第二章 导热基本定律和稳态导热(讲义)

式中，
（6）
数学上称为泊桑（Poisson）方程，是常物性、稳态、 三维且有内热源的温度场控制方程。 ④常物性、无内热源、稳态导热 ∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t + + =0 ∂x2 ∂y2 ∂z 2
(9)
λ a= 称为热扩散系数或导温系数。 ρc
②物体内无内热源、导热系数为常数
∂ 2 t ∂ 2t ∂ 2t ∂t = a 2 + 2 + 2 ∂τ ∂y ∂z ∂x
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传热学
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2-2 导热微分方程和定解条件
一、热传导方程
尽管根据傅里叶定律
按照从前的思路，从微元体入手可能是一条正确的道路
r q = −λ gradt
Φ z + dz
z
Φ y + dy Φ x + dx
我们知道了温度场中任意一点的热流密度与物体的热 导率和温度梯度的关系，但是如果不知道温度分布， 我们还是无法知道物体中的热量传递规律。 那么，什么方法能够帮助我们获得温度梯度的信 息呢？换言之，怎样才能知道温度场的信息呢？ 有没有确定温度分布的一般方法呢？
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∂t dxdydz ∂τ
∂t ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t = λ + λ + λ + Φv ∂τ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z
这是迪卡尔坐标中导热微分方程的一般形式，其中
Φ v , ρ , c, λ 均可以是变量。
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0.01 0.006 传热学 -150 -50
碳酸气
苯
0
200
13 600 1000 1500
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平均热导率
∫ λ =
=
t2
t1
λ0 (1 + bt )dt t2 − t1
Fra Baidu bibliotek
4）含水率 多孔材料很容易吸收水分。吸水后，由于热导率较大 的水代替了热导率较小的介质（如空气等），且在温度梯 度的推动下引起水分迁移，使多孔材料的表观热导率增 加。 如，矿渣棉含水10.7%时热导率增加25%，含水23.5%时热导 率增加500%。 例:露天保温管道和保温的设备外包保护层。
传热学
1
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传热学
2
金属部件内的等温线
80 70 60 50 40
3.温度梯度 温度在法线方向的变化率称为温度梯度
grad t = n lim
∆n → 0
∆t ∂t =n ∆n ∂n
n—是等温面法线方向上的单位矢量。温度梯度是等温面 法线方向上的温度变化率与法线方向上温度矢量的乘 积。温度变化率是标量；温度梯度是矢量，指向温度 增加的方向。
λ0 ( t2 − t1 )( t2 + t1 ) ( t2 − t1 ) + b 2 t2 − t1
则
t +t λ = λ0 1 + b 2 1 2
而热导率 λ = λ0 (1 + bt ) 比较后可知，平均热导率等于平均温度下的热导率。
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∂t Φ x = qx dydz = −λ dydz ∂x Φ y = q y dxdz = −λ ∂t dxdz ∂y ∂t dxdy ∂z
y
Φy
Φz x
Φ z = qz dxdy = −λ
传热学
}
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y
Φy
Φz
Φ x + dx = Φ x + d Φ x = Φ x +
Φ y + dy
∂Φ x ∂ ∂t dx = Φ x + (−λ dydz )dx ∂x ∂x ∂x ∂Φ y ∂ ∂t dy = Φ y + ( −λ dxdz ) dy = Φy + dΦy = Φ y + ∂y ∂y ∂y ∂Φ z ∂ ∂t dz = Φ z + (−λ dxdy )dz ∂z 传热学 ∂z ∂z
a b c
加。
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传热学
纤维直径为5μm的玻璃棉在20℃ 时的表观热导率 ℃时
纤维状
0.05
λ / [ W/m.K ]
保温保冷材料的分类
多孔状 有机 天 然 蛭 硅 酸 石 钙 无机 人 造 轻 质 耐 火 材 料 块 泡 沫 玻 璃 泡 沫 酚 醛 树 脂 块 、 板 、 筒 、 泡 沫 聚 氨 乙 烯 块 、 板 、 筒 、 有机 人 造 泡 沫 聚 苯 乙 烯 块 、 板 、 筒 、 泡 沫 聚 氯 乙 烯 块 、 板 、 筒 、 层 状 金属 人 造 它铝 金板 属或 箔其 分 无机 人 人 人 人 天 造 造 造 造 然 硅 矿 软 藻 渣 木 土 棉 塞 珍 珠 岩 毡 板 、 、 筒 粒 、 带 、 绳 粉 粒 、 块
（7）
对于圆柱坐标和球坐标的导热问题，采用类似的分 析方法也可以得到相应坐标系中的导热微分方程。
第二章
能量传递。
导热基本定律和稳态导热
温度场
导热是在温度差作用下依靠物质粒子的运动进行的
2-1 导热的基本定律和热导率（导热系数）
一、温度场和温度梯度 1. 温度场 某一瞬间物体内各点的温度分布称为温度场。 可表示为
{
非稳态温度场
稳态温度场
{ {
三维非稳态温度场 t = f ( x, y , z , τ ) 二维非稳态温度场 t = f ( x, y ,τ ) 一维非稳态温度场 t = f ( x, τ )
Φ z + dz
单位时间内导入导出微元体内能的增量 通过 x 、 y、z 三个微元表面导入微元体的热流量，可根据 傅里叶定律写出
Φ z + dz z Φx Φ y + dy Φ x + dx
通过三个表面
z Φx
Φ y + dy Φ x + dx
x + dx, y + dy , z + dz
导出微元体的热流量也可按 傅立叶定律写出
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Φ z + dz = Φ z + d Φ z = Φ z +
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}
x
(2)
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∂t dydz ∂x ∂t Φ y = −λ dxdz ∂y ∂t Φ z = −λ dxdy ∂z Φ x = −λ
∂ ∂t (−λ dydz )dx ∂x ∂x ∂ ∂t Φ y +dy = Φ y + (−λ dxdz) dy ∂y ∂y ∂ ∂t Φ z + dz = Φ z + (− λ dxdy )dz ∂z ∂z Φ x +dx = Φ x +
y
Φz x
O
y
O
Φ
y
Φz x
传入系统的总能量 系统内热源生成热
储存能变化
从系统传出的总能量
或写成 微元体内能的增量 = 导入导出系统的净能量＋微元体内热源的生成热
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单位时间微元体内热源的生成热＝ Φ v dxdydz
(3)
单位时间内微元体内能的增量 ∂u ∂t ∂t ∂t ∆U = ∆m = ∆mc = ρ cdV = ρ c dxdydz （4） ∂τ ∂τ 传热学 ∂τ ∂τ 2007-10-7 20
t + ∆t
状态 (气态、液态和固态) t
t − ∆t
物质在三种相态中其热导率的大小是： 气态时热导率最小，液态次之，固态时最大。 如：2.22W/(m.K)、0.55W/(m.K)、0.0183W/(m.K)。
q
q = −λ gradt
q=
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等温线 热流
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三相点下的冰、水和水蒸气的热导率。
λ —热导率， W/(m.K)。
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1
温度梯度与热流密度矢量
gradt t + ∆t
等温线与热流
三、热导率（导热系数） 热导率是材料固有的热物理性质，表示物质导热能力的大小。
1.影响热导率的因素 1）状态、成分、结构
dA t
t − ∆t
n dA q
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粉 粒 、 块
板 、 筒 、
块 、 板 、 筒 、
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薄由 板铝 制板 成或 的其 夹它 层金 属 12
2
3)温度 温度对热导率的影响 如右图。 工程上为方便使用， 习惯将一定温度范围 内的热导率与温度的 的关系近似回归成直 线表示
λ = λ0 (1 + bt )
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整理能量平衡关系式得
−∆Φ x − ∆Φ y − ∆Φ z + ∆ΦV = ∆U ∂ ∂t ∂ ∂t ∂ ∂t λ dydzdx + λ dxdzdy + λ dxdydz ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂x +Φ v dxdydz = ρ c
l保温材料—（GB4272GB4272-92）凡平均温度不高于350℃
时热导率不大于0.12W/(m.K）的材料称为保温材料。
l保温材料热导率小的原因是：骨架间的空隙和孔腔内
含有热导率较小的介质；这些介质在保温材料中流动或 不流动。
l一般来说，表观密度越小，这些材料所含低热导率介
质越多，材料的热导率越小。但密度太小，孔隙尺寸变 大，对流传热和辐射传热的作用增强，热导率反而增
400 200 100 60 20 10 6.0 2.0 1.0 0.6
水 锌 低 碳钢 合 金钢 高 碳合金 钢 钠
铜 铝
λ与 t 的关系
锌
λ
钾 铅
镁砖 冰 硅砖
λ = λ0 (1 + bt ) λ = f (t ) λ (0)
硅藻土
0.2 0.1 0.06 0.02
甲烷
空气
λ0 t1
t2
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t
三维稳态温度场 t = f ( x, y , z ) 二维稳态温度场 t = f ( x, y ) 一维稳态温度场 t = f ( x )
2.等温线、等温面 温度场中同一瞬间同温度各点连成的面称为等温面。 在任何一个二维的截面上等温面表现为等温线。
t = f ( x , y , z ,τ )
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0.04
d
类
a—固体中的导热；
0.03 c 0.02
b—辐射传热； c—气相传热； d—表观热导率。
0.01 b a 0
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30
60
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90 3 ρ / kg/m
石 陶 玻 材 棉 瓷 璃 纤 纤 料 维 维 及 制 品 板 毡 毡 形 、 、 、 状 筒 筒 筒 、 、 、 带 带 带 、 、 、 绳 绳 绳
30 20 10 0
grad t =
0 10 20 30 40 50 60 70 80
∂t ∂t ∂t i + j+ k ∂x ∂y ∂z
式中，i、 j 和 k分别是 x 、 y 和 z 轴方向的单位矢量。
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4.热流量 单位时间内，经由面积A的传递热量称为传热量，用 表示，单位 W。 5.热流密度 单位面积的热流量称为热流密度，单位 W/m2。
成分 金属的热导率大于非金属，纯金属的热导率大于其合金。
dΦ dA
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结构 同一种物质，晶体时的热导率大于非晶体时的热导率。
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2）多孔材料的密度 多孔材料的热传递的机理是：骨架和骨架空隙内的介 质的导热、对流和辐射共同作用，其热导率称为表观 热导率，习惯上也称为热导率。 多孔材料表观密度的不同关系到孔隙内部流体的传热 机理和骨架间的传热机理，从而会影响表观热导率。
ρc
∂ ∂t ∆Φ x = Φ x +dx − Φ x = − (λ )dydzdx ∂x ∂x ∂ ∂t ∆Φ y = Φ y + dy − Φ y = − (λ ) dxdzdy ∂y ∂y ∂ ∂t ∆Φ z = Φ z + dz − Φ z = − (λ )dxdydz ∂z ∂z
O
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Φx
y
Φy
Φz x
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3
Φ z + dz
Φ
对于微元体，按能 量守恒定律，在单 位时间内有以下热 平衡关系式
y + dy
z
∆U = ∆Φ cd + ∆ΦV
Φ z + dz z Φx Φ y + dy Φ x + dx
Φx
Φ x + dx
y
Φ
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①导热系数为常数 可简化成
③常物性、稳态导热
∂ 2t ∂ 2 t ∂ 2 t Φv + + + =0 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 λ
(8)
∂ 2t ∂ 2t ∂ 2t Φ ∂t = a 2 + 2 + 2 + v ∂τ ∂x ∂y ∂z ρ c
二、傅里叶定律
Φ
单位时间内通过单位截面积所传递的热量，正比于 当地垂直于截面方向上的温度变化率，方向指向温度降 低的方向，即
q = − λ gradt = − λ q = qx i + q y j + qz k
∂t n ∂n
gradt —空间某点的温度梯度； n —通过该点的等温线上法向单位矢量；
q —该处的热量密度矢量。