全称量词与存在量词例题

例1、下列命题中，真命题是：

A. 存在两个相交平面垂直于同一直线；

B. 所有的素数是奇数；

C.1,2x R x x

∀∈+≥ D. 2,230x R x x ∃∈--= [解答]：选D 。其中C 中，00<∃x ，命题不成立。

[点评]: 本题考查全称命题与特称命题的真假，其中也包括对基本不等式、空间点、线、面的位置关系的考查。

例2、命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ ）

A 存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根

B 不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根

C 对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根

D 至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根

[解答]：选C

本题考查全称命题与特称命题的否定。

例3、已知：对1,x R a x x

+∀∈+恒成立，则a 的取值范围是 ； 。的最小值即小于恒成立的最小值是即解答211,2121][<+∴+<∈∀+≥+∴∈++a x x a x

x a R x x

x x x R x

[点评]本题考查全称命题，将恒成立的问题转化为最值问题，从而用基本不等式求函数的最值。

变式：已知：对01,02>+-<∀ax x x 恒成立，则a 的取值范围是 ；

.

2210.1,0][->∴-≤+<+><∀a x

x x x

x a x 时，恒成立：转化为解答