RL电路的过渡过程
第五讲 电路的过度过程2
电路的过度过程
i = I0e
−
R t L
I0
i
= I 0e
−
t L/ R
t ≥0
0 t uL t
di uL = L = −RI0e dt
t − L/ R
t ≥0
称为一阶RL电路时间常数 令 τ = L/R , 称为一阶 电路时间常数 -RI 0
L 亨 韦 伏⋅秒 [τ ] = [ ] = [ ] = [ ]=[ ] = [秒] R 欧 安⋅欧 安⋅欧
uC (0-)=0
' " 解答形式为： 解答形式为： uc = uc + uc
11
电路的过度过程
′ 特解（强制分量） ′ uC ：特解（强制分量）uC = US
duC RC + uC = U S dt
与输入激励的变化规律有关，强制分量又称为稳态分量 与输入激励的变化规律有关，强制分量又称为稳态分量
RC电路： 电路： 电路 RL电路 电路
uC (0+) = uC (0－) iL(0+)= iL(0－)
f (t)为换路后任意支路的电 ， 压或电流 f (0+ )为换路后的初始值。 为换路后的初始值。
2. 衰减快慢取决于时间常数τ RC电路 τ = RC , RL电路 电路 电路
τ = L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
10
电路的过度过程
§2-4 一阶电路的零状态响应
零状态响应：储能元件初始能量为零， 零状态响应：储能元件初始能量为零，仅由外加激励作用 下产生的响应
一. RC电路的零状态响应 电路的零状态响应
K(t=0) US R
电路的过渡过程
uC (0 ) uC (0 ) 10V
－
R1
+
iC t=0
i2
uC C
R2
－
由此可画出开关S闭合后瞬间即时的等
效电路，如图所示。由图得：
i1(0+)
i1(0 )
US
uC (0 ) R1
10 10 10
0A
i2 (0 )
uC (0 ) R2
10 5
2A
+
R1
+
iC(0+)
R3
R1 R2
+
U
－
iC
+
C －uC
R0
iC +
+
C －uC
US
－
iC
IS
R0
+ C －uC
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。一阶 动态电路的分析方法有经典 法和三要素法两种。
2.1 经典分析法
1．RC电路分析
图示电路，t=0时开关S闭合。根据KVL，得回路电压方程为：
因为：
uL
L
diL dt
uR RiL
从而得微分方程：
S
+ US
－
L R
diL dt
iL
US R
解之得：
iL
US R
(I0
U
S
)e
t
R
iL
+
R －uR
+
L －uL
稳态分量 暂态分量
式中τ=L/R为时 间常数
电路的过渡过程
此时通过电阻R进行放电。 图5-2（b）为换路后的电路，
列写换路后的电路方程， 可求出其电路响应。
第5章 电路的过渡过程
1 2 ＋ U0 － R0 C ＋ uC － R S uC － ＋ C i即从一个量值即时地变
到另一个量值）， 否则将导致功率P=dw/dt成为无限大， 这在实际中是不可能的。
第5章 电路的过渡过程
2 在电容中储能表现为电场能量 WC 1 CuC ， 由于换路 2 时能量不能跃变， 故电容上的电压一般不能跃变。 从
电流的观点来看， 电容上电压的跃变将导致其中的电流 du iC C 变为无限大， 这通常也是不可能的。 由于电路 dt 中总要有电阻， iC只能是有限值， 所以有限电流对电
为t=0。 我们研究的就是开关动作后， 即t=0以后的电
路响应。
第5章 电路的过渡过程
S(t＝0 )
R1
R3 ＋ ＋ uC － L － uL Us － ＋
R1
R3 ＋ uL －
＋ Us －
R2 C
R2
(a)
(b)
图5-1 例5-1的图
第5章 电路的过渡过程
在换路瞬间， 电容元件的电流有限时， 其电压uC 不能跃变； 电感元件的电压有限时， 其电流iL不能跃 变， 这一结论叫做换路定律。 把电路发生换路时刻取 为计时起点t=0， 而以t=0-表示换路前的最后一瞬间， 它和t=0之间的间隔趋近于零； 以t=0+表示换路后的最
第5章 电路的过渡过程
［例5-1］ 作出图5-1（a）所示电路t=0+时的等效电
路， 并计算iR3(0+)、 iR2(0+)、 uC(0+)、 uL(0+)。 已知 开关闭合前， 电路无储能。 ［解］ 因为换路前电路无储能， 所以 uC(0-)=0, iL(0-)=0 。作出 t=0+ 时的等效电路如图 5-1 （ b ）所示。 因 为 uC(0+)=uC(0-)=0 ， 所 以 电 容 可 看 成 短 路 ； 因 iL(0+)=iL(0-)=0， 所以电感可看成开路。
电工基础第六章 电路的过渡过程
RC
u i 的变化放规电律时仍，可电用容三两要端素的法电来压确c定、。放按电指电数流规
律变化，其数学表达式为
Uc Uc
0
t
t
e Ee
i i
0
t
e
E
t
e
R
三、RC电路的放电过程
电容通过电阻放电的电流和电容两端的电压 都按指数规律变化，其数学表达式为i来自Ete
R
t
uc Ee
根据上式画出电流、电压随时间变化的曲线，如图
二、 发生过渡过程的原因
如图所示的电路开关S闭合前电路中，电路处于稳定
状态。
S
＋
L1
L2
L3
Us
R
L
C
－
开关S闭合后
电阻支路：支路电流立刻达到稳定值，电路进入另一个稳态。 说明纯电阻电路无过渡过程。
电感支路：支路中电流从零增加到I需要经过一段时间即电流不 能突变，存在过渡过程。
电容支路：支路中电容两端电压不能突变，所以也存在过渡过程
三、换路定律
同样的道理，在具有电容的支路中，电容器 两端的电压不能发生突变。电容支路中的电流
iC
C
uC t
如果 uC能发生突变，那么该支路的电流
iC将变无穷大，这显然也是不可能的。
如果电流或电压能跃变，那么磁场能（Wm） ，电场能（We），也必然随之发生跃变，而功
率（ p）必然无穷大，这是不可能的。
和时间常数 。根据此公式来求解一阶电路过渡
过程的方法就称为三要素法。
值得强调的是，三要素法只适用于求解一阶线性电 路，对于二阶或高阶的电路是不适用的。
三、RC电路的放电过程
在图中，S拨在“1”位时电路已稳定，C
动态电路的过渡过程
uL（0+）= US – i 2（0+）R2 – i 1（0+）R1 =
20 – 0.2×30 - 0.5×10 = 9 V
5.2 一阶RC电路旳过渡过程
5.2.1 RC电路旳零输入响应
前面已讲过，一阶电路是指电路中仅含一种独立旳动态元件旳电路。 当一阶电路中旳动态元件为电容时称为一阶电阻电容电路（简称为RC电 路）；当动态元件为电感时称为一阶电阻电感电路（简称为RL电路）。
iL也不能跃变（假设电容电流iC和电感电压uL为有限值），这个基本原则对换
路前后旳电路亦合用。所以能够得到
uC（0+）= uC（0 -） iL（0+）= iL（0 -）
(5-1)
式（5-1）称为换路定律。
换路定律阐明，在换路前后，电容电压uC和电感电流iL不能发生跃变，即
满足 t = 0+ 时刻值等于t = 0- 时刻值，其值具有连续性。需要注意旳是，换
t
)
2
R
d
t
U
2 0
R
( RC )
2t
e RC
20
d( 2t ) RC
1 2
CU
2 0
(e
2t RC
∣)
0
1 2
CU
2 0
(0
1)
1 2
CU
2 0
它等于放电前电容所储存旳全部电场能量。由
此证明，零输入响应旳实质是储能元件旳放电过 程。
例题(补) 右图所示电路中，已知US =20 V， R1 = 4 kΩ，C =1 µF，R2 = 2 kΩ，R3 = 6 kΩ，C =1 µF，开关S闭合时电路处于稳态。t = 0时S打 开，求电容电压uC和电路电流i旳变化规律即解析
第5章电路的过渡过程
i C
电容器的电容与极板的尺寸及其间介质的 介电常数等有关. 介电常数等有关. S — 极板面积(m2) 极板面积( εS 板间距离( ) 板间距离 (F) d —板间距离(m) C= d ε—介电常数(F/m) 介电常数( 介电常数 ) 当电压u变化时 在电路中产生的电流: 变化时, 当电压 变化时,在电路中产生的电流
6-7
说明: 说明:
讲课重点:直流电路,交流电路都存在过渡过程. 讲课重点:直流电路,交流电路都存在过渡过程. 我们讲课的重点是直流电路的过渡过程. 我们讲课的重点是直流电路的过渡过程. 研究过渡过程的意义:过渡过程是一种自然现象, 研究过渡过程的意义:过渡过程是一种自然现象, 对它的研究很重要.过渡过程的存在有利有弊.有 对它的研究很重要.过渡过程的存在有利有弊. 利的方面,如电子技术中常用它来产生各种波形; 利的方面,如电子技术中常用它来产生各种波形; 不利的方面,如在暂态过程发生的瞬间, 不利的方面,如在暂态过程发生的瞬间,可能出现 过压或过流,致使设备损坏,必须采取防范措施. 过压或过流,致使设备损坏,必须采取防范措施.
1 2 W L = ∫ ui d t = Li 0 2
t
因为能量不能跃变, 因为能量不能跃变,能量的存储和释放需要一个 过程,所以有电感的电路存在过渡过程 电感的电路存在过渡过程. 过程,所以有电感的电路存在过渡过程.
6-6
结 论
有储能元件( , ) 有储能元件(L,C)的电路在电路状态发生 变化时( 电路接入电源,从电源断开, 变化时(如:电路接入电源,从电源断开,电路 结构或参数突然改变等)存在过渡过程; 结构或参数突然改变等)存在过渡过程; 没有储能作用的电阻( )电路, 没有储能作用的电阻(R)电路,不存在过渡过 程. 在过渡过程期间, 旧稳态" 电路中的 u,i在过渡过程期间,从"旧稳态"进 , 在过渡过程期间 入"新稳态",此时u,i 都处于暂时的不稳定状态, 新稳态" 此时 , 都处于暂时的不稳定状态, 所以过渡过程又称为电路的暂态过程. 所以过渡过程又称为电路的暂态过程. 过渡过程又称为电路的暂态过程
第4章电路的过渡过程
(2)对除uC、iL以外的电容电流、电感电压以及 电阻元件支路的电流、电压，在t =0+时刻初始 值是可以突变的，这些电流、电压的初始值不 能用换路定则来求解。一般都应先按换路定则 确定电路中的uC(0+)和iL(0+)的值，再把uC(0+)视 为一个电压源，把iL(0+)视为一个电流源，然后 作出t =0+时等效电路，根据基尔霍夫定律列出t =0+时的电路方程，将uC(0+)和iL(0+)的值代入方 程中，便可解出电路中任一支路或元件换路后 的电压、电流的初始值。
产生过渡过程的原因主要有二条： 一．电路的换路是引起过渡过程的原因之一。所谓换 路，就是指电路的工作状态的改变，如电路的接通、断 开、短接、改接，电源电压或电路元件参数的改变等各 种运行的操作，以及短路、断路、接地等各种故障现象 的出现，都会改变电路的工作状态，统称为换路。换路 是产生过渡过程的外部条件。
4.1.2 换路定则和初始值的确定 1.电路的换路定则 根据电容元件电场能量和电感元件的磁场能量不能突变 的性质，可以得出在换路前后瞬间电容两端的电压和电感 元件的电流不能突变的结论，这个结论就是换路定则。
设t = 0 是电路进行换路的时刻，用t =0-表示换路前的终 止一瞬间，用t =0+表示换路后初始一瞬间。我们把电容器 电压t =0-瞬间值用uC(0-)表示，t =0+瞬间值用uC(0+)表示。 同样把电感电流t =0-瞬间值用iL(0-)表示，t =0+瞬间值用 iL(0+)表示。则换路定则的数学表达式
例 4-1 电路如图4-1所示，求换路后电容电压uC(0+)和电感 电流iL(0+)。换路前开关K闭合且电路处于稳态。
lin实验17知识资料一阶电路过渡过程实验
➢ 其中τ＝RC称为电路的时间常数
三、实验仪器和器材
1. 函数信号发生器 2. 示波器 3. 电阻 4. 电容 5. 电感 6. 实验电路板 7. 短接桥 8. 导线
四、实验内容及步骤
1. RC电路的过渡过程 2. RL电路的过渡过程
1.RC电路的过渡过程
➢ 观察并记录UC(t)曲线 ➢ 观察并记录电路参数对Uc(t)曲线的影响 ➢ 观察并记录UR(t)曲线 ➢ 观察并记录电路参数对UR(t)曲线的影响
观察并记录电路参数对UR（t）曲线 的影响
➢ 将电路参数改为R＝820Ω，C＝0.1μF，函 数信号发生器的设置不变，重复前边实验 步骤。
2.RL电路的过渡2. 观察并记录电路参数对UL(t)曲线的影响 3. 观察并记录UR(t)曲线 4. 观察并记录电路参数对UR(t)曲线的影响
观察并记录电路参数对UR(t)曲线的 影响
➢ 改变参数值R=820Ω，L＝22mH，重复前 边实验内容，观察波形的变化。
实验17 一阶电路过渡过程实验
一、实验目的 二、原理 三、实验仪器和器材 四、实验内容及步骤
一、实验目的
1. 观察一阶电路的过渡过程，研究元件参数 对过渡过程曲线的影响
2. 学习函数信号发生器和示波器的使用方法
二、原理
➢ 正阶跃信号作用下
U C (t) U (1 et / )
➢ 输入负阶跃信号
观察并记录UC(t)曲线
➢ 设定函数信号发生器的波形为矩形波，峰 峰值为2.5V，频率为1KHz，占空比为50%。 取R＝300Ω，C＝0.1μF。
观察并记录电路参数对Uc(t)曲线的 影响
➢ 将电路参数改为R＝820Ω，C＝0.1μF，重 复前边步骤的实验内容。
rl串联电路暂态过程
RL串联电路的暂态过程是指电路从稳态到稳态之间的过渡过程。
在电路接通瞬间，电流从零开始逐渐增大，电感上的电压逐渐减小，电阻上的电压逐渐增大。
当电流达到稳态值时，电感上的电压为零，电阻上的电压等于电源电压。
在暂态过程中，电路中的电流和电压是随时间变化的。
对于RL串联电路，可以通过微分方程来描述其暂态过程。
根据KVL，可以列出回路电压方程：uR+uL=E，其中uR为电阻上的电压，uL为电感上的电压，E为电源电压。
根据电路中的元件参数和初始条件，可以求解这个微分方程，得到电流和电压随时间变化的规律。
在暂态过程中，电感相当于一个阻值很小的电阻，因此电流会逐渐增大。
而电感上的电压则与电流的变化率成正比，因此会逐渐减小。
当电流达到稳态值时，电感上的电压为零，电阻上的电压等于电源电压。
需要注意的是，在暂态过程中，电流和电压的变化率都很大，因此在实际应用中需要采取一定的保护措施，以避免对电路和元件造成损坏。
第五章 电路的过渡过程
• 二、换路定律和初始值的计算
• 电路在换路时所遵循的规律被称为换路定律。
• 1．电容元件
• 对于电容量为常数的线性电容元件，电压与电荷量之间的关 系如图5-2a）所示.有
q ( t ) Cu ( t ) C
• 设起始时刻为t0，电容器的起始电压为 uC (t0 ) ，则 1t u ( t ) u ( t ) i ( t ) dt C C 0 C 0 C
du dq iC C C dt dt
• 电容元件的性能特点如下： • （1）电容元件具有通交流隔直流的作用。在任何 时刻，通过电容器的电流与此时刻的电压变化率成 正比，所以电容器两端加交流电压时，必然有电流 iC通过；如果在电容器两端加一直流电，电流 iC=0，相当于电容器处于开路状态。 • （2）电压不能突变，通过电容的电流iC必定为有 限值，电容两端的电压是ic随时间t的积分，故电压 为连续函数，不能突变。 • （3）电容器两端的电压uC(t)与t时刻以前的电流 有关，即电容器具有“记忆”电流的功能。
• 当t>0时，电容通过电阻R放电，形成放电电流 iC(t)，电容电压uC(t)和电流iC(t)都随着时间t的 增加逐渐降低，电容上的初始储能逐渐被电阻消耗， 直至uC(t)和iC(t)都趋近于零，电路进入一个新的 稳态。 • 在当t>0时，电路中的响应仅由电容初始储能产生， 该响应为一阶RC电路的零输入响应。 • 下面对电容放电的过渡过程进行分析。 • 当t>0时，根据KVL定律得 u ( t ) Ri ( t ) 0 • 或 u ( t ) Ri ( t ) C C C C du t) C( • 电容上 ，代入上式 iC(t) C 得 dt du ( t) C RC u ( t) 0 C dt • （5-11）
单元二项目六任务三 分析RL串联电路的过渡过程
析如何提高输出电压的幅值。
五.实训注意事项
1、示波器的辉度不要过亮。
2、调节仪器旋钮时，动作不要过快、过猛。 3、可变电阻和可变电容应在断电的情况下调节。
六.思考题
1、按照实训任务的要求，在坐标纸上画出所观察的 波形，并标明电路参数和时间常数。 2、根据曲线的结果，说明电容器充放电时电流、电 压的变化规律以及波形随时间常数 的变化规律。
iL（t）。
一.实训目的
1、验证电容器充电与放电过程中电流与电压的变化规律。
2 了解时间常数 = RC 对充放电过程的影响。 3、观察微分与积分电路的波形及其与时间常数的关系。
4、初步掌握示波器的使用方法。
二.实训器材
实训仪器及元件见实训表8-1。
三.相关知识
1、电路换路后且无外加电源，仅由电路中动态元件初始
过程是相同的。
3、双踪示波器的使用 双踪示波器是常用的电子仪器之一。它可以将电压随时 间的变化规律显示在荧光屏上，以便研究它的大小、频率、 相位和其他物理量的变化规律，还可以用来显示两个相 关 的电学物理量之间的函数关系。
四.实训步骤
1 示波器测试RC电路的时间常数 实训图8-2是一RC串联电路，调整信号源使其输出电压
高的电动势。这个感应电动势可将开关断开处的空气击 穿，通过空气形成电感元件的放电回路，即产生电弧现
象，如图 2-83 所示。
在切断含有大电感元件的电路时，开关上产生的电弧会 烧坏开关的触头，并且损坏大电感元件两端并联的仪表或 其他电气元件。因此，在将这种含有大电感的电路与电源 断开的同时，给电感元件两端并联一个放电的支路，将其 存储的能量消耗掉，如图 2-82（b）所示。
稳态电流值为
解得 t=0s时 T=0.7s时 如图 2-80（a）所示，开关S在1位置电路已处于稳态， 电感元件L相当于短路，L中流过的电流为
第四章 电路的过渡过程
2
这通常也是不可能的。 由于电路中总要有电阻， 这通常也是不可能的。 由于电路中总要有电阻， iC只能是有限值 ， 所以有限电流对电容充电 ， 只能是有限值， 所以有限电流对电容充电， 电容电荷及电压u 就只能逐渐增加， 电容电荷及电压 C就只能逐渐增加， 而不可能 在瞬间突然跃变。 在瞬间突然跃变。
第4章 电路的过渡过程
4.1.3 研究过渡过程产生的实际意义 研究电路的过渡过程有着重要的实际意义: 研究电路的过渡过程有着重要的实际意义 一方面 是为了便于利用它， 例如电子技术中多谐振荡器、 单 是为了便于利用它， 例如电子技术中多谐振荡器、 稳态触发器及晶闸管触发电路都应用了RC充放电电路； 稳态触发器及晶闸管触发电路都应用了 充放电电路； 充放电电路 另一方面， 在有些电路中， 另一方面， 在有些电路中， 由于电容的充放电过程可 能出现过电压、 过电流， 进行过渡过程分析可获得预 能出现过电压、 过电流， 以便采取措施防止出现过电压、 过电流。 见， 以便采取措施防止出现过电压、 过电流。
第4章 电路的过渡过程
2 在电容中储能表现为电场能量 WC = 1 CuC ，
由于换路时能量不能跃变， 由于换路时能量不能跃变， 故电容上的电压一 般不能跃变。 从电流的观点来看， 般不能跃变。 从电流的观点来看， 电容上电压
du 变为无限大， 的跃变将导致其中的电流 iC = C dt 变为无限大，
dt
第4章 电路的过渡过程
4.1.2 换路定律
用直接求解微分方程的方法分析电路的过渡过程 需要确定积分常数， 因此就必须知道响应的初始值， 需要确定积分常数， 因此就必须知道响应的初始值， 而初始值可由换路定律得到。 而初始值可由换路定律得到。 电路理论中把电路结构或元件参数的改变称为换 如图4-1（a） 开关S由打开到闭合 由打开到闭合， 路。 如图4-1（a）， 开关S由打开到闭合， 假设开关 动作瞬时完成， 开关的动作改变了电路的结构， 动作瞬时完成， 开关的动作改变了电路的结构， 这就 称为换路， 开关动作的时刻选为计时时间的起点， 称为换路， 开关动作的时刻选为计时时间的起点， 记 为t=0。 我们研究的就是开关动作后， 即t=0以后的电 。 我们研究的就是开关动作后， 以后的电 路响应。 路响应。
RL电路的过渡过程
RL电路的过渡过程过渡过程是指从一个稳态状态到另一个稳态状态的中间过程。
在RL 电路中，R代表电阻，L代表电感，过渡过程是指当电路中的电流或电压发生变化时，电阻和电感之间的相互作用导致电路中电流或电压逐渐向新的稳态状态变化的过程。
在RL电路中，当电压源或电流源发生突变时，电感上的电压和电流以及电阻中的电流和电压会逐渐的变化直到最终达到新的稳态。
这个过程可以通过欧姆定律和基尔霍夫电压定律来进行分析和计算。
当电压源突然变化时，电感中的电流发生变化。
根据欧姆定律和基尔霍夫电压定律，电流变化会导致电感中的电压也发生变化。
由于电感的特性，电流的变化是缓慢的，因此电感中的电压也是缓慢变化的。
电流和电压的变化服从指数函数的规律，其具体形式取决于电路中的电阻和电感的数值。
过渡过程可以分为两个阶段：自由响应和强迫响应。
自由响应是指在没有外加电源情况下，电路中的电感和电阻之间的相互作用导致的电流或电压的变化。
在自由响应阶段，电流和电压的变化是由电感的特性决定的。
根据基尔霍夫电压定律和欧姆定律可以得到自由响应的微分方程。
将这个微分方程带入求解，可以得到电流和电压随时间的变化规律。
强迫响应是指在有外加电源情况下，电路中的电感和电阻之间的相互作用导致的电流或电压的变化。
在强迫响应阶段，外加电源的作用使得电流和电压的变化更加复杂。
强迫响应可以通过将外加电源视为输入信号，将电感和电阻视为系统响应，应用输入输出关系进行分析。
在整个过渡过程中，电感中的电流和电压的变化逐渐减小，最终达到新的稳态。
这个过程的时间取决于电路中的电感和电阻的数值，以及外加电源变化的速度。
通过计算和模拟可以得到过渡过程的详细特性。
总之，RL电路的过渡过程是指从一个稳态到另一个稳态之间的中间过程，其中电流和电压的变化是由电感和电阻之间的相互作用导致的。
过渡过程可以分为自由响应和强迫响应两个阶段，并且最终会达到新的稳态。
通过分析欧姆定律和基尔霍夫电压定律，可以得到过渡过程的微分方程并进行求解。
RL电路的过渡过程
RL 电路的过渡过程摘 要：一个电路从原来的稳定状态向新的稳定状态变化需要经过另一个时间过程，这就是电路的过渡过程。
电路的过渡过程虽然往往很短暂，但它的作用和影响很重要。
本文将用数学分析方法对RC 及RL 一阶线性电路进行全面分析，目的就在于认识和掌握有关的规律，利用过渡过程特性的有利的一面，对其有害的一面进行预防或抑制。
关键词：过度过程，放电过程，充电过程，零状态，非零状态I ．RC 电路的过渡过程1．1 RC 电路的放电过程设开关原在位置2，电路达到稳态后，电容电压等于U,在0t =时开关突然倒向位置1,则在0t ≥时，按照基尔霍夫电压定律列出电路方程0C iR u +=因为 Cdu i C dt= 故得 0CC du RCu dt+= （1） 这是一个一阶、线性、常系数、齐次微分方程，其通解为ptC u Ae =将上式代入式（1），消去公因子,ptAe 则得到该微分方程的特征方程10RCP +=该特征方程根（特征根）为1p RC=-因此，式（1）的通解为t RCC u Ae-=其中A 为待定的积分常数，由初始条件确定。
根据换路定律，换路瞬间电容上的电压不能突变，即在0t +=时，C u =U ，故有A =U 。
于是微分方程（1）的解为t t RCC u UeUe τ--== （2）将电容电压C u 随时间的变化曲线画在图（2）（a ）中，这是一个指数曲线，其初始值为U ，衰减的终了值为零。
式（2）中τ=RC ，称为RC 电路的时间常数，它决定了电压C u 衰减的快慢。
τ的单位图（1）RC 电路[][]RC τ⋅==⋅⋅⋅库仑安秒欧法拉=欧=欧=秒伏伏即τ代表时间，其单位为秒。
当t =τ时8.36718.21===-UUu e c ℅U 可见时间常数τ等于电压C u 衰减到初始值U 的36.8%所需的时间。
可以证明，指数曲线上任一点的次切距的长度ab 都等于τ，见图（2）（b ），图中在0t t =点曲线的变化率00()t C C t t du u t Uedtτττ-==-=-它就是曲线在c 点的切线的斜率。
实验六 一阶RL电路的过渡过程的multisim实验
dt diL 实验六 一阶RL 电路的过渡过程实验一、实验目的1、研究RL 串联电路的过渡过程。
2、研究元件参数的改变对电路过渡过程的影响。
二、实验原理在电路中，在一定条件下有一定的稳定状态，当条件改变，就要过渡到新的稳定状态。
从一种稳定状态转到另一种新的稳定状态往往不能跃变，而是需要一定的过渡过程（时间）的，这个物理过程就称为电路的过渡过程。
电路的过渡过程往往为时短暂，所以电路在过渡过程中的工作状态成为暂态，因而过渡过程又称为暂态过程。
1、RL 电路的零状态响应（电感L 储存能量）图6-1 (a) 是RL 串联电路。
在t = 0时将开关S 合上，电路既与一恒定电压为U 的电压接通。
根据基尔霍夫电压定律，列出t ≥0时电路的微分方程为i R + =U(a) (b) (c)图6-1 RL 电路的零状态响应电路及、、 随时间变化曲线电路中的电流为电阻上电压为电感上的电压为其随时间的变化曲线如图6-1（b ）、(c)所示。
2、RL电路的零输入响应（电感L释放能量）在图6-2(a) 所示RL串联电路，开关S是合在位置2上，电感元件中通有电流。
在t = 0时将开关从位置2合到位置1，使电路脱离电源，RL电路被短路。
此时电路为零输入响应。
(a) (b) (c)图6-2RL电路的零输入响应电路及、、随时间变化曲线根据克希荷夫电压定律，列出t≥0时电路的微分方程为电路中的电流为其随时间的变化曲线如图6-2 (b) 所示。
它的初始值为I 0，按指数规律衰减而趋于零。
式中τ叫做时间常数，它反映了电路过渡过程时间的长短。
电路中电阻上电压为电路中电感上电压为其随时间的变化曲线如图6-2（c）所示。
3、时间常数τ在RL串联电路中，τ为电路的时间常数。
在电路的电路零状态响应上升到稳态值的63.2%所需要时间为一个时间常数τ，或者是零输入响应减到初始值的36.8%所需要时间。
虽然真正电路到达稳定状态所需要的时间为无限大，但通常认为经过（3—5）τ的时间，过度过程就基本结束，电路进入稳态。
第十二章电路中的过渡过程
第4章动态电路的了时域分析学习指导与题解一、基本要求1．明确过渡过程的含义，电路中发生过渡过程的原因及其实。
2．熟练掌握换路定律及电路中电压和电流初始值的计算。
3．能熟练地运用经典分析RC和RL电路接通或断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。
明确RC和RL电路放电和充电时的物理过程与过渡过程中电压电流随时间的规律。
4．明确时间常数、零输入与零状态、暂态与稳态、自由分量与强制分量的概念，电路过渡过程中的暂态响应与稳态响应。
5．熟练掌握直流激励RC和RL一阶电路过渡过程分析的三要素法。
能分析含受控源一阶电路的过渡过程。
6．明确叠加定理在电路过渡过程分析中的应用，完全响应中零输入响应与零状态响应的分解方式。
掌握阶跃函数和RC，RL电路阶跃响应的计算。
7．明确RLC电路发生过渡过程的物理过程，掌握RLC串联二阶电路固有频率的计算和固有响应与固有频率的关系，以及振荡与非振荡的概念。
会建立RLC二阶电路描述过渡过程特性的微分方程。
明确初始条件与电路初始状态的关系和微分方程的解法。
会计算RLC 串联二阶电路在断开直流电源时过渡过程中的电压和电流。
了解它在接通直流电源时电压和电流的计算方法。
二、学习指导电路中过渡过程的分析，是本课程的重要内容。
教学内容可分如下四部分：1．过渡过程的概念；2．换路定律；3．典型电路中的过渡过程，包括RC和RL一阶电路和RLC串联二阶电路过渡过程的分析；4．叠加定理在电路过渡过程分析中的应用。
着重讨论电路过渡过程的概念，换路定律，RC和RL一阶电路过渡过程中暂态响应与稳态响应和时间常数的概念，计算一阶电路过渡过程的三要素法，完全响应是的零输入响应和零状态响应，阶跃响应，以及RLC 串联二阶电路过渡过程的分析方法。
现就教学内容中的几个问题分述如下。
（一） 关于过渡过程的概念与换路定律1． 关于过渡过程的概念电路从一种稳定状态转变到另一种稳定状态所经历的过程，称为过渡过程。
电路过渡过程中的电压和电流，是随时间从初始值按一定的规律过渡到最终的稳态值。
6.8 RL电路的暂态过程
uR
uC
二
已充电RC电路的短接
i
R
C
uR
uC
开关K置于2时，经过暂态 1 K 过程后电路处于稳态 u C 。 2 ε 开关改置于1后，RC支路被短 接，电容C放电，由基氏定律列方程求得电容器放电 时其电压从稳态值 以指数形式减少最后到零。 *三、较复杂RC电路的暂态过程 P263-265 自学
1、稳态 电路的电流（或各元件上的电压）为稳定值，不 随时间变化时的电路状态。
2、暂态过程 电路从一种稳态到另一种稳态经历的过渡过程。 3、约定 小写字母表示随时间变化的量，如变化电流i； 大写字母表示不随时间变化的量，如稳态电流I。 4、在R和C组成的电路中，也有暂态过程。下面 分别讨论RL、RC和RLC电路暂态过程中电流、电压 随时间的变化规律。 5、讨论暂态过程时，要用到欧姆定律和基尔霍 夫定律。
§6.8 RL电路的暂态过程
一 暂态过程 在恒定电流电路中，当电阻与电源组成的电路接
通时，闭合电路中立即产生一个稳定电流 I U R ， 电路达到稳定状态。任何时候电流I和外加电压U总 是一一对应的。 在有自感的电路中，当突然接通或断开电源时， 外加电压发生突变，相应的电流却不发生突变，而 是逐渐增加到稳态值或减少到零。 在此过程中，电流与外加电压并非一一对应，电 流随时间变化，经过一个连续变化的过渡过程，电路 才从一种稳定状态，达到另一种稳定状态。R i L Nhomakorabeae自
K
ε
用欧姆定律及基尔霍夫定律列方程，解微分方 程得回路中电流 i（t）的变化规律：i（t）以指数形 式变化，从稳态值0变化到稳态值I。 三 已通电RL电路的短接 当通过RL的电流已经稳 i e自 定以后，按下开关K，原电 d c K 路被开关K所在的短路线cd f 分为两个互不影响的回路： g R´ ε abcda和dcfgd。 对于含R、L的回路abcda，K接通后虽然它已经 脱离电源，但由于L的自感作用，该回路中的电流还 要持续一段时间才会消失。即电流 i(t) 不能立即减小 到零，而是从I0开始随时间按指数规律减小，最后到 达 i=I=0 的稳态。
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RL 电路的过渡过程摘 要：一个电路从原来的稳定状态向新的稳定状态变化需要经过另一个时间过程，这就是电路的过渡过程。
电路的过渡过程虽然往往很短暂，但它的作用和影响很重要。
本文将用数学分析方法对RC 及RL 一阶线性电路进行全面分析，目的就在于认识和掌握有关的规律，利用过渡过程特性的有利的一面，对其有害的一面进行预防或抑制。
关键词：过度过程，放电过程，充电过程，零状态，非零状态I ．RC 电路的过渡过程1．1 RC 电路的放电过程设开关原在位置2，电路达到稳态后，电容电压等于U,在0t =时开关突然倒向位置1,则在0t ≥时，按照基尔霍夫电压定律列出电路方程0C iR u +=因为 Cdu i C dt= 故得 0CC du RCu dt+= （1） 这是一个一阶、线性、常系数、齐次微分方程，其通解为ptC u Ae =将上式代入式（1），消去公因子,ptAe 则得到该微分方程的特征方程10RCP +=该特征方程根（特征根）为1p RC=-因此，式（1）的通解为t RCC u Ae-=其中A 为待定的积分常数，由初始条件确定。
根据换路定律，换路瞬间电容上的电压不能突变，即在0t +=时，C u =U ，故有A =U 。
于是微分方程（1）的解为t t RCC u UeUe τ--== （2）将电容电压C u 随时间的变化曲线画在图（2）（a ）中，这是一个指数曲线，其初始值为U ，衰减的终了值为零。
式（2）中τ=RC ，称为RC 电路的时间常数，它决定了电压C u 衰减的快慢。
τ的单位图（1）RC 电路[][]RC τ⋅==⋅⋅⋅库仑安秒欧法拉=欧=欧=秒伏伏即τ代表时间，其单位为秒。
当t =τ时8.36718.21===-UUu e c ℅U 可见时间常数τ等于电压C u 衰减到初始值U 的36.8%所需的时间。
可以证明，指数曲线上任一点的次切距的长度ab 都等于τ，见图（2）（b ），图中在0t t =点曲线的变化率00()t C C t t du u t Uedtτττ-==-=-它就是曲线在c 点的切线的斜率。
在直角三角形abc 中0()C ac u t =0()C C t t du u t tg dtθτ==故00()()C C u t ac ab u t tg τθτ=== 这就意味着，如果在0t t =点，按曲线在该点的切线cb 的斜率衰减，经τ秒后电容上的电压C u 就会衰减到零。
[1]下表列出RC 电路放电时，电容电压C u 随时间的变化情况tτ 2τ 3τ 4τ 5τ 6τC uU 0.368U0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U从表中可见，当3t τ=时，C u 衰减到初始值的5%，当5t τ=时，C u 已衰减到初始值的1%以下。
所以一般认为(3~5)t =τ时，电路已经达到稳定状态。
虽然从理论上讲，当t =∞时电路才到达稳定。
RC 电路放电过程中电容的放电电流和电阻的电压如下面的式子所示t tC RCdu U U i C e e dt R Rτ--==-=-ttRCR u iR UeUeτ--==-=-（a ） （b ）图（2）RC 放电电路中电容电压uc 随时间的变化曲线。
上面式中的负号表示放电电流和电阻电压的实际方向与图（1）中的参考方向相反。
在图（3）中画出了,C R u u 和i 随时间的变化曲线，从中可以清楚地看出三者之间的关系，从能量关系上讲，RC 电路的放电过程实际上是电容C 的电场能量转换为电阻上的热能的过程。
到达稳态后，电容上的电场能量全部转化为电阻上的热能。
这个关系可证明如下：电容原来储存的电场能量为 212C u CU =在整个放电过程中，电阻上消耗的热能为c t RCtRC R CU e RU RC dt e RU Rdt i ωω==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-===∞--∞∞⎰⎰20222202212放电过程的快慢以时间常数RC τ=为标志，C 越大，表示储存的电场能量越大；R 越大，表示放电电流越小，这都使放电变慢。
所以，改变电路中R 或C 的数值，就可改变电路的时间常数，从而改变电容放电的快慢。
[2]1．2 RC 电路的充电过程图（1）中，当开关K 合向位置2时，RC 串联电路即与直流电源U 接通，电源通过电阻R 向电容C 充电。
这实际上就是图（4）的电路。
下面讨论RC 充电电路的过渡过程。
选0t =时换路，则0t ≥时电路的微分方程为CC C du U iR u RCu dt =+=+ （3） 式中 C dui C dt=式（3）是一个一阶、线性、常系数、非齐次微分方程，它的通解由它的一个特解C u '及对应的齐次微分方程的通解C u ''组成。
特解C u '与方程中的已知函数U （即电源电压）有相同的形式，设,C u K '=代入式（3）得dKU RCK dt=+ 故 K U =因而得到方程的特解 C u U '=实际上它就是微分方程中待求函数C u 的稳态值。
因为稳态就是过渡过程在t =∞时的情况，所以稳态解必图（3）,C R u u 和i 随时间的变化曲线图（4） RC 充电电路定是该微分方程的一个特解。
参看图（4），稳态时电容相当于断路，根据基尔霍夫电压定律，电容上的稳态电压等于电源电压U 。
式（3）对应的齐次微分方程就是式（1），其通解记为C u ''，则有 tRCC u Ae -''=因此微分方程（3）的通解为t RCC C C u u u U Ae-'''=+=+ （4）下一步是根据初始条件定积分常数A 。
下面分两种情况来讨论。
[3]1．2．1 零状态若换路瞬间0t -=时电路中的所有储能元件均没有储存能量，即电路中电容电压和电感电流均为零（初始条件为零），则称电路为零状态。
在RC 电路充电过程中，零状态就是(0)0C u -=。
按照换路定律，有 (0)(0)0C C u u +-== 将它代入通解式（4）中，得(0)0RCC u U Ae U A -+=+=+=故 A U =- 最后得到微分方程（3）的解为11t t t RCRC C u U UeU e U e τ---⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（5） 在图（5）中画出了电容的充电电压C u 随时间的变化曲线，其中C u '是恒定的，C u ''按指数规律衰减至零，C u 则按指数规律增长而最终趋于稳态值。
当t τ=时11(1)163.2%2.718C u U e U -⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭U电容充电的过渡过程中电容上的电压C u 由两个分量组成，如式（5）所示，其中C u '为稳态分量，即到达稳定状态时的电压，它相当于微分方程的特解，与输入函数（电源电压）有相同的形式，故又称强制分量；C u ''为暂态分量，它只在过渡过程中存在，随时间按指数规律衰减，最终衰减到零。
暂态分量的衰减规律只与R 和C 有关，而与电源无关，但它的大小则与电源电压有关。
暂态分量相当于对应的齐次微分方程的通解，有时又称为自由分量。
[4]图（5） RC 充电电路中C u 随时间的变化曲线RC 充电过程中的电流按下式求出tC du U i C e dt Rτ-== 电阻上的电压为tR U iR Ueτ-==将,C R u u 和i 随时间的变化曲线画在一起，如图（6）所示。
1．2．2 非零状态若在换路瞬间0t -=时，电路中的储能元件已储有能量，即已有电容电压或电感电流（初始条件不为零），则称电路处于非零状态。
在RC 电路充电过程中，非零状态就是(0)C u -有非零值，设0(0)C u U -=，按照换路定律，有0(0)(0)C C u u U +-== 将它代入通解式（4）中，得 00(0)RCC u U AeU A U -+=+=+=故 0A U U =- 微分方程的解为00()()t tRCC u U U U eU U U e τ--=+-=+- （6）它也是由稳态分量和暂态分量组合而成。
图（7）画出了C u 随时间变化的曲线。
当0U U <时，C u 由初始值0U 逐渐增加到稳态值U ，这是一个充电过程，如图（7）（a ）所示；当0U U >时， C u 由初始值0U 逐渐衰减到稳态值，这是一个放电过程，如图（7）（b ）所示。
电路的电流0tC du U U i C e dt Rτ--== 可见，0U U <时i 为正，0U U >时i 为负，即两种情况下电路中电流的方向相反，它们分别为充电电流和放电电流。
电阻上的电压图（6）,C R u u 和i 随时间的变化曲线0()a u u <时 0()b u u >时图（7）C u 随时间的变化曲线0()tR u iR U U eτ-==-讨论了RC 串联电路的过渡过程后，可以归纳出解线性电路过渡过程的一般步骤：[5]（1）列出换路后的电路的微分方程；（2）求微分方程的特解，即稳态分量；（3）求对应的齐次微分方程的通解，即暂态分量；（4）按换路定律确定过渡过程的初始值，定出积分常数。
例1： 如图（4）所示RC 电路中，100,50,0.2,U V R C F μ==Ω=电容原无储能。
在0t =时合开关K ，求：（1）电路的时间常数，（2）电容上的电压C u 和电流i ，（3）最大充电电流，（4）开关合上后20s μ时的C u 和i ，（5）电容电压充到95V 所需时间。
解：（1）该RC 电路的时间常数66500.210101010RC s s τμ--==⨯⨯=⨯=（2）电容上的电压5101100(1)tt C u U e e V τ--⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭电路电流551010100250t t t U i e e e A R τ---=== （3）开关K 刚合上时，即0t +=时，电容电压C u （0+）=C u （0-）=0，这时电源电压全部降落在电阻R 上，电路的电流100(0)250U i A R +=== 为最大充电电流，此后该电流按时间常数τ逐渐衰落到零。
（4）合上开关后20s μ时，即6202010t s s μ-==⨯时561020102100(1)100(1)86.5C u e e V --⨯⨯-=⨯-=⨯-=220.27i e A -==（5）设1t t =时C u =95V ，即 95)1(100)1()(151101=-⨯=-=--t t C e e U t U τ故 51109510.05100t t e-=-= s s n t μ301031005.01551=⨯=-=- 即电容电压充到95V 所需时间为30s μ。