北师大版线段的垂直平分线 PPT (2)

∴P点在线段AB的垂直平分线上．
线段垂直平分线的判定：
定理：到线段两个端点的距离相等的点在 这条线段的垂直平分线上．
想一想，做一做
已知：如图 1-18，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC．
证明：延长AO交BC于点D， 在△ABO和△ACO中， AB＝AC ，AO＝AO ，OB＝OC ， ∴△ABO≌△ACO（SSS）， ∴∠BAO=∠CAO， ∵AB=AC， ∴AO⊥BC．BD=CD. 即直线 AO 垂直平分线段BC．
∴P点在AB的垂直平分线上．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P
A
C
B
证法三：过P点作∠APB的角平分线交AB于点C．
∵AP=BP，∠APC=∠BPC，PC=PC，
∴△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC=BC，∠PCA=∠PCB
又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90°
课堂小结, 畅谈收获：
一、线段垂直平分线的性质定理． 二、线段垂直平分线的判定定理． 三、用尺规作线段的垂直平分线．
线段的垂直平分线(2)
用心想一想，马到功成
习题1．7的第1题：利用尺规作三角形三条边的垂 直平分线，当作完此题时你发现了什么?
发现：三角形三边的垂直平 分线交于一点．这一点到三角形 三个顶点的距离相等．
议一议
(2)已知等腰三角形的底边，你能用尺规作出等腰三角形 吗?如果能，能作几个?所作出的三角形都全等吗?
这样的等腰三角形也有无数多个．根 据线段垂直平分线上的点到线段两个端 点的距离相等，只要作底边的垂直平分 线，取它上面除底边的中点外的任意一 点，和底边的两个端点相连接，都可以 得到一个等腰三角形．
线段的垂直平分线(1)
用心想一想，马到功成
如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建 造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什 么位置?
A
B
线段垂直平分线的性质：
定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端 点的距离相等．
已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，
P是MN上的点．
这节课有何收获？
议一议
(1)已知三角形的一条边及这条边上的高，你能作出三角 形吗?如果能，能作几个?所作出的三形都全等吗?
已知：三角形的一条边a和这边上的高h
求作：△ABC，使BC=a，BC边上的高为h
A
A
A
h
B
a D
CB
h a C(D) B
h
a
D
C
A1
A1
A1
这样的三角形有无数多个．观察还可以发现这些三角形不都全等．
当我们写出逆命题时，就想到判断它的真假．如 果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P
A
C
B
证明：过点P作已知线段AB的垂线PC，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL)．
∴AC=BC， 即P点在AB的垂直平分线上．
如图所示，这些三角形不都全等．
议一议
(3)已知等腰三角形的底边及底边上的高，你能用尺规作 出等腰三角形吗?能作几个?
这样的等腰三角形应该只有两 个，并且它们是全等的，分别位于 已知底边的两侧．
你能尝试着用尺规作出这个三 角形吗?
已知底边及底边上的高，求作等腰三角形．
已知：线段a、h
求作：△ABC，使AB=AC，BC=a，高 AD=h
已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．
求证：P点在AB的垂直平分线上．
P
证法二：取AB的中点C，过P,C作直线． A
C
B
∵AP=BP，PC=PC.AC=CB，
∴△APC≌△BPC(SSS)．
∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等)．
又∵∠PCA+∠PCB=180°，
∴∠PCA=∠PCB=∠90°，即PC⊥AB
M
求证：PA=PB．
P
证明：∵MN⊥AB，
∴∠PCA=∠PCB=90°
∵AC=BC，PC=PC,
A
∴△PCA≌△PCB(SAS) ；
C
B
N
∴PA=PB(全等三角形的对应边相等)．
用心想一想，马到功成
你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗?
如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这 个点在这条线段的垂直平分线上．即到线段两个端点的 距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
A
∵点P在线段AB的垂直平分线上，
∴OA=OB(线段垂直平分线上的点到线段两
O
个端点的距离相等)．
同理OB=OC．∴OA=OC．
B
C
∴O点在AC的垂直平分线上(到线段两个端 点距离相等的点.在这条线段的垂直平分线上)．
∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点O
三角形三边的垂直平分线的性质定理
定理：三角形三边的垂直平分线相 交于一点，并且这一点到三个顶点的距 离相等。
剪一个三角形纸片，通过折叠找出每条边的 垂直平分线，观察这三条垂直平分线，你是否发 现同样的结论?与同伴交流．
MA
E
P B
Q O
C NF
用心想一想，马到功成
证明结论：三角形三边的垂直平分线交于一点. 已知：在△ABC中，设AB、BC的垂直平分线交于点O.
求证：O点在AC的垂直平分线上．
证明：连接AO，BO，CO．
作法：1．作BC=a；
2．作线段BC的垂直平分线MN交BC 于D点；
3．以D为圆心，h长为半径作弧交
MN于A点；
4．连接AB、AC
B
∴△ABC就是所求作的三角形
a h AM
DC N
课内拓展延伸
求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段．
已知：线段a． 求作：等腰直角三角形ABC使BC=a．
作法：1．作线段BC=a 2．作线段BC的垂直平分线L，交BC于点D． 3．在L上作线段DA，使DA=DB． 4．连接AB，AC． ∴△ABC为所求的等腰直角三角形．