2020高考数学立体几何练习题23题

2020高考数学之立体几何解答題23 題
一．解答题（共 23 小题）
1．在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是菱形， ADNM 是矩形，平面 ADNM ⊥平面 ABCD ，
∠DAB=60 °，AD=2 ， AM=1 ， E 为 AB 的中点．
（Ⅰ）求证： AN ∥平面 MEC；
（Ⅱ）在线段 AM 上是否存在点 P，使二面角 P﹣ EC﹣D 的大小为？若存在，求出 AP 的长 h；若不存在，请说明理由．
2．如图，三棱柱中 ABC ﹣A1B1C1 中，点 A1 在平面 ABC 内的射影 D 为棱 AC 的中点，侧面 A1ACC 1为边长为 2 的菱形， AC⊥CB，BC=1 ．
（Ⅰ）证明： AC 1⊥平面 A 1BC；（Ⅱ）求二面角 B﹣ A1C﹣B1的大小．
3．如图，已知四棱锥 P﹣ABCD ，PB⊥AD 侧面 PAD 为边长等于 2的正三角形，底面 ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面 ABCD 所成的二面角为 120°．
（I）求点 P 到平面 ABCD 的距离，
（II ）求面 APB 与面 CPB 所成二面角的大小．
4．在正三棱锥 P﹣ABC 中，底面正△ ABC 的中心为 O，D 是 PA 的中点， PO=AB=2 ，求 PB 与平面 BDC 所成角的正弦值．
5．如图，正三棱锥 O ﹣ABC 的三条侧棱 OA 、OB 、 OC 两两垂直，且长度均为 2．E 、F 分别是 AB 、AC 的中点， H 是 EF 的中点，过 EF 作平面与侧棱 OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于 A 1、B 1、C 1，已知 ． （ 1）求证： B 1C 1⊥平面 OAH ；
（ 2）求二面角 O ﹣A 1B 1﹣C 1 的大小．
6．如图，在三棱锥 A ﹣ BCD 中，侧面 ABD 、ACD 是全等的直角三角形， AD 是公共的斜边， 且AD= ，BD=CD=1 ， 另一个侧面是正三角形．
1）求证： AD ⊥BC ．
E ，使 ED 与面 BCD 成 30°角？若存在，确定
E 的位置；若不存在，说明理由． 2）求二面角 B ﹣AC ﹣D 的大
小．
7．如图，在四棱锥 P ﹣ ABCD 中， AD ∥ BC ，∠ ADC= ∠ PAB=90 °， BC=CD=
PA 与CD 所成的角为 90°．
（Ⅰ）在平面 PAB 内找一点 M ，使得直线 CM ∥平面 PBE ，并说明理由； （Ⅱ）若二面角 P ﹣CD ﹣A 的大小为 45°，求直线 PA 与平面 PCE 所成角的正弦值．
8．如图，在三棱台 ABC ﹣DEF 中，平面 BCFE ⊥平面 ABC ，∠ ACB=90 °，BE=EF=FC=1
， BC=2 ， AC=3 ． （ Ⅰ ）求证： BF ⊥平面 ACFD ；
（ Ⅱ ）求直线 BD 与平面 ACFD 所成角的余弦值．
9．如图，在以 A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，面 ABEF 为正方形， AF=2FD ，∠
AFD=90 °，且二面角 D ﹣AF ﹣E 与二面角 C ﹣BE ﹣ F 都是 60°．
（Ⅰ）证明平面 ABEF ⊥平面 EFDC ； （Ⅱ）求二面角 E ﹣ BC ﹣A 的余弦值．
AD ．E 为棱 AD 的中点，异面直线
10．如图，已知边长为 6的菱形 ABCD ，∠ ABC=120 °，AC 与BD 相交于 O ，将菱形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使 BD=3 ．
（1）若 M 是 BC 的中点，求证：在三棱锥 D ﹣ABC 中，直线 OM 与平面 ABD 平行；
（2）求二面角 A ﹣BD ﹣O 的余弦值；
（ 3）在三棱锥 D ﹣ ABC 中，设点 N 是 BD 上的一个动点，试确定 N 点的位置，使得 CN=4 ．
11．如图所示的多面体 ABCDE 中，已知 AB ∥DE ，AB ⊥AD ，△ACD 是正三角形， AD=DE=2AB=2 ，BC= ，F 是 CD 的中点．
（ 1）求证： AF ∥平面 BCE ；
（ 2）求直线 CE 与平面 ABED 所成角的余弦值；
（ 3）求多面体 ABCDE 的体积．
12．如图，已知矩形 ABCD 所在平面垂直于直角梯形 ABPE 所在平面于直线 AB ，且 AB=BP=2 ，
AD=AE=1 ，AE ⊥AB ，且 AE ∥BP ．
Ⅰ）设点 M 为棱 PD 中点，求证： EM ∥平面 ABCD ；
若不存在，请说明理由．
Ⅱ ）线段 PD 上是否存在一点 N ，使得直线 BN 与平面 PCD 所成角的正弦值等于 ？若存在，
试确定点 N 的位置；
13．如图，在三棱锥 P ﹣ABC 中，∠ PAB= ∠PAC=∠ ACB=90 °．
（ 1）求证：平面 PBC ⊥平面 PAC ；
（2）若 PA=1，AB=2 ， BC= ，在直线 AC 上是否存在一点 D ，使得直线 BD 与平面 PBC 所成角为 30°？若存在， 求出 CD 的长；若不存在，说明理由．
14．如图，在四棱锥 P ﹣ABCD 中，底面 ABCD 是平行四边形， ∠BCD=135 °，侧面 PAB ⊥底面 ABCD ，∠ BAP=90 °， AB=AC=PA=2 ， E ，F 分别为 BC ，AD 的中点，点 M 在线段 PD 上．
（ Ⅰ ）求证： EF ⊥平面 PAC ；
（ Ⅱ ）如果直线 ME 与平面 PBC 所成的角和直线 ME 与平面 ABCD 所成的角相等，求 的值．
Ⅰ）求证： CD ⊥AM ；
AM 与平面 BDM
所成角的正弦值．
15．如图，在多面体 ABCDM 平面 BCD ， AB ⊥平面 BCD ． 中，△ BCD 是等边三角形，△ CMD 是等腰直角三角形，∠ CMD=90 °，平面 CMD ⊥
Ⅱ ）若 AM=BC=2 ，求直
16．如图，矩形ABCD 所在的平面和平面ABEF 互相垂直，等腰梯形ABEF 中，AB ∥EF，AB=2 ，AD=AF=1 ，∠ BAF=60°，O，P分别为 AB，CB的中点， M为底面△ OBF的重心．
（Ⅰ）求证： PM ∥平面 AFC；
（Ⅱ ）求直线 AC 与平面 CEF 所成角的正弦值．
17．已知菱形 ABCD ，AB=2 ，∠BAD= ，半圆 O 所在平面垂直于平面 ABCD ，点 P 在半圆弧上．（不同于B ，C）．
（1）若 PA与平面 ABCD 所成角的正弦值为，求出点 P 的位置；
（2）是否存在点 P，使得 PC⊥ BD ，若存在，求出点 P 的位置，若不存在，说明理由．
18．如图，菱形 ABCD 中，∠ ABC=60 °，AC 与BD相交于点 O，AE ⊥平面 ABCD，CF∥AE，
AB=AE=2 ．（Ⅰ）求证： BD ⊥平面 ACFE ；
（Ⅱ）当直线 FO与平面 BED 所成角的大小为 45°时，求 CF 的长度．
19．如图，在四棱锥 P﹣ ABCD 中，等边△ PAD 所在的平面与正方形 ABCD 所在的平面
O为 AD 的中点，互相垂直， E 为 DC 的中点，且 AD=2 ．
（Ⅰ ）求证： PO⊥平面 ABCD ；
（Ⅱ）求二面角 P﹣EB﹣ A 的余弦值；
（Ⅲ）在线段 AB 上是否存在点 M，使线段 PM 与△PAD 所在平面成 30°角．若存在，求出 AM 的长，若不存在，请说明理由．
20．在斜三棱柱 ABC ﹣ A 1B 1C1中，底面 ABC 是正三角形， E 是 AB 中点， A 1E⊥平
面 ABC．（ I）证明： BC1∥平面 A1EC；
（II）若 A1A⊥A1B，且 AB=2 ．
① 求点 B 到平面 ACC 1A1 的距离；
② 求直线 CB1 与平面 ACC 1A 1 所成角的正弦值．
1）求证： DF ⊥平面 ABCD ；
2）若△ ABD 是边长为 2 的等边三角形，且 BF 与平面 ABCD 所成角的正切值为 1，求点 E 到平面 BDF 的距离．
22．如图，在三棱柱 ABC ﹣A 1B 1C 1中，G 为ABC 的重心，
（ 1）求证： GE ∥平面 AA 1B 1B ；
（2）若侧面 ABB 1A 1⊥底面 ABC ，∠ A 1AB= ∠BAC=60
°，AA 1=AB=AC=2 ，求直线 A 1B 与平面 B 1GE 所成角 正弦值．
21．如图，在多面体 EF ﹣ABCD 中， ABCD ， ABEF 均为直角梯
形，∠ 平面 DCEF ⊥平面 ABCD ．
ABE= ∠ABC= DCEF 为平行四边形，
θ的
BC 1．
23．如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中， PA⊥底面 ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是 PB的中点．（Ⅰ ）求证： AM ∥平面 PCD；
（Ⅱ ）求证：平面 ACM ⊥平面 PAB；。