数学分析试题及答案

（二十一）数学分析期终考试题

一 叙述题：（每小题5分，共15分）

1 开集和闭集

2 函数项级数的逐项求导定理

3 Riemann 可积的充分必要条件 二 计算题：（每小题7分，共35分）

1、

⎰

-9

1

31dx x x

2、求)0()(2

2

2

b a b b y x ≤<=-+绕x 轴旋转而成的几何体的体积

3、求幂级数

n n n x n ∑∞

=+1

2)11(的收敛半径和收敛域 4、1

1lim

2

2220

0-+++→→y x y x y x

5、2

2

),,(yz xy x z y x f ++=，l 为从点P 0(2,-1,2)到点（-1，1，2）的方向， 求f l (P 0) 三 讨论与验证题：（每小题10分，共30分）

1、已知⎪⎩

⎪⎨⎧==≠+++=0

,0001sin )(),(222

2

2

2y x y x y x y x y x f ，验证函数的偏导数在原点不连

续，但它在该点可微

2、讨论级数∑∞

=-+1

2211

ln n n n 的敛散性。

3、讨论函数项级数]1,1[)1(

1

1

-∈+-∑∞

=+x n x n x n n n 的一致收敛性。

四 证明题：（每小题10分，共20分）

1 若

⎰

+∞

a

dx x f )(收敛，且f （x ）在[a ,+∞）上一致连续函数，则有0)(lim =+∞

→x f x

2 设二元函数),(y x f 在开集2R D ⊂

内对于变量x 是连续的，对于变量y 满足Lipschitz 条件：

''''''),(),(y y L y x f y x f -≤-其中L D y x y x ,),(),,('''∈为常数证明),(y x f 在D 内连续。

参考答案

一、1、若集合S 中的每个点都是它的内点，则称集合S 为开集；若集合S 中包含了它的所有的聚点，则称集合S 为闭集。

2 设函数项级数

∑∞

=1

)(n n

x u

满足（1）),2,1)(( =n x u n 在[a ，b]连续可导

a)

∑∞

=1)(n n

x u

在[a ，b]点态收敛于)(x S

b)

∑∞

=1'

)(n x u

n

在[a ，b]一致收敛于)(x σ

则)(x S =∑∞

=1)(n n x u 在[a ，b] 可导，且∑∑∞

=∞==1

1)()(n n n n

x u dx d

x u dx d 3、有界函数)(x f 在[a ，b]上可积的充分必要条件是，对于任意分法，当

0)(max 1→∆=≤≤i n

i x λ时Darboux 大和与Darboux 小和的极限相等

二、1、令3

1x t -=

（2分）7

468

)1(312

3391

3-

=--=-⎰⎰-dt t t dx x x （5分） 2、

222221,x a b y x a b y --=-+=，（2分）所求的体积为：

b a dx y y a

a

222

2212)(ππ=-⎰-（5分） 3、解：由于e n n n n n n n

n 1])

1

11(1))111()1

1(lim[(

11=++⨯+++++∞

→收敛半径为e 1(4分），当e x 1=时，)(01)1()1()11(2∞→≠→±+

n e n n n n ，所以收敛域为)1

,1(e

e - (3分） 4、2)11(lim )11)(11()

11)((lim

1

1lim

220

022*******

22220

0=+++=+++-++++++=-+++→→→→→→y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x （7分）

5、解： 设极坐标方程为4)2,1,2(.0)2,1,2(,2)2,1,2(-=-=-=-z y x f f f （4分）

13

6)2,1,2(=

-l f （3分）

三、1、解、⎪⎩

⎪⎨⎧

=+≠+++-+=0

00)1cos 11(sin 222222

22222

y x y x y x y x y x x f x （4分）由于

2

2221

cos 1y

x y x ++当趋于（0，0）无极限。所以不连续，同理可的y f 也不连续，（2分） 2、解：11211

ln lim 2

22=--+∞→n n n n （5分）∑∞

=-121

2n n 收敛，所以原级数收敛（5分）

3、解：部分和1)(1+-=+n x x x S n n （3分），,0>∀ε 取⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=ε1N ，N n >时有

ε<≤+=-+n

n x x x S n n 1

1)(1，所以级数一致收敛（7分）

四、证明题（每小题10分，共20分）

1、证明：用反证法

若结论不成立，则X x a X >∃∀>∃00,.,0ε ，使得00)(ε≥x f ，（3分）又因为在f （x ）在[a ,∞）

上一致连续函数，a x x >∀∈∃'

''

0,),1,0(δ，只要0'''δ<-x x ，有2

)()(0

'''ε<

-x f x f ，（3分）

于是1,00+=≥∀A X a A 令，取上述使

00)(ε≥x f 的点,0X x >，不妨设0)(0>x f ，则对任意满

足

00δ<-x x 的x ，有02

2

)()(0

0>≥

-

>εεx f x f 取A 和A ‘分别等于2

0δ-

x 和2

0δ+

x ，则

00

2

)('

δε>

⎰

A A

dx x f 有，由Cauchy 收敛定理，⎰

+∞

a

dx x f )(不收敛，矛盾（4分）

2、证明：D y x ∈∀),(00，由Lipschitz 条件

)

,(),(),(),(),(),(000000y x f y x f y x f y x f y x f y x f -+-≤-),(),(0000y x f y x f y y L -+-≤（1），（6分）又由二元函数),(y x f 在开集2R D ⊂内对于变量

x 是连续的，（1）式的极限为0，),(y x f 在),(00y x 连续，因此),(y x f 在D 内连续（4分）

（二十二）数学分析期末考试题

一 叙述题：（每小题5分，共15分）

1 Darboux 和