x x >. 【答案】答案见解析. 【分析】按照全称命题和特称命题的定义进行求解【详解】解：（1）x R ∀∈，x 能写成小数形式；（2）(,),,x y x R y R ∃∈∈，使30x y ++<；（3）,(1)x R x x ∀∈⋅-=-；（4）32,x R x x ∃∈>.【点睛】此题考查全称命题和特称命题的含义及符号表示，属于基础题.【例3】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断下列命题的真假． (1)存在一个x ∈R ，使1x －1＝0；(2)对任意实数a ，|a |＞0；(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示； (4)存在一个实数x 0，使等式x 20＋x 0＋8＝0成立．【解析】(1)是存在量词命题．假命题，因为不存在x ∈R ，使1x －1＝0成立．(2)是全称量词命题．假命题，因为|0|＝0，所以|a |＞0不都成立．(3)是全称量词命题．假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为2，它的长度就不是有理数． (4)是存在量词命题．假命题，因为该方程的判别式Δ＝－31<0，故无实数解【变式3.1】（多选题）下列全称量词命题中真命题的有（） A.负数没有对数；B.对任意的实数a ，b ，都有a 2＋b 2≥2ab ；C.二次函数f (x )＝x 2－ax －1与x 轴恒有交点；D.∈x ∈R ，y ∈R ，都有x 2＋|y |>0. 【解析】ABC 为真命题．D 中，当0==y x 时，x 2＋|y |=0，不符合。