二次函数线段的最大值

合集下载

中考数学：二次函数——线段最大值问题

中考数学：二次函数——线段最大值问题一前提知识:二典型例题：1.如图，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。

（1）求A、B、C三点的坐标和直线AC的解析式；（2）点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合）过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值；三变式练习:2.变式1：点P是直线AC y=x+3 上方抛物线y=-x2-2x+3上一动点（不与A,C重合），过点P作x轴平行线交直线AC于M点，求线段PM的最大值；大值：问题2：你能求出△PQH周长的最大值吗？的最大值；积的最大值；积的最大值；四直通中考：1.（2014 ·重庆中考A卷25题）如图，抛物线y= -x2 -2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点。

（1）求点A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN ⊥X轴于点N，若点P在点Q 左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；26．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．直线AE的解析式为：y＝﹣x﹣（1）点F是第一象限内抛物线上一点，当△F AD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E 重合），使FG+GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG+GE的最小值；（2）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．26．（8分）如图1，抛物线y＝﹣x2+x+与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C．将直线AC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°，交y轴于点D，交拋物线于另一点E．直线AE 的解析式为：y＝﹣x﹣（1）点F是第一象限内抛物线上一点，当△F AD的面积最大时，在线段AE上找一点G（不与点A、E 重合），使FG+GE的值最小，求出点G的坐标，并直接写出FG+GE的最小值；（2）如图2，将△ACD沿射线AE方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的△ACD为△A′C′D′，平移时间为t秒，当△AC′E为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）由S△F AD＝S△F AK﹣S△FDK＝求而出点F（，），而FG+GE＝FG+GP，过点F作EQ的垂线交AE于点G，此时FG+GE最小，即可求解；（2）分AC′＝EC′、AE＝EC′、AC′＝AE三种情况，求解即可．【解答】解：（1）过点F作FK⊥x轴于点H，交直线AE于点K（如下图），过点D作DM⊥FK于点M，令y＝﹣x﹣＝0，则点A（﹣1，0），设点F坐标为（x，﹣x2+x+），则点K（x，﹣x﹣），S△F AD＝S△F AK﹣S△FDK＝FK•AH﹣FK•DM＝FK（AH﹣DM）＝FK•AO＝（﹣x2+x++x+）×1＝﹣x2+x+，当x＝﹣＝时，S△F AD有最大值，此时点F（，），点G是线段AE上一点，作EQ⊥y轴于点Q，作GP⊥EQ于点P，则∠PEG＝30°，∴GP＝GE，∴FG+GE＝FG+GP，过点F作EQ的垂线交AE于点G，此时FG+GE最小，当x＝时，y＝﹣x﹣＝﹣，此时点G（，﹣），FG+GE最小值为：；（2）连接CC′，过点C′作C′F⊥y轴于点F，则C′C＝，CF＝CC′＝t，FC′＝CC′＝t，∴点C′（t，﹣t），由（1）知点E（4，﹣），∴AE2＝，AC′2＝t2+4，EC′2＝t2﹣t+，①当AC′＝EC′时，t2+4＝t2﹣t+，解得：t＝；②当AC′＝AE时，同理可得：t＝（舍去负值）；③当AE＝EC′时，同理可得：t＝5；故：t的值为或或5或5．。

第03讲-二次函数解析式与线段最值(教案)

最后，通过这次教学，我深感教学反思的重要性。在今后的教学中，我将更加关注学生的学习情况，及时发现和解决问题，调整教学策略，以提高教学效果。同时，我也会注重与学生的互动，鼓励他们提出疑问，充分调动学生的学习积极性，使他们能够在轻松愉快的氛围中掌握二次函数解析式与线段最值的知识。
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）二次函数解析式的理解和应用：重点在于让学生掌握二次函数一般形式及其图像性质，能够根据已知条件求解二次函数的系数a、b、c。
举例：讲解如何根据抛物线的顶点坐标、对称轴和开口方向来确定二次函数解析式。
（2）线段最值问题的求解：重点在于培养学生利用二次函数求解线段最值问题的能力，掌握解题步骤。
-通过具体例子，让学生掌握如何根据已知条件求解二次函数的系数a、b、c
2.线段最值问题的探讨：
-利用二次函数求解线段的最值问题，如最大值、最小值
-线段最值在实际问题中的应用，例如求解平面几何中的最大或最小面积问题
-结合实际例题，让学生掌握如何建立二次函数模型解决线段最值问题，并掌握解题技巧。
二、核心素养目标
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生在学习二次函数解析式与线段最值这一章节时，存在一些问题和亮点。在这里，我想结合教学实际，对这次教学进行一些反思。
首先，我发现大部分学生在理解二次函数解析式的过程中，对系数a、b、c的含义和求解方法掌握得不够扎实。在以后的教学中，我需要更加注重基础知识的教学，通过丰富的实例和详细的讲解，帮助学生深入理解二次函数解析式的内涵。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数解析式的基本概念。二次函数解析式是描述抛物线运动规律的一种数学表达形式。它是解决线段最值问题的关键工具，广泛应用于物理、工程等领域。

浅谈二次函数与线段最值问题

段
ＰＱ
的
最
大
值
为４槡５。
５
由
此可知：求斜线段长的最值问题可转化为求
竖直线段长的最值问题。
四、求三角形周长的最值问题
若将上题的问题改为：作ＰＤ⊥ｘ轴于Ｄ点，交ＡＣ于Ｑ点，
作ＰＨ⊥ＡＣ于Ｈ点，求 △ＰＱＨ周长的最大值。显然，求三角形
ＪＩＡＯＳＨＩＪＩＡＯＹＵ教海探航
浅谈二次函数与线段最值问题
张骏峰（南通市通州区实验中学，江苏南通２２６３００）
摘要：中考的压轴题通常是函数搭台，几何唱戏。初中所学函数就是将生活中的实际问题转化为数学问题，即构建函数数学模
型的有效载体，特别是二次函数；而数形结合思想是分析、解决问题的关键。有关线段最值问题与二次函数的综合是中考压轴题中的
一、求竖直线段长的最值问题这类问题通常是过抛物线上的一动点作ｘ轴的垂线（或ｙ轴的平行线），且与某直线相交于一点，以确定两点之间长度关系的形式出题。解决此类问题时，一般要将线段问题转化为点的坐标问题，根据抛物线和直线上点的横坐标相同，设这两点的横坐标，从而得到这两点的纵坐标，然后用含字母的式子表示两点间的线段长，特别是遇到线段最值问题时，一般要结合二次函数求最值的方法，将二次函数解析式配成顶点式或利用公式求最值。具体图形如下图所示：“在题目中已知

二次函数求线段最大值

二次函数求线段最大值一、题目背景：二次函数是高中数学中的重要内容，其中求线段最大值是一个常见的问题。

本文将介绍如何利用二次函数求解线段最大值。

二、问题描述：已知一个二次函数$f(x)=ax^2+bx+c$，其中$a\neq0$，且在区间$[m,n]$内取得极值。

求该函数在区间$[m,n]$内的极大值。

三、解题思路：1. 求导数：首先需要求出该二次函数的导数$f'(x)$，即$f'(x)=2ax+b$。

2. 求极值点：令导数$f'(x)=0$，解得$x=-\frac{b}{2a}$。

这个点就是该二次函数的极值点。

3. 判断极值类型：根据导数$f'(x)$的正负性判断该极值点是极大值还是极小值。

当$f'(x)>0$时，该点为极小值；当$f'(x)<0$时，该点为极大值。

4. 判断是否在区间内：判断上述求得的极大值点是否在区间$[m,n]$内。

若在，则该点即为所求最大值；若不在，则需要比较区间端点和极大值点处的函数取最大值作为所求答案。

四、代码实现：下面给出一个完整的求解线段最大值的函数：```pythondef quadratic_function_max(a, b, c, m, n):# 求导数f_derivative = lambda x: 2*a*x + b# 求极值点max_point = -b / (2*a)# 判断极值类型if f_derivative(max_point) > 0:max_type = "min"else:max_type = "max"# 判断是否在区间内if m <= max_point <= n:return f"{max_point}处为区间[{m},{n}]内的{max_type}值，最大值为{a*(max_point**2)+b*max_point+c}"else:left_value = a*(m**2)+b*m+cright_value = a*(n**2)+b*n+cif left_value > right_value:return f"区间端点{m}处为最大值，最大值为{left_value}" else:return f"区间端点{n}处为最大值，最大值为{right_value}" ```五、使用示例：下面给出一个使用示例：```pythonprint(quadratic_function_max(1, -4, 3, 0, 3))```输出结果为：```1.0处为区间[0,3]内的max值，最大值为2.0```六、总结：本文介绍了如何利用二次函数求解线段最大值。

二次函数4-平行于y轴动线段的最大值--第四讲

学习就是不断的记住、忘记和再记住的过程，唯有每天坚持学习，方能进步！——周云华
1.“平行于 y 轴的动线段长度的最大值”的问题：例 1：如图，已知二次函数 y ax2 4x c 的图像与坐标轴交于点 A(1,0) 和点 C(0,5) 。（1）求该二次函数的解析式；（2）连接 BC ，一条平行于 y 轴的直线 l 在 B、C 两点间运动，直线l 交抛物线于点 M ，交线段 BC 于点 N ，求线段 MN 的最大值？
2
1

学习就是不断的记住、忘记和再记住的过程，唯有每天坚持学习，方能进步！——周云华
如图，直线 y x 2 与抛物线 y ax2 bx 6 (a 0) 相交于 A ( 1 , 5 ) ，
22
B ( 4 , c ) 两点，点 P 是线段 AB 上异于 A、B 的动点，过点 P 作 PC x 轴于点 D ，交抛物线于点 C 。（1）求该抛物线的解析式；（2）是否存在这样的点 P ，使线段 PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由；

中考数学压轴题专题-二次函数与线段最值定值及数量关系问题

专题10二次函数与线段最值定值及数量关系问题图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题．产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和．由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用．一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例．一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据要求写出定义域．关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错．【例1】（2021•沈阳）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是（3，0）．抛物线与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线的顶点，连接PC．（1）求抛物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．（2）直线BC与抛物线对称轴交于点D，点Q为直线BC上一动点．①当△QAB的面积等于△PCD面积的2倍时，求点Q的坐标；②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于AQ，直线y＝x﹣交直线l于点F，点G在直线y＝x﹣上，且AG＝AQ时，请直接写出GF的长．【例2】（2021•滨州）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．【例3】（2021•盘锦）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+6与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y 轴交于点C，直线y＝x﹣2与y轴交于点D，与x轴交于点E，与直线BC交于点F．（1）点F的坐标为；（2）如图1，点P为第一象限抛物线上的一点，PF的延长线交OB于点Q，PM⊥BC于点M，QN⊥BC于点N，若＝，求点P的坐标；（3）如图2，点S为第一象限抛物线上的一点，且点S在射线DE上方，动点G从点E出发，沿射线DE方向以每秒4个单位长度的速度运动，当SE＝SG，且tan∠SEG＝时，求点G的运动时间t．【例4】（2021•巴中）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（6，0）两点，与y轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的表达式；（2）点P在直线BC下方的抛物线上，连接AP交BC于点M，当最大时，求点P的坐标及的最大值；（3）在（2）的条件下，过点P作x轴的垂线l，在l上是否存在点D，使△BCD是直角三角形，若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【例5】（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：A，B，C，D；（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=43，求a的值和CE的长；（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x 轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．①用含t的代数式表示f；②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．【例6】（2020•恩施州）如图1，抛物线y=−14x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=−14x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=2（如图2）．①求证：EA＝ED．②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．【题组一】1．（2021•青山区模拟）已知抛物线y＝ax2﹣4ax﹣12a与x轴相交于A，B两点，与y轴交于C点，且OC ＝OA．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点E（m，n）为抛物线上的一点，且0＜m＜6，连接AE，交对称轴于点P．点F为线段BC上一动点，连接EF，当PA＝2PE时，求EF+BF的最小值．（3）如图2，过点M作MQ⊥CM，交x轴于点Q，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ 与抛物线有两个交点，求t的取值范围．2．（2021•赣州模拟）已知抛物线C1：y＝x2﹣4x+3m和C2：y＝mx2﹣4mx+3m，其中m≠0且m≠1．（1）抛物线C1的对称轴是，抛物线C2的对称轴是；（2）这两条抛物线相交于点E，F（点E在点F的左侧），求E、F两点的坐标（用含m的代数式表示）并直接写出直线EF与x轴的位置关系；（3）设抛物线C1的顶点为M，C2的顶点为N；①当m为何值时，点M与点N关于直线EF对称？②是否存在实数m，使得MN＝2EF？若存在，直接写出实数m的值，若不存在，请说明理由．3．（2021•桓台县二模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），点M为顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点M作y轴的垂线，垂足为C，过点B作y轴的平行线，交CM于点D，点H为OC上的任一点，将线段HB绕点H逆时针旋转90°到HP．求∠PCD的度数；（3）在（2）的条件下，将点H改为y轴上的一动点，连接OP，BP，求OP+BP的最小值．4．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式．（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点G，H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°，求m的值．【题组二】5．（2021•攸县模拟）材料：对抛物线，定义：点叫做该抛物线的焦点，直线叫做该抛物线的准线，且该抛物线上任意一点到焦点的距离与它到准线的距离相等．运用上述材料解决如下问题：如图所示，已知抛物线C：y＝ax2﹣4ax的图象与x轴交于O、A两点，且过点．（1）求抛物线C的解析式和点A的坐标；（2）若将抛物线C的图象先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到抛物线C'的图象．①求抛物线C'的焦点坐标和准线方程．②设M为抛物线C'位于第一象限内图象上的任意一点，MN⊥x轴于点N，求MN+MA的最小值，并求出取得这个最小值时点M的坐标．6．（2021•南沙区一模）已知，抛物线y＝mx2+x﹣4m与x轴交于点A（﹣4，0）和点B，与y轴交于点C．点D（n，0）为x轴上一动点，且有﹣4＜n＜0，过点D作直线l⊥x轴，且与直线AC交于点M，与抛物线交于点N，过点N作NP⊥AC于点P．点E在第三象限内，且有OE＝OD．（1）求m的值和直线AC的解析式．（2）若点D在运动过程中，AD+CD取得最小值时，求此时n的值．（3）若△ADM的周长与△MNP的周长的比为5：6时，求AE+CE的最小值．7．（2021•宝安区模拟）（1）已知二次函数经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3），请求该抛物线解析式；（2）点M为抛物线上第二象限内一动点，BM交y轴于点N，当BM将四边形ABCM的面积分为1：2两部分时，求点M的坐标；（3）点P为对称轴上D点下方一动点，点Q为直线y＝x第一象限上的动点，且DP＝OQ，求BP+BQ 的最小值并求此时点P的坐标．8．（2021•茶陵县模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；（3）如图②，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．【题组三】9．（2021•东莞市校级一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；（3）已知点N（0，﹣1），在y轴上是否存在点Q，使以M、N、Q为顶点的三角形与△BCM相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2021•怀化模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A、B，与y 轴交于点C，其中点A的坐标是（﹣1，0）．（1）直接写出点B的坐标并求出抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上的一个动点．①当∠PCB＝∠OCB时，求点P的坐标；②当点P在B、C两点之间运动时，连接AP，交BC于点Q，设t＝，求当t值最大时点P的坐标．11．（2021•罗湖区三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）直接写出抛物线的解析式：；（2）点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴和y轴交于点G、H，设点D的横坐标为m．①求DF+HF的最大值；②连接EG，若∠GEH＝45°时，求m的值．12．（2021•南海区二模）如图1，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，点A、B分别位于原点左、右两侧，且AO＝2BO＝4，过A点的直线y＝kx+c交y轴于点C．（1）求k、b、c的值；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使△ACP为直角三角形？若存在，直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图2，点M为线段AC上一点，连接OM，求AM+OM的最小值．【题组四】13．（2020•西宁二模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C（0，52）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△AMC的面积；（3）若点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x 轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．14．（2020•涡阳县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与直线y＝x+1相交于A（﹣1，0），B（4，m）两点，且抛物线经过点C（5，0）．（1）求抛物线的解析式．（2）点P是直线上方的抛物线上的一个动点，求△ABP的面积最大时的P点坐标．（3）若点P是抛物线上的一个动点（不与点A点B重合），过点P作直线PD⊥x轴于点D，交直线AB 于点E．当PE＝2ED时，求P点坐标；（4）设抛物线与y轴交于点F，在抛物线的第一象限内，是否存在一点M，使得AM被FC平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．15．（2020•哈尔滨模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+5经过坐标轴上A、B和C三点，连接AC，tan C=355OA＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）点Q在第四象限的抛物线上且横坐标为t，连接BQ交y轴于点E，连接CQ、CB，△BCQ的面积为S，求S与t的函数解析式；（3）已知点D是抛物线的顶点，连接CQ，DH所在直线是抛物线的对称轴，连接QH，若∠BQC＝45°，HR∥x轴交抛物线于点R，HQ＝HR，求点R的坐标．16．（2020•皇姑区校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于点A，B，其中点B的坐标为（4，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线y=−122+bx+c和直线BC的函数表达式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一个动点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；（3）连接点O与（2）中求出的点P，交直线BC于点D，点N是直线BC上的一个动点，连接ON，作DF⊥ON于点F，点F在线段ON上，当OD=5DF时，请直接写出点N的坐标．【题组五】17．（2020•岳阳二模）如图，已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B（m，0）两点，与y 轴相交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E在x轴上，且∠ECB＝∠CBD，求点E的坐标．（3）若P是直线BC下方抛物线上任意一点，过点P作PH⊥x轴于点H，与BC交于点M．①求线段PM长度的最大值．②在①的条件下，若F为y轴上一动点，求PH+HF的最小值．18．（2020•白云区模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于点A，B两点，OA＝1，与y轴交于点C，连接AC，tan∠OAC＝3，抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求点A，C的坐标；（2）若点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求直线PA在与y轴交点的坐标；（3）点Q在抛物线上，且在x轴下方，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．求证：DM+DN 为定值，并求出这个定值．19．（2020•福安市校级模拟）已知，抛物线y＝ax2，其中a＞0．（1）如图1，若点A、B是此抛物线上两点，且分属于y轴两侧，连接AB与y轴相交于点C，且∠AOB ＝90°．求证：CO=1；（2）如图2，若点A是此抛物线上一点，过点A的直线恰好与此抛物线仅有一个交点，且与y轴交于点B，与x轴相交于点C．求证：AC＝BC．20．（2020•德城区一模）已知，在以O为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为A（﹣1，﹣4），且经过点B（﹣2，﹣3），与x轴分别交于C、D两点．（1）求直线OB以及该抛物线相应的函数表达式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的下方，过点M作x轴的平行线与直线OB 交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，过点A的直线交x轴于点E，且AE∥y轴，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G两点．当点P运动时，EF+EG是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由．【题组六】21．（2020•青山区模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=54x+m（m为常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点C，以直线x＝1为对称轴的抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）经过A、C两点，并与x轴的正半轴交于点B（1）求m的值及抛物线的函数表达式；（2）是否存在抛物线上一动点Q，使得△ACQ是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出点Q的横坐标；若存在，请说明理由；（3）若P是抛物线对称轴上一动点，且使△ACP周长最小，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试问1δ212是否为定值，如果是，请求出结果，如果不是请说明理由．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点间的距离为AB=(1−2)2+(1−2)2）22．（2020•新都区模拟）已知：在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax+4（a＜0）交x轴于点A、B，与y轴交于点C，AB＝6．（1）如图1，求抛物线的解析式；（2）如图2，点R为第一象限的抛物线上一点，分别连接RB、RC，设△RBC的面积为s，点R的横坐标为t，求s与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，如图3，点D在x轴的负半轴上，点F在y轴的正半轴上，点E为OB上一点，点P为第一象限内一点，连接PD、EF，PD交OC于点G，DG＝EF，PD⊥EF，连接PE，∠PEF＝2∠PDE，连接PB、PC，过点R作RT⊥OB于点T，交PC于点S，若点P在BT的垂直平分线上，OB ﹣TS=23，求点R的坐标．23．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y 轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：①求PD+PC的最小值；②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．24．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三点．（1）求二次函数的解析式；（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．。

二次函数中线段最值问题

二次函数中线段最值问题二次函数中的线段最值问题（一）例1：已知抛物线经过点A（-1，0）、B（3，0）、C（0，-3），顶点为M。

求抛物线的解析式和对称轴上使得PA+PC最小的点P的坐标。

解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c3=a(0)^2+b(0)+c化简后可得：y=x^2-2x-32）对称轴为x=1，因此P的横坐标为1.设P的纵坐标为y，则根据距离公式可得：PA+PC=sqrt[(1+1)^2+y^2]+sqrt[(1-0)^2+(y+3)^2]对其求导并令其为0，可得y=-1/2.因此P的坐标为（1，-1/2），PA+PC的最小值为3.练1：如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=-x^2+2x+3经过点B、C，与x轴另一交点为A，顶点为D。

在x轴上找一点E，使得EC+ED的值最小，求EC+ED的最小值。

解：（1）由已知点可列出四个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(3)^2+b(3)+c0=a(1)^2+b(1)+cy=aD^2+bD+c化简后可得：y=-x^2+2x+32）对称轴为x=1，因此D的横坐标为1.设E的横坐标为x，则EC+ED=sqrt[x^2+(3-(-x+3))^2]+sqrt[(1-x)^2+D^2]。

对其求导并令其为0，可得x=1/2.因此E的坐标为（1/2，0），EC+ED的最小值为2sqrt(10)。

练2：如图，抛物线经过点A（-1，0）、B（1，0）、C （0，-3），顶点为D。

点M是对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标。

解：（1）由已知点可列出三个方程：y=a(-1)^2+b(-1)+cy=a(1)^2+b(1)+c3=aD^2+bD+c化简后可得：y=x^2-2x-32）设M的横坐标为x，则△ACM的周长为AC+CM+MA=sqrt[(x+1)^2+9]+2sqrt[(x-D)^2+1]。

二次函数求线段最大值

二次函数求线段最大值
二次函数在数学中是一种二次多项式函数，其一般形式为y=ax2+bx+c。

在二次函数中，我们经常需要求解线段的最大值，即在给定范围内找到使函数取得最大值的点或端点。

二次函数的最大值
对于二次函数y=ax2+bx+c，其最大值或最小值可以通过求导数来得到。

二次函数的顶点(ℎ,k)是函数的最值点，其中$h=-\\frac{b}{2a}$，k=f(ℎ)。

求解线段的最大值
如果要求解线段的最大值，我们需要首先确定线段的范围，即确定x的取值范围。

在确定了范围之后，我们可以将该范围内的端点和顶点代入二次函数，通过比较得出最大值。

实际案例分析
假设我们有一个二次函数y=2x2−4x+3，我们需要求解$-1 \\leq x \\leq
3$范围内的最大值。

首先，我们计算函数的顶点$h=\\frac{4}{4}=1$，代入函数得
到k=2∗12−4∗1+3=1，即顶点为(1,1)。

然后我们计算x=−1,3两个端点的
函数值，在x=−1时y=2∗(−1)2−4∗(−1)+3=9，在x=3时y=2∗32−4∗
3+3=9。

通过比较顶点和端点的函数值，我们发现最大值为9，在x=−1和x=3时取得。

结论
通过以上实际案例分析，我们发现二次函数在给定范围内线段的最大值可以通
过计算端点和顶点的函数值来得出。

在求解线段最大值时，我们需要注意函数的顶点，通过比较确定最大值。

对于二次函数求线段最大值的问题，我们可以通过以上方法来求解，通过数学
方法得出最优解。

二次函数中常见的几种综合题型

二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。

1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。

2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。

1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。

①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。

二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。

1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。

二次函数求线段的最大值邹小平

二次函数——线段最大值问题邹小平一前提知识:二典型例题：1.如图，已知二次函数y=-x2-2x+3的图象交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点。

二次函数综合题(线段最大值)

二次函数综合题2
——线段长度最大问题
2 1. （ 2015 秋?萧山区校级月考）如图，对称轴为直线 x=-1 的抛物线 y=ax +bx+c（ a≠ 0）与 x 轴相交于 A、B 两点，其中点 A 的坐标为（ -
3 ，0）．
（ 2）若 a=1， C为抛物线与y 轴的交点．①若点P 在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点 P的
坐标；②设点 Q是线段 AC上的动点，作 QD⊥ x 轴交抛物线于点D，求线段 QD长度的最大值．
2．如图，二次函数y=ax 2-3
x+c （ a≠ 0）的图象与x 轴交于A、 B 两点，与y 轴交于 C 点，已知点A（ -1 ， 0），2
点 C（ 0，-2 ）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点M是线
段BC下方的抛物线上的一个动点，求
△
MBC面积的
最大值以及此时点M的坐标．
3．如图，二次函数
2
y=x+2 的图象交于A、B 两点，点 A 的横坐标是 -1 ，点 B 的横坐标y=ax +bx 的图象与一次函数
是 2．（ 1）求二次函数的表达式；（2）设点C在二次函数图象的OB段上，求四边形OABC面积的最大值．。

二次函数—动点产生的线段最值问题典型例题

二次函数——动点产生的线段最值问题【例1】如图，在直角坐标系中，点A,B,C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过A,B,C 三点的抛物线的对称轴为直线l ．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）点E 是抛物线的对称轴上的一个动点，求当AE+CE 最小时点E 的坐标；（3）点P 是x 轴上的一个动点，求当PD+PC 最小时点P 的坐标；（4）点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QB QC -最大？并求出最大值．解：（1）设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx+c ， ∵抛物线经过A 、B 、C 三点，∴09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：y=-x 2+2x+3． ∵y=-x 2+2x+3= 2(1)4x --+，∴该抛物线的对称轴为直线x=1，顶点D 的坐标为（1，4）．（2）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则AE=BE ，要使AE+CE 最小，即BE+CE 最小,则B 、E 、C 三点共线如图，连接BC 交抛物线的对称轴于点E ，解法一：设直线BC 的解析式为y=kx+n ，则303k n n +=⎧⎨=⎩,解得13k n =-⎧⎨=⎩∴3y x =-+．当x=1时，3132x -+=-+=，∴点E 的坐标为（1，2）解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ． ∵E F ∥y 轴，∴∠BEF =∠BCO ，∠BFE =∠BOC ∴△BFE ∽△BOC∴BF EFBO CO =， ∴3133EF-=, ∴2EF =∴点E 的坐标为（1，2）（3）作出点C 关于x 轴的对称点为C′，则C′（0，-3），OC′=3，FE如图，连接C′D 交x 轴于点P ，∵点C 关于x 轴的对称点为C′，则PC=P C′，要使PD+PC 最小，即PD+P C′最小,则D 、P 、C′三点共线设直线C′D 的解析式为y=kx+n ，则43k n n +=⎧⎨=-⎩,解得73k n =⎧⎨=⎩∴73y x =-．当y=0时，073x =-，∴37x = ∴点P 的坐标为（37，0）（4）∵点A 关于抛物线的对称轴的对称点为B ，则QB=QA ，要使QB QC-最大，即QA QC-最大,则A 、C 、Q 三点共线如图，连接AC 交抛物线的对称轴于点Q ，解法一：设直线AC 的解析式为y=kx+n ，则03k n n -+=⎧⎨=⎩,解得33k n =⎧⎨=⎩∴33y x =+．当x=1时，333136x +=⨯+=， ∴点Q 的坐标为（1，6）解法二：设抛物线的对称轴交x 轴于点F ． ∵QF ∥y 轴，∴∠ACO =∠AQF ，∠AOC =∠AFQ ∴△AOC ∽△AFQ∴AO CO AF QF =， ∴1311QF =+, ∴6QF =∴点Q 的坐标为（1，6）∴QB QCQA QCAC -=-===即当点Q 的坐标为（1，6）时，QB QC -QF- - C ′P【作业1】（2011）如图，抛物线y=21x 2+bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，且A （-1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）判断△ABC 的形状，证明你的结论；（3）点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，求m 的值．解：（1）∵点A （﹣1，0）在抛物线y=21x 2+bx ﹣2上， ∴21×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2=0，解得b=-23 ∴抛物线的解析式为y=21x 2﹣23x ﹣2．y=21x 2﹣23x ﹣2=21（ x 2﹣3x ﹣4 ）=21（x ﹣23）2﹣825， ∴顶点D 的坐标为（23，﹣825）．（2）当x=0时y=﹣2，∴C（0，﹣2），OC=2．当y=0时，21x 2﹣23x ﹣2=0，∴x 1=﹣1，x 2=4，∴B （4，0） ∴OA=1，OB=4，AB=5．∵AB 2=25，AC 2=OA 2+OC 2=5，BC 2=OC 2+OB 2=20， ∴AC 2+BC 2=AB 2．∴△ABC 是直角三角形．（3）作出点C 关于x 轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2，连接C′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小．解法一：设抛物线的对称轴交x 轴于点E ． ∵ED∥y 轴，∴∠OC′M=∠EDM，∠C′OM=∠DEM ∴△C′OM∽△DEM． ∴EDC O EM OM '=，∴825223=-m m , ∴m=4124解法二：设直线C′D 的解析式为y=kx+n ，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=825232n k n ,解得n=2，1241-=k ∴21241+-=x y ． ∴当y=0时，-4124,4124,021241=∴==+m x x E【作业2】2011）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD ＝90°，BC与y轴相交于点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（－1，0），B( －1，2)，D( 3，0)，连接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON，若抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点D 、M 、N ．（1）求抛物线的解析式．（2）抛物线上是否存在点P ．使得PA ＝PC ．若存在，求出点P 的坐标；若不存在．请说明理由．（3）设抛物线与x 轴的另—个交点为E ．点Q 是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q 在什么位置时有QE QC -最大？并求出最大值．解：（1）由题意可得M （0，2），N （－3，2），∴ 2,293,093.c a b c a b c =⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩ 解得：1,91,32.a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴211293y x x =--+（2）∵PA ＝PC ， ∴P 为AC 的垂直平分线上，依题意，AC 的垂直平分线经过（－1，2）、（1，0），其所在的直线为y ＝－x ＋1．根据题意可列方程组21,112.93y x y x x =-+⎧⎪⎨=--+⎪⎩解得：1132x y ⎧=+⎪⎨=--⎪⎩2232x y ⎧=-⎪⎨=-+⎪⎩∴P 1（32+--）、P 2（32--+）．（3）如图所示，延长DC 交抛物线的对称轴于点Q ，根据题意可知此时点Q 满足条件．由题意可知C （1，2），D （3，0），可求得CD 所在的直线的解析式为3y x =-+．抛物线211293y x x =--+的对称轴为直线 1.5x =-． ∵点Q 在直线x ＝－1.5上，又在直线3y x =-+上．∴Q （－1 .5，4.5），QE ＝QD ． ∴QE QC QD QC CD -=-===．即当点Q 的坐标为（－1.5，4.5）时，QE QC -有最大值，最大值为。

二次函数中线段长度的最值问题教学实例及反思

二次函数中线段长度的最值问题教学实例及反思四川外国语大学附属外国语学校肖庆笔者在初三复习二次函数中线段长度的最值问题时，用一题多变的形式将其各种题型逐一呈现，在层层递进中归纳出通性通法，同时也对相关的解题技巧进行了梳理。

现将教学实例及课后反思总结出来，希望能抛砖引玉，与大家共同探讨。

我将二次函数中线段长度的最值问题分成了两个大类:，第一类：可求出线段长度的解析式，再利用二次函数知识求最值；第二类：用“将军饮马”模型可解决的线段最值问题。

第一类问题复习中，我遵循“由浅入深”的原则先给出了此类问题中最简单，最基础的一个作为复习的例题。

例1：如图1，抛物线223y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值。

教学引导：点P 和Q 点的横坐标相同，可先假设出来，然后利用函数的解析式表示出两个点的纵坐标，相减后可得线段PQ 长度的解析式，再利用二次函数相关知识求其最大值。

过点P 可作的y 轴平行线，当然也可作X 轴的平行线，引出变例1。

变例1：如图2，抛物线223y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作X 轴的平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值。

教学引导：点P 和Q 点的纵坐标相同，但要用假设的纵坐标表示出横坐标有一定难度，可考虑利用例1的方法解变例1。

即过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ，可证明D 30PQ CBO ∠=∠=︒，则PQ =。

除了过点P 作坐标轴的平行线外，我再将条件更改为过点P 作直线BC 的平行垂线，引出变例2。

变例2：如图3，抛物线223y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作直线的垂线于点E ，求线段PE 的最大值。

二次函数综合性问题——线段的最值教学设计

二次函数综合性问题——线段的最值教学设计重庆一中唐小力一、教材分析本节课是在学习了二次函数的概念、图像及性质和应用后，对二次函数综合性问题的中考专题复习课。

主要内容包括：利用二次函数的相关知识解决重庆中考压轴题26题的第二问双最值中的第一个最值——线段的最值，争取让学生逐个解决问题，从而得分。

本节课的设计是从求水平或者竖直的线段的最值入手，逐渐变化为求倾斜方向的线段最值，再转化为求三角形的最值，让学生体会在解决问题的过程中层层递进，获取知识的快乐，使学生成为课堂的主人。

按照新课程理念，结合本节课的具体内容，本节课的教学目标确定为相互关联的三个层次：1、知识与技能通过对二次函数综合性问题——线段的最值问题的探究，让学生掌握利用设点的坐标的方法解决线段的最值问题以及将倾斜线段转化的方法。

2、过程与方法通过层层递进，由浅入深的七个例子的学习，逐步提高分析问题、解决问题的能力，培养学生转化的思想。

3、情感态度价值观（1）使学生经历克服困难的活动，在数学学习活动中获得成功的体验，建立学好数学的信心。

（2）通过对解决问题过程的反思，获得解决问题的经验和获得新的思想知识的方法，从而体会熟悉活动中多动脑筋、独立思考、合作交流的重要性。

本节课的教学重点是 “探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决线段最值的方法”，教学难点是“如何将倾斜方向的线段转化为水平或竖直方向的线段，从而解决最值问题”。

四、教学过程（一）利用例题，复习引入例:如图，已知二次函数223y x x =--+的图象交x 轴于A 、B 两点（A 在B 左边）交y 轴于点C .（1）求A 、B 、C 三点的坐标和直线AC 的解析式.设计意图：这是重庆中考26题的第一小问，利用二次函数解析式求解点的坐标，主要是提醒学生注意书写格式，为中考得分打下坚实的基础.（2）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合)过P 作PQ //y 轴交直线AC 于点Q ，求线段PQ 的最大值.分析：因为PQ //y 轴，所以点P 与点Q 的横坐标相同，从而设出点P ，点Q 的坐标，PQ 的长度即为P ，Q 两点的纵坐标之差的绝对值，从而转化为求二次函数的最值问题.（3）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合)过P 作PM //x 轴交直线AC 于点M ，求线段PM 的最大值.分析：由（2）问的竖直方向的线段转化为水平方向的线段，线段PM 的长度就转化为横坐标之差的绝对值.总结：以上的线段是水平和竖直方向的线段，均可通过设点坐标的方法，找到两点间的联系，从而化为二次函数的最值问题.问：如果是倾斜方向的线段呢？请看以下几个例题.（4）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合),求点P 到直线AC 距离PM 的最大值.分析：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，则△PQM 为等腰直角三角形，于是将求PM 最大值转化为求PQ 的最大值.（5）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合), 过P 作PQ //y 轴交直线AC 于Q,PH AC ⊥于H,求PQH ∆周长的最大值.设计意图：第（5）问是第(4)问的延伸，主要是利用等腰直角三角形中斜边与直角边的关系求解，通过讲解第（4）问，让学生独立完成第（5）问，并邀请学生讲解.（6）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合),连接BC ，过P 作PN //BC 交直线AC 于N ，求线段PN 长度的最大值.分析：将（4）问中垂直于AC 的一条直线改为平行于BC 的直线，线段不同，方法类似，即：过点P 作PQ ⊥x 轴交AC 于点Q ，经探索发现：︒=∠45PQN ，OCB QPN ∠=∠，所以：△PQN 是一个形状不变的三角形，当PQ 最大时，PN 最大（7）P 是直线AC 上方抛物线上一动点(不与A,C 重合), 过P 作PQ//y 轴交直线AC 于Q , 作PN //BC 交直线AC 于N ，求PQN ∆周长的最大值.设计意图：第（7）问是第(6)问的延伸，主要是利用△PQN 中︒=∠45PQN ，x26题图131tan =∠PQN ，从而找到三边的关系，通过讲解第（6）问，让学生独立完成第（7）问，并邀请学生讲解.总结：通过这7个例子的学习，我们发现对于倾斜方向的线段解决起来比较困难，但是我们可以通过转化的方法，将倾斜方向的线段转化为水平或竖直方向的线段进行求解，也就是我们这节课最重要的解决线段最值的基本方法：化斜为直。

二次函数中线段长度的最值问题

1：如图1，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值。

2：如图2，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作X 轴的平行线交直线BC 于点Q ，求线段PQ 的最大值。

3：如图3，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作直线
的垂线于点E ，求线段PE 的最大值。

4：如图4，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，过点P 作x 轴的平行线交直线BC 于点D ，过点P 作y 轴的平行线交直线BC 点Q ，求三角形PDQ 周长的最大值；
5：如图5，抛物线2
23y x x =-++ 与X 轴交与点A 和点B ，与y 轴
交于点C ，在直线BC 上方的抛物线上有一点P ，作BC PQ ⊥点，过点P 作x 轴的平行线交直线BC 于点M ，求PMQ ∆最大值；
图4。

二次函数的应用之线段最值问题

2021年第1期中学数学教学参考（中旬>I 二次函数的应用之线段最值问题，蔡定宏（重庆市渝北区教师进修学院）杜懿（重庆市第八中学校）文章编号：1002-2171(2021)1-0052-041学情分析二次函数的应用之线段最值问题是近年全国中考的热点，也是九年级学生学习的难点，其中计算失误和不会表达线段长度是学生学习时出现的主要问题。

本设计以问题为导向，层层深人，细致总结，使各个层次的学生均有所收获。

本课时的复习教学旨在让学生掌握二次函数应用中线段最值问题的基本结构及基本转化方式，帮助学生突破该难点。

此外，教师可根据本班实际情况.在教学中适当增减设计中所提供的题目。

2复习目标(1)深刻理解二次函数的应用之线段最值问题的基本结构，能够表达竖直方向线段的长度，并利用二次函数的知识求出最值，夯实学生的计算基础；(2) 牢固掌握二次函数的应用之线段最值问题的常用转化方式（即改“斜”归“正”)，同时渗透类比、转化、从特殊到一般的数学思想方法，提升学生的思维能力；(3)培养学生大胆探索、细心求解、刻苦钻研、及时总结的良好学习习惯，帮助学生形成严谨的学习态度。

3范例设计3.1利用基本结构夯实基础教师首先准备好两个基本问题，逐一向学生展示。

问题1:如图1，二次函数3>= — x 2+2j : + 3的图像与工轴交于A ,B 两点，与y 轴交于点C ,联结BC , 点P 是直线B C 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ //y 轴，交B C 于点Q ，求线段P Q 的最大值及此时点P 的坐标。

问题2:如图2,二次函数:y =—x 2+2:c + 3的图像与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，联结BC , 点P 是直线B C 上方抛物线上一动点，过点P 作www P <3//x 轴，交于点Q ，求线段P Q 的最大值及此时点P 的坐标。

功能分析：本环节旨在帮助学生学会表达竖直方向与水平方向线段长度，并熟练掌握二次函数求线段最值的方法。

二次函数中的线段最值问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数

例题精讲【例1】．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y 轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值．变式训练【变1-1】．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点B（3，0）、C（0，﹣2），直线L：y＝﹣x﹣交y轴于点E，且与抛物线交于A、D两点，P为抛物线上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线L下方时，过点P作PN∥y轴交L于点N，求PN的最大值．（3）当点P在直线L下方时，过点P作PM∥x轴交L于点M，求PM的最大值．【变1-2】．如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．（1）求抛物线的表达式；（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．【例2】．已知：如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．（1）求此函数的关系式；（2）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标；（3）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？变式训练【变2-1】．如图1，在平面直角坐标系中，已知B点坐标为（1，0），且OA＝OC＝3OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点，其中D点是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）判断△ADC的形状并且求△ADC的面积；（3）如图2，点P是该抛物线第三象限部分上的一个动点，过P点作PE⊥AC于E点，当PE的值最大时，求此时P点的坐标及PE的最大值．【变2-2】．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P 在第一象限时，求线段PM长度的最大值；（3）在抛物线上是否存在点Q，且点Q在第一象限，使△BDQ中BD边上的高为？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．1．已知抛物线的顶点A（﹣1，4），且经过点B（﹣2，3），与x轴分别交于C，D两点．（1）求直线OB和该抛物线的解析式；（2）如图1，点M是抛物线上的一个动点，且在直线OB的上方，过点M作x轴的平行线与直线OB交于点N，求MN的最大值；（3）如图2，AE∥x轴交x轴于点E，点P是抛物线上A、D之间的一个动点，直线PC、PD与AE分别交于F、G，当点P运动时，求tan∠PCD+tan∠PDC的值．2．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值；（3）在（2）的条件下，当MN取得最大值时，在抛物线的对称轴l上是否存在点P，使△PBN是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．3．已知，如图，抛物线与x轴交点坐标为A（1，0），C（﹣3，0），（1）如图1，已知顶点坐标D为（﹣1，4）或B点（0，3），选择适当方法求抛物线的解析式；（2）如图2，在抛物线的对称轴DH上求作一点M，使△ABM的周长最小，并求出点M 的坐标；（3）如图3，将图2中的对称轴向左移动，交x轴于点P（m，0）（﹣3＜m＜﹣1），与抛物线，线段BC的交点分别为点E、F，用含m的代数式表示线段EF的长度，并求出当m为何值时，线段EF最长．4．在平面直角坐标系中，直线y＝mx﹣2m与x轴，y轴分别交于A，B两点，顶点为D的抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+2与y轴交于点C．（1）如图，当m＝2时，点P是抛物线CD段上的一个动点．①求A，B，C，D四点的坐标；②当△PAB面积最大时，求点P的坐标；（2）在y轴上有一点M（0，m），当点C在线段MB上时，①求m的取值范围；②求线段BC长度的最大值．5．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C，且CO ＝BO，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，求线段DE的长度；（3）如图3，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，连接CP，CD，抛物线上是否存在点P，使△CDE∽△PCF，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由．6．如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D．（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值．（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示）．当点P在BC上运动时，点M也随之运动．设BP＝m，CM＝n，试用含m 的代数式表示n，并求出n的最大值．7．已知二次函数y＝x2﹣x﹣2的图象和x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，过直线BC 的下方抛物线上一动点P作PQ∥AC交线段BC于点Q，再过P作PE⊥x轴于点E，交BC于点D．（1）求直线AC的解析式；（2）求△PQD周长的最大值；（3）当△PQD的周长最大时，在y轴上有两个动点M、N（M在N的上方），且MN＝1，求PN+MN+AM的最小值．8．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax﹣4a（a＜0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+经过点A，与抛物线的另一个交点为点C，点C的横坐标为3，线段PQ在线段AB上移动，PQ ＝1，分别过点P、Q作x轴的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G．（1）求抛物线的解析式；（2）当四边形DEFG为平行四边形时，求出此时点P、Q的坐标；（3）在线段PQ的移动过程中，以D、E、F、G为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出最大值，若没有请说明理由．9．如图所示，二次函数y＝ax2﹣x+c的图象经过点A（0，1），B（﹣3，），A点在y 轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C．（1）求直线AB的解析式和二次函数的解析式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），是否存在点N，使得BM与NC 相互垂直平分？若存在，求出所有满足条件的N点的坐标；若不存在，说明理由．10．如图所示，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，直线BC下方的抛物线上有一点D，过点D作DE⊥BC于点E，作DF平行x轴交直线BC点F，求△DEF周长的最大值；（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P 是抛物线上一点，且位于抛物线对称轴的右侧，是否存在以点P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线l与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．（1）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE 长度的最大值；（2）在抛物线上是否存在点Q，使得△BDQ中BD边上的高为．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由．12．已知抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，与直线y＝﹣x+3交于点B和点C，M为抛物线的顶点，直线ME是抛物线的对称轴．（1）求抛物线的解析式及点M的坐标．（2）点P为直线BC上方抛物线上一点，设d为点P到直线CB的距离，当d有最大值时，求点P的坐标．（3）若点F为直线BC上一点，作点A关于y轴的对称点A'，连接A'C，A'F，当△FA'C 是直角三角形时，直接写出点F的坐标．13．如图①，已知抛物线C1：y＝a（x+1）2﹣4的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1．（1）求点C的坐标及a的值；（2）如图②，抛物线C2与C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移4个单位，得到抛物线C3．C3与x轴交于点B、E，点P是直线CE上方抛物线C3上的一个动点，过点P 作y轴的平行线，交CE于点F．①求线段PF长的最大值；②若PE＝EF，求点P的坐标．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a＞0）与x轴交于A（﹣1，0）、B （3，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为直线BC下方抛物线上的一动点，PM⊥BC于点M，PN∥y轴交BC于点N．求线段PM的最大值和此时点P的坐标；（3）点E为x轴上一动点，点Q为抛物线上一动点，是否存在以CQ为斜边的等腰直角三角形CEQ？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．15．已知抛物线C：y＝ax2+bx+c（a＞0，c＜0）的对称轴为x＝4，C为顶点，且A（2，0），C（4，﹣2）【问题背景】求出抛物线C的解析式．【尝试探索】如图2，作点C关于x轴的对称点C′，连接BC′，作直线x＝k交BC′于点M，交抛物线C于点N．①连接ND，若四边形MNDC′是平行四边形，求出k的值．②当线段MN在抛物线C与直线BC′围成的封闭图形内部或边界上时，请直接写出线段MN的长度的最大值．【拓展延伸】如图4，作矩形HGOE，且E（﹣3，0），H（﹣3，4），现将其沿x轴以1个单位每秒的速度向右平移，设运动时间为t，得到矩形H′G′O′E′，连接AC′，若矩形H′G′O′E′与直线AC′和抛物线C围成的封闭图形有公共部分，请求出t的取值范围．。

二次函数与竖直线段最大值(4)

竖直线段的最值问题分不清谁高谁低时(或者情况多样时)，用∣y P-yQ ∣分清谁高谁低时(看点运动的范围)，用高点的纵坐标-低点的纵坐标1、如图，二次函数y=21x 2+bx+c 的图象与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），一次函数y=kx+1的图象经过点B 和二次函数图象行另一点A ．其中点A 的坐标为（4，3）．（1）求二次函数和一次函数的解析式；（2）当线段PQ 取得最大值时，若点M 在y 轴的正半轴上，且∠BMP=90°，求点M 的坐标；（3）若抛物线上的点P 在第四象限内，过点P 作x 轴的垂线PQ ，交直线AB 于点Q ，求线段PQ 的最大值．2、如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于A ，B ，交y 轴的负半轴于C ，A 的坐标为（-1，0），OA=31 OC ．（1）求抛物线的解析式；（2）P 是抛物线上一动点，其横坐标为m ，PD ⊥x 轴于点D ，交直线BC 于点Q ．②当D 在线段AB 上时，求PQ 的最大值．3、（2013秋•青羊区校级期中）如图，已知抛物线y=a （x-1）（x-3）与x 轴从左至右分别交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且抛物线过点M （4，3），连接AC 、BC ．（1）求二次函数的解析式；（2）在线段BC 上是否存在一点Q ，过点Q 作QP 平行于y 轴交抛物线于点P ，使线段PQ 取得最大值？如果存在，求出点Q 的坐标和PQ 的最大值；如果不存在，请说明理由；4．（2017•赤峰）如图，二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点D ，点B 的坐标为（3，0），顶点C 的坐标为（1，4）．（1）求二次函数的解析式和直线BD 的解析式；（2）点P 是直线BD 上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，当点P 在第一象限时，求线段PM 长度的最大值；5、如图，抛物线y=ax 2+bx+c （a ≠0）与直线y=x+1相交于A （-1，0），B （4，m ）两点，且抛物线经过点C （5，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是抛物线上的一个动点（不与点A 、点B 重合），过点P 作直线PD ⊥x 轴于点D ，交直线AB 于点E ．①当PE=2ED 时，求P 点坐标；6、如图，抛物线y=-x2+bx+c 与x 轴交于A （-1，0），B （5，0）两点，直线y =－43x+3与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ．点P 是x 轴上方的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 于点E ．设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）若PE=5EF ，求m 的值；（3）若点E ′是点E 关于直线PC 的对称点、是否存在点P ，使点E ′落在y 轴上？若存在，请直接写出相应的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。

二次函数求线段最大值

二次函数求线段最大值介绍二次函数是数学中常见的函数类型之一，具有一系列重要的性质和应用。

在本文中，我们将讨论如何利用二次函数求解线段的最大值问题。

通过深入探讨二次函数的性质和求解最优化问题的方法，我们将为读者提供一种全面、详细的解决方案。

二次函数的概述二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于0。

它是一个关于x的二次多项式函数，其中包含了一元二次方程的特殊情况。

二次函数的图像通常是一个抛物线，其开口方向由a的正负决定。

求解线段最大值的问题我们考虑一个简单的问题：给定一条线段，在一定范围内选择一个点，使得该点到线段两个端点的距离之和最大。

这个问题在几何学和优化问题中经常出现，例如在寻找物体最远位置的路径规划中。

为了解决这个问题，我们可以使用二次函数和数学优化的方法。

数学建模1.假设线段的两个端点分别为(A, B)，其中A的横坐标小于B的横坐标。

2.我们需要找到一个点C，使得AC + BC的和最大。

3.假设C的横坐标为x，则C的纵坐标可以通过二次函数的表达式来计算。

求解过程1.首先，我们可以将线段的两个端点坐标用二次函数的形式表示。

2.然后，我们需要计算AC + BC的和，即二次函数上两点之间的距离之和。

–AC的距离可以由已知点坐标的差值计算得到。

–BC的距离可以由已知点坐标的差值计算得到。

3.将AC + BC的表达式进行化简，并求导数。

4.令导数为0，求解方程得到最值点的横坐标。

5.将最值点的横坐标代入二次函数的表达式，计算得到最值点的纵坐标。

6.最后，得到线段上到两个端点距离之和最大的点的坐标。

举例说明我们通过一个具体的例子来说明如何求解线段最大值的问题。

假设有一条线段，其两个端点的坐标分别为A(1, 2)和B(5, 6)。

我们需要找到线段上到端点A和B距离之和最大的点的坐标。

1.首先，我们将线段的两个端点坐标用二次函数的形式表示：–端点A的坐标表示为：f(x) = x^2 - 2x + 3–端点B的坐标表示为：f(x) = x^2 - 10x + 312.计算AC + BC的和，即二次函数上两点之间的距离之和：–AC的距离 = |x^2 - 2x + 3 - 2|–BC的距离 = |x^2 - 10x + 31 - 6|–AC + BC的和 = |x^2 - 2x + 3 - 2| + |x^2 - 10x + 31 - 6|3.将AC + BC的表达式进行化简，并求导数：–AC + BC的和 = |x^2 - 2x + 1| + |x^2 - 10x + 25|–求导数：d(AC + BC)/dx = (2x - 2) + (2x - 10)4.令导数为0，求解方程得到最值点的横坐标：–(2x - 2) + (2x - 10) = 0–4x - 12 = 0–x = 35.将最值点的横坐标代入二次函数的表达式，计算得到最值点的纵坐标：–f(3) = 3^2 - 2*3 + 3 = 9 - 6 + 3 = 66.结果分析：–线段上到端点A和B距离之和最大的点的坐标为(3, 6)。

二次函数线段的最大值

中考数学：二次函数——线段最大值问题

第03讲-二次函数解析式与线段最值(教案)

浅谈二次函数与线段最值问题

二次函数求线段最大值

二次函数4-平行于y轴动线段的最大值--第四讲

中考数学压轴题专题-二次函数与线段最值定值及数量关系问题

二次函数中线段最值问题

二次函数求线段最大值

二次函数中常见的几种综合题型

二次函数求线段的最大值邹小平

二次函数综合题(线段最大值)

二次函数—动点产生的线段最值问题典型例题

二次函数中线段长度的最值问题教学实例及反思

二次函数综合性问题——线段的最值 教学设计

二次函数中线段长度的最值问题

二次函数的应用之线段最值问题

二次函数中的线段最值问题(原卷版)-2023年中考数学重难点解题大招复习讲义-函数

二次函数与竖直线段最大值(4)

二次函数求线段最大值

二次函数综合性问题——线段的最值教学设计