小学奥数计数之插板法习题【三篇】
小学奥数教程：组合之插板法_全国通用(含答案)
1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯． 因此，组合数12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．例题精讲 知识要点教学目标7-5-4.组合之插板法插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．【例 1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有 种不同的放法。
小学奥数奥数计数问题
乘法原理：如果完成一件事需要n个步骤，其中，完成第一步有m1 种不同的方法，完成第二步有m2 种不同的方法，…… 完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事情共有m1 ×m2 ×……×m n种不同的方法。
例1 上海到天津每天有 2 班飞机，4 趟火车，6 班汽车，从天津到北京有 2 班汽车。
假期小茗有一次长途旅游，他从上海出发先到天津，然后到北京，共有多少种走法?例2 “IMO”是国际奥林匹克的缩写，把这 3 个字母用红、黄、蓝三种颜色的笔来写，共有多少种写法？【巩固】在日常生活中，人们用来装饭、菜的有餐碗和餐盘，用来吃饭的有餐勺、餐叉和餐筷。
如果一种装饭菜的和一种吃饭的餐具配作一套，那么以上这些可以组成不重复的餐具多少套?例3 小红、小明准备在5×5的方格中放黑、白棋子各一枚，要求两枚不同的棋子不在同一行也不在同一列，共有多少种方法？【巩固】右图中共有 16 个方格，要把 A、B、C、D 四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？例4 用数字0，1，2，3，4，组成三位数，符合下列条件的三位数各多少个？①各个位上的数字允许重复；②各个位上的数字不允许重复；【巩固】由数字 0、1、2、3 组成三位数，问：①可组成多少个不同的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？【拓展】由数字 1、2、3、4、5、6 共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？例5 把1～100 这100 个自然数分别写在100 张卡片上，从中任意选出两张，使他们的差为奇数的方法有多少种？小结：应用乘法原理解决问题时要注意：①做一件事要分成几个彼此互不影响的独立的步骤来完成；②要一步接一步的完成所有步骤；③每个步骤各有若干种不同的方法。
加法原理：一般地，如果完成一件事有 k 类方法，第一类方法中有 m1 种不同做法，第二类方法中有 m2 种不同做法，…，第 k 类方法中有 mk 种不同的做法，则完成这件事共有：N=m1+m2+…+mk种不同的方法．例6 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150 本，不同的科技书200 本，不同的小说100 本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？例7 一个口袋内装有3 个小球，另一个口袋内装有8 个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？例8 如图，从甲地到乙地有4 条路可走，从乙地到丙地有2 条路可走，从甲地到丙地有3 条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？例9 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？例10 从1 到500 的所有自然数中，不含有数字4 的自然数有多少个？例11 如图，一只小甲虫要从 A 点出发沿着线段爬到 B 点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？例 12 如图，要从 A 点沿线段走到 B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？家庭作业：1.由数字 1、2、3、4、5、6、7、8 可组成多少个：①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？④百位为8 的没有重复数字的三位数？⑤百位为 8 的没有重复数字的三位偶数？2.某市的电话号码是六位数的，首位不能是 0，其余各位数上可以是 0～9 中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？3.图中有 7 个点和十条线段，一只甲虫要从 A 点沿着线段爬到 B 点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？4.现有一角的人民币 4 张，贰角的人民币 2 张，壹元的人民币 3 张，如果从中至少取一张，至多取 9 张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？5.将10 颗相同的珠子分成三份，共有多少种不同的分法?分给三个人有多少种分法？6.有红、白、黄、蓝四种颜色的彩旗各 1 面，不同的旗可以表示不同的信号，不同的颜色排列也可以表示不同的信号，这 4 面旗可以发出多少种信号?7.从最小的五个质数中，每次取出两个数，分别作为一个分数的分子和分母，一共可以组成多少个真分数?8.用1，2，3，4 这四种数码组成五位数，数字可以重复，至少有连续三位是 1 的五位数有多少？9.从1 到500 的所有自然数中，不含数字 2 的自然数有多少个?n Ⅰ 排列在实际生活中把一些事物进行有序的排列，计算共有多少种排法，这就是数学上的排列问题。
奥数精编训练-组合之插板法【精品】
1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯． 因此，组合数12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)7-5-4.组合之插板法教学目标知识要点这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----． ⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．【例 1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有种不同的放法。
小学奥数 几何计数(三) 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．ED CBA数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．模块一、立体几何计数【例 1】 用同样大小的正方体小木块堆成如下图的立体图形，那么一共用了__________块小正方体。
(小学奥数)几何计数(三)
1.掌握計數常用方法；2.熟記一些計數公式及其推導方法；3.根據不同題目靈活運用計數方法進行計數．本講主要介紹了計數的常用方法枚舉法、標數法、樹狀圖法、插板法、對應法等，並滲透分類計數和用容斥原理的計數思想．一、幾何計數在幾何圖形中，有許多有趣的計數問題，如計算線段的條數，滿足某種條件的三角形的個數，若干個圖分平面所成的區域數等等．這類問題看起來似乎沒有什麼規律可循，但是通過認真分析，還是可以找到一些處理方法的．常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等．n 條直線最多將平面分成21223(2)2n n n ++++=++……個部分；n 個圓最多分平面的部分數為n (n -1)+2；n 個三角形將平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 個四邊形將平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其他計數問題中，也經常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等．解題時需要仔細審題、綜合所學知識點逐步求解．排列問題不僅與參加排列的事物有關，而且與各事物所在的先後順序有關；組合問題與各事物所在的先後順序無關，只與這兩個組合中的元素有關．二、幾何計數分類數線段：如果一條線段上有n +1個點(包括兩個端點)（或含有n 個“基本線段”），那麼這n +1個點把這條線段一共分成的線段總數為n +(n -1)+…+2+1條數角：數角與數線段相似，線段圖形中的點類似於角圖形中的邊．數三角形：可用數線段的方法數如右圖所示的三角形（對應法），因為DE 上有15條線段，每條線段的兩端點與點A 相連，可構成一個三角形，共有15個三角形，同樣一邊在BC 上的三角形也有15個，所以圖中共有30個三角形．E DCB A數長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對於任意長方形（平行四邊形），教學目標知識要點7-8-3.幾何計數（三）若其橫邊上共有n 條線段，縱邊上共有m 條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形）mn 個．模組一、立體幾何計數【例 1】 用同樣大小的正方體小木塊堆成如下圖的立體圖形，那麼一共用了__________塊小正方體。
高斯小学奥数六年级上册含答案第04讲对应计数
第四讲对应计数有9个球排成一行:OOOO OO O传说电尤利曲斯在界眩了独韻的波吕輩1®塘后，离幵了独眼巨人的丄地一血那个可怜的戶人毎入早展都坐在詞穴人口的附近，帚让一只博羊从洞里出来，就从一堆卵石中捡趾哄来一等到了黄昏爲羊回兀的时慎.他每放进一只羊*就放下一块卵石” 就这样・如果早晨捲起的弟石都放完了，他就知道他所冇的羊状回来了.我们往其中插入两块（相同的）木板，就能够把这9个球分成三堆，例如:O ODO O O ODO O O O OOQO ODO O O O OOOOOOODODO可以看到，插入两块木板把9个球分成三堆的方法很多，那么到底有多少种插入木板的方法呢？每相邻两个小球之间有一个空隙，一共有8个空隙.插入的两块木板要把小球分成三堆，说明两块木板要放在两个不同的空隙之中. 8个空隙选两个，共有2C s 28种方法.如果要把三堆小球分别装入颜色为红、 黄、蓝的三个袋子里，又有多少种装法呢?其实，所谓装入红、黄、蓝三个袋子，就是把球分成三堆，因此答案也是28 •这样我们就把“小球装袋”问题转化成“小球插板”问题来求解了，这种方法我们称之为“插 “插板法”是一种特殊的对应技巧，能够帮我们解决很多计数问题.例1. 把20个苹果分给3个小朋友，每个小朋友至少分1个，共有多少种分苹果的方法?第二问允许有的“小朋友没有分到苹果” ，还能不能用“插板法”呢? 练习1、龟丞相把7个顶级乌龟壳分给4只小乌龟.如果每只小乌龟至少分一 个，共有多少种分法？如果可以有的小乌龟没有分到乌龟壳，共有多少种方 法？例2.某班40名学生参加了一项关于“超市是否应该提供免费塑料袋”的调查，每人均在“应该提供”、“不应该提供”和“无所谓”三个选项中做出了选择•请问：三个选项的统计数字共有多少种不同的可能？「分析」题目只关心三个选项的统计数字，需要具体考虑每个学生所作的选择吗？练习2、8名同学做同一道单选题，它有 A 、B 、C 、D 四个选项，每个同学都选了其中如何用“插板法”求解呢?放入红色放入黄色 放入蓝色如果可以有小朋友没有分到苹果，共有多少种分法?一个选项.老师为了调查同学们的做题情况，把选择各个选项的人数都做了统计，则有多少种可能的统计结果？最早的计数方法一一对应法] 我们这一讲学习对应的计数方法，这种计数方法有很强的技巧性，很考验思维能力. 也/::许你觉得这种对应法不是那么容易掌握，但它其实是非常有用，而且历史悠久的.人类最早使用的计数方法不是枚举，不是排列组合，也不是递推，而是对应！y!■对应法最早的应用是结绳计数. 最早期的时候，人类还没有发明数字. 因而用枚举等其他方法来记录数量的多少是不可能办到的. 这时，人们的计数方法是在绳子上打结或者在树；;上刻痕•用绳子上的结的数目或者树上划痕的道数来记录补获了多少猎物，采集了多少花:果.这个时期持续了很长时间，因为人类的历史已经有几百万年，而数字的发明距今还不到::1万年，在人类历史上的大部分时间，使用的计数方法是对应法一一结绳计数.i; 结绳记数这种方法，不但在远古时候使用，而且一直在某些民族中沿用下来•宋朝:人在一本书中说：“鞑靼无文字，每调发军马，即结草为约，使人传达，急于星火.”这是用结草来调发军马，传达要调的人数呢！其他如藏族、彝族等，虽都有文字，但在一般不识字的人中间都还长期使用这种方法•中央民族大学就收藏着一副高山族的结:绳，由两条绳组成：每条上有两个结，再把两条绳结在一起.「：有趣的是，结绳计数不止在我们中国古代用过，在国外也有很多结绳计数的记载. 传说古波斯王有一次打仗，命令手下兵马守一座桥，要守60天.为了让将士们不少守一天:也不多守一天，波斯王用一根长长的皮条，把上面系了60个扣.他对守桥的官兵们说：\“我走后你们一天解一个扣，什么时候解完了，你们就可以回家了.”: 对应是最原始的计数方法，充分蕴含着人类的智慧.例3.在8 8的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由4个单位小正方形组成的“L ” 型？ ”型放入8 8的方格棋盘的方格盘中，按照放的方向分，可以有情形，那么是不是需要对每一个方向的“ L ”型分别进行计数呢?例4. ( 1) 一只青蛙沿着一条直线跳跃 4次后回到起点•如果它每一次跳跃的长度都是 1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？(2)如果这只青蛙在一个方格边长为 1分米的方格纸上沿格线跳跃 4次后回到起点，每次跳跃的长度仍是 1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？「分析」(1)青蛙在直线上跳跃 4次后要回到起点，如果一直往一个方向跳，显然是不 行的•那么青蛙应该怎么跳呢？（ 2）青蛙在方格表上跳跃 4 次后要回到起点，现在青蛙有哪些跳跃的方向，每个方向 上各应该跳跃多少次呢？练习3、在6 6的方格棋盘中, 一共可以数出多少个如下图所示的由 3个单位小正方形练习4、一只青蛙沿着一条直线跳跃6 次后回到起点.如果它每一次跳跃的长度都是1分米，那么这只青蛙共有多少种可能的跳法？对应法是一种很巧的计数方法，但如何建立对应关系，是其中的难点.之前几道题，对应关系的建立相对比较直接，而有些问题，则需要通过大量的分析，才能找出隐藏的对应关系.例5.常昊与古力两人进行围棋“棋圣”冠军争霸赛，谁先胜4 局即获得比赛的胜利. 请问: 比赛过程一共有多少种不同的方式？「分析」由对称性，只需求出常昊获胜的比赛过程有多少种.比赛最多进行7 场，其中常昊一定胜4场.如果我们按比赛先后顺序给每场比赛编号，那么常昊胜的4 场比赛编号，就决定了整个比赛流程.而常昊获胜的比赛可以是哪 4 场呢？例6.海淀大街上一共有18 盏路灯，区政府为了节约用电，打算熄灭其中的7 盏.但为了行路安全，任意相邻的两盏灯不能同时被熄灭，请问:一共有多少种熄灯方案？分析」你能用插板法求解这道题吗？课堂内外 -------------------------------------------------最早的密码战公元前405年，雅典和斯巴达之间的伯罗奔尼撒战争已进入尾声. 斯巴达军队逐渐占据了优势地位，准备对雅典发动最后一击.这时，原来站在斯巴达一边的波斯帝国突然改变态度，停止了对斯巴达的援助，意图是使雅典和斯巴达在持续的战争中两败俱伤，以便从中渔禾U.在这种情况下，斯巴达急需摸清波斯帝国的具体行动计划，以便采取新的战略方针•正在这时，斯巴达军队捕获了一名从波斯帝国回雅典送信的雅典信使. 斯巴达士兵仔细搜查这名信使，可搜查了好大一阵，除了从他身上搜出一条布满杂乱无章的希腊字母的普通腰带外，别无他获.情报究竟藏在什么地方呢？斯巴达军队统帅莱桑德把注意力集中到了那条腰带上，情报一定就在那些杂乱的字母之中. 他反复琢磨研究这些天书似的文字，把腰带上的字母用各种方法重新排列组合，怎么也解不出来.最后，莱桑德失去了信心，他一边摆弄着那条腰带，一边思考着弄到情报的其他途径. 当他无意中把腰带呈螺旋形缠绕在手中的剑鞘上时，奇迹出现了.原来腰带上那些杂乱无章的字母，竟组成了一段文字.这便是雅典间谍送回的一份情报，它告诉雅典，波斯军队准备在斯巴达军队发起最后攻击时，突然对斯巴达军队进行袭击.斯巴达军队根据这份情报马上改变了作战计划，先以迅雷不及掩耳之势攻击毫无防备的波斯军队，并一举将它击溃，解除了后顾之忧.随后，斯巴达军队回师征伐雅典，终于取得了战争的最后胜利.公元前405年，雅典和斯巴达之间的伯罗奔尼撒战争已进入尾声. 斯巴达军队逐渐占据了优势地位，准备对雅典发动最后一击.这时，原来站在斯巴达一边的波斯帝国突然改变态度，停止了对斯巴达的援助，意图是使雅典和斯巴达在持续的战争中两败俱伤，以便从中渔禾U.在这种情况下，斯巴达急需摸清波斯帝国的具体行动计划，以便采取新的战略方针.正在这时，斯巴达军队捕获了一名从波斯帝国回雅典送信的雅典信使. 斯巴达士兵仔细搜查这名信使，可搜查了好大一阵，除了从他身上搜出一条布满杂乱无章的希腊字母的普通腰带外，别无他获.情报究竟藏在什么地方呢？斯巴达军队统帅莱桑德把注意力集中到了那条腰带5. 作业1. 一部电视连续剧共 8集，电视台要在周一到周四这 4天内按顺序播完，其中可以有若干 天不播，共有多少种安排播出的方法？2. 现在有12道竞赛题，卡莉娅要在今天、明天、后天这三天内按顺序做完，但每一天可以做很多道题也可以一道不做•共有多少种安排做题的方案？3. 阿呆在玩PSP 格斗游戏，游戏采用的是五局三胜制（阿呆VS 电脑），谁先胜三场谁就 获得胜利.如果最后阿呆获胜，那么一共有多少种可能的比赛过程？（只考虑每场比赛的胜负） 4. 在6 6的方格棋盘中，一共可以数出多少个如图所示的由5个单位小正方形组成的“凹”字形？（注：这8个鸡蛋看作完全相同）（1）有8个鸡蛋，每天至少吃 1个，一共吃了 5天，有多少种不同的吃法?（2）有8个鸡蛋，每天至少吃2个，一共吃了 3天，有多少种不同的吃法?例题:例题1.答案：171 ; 231详解：第一问用课文里所说的“插板法”即可解决.20个苹果，共有19个空隙，分给3个小朋友需要3 1 2块隔板，将2块隔板插入19个空隙中的某两个中，就是从2 19个空隙中挑出两个用来插板子，方法有C 19 171 ;第二问同样用插板法，仍然是 20个苹果和2块隔板•但此时隔板不一定要放在 19个空隙中，也可以放在所有苹果 的最左端或者最右端，而且它们也不一定插入两个不同的空隙，插入同一个空隙也是可以的.因此，我们只要把20个苹果和2块隔板随意排成一行即可. 这20 2 22个 对象排成一行会占 22个位置，从这22个位置中挑出2个来放隔板，剩余的 20个位 置自然就是放苹果，因此共有 C ；2 231种不同的方法.例题2.答案：861详解：本题相当于把 40个苹果放入3个盘子里，每个盘子都允许为空•因此共有 40 个苹果和2块隔板.方法数等于 C 42 861 .可以分为两类情形：第一类，1、2、3、4各一个，共有A 4种方法；第二类，只有21、2或者只有3、4,共有2 C 4种方法.两者相加共 36种. 例题5.答案：70 详解：由对称性，只需求出常昊获胜的比赛过程有多少种，再乘以 2即可.比赛最多进行7场，其中常昊一定胜 4场，而且比赛一定是在常昊获得第 4场胜利时结束的， 因此常昊获胜的那 4场比赛的编号就决定了整个比赛流程. 第四讲对应计数例题4.答案: (1)(1) 6; (2) 36详解：青蛙要能够回到起点， 必须向左跳两次， 右，右)，(左，右，右，左)等.不难看出，只要从 外两步自然向右，所以只要确定哪两步是向左跳，就确定了哪两步是向右跳.因 此跳跃的方法数为C ： 6种；(2) 详解：现在青蛙需要朝四个方向跳，我们记四个方向为 示).如果想要跳回原地，必须保证四步之内向右跳两次. 4步中挑出1、2、3、4 (如图所1和2 一样多，3和4 一样多.于是 例题3.答案：336个 详解：如右图所示，每个2 此只要求出图中有几个 册第 2 6 29讲)的知识不难得知,7 84个，所以共有“例如(左，左,2步来向左，另例题6.答案：C：792详解：本题从题面上看，是要从18盏灯中选出7盏来熄灭•但实际解决的时候，需要换一个角度：如何把灭掉的7盏灯，插入另外11盏亮着的灯之间.如下图所示，在11盏亮灯之间插入熄灭的灯时，每个空隙最多插1盏，否则灭灯就相邻了，因此必须挑7个空隙，每个空隙插一盏，而可供插入的空隙有12个（两端也可），因此答案为C：792 •d’A ifhJLxr w. A<> <> <> <> <> <> <> <> <> <>A A A R* * r* 八练习：1. 答案：C B 20 ；C；o 120简答：用插板法即可解决，具体过程略.32. 答案：C11 165简答：相当于把8个球放入4个篮子，每个篮子都可以为空.3. 答案：100简答：每个田字格都可以找到4个“L”型•共有5 5 25个田字格，所以共4 25 100 个“L”型.4. 答案：20简答：6次跳远中，一定3次向左，3次向右，因此共有C；20种不同的跳法.作业1.答案：165简答： 4 1 3C8 4 1 C111652.答案：91简答：C1^3 1 G4913.答案：10简答：C s 10 •4.答案：80简答：每个2 3的方格内都有2个“凹”字形，一共有40个2 3的方格，因此共有80 个“凹”字形.5. 答案：（1）35；（2）6简答：（1）用插板法，8个鸡蛋之间有7个“空”，用4个“板”隔成5部分，有C； 35种方法；（2）每天预先吃掉一个鸡蛋，问题相当于是3天吃8 3 5个鸡蛋，每天至少2吃一个，有C42 6 种吃法.。
小学奥数精讲：排列组合常见解题方法
小学奥数精讲：排列组合问题常见解题方法方法一：捆绑法“相邻问题”——捆绑法，即在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先将其“捆绑”后整体考虑，也就是将相邻元素视作“一个”大元素进行排序，然后再考虑大元素内部各元素间排列顺序的解题策略。
例1．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须站在相邻位置，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须排在一起，首先将A和B两个人“捆绑”，视其为“一个人”，也即对“A，B”、C、D、E“四个人”进行排列，有种排法。
又因为捆绑在一起的A、B两人也要排序，有种排法。
根据分步乘法原理，总的排法有种。
例2．有8本不同的书，其中数学书3本，外语书2本，其它学科书3本。
若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一起的排法共有多少种？【解析】：把3本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它3本书一起看作5个元素，共有种排法；又3本数学书有种排法，2本外语书有种排法；根据分步乘法原理共有排法种。
【提示】：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题。
解题过程是“先捆绑，再排列”。
方法二：插空法“不邻问题”——插空法，即在解决对于某几个元素要求不相邻的问题时，先将其它元素排好，再将指定的不相邻的元素插入已排好元素的间隙或两端位置，从而将问题解决的策略。
例3．若有A、B、C、D、E五个人排队，要求A和B两个人必须不站在一起，则有多少排队方法？【解析】：题目要求A和B两个人必须隔开。
首先将C、D、E三个人排列，有种排法；若排成D C E，则D、C、E“中间”和“两端”共有四个空位置，也即是：︺ D ︺ C ︺E ︺，此时可将A、B两人插到四个空位置中的任意两个位置，有种插法。
由乘法原理，共有排队方法：。
例4．在一张节目单中原有6个节目，若保持这些节目相对顺序不变，再添加进去3个节目，则所有不同的添加方法共有多少种？【解析】：直接解答较为麻烦，可根据插空法去解题，故可先用一个节目去插7个空位（原来的6个节目排好后，中间和两端共有7个空位），有种方法；再用另一个节目去插8个空位，有种方法；用最后一个节目去插9个空位，有方法，由乘法原理得：所有不同的添加方法为=504种。
计数原理与方法练习
奥数专题练习之计数原理与方法练习1四个学生每人做了一张贺年片，放在桌子上，然后每人去拿一张，但不能拿自己做的一张。
问：一共有多少种不同的方法？2甲、乙二人打乒乓球，谁先连胜两局谁赢，若没有人连胜头两局，则谁先胜三局谁赢，打到决出输赢为止。
问：一共有多少种可能的情况？3：经理有4封信先后交给打字员，要求打字员总是先打最近接到的信，比如打完第3封信时第4封信还未到，此时如果第2封信还未打完，那么就应先打第2封信而不能打第1封信。
打字员打完这4封信的先后顺序有多少种可能？4 一个自然数，如果它顺着数和倒着数都是一样的，则称这个数为“回文数”。
例如1331，7，202都是回文数，而220则不是回文数。
问：1到6位的回文数一共有多少个？按从小到大排，第2000个回文数是多少？5设有长度为1，2，…，9的线段各一条，现在要从这9条线段中选取若干条组成一个正方形，共有多少种不同的取法？这里规定当用2条或多条线段接成一条边时，除端点外，不许重叠。
6.一台晚会上有6个演唱节目和4个舞蹈节目。
求：（1）当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少不同的安排节目的顺序？（2）当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，一共有多少不同的安排节目的顺序？7。
有8个队参加比赛，如果采用下面的淘汰制，那么在赛前抽签时，实际上可以得到多少种不同的安排表？8.在8×8的方格棋盘中，取出一个由 3个小方格组成的“L”形（如图1），一共有多少种不同的方法？9.数3可以用4种方法表示为1个或几个正整数的和，如3，1＋2，2+1，1+1＋1。
问：1999表示为1个或几个正整数的和的方法有多少种？10在100名学生中，有10人既不会骑自行车又不会游泳，有65人会骑自行车，有73人会游泳，既会骑自行车又会游泳的有多少人？11在1至100的自然数中，不能被2整除，又不能被3整除，还不能被5整除的数，占这100个自然数的百分之几？12。
10个三角形最多将平面分成几个部分？13.正方形ABCD的内部有1999个点，以正方形的4个顶点和内部的1999个点为顶点，将它剪成一些三角形。
新五年级暑期数学培优拓展计数原理《插板法》专题讲义与答案.docx
对应计数基础知识・1.人类｛早使用的计数方法，不是枚举，不是排列组合，也不是递推，而是对应。
2.对应的目的：化繁为简，通过简单的计数问题解决复杂的计数问题。
3•对应的常用思路：从整体观察问题，发现问题所对应的本质，不拘泥于其屮细微的步骤。
4.常见对应方法：插板对应、方向对应、儿何对应。
5.插板法：把/〃个相同的球放入刀个不同的篮了里不得为空：X ;每个间隔至多插一个板子；板子不得相邻，不得插在两端。
允许为空：: /?个篮子就要补/?个球，然后转变为每个篮子不得为空。
例1.小高妈妈每天让小高吃1个鸡蛋或者1个鸭蛋，那么小高吃完家里的4个鸡蛋和4个鸭蛋共有多少种吃法？思考：具体的考虑每天的选择，发现后面的种数会受到前面的影响，那么从整体考虑呢？具体的吃法和什么是对应的？其实，只要小高妈妈列出一个吃蛋的安排，事情就变得很简单了。
【答案】70【解答】列出这8天的安排，4个“鸡”和4个“鸭”排成一列，这样的排法就对应着这8天的吃法。
所以，共有=70 （种）例2. 5枚相同样式的华杯赛奖章颁发给3名学生，每个学牛至少一枚，则有多少种颁奖方式？思考：在低年级，这类问题枚举就可以解决。
但是如果数字更大，枚举就很麻烦了。
所以，我们可以从本题中寻找更一般的方法。
想象这样一种场景，老师把这5枚奖章排成一列，然后在间隔中划上两道竖线分割成三部分，于是奖章就分好了。
【答案】6【解答】实际上，根据前而的思考，我们发现，把5枚奖章排成一列后，从它们的4个间隔中选2个，插入两块板，奖章就被分为了3个部分，我们可以规定最左边的就给学生A,中间的给学生B,最右边的给学生C,于是这两块板的插法就对应着奖章的分法：C^ = 6（种）什么是插板法把/〃个相同的球放入n个不同的篮了里不得为空：c仁;：每个间隔至多插一个板子；板子不得相邻，不得插在两端。
例3. 10个相同的桔子放到3个不同的盘子里，每个盘子至少放1个，一共有多少种不同的放法？【答案】36【解答】显然本题也是用插板法对应起来，共有=36 （种）。
小学奥数教程之-组合之插板法 (含答案)
1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯． 因此，组合数12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．知识要点教学目标7-5-4.组合之插板法插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．【例 1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有 种不同的放法。
小学奥数计数问题
小学奥数计数问题小学奥数计数问题奥数计数问题11、用1，2，3，4这四个数字(l)可以组成多少个两位数?(2)可以组成多少个没有重复数字的两位数?2、书架上有6本故事书，5本画报，7本科普读物，(l)小芳从书架上任取一本，有多少种不同取法?(2)小芳从这三种书籍中各取一本，有多少种不同取法?3、从甲地到乙地有4条不同的道路，从乙地到丙地有两条不同的道路，从甲地到丙地有3条不同的道路，问从甲地到丙地共有多少种不同走法?4、(1)有5个人排成一排照相，有多少种排法?(2)5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法?5、某条航线上共有8个航空站，这条航线上共有多少种不同的飞机票?如果不同的两站间票价都不同，那么有多少种不同的票价?6、用0，l，2，3这四个数，可以组成多少个没有重复数字的四位数?小学奥数计数问题2今年大华20岁，大明18岁，小芬12岁，小玲8岁，多少年后大华、大明的年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍?解：今年大华、大明年龄的和的2倍是(20+18)×2=76(岁)，小芬、小玲年龄的和的3倍是(12+8)×3=60(岁)，大华、大明年龄的和的2倍比小芬、小玲年龄的和的.3倍多76-60=16(岁)，而每过一年，大华、大明增加年龄的和的2倍比小芬、小玲增加年龄的和的3倍少2×3-2×2=2(岁)，使大华、大明年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍，过的年数是16÷2=8(年)。
答：8年后大华、大明的年龄的和的2倍等于小芬、小玲年龄的和的3倍。
小学奥数计数问题3小梅有15块糖，如果每天至少吃3块，吃完为止，那么共有多少种不同的吃法?此问题不能用插板法的原因在于没有规定一定要吃几天，因此我们需要对吃的天数进行分类讨论最多吃5天，最少吃1天1：吃1天或是5天，各一种吃法一共2种情况2：吃2天，每天预先吃2块，即问11块糖，每天至少吃1块，吃2天，几种情况?c101=103：吃3天，每天预先吃2块，即问9块糖，每天至少1块，吃3天?c82=284：吃4天，每天预先吃2块，即问7块糖，每天至少1块，吃4天?c63=20所以一共是2+10+28+20=60种下载全文下载文档。
排列组合进阶(捆绑法,插空法,隔板法)练习题
小学奥数(第022课)排列组合进阶(捆绑法，插空法，隔板法)练习题小学奥数(第022课) 排列组合进阶(捆绑法，插空法，隔板法)的相应练习题，大家可以练一练。
①心算(1)将A、B、C、D四个小朋友排成一列，其中B与C必须相邻，共有( )多少种排法。
(2)将A、B、C、D四个小朋友排成一列，如果B与C不能相邻，共有( )多少种排法。
(3)方程 x + y + z = 10 有( )组正整数解。
②1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字4，5不相邻的五位数，则所有不同排法有多少种。
③有3名男生，4名女生排成一列，要求3名男生必须挨在一起，共有多少种排法。
④晚会有6个歌唱节目，3个小品节目，要求不能连续演出小品节目，那么共有多少种安排方法。
⑤男子乒乓球国家队张继科、马龙、许昕三人进行一次训练，刘教练拿出320个乒乓球分给三人，如果每人至少分100个乒乓球，那么共有多少种分法。
①心算(1)答案：12解析：捆绑法，把B和C当做一个整体，所以是A(3，3)×A(2，2)=6×2=12(种)(2)答案：12解析：插空法，A，D的排列A(2，2)，然后在A，D的3个空插入B和C，是A(3，2)。
所以答案是A(2，2)×A(3，2)=12(种)。
或者用4人总排列数A(4，4)减去BC相邻的排列数，24-12=12(种)。
(3)答案：36解析：隔板法，可以看成10个1，有9个空，隔2个板，所以是C(9，2)=36(种)②答案：72解析：根据题意，4与5不相邻，所以用插空法1，2，3共四个空。
答案是A(3，3)×A(4，2)=72(种)。
③答案：720解析：捆绑法A(5，5)×A(3，3)=720(种)。
④答案：151200解析：根据题意，不能连续演出小品节目，即不相邻，所以用插空法。
先排6个歌唱节目是A(6，6)，然后6个歌唱节目共7个空，插入3个小品节目(小品也是有顺序的)。
高斯小学奥数六年级上册含答案第04讲 对应计数
3.阿呆在玩PSP格斗游戏，游戏采用的是五局三胜制（阿呆VS电脑），谁先胜三场谁就获得胜利．如果最后阿呆获胜，那么一共有多少种可能的比赛过程？（只考虑每场比赛的胜负）10
练习：
1.答案： ；
简答：用插板法即可解决，具体过程略．
2.答案：
简答：相当于把8个球放入4个篮子，每个篮子都可以为空．
3.答案：100
简答：每个田字格都可以找到4个“L”型．共有 个田字格，所以共 个“L”型．
4.答案：20
简答：6次跳远中，一定3次向左，3次向右，因此共有 种不同的跳法．
作业
1.答案：165
例3．在 的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由4个单位小正方形组成的“L”型？
「分析」要把“L”型放入 的方格棋盘的方格盘中，按照放的方向分，可以有8种情形，那么是不是需要对每一个方向的“L”型分别进行计数呢？
练习3、在 的方格棋盘中，一共可以数出多少个如下图所示的由3个单位小正方形组成的图形？
对应法最早的应用是结绳计数．最早期的时候，人类还没有发明数字．因而用枚举等其他方法来记录数量的多少是不可能办到的．这时，人们的计数方法是在绳子上打结或者在树上刻痕．用绳子上的结的数目或者树上划痕的道数来记录补获了多少猎物，采集了多少花果．这个时期持续了很长时间，因为人类的历史已经有几百万年，而数字的发明距今还不到1万年，在人类历史上的大部分时间，使用的计数方法是对应法——结绳计数．
详解：第一问用课文里所说的“插板法”即可解决．20个苹果，共有19个空隙，分给3个小朋友需要 块隔板，将2块隔板插入19个空隙中的某两个中，就是从19个空隙中挑出两个用来插板子，方法有 ；第二问同样用插板法，仍然是20个苹果和2块隔板．但此时隔板不一定要放在19个空隙中，也可以放在所有苹果的最左端或者最右端，而且它们也不一定插入两个不同的空隙，插入同一个空隙也是可以的．因此，我们只要把20个苹果和2块隔板随意排成一行即可．这 个对象排成一行会占22个位置，从这22个位置中挑出2个来放隔板，剩余的20个位置自然就是放苹果，因此共有 种不同的方法．
小学数学拓展专题 插板法的应用 PPT+作业(带答案)
C170
C130
10 98 3 21
120
C123
1312 21
78
C1152
C135
15 14 13 3 21
455
作业2:
小芳的妈妈要将6个相同的苹果全部放到3个不同的果盘里，每个果盘里至 少要放1个苹果。将所有的苹果一字排开，6个苹果之间会出现 ___5___ 个 间隔。若要将这6个苹果分为3部分，可以在间隔之间选 ___2___ 个位置插 入挡板，则第1部分的个数代表第 ___1___ 个果盘里放入苹果的个数。根据 排列组合知识，一共有 ___10___ 种插入挡板的方法。
练习4
小东将16张面值为100元的钞票全部放入5个大小不同的红包里。如果在第 一个红包和第二个红包里至少要分别放入3张钞票，其余的每个红包里至 少要放入1张钞票，那么一共有多少种不同的放法?
16张纸币分给5个红包，有特殊要求
将要求全部变为每包至少放一张：前两个红包都先放入2张
12张纸币分给5个红包，每包至少1张
例1
儿童节时，小东的妈妈给他买了10个果冻。如果他每天至少吃1个，要6天吃 完这些果冻，那么他一共有多少种不同的吃法?
10个果冻分给6天
①
②
③④⑤⑥
5个挡板插入9个空隙中 C95 126
总结：1、对应法：把未知的问题对应为已知的问题再进行解决； 2、插板法：把问题对应为插板问题。
练习1
小俞老师要将9个相同的礼物全部分给3位小朋友。如果每位小朋友都能 分到礼物，那么小俞老师一共有多少种不同的分礼物的方法?
①
②
③
9个礼物分给3人，每人至少1个 2个挡板插入8个空隙中 C82 28
例2
一套数学试卷里一共有14道题目，小芳想用3天时间按顺序做完所有的题 目。若小芳每天至少做完3道题目，则她每天做的题目数量一共有多少种 不同的情况?
小学奥数计数之插板法经经典例题【三篇】
小学奥数计数之插板法经经典例题【三篇】
【第一篇】
【解析】：题目中球的分法共三类：
第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。
其分法种数为。
第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。
其分法种数。
第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。
其分法种数。
所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为：。
由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。
将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。
由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组），其方法种数为。
由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：
①所要分的元素必须完全相同；
②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；
③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。
【第二篇】
【第三篇】。
(2021年整理)插板法解决组合问题.
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插板法解决组合问题基本概念基本公式排列公式:组合公式:解决排列组合问题，首先我们要明白此题是分步还是分类来解决，分步用乘法,分类用加法,另外还需掌握排列是有顺序的,组合是没有顺序的，比如四个人站成一排,请问有多少种排列方法？这是一道非常简单的排列组合题,首先要明白，四个人站成一排，比如让这四个人分别编号为1、2、3、4,位置同样也编号，1这个人站在1号位置和2站在1号位置，排列的方法是不一样的，因此他们之间是有顺序的,即这是一道排列题，即是四个人全排列，答案为。
P44=4下面我们来看几道比较典型的题目：例1、参加会议的人两两都彼此握手,有人统计共握手36次,到会共有（）人。
A。
9 B. 10 C。
11 D。
12解析：解答这道题之前，首先要明白这是一道排列还是组合的题目，参加会议的人两两握手，比如说我和你握手，和你和我握手，这是算一次还是两次。
很显然,不管是我和你握手还是你和我握手，都只是我们两在握手，这算一次，没有顺序,因此这是一道组合题，设到会的总共有n个人，从n个人中挑出2个人来握手，即=36，所以n=9,即到会的有9人。
例2、某单位订阅了30份学习材料发放给3个部门，每个部门至少发放9份材料.问一共有多少种不同的发放方法? （)A。
7 B. 9 C. 10 D. 12解析:这是2010年的国考题，首先我们考虑，要想每个部门至少发9份，有几种发法呢?（1）10 10 10 (2）9 10 11 （3）9 9 12 ········很显然,这是个分类的问题，用加法原理来解决,首先我们来看第一种情况，每个部门都分10本，那就只有一种选择，就是每个部分给10本；第二种情况，即一个部分给9本，另一个部门给10本，第三个部门给11本，即从三个部门中挑出一个部分给9本，再从剩下的两个部门中挑出一个部门给10本,那剩余的一个部门只能得11本，这样共有=6种；第三种情况，即挑出三个部门中的其中一个给12本，那另外两个就只能每个部门9本，所以=3种，那这三种情况加起来即是1++=10种。
小学奥数 组合之插板法 精选练习例题 含答案解析(附知识点拨及考点)
1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯． 因此，组合数12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．知识要点教学目标7-5-4.组合之插板法例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --． ⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．【例 1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有 种不同的放法。
小学奥数 组合之插板法
1.使学生正确理解组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的组合；3.掌握组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握组合的联系和区别，并掌握一些组合技巧，如排除法、插板法等．一、组合问题日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m n C ．一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法；第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法．根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =⨯．因此，组合数12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）． 这个公式就是组合数公式．二、组合数的重要性质一般地，组合数有下面的重要性质：m n m n n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表示从n 个元素中取出m 个元素组成一组的所有分组方法．n m n C -表示从n 个元素中取出(n m -)个元素组成一组的所有分组方法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组方法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组方法．例如，从5人中选3人开会的方法和从5人中选出2人不去开会的方法是一样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．知识要点教学目标7-5-4.组合之插板法插板法一般用来解决求分解一定数量的无差别物体的方法的总数，使用插板法一般有三个要求：①所要分解的物体一般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组至少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题目中，已知条件与上面的三个要求并不一定完全相符，对此应当对已知条件进行适当的变形，使得它与一般的要求相符，再适用插板法．使用插板法一般有如下三种类型：⑴ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有一个．这个时候我们只需要把所有的东西排成一排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数目为11m n C --．⑵ m 个人分n 个东西，要求每个人至少有a 个．这个时候，我们先发给每个人(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数目为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个人分n 个东西，允许有人没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个人多发1个，这样就和类型⑴一样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数目为11m n m C -+-．【例 1】 将三盆同样的红花和四盆同样的黄花摆放成一排，要求三盆红花互不相邻，共有 种不同的放法。
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小学奥数计数之插板法习题【三篇】
【第一篇】
插板法就是插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：
（1）这n个元素必须互不相异
（2）所分成的每一组至少分得一个元素
(3) 分成的组别彼此相异
举个很普通的例子来说明
把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？
问题的题干满足条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36
下面通过几道题目介绍下插板法的应用
a 凑元素插板法（有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）
1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
2：把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
b 添板插板法
3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有
几个？
5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？
答案：
1、3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？
显然就是c12 2=66
2、我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？c8 2=28
3、-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o - o表示10个小球，-表示空位
11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空
此时若在第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空
则每一组都可能取球为空c12 2=66
4、因为前2位数字对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab
显然a+b1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - 1代表9个1，-代表10个空位我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a 个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有c10 2=45
5、类似的，某数的前三位为abc，a+b+c1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 - - -
在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b 个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板
设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。
所以一共有c11 3=165
【第二篇】
1、将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？
2、有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法？
3、现有10个完全相同的篮球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法?
4、将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法？
1、解析：解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。
因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以讲8个球排成一排，然后用两个板查到8个球所形成的
空里，即可顺利的把8个球分成三组。
其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。
因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是。
（板也是无区别的）
2、解析：原理同上，只需要用3个板插入到9颗糖形成的8个内部空隙，将9颗糖分成4组且每组数目不少于1即可。
因而3个板互不相邻，其方法数为。
3、注释：每组允许有零个元素时也可以用插板法，其原理不同，注意下题解法的区别。
4、解析：此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍旧是插入2个板，分成三组。
但在分组的过程中，允许两块板之间没有球。
其考虑思维为插入两块板后，与原来的8个球一共10个元素。
所有方法数实际是这10个元素的一个队列，但因为球之间无差别，板之间无差别，所以方法数实际为从10个元素所占的10个位置中挑2个位置放上2个板，其余位置全部放球即可。
因此方法数为。
【第三篇】
1、一条马路上有编号为1、
2、……、9的九盏路灯，现为了节约用电，要将其中的三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，则所有不同的关灯方法有多少种？
2、一条马路的两边各立着10盏电灯，现在为了节省用电，决定
每边关掉3盏，但为了安全，道路起点和终点两边的灯必须是亮的，而且任意一边不能连续关掉两盏。
问总共可以有多少总方案？
1、解析：要关掉9盏灯中的3盏，但要求相邻的灯不能关闭，因此可以先将要关掉的3盏灯拿出来，这样还剩6盏灯，现在只需把准备关闭的3盏灯插入到亮着的6盏灯所形成的空隙之间即可。
6盏灯的内部及两端共有7个空，故方法数为。
A、120
B、320
C、400
D、420
2、解析：考虑一侧的关灯方法，10盏灯关掉3盏，还剩7盏，因为两端的灯不能关，表示3盏关掉的灯只能插在7盏灯形成的6个内部空隙中，而不能放在两端，故方法数为，总方法数为。
注释：因为两边关掉的种数肯定是一样的（因为两边是同等地位），而且总的种数是一边的种数乘以另一边的种数，因此关的方案数一定是个平方数，只有C符合。