2019-2020学年四川省南充市高考数学一诊试卷(文科)
2019届四川省南充市高三一诊考试数学(文)试题Word版含答案
2019届四川省南充市高三一诊考试数学(文)试题Word版含答案12.椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为12F F ，，弦AB 过1F ，若2ABF △的内切圆周长为π， A B ，两点的坐标分别为()11x y ，和()22x y ，，则21y y -的值为（ ）A ．53B ．2035．103第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数2y x =-的定义域是 .14.若 x y ，满足条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值为 ．15.如果函数()()sin 2f x x θ=+，函数()()'f x f x +为奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，则tan θ= ． 16.已知数列{}na 中，12211 6 n n na aa a a ++===-，，，则2016a=．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）ABC△的内角 A B C ，，的对边分别为 a b c ，，，已知()cos 2cos b C a c B =-.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若7b =，ABC △33，求ABC △的周长.18. （本小题满分12分）某校开展运动会，招募了8名男志愿者和12名女志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）若身高在180cm 以上（包括180cm ）定义为“高个子”，身高在180cm 以下（不包括180cm ）定义为“非高个子”. （Ⅰ）求8名男志愿者的平均身高和12名女志愿者身高的中位数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？19. （本小题满分12分）如图，ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，60BAD ∠=︒. （Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求点A 到平面PBD 的距离.PODCBA20. （本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，两焦点之间的距离为4.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线24y x=于 A B ，两点，求证：OA OB ⊥（O 为坐标原点）.21. （本小题满分12分）已知函数()()32113f x x ex mx m R =-++∈，()ln xg x x=. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意的两个正实数12x x ，，若()()12'g x f x <恒成立（()'f x 表示()f x 的导数），求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x a ty t⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为4cos ρθ=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.23. （本小题满分10分）已知函数()()f x x a x a R=---∈.21（Ⅰ）当3f x的最大值；a=时，求函数()（Ⅱ）解关于x的不等式()0f x≥.2019届四川省南充市高三一诊考试数学（文）试题参考答案及评分意见一、选择题1-5:BDCCB 6-10:BACAD 11、12：DA二、填空题13.{}2x x > 14.32 15.2- 16.5-三、解答题17.解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos B C A C B A B C B=-⋅=-.………………2分所以1cos 2B =，3B π=.…………………………6分 （Ⅱ）由已知，133sin 2ac B =又3B π=，所以6ac =.……………………8分 由已知及余弦定理得，222cos 7a c ac B +-=， 故2213ac +=.……………………10分从而()225a c +=，所以ABC △的周长为5+.…………12分 18.解：（Ⅰ）8名男志愿者的平均身高为：168176177178183184187191180.58+++++++=.………………3分12名女志愿者身高的中位数为175.………………………………6分（Ⅱ）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是51204=. 所以选中的“高个子”有1824⨯=人，设这两个人为 A B ，； “非高个子”有11234⨯=人，设这三个人为 C D E ，，. 从这五个人 A B C D E ，，，，中选出两人共有()()()()()() A B A C A D A E B C B D ，，，，，，，，，，，，()() B E C D ，，，，()() C E D E ，，，十种不同方法；……………………………………10分 其中至少有一人是“高个子”的选法有()()()()() A B A C A D A E B C ，，，，，，，，，，()() B D B E ，，，七种. 因此，至少有一个是“高个子”的概率是710.…………………………12分 19.（Ⅰ）证明：由ABCD 是菱形可得BD AC ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥，又PAAC A=，所以BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面PBD ， 故平面PBD ⊥平面PAC .……………………7分 （Ⅱ）解：由题意可得：PB PD ===，2BD =，所以122PBDS =⨯=△.………………8分又1222ABDS=⨯⨯=△.所以三棱锥P ABD -的体积13ABD V SPA =⋅=△.………………10分设点A 到平面PBD 的距离为h ，又173P ABDPBDV S h -=⋅=△， 723=221h =故点A 到平面PBD 的距离h为………………………………12分 20.（Ⅰ）解：由题意可得24c =，12c a =.所以 4 2a c ==，. 由222b ac =-可得212b =，所以椭圆标准方程为：2211612x y +=.……………………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的右顶点为()4 0，，由题意得，可设过()4 0，的直线方程为： 4x my =+.………………………………………………7分由244x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 得：24160y my --=.设()11 A x y ，，()22B x y ，，则1212416y y my y +=⎧⎨=-⎩.………………10分 所以()()()()21212121212124414160OA OB x xy y my my y y m y y m y y ⋅=+=+++=++++=，故OA OB ⊥.………………………………………………12分 21.解：（Ⅰ）由已知可得，()2'2f x x ex m=-+，令()24em ∆=-，………………1分①当2m e ≥时，()'0f x ≥，所以()f x 在R 上递增. ②当2m e <，0∆>，令()'0f x x e >⇒<-或x e >， 所以()f x 在(2 e e m -∞--，和()2e e m +-+∞，上递增，令()22'0f x e e m x e e m<⇒--<<+-所以()f x 在(22e e m e e m --，上递减.………………6分（Ⅱ）因为()()21ln '0x g x x x -=>，令()'0g x =时，x e =，所以()g x 在()0 e ，上递增，在() e +∞，上递减. 所以()()max1g x g e e==.………………………………8分 又因为()()22'f x x e m e =-+-.………………10分所以当0x >时，()2min'f x m e =-.所以12x x R +∀∈，，()()()()1212maxmin''g x f x g x f x <⇔<，所以21m e e <-，即21m e e>+， 故21 m ee ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭，.……………………12分22.解：（Ⅰ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，结合极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 得224xy x+=，即()2224x y -+=.…………………………5分（Ⅱ）由x ay t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）化为普通方程，得0x a -=，l与圆C 2.所以2a =-或6.…………………………10分 23.解：（Ⅰ）当3a =时，()()()()133********x x f x x x x x x x --≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪+≤⎩，所以，当1x =时，()f x 取得最大值2.……………………5分 （Ⅱ）由()0f x ≥，得21x a x -≥-， 两边平方得()()2241x a x -≥-，()()2320x a x a ---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以①当1a >，不等式解集为22 3a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭，； ②当1a =，不等式解集为{}1x x =；③当1a <，不等式解集为2 23a a +⎛⎫-⎪⎝⎭，.……………………10分。
四川省南充市2019届高三第一次高考适应性性考试 数学(文)试题(含答案)
因为әABC 为正三角形,D 为 BC 的中点,
2分
所以 ADʅBC ,又平面 BB1 C1 C ɘ平面 ABC = BC , 所以 ADʅ平面 BB1 C1 C ,又 AD⊂平面 ADB1 高三数学( 文科) 一诊答案㊀ 第㊀1 页( 共 3 页)
(2) 解:由(1) 可得әADB1 为 Rtә, 又 AD =
(2) 将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,得
5分
因为曲线 C 截直线 l 所得线段中点(1,2) 在 C 内,所以①有两解 t1 ,t2 ,则 t1 +t2 = 0 又 t1 + t2 = 4(2cosα +sinα) 故 2cosα +sinα = 0 1 +3cos2 α ì2 x +4,xɤ -1, î-2 x +6,x >2,
所以 a 的取值范围是( -ɕ , -6] ɣ[2, +ɕ ) .
10 分
高三数学( 文科) 一诊答案㊀ 第㊀3 页( 共 3 页)
所以 d =
20 . 解:(1)ADB1 15 5
12 分
所以 F2 坐标为( 2 ,0) , ì 2 + 1 = 1, 2 2 所以 ía b
2 2 2 îc = a -b = 2,
㊀ ㊀ 解得
{
a2 = 4, b2 = 2, 5分 7分 10 分
17． 解:(1) 因为 a1 = 1,a n+1 = 3 a n 所以 a n = 3 n-1 .
所以数列{ a n } 是首项为 1,公比为 3 的等比数列, (2) 由(1) 得:b1 = a1 +a2 +a3 = 1 +3 +9 = 13,b3 = 9, 所以 S n = 13 n + 则 b3 -b1 = 2 d = -4,d = -2, = -n2 +14 n. n( n -1) ˑ( -2) 2
四川省南充市高考数学一诊试卷(文科)解析版
高考数学一诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1≥0}，B={x|x2≤1}，则A∪B=（）A. {x|x≥1}B. {x|x≥-1}C. {x|x≤1}D. {x|x≤-1}2.=（）A. -+iB. --iC. +iD. -3.“α=“是“cosα=“成立的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（）A. B. C. 8π D.5.函数f（x）=1-2sin2x的最小正周期是（）A. πB. 2πC.D. 26.若变量x，y满足约束条件，则z=3x-4y的最大值为（）A. -11B. -3C. 3D. 117.直线3x-4y+5=0关于直线x+y=0对称的直线方程为（）A. 4x-3y+5=0B. 4x-3y-5=0C. 3x+4y-5=0D. 3x+4y+5=08.若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为（）A. B. C. D.9.设函数，若方程f（x）=a有且只有一个实根，则实数a满足（）A. a＜0B. 0≤a＜1C. a=1D. a＞110.设F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，若双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于2a，则该双曲线的渐近线方程为（）A. 3x±4y=0B. 4x±3y=0C. 3x±5y=0D. 5x±4y=011.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a+b=+，则角C=（）A. B. C. D.12.设f′（x）是函数f（x）的导函数，且f′（x）＞2f（x）（x∈R），f（）=e（e为自然对数的底数），则不等式f（ln x）＜x2的解集为（）A. （0，）B. （0，）C. （，）D. （，）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知A（1，1），B（2，-4），C（x，-9），且，则x=______．14.函数f（x）=sin x+cos x在区间[0，]上的最大值为______．15.若偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x+3）=-，且x∈[-3，-2]时，f（x）=2x，则f（101.5）=______．16.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，点A（0，2），若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线焦点的距离为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，12小时的频率；（Ⅱ）求频率分布直方图中的a，b的值．18.在等比数列{a n}中，a n＞0（n∈N*），公比q∈（0，1），且a1a5+2a3a5+a2a8=25，又a3和a5的等比中项为2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式；（3）当+++…+最大时，求n的值．19.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD．（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论．（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM．（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．20.已知椭圆C：的左，右焦点分别为F1（-2，0），F2（2，0），点P（-1，-）在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|=|F1N|？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．21.已知函数，其中a＞0．（1）当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；（2）若函数f(x)有唯一零点，求a的值．22.在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2cosθ和曲线C2：ρcosθ=3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．23.已知函数f（x）=|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若f（x）≥|m﹣1|恒成立，求实数m的最大值M；（Ⅱ）在（Ⅰ）成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2=M，证明：a+b≥2ab．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵A={x|x≥1}，B={x|-1≤x≤1}，∴A∪B={x|x≥-1}．故选：B．可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，并集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：==．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由α=一定能推出cosα=，当由cosα=，则不一定推出α=，故“α=“是“cosα=“成立的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义和三角函数的值即可判断本题考查了充分条件和必要条件的定义和三角函数的值，属于基础题4.【答案】C【解析】解：设半径为R，则截面圆的半径为，∴截面圆的面积为S=（R2-1）π=π，∴R2=2，∴球的表面积S=4πR2=8π．故选：C．求出截面圆的半径为，利用截面圆的面积为π，可得R2=2，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查勾股定理的运用，比较基础．5.【答案】A【解析】解：∵f（x）=1-2sin2x=cos2x∴由三角函数的周期性及其求法可得：T==π故选：A．由二倍角的正弦函数公式化简已知可得f（x）=cos2x，由三角函数的周期性及其求法即可求值．本题主要考查了二倍角的正弦公式，三角函数的周期性及其求法的简单应用，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z=3x-4y平移到点（5，3）时，目标函数z=3x-4y取得最大值3．故选：C．画出约束条件的作出可行域，通过z为目标函数的几何意义纵截距负四倍，平行直线3x-4y=0，求出最优解推出结果．本题考查不等式中的线性规划知识，画出平面区域与正确理解目标函数z=3x-4y的几何意义是解答好本题的关键．7.【答案】A【解析】解：在直线l′上任取一点（x，y），此点关于直线x+y=0的对称点（-y，-x）在直线l：3x-4y+5=0上，∴3（-y）-4（-x）+5=0，即4x-3y+5=0，故选：A．利用直线l′上的点（x，y）关于直线x+y=0的对称点（-y，-x）在直线l：3x-4y+5=0上．本题考查关于直线的对称点的坐标的求法，点（x，y）关于直线x+y=0的对称点为（-y，-x）．8.【答案】C【解析】【分析】设出直线方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求解．本题考查直线和圆的位置关系，也可以用数形结合画出图形来判断，是基础题．解：设直线方程为y=k（x-4），即kx-y-4k=0，直线l与曲线（x-2）2+y2=1有公共点，【解答】圆心到直线的距离小于等于半径，得4k2≤k2+1，k2≤，所以.故选C．9.【答案】C【解析】解：关于x的方程f（x）=a有且只有一个实根⇔y=f（x）与y=a的图象只有一个交点，画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当a=1时，y=f（x）与y=a的图象只有一个交点故选：C．关于x的方程f（x）=a有且只有一个实根⇔y=f（x）与y=a的图象只有一个交点，结合图象可求观察．本题主要考查了根式函数、绝对值函数的图象性质；但要注意函数的图象的分界点，考查利用图象综合解决方程根的个数问题．10.【答案】B【解析】解：设PF1的中点为H，连接HF2，由|PF2|=|F1F2|=2c，|PF1|-|PF2|=2a，可得|PF1|=2c+2a，在直角三角形HF1F2中，|F1F2|=2c，|HF2|=2a，|F1H|=c+a，可得4c2=（c+a）2+（2a）2，化为3c=5a，则b===a，可得双曲线的渐近线方程为y=±x，故选：B．设PF1的中点为H，连接HF2，运用双曲线的定义和等腰三角形的三线合一，以及勾股定理可得a，c的关系，再由a，b，c的关系可得a，b的关系，进而得到所求渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查等腰三角形的性质，以及勾股定理的运用，考查化简运算能力，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，a+b=+，由正弦定理可得sin A+sin B==+=cos A+cos B，则有sin A+sin B=cos A+cos B，变形可得：2sin（）cos（）=2cos（）cos（），又由-＜＜，则cos（）≠0，则有2sin（）=cos（），即tan（）=1，又由0＜＜，则=，即A+B=，则C=，故选：D．根据题意，由正弦定理可得a+b=+⇒sin A+sin B=cos A+cos B，由三角函数的恒等变形公式可得2sin（）cos（）=2cos（）cos（），变形可得tan（）=1，进而分析可得答案．本题考查三角函数的恒等变形，涉及三角函数的和差化积公式的应用，属于基础题．12.【答案】B【解析】解：可构造函数F（x）=，F′（x）==，由f′（x）＞2f（x），可得F′（x）＞0，即有F（x）在R上递增．不等式f（ln x）＜x2即为＜1，（x＞0），即＜1，x＞0．即有F（）==1，即为F（ln x）＜F（），由F（x）在R上递增，可得ln x＜，解得0＜x＜．故不等式的解集为（0，），故选：B．构造函数F（x）=，求出导数，判断F（x）在R上递增．原不等式等价为F（ln x）＜F（），运用单调性，可得ln x＜，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集．本题考查导数的运用：求单调性，考查构造法的运用，以及单调性的运用，对数不等式的解法，属于中档题．13.【答案】3【解析】解：，∵，∴-10+5（x-1）=0，解得x=3．故答案为：3．可以求出，根据可得出-10+5（x-1）=0，解出x的值即可．本题考查了根据点的坐标求向量的坐标的方法，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．14.【答案】2【解析】解：函数f（x）=sin x+cos x=2sin（x+），故函数在区间[0，]，x=时，取到最大值2，故答案为：2．用辅助角公式对三角函数化简，求出最大值即可．考查了运用辅助角公式对函数化简，和三角函数求最值，基础题．15.【答案】【解析】解：根据题意，f（x）满足f（x+3）=-，则f（x+6）==f（x），即函数f（x）是周期为6的周期函数，则f（101.5）=f（-0.5+17×6）=f（-0.5），又由f（x）为偶函数，则f（-0.5）=f（0.5），又由f（0.5）=f（-2.5+3）=-=-=，则f（101.5）=；故答案为：根据题意，分析可得f（x+6）==f（x），即函数f（x）是周期为6的周期函数，进而可得f（101.5）=f（-0.5+17×6）=f（-0.5），结合函数的奇偶性以及解析式分析可得答案．本题考查函数的周期性，涉及函数值的计算，属于基础题．16.【答案】【解析】解：依题意可知F坐标为（，0）∴B的坐标为（，1）代入抛物线方程得=1，解得p=，∴抛物线准线方程为x=-，所以点B到抛物线准线的距离为+=，则B到该抛物线焦点的距离为．故答案为：．根据抛物线方程可表示出焦点F的坐标，进而求得B点的坐标代入抛物线方程求得p，则B点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得B到该抛物线焦点的距离．本题主要考查抛物线的定义及几何性质，属容易题．17.【答案】解：（Ⅰ）由频数分布表得，100名学生课外阅读时间不少于12小时共有6+2+2=10名，所以样本中学生该周课外阅读时间少于12小时的频率P=1-=0.9；则从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率是0.9；（Ⅱ）由频数分布表得，课外阅读时间落在[4，6）的人数为17，则频率是=0.17，所以由频率分布直方图得，a==0.085，同理可得，b==0.125．【解析】（Ⅰ）先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；（Ⅱ）结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4，6）、[8，10）的人数为17，求出对应的频率，分别由求出a、b的值．本题考查由频数分布表、直方图求频数、频率，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．18.【答案】解：（1）∵a1a5+2a3a5+a2a8=25，∴a32+2a3a5+a52=25又a n＞0，∴a3+a5=5 …（1分）又a3与a5的等比中项为2，∴a3a5=4 …（2分）而q∈（0，1），∴a3＞a5，∴a3=4，a5=1，∴q=，a1=16，∴a n=16×（）n-1=25-n．（2）∵b n=log2a n=5-n，∴b n+1-b n=-1，b1=log2a1=log216=log224=4，∴{b n}是以b1=4为首项，-1为公差的等差数列，∴S n=．…（8分）（3）∵=，∴n≤8时，＞0，n=9时，=0，n＞9时，＜0，∴n=8或9时，+++…+最大…（12分）【解析】（1）根据等比数列的性质可知a1a5=a32，a2a8=a52化简a1a5+2a3a5+a2a8=25得到a3+a5=5，又因为a3与a5的等比中项为2，联立求得a3与a5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；（2）把a n代入到b n=log2a n中得到b n的通项公式，即可得到前n项和的通项s n；（3）把s n代入得到，确定其正负，即可求n的值．本题考查数列的通项公式的求法，考查前n项和的求法，解题时要认真审题，注意方法的合理运用．19.【答案】（1）解：当a=2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC．又∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．∴BD⊥平面PAC．故当a=2时，BD⊥平面PAC．（2）证明：当a=4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连接AM、DM、MN．∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD=∠AMN+∠DMN=45°+45°=90°，即DM⊥AM．又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，故当a=4时，BC边的中点M使PM⊥DM．（3）解：设M是BC边上符合题设的点M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM．因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求．【解析】（1）BD⊥PA，BD⊥AC⇒BD⊥平面PAC（2）当a=4，取BC边的中点M，DM⊥AM⇒PM⊥DM（3）PA⊥底面ABCD⇒DM⊥AM⇒M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，可求a本题是一道综合性题，在面面垂直与线面垂直，线线垂直之间来回互用，而这也是立体几何证明题的常见题型．20.【答案】解：（1）由题意得，c=2，=1，a2=b2+c2，解得：a2=6，b2=2，所以椭圆的标准方程：=1；（2）假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程：y=-x+t，设M（x，y），N（x'，y'）与椭圆联立整理：4x2-6tx+3t2-6=0，△=36t2-4•4•（3t2-6）＞0，-2，x+x'=，xx'=，由于|F1M|=|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1E⊥MN，所以k=-=1又E（，），所以k==1，解得t=-4，当t=-4时，不满足-2，所以不存在满足条件的直线l．【解析】（1）直接由题意得离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）假设存在这样的直线，设直线方程联立与椭圆的方程，判别式大于零，由使得|F1M|=|F1N|求出参数，结果不满足判别式大于零的条件，所以不存在这样的直线．考查直线与椭圆的综合应用，属于中难题21.【答案】解：（1）当a=2时，，∴．∴f′（0）=2-1=1，又f（0）=2-1=1，∴曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y-1=x，即x-y+1=0；（2）解法一：问题等价于关于x的方程有唯一的解时，求a的值．令，则．令h（x）=1-2x-e x，则h'（x）=-2-e x＜0，∴h（x）在（-∞，+∞）上单调递减．又h（0）=0，∴当x∈（-∞，0）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，∴g（x）在（-∞，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减．∴g（x）的极大值为g（0）=1，∴当x∈（-∞，0]时，g（x）∈（-∞，1]；当x∈（0，+∞）时，g（x）∈（0，1）．又a＞0，∴当方程有唯一的解时，a=1．综上，当函数f（x）有唯一零点时，a的值为1．解法二：问题等价于关于x的方程有唯一的解时，求a的值．令e x=t（t＞0），则x=ln t．问题等价于关于t的方程有唯一的解时，求a的值．令，则．令h（t）=1-t-2ln t（t＞0），则．∴h（t）在（0，+∞）单调递减，而h（1）=0，∴当t∈（0，1）时，h（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，h（t）＜0．∴当t∈（0，1）时，g'（t）＞0，当t∈（1，+∞）时，g'（t）＜0．从而g（t）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．注意到：g（1）=1，当t＞1时，g（t）＞0，当t→0时，g（t）→-∞，∴g（t）的唯一极大值为g（1）=1．结合g（t）的图象知，a=1或a＜0时，关于t的方程有唯一的解，而a＞0，所以a=1．【解析】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查换元法和构造函数法，以及化简运算能力，属于中档题．（1）求得a=2时f（x）的解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）解法一、问题等价于关于x的方程有唯一的解时，求a的值．令，求得g（x）的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得a的值；解法二、问题等价于关于x的方程有唯一的解时，求a的值．令e x=t（t＞0），则x=ln t，问题等价于关于t的方程有唯一的解时，求a的值．令，求得g（t）的导数和单调性，极值和最值，结合图象可得a的值．22.【答案】解：（I）C1的直角坐标方程为（x-1）2+y2=1，…（2分），C2的直角坐标方程为x=3；…（4分）（II）设曲线C1与x轴异于原点的交点为A，∴PQ过点A（2，0），设直线PQ的参数方程为：，代入C1可得t2+2t cosθ=0，解得，可知|AP|=|t2|=|2cosθ|…（6分）代入C2可得2+t cosθ=3，解得，可知…（8分）所以PQ=，当且仅当时取等号，所以线段PQ长度的最小值为．…（10分）【解析】（Ⅰ）根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解即可．（Ⅱ）设出直线PQ的参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可．本题主要考查极坐标方程和普通坐标方程之间的转化，考查学生的转化能力．23.【答案】解：（I）由已知可得，所以f min（x）=1，所以只需|m-1|≤1，解得-1≤m-1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M=2（II）法一：综合法∴ab≤1∴，当且仅当a=b时取等号，①又∴∴，当且仅当a=b时取等号，②由①②得，∴，所以a+b≥2ab法二：分析法因为a＞0，b＞0，所以要证a+b≥2ab，只需证（a+b）2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，即证2（ab）2-ab-1≤0，即证（2ab+1）（ab-1）≤0，因为2ab+1＞0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2=a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab.【解析】（I）求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m-1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．（II）法一：综合法，利用基本不等式证明即可．法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查分析法与综合法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．。
2020年四川省南充市高考数学一诊试卷(文科)
2020年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A ＝{x|x −1≥0}，B ＝{x|x 2≤1}，则A ∪B ＝（ ） A.{x|x ≥1} B.{x|x ≥−1} C.{x|x ≤1} D.{x|x ≤−1}2. 12−i =( ) A.−25+15i B.−25−15iC.25+15iD.25−15i3. “α=π3“是“cosα=12“成立的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为（ ） A.8π3B.32π3C.8πD.8√2π35. 函数f(x)＝1−2sin 2x 的最小正周期是（ ）A.πB.2πC.π2 D.26. 若变量x ，y 满足约束条件{x −y +2≥0x −5y +10≤0x +y −8≤0 ，则z ＝3x −4y 的最大值为（ ）A.−11B.−3C.3D.117. 直线3x −4y +5＝0关于直线x +y ＝0对称的直线方程为（ ） A.4x −3y +5＝0 B.4x −3y −5＝0 C.3x +4y −5＝0 D.3x +4y +5＝08. 若过点A(4, 0)的直线l 与曲线(x −2)2+y 2=1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ） A. [−√3,√3]B.(−√3,√3)C.[−√33,√33]D.(−√33,√33)9. 设函数f(x)={√1−x 2,(|x|≤1)|x|,(|x|>1)，若方程f(x)＝a 有且只有一个实根，则实数a 满足（ ）A.a <0B.0≤a <1C.a ＝1D.a >110. 设F 1，F 2分别为双曲线x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左，右焦点，若双曲线右支上存在点P ，满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且F 2到直线PF 1的距离等于2a ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A.3x ±4y ＝0B.4x ±3y ＝0C.3x ±5y ＝0D.5x ±4y ＝011. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a +b =atanA +btanB ，则角C ＝（ ） A.π6 B.π4C.π3D.π212. 设f′(x)是函数f(x)的导函数，且f′(x)>2f(x)(x ∈R)，f(12)=e （e 为自然对数的底数），则不等式f(lnx)<x 2的解集为（ ）A.(0, e 2) B.(0, √e) C.(1e , e2)D.(e2, √e)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．已知A(1, 1)，B(2, −4)，C(x, −9)，且AB →∥AC →，则x ＝________．函数f(x)＝sinx +√3cosx 在区间[0, π2]上的最大值为________．若偶函数f(x)对任意x ∈R ，都有f(x +3)=−1f(x)，且x ∈[−3, −2]时，f(x)＝2x ，则f(101.5)＝________．抛物线y 2=2px(p >0)的焦点为F ，点A(0, 2)，若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线焦点的距离为________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17一21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分步和频率分布直方图(Ⅱ)求频率分布直方图中的a，b的值．在等比数列{a n}中，a n>0(n∈N∗)，公比q∈(0, 1)，且a1a5+2a3a5+a2a8＝25，又a3和a5的等比中项为2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝log2a n，数列{b n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式；（3）当S11+S22+S33+⋯+S nn最大时，求n的值．在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，AB＝2，BC＝a，又侧棱PA⊥底面ABCD．（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论．（2）当a＝4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM．（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1(−2, 0)，F2(2, 0)，点P(−1, −√153)在椭圆C上．（1）求椭圆C的标准方程；（2）是否存在斜率为一1的直线l与椭圆C相交于M，N两点，使得|F1M|＝|F1N|？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．已知函数f(x)=ae x−xe x−1，其中a>0．(Ⅰ)当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程；(Ⅱ)若函数f(x)有唯一零点，求a的值．选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，已知曲线C1:ρ＝2cosθ和曲线C2:ρcosθ＝3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．(Ⅰ)求曲线C1和曲线C2的直角坐标方程；(Ⅱ)若点P是曲线C1上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C2于点Q，求线段PQ长度的最小值．[选修4-5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x|+|x−1|．(Ⅰ)若f(x)≥|m−1|恒成立，求实数m的最大值M；(Ⅱ)在(Ⅰ)成立的条件下，正实数a，b满足a2+b2＝M，证明：a+b≥2ab．参考答案与试题解析2020年四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】B【考点】并集及其运算【解析】可以求出集合A，B，然后进行并集的运算即可．【解答】∵A＝{x|x≥1}，B＝{x|−1≤x≤1}，∴A∪B＝{x|x≥−1}．2.【答案】C【考点】复数的运算【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】1 2−i =2+i(2−i)(2+i)=25+15i．3.【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义和三角函数的值即可判断【解答】由α=π3一定能推出cosα=12，当由cosα=12，则不一定推出α=π3，故“α=π3“是“cosα=12“成立的充分不必要条件，4.【答案】C【考点】球的体积和表面积【解析】求出截面圆的半径为√R2−1，利用截面圆的面积为π，可得R2＝2，即可求出球的表面积．【解答】设半径为R，则截面圆的半径为√R2−1，∴截面圆的面积为S＝(R2−1)π＝π，∴R2＝2，∴球的表面积S＝4πR2＝8π．5.【答案】A【考点】三角函数的周期性及其求法二倍角的三角函数【解析】由二倍角的正弦函数公式化简已知可得f(x)＝cos2x，由三角函数的周期性及其求法即可求值．【解答】∵f(x)＝1−2sin2x＝cos2x∴由三角函数的周期性及其求法可得：T=2π=π26.【答案】C【考点】简单线性规划【解析】画出约束条件的作出可行域，通过z为目标函数的几何意义纵截距负四倍，平行直线3x−4y＝0，求出最优解推出结果．【解答】作出满足约束条件的可行域，如右图所示，可知当直线z＝3x−4y平移到点(5, 3)时，目标函数z＝3x−4y取得最大值3．7.【答案】A【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程【解析】利用直线l′上的点(x, y)关于直线x+y＝0的对称点(−y, −x)在直线l:3x−4y+5＝0上．【解答】在直线l′上任取一点(x, y)，此点关于直线x+y＝0的对称点(−y, −x)在直线l:3x−4y+5＝0上，∴3(−y)−4(−x)+5＝0，即4x−3y+5＝0，8.【答案】C【考点】直线与圆的位置关系【解析】设出直线方程，用圆心到直线的距离小于等于半径，即可求解．【解答】解：设直线方程为y=k(x−4)，即kx−y−4k=0，直线l与曲线(x−2)2+y2=1有公共点，圆心O(2, 0)到直线的距离小于等于半径d=2≤1，化简得4k2≤k2+1，即k2≤13，解得k∈[−√33,√3 3].故选C.9.【答案】C【考点】函数的值域及其求法分段函数的应用【解析】关于x的方程f(x)＝a有且只有一个实根⇔y＝f(x)与y＝a的图象只有一个交点，结合图象可求观察．【解答】关于x的方程f(x)＝a有且只有一个实根⇔y＝f(x)与y＝a的图象只有一个交点，画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当a＝1时，y＝f(x)与y＝a的图象只有一个交点10.【答案】B【考点】双曲线的离心率【解析】设PF1的中点为H，连接HF2，运用双曲线的定义和等腰三角形的三线合一，以及勾股定理可得a，c的关系，再由a，b，c的关系可得a，b的关系，进而得到所求渐近线方程．【解答】设PF1的中点为H，连接HF2，由|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|−|PF2|＝2a，可得|PF1|＝2c+2a，在直角三角形HF1F2中，|F1F2|＝2c，|HF2|＝2a，|F1H|＝c+a，可得4c 2＝(c +a)2+(2a)2，化为3c ＝5a ， 则b =√c 2−a 2=√(5a3)2−a 2=43a ，可得双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ， 11.【答案】 D【考点】 正弦定理 【解析】根据题意，由正弦定理可得a +b =a tanA +btanB ⇒sinA +sinB ＝cosA +cosB ，由三角函数的恒等变形公式可得2sin(A+B 2)cos(A−B 2)＝2cos(A+B 2)cos(A−B 2)，变形可得tan(A+B 2)＝1，进而分析可得答案． 【解答】根据题意，a +b =a tanA +btanB ，由正弦定理可得sinA +sinB =sinAtanA +sinBtanB =sinAsinA cosA+sinBsinB cosB=cosA +cosB ，则有sinA +sinB ＝cosA +cosB ， 变形可得：2sin(A+B 2)cos(A−B 2)＝2cos(A+B 2)cos(A−B 2)，又由−π2<A−B 2<π2，则cos(A−B 2)≠0，则有2sin(A+B 2)＝cos(A+B 2)，即tan(A+B 2)＝1，又由0<A+B 2<π2，则A+B 2=π4，即A +B =π2，则C =π2， 12.【答案】 B【考点】 导数的运算 【解析】 构造函数F(x)=f(x)e 2x，求出导数，判断F(x)在R 上递增．原不等式等价为F(lnx)<F(12)，运用单调性，可得lnx <12，运用对数不等式的解法，即可得到所求解集． 【解答】 可构造函数F(x)=f(x)e 2x， F′(x)=f(x)e 2x −2f(x)e 2x(e 2x )2=f ′(x)−2f(x)e 2x，由f′(x)>2f(x)，可得F′(x)>0，即有F(x)在R 上递增． 不等式f(lnx)<x 2即为f(lnx)x <1，(x >0)，即f(lnx)e <1，x >0．即有F(12)=f(12)e=1，即为F(lnx)<F(12)，由F(x)在R 上递增，可得lnx <12，解得0<x <√e ． 故不等式的解集为(0, √e)，二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 【答案】 3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示 【解析】可以求出AB →=(1,−5),AC →=(x −1,−10)，根据AB →∥AC →可得出−10+5(x −1)＝0，解出x 的值即可． 【解答】AB →=(1,−5),AC →=(x −1,−10)， ∵ AB →∥AC →，∴ −10+5(x −1)＝0，解得x ＝3． 【答案】 2【考点】三角函数的最值 【解析】用辅助角公式对三角函数化简，求出最大值即可． 【解答】函数f(x)＝sinx +√3cosx ＝2sin(x +π3)， 故函数在区间[0, π2]，x =π6时，取到最大值2， 【答案】 15【考点】 函数的周期性 【解析】根据题意，分析可得f(x +6)=1f(x+3)=f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，进而可得f(101.5)＝f(−0.5+17×6)＝f(−0.5)，结合函数的奇偶性以及解析式分析可得答案． 【解答】根据题意，f(x)满足f(x +3)=−1f(x)，则f(x +6)=1f(x+3)=f(x)，即函数f(x)是周期为6的周期函数，则f(101.5)＝f(−0.5+17×6)＝f(−0.5)，又由f(x)为偶函数，则f(−0.5)＝f(0.5)，又由f(0.5)＝f(−2.5+3)=−1f(−2.5)=−12×(−2.5)=15，则f(101.5)=15；【答案】3√24【考点】抛物线的求解【解析】根据抛物线方程可表示出焦点F的坐标，进而求得B点的坐标代入抛物线方程求得p，则B点坐标和抛物线准线方程可求，进而求得B到该抛物线焦点的距离．【解答】解：依题意可知F坐标为( p2, 0)∴B的坐标为( p4, 1)代入抛物线方程得p22=1，解得p=√2，∴抛物线准线方程为x=−√22，所以点B到抛物线准线的距离为√24+√22=3√24，则B到该抛物线焦点的距离为3√24．故答案为：3√24．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17一21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分【答案】（1）由频数分布表得，100名学生课外阅读时间不少于12小时共有6+2+2＝10名，所以样本中学生该周课外阅读时间少于12小时的频率P＝1−10100=0.9；则从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率是0.9；（2）由频数分布表得，课外阅读时间落在[4, 6)的人数为17，则频率是17100=0.17，所以由频率分布直方图得，a==0.085，同理可得，b=0.252=0.125．【考点】频率分布直方图【解析】(Ⅰ)先频数分布表求出课外阅读时间不少于12小时的人数，再由对立事件的频率公式求出一名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率；(Ⅱ)结合频数分布表、直方图确定课外阅读时间落在[4, 6)、[8, 10)的人数为17，求出对应的频率，分别由求出a 、b 的值．【解答】（1）由频数分布表得，100名学生课外阅读时间不少于12小时共有6+2+2＝10名， 所以样本中学生该周课外阅读时间少于12小时的频率P ＝1−10100=0.9；则从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率是0.9；（2）由频数分布表得，课外阅读时间落在[4, 6)的人数为17，则频率是17100=0.17， 所以由频率分布直方图得，a ==0.085，同理可得，b =0.252=0.125．【答案】∵ a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8＝25，∴ a 32+2a 3a 5+a 52＝25 又a n >0，∴ a 3+a 5＝5又a 3与a 5的等比中项为2，∴ a 3a 5＝4 而q ∈(0, 1)，∴ a 3>a 5，∴ a 3＝4，a 5＝1，∴ q =12，a 1＝16，∴ a n ＝16×(12)n−1＝25−n ． ∵ b n ＝log 2a n ＝5−n ，∴ b n+1−b n ＝−1， b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴ {b n }是以b 1＝4为首项，−1为公差的等差数列， ∴ S n =n(9−n)2．∵ sn n=9−n 2，∴ n ≤8时，snn>0，n ＝9时，sn n =0，n >9时，sn n <0， ∴ n ＝8或9时，s11+s 22+s 33+⋯+snn 最大【考点】数列与不等式的综合 数列的求和 【解析】（1）根据等比数列的性质可知a 1a 5＝a 32，a 2a 8＝a 52化简a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8＝25得到a 3+a 5＝5，又因为a 3与a 5的等比中项为2，联立求得a 3与a 5的值，求出公比和首项即可得到数列的通项公式；（2）把a n 代入到b n ＝log 2a n 中得到b n 的通项公式，即可得到前n 项和的通项s n ； （3）把s n 代入得到s nn ，确定其正负，即可求n 的值． 【解答】∵ a 1a 5+2a 3a 5+a 2a 8＝25，∴ a 32+2a 3a 5+a 52＝25 又a n >0，∴ a 3+a 5＝5又a 3与a 5的等比中项为2，∴ a 3a 5＝4 而q ∈(0, 1)，∴ a 3>a 5，∴ a 3＝4，a 5＝1，∴ q =12，a 1＝16，∴ a n ＝16×(12)n−1＝25−n ． ∵ b n ＝log 2a n ＝5−n ，∴ b n+1−b n ＝−1， b 1＝log 2a 1＝log 216＝log 224＝4，∴ {b n }是以b 1＝4为首项，−1为公差的等差数列， ∴ S n =n(9−n)2．∵ sn n=9−n 2，∴ n ≤8时，snn>0，n ＝9时，sn n =0，n >9时，sn n <0， ∴ n ＝8或9时，s11+s 22+s 33+⋯+snn 最大【答案】当a ＝2时，ABCD 为正方形，则BD ⊥AC ． 又∵ PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴ BD ⊥PA ．∴ BD ⊥平面PAC ． 故当a ＝2时，BD ⊥平面PAC ．证明：当a ＝4时，取BC 边的中点M ，AD 边的中点N ，连接AM 、DM 、MN ． ∵ ABMN 和DCMN 都是正方形，∴ ∠AMD ＝∠AMN +∠DMN ＝45∘+45∘＝90∘，即DM ⊥AM ．又PA ⊥底面ABCD ，由三垂线定理得，PM ⊥DM ，故当a ＝4时，BC 边的中点M 使PM ⊥DM ．设M 是BC 边上符合题设的点M ，∵ PA ⊥底面ABCD ，∴ DM ⊥AM ．因此，M 点应是以AD 为直径的圆和BC 边的一个公共点，则AD ≥2AB ，即a ≥4为所求．【考点】空间中直线与直线之间的位置关系 直线与平面垂直 【解析】（1）BD ⊥PA ，BD ⊥AC ⇒BD ⊥平面PAC（2）当a ＝4，取BC 边的中点M ，DM ⊥AM ⇒PM ⊥DM（3）PA ⊥底面ABCD ⇒DM ⊥AM ⇒M 点应是以AD 为直径的圆和BC 边的一个公共点，可求a【解答】当a＝2时，ABCD为正方形，则BD⊥AC．又∵PA⊥底面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PA．∴BD⊥平面PAC．故当a＝2时，BD⊥平面PAC．证明：当a＝4时，取BC边的中点M，AD边的中点N，连接AM、DM、MN．∵ABMN和DCMN都是正方形，∴∠AMD＝∠AMN+∠DMN＝45∘+45∘＝90∘，即DM⊥AM．又PA⊥底面ABCD，由三垂线定理得，PM⊥DM，故当a＝4时，BC边的中点M使PM⊥DM．设M是BC边上符合题设的点M，∵PA⊥底面ABCD，∴DM⊥AM．因此，M点应是以AD为直径的圆和BC边的一个公共点，则AD≥2AB，即a≥4为所求．【答案】由题意得，c＝2，1a2+159b2=1，a2＝b2+c2，解得：a2＝6，b2＝2，所以椭圆的标准方程：x26+y22=1；假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程：y＝−x+t，设M(x, y)，N(x′, y′)与椭圆联立整理：4x2−6tx+3t2−6＝0，△＝36t2−4⋅4⋅(3t2−6)>0，−2√2<t<2√2，x+x′=3t2，xx′=3t2−64，由于|F1M|＝|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1E⊥MN，所以k F1E=−1kMN=1又E(3t4, t3)，所以k F1E=t43t4+2=1，解得t＝−4，当t＝−4时，不满足−2√2<t<2√2，所以不存在满足条件的直线l．【考点】直线与椭圆的位置关系椭圆的应用椭圆的离心率【解析】（1）直接由题意得离心率及过的点和a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；（2）假设存在这样的直线，设直线方程联立与椭圆的方程，判别式大于零，由使得|F1M|＝|F1N|求出参数，结果不满足判别式大于零的条件，所以不存在这样的直线．【解答】由题意得，c＝2，1a2+159b2=1，a2＝b2+c2，解得：a2＝6，b2＝2，所以椭圆的标准方程：x26+y22=1；假设存在满足条件的直线l，设直线l的方程：y＝−x+t，设M(x, y)，N(x′, y′)与椭圆联立整理：4x2−6tx+3t2−6＝0，△＝36t2−4⋅4⋅(3t2−6)>0，−2√2<t<2√2，x+x′=3t2，xx′=3t2−64，由于|F1M|＝|F1N|，设线段MN的中点为E，则F1E⊥MN，所以k F1E=−1kMN=1又E(3t4, t3)，所以k F1E=t43t4+2=1，解得t＝−4，当t＝−4时，不满足−2√2<t<2√2，所以不存在满足条件的直线l．【答案】（I）当a＝2时，f(x)=2e x−xe x −1，∴f′(x)=2e x−1−xe x．∴f′(0)＝2−1＝1，又f(0)＝2−1＝1，∴曲线y＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y−1＝x，即x−y+1＝0；（2）解法一：问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令g(x)=1e x (xe x+1)，则g′(x)=1−2x−e xe2x．令ℎ(x)＝1−2x−e x，则ℎ′(x)＝−2−e x<0，∴ℎ(x)在(−∞, +∞)上单调递减．又ℎ(0)＝0，∴当x∈(−∞, 0)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(−∞, 0)上单调递增；当x∈(0, +∞)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递减．∴g(x)的极大值为g(0)＝1，∴当x∈(−∞, 0]时，g(x)∈(−∞, 1]；当x∈(0, +∞)时，g(x)∈(0, 1)．又a>0，∴当方程a=1e (xe+1)有唯一的解时，a＝1．综上，当函数f(x)有唯一零点时，a的值为1．解法二：问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令e x＝t(t>0)，则x＝lnt．问题等价于关于t的方程a=1t (lntt+1)(t>0)有唯一的解时，求a的值．令g(t)=1t (lntt+1)=lnt+tt2，则g′(t)=1−t−21ntt．令ℎ(t)＝1−t−2lnt(t>0)，则ℎ(t)=−1−2t =−t+2t<0(t>0)．∴ℎ(t)在(0, +∞)单调递减，而ℎ(1)＝0，∴当t∈(0, 1)时，ℎ(t)>0，当t∈(1, +∞)时，ℎ(t)<0．∴当t∈(0, 1)时，g′(t)>0，当t∈(1, +∞)时，g′(t)<0．从而g(t)在(0, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减．注意到：g(1)＝1，当t>1时，g(t)>0，当t→0时，g(t)→−∞，∴g(t)的唯一极大值为g(1)＝1．结合g(t)的图象知，a＝1或a<0时，关于t的方程a=1t (lntt+1)(t>0)有唯一的解，而a>0，所以a＝1．【考点】函数零点的判定定理利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】（I）求得a＝2时f(x)的解析式和导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；(Ⅱ)解法一、问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令g(x)=1e x (xe x+1)，求得g(x)的导数，以及单调性和极值，结合图象和已知条件可得a的值；解法二、问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令e x＝t(t>0)，则x＝lnt，问题等价于关于t的方程a=1t (lntt+1)(t>0)有唯一的解时，求a的值．令g(t)=1t (lntt+1)=lnt+tt2，求得g(t)的导数和单调性，极值和最值，结合图象可得a的值．【解答】（I）当a＝2时，f(x)=2e x−xe x −1，∴f′(x)=2e x−1−xe x．∴f′(0)＝2−1＝1，又f(0)＝2−1＝1，∴曲线y＝f(x)在点（0, f(0)）处的切线方程为y−1＝x，即x−y+1＝0；（2）解法一：问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令g(x)=1e x (xe x+1)，则g′(x)=1−2x−e xe2x．令ℎ(x)＝1−2x−e x，则ℎ′(x)＝−2−e x<0，∴ℎ(x)在(−∞, +∞)上单调递减．又ℎ(0)＝0，∴当x∈(−∞, 0)时，ℎ(x)>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(−∞, 0)上单调递增；当x∈(0, +∞)时，ℎ(x)<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(0, +∞)上单调递减．∴g(x)的极大值为g(0)＝1，∴当x∈(−∞, 0]时，g(x)∈(−∞, 1]；当x∈(0, +∞)时，g(x)∈(0, 1)．又a>0，∴当方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，a＝1．综上，当函数f(x)有唯一零点时，a的值为1．解法二：问题等价于关于x的方程a=1e x (xe x+1)有唯一的解时，求a的值．令e x＝t(t>0)，则x＝lnt．问题等价于关于t的方程a=1t (lntt+1)(t>0)有唯一的解时，求a的值．令g(t)=1t (lntt+1)=lnt+tt2，则g′(t)=1−t−21ntt3．令ℎ(t)＝1−t−2lnt(t>0)，则ℎ(t)=−1−2t =−t+2t<0(t>0)．∴ℎ(t)在(0, +∞)单调递减，而ℎ(1)＝0，∴ 当t ∈(0, 1)时，ℎ(t)>0，当t ∈(1, +∞)时，ℎ(t)<0． ∴ 当t ∈(0, 1)时，g ′(t)>0，当t ∈(1, +∞)时，g ′(t)<0． 从而g(t)在(0, 1)单调递增，在(1, +∞)单调递减．注意到：g(1)＝1，当t >1时，g(t)>0，当t →0时，g(t)→−∞， ∴ g(t)的唯一极大值为g(1)＝1．结合g(t)的图象知，a ＝1或a <0时，关于t 的方程a =1t (lntt+1)(t >0)有唯一的解，而a >0，所以a ＝1．选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 【答案】( I)C 1的直角坐标方程为(x −1)2+y 2＝1，， C 2的直角坐标方程为x ＝3；( II)设曲线C 1与x 轴异于原点的交点为A ， ∴ PQ 过点A(2, 0)，设直线PQ 的参数方程为：{x =2+tcosθy =tsinθ ， 代入C 1可得t 2+2tcosθ＝0，解得， 可知|AP|＝|t 2|＝|2cosθ|代入C 2可得2+tcosθ＝3，解得t /=1cosθ， 可知|AQ|=|t /|=|1cosθ|所以PQ =|AP|+|AQ|=|2cosθ|+|1cosθ|≥2√2，当且仅当|2cosθ|=|1cosθ|时取等号， 所以线段PQ 长度的最小值为2√2．【考点】圆的极坐标方程参数方程与普通方程的互化 【解析】(Ⅰ)根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解即可．(Ⅱ)设出直线PQ 的参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可． 【解答】( I)C 1的直角坐标方程为(x −1)2+y 2＝1，， C 2的直角坐标方程为x ＝3；( II)设曲线C 1与x 轴异于原点的交点为A ， ∴ PQ 过点A(2, 0)，设直线PQ 的参数方程为：{x =2+tcosθy =tsinθ，代入C1可得t2+2tcosθ＝0，解得，可知|AP|＝|t2|＝|2cosθ|代入C2可得2+tcosθ＝3，解得t/=1cosθ，可知|AQ|=|t/|=|1cosθ|所以PQ=|AP|+|AQ|=|2cosθ|+|1cosθ|≥2√2，当且仅当|2cosθ|=|1cosθ|时取等号，所以线段PQ长度的最小值为2√2．[选修4-5：不等式选讲]【答案】( I)由已知可得f(x)={1−2x,x<0 1,0≤x<12x−1,x≥1，所以f min(x)＝1，所以只需|m−1|≤1，解得−1≤m−1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M＝2( II)法一：综合法∵正实数a，b满足a2+b2＝2，∴ab≤1∴√ab≤1，当且仅当a＝b时取等号，①又∴√aba+b ≤12∴aba+b≤√ab2，当且仅当a＝b时取等号，②由①②得，∴aba+b ≤12，所以a+b≥2ab法二：分析法因为a>0，b>0，所以要证a+b≥2ab，只需证(a+b)2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，即证2(ab)2−ab−1≤0，即证(2ab+1)(ab−1)≤0，因为2ab+1>0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2＝a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab【考点】函数恒成立问题【解析】( I)求出函数的解析式，然后求解函数的最小值，通过|m−1|≤1，求解m的范围，得到m的最大值M．( II)法一：综合法，利用基本不等式证明即可．法二：利用分析法，证明不等式成立的充分条件即可．【解答】( I)由已知可得f(x)={1−2x,x<0 1,0≤x<12x−1,x≥1，所以f min(x)＝1，所以只需|m−1|≤1，解得−1≤m−1≤1，∴0≤m≤2，所以实数m的最大值M＝2( II)法一：综合法∵正实数a，b满足a2+b2＝2，∴ab≤1∴√ab≤1，当且仅当a＝b时取等号，①又∴√aba+b ≤12∴aba+b≤√ab2，当且仅当a＝b时取等号，②由①②得，∴aba+b ≤12，所以a+b≥2ab法二：分析法因为a>0，b>0，所以要证a+b≥2ab，只需证(a+b)2≥4a2b2，即证a2+b2+2ab≥4a2b2，，所以只要证2+2ab≥4a2b2，即证2(ab)2−ab−1≤0，即证(2ab+1)(ab−1)≤0，因为2ab+1>0，所以只需证ab≤1，下证ab≤1，因为2＝a2+b2≥2ab，所以ab≤1成立，所以a+b≥2ab。
四川省南充市2024届高三上学期一诊考试文科数学数学答案
2024 届南充一诊文科数学参考答案二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．把答案填在答题卡上. 13 ． 9 14 ． — 3 15 ． 78兀 16 .三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17―21 题必考题，每个试题考生必 须作答.第 22 、23 题为选考题，考试根据要求作答. (一)必考题17 ．解：(1): 数列{a n }是等比数列且a 4 是6a 2 和a 3 的等差中项: 2a 4 = 6a 2 + a 3 即：2a 1q 3 = 6a 1q + a 1q 2 :2q 2 — q — 6 = 0解得：q = 2 或q = —…………………………………………………………………4分又 : a 1 = 2: a n = 2 . 2n —1 = 2n (n ∈ N *). ………………………………………………………………………6分:由得b n =……………………8分. …………………………………………………………………………12分18 解：(1). 由题意得≈ 9.524 > 7.879 ……………………4分故有 99.5%的把握认为 70 岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关. ……………5分 (2).现从感染支原体肺炎的 60 位老人中按分层抽样的方式抽出 6 人，则抽出的 6 人中有慢性 疾病 4 人，无有慢性疾病 2 人. …………………………………………………………………6分设慢性疾病 4 人编号为A 1 ，A 2 ，A 3 ，A 4 ；无有慢性疾病 2 人编号为B 1 ，B 2 . 现从 6 人中随机抽出2 人共 15 种情况.具体情况如下：A 1 A 2 ，A 1 A 3 ，A 1 A 4 ，A 1B 1 ，A 1 B 2 ; A 2 A 3 ，A 2 A 4，A 2 B 1 ，A 2 B 2 ; A 3 A 4 ，A 3 B 1 ，A 3 B 2 A 4 B 1 ，A 4 B 2 ; B 1 B 2 ............................................................................................................................................................................10分其中抽出的 2 人中恰有 1 个人患有慢性疾病，共 8 种情况(划线部分即为所示). 故抽出的 2 人中恰有 1 个人患有慢性疾病的概率为 . ……………………12分19 解： (1).方法一：证明：取BD 的中点F ,连结AFAD = AB : AF 丄 BDBD = 4 AD = 2 3 :DF = 2 ……………………………2分DE 丄 平面BCD :DE 丄 BD DE = 2 2: AF // DE ，AF = DE: 四边形FDEA 为矩形 ………………………………………………4分 : AE // BDAE 丈 平面BCD BD 平面BCD: AE // 平面BCD ………………………………………………………6分方法二：证明：取BD 的中点F ,连结AFAD = AB = 2 BD = 4: AF 丄 BD : AF =……………………………2分DE 丄 平面BCD ，DE 平面ABDE : 平面ABDE 丄 平面BCDAF 平面ABDE ，平面ABDE ∩ 平面BCD = BD: AF 丄 平面BCD ………………………………………………4分 : AF // DE ，AF = DE…………………………………………………5分: 四边形FDEA 为矩形: AE // BDAE 丈平面BCD BD 平面BCD: AE // 平面BCD ………………………………………………………6分(2). AE // BD ，直线BC 与AE 所成角为30 °o: 上CBD = 30BC 丄CD ，BD = 4:BC = 2 ，CD = 2 ………………………………………………………7分过C 作BD 的垂线交BD 于H:CH 丄BDDE 丄平面BCD ，CH 平面BCD:DE 丄CH又BD∩DE = D: CH 丄平面ABDE在ΔBCD 中，由SΔBCD = BC×CD = BD×CH , 得CH = ·、i3: V C-BAE = SΔBAE ×CH = ……………………………………………9分 AF // DE ，DE 丄平面BCD: AF 丄平面BCD: AF 丄CF:ΔABC 为等边三角形，S= 3 ………………………………………………………11分ΔABC设点E 到平面ABC 的距离为h ，由V E-ABC = V C-BAE 得：h =故点E 到平面ABC 的距离为. ……………………………………12分注：以下方法酌情给分由EF // 平面ABC知，E、F到平面ABC的距离相等，如右图，取BC中点M，过F 作FN 丄 AM 于N , 则可证FN 丄 平面ABC ，即E 到平面ABC 的距离等于FN .20 解：(1). 由题意f ’(x ) = xe x —1 ， 得f ’(0) = —1 …………………1分又f (0) = —2故切线方程为y + 2 = —x ，即x + y + 2 = 0 …………………………3分令x = 0得y = —2; 令y = 0得x = —2: 三角形面积S = × — 2× — 2 = 2 …………………………5分(2).方法一：由题意得f ’(x ) = xe x —1，显然x ≤ 0时，f ’(x ) < 0 ……………………6分又x > 0 时，令μ(x ) = f ’(x ) = xe x —1: μ’(x ) = (x +1)e x > 0, 故μ(x )在(0，+ ∞)上单调递增 : f ’(x )在(0,+∞)上单调递增又f ’(0) = —1 < 0，f ’(1) = e —1 > 0 ，故彐x 0 ∈ (0,1)使得f ’(x 0 ) = 0: 当x < x 0 时，f ’(x ) < 0，f (x )单调递减 ；当x > x 0 时，f ’(x ) > 0，f (x )单调递增 …………8分 又+1 > 0，f，f (1) = —2 < 0，f (2) = e 2 — 3 > 0所以f (x ) 有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1 ∈ (—2,—1)，x 2 ∈ (1,2) ……………………10分由f (x 1 ) = (x 1 —1)e x 1 — x 1 —1 = 0 知 ，f (—x 1 ) = (—x 1 —1)e — x 1 + x 1 —1 == 0 也成立又由x 1 ∈ (—2,—1)知x 1 ≠ —x 1: —x 1 = x 2 即x 1 + x 2 = 0 ……………………………………12分方法二：: f (1) = —2 ≠ 0:x = 1不是方程f (x ) = 0的根 令 = e x — 则f (x ) = 0 g (x ) = 0 ……………………6分 又= e x +> 0 ，g的定义域为(—∞ , 1) U (1，+ ∞): g (x )在 (∞ ,1) 单调递增，在 (1，+ ∞) 单调递增 ……………………7分 : g (2) =< 0 ，5 < 0 ，g (2) = e 2 1 > 0: g (x ) 有且仅有两个零点x 1，x 2 ，且x 1 ∈ (2， )，x 2 ∈ ( ，2) ……………………9分所以f (x ) 有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1 ∈ (2， )，x 2 ∈ ( ，2) ……………………10分若f (x 1 ) = (x 1 1)e x 1 x 1 1 = 0 . 则 f (x 1 ) = (x 1 1)e x 1 + x 1 1 == 0: x 1 ≠ x 1: x 1 = x 2 即x 1 + x 2 = 0 ……………………12分方法三：: f (1) = 2 ≠ 0 : 由f (x ) = 0 得 ：: f (x )的零点就是函数h (x ) = e x 与函数图象交点的横坐标 ……………………6分h (x )与φ(x )的图象如右图所示：h (x )在R 上单调递增，φ(x )在(∞ , 1) ，(1，+ ∞)是减函数 7分, h (2) < φ(2)φ(1) = 0 ， h (1) > φ(1)h (2) = e 2 ， φ(2) = 3 ， h (2) > φ(2)所以f (x ) 有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1 ∈ , x 2 ∈… … … … … … … …若f (x 1 ) = (x 1 1)e x 1 x 1 1 = 0 . 则 f (x 1 ) = (x 1 1)e x 1 + x 1 1 == 010分 ……………………: x 1 ∈ (一2，一1): 一x 1 ≠ x 1: 一x 1 = x 2 即x 1 + x 2 = 0 ……………………12分方法四：在f (x ) = (x 一1)e x 一 x 一1 中，令e x = t ，则x = ln t : f (x )可化为g (t ) = (ln t 一1)t 一 ln t 一1 = (t 一1) ln t 一 t 一1 由t = e x 是R 上的增函数可知：证明f (x )有且仅有两个零点即证明g (t )有且仅有两个零点……………………6分= ln t 一g ,(t )在(0，+ ∞)是增函数由g ,(1) = 一1 ，g ,(e ) = 1一 > 0 知：彐t 0 ∈ (1，e )使得 = ln t 0 一:t ∈(0，t 0 )时，g ,(t ) < 0, g (t )在(0，t 0 )是减函数t ∈(t 0 ，+ ∞)时，g ,(t ) > 0, g (t )在(t 0 ，+ ∞)是增函数……………………8分g (e ) = 一2 < 0 ，g (e 2 ) = e 2 一 3 > 0 : g (t ) 有且仅有两个零点t 1，t 2，且t 1 ∈ (，)，t 2 ∈ (e ，e 2 )所以f (x ) 有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1 = ln t 1 ∈ (一2，一1)，x 2 = ln t 2 ∈ (1，2) ……………10分若f (x 1 ) = (x 1 一1)e x 1 一 x 1 一1 = 0 . 则e 一x 1 + x 1 一1 =: x 1 ∈ (一2，一1): 一x 1 ≠ x 1: 一x 1 = x 2 即x 1 + x 2 = 0 ……………………12分方法五：在f (x ) = (x 一1)e x 一 x 一1 中，由f (0) = 一2 ≠ 0知：x = 0不是f (x )的零点 令e x = t ，则x = ln t (t ≠ 1)= 0ln t 一= 0 ………………………………………6分:要证明f (x )有且仅有两个零点即证明 = ln t — 有且仅有两个零点又且g (t )的定义域为(0，1) u (1，+ ∞): g (t )在(0，1)和(1，+ ∞)单调递增 ………………………………………8分g (e ) =—< 0 ，: g (t ) 有且仅有两个零点t 1，t 2，且t 1 ∈, t 2 ∈所以f (x ) 有且仅有两个零点x 1，x 2，且x 1 = ln t 1 ∈ (—2，—1)，x 2 = ln t 2 ∈ (1，2) ……………10分若f (x 1 ) = (x 1 —1)e x 1 — x 1 —1 = 0 . 则e — x 1 + x 1 —1 =: x 1 ∈ (—2，—1) : —x 1 ≠ x 1: —x 1 = x 2 即x 1 + x 2 = 0 ……………………12分21 解：(1). 由A ( — ,0)，B (0,—1) 得直线AB 的方程为：x + y + = 0 ……………2分故原点到直线AB 的距离: 直线 AB 与圆 O 相切:圆的半径r = d = ·i……………………4分故以 O 为圆心且与 AB 相切的圆的方程为：x 2 + y 2 = ……………………5分 方法一：(2). 由题意可知F 1 (—2，0)，故MN 方程为：y = k (x + 2) ……………………6分设M (x 1, y 1 )，N (x 2, y 2 )则直线MP 的方程为联立得：[5y 12 + (x 1 —1)2 ]x 2 —10y 12x + 5y 12 — 5x 12 +10x 1 —5 = 0……(*)又M (x 1, y 1 )在椭圆E 上，故= 1 ，即5y = 5 — x代入(*) 式整理得：(3 — x 1 )x 2 — 5y 12x + 5x 1 — 3x 12= 0 ……………………8分显然3 — x 1 ≠ 0，Δ > 0故……………………9分同理：:k ’=—= 2k [(x 1 + 2)(x 2— 3) — (x 2 + 2)(x 1 — 3)]x 1 — 3 x 2 — 3……………………11分故 即k = k ’所以：存在常数λ= 满足题意. ……………………12分 方法二：由题意可知F 1 (—2，0)，故MN 方程为：y = k (x + 2) ............................... 6分设M (x 1, y 1 ) ，N (x 2, y 2 ) ，P (x 3, y 3 ) ，Q (x 4, y 4 )设MR = tRP: (1— x 1, — y 1 ) = t (x 3 —1, y 3 ) {l [ —11x ty = t 3(x 3 —1)得+ t… … ……………………7分: (x 1 + tx 3 )(x 1 — tx 3 ) + (y 1 + ty 3 )(y 1 — ty 3 ) = 1— t 253x 1 — 5 — 3x 2 — 5 (3x 1 — 5)(x 2 — 3) — (3x 2 — 5)(x 1 — 3)4将(*)带入上式得+ 0 = 1— t 2 即：x 1 — tx 3 = 5 — 5t …………………9分又 : x 1 + tx 3 = 1+ t设 NR = μRQ ，同理可得： x 4 = 3 — ，y 4 = k…………………………………10分:k ’=k ……………………11分故 ，即k =所以：存在常数λ= 2满足题意 12分5 .22.解：(1).显然C 1 是过原点且倾斜角为α 的直线 ……………………1分: C 1 的极坐标方程为θ= α (0 < α < ，P ∈ R ) ……………………3分 C 2 的极坐标方程为θ= α + (0 < α < ，P ∈ R ) . …………………5分. 由in θ得A 的极坐标为(8sin α, α)由得B 的极坐标为|((8sin(α + ) ，α + ,)|，即8cos α , α + ),| . ……7分: OA = 8sin α , OB = 8 cos α …………………8分 :ΔAOB 的面积为. OB = 32 sin α cos α = 16 sin 2α …………………9分又:α = π时，ΔAOB 面积的最大值为 16. …………………10分23.解：+ 2 - 2 4 ………………2分= -6 ……………………………………3分: 当x ≥ 4时，f(x)min: f(x) - a2 + 5a ≥ 0 恒成立:-6 - a2 + 5a ≥ 0 即a2 - 5a + 6 ≤ 0: 2 ≤a ≤ 3故a 的取值范围为[2，3] .................................. 5分(2) 由(1)知：M = 6. 即a +b + c = 6 ............................... 6分法1：≤ a + b + c + 6 + (a +1) + (b + 2) + (a +1) + (c + 3) + (b + 2) + (c + 3)= 3(a +b + c)+18 = 36 ........................................................................................... 8分当且仅当即时等号成立…………………9分: + + 的最大值为6. ……………………10分法2 ：（柯西不等式）: a > 0 b > 0 c > 0= (a +b + c + 6) ×3 = 36 ………………………………………8分当且仅当，即时等号成立…………………9分: + + 的最大值为6. ……………………10分。
南充一诊文科数学答案
2024届南充一诊文科数学参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．题号123456789101112选项CDDABACABBCD二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．9 14．3 -15．87 π16．21 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17―21题必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考试根据要求作答.(一)必考题17．解：(1) 数列{}n a 是等比数列且4a 是26a 和3a 的等差中项6262 62221131 324=--∴+=+=∴q q q a q a q a a a a 即：解得：2=q 或23-=q （舍去）.)*( 222211N n a a n n n ∈=⋅=∴=- 又(2):由(1)得111)1(12log 2log 1log log 1122122+-=+=⋅=⋅=++n n n n a a b n n n n n .20242023202411 2024120231()2023120221()3121()211( 20232022212023=-=-+-++-+-=++++= b b b b T 18解：(1).由题意得60140100100)40802060(200))()()(()(222⨯⨯⨯⨯-⨯=++++-=d b c a d c b a bc ad n K 879.7524.921200>≈=故有99.5%的把握认为70岁以上老人感染支原体肺炎与自身有慢性疾病有关.(2).现从感染支原体肺炎的60位老人中按分层抽样的方式抽出6人，则抽出的6人中有慢性疾病4人，无有慢性疾病2人.设慢性疾病4人编号为4321 A A A A ，，，；无有慢性疾病2人编号为 21B B ，.现从6人中随机抽出2人共15种情况.分6 分4 分8 分12 分4 分5 分6具体情况如下：2111413121 B A B A A A A A A A ，，，，;22124232 B A B A A A A A ，，，;231343 B A B A A A ，，2414 B A B A ，;21 B B 其中抽出的2人中恰有1个人患有慢性疾病，共8种情况(划线部分即为所示).故抽出的2人中恰有1个人患有慢性疾病的概率为. 158=P 19解：(1).方法一：证明：取BD 的中点F ,连结AF22 232 422=-==∴==⊥∴=DF AD AF DF AD BD BDAF AB AD DEAF DE AF DE BD DE BCD DE =∴=⊥∴⊥，平面//22 FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ 方法二：证明：取BD 的中点F ,连结AF22 4 3222=-=∴⊥∴===DF AD AF BD AF BD AB AD ， BCD AF BDBCD ABDE ABDE AF BCDABDE ABDE DE BCD DE 平面平面平面，平面平面平面平面，平面⊥∴=⊂⊥∴⊂⊥ DEAF DE AF =∴，//分10 分12 分6 分2 分4 分2 分5 分4FDEA 四边形∴为矩形BDAE //∴BCD AE BCDBD BCD AE 平面平面平面// ∴⊂⊄ (2).BD AE // ，直线BC 与AE 所成角为30°︒=∠∴30CBD 4=⊥BD CD BC ， 232==∴CD BC ，过C 作BD 的垂线交BD 于HBDCH ⊥∴BCD CH BCD DE 平面，平面⊂⊥ CH DE ⊥∴D DE BD = 又ABDECH 平面⊥∴在BCD ∆中，3 , 2121=⨯=⨯=∆CH CH BD CD BC S BCD 得由又2221=⨯==∆∆DE AE S S DAE BAE 3623223131=⨯⨯=⨯=∴∆-CH S V BAE BAE C BCD DE DE AF 平面，⊥// BCDAF 平面⊥∴CF AF ⊥∴22221===AF BD CF ，又3222=+=∴CF AF AC ABC ∆∴为等边三角形，33=∆ABC S 设点E 到平面ABC 的距离为h ，由BAE C ABC E V V --=得：322=h .故点E 到平面ABC 的距离为322.注：以下方法酌情给分的距离相等到平面、知，平面由ABC F E ABC EF //，如右图，取，中点M BC 分6 分7 分12 分11 分9分1 分5 分10 .,FN ABC E ABC FN N AM FN F 的距离等于到平面，即平面则可证于作过⊥⊥20解：(1).由题意 1)(，-='x xe x f 1)0(-='f 得2)0(-=f 又故切线方程为022=++-=+y x x y ，即20 ;20-==-==x y y x 得令得令22221=-⨯-⨯=∴S 三角形面积(2).方法一：由题意得 1)(，-='x xe x f 显然0)(0<'≤x f x 时，1)()( 0-='=>x xe x f x x μ令，时又上单调递增，在故)0()(,0)1()(∞+>+='∴x e x x x μμ上单调递增在),0()(+∞'∴x f 又 01)1(01)0(，，>-='<-='e f f 0)()1,0(00='∈∃x f x 使得故 )(0)(0；单调递减，时，当x f x f x x <'<∴单调递增，时，当)(0)(0x f x f x x >'> 02)1(013)2(2，，又<-=->+-=-ef e f 03)2(02)1(2>-=<-=e f f ，所以)(x f 有且仅有两个零点)2,1()1,2(2121∈--∈x x x x ，，且，知由 01)1()(1111=---=x e x x f x ，01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x e x x f 也成立111)1,2(x x x -≠--∈知又由0 2121=+=-∴x x x x 即方法二：2)1(≠-=f 0)(1的根不是方程==∴x f x 0)(0)( 11)(=⇔=-+-=x g x f x x e x g x 则，令) 1()1 ()( 0 )1(2)(2∞+-∞>-+='，，的定义域为，又 x g x e x g x 分3 分12 分8 分6 分6分9 分7 分6 分12 单调递增，在，单调递增，在 ) 1( )1 ( )(∞+-∞∴x g 01)2( 05)23( 051123( 0311)2(223232>-=<-=>-=-<-=-e g e g e g e g ，， )(x g ∴有且仅有两个零点)2 23()23 2(2121，，，，且，∈--∈x x x x 所以)(x f 有且仅有两个零点)2 23()23 2(2121，，，，且，∈--∈x x x x 则若 . 01)1()(1111=---=x e x x f x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x e x x f 232(1--∈，x 11x x ≠-∴0 2121=+=-∴x x x x 即方法三：02)1(≠-=f 110)(-+==∴x x e x f x ：得由图象交点的横坐标与函数的零点就是函数 11)()()(-+==∴x x x e x h x f x ϕ图象如右图所示：的与 )()(x x h ϕ是减函数，，，在上单调递增，在)1()1()()( ∞+-∞x R x h ϕ)2()2( 3)2( )2( )23()23( 523( )23( )1()1( 0)1( 1)1( )2()2( 31)2( 1)2(2232ϕϕϕϕϕϕϕϕ>==<==->-=-=--<-=-=-h e h h e h h e h h e h ，，，，，，，， 所以)(x f 有且仅有两个零点)2,23()1,2(2121∈--∈x x x x ，，且，则若 . 01)1()(1111=---=x e x x f x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x ex x f 分7 分10 分10分12 分12 分6 )1 2(1--∈，x 11x x ≠-∴0 2121=+=-∴x x x x 即方法四：t x t e x e x x f x x ln 1)1()(==---=，则中，令在1ln )1(1ln )1(ln )()(---=---=∴t t t t t t t g x f 可化为有且仅有两个零点明有且仅有两个零点即证证明上的增函数可知：是由)()(t g x f R e t x =是增函数，在，) 0()( 1ln )(∞+'-='t g tt t g 是增函数，在时，，是减函数，在时，，使得，知：，由) ()(,0)() ( ) 0()(,0)() 0(01ln )() 1( 011)( 1)1(00000000∞+>'∞+∈<'∈∴=-='∈∃>-='-='t t g t g t t t t g t g t t t t t g e t e e g g 03)( 02)( 021( 0311(2222>-=<-=<-=>-=e e g e g ee g e e g ，，又)(t g ∴有且仅有两个零点) ()11(222121e e t ee t t t ，，，，且，∈∈所以)(xf 有且仅有两个零点)2 1(ln )1 2(ln 221121，，，，且，∈=--∈=t x t x x x 则若 . 01)1()(1111=---=x e x x f x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x e x e x x e x x f )1 2(1--∈，x 11x x ≠-∴0 2121=+=-∴x x x x 即方法五：中，在 1)1()(---=x e x x f x 的零点不是知：由)(002)0(x f x f =≠-=)1( ln ≠==t t x t e x ，则令011ln 0)(=-+-⇔=∴t t t x f 分10 分8 分6分10 分5 分8 有且仅有两个零点明有且仅有两个零点即证要证明11ln )()(-+-=∴t t t t g x f 单调递增，和，在，，的定义域为且又) 1()1 0()() 1()1 0()( 0)1(21)(2∞+∴∞+>-+='t g t g t t t g 013)( 012)( 0121( 0131(222222>--=<-=>-=<--=e e e g e e g e e g e e e g ，，又)(t g ∴有且仅有两个零点) ()1 1(222121e e t ee t t t ，，，，且，∈∈所以)(xf 有且仅有两个零点)2 1(ln )1 2(ln 221121，，，，且，∈=--∈=t x t x x x 则若 . 01)1()(1111=---=x e x x f x 01)1(1)1()(11111111=---=-+--=--x x x ex e x x e x x f )1 2(1--∈，x 11x x ≠-∴0 2121=+=-∴x x x x 即21解：(1).)1,0()0,5(--B A ，由055=++y x AB 的方程为：得直线65515=+=d AB 的距离故原点到直线 直线AB 与圆O 相切65==∴d r 圆的半径故以O 为圆心且与AB 相切的圆的方程为：6522=+y x 方法一：(2).由题意可知，， )0 2(1-F 故MN 方程为：)2(+=x k y ),(),(2211y x N y x M ，设则直线MP 的方程为：)1(111--=x x y y )(05105510])1(5[ )1(1 151212121221211122*=-+-+--+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==+ x x y x y x x y x x yy y x 得：联立分12 分2 分4 分6分8 分9 分12 分11 分7 分6 又上，故在椭圆E y x M ),(11152121=+y x ，即212155x y -=代入)(*式整理得：0355)3(2112121=-+--x x x y x x 0031>∆≠-，显然x33512111x x x x x P --=⋅∴3)2(232)1(1 35311111111-+=-=--=--=∴x x k x y x x y y x x x P P P ，3)2(2,3531111⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x P 故同理： 3)2(2,3532222；⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+--x x k x x Q 2544)55(2 )3)(53()3)(53()]3)(2()3)(2[(23533533)2(23)2(212121221122122112211kx x x x k x x x x x x x x k x x x x x x k x x k k =--=------+--+=------+--+='∴故25k k ='，即k k '=52所以：存在常数52=λ满足题意.方法二：由题意可知，， )0 2(1-F 故MN 方程为：)2(+=x k y ),( ),( ),( ),(44332211y x Q y x P y x N y x M ，，，设),1( ),1(3311y x t y x RPt MR -=--∴=设)( 01 )1(131313131*⎩⎨⎧=++=+⎩⎨⎧=--=- ty y t tx x ty y x t x 得：23131313122322123*********1211))((5))((151515t ty y ty y tx x tx x t y t y x t x t y x y x -=-++-+∴-=-+-⨯-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+得：②由①②①分7 分8 分9 分10 分9 分10 分11 分12 ttx x t tx x t 55 105))(1()(31231-=--=+-+*即：带入上式得：将tx t x t tx x 23 2313131-=-=∴+=+，又 )52()2(11113t k x k t y t y -=+-=-=∴)52( 23 44μμμ-=-==k y x RQ NR ，，同理可得：设kt t k t k t k x x y y k 25)11(211(5)23()23()52(52(4343=--=------=--='∴μμμμ故25k k ='，即k k '=52所以：存在常数52=λ满足题意.22.解：(1).显然1C 是过原点且倾斜角为α的直线∴1C 的极坐标方程为αθ=)20(R ∈<<ρπα2C 的极坐标方程为2παθ+=)20(R ∈<<ρπα.(2).由⎩⎨⎧== sin 8αθθρ得A 的极坐标为()αα，sin 8由⎪⎩⎪⎨⎧+==2sin 8παθθρ得B 的极坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛++2 cos 82 )2sin(8πααπαπα，，即，.ααcos 8 sin 8==∴OB OA ，AOB ∆∴的面积为：ααα2sin 16cos sin 3221==⋅=OB OA S 又20(πα，∈AOB ∆=∴ 4时，πα面积的最大值为16.分1 分5 分3分2 分3 分5 分6 分8 分9 分10 分8 分9 分10 23.解：(1)⎪⎩⎪⎨⎧≥-<≤-+--<=+--=4 642 222 624)(x x x x x x x f 6)(4min -=≥∴x f x 时，当05)(2≥+-a a x f 恒成立0562≥+--∴a a 即0652≤+-a a 32≤≤∴a 故a 的取值范围为[]32，.(2)由(1)知：6 .6=++=c b a M 即法1：3618)(3)3()2()3()1()2()1(6 )3)(2(2)3)(1(2)2)(1(23213212=+++=+++++++++++++++≤++++++++++++++=+++++∴c b a c b c a b a c b a c b c a b a c b a c b a （当且仅当⎩⎨⎧=+++=+=+ 6321c b a c b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.法2：（柯西不等式）[]363)6()111()3()2()1()131211(00 02222222=⨯+++=++⋅+++++≤⋅++⋅++⋅+∴>>>c b a c b a c b a c b a 当且仅当⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+=+6131211c b a c b a ，即⎪⎩⎪⎨⎧===123c b a 时等号成立321+++++∴c b a 的最大值为6.。
四川省南充市2019-2020学年高考数学达标检测试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数z 满足32i z i ⋅=+（i 是虚数单位），则z =（ ） A ．23i + B ．23i -C ． 23i -+D ． 23i --2．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B =（ ） A ．[2,2)-B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 3．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ．85B ．65C ．45D ．254．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲、乙、丙、丁4名干部派遺到A 、B 、C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲被派遣到A 县的分法有（ ）A ．6种B ．12种C ．24种D ．36种5．已知等边△ABC 内接于圆τ：x 2+ y 2=1，且P 是圆τ上一点，则()PA PB PC ⋅+的最大值是（ ） A ．2B ．1C ．3D ．26．在等差数列{}n a 中，若n S 为前n 项和，911212a a =+，则13S 的值是（ ） A ．156B ．124C ．136D ．1807．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．128．()()52122x x --的展开式中8x的项的系数为（ ）A ．120B ．80C ．60D ．409．已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，其中点A 在第一象限，若弦AB 的长为254，则AF BF =（ ） A ．2或12 B ．3或13C ．4或14D ．5或1510．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x ∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（ ） A ．﹣3∈A B ．3∉B C ．A∩B=B D ．A ∪B=B11．设全集U =R ，集合{|(1)(3)0}A x x x =--≥，11|24xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭.则集合()U A B 等于（ ）A ．(1,2)B ．(2,3]C ．(1,3)D ．(2,3)12．博览会安排了分别标有序号为“1号”“2号”“3号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接嘉宾．某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P 1，P 2，则（ ） A ．P 1•P 2＝14B ．P 1＝P 2＝13C ．P 1+P 2＝56D ．P 1＜P 2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019届四川省南充市高三一诊考试数学(文)试题Word版含答案
2019届四川省南充市高三一诊考试数学(文)试题Word版含答案2019届四川省南充市高三一诊考试数学（文）试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合()(){}140M x x x =--=，()(){}130N x x x =+-<，则MN =（ ）A ．∅B ．{}1C ．{}4D ．{}1 4，2.若复数1z i =+，则2z i =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．23.已知向量1 sin 2a α⎛⎫= ⎪⎝⎭，，()sin 1b α=，，若a b ∥，则锐角α为（ ） A ．30︒ B ．60︒ C ．45︒ D ．75︒ 4.某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a 的即为优秀，如果优秀的人数为20，则a 的估计值是（ ）A ．130B ．140 C.133 D ．137 5.已知等差数列{}na 的公差为2，若134a a a ，，成等比数列，则2a 等于（ ）A ．4-B ．6- C.8- D ．10- 6.“2x <”是“220xx -<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.如图是一个几何体的正视图与侧视图，其俯视图是面积为82的矩形，则该几何体的表面积是（ ）A ．2082+B ．2482+ C.8 D ．168.某程序框图如图所示，执行该程序，若输入4，则输出S =（ ）A ．10B ．17 C.19 D ．36 9.直线20ax y a -+=与圆229x y +=的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切 C.相离 D ．不确定10.如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积和球的表面积之比为（ ） A ．9:4 B ．4:3 C.3:1 D ．3:2 11.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()23f x x x=-，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为（ ）A ．{}1 3，B ．{}3 1 1 3--，，， C.{}27 1 3-，，D ．{}27 1 3--，，12.椭圆2212516x y +=的左、右焦点分别为12F F ，，弦AB 过1F ，若2ABF △的内切圆周长为π， A B ，两点的坐标分别为()11x y ，和()22x y ，，则21y y -的值为（ ）A ．53B ．203 C.53 D ．103第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.函数12y x =-的定义域是 .14.若 x y ，满足条件1020220x y x y x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则z x y =+的最大值为 ．15.如果函数()()sin 2f x x θ=+，函数()()'f x f x +为奇函数，()'f x 是()f x 的导函数，则tan θ= ． 16.已知数列{}na 中，12211 6 n n na aa a a ++===-，，，则2016a=．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）ABC△的内角 A B C ，，的对边分别为 a b c ，，，已知()cos 2cos b C a c B =-.（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若7b =，ABC △的面积为332，求ABC △的周长.18. （本小题满分12分）某校开展运动会，招募了8名男志愿者和12名女志愿者，将这20名志愿者的身高编成如下茎叶图（单位：cm ）若身高在180cm 以上（包括180cm ）定义为“高个子”，身高在180cm 以下（不包括180cm ）定义为“非高个子”. （Ⅰ）求8名男志愿者的平均身高和12名女志愿者身高的中位数；（Ⅱ）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？19. （本小题满分12分）如图，ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，60BAD ∠=︒. （Ⅰ）求证：平面PBD ⊥平面PAC ； （Ⅱ）求点A 到平面PBD 的距离.PODCBA20. （本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，两焦点之间的距离为4.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）过椭圆的右顶点作直线交抛物线24y x=于 A B ，两点，求证：OA OB ⊥（O 为坐标原点）.21. （本小题满分12分）已知函数()()32113f x x ex mx m R =-++∈，()ln xg x x=. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）对任意的两个正实数12x x ，，若()()12'g x f x <恒成立（()'f x 表示()f x 的导数），求实数m 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3x a ty t⎧=+⎪⎨=⎪⎩，（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的单位长度，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为4cos ρθ=.（Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值.23. （本小题满分10分）已知函数()()f x x a x a R=---∈.21（Ⅰ）当3f x的最大值；a=时，求函数()（Ⅱ）解关于x的不等式()0f x≥.2019届四川省南充市高三一诊考试数学（文）试题参考答案及评分意见一、选择题1-5:BDCCB 6-10:BACAD 11、12：DA二、填空题13.{}2x x > 14.32 15.2- 16.5-三、解答题17.解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得()sin cos 2sin sin cos 2sin cos sin cos B C A C B A B C B=-⋅=-.………………2分所以1cos 2B =，3B π=.…………………………6分 （Ⅱ）由已知，133sin 2ac B =又3B π=，所以6ac =.……………………8分 由已知及余弦定理得，222cos 7a c ac B +-=， 故2213ac +=.……………………10分从而()225a c +=，所以ABC △的周长为57+.…………12分 18.解：（Ⅰ）8名男志愿者的平均身高为：168176177178183184187191180.58+++++++=.………………3分12名女志愿者身高的中位数为175.………………………………6分（Ⅱ）根据茎叶图，有“高个子”8人，“非高个子”12人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是51204=. 所以选中的“高个子”有1824⨯=人，设这两个人为 A B ，； “非高个子”有11234⨯=人，设这三个人为 C D E ，，. 从这五个人 A B C D E ，，，，中选出两人共有()()()()()() A B A C A D A E B C B D ，，，，，，，，，，，，()() B E C D ，，，，()() C E D E ，，，十种不同方法；……………………………………10分 其中至少有一人是“高个子”的选法有()()()()() A B A C A D A E B C ，，，，，，，，，，()() B D B E ，，，七种. 因此，至少有一个是“高个子”的概率是710.…………………………12分 19.（Ⅰ）证明：由ABCD 是菱形可得BD AC ⊥， 因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以PA BD ⊥，又PAAC A=，所以BD ⊥平面PAC ，又BD ⊂平面PBD ， 故平面PBD ⊥平面PAC .……………………7分 （Ⅱ）解：由题意可得：22222PB PD ==+=，2BD =，所以12772PBDS =⨯=△.………………8分又132232ABDS=⨯⨯=△.所以三棱锥P ABD -的体积1273ABD V SPA =⋅=△.………………10分设点A 到平面PBD 的距离为h ，又173P ABDPBDV S h -=⋅=△， 723=221h =故点A 到平面PBD 的距离h 为221………………………………12分 20.（Ⅰ）解：由题意可得24c =，12c a =.所以 4 2a c ==，. 由222b ac =-可得212b =，所以椭圆标准方程为：2211612x y +=.……………………5分 （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得椭圆的右顶点为()4 0，，由题意得，可设过()4 0，的直线方程为： 4x my =+.………………………………………………7分由244x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 得：24160y my --=.设()11 A x y ，，()22B x y ，，则1212416y y my y +=⎧⎨=-⎩.………………10分 所以()()()()21212121212124414160OA OB x xy y my my y y m y y m y y ⋅=+=+++=++++=，故OA OB ⊥.………………………………………………12分 21.解：（Ⅰ）由已知可得，()2'2f x x ex m=-+，令()24em ∆=-，………………1分①当2m e ≥时，()'0f x ≥，所以()f x 在R 上递增. ②当2m e <，0∆>，令()2'0f x x e e m >⇒<--或2x e e m >-， 所以()f x 在(2 e e m -∞-，和()2e e m -+∞，上递增，令()22'0f x e e m x e e m<⇒--<<+-所以()f x 在(22e e m e e m --，上递减.………………6分（Ⅱ）因为()()21ln '0x g x x x -=>，令()'0g x =时，x e =，所以()g x 在()0 e ，上递增，在() e +∞，上递减. 所以()()max1g x g e e==.………………………………8分 又因为()()22'f x x e m e =-+-.………………10分所以当0x >时，()2min'f x m e =-.所以12x x R +∀∈，，()()()()1212maxmin''g x f x g x f x <⇔<，所以21m e e <-，即21m e e>+， 故21 m ee ⎛⎫∈++∞ ⎪⎝⎭，.……………………12分22.解：（Ⅰ）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=，结合极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩， 得224xy x+=，即()2224x y -+=.…………………………5分（Ⅱ）由3x a ty t⎧=+⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）化为普通方程，得30x a -=，l与圆C 相切，2213a -=+.所以2a =-或6.…………………………10分 23.解：（Ⅰ）当3a =时，()()()()133********x x f x x x x x x x --≥⎧⎪=---=-+<<⎨⎪+≤⎩，所以，当1x =时，()f x 取得最大值2.……………………5分 （Ⅱ）由()0f x ≥，得21x a x -≥-， 两边平方得()()2241x a x -≥-，()()2320x a x a ---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以①当1a >，不等式解集为22 3a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭，； ②当1a =，不等式解集为{}1x x =；③当1a <，不等式解集为2 23a a +⎛⎫-⎪⎝⎭，.……………………10分。
2019-2020学年四川省绵阳市高考数学一诊试卷(文科)
四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x ∈Z |（x ﹣4）（x +1）＜0}，B={2，3，4}，则A ∩B=（ ）A ．（2，4）B ．{2，4}C ．{3}D ．{2，3}2．（5分）若x ＞y ，且x +y=2，则下列不等式成立的是（ ） A ．x 2＜y 2 B ． C ．x 2＞1D ．y 2＜13．（5分）已知向量，，若，则x 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．2 4．（5分）若，则tan2α=（ ） A ．﹣3 B ．3C ．D ．5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米．A ．13B ．14C ．15D ．166．（5分）已知命题p ：∃x 0∈R ，使得e x0≤0：命题q ：a ，b ∈R ，若|a ﹣1|=|b﹣2|，则a ﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（ ）A ．pB ．¬qC ．p ∨qD ．p ∧q7．（5分）函数f （x ）满足f （x +2）=f （x ），且当﹣1≤x ≤1时，f （x ）=|x |．若函数y=f （x ）的图象与函数g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为（ ） A ．（4，5） B ．（4，6） C ．{5} D ．{6} 8．（5分）已知函数f （x ）=sin ϖx +cos ϖx （ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y=f （x ）的图象向右平移个单位得到y=g （x ）的图象，则函数y=g （x ）图象的一条对称轴方程是（ ）祝您高考马到成功！A ．x=0B ．C ．D ．9．（5分）在△ABC 中，“C=”是“sinA=cosB”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 10．（5分）已知0＜a ＜b ＜1，给出以下结论： ①；②；③．则其中正确的结论个数是（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个11．（5分）已知x 1是函数f （x ）=x +1﹣ln （x +2）的零点，x 2是函数g （x ）=x 2﹣2ax +4a +4的零点，且满足|x 1﹣x 2|≤1，则实数a 的最小值是（ ） A ．2﹣2B ．1﹣2C ．﹣2D ．﹣112．（5分）已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax +bcosx +csinx 的图象都相切，则a +c 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．C ．D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件，则z=2x +y 的最小值是 ．14．（5分）已知偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且f （2）=1，若f （2x +1）＜1，则x 的取值范围是 ． 15．（5分）在△ABC 中，AB=2，AC=4，，且M ，N 是边BC 的两个三等分点，则= ．16．（5分）已知数列{a n }的首项a 1=m ，且a n +1+a n =2n +1，如果{a n }是单调递增数列，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）祝您高考马到成功！17．（12分）若函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）设，且，求sin2α的值．18．（12分）设公差大于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=15，且a 1，a 4，a 13成等比数列，记数列的前n 项和为T n ．（Ⅰ）求T n ；（Ⅱ）若对于任意的n ∈N *，tT n ＜a n +11恒成立，求实数t 的取值范围． 19．（12分）在△ABC 中，，D 是边BC 上一点，且，BD=2．（1）求∠ADC 的大小； （2）若，求△ABC 的面积．20．（12分）已知函数f （x ）=x 3+x 2﹣x +a （a ∈R ）．（1）求f （x ）在区间[﹣1，2]上的最值；（2）若过点P （1，4）可作曲线y=f （x ）的3条切线，求实数a 的取值范围． 21．（12分）函数f （x ）=﹣lnx +2+（a ﹣1）x ﹣2（a ∈R ）．（1）求f （x ）的单调区间； （2）若a ＞0，求证：f （x ）≥﹣．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是（α为参祝您高考马到成功！数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设，，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B两点，求△AOB 的面积．.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +3|． （1）解不等式f （x ）≥6；（2）记f （x ）的最小值是m ，正实数a ，b 满足2ab +a +2b=m ，求a +2b 的最小值．祝您高考马到成功！四川省绵阳市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A={x ∈Z |（x ﹣4）（x +1）＜0}，B={2，3，4}，则A ∩B=（ ） A ．（2，4） B ．{2，4} C ．{3} D ．{2，3}【解答】解：集合A={x ∈Z |（x ﹣4）（x +1）＜0}={x ∈Z |﹣1＜x ＜4}={0，1，2，3}，B={2，3，4}， 则A ∩B={2，3}， 故选：D2．（5分）若x ＞y ，且x +y=2，则下列不等式成立的是（ ）A ．x 2＜y 2B ．C ．x 2＞1D ．y 2＜1【解答】解：∵x ＞y ，且x +y=2，∴x ＞2﹣x ， ∴x ＞1，故x 2＞1正确，故选：C3．（5分）已知向量，，若，则x 的值是（ ） A ．﹣1 B ．0C ．1D ．2【解答】解：根据题意，向量，，若，则有2x=（x ﹣1），解可得x=﹣1，故选：A ．祝您高考马到成功！4．（5分）若，则tan2α=（ ） A ．﹣3 B ．3 C ．D ．【解答】解：∵=，可求tanα=﹣3，∴tan2α===．故选：D ．5．（5分）某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5元收费．某职工某月缴水费55元，则该职工这个月实际用水为（ ）立方米．A ．13B ．14C ．15D ．16【解答】解：设该职工这个月实际用水为x 立方米，∵每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元水费收费，∴用水不超过10立方米的缴水费不超过30元，∵该职工这个月缴水费55元，∴该职工这个月实际用水超过10立方米，超过部分的水费=（x ﹣10）×5，∴由题意可列出一元一次方程式：30+（x ﹣10）×5=55，解得：x=15，故选：C ．6．（5分）已知命题p ：∃x 0∈R ，使得e x0≤0：命题q ：a ，b ∈R ，若|a ﹣1|=|b ﹣2|，则a ﹣b=﹣1，下列命题为真命题的是（ ） A ．pB ．¬qC ．p ∨qD ．p ∧q【解答】解：由指数函数的值域为（0，+∞）可得： 命题p ：∃x 0∈R ，使得e x0≤0为假命题， 若|a ﹣1|=|b ﹣2|，则a ﹣1=b ﹣2或a ﹣1=﹣b +2 即a ﹣b=﹣1，或a +b=3，故命题q 为假命题， 故¬q 为真命题；祝您高考马到成功！p ∨q ，p ∧q 为假命题， 故选：B7．（5分）函数f （x ）满足f （x +2）=f （x ），且当﹣1≤x ≤1时，f （x ）=|x |．若函数y=f （x ）的图象与函数g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象有且仅有4个交点，则a 的取值集合为（ ） A ．（4，5） B ．（4，6） C ．{5} D ．{6} 【解答】解：因为f （x +2）=f （x ）， 所以f （x ）的周期为2，在x ∈[﹣1，1]时，f （x ）=|x |．画出函数f （x ）与g （x ）=log a x 的图象如下图所示；若函数y=f （x ）的图象与函数g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）的图象有且仅有4个交点，则函数g （x ）=log a x 的图象过（5，1）点，即a=5， 故选：C8．（5分）已知函数f （x ）=sin ϖx +cos ϖx （ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，若将y=f （x ）的图象向右平移个单位得到y=g （x ）的图象，则函数y=g （x ）图象的一条对称轴方程是（ ） A ．x=0 B ．C ．D ．祝您高考马到成功！【解答】解：∵函数f （x ）=sin ϖx +cos ϖx=2sin （ωx +）（ϖ＞0）图象的最高点与相邻最低点的距离是，∴设函数f （x ）的周期为T ，则（）2+[2﹣（﹣2）]2=（）2，解得：T=2，∴T=2=，解得：ω=π，∴f （x ）=2sin （πx +），∴y=g （x ）=f （x ﹣）=2sin [π（x ﹣）+]=2sin （πx +），∵令πx +=kπ+，k ∈Z ，解得：x=k +，k ∈Z ，∴当k=0时，函数y=g （x ）图象的一条对称轴方程是：x=． 故选：C ．9．（5分）在△ABC 中，“C=”是“sinA=cosB”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【解答】解：“C=”⇔“A +B=”⇔“A=﹣B”⇒sinA=cosB ，反之sinA=cosB ，A +B=，或A=+B ，“C=”不一定成立，∴A +B=是sinA=cosB 成立的充分不必要条件，故选：A ．10．（5分）已知0＜a ＜b ＜1，给出以下结论： ①；②；③．则其中正确的结论个数是（ ） A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 【解答】解：∵0＜a ＜b ＜1， 故y=为减函数，y=x a 在（0，+∞）上为增函数，祝您高考马到成功！故，即①正确；y=b x 为减函数，y=在（0，+∞）上为增函数，，即②错误；y=log a x 与在（0，+∞）上均为减函数，故，．即③正确；故选：B11．（5分）已知x 1是函数f （x ）=x +1﹣ln （x +2）的零点，x 2是函数g （x ）=x 2﹣2ax +4a +4的零点，且满足|x 1﹣x 2|≤1，则实数a 的最小值是（ ）A ．2﹣2B ．1﹣2C ．﹣2D ．﹣1【解答】解：∵f′（x ）=1﹣=，∴当﹣2＜x ＜﹣1时，f′（x ）＜0，当x ＞﹣1时，f′（x ）＞0，∴当x=﹣1时，f （x ）取得最小值f （﹣1）=0，∴f （x ）只有唯一一个零点x=﹣1，即x 1=﹣1，∵|x 1﹣x 2|≤1，∴﹣2≤x 2≤0，∴g （x ）在[﹣2，0]上有零点，（1）若△=4a 2﹣4（4a +4）=0，即a=2±2，此时g （x ）的零点为x=a ，显然当a=2﹣2符合题意；（2）若△=4a 2﹣4（4a +4）＞0，即a ＜2﹣2或a ＞2+2，①若g （x ）在[﹣2，0]上只有一个零点，则g （﹣2）g （0）≤0， ∴a=﹣1，②若g （x ）在[﹣2，0]上有两个零点，则，解得﹣1≤a ＜2﹣2．祝您高考马到成功！综上，a 的最小值为﹣1． 故选：D ．12．（5分）已知a ，b ，c ∈R ，且满足b 2+c 2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax +bcosx +csinx 的图象都相切，则a +c 的取值范围是（ ）A ．[﹣2，2]B ．C ．D ．【解答】解：∵函数f （x ）=ax +bcosx +csinx ，b 2+c 2=1，∴f′（x ）=a +ccosx ﹣bsinx=a ﹣sin （x ﹣φ），其中tanφ=， 则f′（x ）∈[a ﹣1，a +1]，若存在两条互相垂直的直线与函数f （x ）=ax +bcosx +csinx 的图象都相切，则存在k 1，k 2∈[a ﹣1，a +1]，使k 1k 2=﹣1， 由（a ﹣1）（a +1）=a 2﹣1≥﹣1得： a=0， 则a +c=c=sin （φ+θ），其中tanθ=，故a +c ∈[﹣，]，故选：B ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．（5分）已知变量x ，y 满足约束条件，则z=2x +y 的最小值是 3 ．【解答】解：作出约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x +y 得y=﹣2x +z ， 平移直线y=﹣2x +z ，由图象可知当直线y=﹣2x +z 经过点A 时，直线y=﹣2x +z 的截距最小， 此时z 最小． 由，解得A （1，1），代入目标函数z=2x +y 得z=2×1+1=3．祝您高考马到成功！即目标函数z=2x +y 的最小值为3． 故答案为：3．14．（5分）已知偶函数f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且f （2）=1，若f （2x +1）＜1，则x 的取值范围是 （﹣，） ．【解答】解：根据题意，f （x ）为偶函数，则（2x +1）=f （|2x +1|），又由f （x ）在[0，+∞）上单调递增，且f （2）=1，则f （2x +1）＜1⇒f （|2x +1|）＜f （2）⇒|2x +1|＜2，解可得﹣＜x ＜；则x 的取值范围是（﹣，）； 故答案为：（﹣，）．15．（5分）在△ABC 中，AB=2，AC=4，，且M ，N 是边BC 的两个三等分点，则=．【解答】解：根据题意，如图△ABC 中，AB=2，AC=4，，且M ，N 是边BC 的两个三等分点， 有=+=+=+（﹣）=+， =+=+=+（﹣）=+，祝您高考马到成功！则=（+）•（+）=2+2+•=；即=；故答案为：．16．（5分）已知数列{a n }的首项a 1=m ，且a n +1+a n =2n +1，如果{a n }是单调递增数列，则实数m 的取值范围是 （，） ．【解答】解：根据题意，数列{a n }中，a n +1+a n =2n +1，对其变形可得[a n +1﹣（n +1）]+（a n ﹣n ）=0，即a n +1﹣（n +1）=﹣（a n ﹣n ）， 又由a 1=m ，则a 1﹣1=m ﹣1，当m=1时，a n ﹣n=0，则a n =n ，符合题意，当m ≠1时，数列{a n ﹣n }是以m ﹣1为首项，公比为﹣1的等比数列， 则a n ﹣n=（m ﹣1）×（﹣1）n ， 即a n =（m ﹣1）×（﹣1）n +n ，则a n ﹣1=（m ﹣1）×（﹣1）n ﹣1+n ﹣1， 当n 为偶数时，a n ﹣a n ﹣1=2（m ﹣1）+1，① 当n 为奇数时，a n ﹣a n ﹣1=﹣2（m ﹣1）+1，② 如果{a n }是单调递增数列，则有，解可得＜m ＜，即m 的取值范围是（，）∪（1，）；祝您高考马到成功！故答案为：（，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）若函数f （x ）=Asin （ωx +φ）的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式； （2）设，且，求sin2α的值．【解答】解：（1）由图得，A=2． …（1分），解得T=π，于是由T=，得ω=2．…（3分）∵，即， ∴，k ∈Z ，即，k ∈Z ，又， 所以，即． …（6分）（2）由已知，即， 因为，所以，∴． …（8分）祝您高考马到成功！∴===． …（12分）18．（12分）设公差大于0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3=15，且a 1，a 4，a 13成等比数列，记数列的前n 项和为T n ．（Ⅰ）求T n ；（Ⅱ）若对于任意的n ∈N *，tT n ＜a n +11恒成立，求实数t 的取值范围． 【解答】解：（Ⅰ）设{a n }的公差为d （d ＞0）， 由S 3=15有3a 1+=15，化简得a 1+d=5，①…（2分）又∵a 1，a 4，a 13成等比数列，∴a 42=a 1a 13，即（a 1+3d ）2=a 1（a 1+12d ），化简得3d=2a 1，②…（4分） 联立①②解得a 1=3，d=2，∴a n =3+2（n ﹣1）=2n +1． …（5分）∴，∴．…（7分）（Ⅱ）∵tT n ＜a n +11，即，∴，…（9分）又≥6，当且仅当n=3时，等号成立，∴≥162，…（11分）∴t ＜162． …（12分）19．（12分）在△ABC 中，，D 是边BC 上一点，且，BD=2．（1）求∠ADC 的大小； （2）若，求△ABC 的面积．祝您高考马到成功！【解答】解：（1）△ABD 中，由正弦定理，得，∴，∴．（2）由（1）知，∠BAD=∠BDA=，故AB=BD=2．在△ACD 中，由余弦定理：AC 2=AD 2+CD 2﹣2AD•CD•cos ∠ADC ， 即，整理得CD 2+6CD ﹣40=0， 解得CD=﹣10（舍去），CD=4， ∴BC=BD +CD=4+2=6． ∴S △ABC =．20．（12分）已知函数f （x ）=x 3+x 2﹣x +a （a ∈R ）．（1）求f （x ）在区间[﹣1，2]上的最值；（2）若过点P （1，4）可作曲线y=f （x ）的3条切线，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）f'（x ）=3x 2+2x ﹣1=（3x ﹣1）（x +1），…（1分）由f'（x ）＞0解得或x ＜﹣1；由f'（x ）＜0解得，又x ∈[﹣1，2]，于是f （x ）在上单调递减，在上单调递增．…（3分） ∵， ∴f （x ）最大值是10+a ，最小值是．…（5分）（2）设切点Q （x ，x 3+x 2﹣x +a ），P （1，4）， 则，整理得2x 3﹣2x 2﹣2x +5﹣a=0，…（7分） 由题知此方程应有3个解．祝您高考马到成功！令μ（x ）=2x 3﹣2x 2﹣2x +5﹣a ，∴μ'（x ）=6x 2﹣4x ﹣2=2（3x +1）（x ﹣1）， 由μ'（x ）＞0解得x ＞1或，由μ'（x ）＜0解得，即函数μ（x ）在，（1，+∞）上单调递增，在上单调递减．…（10分）要使得μ（x ）=0有3个根，则，且μ（1）＜0，解得，即a 的取值范围为． …（12分）21．（12分）函数f （x ）=﹣lnx +2+（a ﹣1）x ﹣2（a ∈R ）．（1）求f （x ）的单调区间；（2）若a ＞0，求证：f （x ）≥﹣．【解答】解：（1）． …（1分）①当a ≤0时，f'（x ）＜0，则f （x ）在（0，+∞）上单调递减；…（3分）②当a ＞0时，由f'（x ）＞0解得，由f'（x ）＜0解得．即f （x ）在上单调递减；f （x ）在上单调递增；综上，a ≤0时，f （x ）的单调递减区间是（0，+∞）；a ＞0时，f （x ）的单调递减区间是，f （x ）的单调递增区间是． …（5分）（2）由（1）知f （x ）在上单调递减；f （x ）在上单调递增， 则． …（6分）要证f （x ）≥，即证≥，即lna +≥0，祝您高考马到成功！即证lna ≥．…（8分）构造函数，则，由μ'（a ）＞0解得a ＞1，由μ'（a ）＜0解得0＜a ＜1，即μ（a ）在（0，1）上单调递减；μ（a ）在（1，+∞）上单调递增； ∴，即≥0成立．从而f （x ）≥成立．…（12分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设，，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B两点，求△AOB 的面积．【解答】解：（1）∵曲线C 的参数方程是（α为参数），∴将C 的参数方程化为普通方程为（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=25，即x 2+y 2﹣6x ﹣8y=0． …（2分）∴C 的极坐标方程为ρ=6cosθ+8sinθ． …（4分） （2）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴． …（6分）把代入ρ=6cosθ+8sinθ，得，∴． …（8分）∴S△AOB ===． …祝您高考马到成功！（10分）.[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +3|． （1）解不等式f （x ）≥6；（2）记f （x ）的最小值是m ，正实数a ，b 满足2ab +a +2b=m ，求a +2b 的最小值．【解答】解：（1）当x ≤时，f （x ）=﹣2﹣4x ，由f （x ）≥6解得x ≤﹣2，综合得x ≤﹣2，…（2分） 当时，f （x ）=4，显然f （x ）≥6不成立，…（3分）当x ≥时，f （x ）=4x +2，由f （x ）≥6，解得x ≥1，综合得x ≥1，…（4分）所以f （x ）≥6的解集是（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）．…（5分）（2）f （x ）=|2x ﹣1|+|2x +3|≥|（2x ﹣1）﹣（2x +3）|=4，即f （x ）的最小值m=4． …（7分） ∵a•2b ≤，…（8分）由2ab +a +2b=4可得4﹣（a +2b ）≤，解得a +2b ≥，∴a +2b 的最小值为．…（10分）祝您高考马到成功！。
2020届四川省南充市高中高三第一次高考适应性考试数学(文)试题(原卷版)
南充市2020届高三第一次高考适应性考试数学试题(文科)第I 卷一、选择题1.已知集合{}|10A x x =-≥，{}2|1B x x =≤，则A B =U ( )A. {}|1x x ≥B. {}1|x x ≥-C. {}|1x x ≤D. {}|1x x ≤-2.12i=-( ) A. 2155i -+ B. 2155i -- C.21i 55+ D.2155i - 3.“60A =︒”是“1cos 2A =”的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面积为π，则球的表面积为( )A.B. 8πC.D. 4π5.函数()212sin f x x =-的最小正周期是( )A. 4πB. 2πC.32π D. π6.若变量,x y 满足约束条件20510080x y x y x y -+≥⎧⎪-+≤⎨⎪+-≤⎩，则34z x y =-的最大值为( )A. 11-B. 3-C. 3D. 117.直线3450x y -+=关于直线0x y +=对称的直线方程为( ) A. 4350x y --=B. 4350x y ++=C. 4350x y +-=D. 4350x y -+=8.若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A. ⎡⎣B. (C. 33⎡-⎢⎣⎦D. 33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭9.函数()1,1x f x x x ≤=>⎪⎩，若方程()f x a =有且只有一个实数根，则实数a 满足( ) A. 1a =B. 1a >C. 01a ≤<D. 0a <10.设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点，若双曲线右支上存在点P ，满足212 PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于2a ，则该双曲线的渐近线方程为( )A. 340±=x yB. 430x y ±=C. 350x y ±=D.540x y ±=11.ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若tan tan a ba b A B+=+，则角C =( ) A.6πB.4π C.3π D.2π 12.设'()f x 是函数()f x 的导函数，且'()2()()f x f x x R >∈，12f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭(e 为自然对数的底数)，则不等式2(ln )f x x <的解集为( )A. 0,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B.C. 1,2e e ⎛⎫⎪⎝⎭D. 2e ⎛⎝ 第II 卷(共90分)二、填空题13.已知()1,1A ，()2,4B -，(),9C x -，且//AB AC u u u r u u u r，则x =__________.14.函数()sin f x x x =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为_________. 15.若偶函数()f x 对任意x ∈R ，都有1(3)()f x f x +=-，且[3,2]x ∈--时，()2f x x =，则()101.5f =___________.16.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点(0,2)A .若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为_____________．三、解答题17.从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间(单位：小时)的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图如下．2 [2，4) 83 [4，6) 174 [6，8) 225 [8，10) 256 [10，12) 127 [12，14) 68 [14，16) 29 [16，18) 2 合计100(1)从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的频率； (2)求频率分布直方图中a ，b 的值．18.在等比数列{a n }中，a n >0 (n ∈N )，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设2log n n b a =，数列{b n }的前n 项和为S n ，当12+++12n S S S nL 最大时，求n 的值. 19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，2AB =，BC a =，PA ⊥底面ABCD .(1)当a 为何值时，BD ⊥平面PAC ？证明你的结论；(2)若在BC 边上至少存在一点M ，使PM DM ⊥，求a 的取值范围.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为()12,0F -，()22,0F ，点151,3P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 上.(1)求椭圆C 的标准方程； (2)是否存在斜率为1-的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点，使得11FM F N =？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 21.已知函数()1xxxf x ae e =--，其中0a >． (1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 有唯一零点，求a的值．22.在极坐标系中，已知曲线1C ：2cos ρθ=和曲线2C ：cos 3ρθ=，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系.(1)求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；(2)若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值. 23.已知函数()f x x x 1=++.(1)若()f x m 1≥-恒成立，求实数m最大值M ；(2)在(1)成立条件下，正数a,b 满足22a b M +=，证明：a b 2ab +≥.。
四川省南充市2019-2020学年数学高三上学期文数第一次联考试卷B卷
四川省南充市2019-2020学年数学高三上学期文数第一次联考试卷B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·孝义模拟) 已知集合A={（x，y）|y=x+1，0≤x≤1}，集合B={（x，y）|y=2x，0≤x≤10}，则集合A∩B=（）A . {1，2}B . {x|0≤x≤1}C . {（1，2）}D . ∅2. （2分） (2017高一下·潮安期中) ﹣150°的弧度数是（）A . ﹣B .C . ﹣D . ﹣3. （2分） (2019高三上·牡丹江月考) 已知等差数列的前项和为，若，则（）A . 3B . 9C . 18D . 274. （2分）已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数a的取值范围为（）A .B .C .D .5. （2分）等差数列{an}的前n项和记为Sn ，若为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是（）A . S6B . S11C . S12D . S136. （2分）(2019·广东模拟) 的内角A,B,C的对边分别为 .已知 , ，且的面积为2，则（）A .B .C .D .7. （2分）若sin（π+θ）= ，sin（）= ，则θ角的终边在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限8. （2分） (2019高三上·新疆月考) 已知正实数、、满足，，，则、、的大小关系是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高一上·西宁期末) 若，，则角的终边在（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限10. （2分） (2018高一下·威远期中) 已知α （- ，0）且sin2α=- ，则sinα+cosα=（）A .B . -C . -D .11. （2分）(2018·湖北模拟) 锐角中，角所对的边为的面积 ,给出以下结论：① ；② ；③ ；④有最小值8.其中正确结论的个数为（）A . 1B . 2C . 3D . 412. （2分）函数f(x)＝在点(1，－2)处的切线方程为（）A . 2x－y－4＝0B . 2x＋y＝0C . x－y－3＝0D . x＋y＋1＝0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·南京模拟) 已知集合A=（﹣2，1]，B=[﹣1，2），则A∪B=________．14. （1分）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，sinB=，且△ABC的面积为，则b=________ ．（用数值作答）15. （1分） (2018高三上·沈阳期末) 如图，在正方形中，，为上一点，且，则 ________.16. （1分） (2019高一下·江东月考) 在等差数列中，为前n项和，对任意正整数k成立，则公差d=________, ________．三、解答题 (共7题；共70分)17. （5分） (2016高三上·鹰潭期中) 已知在等差数列{an}中，a2=4，a5+a6=15．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn= +n，求b1+b2+…+b10 ．18. （10分）函数对任意的都有，并且当时，（1）求的值并判断函数是否为奇函数（不须证明）；（2）证明：在上是增函数；（3）解不等式．19. （15分） (2016高一上·包头期中) 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=（）x ．（1）求函数f（x）的解析式；（2）在所给坐标系中画出函数f（x）的图象，并根据图象写出函数f（x）的单调区间．20. （10分） (2020高一下·无锡期中) 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．（1）求角B；（2）若，，求的值．21. （10分） (2020高二下·天津期末) 已知函数， .（1）设为的导函数，求的值；（2）若不等式对恒成立，求的最小值.22. （10分）(2019·天河模拟) 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数在极坐标系与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴中，圆C的方程为．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为，求的值．23. （10分） (2018高一下·宜宾期末) 已知二次函数 ,且不等式的解集为，对任意的都有恒成立.（1）求的解析式；（2）若不等式在上有解，求实数的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、第11 页共11 页。
四川省南充市2020届高三数学上学期第一次适应性考试(一诊)试题 文
四川省南充市2020届高三第一次高考适应性考试（一诊）数学文试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}{}0,112,2,A B x x ==-<<，则A B ⋂=（ ） A ．{}0 B ．{}1 C ．{}0,1 D ．{}0,1,22. 若复数212bii-+的实部和虚部互为相反数，那么实数b 等于（ ） A ．23- B ．23C ．2D ．23. 已知平面向量()()1,3,4,2a b =-=-r r ，若a b λ-r r 与a r垂直，则λ=（ ） A ．1- B ．1 C ．2- D ．24. 已知变量x 与变量y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据则变量x 与y 之间的线性回归方程可能为（ ）A ．$0.7 2.3y x =- B ．$0.710.3y x =-+ C ．$10.30.7y x =-+ D ．$10.30.7y x =- 5. 已知数列{}n a 满足：11,0n a a =>，()22*11n n a a n N +-=∈，那么使5n a <成立的n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．24D ．256. 已知函数()()()2sin 0f x x ωϕω=+>的部分图象如图所示，则函数()f x 的一个单调递增区间是（ ）A ．75,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．7,1212ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1117,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 7. 若01m <<，则（ ）A ．()()11m m log m log m +>-B ．(10)m log m +> C. ()211m m ->+D ．()()113211m m ->-8. 已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的面积为（ ）A ．92 B ．4 C. 3 D 3109. 若函数()324f x x x ax =+--在区间()1,1-内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．()1,5B ．[)1,5 C. (]1,5 D ．()(),15,-∞⋃+∞10.已知,,,A B C D 是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形，AD ⊥平面ABC ，26AD AB ==，则该球的体积为（ ）A ．323πB ．48π C. 24π D ．16π11.设数列{}n a 前n 项和为n S ，已知145a =，112,0,2121,1,2n n n n n a a a a a +⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩则2018S 等于（ ）A ．50445 B ．50475 C. 50485 D ．5049512.已知抛物线2:4C x y =，直线:1l y =-，,PA PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为,A B ，则“点P 在l 上”是“PA PB ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件 D ．既不充分也不必要条件第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若,x y 满足约束条件0,20,0,x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则34z x y =-的最小值为 ．14. 数列{}n a 满足：212log 1log n n a a +=+，若310a =，则8a = ．15. 若圆221:5O x y +=与圆()()222:20O x m y m R ++=∈相交于,A B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ．16. 函数()21,1,ln ,1,x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩若方程()12f x mx =-恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设函数()1sin ,2f x x x x R =+∈.（1）求函数()f x 的最小正周期和值域；（2）记ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()f A =a =，求角C 的值. 18.某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示.（1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；（2）若已从年龄在[)[]35,45,45,55的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率.19. 如图，边长为2的正方形ABCD与等边三角形ABE所在的平面互相垂直，,M N分别是,DE AB的中点.（1）证明://MN平面BCE；（2）求三棱锥B EMN-的体积.20. 已知椭圆222210()x ya ba b+=>>的左右焦点分别为12,F F，左顶点为A，122F F=，椭圆的离心率12e=.（1）求椭圆的标准方程；（2）若P 是椭圆上任意一点，求1PF PA ⋅u u u r u u u r的取值范围.21.已知函数()xf x e =，直线l 的方程为(),,y kx b k R b R =+∈∈.（1）若直线l 是曲线()y f x =的切线，求证:()f x kx b ≥+对任意x R ∈成立； （2）若()f x kx b ≥+对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数是,k b 应满足的条件. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩ (α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点()0,2,P l 和C 交于,A B 两点，求PA PB +.23.已知函数()1f x x =+.（1）求不等式/()211f x x <+-的解集M ； （2）设,a b M ∈，证明：()()()f ab f a f b >--.试卷答案一、选择题1-5: CABBC 6-10: DDABA 11、12：BC 二、填空题13. 1- 14. 320 15. 4 16.1,2e ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭三、解答题17.解：（1）因为()13sin cos 2f x x x =+，sin 3x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期为π. 因为x R ∈，所以3x R π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()f x 的值域为[]1,1-.（2）由（1）得()sin 3f A A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以3sin 3A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭.因为0A π<<，所以4333A πππ<+<, 所以2,333A A πππ+==， 因为3a b =，由正弦定理sin sin a b A B =可得 32sin 3bbB =，所以sin 1B =， 因为0B π<<，所以2B π=，所以6C A B ππ=--=.18.解：（1）由图可得，各组年龄的人数分別为：10，30，40，20.估计所有使用者的平均年龄为：0. 1200.3300.4400. 25037⨯+⨯+⨯+⨯= (岁）（2）由题意可知抽取的6人中，年龄在[)35,45范围内的人数为4，记为,,,a b c d ；年龄在[]45,55范围内的人数为2，记为,m n .从这6人中选取2人，结果共有15种：()()()()()()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,ab ac ad am an bc bd bm bn cd cm cn dm dn mn .设“这2人在不同年龄组“为事件A . 则事件A 所包含的基本事件有8种，故()815P A =，所以这2人在不同年龄组的概率为815. 19. （1）证明：取AE 中点P ，连结,MP NP . 由题意可得////MP AD BC ,因为MP ⊄平面BCE ,BC ⊂平面BCE , 所以//MP 平面BCE , 同理可证//NP 平面BCE . 因为MP NP P ⋂=, 所以平面//MNP 平面BCE , 又MN ⊂平面MNP , 所以//MN 平面BCE .（2）解：由（1）可得//12MP DA =,因为平面ABCD ⊥平面ABE ,平面ABCD ⋂平面ABE AB =,且DA AB ⊥ 所以DA ⊥平面ABE所以M 到平面ENB 的距离为112MP AD == 因为N 为AB 的中点, 所以12EMB ABE S S ∆∆=所以1132B EMN M EBN ABE V V S MP --∆==⨯⨯11132213222=⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 36=. 20.解：（1）由已知可得122,2c c e a === 所以2,1a c == 因为222a b c =+ 所以3b =所以椭圆的标准方程为：22143x y += （2）设()00,P x y ，又 ()()12,0,1,0A F -- 所以()()2100012PF PA x x y ⋅=----+u u u r u u u r，因为P 点在椭圆22143x y +=上， 所以2200143x y +=，即2200334y x =-，且022x -≤≤，所以21001354PF PA x x ⋅=++u u u r u u u r ， 函数()20001354f x x x =++在[]2,2-单调递增， 当02x =-时，()0f x 取最小值为0； 当02x =时，()0f x 取最大值为12. 所以1PF PA ⋅u u u r u u u r的取值范围是[]0,12.21.解：（1）因为()x f x e '=，设切点为(),tt e ， 所以(),1t t k e b e t ==-，所以直线l 的方程为:()1t ty e x e t =+-，令函数()()F x f x kx b =--，即()()1x t t F x e e x e t =---，()x tF x e e '=-所以()F x 在(),t -∞单调递减，在(),t +∞单调递增， 所以()()min 0F x f t == 故()()0F x f x kx b =--≥， 即()f x kx b ≥+对任意x R ∈成立.（2）令()()[),0,xH x f x kx b e kx b x =--=--∈+∞()[),0,x H x e k x '=-∈+∞①当1k ≤时，()0H x '≥，则()H x 在[)0,+∞单调递增， 所以()()min 010,1H x H b b ==-≥≤ 即11k b ≤⎧⎨≤⎩，符合题意.②当1k >时，()H x 在[]0,ln k 上单调递减，在[)ln ,k +∞单调递增, 所以()()min ln ln 0H x H k k k k b ==--≥ 即()1ln b k k ≤-综上所述：满足题意的条件是1,1,k b ≤⎧⎨≤⎩或()1,1ln .k b k k >⎧⎪⎨≤-⎪⎩22.解：（1）由3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α，得2219xy +=即C 的普通方程为2219x y +=由sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=①将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入①得2y x =+所以直线l 的斜率角为4π. （2）由（1）知，点()0,2P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)即222x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入2219x y +=并化简得25182270t t ++=()21824527108∆=-⨯⨯=>0设,A B 两点对应的参数分别为12,t t . 则1212182270,05t t t t +=-<=>，所以120,0t t << 所以12182PA PB t t +=+=. 23. （1）解：①当1x ≤-时，原不等式化为122x x --<--解得1x <-； ②当112x -<≤-时,原不等式化为1x x +<-2-2解得1x <-，此时不等式无解； ③当12x >-时，原不等式化为12x x +<解1x >. 综上，{1M x x =<-或 }1x > （2）证明，因为()()()1111f a f b a b a b a b --=+--+≤+-+=+.所以要证()()()f ab f a f b >--，只需证1ab a b +>+， 即证221ab a b +>+，即证2222212a b ab a ab b ++>++，即证22221a b a b --+>0，即证()()22110a b -->，因为,a b M ∈，所以221,1a b >>，所以2210,10a b ->->，所以()()22110a b -->成立.所以原不等式成立.。
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四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={0，1，2}，B={x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B=（ ）A ．{0}B ．{1}C ．{0，1}D ．{0，1，2}2．（5分）如果复数（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A ．B ．C ．﹣D ．23．（5分）该试题已被管理员删除4．（5分）已知变量x 与变量y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据：x 6 5 10 12y 6 5 3 2则变量x 与y 之间的线性回归直线方程可能为（ ）A ．=0.7x ﹣2.3B ．=﹣0.7x +10.3C ．=﹣10.3x +0.7D ．=10.3x ﹣0.75．（5分）已知数列{a n }满足：a 1=1，a n ＞0，a n +12﹣a n 2=1（n ∈N *），那么使a n ＜5成立的n 的最大值为（ ）A ．4B ．5C ．24D ．256．（5分）已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数f （x ）的一个单调递增区间是（ ）A ．（）B ．（） C ．（） D ．（）7．（5分）若0＜m ＜1，则（ ） A ．log m （1+m ）＞log m （1﹣m ）B ．log m （1+m ）＞0祝您高考马到成功！C ．1﹣m ＞（1+m ）2D ．8．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）A ．B ．4C ．3D ．9．（5分）函数f （x ）=x 3+x 2﹣ax ﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（1，5）B ．[1，5）C ．（1，5]D ．（﹣∞，1）∪（5，+∞）10．（5分）已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6，则该球的体积为（ ） A ．B ．48πC ．24πD ．16π11．（5分）设数列{a n }前n 项和为S n ，已知，则S 2018等于（ ） A ．B ．C ．D ．12．（5分）已知抛物线C ：x 2=4y ，直线l ：y=﹣1，PA ，PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则“点P 在l 上”是“PA ⊥PB”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）祝您高考马到成功！13．（5分）若x ，y 满足约束条件，则z=3x ﹣4y 的最小值为 ．14．（5分）数列{a n }满足：若log 2a n +1=1+log 2a n ，a 3=10，则a 8= ． 15．（5分）若圆O 1：x 2+y 2=5与圆O 2：（x +m ）2+y 2=20（m ∈R ）相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 ． 16．（5分）函数f （x ）=，若方程f （x ）=mx ﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和值域；（2）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且，求角C 的值．18．（12分）某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示．（1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55]的使用者中利用分层抽样选取了6人，祝您高考马到成功！再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率．19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 与等边三角形ABE 所在的平面互相垂直，M ，N 分别是DE ，AB 的中点． （1）证明：MN ∥平面 BCE ； （2）求三棱锥B ﹣EMN 的体积．20．（12分）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|=2，椭圆的离心率为e= （Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若P 是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．21．（12分）已知函数f （x ）=e x ，直线l 的方程为y=kx +b ，（k ∈R ，b ∈R ）． （1）若直线l 是曲线y=f （x ）的切线，求证：f （x ）≥kx +b 对任意x ∈R 成立； （2）若f （x ）≥kx +b 对任意x ∈[0，+∞）恒成立，求实数k ，b 应满足的条件．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点P （0，2），l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |+|PB |． 23．已知函数f （x ）=|x +1|．（1）求不等式f （x ）＜|2x +1|﹣1的解集M ；（2）设a ，b ∈M ，证明：f （ab ）＞f （a ）﹣f （﹣b ）．祝您高考马到成功！！功成到马考高您祝四川省南充市高考数学一诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）集合A={0，1，2}，B={x |﹣1＜x ＜2}，则A ∩B=（ ） A ．{0} B ．{1} C ．{0，1} D ．{0，1，2} 【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x |﹣1＜x ＜2} ∴A ∩B={0，1} 故选C2．（5分）如果复数（其中i 为虚数单位，b 为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b 等于（ ） A ．B ．C ．﹣D ．2【解答】解：==+i由=﹣得b=﹣．故选C ．3．（5分）该试题已被管理员删除4．（5分）已知变量x 与变量y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据： x 6 5 10 12y 6 5 32则变量x 与y 之间的线性回归直线方程可能为（ ）A ．=0.7x ﹣2.3B ．=﹣0.7x +10.3C ．=﹣10.3x +0.7D ．=10.3x ﹣0.7祝您高考马到成功！【解答】解：根据表中数据，得； =（6+5+10+12）=，=（6+5+3+2）=4，且变量y 随变量x 的增大而减小，是负相关， 所以，验证=时，=﹣0.7×+10.3≈4，即回归直线=﹣0.7x +10.3过样本中心点（，）． 故选：B ．5．（5分）已知数列{a n }满足：a 1=1，a n ＞0，a n +12﹣a n 2=1（n ∈N *），那么使a n ＜5成立的n 的最大值为（ ） A ．4B ．5C ．24D ．25【解答】解：由题意a n +12﹣a n 2=1，∴a n 2为首项为1，公差为1的等差数列，∴a n 2=1+（n ﹣1）×1=n ，又a n ＞0，则a n =，由a n ＜5得＜5，∴n ＜25．那么使a n ＜5成立的n 的最大值为24．故选C ．6．（5分）已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ）（ω＞0）的部分图象如图所示，则函数f （x ）的一个单调递增区间是（ ）A ．（）B ．（） C ．（） D ．（）【解答】解：由图象可知：T=﹣=，祝您高考马到成功！∴T==π，∴ω=2， 又×2+φ=π（或×2+φ=），∴φ=﹣，∴f （x ）=2sin （2x ﹣），由2kπ﹣≤2x ﹣≤2kπ+，得其单调递增区间为：[kπ﹣，kπ+]．当k=1时，单调递增区间为：[，]．显然，（，）⊆[，]．故选D ．7．（5分）若0＜m ＜1，则（ ） A ．log m （1+m ）＞log m （1﹣m ） B ．log m （1+m ）＞0C ．1﹣m ＞（1+m ）2D ．【解答】解：①∵0＜m ＜1，∴函数y=log m x 是（0，+∞）上的减函数，又∵1+m＞1﹣m ＞0，∴log m （1+m ）＜log m （1﹣m ）；∴A 不正确；②∵0＜m ＜1，∴1+m ＞1，∴log m （1+m ）＜0；∴B 不正确；③∵0＜m ＜1，∴0＜1﹣m ＜1，1+m ＞1，∴1﹣m ＞（1+m ）2；∴C 不正确；④∵0＜m ＜1，∴0＜1﹣m ＜1，∴函数y=（1﹣m ）x 是定义域R 上的减函数，又∵＜，∴＞；∴D 正确；故选：D ．8．（5分）已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，则该截面的面积为（ ）祝您高考马到成功！A ．B ．4C ． 3D ．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，截面是等腰梯形FHDE ， ∵正方体的棱长为2， ∴FH=，DE=，梯形的高为．∴该截面的面积为S=．故选：A ．9．（5分）函数f （x ）=x 3+x 2﹣ax ﹣4在区间（﹣1，1）内恰有一个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（1，5）B ．[1，5）C ．（1，5]D ．（﹣∞，1）∪（5，+∞） 【解答】解：由题意，f′（x ）=3x 2+2x ﹣a ， 则f′（﹣1）f′（1）＜0， 即（1﹣a ）（5﹣a ）＜0， 解得1＜a ＜5，另外，当a=1时，函数f （x ）=x 3+x 2﹣x ﹣4在区间（﹣1，1）恰有一个极值点，祝您高考马到成功！当a=5时，函数f （x ）=x 3+x 2﹣5x ﹣4在区间（﹣1，1）没有一个极值点， 故选：B ．10．（5分）已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD=2AB=6，则该球的体积为（ ） A ．B ．48πC ．24πD ．16π【解答】解：由题意画出几何体的图形如图， 把A 、B 、C 、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与A 的距离为球的半径， AD=2AB=6，OE=3，△ABC 是正三角形， 所以AE=．AO=．所求球的体积为：==32．故选A ．11．（5分）设数列{a n }前n 项和为S n ，已知，则S 2018等于（ ） A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵a 1= ∴a 2=2×﹣1=，祝您高考马到成功！a 3=2×﹣1=， a 4=2×= a 5=2×=，∴数列{a n }是以4为周期的周期数列， ∴a 1+a 2+a 3+a 4=+++=2，∴S 2018=504×（a 1+a 2+a 3+a 4）+a 1+a 2=1008+=，故选：B ．12．（5分）已知抛物线C ：x 2=4y ，直线l ：y=﹣1，PA ，PB 为抛物线C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则“点P 在l 上”是“PA ⊥PB”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：由x 2=4y ，对其求导得．设A，B，则直线PA ，PB 的斜率分别为k PA =，k PB =．由点斜式得PA ，PB 的方程分别为：y ﹣=．=（x ﹣x 2），联立解得P， 因为P 在l 上，所以=﹣1，所以k PA •k PB ==﹣1，所以PA ⊥PB ．反之也成立．所以“点P 在l 上”是“PA ⊥PB”的充要条件． 故选：C ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若x ，y 满足约束条件，则z=3x ﹣4y 的最小值为 ﹣1 ．祝您高考马到成功！【解答】解：由z=3x ﹣4y ，得y=x ﹣，作出不等式对应的可行域（阴影部分）， 平移直线y=x ﹣，由平移可知当直线y=x ﹣，经过点B （1，1）时，直线y=x ﹣的截距最大，此时z 取得最小值， 将B 的坐标代入z=3x ﹣4y=3﹣4=﹣1， 即目标函数z=3x ﹣4y 的最小值为﹣1． 故答案为：﹣1．14．（5分）数列{a n }满足：若log 2a n +1=1+log 2a n ，a 3=10，则a 8= 320 ．【解答】解：∵log 2a n +1=1+log 2a n∴a n +1=2a n∴数列{a n }是2为公比的等比数列∴a 8=a 325=320 故答案为：32015．（5分）若圆O 1：x 2+y 2=5与圆O 2：（x +m ）2+y 2=20（m ∈R ）相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是 4 ．【解答】解：由题 O 1（0，0）与O 2：（﹣m ，0），根据圆心距大于半径之差而小于半径之和， 可得＜|m |＜．再根据题意可得O 1A ⊥AO 2， ∴m 2=5+20=25， ∴m=±5， ∴利用，祝您高考马到成功！解得：AB=4． 故答案为：4．16．（5分）函数f （x ）=，若方程f （x ）=mx ﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 （，） ．【解答】解：方程f （x ）=mx ﹣恰有四个不相等的实数根可化为 函数f （x ）=与函数y=mx ﹣有四个不同的交点，作函数f （x ）=与函数y=mx ﹣的图象如下，由题意，C （0，﹣），B （1，0）； 故k BC =，当x ＞1时，f （x ）=lnx ，f′（x ）=； 设切点A 的坐标为（x 1，lnx 1），祝您高考马到成功！则=；解得，x 1=； 故k AC =；结合图象可得，实数m 的取值范围是（，）．故答案为：（，）．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设函数．（1）求函数f （x ）的最小正周期和值域；（2）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，且，求角C 的值．【解答】解：（1）因为=，所以f （x ）的最小正周期为2π． 因为x ∈R ，所以，所以f （x ）的值域为[﹣1，1]． （2）由（1）得，所以．因为0＜A ＜π，所以，所以，因为，由正弦定理祝您高考马到成功！可得，所以sinB=1， 因为0＜B ＜π， 所以，故得：．18．（12分）某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示．（1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55]的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率．【解答】解：（1）由图可得，各组年龄的人数分別为：10，30，40，20． 估计所有使用者的平均年龄为：0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37（岁） （2）由题意可知抽取的6人中，年龄在[35，45）范围内的人数为4，记为a ，b ，c ，d ；年龄在[45，55]范围内的人数为2，记为m ，n ． 从这6人中选取2人，结果共有15种： （ab ），（ac ），（ad ），（am ），（an ），（bc ），祝您高考马到成功！（bd ），（bm ），（bn ），（cd ），（cm ），（cn ）， （dm ），（dn ），（mn ）．设“这2人在不同年龄组“为事件A ． 则事件A 所包含的基本事件有8种，故，所以这2人在不同年龄组的概率为．19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 与等边三角形ABE 所在的平面互相垂直，M ，N 分别是DE ，AB 的中点． （1）证明：MN ∥平面 BCE ； （2）求三棱锥B ﹣EMN 的体积．【解答】（1）证明：取AE 中点P ，连结MP ，NP ． 由题意可得MP ∥AD ∥BC ，∵MP ⊄平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，∴MP ∥平面BCE ， 同理可证NP ∥平面BCE ． ∵MP ∩NP=P ，∴平面MNP ∥平面BCE ， 又MN ⊂平面MNP ， ∴MN ∥平面BCE ；（2）解：由（1）可得MP ∥DA ，且MP=DA ，∵平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ∩平面ABE=AB ，且DA ⊥AB ， ∴DA ⊥平面ABE ， ∴M 到平面ENB 的距离为，∵N 为AB 的中点，祝您高考马到成功！∴，∴==．20．（12分）已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1、F 2，左顶点为A ，若|F 1F 2|=2，椭圆的离心率为e= （Ⅰ）求椭圆的标准方程．（Ⅱ）若P 是椭圆上的任意一点，求•的取值范围．【解答】解：（I ）由题意，∵|F 1F 2|=2，椭圆的离心率为e= ∴c=1，a=2， ∴b=，∴椭圆的标准方程为+=1 …（4分）（II ）设P （x 0，y 0），则∵A （﹣2，0），F 1（﹣1，0）， ∴•=（﹣1﹣x 0）（﹣2﹣x 0）+y 02=x 2+3x +5，由椭圆方程得﹣2≤x ≤2，二次函数开口向上，对称轴x=﹣6＜﹣2 当x=﹣2时，取最小值0， 当x=2时，取最大值12． ∴•的取值范围是[0，12]…（12分）21．（12分）已知函数f （x ）=e x ，直线l 的方程为y=kx +b ，（k ∈R ，b ∈R ）．祝您高考马到成功！（1）若直线l 是曲线y=f （x ）的切线，求证：f （x ）≥kx +b 对任意x ∈R 成立； （2）若f （x ）≥kx +b 对任意x ∈[0，+∞）恒成立，求实数k ，b 应满足的条件． 【解答】解：（1）因为f'（x ）=e x ，设切点为（t ，e t ），所以k=e t ，b=e t （1﹣t ）， 所以直线l 的方程为：y=e t x +e t （1﹣t ）， 令函数F （x ）=f （x ）﹣kx ﹣b ，即F （x ）=e x ﹣e t x ﹣e t （1﹣t ），F'（x ）=e x ﹣e t ，所以F （x ）在（﹣∞，t ）单调递减，在（t ，+∞）单调递增， 所以F （x ）min =f （t ）=0， 故F （x ）=f （x ）﹣kx ﹣b ≥0， 即f （x ）≥kx +b 对任意x ∈R 成立．（2）令H （x ）=f （x ）﹣kx ﹣b=e x ﹣kx ﹣b ，x ∈[0，+∞）H'（x ）=e x ﹣k ，x ∈[0，+∞），①当k ≤1时，H'（x ）≥0，则H （x ）在[0，+∞）单调递增，所以H （x ）min =H （0）=1﹣b ≥0，b ≤1，即，符合题意．②当k ＞1时，H （x ）在[0，lnk ]上单调递减，在[lnk ，+∞）单调递增，所以H （x ）min =H （lnk ）=k ﹣klnk ﹣b ≥0，即b ≤k （1﹣lnk ），综上所述：满足题意的条件是或．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（α为参数），在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 的普通方程和l 的倾斜角；（2）设点P （0，2），l 和C 交于A ，B 两点，求|PA |+|PB |． 【解答】解：（1）由消去参数α，得祝您高考马到成功！即C 的普通方程为由，得ρsinθ﹣ρcosθ①将代入①得y=x +2所以直线l 的斜率角为．（2）由（1）知，点P （0，2）在直线l 上，可设直线l 的参数方程为（t 为参数）即（t 为参数），代入并化简得设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2． 则，所以t 1＜0，t 2＜0所以．23．已知函数f （x ）=|x +1|．（1）求不等式f （x ）＜|2x +1|﹣1的解集M ；（2）设a ，b ∈M ，证明：f （ab ）＞f （a ）﹣f （﹣b ）．【解答】（1）解：①当x ≤﹣1时，原不等式化为﹣x ﹣1＜﹣2x ﹣2解得：x ＜﹣1； ②当时，原不等式化为x +1＜﹣2x ﹣2解得：x ＜﹣1，此时不等式无解； ③当时，原不等式化为x +1＜2x ，解得：x ＞1．综上，M={x |x ＜﹣1或x ＞1}；（2）证明：设a ，b ∈M ，∴|a +1|＞0，|b |﹣1＞0， 则 f （ab ）=|ab +1|，f （a ）﹣f （﹣b ）=|a +1|﹣|﹣b +1|．∴f （ab ）﹣[f （a ）﹣f （﹣b ）]=f （ab ）+f （﹣b ）﹣f （a ）=|ab +1|+|1﹣b |﹣|a +1|祝您高考马到成功！=|ab+1|+|b﹣1|﹣|a+1|≥|ab+1+b﹣1|﹣|a+1|=|b（a+1）|﹣|a+1|=|b|•|a+1|﹣|a+1|=|a+1|•（|b|﹣1|）＞0，故f（ab）＞f（a）﹣f（﹣b）成立．！功成到马考高您祝。