数学分析试题及答案

（二十一）数学分析期终考试题一 叙述题：（每小题5分，共15分）1 开集和闭集2 函数项级数的逐项求导定理3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分）1、⎰-9131dx x x2、求)0()(222b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积3、求幂级数n n n x n ∑∞=+12)11(的收敛半径和收敛域 4、11lim222200-+++→→y x y x y x5、22),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）1、已知⎪⎩⎪⎨⎧==≠+++=0,0001sin )(),(222222y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连续，但它在该点可微2、讨论级数∑∞=-+12211ln n n n 的敛散性。

3、讨论函数项级数]1,1[)1(11-∈+-∑∞=+x n x n x n n n 的一致收敛性。

四 证明题：（每小题10分，共20分）1 若⎰+∞adx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞→x f x2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ⊂内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件：''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。

参考答案一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。

2 设函数项级数∑∞=1)(n nx u满足（1）),2,1)(( =n x u n 在[a ，b]连续可导a)∑∞=1)(n nx u在[a ，b]点态收敛于)(x Sb)∑∞=1')(n x un在[a ，b]一致收敛于)(x σ则)(x S =∑∞=1)(n n x u 在[a ，b] 可导，且∑∑∞=∞==11)()(n n n nx u dx dx u dx d 3、有界函数)(x f 在[a ，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当0)(max 1→∆=≤≤i ni x λ时Darboux 大和与Darboux 小和的极限相等二、1、令31x t -=（2分）7468)1(31233913-=--=-⎰⎰-dt t t dx x x （5分） 2、222221,x a b y x a b y --=-+=，（2分）所求的体积为：b a dx y y aa2222212)(ππ=-⎰-（5分） 3、解：由于e n n n n n n nn 1])111(1))111()11(lim[(11=++⨯+++++∞→收敛半径为e 1(4分），当e x 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+n e n n n n ，所以收敛域为)1,1(ee - (3分） 4、2)11(lim )11)(11()11)((lim11lim220022*******222200=+++=+++-++++++=-+++→→→→→→y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x （7分）5、解： 设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(-=-=-=-z y x f f f （4分）136)2,1,2(=-l f （3分）三、1、解、⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++-+=000)1cos 11(sin 22222222222y x y x y x y x y x x f x （4分）由于22221cos 1yx y x ++当趋于（0，0）无极限。

所以不连续，同理可的y f 也不连续，（2分） 2、解：11211ln lim 222=--+∞→n n n n （5分）∑∞=-1212n n 收敛，所以原级数收敛（5分）3、解：部分和1)(1+-=+n x x x S n n （3分），,0>∀ε 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ε1N ，N n >时有ε<≤+=-+nn x x x S n n 11)(1，所以级数一致收敛（7分）四、证明题（每小题10分，共20分）1、证明：用反证法若结论不成立，则X x a X >∃∀>∃00,.,0ε ，使得00)(ε≥x f ，（3分）又因为在f （x ）在[a ,∞）上一致连续函数，a x x >∀∈∃'''0,),1,0(δ，只要0'''δ<-x x ，有2)()(0'''ε<-x f x f ，（3分）于是1,00+=≥∀A X a A 令，取上述使00)(ε≥x f 的点,0X x >，不妨设0)(0>x f ，则对任意满足00δ<-x x 的x ，有022)()(00>≥->εεx f x f 取A 和A ‘分别等于20δ-x 和20δ+x ，则002)('δε>⎰A Adx x f 有，由Cauchy 收敛定理，⎰+∞adx x f )(不收敛，矛盾（4分）2、证明：D y x ∈∀),(00，由Lipschitz 条件),(),(),(),(),(),(000000y x f y x f y x f y x f y x f y x f -+-≤-),(),(0000y x f y x f y y L -+-≤（1），（6分）又由二元函数),(y x f 在开集2R D ⊂内对于变量x 是连续的，（1）式的极限为0，),(y x f 在),(00y x 连续，因此),(y x f 在D 内连续（4分）（二十二）数学分析期末考试题一 叙述题：（每小题5分，共15分）1 Darboux 和2 无穷限反常积分的Cauchy 收敛原理3 Euclid 空间二 计算题：（每小题7分，共35分）1、nn nn !lim+∞→ 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积 3、dx x e I n x n ⎰+∞-=(n 是非负整数）4、设f xyz z y x f u ),,(222++=具有二阶连续偏导数，求xz u∂∂∂25、求xe xf =)(的幂级数展开式三 讨论与验证题：（每小题10分，共20分）1、讨论二元函数连续、偏可导、可微之间的关系。

对肯定的结论任选一进行证明；对否定的结论，给出反例2、讨论级数)0(cos 1π<<∑∞=x n nxn p的绝对和条件收敛性。

四 证明题：（每小题10分，共30分）1 f （x ）在[0，+∞）上连续且恒有f （x ）>0，证明⎰⎰=x xdtt f dt t tf x g 00)()()(在[0，+∞）上单调增加2 设正项级数∑∞=1n nx收敛，{}n x 单调减少，证明0lim =∞→nn nx3 yx yy x f +=2),(，证明：),(lim 00y x f y x →→不存在 参考答案一、1、有界函数)(x f 定义在],[b a 上，给一种分法P，b x x x a n =<<<= 10和记{}{}],[),(inf ,],[),(sup 11i i i i i i x x x f m x x x f M --==，则∑∑==∆=∆=ni ii ni i i x m P S x M P S 11)(,)(分别称为相应于分法P的Darboux 大和和Darboux 小和。

2、a N >∃>∀.0ε使得N n m >>∀，成立ε<⎰nmdx x f )(3、nR 向量空间上定义内积运算n n y x y x ++= 11y x,构成Euclid 空间二、1、由于1ln 1ln lim )ln )ln ((1lim !ln lim 1011-===-=⎰∑∑=∞→=∞→∞→xdx n n i n n i n n n n i n n i n nn （7分）2、解：两曲线的交点为（2，2），（0，0），（2分）所求的面积为：34)22(202=-⎰dx x x （5分） 3、 解：dx x e I n x n ⎰+∞-=0=+∞--0|xnex +dx x e n n x ⎰+∞--01=1-n nI dx x e n x ⎰-1+dx x e n x ⎰+∞-1（6分）!n I n =(1分）4、：xu∂∂=212yzf x f +（3分）)2()2(22221212112xyf zf yz yf xyf zf x x z u ++++=∂∂∂（4分） 5、解： 由于余项)(0)!1()(1∞→→+≤+n x n e x r n xn ，（3分）所以++++=!!212n x x x e nx（4分）三、1、解、可微必可偏导和连续，证明可看课本133页（4分），可偏导不一定连续和可微例子可看课本135页（6分）2、解：当1>p 时，级数绝对收敛，（4分）当10≤<p ，由Dirichlet 定理知级数收敛，但p p p p n nx n n nx n nx 22cos 21cos cos 2+=≥，所以∑∞=1|cos |n pn nx 发散，即级数条件收敛（4分），当0≤p 时，级数的一般项不趋于0，所以级数不收敛（2分） 四、证明题（每小题10分，共30分）1 证明：0))(())()(()())(()()()()()(22'>-=-=⎰⎰⎰⎰⎰xxxx xdt t f dtt tf t xf x f dt t f dtt tf x f dt t f x xf x g （8分）所以函数单调增加（2分）2 证明：m n m >∀,，有m n m x x x m n <+<-+ 1)(由此得m n x mn nnx -<，（4分）由级数收敛，故0>∀ε可取定0m 使得ε<0m x ，又1lim=-∞→m n n n ，故0n ∃使得0n n >时，有2<-m n n，（4分）于是当0n n >时，有ε20<<n nx ，得证（2分）3、证明：1lim ),(lim 200=+=→=→x x xy x f x xy x 21lim ),(lim 222002=+=→=→x x x y x f x xy x ，所以),(lim 00y x f y x →→不存在（10分）（二十三）数学分析期末考试题一 叙述题：(每小题5分，共15分）1 微积分基本公式2 无穷项反常积分3 紧几合二 计算题：(每小题7分，共35分）1、]11[214042⎰⎰+++x dxt dt dx d x 2、求由下列两条曲线围成的平面图形的面积 3、求∑∞=+1)2(n nxn n 的收敛半径和收敛域4、设y e xe u z yz++=-，求偏导数和全微分5、xyxy y x 11lim-+→→三 讨论与验证题：(每小题10分，共30分）1 讨论22222)(),(y x y x y x y x f -+=的二重极限和二次极限2 讨论⎰e p xx dx10ln 的敛散性3、讨论函数项)10()(1≤≤-=+x xx x f n nn 的一致收敛性。