正余弦定理中等题讲义

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正余弦定理 - 解析版

sin B sin C c sin C sin 2B 2cos B
5
25
★★★练习 2. 在锐角 ABC 中， A = 2B ， B, C 所对的边分别为 b, c ，则 b 的取值范围是
．
b+c
答案： (1 , 1) 32
解析：分子分母齐次式直接由正弦定理进行边化角，然后利用倍角公式化简
b
b +
c
=
sin
sin B B + sin C
=
sin
B
sin B + sin(A +
B)
=
sin
B
+ sin
sin B Acos B
+
cos
A sin
B
=
1+
1 2 cos2 B
+
cos
A
=
1 4 cos2
B
下面求
B
的范围，因为 ABC
是锐角三角形，所以
A
=
A
+
2B 2
B = 3B
2
，解得 6
B
4
，代入上式可得
b 的取值范围是 (1 , 1) 。
b+c
32
★☆☆例题 4. 在 ABC 中， sin A = sin B ，则 ABC 的形状是（）
A. 直角三角形
B. 等腰三角形
C. 等边三角形
D. 锐角三角形
答案：B
解析：由 sin A = sin B 得， A = B ，三角形为等腰三角形。
sin B sin A
2
2
★★☆练习 1. ABC 中，角 A, B,C 的对边分别为 a,b, c ，已知 a = 3, cos A = 6 , B = A + 。

正弦定理、余弦定理讲义

此为三角函数最为基础的知识，在以后的多学科学习中都能用到，需要学生熟练掌握，并灵活运用。

解三角形【考点及要求】 1. 掌握正弦定理、余弦定理； 2. 并能初步应用正弦定理、余弦定理解决三角形中的有关问题．【基础知识】在C B A c b a ABC ∠∠∠∆、、分别是、、中，所对的边，ABC R ∆为的外接圆半径,则有，1.正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin =∠=∠=∠； 2.余弦定理：bca cb A 2cos 222-+=A bc c b a cos 2222-+=⇔ ac b c aB 2cos 222-+=B ac c a b cos 2222-+=⇔ abc b a C 2cos 222-+=C ab b a c cos 2222-+=⇔ 3.常用公式：（1）π=++C B A ；（2）B ac A bc C ab S sin 21cos 21sin 21===知识点一：解直角三角形【典型例题讲练】例1 在ΔABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A,C 及边c ．【变式训练】 1.在△ABC 中，已知a=3,b=2,B=45°,求A 、C 和c.知识点二：正、余弦定理的运用【典例精析】例1、（2010辽宁文数）在ABC ∆中，a b c 、、分别为内角A B C 、、的对边，且2sin (2)sin (2)sin a A b c B c b C =+++. （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若sin sin 1B C +=，试判断ABC ∆的形状.例2、（2010重庆文数）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c,且32b +32c -32a =42bc . (Ⅰ) 求sinA 的值；(Ⅱ)求2sin()sin()441cos 2A B C Aππ+++-的值.例3、在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且CB cos cos =-ca b +2.（1）求角B 的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC 的面积.例4、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=7，且4sin22BA+-cos2C=27.(1)求角C的大小；(2)求△ABC的面积.【变式训练】1.（2010天津文数）在∆ABC中，coscosAC B AB C=。

高三正余弦定理、解三角形综合讲义

正余弦定理、解三角形综合讲义一、考试要求：了解利用向量知识推导正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题二、知识梳理：考点1 正弦定理1．正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形为：(1)a ∶b ∶c ＝(2)a ＝，b ＝，c ＝(3)sin A ＝，sin B ＝，sin C ＝考点2 余弦定理在ABC ∆中a 2＝，b 2＝，c 2＝．余弦定理可以变形为：cos A ＝， cos B ＝， cos C ＝ . 考点3 内角和定理面积公式: ．S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B在ABC ∆中，A B C ++=π；sin()A B +=sin C ；cos()A B +=cos C - 在三角形中大边对大角，反之亦然.1．(广州调研)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，b ＝3，则sin A sin A ＋C＝( ) A.23 B.32 C ．－23 D ．－322．在△ABC 中，已知BC ＝8，AC ＝5，三角形面积为12，则cos2C ＝( )A ．－725 B.725 C ．－2425 D.24253．(全国)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a cos A ＝b sin B ，则sin A cos A ＋cos 2B ＝( )A ．－12 B.12C ．－1D ．1 4．在△ABC 中，如果lg a －lg c ＝lgsin B ＝－lg 2，并且B 为锐角，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝5，CA ＝7，则AB →〃BC →＝( )A ．－152 B.152 C ．－15 32 D.15 326．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边，若a ＝1，b ＝3，A ＋C ＝2B ，则sin C ＝________.7．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角的所对的边，若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为______．8．在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b a ＋a b＝6cos C ，则tan C tan A ＋tan C tan B＝________.1．(广州海珠调研)已知A ，B ，C 是△ABC 的内角，A ＝π3.a ，b ，c 分别是其对边长，向量m ＝(cos B ，sin B )，n ＝(cos C ，－sin C )．(1)求m 〃n 的大小；(2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长．2．(2011年广东深圳调研)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，sin α2与向量b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，2cos α2垂直，其中α为第二象限角．(1)求tan α的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 所对的边，若b 2＋c 2－a 2＝2bc ，求tan(α＋A )的值．3．(2011年全国)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .己知a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B .(1)求B ；(2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c .4．(2011年山东)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －a b. (1)求sin C sin A的值； (2)若cos B ＝14，△ABC 的周长为5，求b 的长．5．(惠州调研)已知A ，B ，C 为△ABC 的三内角，且其对边分别为a ，b ，c ，若m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－cos A 2，sin A 2，n ＝⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2，sin A 2，且m 〃n ＝12. (1)求角A 的值；(2)若a ＝2 3，b ＋c ＝4，求ABC 的面积．高考尝试1．(湖南)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足c sin A ＝a cos C .(1)求角C 的大小；(2)求3sin A －cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π4的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小．2. ABC ∆的内角C B A ，，所对的边分别为c b a ，，. （I ）若c b a ，，成等差数列，证明：()C A C A +=+sin 2sin sin ；（II ）若c b a ，，成等比数列，求B cos 的最小值.3.在ABC ∆中，3,2,600===∠BC AC A ，则AB 等于___________。

6.4.3第1课时余弦定理讲义

6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理(教师独具内容)课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理．教学重点：用向量的方法推导余弦定理，用余弦定理求解三角形的边、角．教学难点：余弦定理在解三角形中的应用．核心素养：1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养.1．对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立． (2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 2．判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式． ②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式． (2)判定三角形形状时经常用到下列结论：①在△ABC 中，若a 2b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．( )(2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( )(3)已知△ABC中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．( )2．做一做(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a＝1，b＝7，c ＝3，则B＝____.(2)已知△ABC的三边分别为2,3,4，则此三角形是____三角形．(3)在△ABC中，若a2＋b2－c2＝ab，则角C的大小为____.(4)在△ABC中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则AC等于____.题型一已知两边及一角解三角形例1 在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．[跟踪训练1] (1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )A．8 B．217C．6 2 D．219(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.题型二已知三边(三边关系)解三角形例2 (1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )A.π3B．π6C．π4D．π12(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．题型三判断三角形的形状例3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状．[跟踪训练3] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A.14B．34C．24D．232．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B等于( )A．1 B． 2C．2 D．43．在△ABC中，若a＝3＋1，b＝3－1，c＝10，则△ABC的最大角的度数为____.4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝2，c＝1＋3，且a2＝b2＋c2－2bc sin A，则边a＝____.5．在△ABC中，b＝a sin C，c＝a cos B，试判断△ABC的形状．一、选择题1．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( )A．2 5 B． 5C．25或 5 D．以上都不对2．在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2，则角C为( )A.π4B．3π4C．π3D．2π34．(多选)钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的值可能为( )A．1 B．3 2C．2 D．35．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为( )A．150° B．120°C．60° D．75°二、填空题6．若|AB→|＝2，|AC→|＝3，AB→·AC→＝－3，则△ABC的周长为____.7．在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB＝3，BC＝2，AC＝7，则sin∠ABD ＝____.8.如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝33，BD＝5，sin∠ABC＝235，则CD的长度等于____.三、解答题9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－34 ac.(1)求cos B的值；(2)若b＝13，且a＋c＝2b，求ac的值．1．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－1 2 .(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2－(b－c)2＝(2－3)bc，sin A sin B＝cos2C2，BC边上的中线AM的长为7.(1)求角A和角B的大小；(2)求△ABC的周长．6.4.3 余弦定理、正弦定理第1课时余弦定理(教师独具内容)课程标准：借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理．教学重点：用向量的方法推导余弦定理，用余弦定理求解三角形的边、角．教学难点：余弦定理在解三角形中的应用．核心素养：1.通过余弦定理的推导过程培养逻辑推理素养.2.通过余弦定理的应用培养数学运算素养.1．对余弦定理的理解(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)结构特征：“平方”“夹角”“余弦”．(3)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系式，它描述了任意三角形中边与角的一种数量关系．(4)主要功能：余弦定理的主要功能是实现三角形中边角关系的互化． 2．判定三角形的形状(1)有关三角形边角关系解三角形问题，就是从“统一”入手，体现转化思想．判断三角形的形状有两条思路：①化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系式． ②化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系式． (2)判定三角形形状时经常用到下列结论：①在△ABC 中，若a 2b 2＋c 2，则90°<A <180°；反之，若90°<A <180°，则a 2>b 2＋c 2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理只适用于已知三边和已知两边及其夹角的情况．( ) (2)勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．( ) (3)已知△ABC 中的三边，可结合余弦定理判断三角形的形状．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ 2．做一做(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，b ＝7，c ＝3，则B ＝____.(2)已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是____三角形． (3)在△ABC 中，若a 2＋b 2－c 2＝ab ，则角C 的大小为____. (4)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，B ＝60°，则AC 等于____. 答案 (1)5π6 (2)钝角 (3)π3(4)13题型一已知两边及一角解三角形例1 在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．[解]由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，∴b＝22，又cos A＝b2＋c2－a22bc＝8＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.已知两边及一角解三角形的两种情况(1)已知两边和两边夹角，直接应用余弦定理求出第三边，然后根据边角关系应用余弦定理求解其他角．(2)三角形中已知两边和一边的对角，解法如下：利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用解方程的方法求出第三边的长．[跟踪训练1] (1)在△ABC中，已知a＝4，b＝6，C＝120°，则边c的值是( )A．8 B．217C．6 2 D．219(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，C和边a.答案(1)D (2)见解析解析(1)根据余弦定理，c2＝a2＋b2－2ab cos C＝16＋36－2×4×6×cos120°＝76，∴c＝219.(2)由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∴32＝a2＋(33)2－2a×33×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，解得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.当a＝6时，由余弦定理，得cos A＝b2＋c2－a22bc＝9＋27－362×3×33＝0.∴A＝90°，∴C＝60°.题型二已知三边(三边关系)解三角形例2 (1)在△ABC中，若a＝7，b＝43，c＝13，则△ABC的最小角为( )A.π3B．π6C．π4D．π12(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求此三角形的最大边长．[解析](1)因为c<b<a，所以最小角为角C.所以cos C＝a2＋b2－c22ab＝49＋48－13 2×7×43＝32，所以C＝π6，故选B.(2)已知a－b＝4，则a>b，且a＝b＋4，又a＋c＝2b，则b＋4＋c＝2b，所以b＝c＋4，则b>c，从而a>b>c，所以a为最大边，A＝120°，b＝a－4，c＝a －8.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝(a－4)2＋(a－8)2＋(a－4)(a－8)，即a2－18a＋56＝0，解得a＝4或a＝14.又b＝a－4>0，所以a＝14.即此三角形的最大边长为14.[答案](1)B (2)见解析[条件探究] 若本例(1)中条件不变，如何求最大角的余弦值呢？解因为c<b<a，所以最大角为角A，所以由余弦定理可得cos A＝b2＋c2－a22bc＝432＋132－72 2×43×13＝48＋13－49839＝3926.故△ABC 的最大角的余弦值为3926.已知三边求解三角形的方法(1)已知三角形的三边求角时，可先利用余弦定理求解出各角的大小． (2)若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k ，从而转化为已知三边求解．在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角．[跟踪训练2] (1)在△ABC 中，(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，则此三角形的最大内角为____.(2)在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．答案 (1)120° (2)见解析解析 (1)由(b ＋c )∶(c ＋a )∶(a ＋b )＝4∶5∶6，得a ∶b ∶c ＝7∶5∶3，∴边a 最大．又cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－12，∴A ＝120°.(2)解法一：由余弦定理的推论，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22×AB ×AC ＝92＋82－722×9×8＝23，设中线长为x ，由余弦定理知，x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AC 22＋AB 2－2×AC 2×AB cos A ＝42＋92－2×4×9×23＝49，则x ＝7.∴所求中线长为7.解法二：在△ABC 中，设AC 边上的中线长为x ，如图，以AB ，BC 为邻边作▱ABCD .由余弦定理可得，在△ABC 中，有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ×BC ×cos∠ABC ，① 在△ABD 中，有BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ×AD ×cos∠BAD ，② ①＋②可得(2x )2＋AC 2＝2(AB 2＋BC 2)，即(2x )2＋82＝2×(92＋72)，∴x ＝7， ∴所求中线长为7.题型三判断三角形的形状例3 在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos A sin B＝sin C，试确定△ABC的形状．[解]由2cos A sin B＝sin C，得2cos A sin B＝sin A cos B＋cos A sin B，∴sin(A－B)＝0，又A与B均为△ABC的内角，∴A＝B.由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得(a＋b)2－c2＝3ab，∴a2＋b2－c2＝ab，∴由余弦定理，得cos C＝12，C＝60°，∴△ABC为等边三角形．利用余弦定理判断三角形形状的方法及注意事项(1)利用余弦定理(有时还要结合三角恒等变换等知识)把已知条件转化为边的关系，通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)统一成边的关系后，注意等式两边不要轻易约分，否则可能会出现漏解．[跟踪训练3] 在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．解由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2ac cos B，∵B＝60°，b＝a＋c2，∴⎝⎛⎭⎪⎫a＋c22＝a2＋c2－2ac cos60°.∴(a－c)2＝0，a＝c，又B＝60°，∴△ABC为等边三角形．1．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cos B等于( )A.14B．34C．24D．23答案 B解析∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝2a，∴cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a2 2a·2a ＝3 4.2．在△ABC中，已知a＝2，则b cos C＋c cos B等于( ) A．1 B． 2C．2 D．4答案 C解析b cos C＋c cos B＝b·a2＋b2－c22ab＋c·c2＋a2－b22ac＝2a22a＝a＝2.3．在△ABC中，若a＝3＋1，b＝3－1，c＝10，则△ABC的最大角的度数为____.答案120°解析由c>a>b，知角C为最大角，则cos C＝a2＋b2－c22ab＝－12，∴C＝120°，即此三角形的最大角为120°.4．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b＝2，c＝1＋3，且a2＝b2＋c2－2bc sin A，则边a＝____.答案 2解析由已知及余弦定理，得sin A＝b2＋c2－a22bc＝cos A，∴A＝45°，∴a2＝b2＋c2－2bc cos45°＝4，a＝2.5．在△ABC中，b＝a sin C，c＝a cos B，试判断△ABC的形状．解由余弦定理知cos B＝a2＋c2－b22ac，代入c＝a cos B，得c＝a·a2＋c2－b22ac，∴c2＋b2＝a2，∴△ABC是以A为直角的直角三角形．又b＝a sin C，∴b＝a·ca，∴b＝c，∴△ABC也是等腰三角形．综上所述，△ABC是等腰直角三角形．一、选择题1．在△ABC中，已知a＝5，b＝15，A＝30°，则c等于( ) A．2 5 B． 5C．25或 5 D．以上都不对答案 C解析∵a2＝b2＋c2－2bc cos A，∴5＝15＋c2－215×c×32.化简，得c2－35c＋10＝0，即(c－25)(c－5)＝0，∴c＝25或c＝ 5.2．在△ABC中，sin2A2＝c－b2c(a，b，c分别为角A，B，C的对应边)，则△ABC的形状为( )A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形答案 B解析∵sin2A2＝1－cos A2＝c－b2c，∴cos A＝bc＝b2＋c2－a22bc⇒a2＋b2＝c2，符合勾股定理．故△ABC为直角三角形．3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2，则角C为( )A.π4B．3π4C．π3D．2π3答案 B解析∵a2＋b2＋2ab＝c2，∴a2＋b2－c2＝－2ab，cos C＝a2＋b2－c22ab＝－2ab 2ab ＝－22，∵C∈(0，π)，∴C＝3π4.4．(多选)钝角三角形的三边分别为a，a＋1，a＋2，其最大角不超过120°，则a的值可能为( )A．1 B．3 2C．2 D．3答案BC解析设钝角三角形的最大角为α，则依题意90°<α≤120°，于是由余弦定理得cosα＝a2＋a＋12－a＋222a a＋1＝a－32a，所以－12≤a－32a<0，解得32≤a<3.故选BC.5．已知△ABC的三边长分别是x2＋x＋1，x2－1和2x＋1(x>1)，则△ABC的最大角为( )A．150° B．120°C．60° D．75°答案 B解析令x＝2，得x2＋x＋1＝7，x2－1＝3,2x＋1＝5，∴最大边x2＋x＋1应对最大角，设最大角为α，∴cosα＝x2－12＋2x＋12－x2＋x＋12 2x2－12x＋1＝－12，∴最大角为120°.二、填空题6．若|AB→|＝2，|AC→|＝3，AB→·AC→＝－3，则△ABC的周长为____. 答案5＋19解析由AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A 及条件，可得cos A ＝－12，∴A ＝120°，再由余弦定理求得BC 2＝19，∴周长为5＋19.7．在△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，AB ＝3，BC ＝2，AC ＝7，则sin ∠ABD ＝____.答案12解析因为BD 为∠ABC 的平分线，所以∠ABD ＝12∠ABC .由余弦定理，得cos∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22×AB ×BC ＝32＋22－722×3×2＝12.又cos ∠ABC ＝1－2sin 2∠ABD ＝12，所以sin ∠ABD ＝12.8.如图，在△ABC 中，点D 在AC 上，AB ⊥BD ，BC ＝33，BD ＝5，sin ∠ABC ＝235，则CD 的长度等于____.答案 4解析由题意，知sin ∠ABC ＝235＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋∠CBD ＝cos ∠CBD ，由余弦定理可得CD 2＝BC 2＋BD 2－2BC ·BD ·cos∠CBD ＝27＋25－2×33×5×235＝16.∴CD ＝4.三、解答题9．在△ABC 中，A ＋C ＝2B ，a ＋c ＝8，ac ＝15，求b . 解在△ABC 中，因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝180°，所以B ＝60°.由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac cos B ＝82－2×15－2×15×12＝19.所以b＝19.10．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a－c)2＝b2－34 ac.(1)求cos B的值；(2)若b＝13，且a＋c＝2b，求ac的值．解(1)由(a－c)2＝b2－34 ac，可得a2＋c2－b2＝54 ac.所以a2＋c2－b22ac＝58，即cos B＝58.(2)因为b＝13，cos B＝5 8，由余弦定理，得b2＝13＝a2＋c2－54ac＝(a＋c)2－134ac，又a＋c＝2b＝213，所以13＝52－134ac，解得ac＝12.1．在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cos B＝－1 2 .(1)求b，c的值；(2)求sin(B＋C)的值．解(1)由已知及余弦定理，得cos B＝c2＋a2－b22ca＝9＋c＋b c－b6c＝9－2c＋b6c＝－12，即9－2b＋c＝0，又b－c＝2，所以b＝7，c＝5.(2)由(1)及余弦定理，cos C＝a2＋b2－c22ab＝32＋72－522×3×7＝1114，又sin2C＋cos2C＝1,0＜C＜π，所以sin C＝5314，同理sin B＝32，所以sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋sin C cos B ＝32×1114＋5314×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3314. 2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，sin A sin B ＝cos 2C2，BC 边上的中线AM 的长为7.(1)求角A 和角B 的大小； (2)求△ABC 的周长．解 (1)由a 2－(b －c )2＝(2－3)bc ，得a 2－b 2－c 2＝－3bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝32.又0<A <π，所以A ＝π6.由sin A sin B ＝cos 2C2，得12sin B ＝1＋cos C2，即sin B ＝1＋cos C ，则cos C ＜0，即C 为钝角．所以B 为锐角，且B ＋C ＝5π6，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－C ＝1＋cos C ，化简得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π3＝－1，解得C ＝2π3，所以B ＝π6.(2)由(1)知，a ＝b ，在△ACM 中，由余弦定理得AM 2＝b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－2b ·a 2·cos C＝b 2＋b 24＋b 22＝(7)2，解得b ＝2，所以a ＝2.在△ABC 中，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋22－2×2×2×cos 2π3＝12，所以c ＝2 3.所以△ABC 的周长为4＋2 3.。

第二讲余弦定理经典讲义

第二讲余弦定理一、自主梳理1．余弦定理(1)语言叙述：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦求积的两倍．(2)公式表达：(3)推论：证明：2．余弦定理及其推论的应用：可以解决两类解三角形问题：一是已知三边求三角，用余弦定理，有解时只有一解；二是已知两边和它们的夹角，求第三边和其他的角，用余弦定理，必有一解．3.正弦定理及其推论的应用：可以解决两类解三角形问题：一是：二是：4、利用余弦定理判定三角形的形状∆AB的角A、B、C的对边，则：设a、b、c是C①若222C= ；+=，则90a b c②若222C< ；+>，则90a b c③若222C> ．+<，则90a b c5、余弦定理与面积公式6、何时用余弦定理二、预习检测1．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c 的值是( ) A ．8 B ．217 C ．6 2 D ．219 2．在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝3，C ＝120°，则sin A 的值为( )A.5719 B.217C.338 D ．－57193．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为__________．4．在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．三、题型精讲题型一已知两边与一角解三角形1.(2012·陕西卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π6，c ＝23，则b ＝________.2、在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝33，B ＝30°，求角A ，角C 和边a .3、(2012·重庆卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则sin B ＝________.4．(2012·湖南卷)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332 C.3＋62 D.3＋3945、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c .6．(2013·吉林省长春三校高三年级调研测试)△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，且AB →·AC →＝AC →2，则BC ＝________.题型二已知三边解三角形1、在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，c ＝3＋3，解此三角形．2、在△ABC 中，已知BC ＝7，AC ＝8，AB ＝9，试求AC 边上的中线长．3、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若b 2＝ac ，且a 2－c 2＝ac －bc ，则角A 的大小为________．4、(2012·湖南卷)在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A.32B.332C.3＋62D.3＋394练习：1．在△ABC 中，a ＝1，b ＝3，c ＝2，则角B 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2．在△ABC 中，c 2－a 2－b 2＝3ab ，则角C 为( ) A ．60° B ．45°或135° C ．150° D ．30°3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A.π3 B.π6 C.π4 D.π124．边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是( ) A ．90° B ．120° C ．135° D ．150°5．(2013·保定市第一学期高三期末调研考试)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C ＝3，则a 2＋b 2＋c 2＝( ) A.32 B ．3 C ．6 D ．96．(2013·课标全国Ⅰ)已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b ＝( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．57．在△ABC 中，三边长AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，则AB →·BC →等于( ) A ．19 B ．－14 C ．－18 D ．－19题型三判断三角形形状1.在△ABC 中，已知(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，试确定△ABC 的形状．2、(2012·上海卷)在△ABC 中，若sin 2A ＋sin 2B <sin 2C ，则△ABC 的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定3、(2013·陕西五校高三第三次模拟)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶11∶13，则△ABC ( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形4．(2013·湛江市普通高考测试题(二))若三条线段的长分别为3、5、7，则用这三条线段( )A ．能组成直角三角形B ．能组成锐角三角形C ．能组成钝角三角形D ．不能组成三角形5．(2013·乐山一中阶段考试)在△ABC 中，若a 2b 2＝a 2＋c 2－b2b 2＋c 2－a2，则△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6．在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则此三角形一定是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．钝角三角形7．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a ＝2b cos C ，试判断△ABC 的形状．8、在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．题型四取值范围1. 设2a＋1，a,2a－1为钝角三角形的三边，求实数a的取值范围．2、在钝角三角形ABC中，a＝1，b＝2，c＝t，且C是最大角，则t的取值范围是________．3、已知锐角三角形的边长分别为1,3，x，则x的取值范围是多少？4．在不等边三角形中，a是最大的边，若a2<b2＋c2，则角A的取值范围是________．四、课后练习1．在△ABC 中，符合余弦定理的是( ) A ．c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C B ．c 2＝a 2－b 2－2bc cos A C ．b 2＝a 2－c 2－2bc cos A D ．cos C ＝a 2＋b 2＋c 22ab2．在△ABC 中，若a ＝10，b ＝24，c ＝26，则最大角的余弦值是( ) A.1213 B.513C ．0 D.233．已知△ABC 的三边分别为2,3,4，则此三角形是( ) A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不能确定4．在△ABC 中，已知a 2＝b 2＋bc ＋c 2，则角A 为( ) A.π3 B.π6 C.2π3 D.π3或2π35．在△ABC 中，已知b 2＝ac 且c ＝2a ，则cos B 等于( ) A.14 B.34 C.24 D.236．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则AC ＝________.7．已知三角形的两边分别为4和5，它们的夹角的余弦值是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是________．8．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝5∶7∶8，则B 的大小是________．9．已知在△ABC 中，cos A ＝35，a ＝4，b ＝3，求角C .10．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 所对的边长，若(a ＋b ＋c )(sin A ＋sin B －sin C )＝3a sin B ，求C 的大小．11．在△ABC 中，b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，试判断△ABC 的形状．。

正余弦定理复习讲义(精典)

3．(课本改编题)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝________.
4．△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝，a＝2b，则b的值为________．
5．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为()
A．2B．8C.D.
题型一利用正弦定理求解三角形
例1 在△ABC中，a＝，b＝，B＝45°.求角A、C和边c.
探究提高(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意．
psinB(p∈R)，且ac＝b2.
(1)当p＝，b＝1时，求a，c的值；
(2)若角B为锐角，求p的取值范围．
探究提高在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是：将角都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．
在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.
(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；
(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos＝，·＝3.
(1)求△ABC的面积；
(2)若b＋c＝6，求a的值．
题型三正、余弦定理的综合应用
例3 (2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知sinA＋sinC＝
2．余弦定理：a2＝________________，b2＝________________，c2＝________________.余弦定理可以变形为：cosA＝________________，cosB＝____________，cosC＝__________.

正余弦定理知识点+经典题(有问题详解)

正余弦定理1.定理容：〔1〕正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即2sin sin sin a b cR A B C=== 〔2〕余弦定理：三角形中任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-2222cos c a b ab C =+-〔3〕面积定理：111sin sin sin 222ABC S ab C bc A ac B ∆=== 2.利用正余弦定理解三角形：〔1〕一边和两角：〔2〕两边和其中一边的对角：〔3〕两边和它们所夹的角：〔4〕三边：正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，如此b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，如此b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，如此角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，如此sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，假如A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，如此c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.146．在△ABC 中，假如cos A cos B ＝ba，如此△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形 7．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，如此△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或3D.34或328．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .假如c ＝2，b ＝6，B ＝120°，如此a 等于( )A.6B ．2C.3D. 29．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假如a ＝1，c ＝3，C ＝π3，如此A ＝________.10．在△ABC 中，a ＝433，b ＝4，A ＝30°，如此sin B ＝________.11．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，如此a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，如此△ABC 的形状为________．13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，如此a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________.14．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，如此a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.15．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，如此此三角形有________组解．17．如下列图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，如此货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假如a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 与b 、c .19．(2009年高考卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)假如a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于()A ．6B ．26C ．36D ．4 62．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，如此c 等于()A. 3B.2C. 5 D ．23．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，如此∠A 等于()A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假如(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，如此∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π35．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，如此a cos B ＋b cos A 等于()A ．aB ．bC ．cD ．以上均不对6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，如此这个新的三角形的形状为()A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．由增加的长度决定7．锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，如此AB →·AC →的值为()A ．2B ．－2C ．4D ．－48．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，如此a 为()A.3B ．23C.3或23D ．29．△ABC 的三个角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，如此边BC 上的中线AD 的长为________． 10．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．11．a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，假如a ＝4，b ＝5，S ＝53，如此边c 的值为________． 12．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，如此cos A ∶cos B ∶cos C ＝________.13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.14．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，如此AB →·BC →的值为________．15．△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，如此角C ＝________.16．(2011年调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，如此最小角的余弦值为________． 17．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．18．△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)假如△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A .(1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．20．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．正弦定理1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，如此b 等于( )A.6B. 2C. 3 D ．2 6解析：选A.应用正弦定理得：a sin A ＝b sin B ，求得b ＝a sin Bsin A＝ 6.2．在△ABC 中，a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，如此b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.323解析：选C.A ＝45°，由正弦定理得b ＝a sin Bsin A＝4 6.3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，如此角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对解析：选C.由正弦定理a sin A ＝b sin B 得：sin B ＝b sin A a ＝22，又∵a >b ，∴B <60°，∴B ＝45°.4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，如此sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，假如A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，如此c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14解析：选A.C ＝180°－105°－45°＝30°，由b sin B ＝c sin C 得c ＝2×sin 30°sin45°＝1.6．在△ABC 中，假如cos A cos B ＝ba，如此△ABC 是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形解析：选D.∵b a ＝sin B sin A ，∴cos A cos B ＝sin Bsin A，sin A cos A ＝sin B cos B ，∴sin2A ＝sin2B即2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B ，或A ＋B ＝π2.7．△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，如此△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或32解析：选D.AB sin C ＝AC sin B ，求出sin C ＝32，∵AB ＞AC ，∴∠C 有两解，即∠C ＝60°或120°，∴∠A ＝90°或30°.再由S △ABC ＝12AB ·AC sin A 可求面积．8．△ABC 的角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .假如c ＝2，b ＝6，B ＝120°，如此a 等于( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 2解析：选D.由正弦定理得6sin120°＝2sin C，∴sin C ＝12.又∵C 为锐角，如此C ＝30°，∴A ＝30°， △ABC 为等腰三角形，a ＝c ＝ 2.9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，假如a ＝1，c ＝3，C ＝π3，如此A ＝________.解析：由正弦定理得：a sin A ＝csin C，所以sin A ＝a ·sin C c ＝12.又∵a ＜c ，∴A ＜C ＝π3，∴A ＝π6.答案：π610．在△ABC 中，a ＝433，b ＝4，A ＝30°，如此sin B ＝________.解析：由正弦定理得a sin A ＝bsin B⇒sin B ＝b sin A a ＝4×12433＝32.答案：3211．在△ABC 中，∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，如此a ＋c ＝________.解析：C ＝180°－120°－30°＝30°，∴a ＝c ，由a sin A ＝b sin B 得，a ＝12×sin30°sin120°＝43， ∴a ＋c ＝8 3. 答案：8 312．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，如此△ABC 的形状为________．解析：由正弦定理，得a ＝2R ·sin A ，b ＝2R ·sin B ，代入式子a ＝2b cos C ，得 2R sin A ＝2·2R ·sin B ·cos C ，所以sin A ＝2sin B ·cos C ，即sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝2sin B ·cos C ，化简，整理，得sin(B －C )＝0. ∵0°＜B ＜180°，0°＜C ＜180°， ∴－180°＜B －C ＜180°， ∴B －C ＝0°，B ＝C . 答案：等腰三角形13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，C=30°如此a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________，c ＝________.解析：由正弦定理得a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A ＝63sin60°＝12，又S △ABC ＝12bc sin A ，∴12×12×sin60°×c ＝183，∴c ＝6.答案：12 614．△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，如此a －2b ＋csin A －2sin B ＋sin C＝________.解析：由∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3得，∠A ＝30°，∠B ＝60°，∠C ＝90°，∴2R ＝a sin A ＝1sin30°＝2，又∵a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ，∴a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝2R sin A －2sin B ＋sin Csin A －2sin B ＋sin C ＝2R ＝2. 答案：215．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.解析：依题意，sin C ＝223，S △ABC ＝12ab sin C ＝43，解得b ＝2 3. 答案：2 316．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，如此此三角形有________组解．解析：∵b sin C ＝43×12＝23且c ＝2，∴c <b sin C ，∴此三角形无解．答案：0 17．如下列图，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，如此货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少？解：在△ABC 中，BC ＝40×12＝20，∠ABC ＝140°－110°＝30°， ∠ACB ＝(180°－140°)＋65°＝105°，所以∠A ＝180°－(30°＋105°)＝45°，由正弦定理得AC ＝BC ·sin ∠ABC sin A＝20sin30°sin45°＝102(km)．即货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是10 2 km.18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，假如a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A2，求A 、B 与b 、c .解：由sin C 2cos C 2＝14，得sin C ＝12，又C ∈(0，π)，所以C ＝π6或C ＝5π6.由sin B sin C ＝cos 2A2，得sin B sin C ＝12[1－cos(B ＋C )]，即2sin B sin C ＝1－cos(B ＋C )，即2sin B sin C ＋cos(B ＋C )＝1，变形得 cos B cos C ＋sin B sin C ＝1，即cos(B －C )＝1，所以B ＝C ＝π6，B ＝C ＝5π6(舍去)，A ＝π－(B ＋C )＝2π3.由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C，得b ＝c ＝a sin Bsin A ＝23×1232＝2.故A ＝2π3，B ＝π6，b ＝c ＝2.19．(2009年高考卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)假如a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值．解：(1)∵A 、B 为锐角，sin B ＝1010，∴cos B ＝1－sin 2B ＝31010.又cos 2A ＝1－2sin 2A ＝35，∴sin A ＝55，cos A ＝255，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝255×31010－55×1010＝22.又0＜A ＋B ＜π，∴A ＋B ＝π4.(2)由(1)知，C ＝3π4，∴sin C ＝22.由正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C得5a ＝10b ＝2c ，即a ＝2b ，c ＝5b .∵a －b ＝2－1，∴2b －b ＝2－1，∴b ＝1. ∴a ＝2，c ＝ 5.20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．解：由S ＝12ab sin C 得，153＝12×603×sin C ，∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°.又sin B ＝sin C ，故∠B ＝∠C . 当∠C ＝30°时，∠B ＝30°，∠A ＝120°.又∵ab ＝603，a sin A ＝bsin B，∴b ＝215.当∠C ＝150°时，∠B ＝150°(舍去)．故边b 的长为215.余弦定理1．在△ABC 中，如果BC ＝6，AB ＝4，cos B ＝13，那么AC 等于()A ．6B ．2 6C ．3 6D ．4 6 解析：选A.由余弦定理，得 AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B＝42＋62－2×4×6×13＝6.2．在△ABC 中，a ＝2，b ＝3－1，C ＝30°，如此c 等于() A. 3 B. 2 C. 5 D ．2解析：选B.由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋(3－1)2－2×2×(3－1)cos30° ＝2， ∴c ＝ 2.3．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2＋3bc ，如此∠A 等于() A ．60° B ．45° C ．120° D ．150°解析：选D.cos ∠A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32，∵0°＜∠A ＜180°，∴∠A ＝150°.4．在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，假如(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，如此∠B 的值为()A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3解析：选D.由(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，联想到余弦定理，代入得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝32·1tan B ＝32·cos B sin B .显然∠B ≠π2，∴sin B ＝32.∴∠B ＝π3或2π3.5．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边，如此a cos B ＋b cos A 等于() A ．a B ．b C ．c D ．以上均不对解析：选C.a ·a 2＋c 2－b 22ac ＋b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝2c 22c＝c .6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，如此这个新的三角形的形状为() A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定解析：选A.设三边长分别为a ，b ，c 且a 2＋b 2＝c 2. 设增加的长度为m ，如此c ＋m ＞a ＋m ，c ＋m ＞b ＋m ，又(a ＋m )2＋(b ＋m )2＝a 2＋b 2＋2(a ＋b )m ＋2m 2＞c 2＋2cm ＋m 2＝(c ＋m )2， ∴三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形．7．锐角三角形ABC 中，|AB →|＝4，|AC →|＝1，△ABC 的面积为3，如此AB →·AC →的值为() A ．2 B ．－2 C ．4 D ．－4解析：选A.S △ABC ＝3＝12|AB →|·|AC →|·sin A＝12×4×1×sin A ， ∴sin A ＝32，又∵△ABC 为锐角三角形，∴cos A ＝12，∴AB →·AC →＝4×1×12＝2.8．在△ABC 中，b ＝3，c ＝3，B ＝30°，如此a 为() A. 3 B ．2 3 C.3或2 3 D ．2解析：选C.在△ABC 中，由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即3＝a 2＋9－33a ， ∴a 2－33a ＋6＝0，解得a ＝3或2 3.9．△ABC 的三个角满足2B ＝A ＋C ，且AB ＝1，BC ＝4，如此边BC 上的中线AD 的长为________．解析：∵2B ＝A ＋C ，A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3.在△ABD 中，AD ＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos B＝1＋4－2×1×2×12＝ 3.答案： 310．△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10，求最大角的度数．解：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3－1)∶(3＋1)∶10， ∴a ∶b ∶c ＝(3－1)∶(3＋1)∶10.设a ＝(3－1)k ，b ＝(3＋1)k ，c ＝10k (k ＞0)， ∴c 边最长，即角C 最大．由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°. 11．a 、b 、c 是△ABC 的三边，S 是△ABC 的面积，假如a ＝4，b ＝5，S ＝53，如此边c 的值为________．解析：S ＝12ab sin C ，sin C ＝32，∴C ＝60°或120°.∴cos C ＝±12，又∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，∴c 2＝21或61，∴c ＝21或61. 答案：21或6112．在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，如此cos A ∶cos B ∶cos C ＝________. 解析：由正弦定理a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，设a ＝2k (k ＞0)，如此b ＝3k ，c ＝4k ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝2k 2＋4k 2－3k 22×2k ×4k ＝1116，同理可得：cos A ＝78，cos C ＝－14，∴cos A ∶cos B ∶cos C ＝14∶11∶(－4)．答案：14∶11∶(－4)13．在△ABC 中，a ＝32，cos C ＝13，S △ABC ＝43，如此b ＝________.解析：∵cos C ＝13，∴sin C ＝223. 又S △ABC ＝12ab sin C ＝43，即12·b ·32·223＝43， ∴b ＝2 3.答案：2 314．△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6，如此AB →·BC →的值为________．解析：在△ABC 中，cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC＝49＋25－362×7×5＝1935， ∴AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×(－1935) ＝－19. 答案：－1915．△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，且面积S ＝a 2＋b 2－c 24，如此角C ＝________. 解析：12ab sin C ＝S ＝a 2＋b 2－c 24＝a 2＋b 2－c 22ab ·ab 2＝12ab cos C ，∴sin C ＝cos C ，∴tan C ＝1，∴C ＝45°. 答案：45°16．(2011年调研)三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，如此最小角的余弦值为________．解析：设三边长为k －1，k ，k ＋1(k ≥2，k ∈N )，如此⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋k －12－k ＋12＜0k ＋k －1＞k ＋1⇒2＜k ＜4， ∴k ＝3，故三边长分别为2,3,4，∴最小角的余弦值为32＋42－222×3×4＝78. 答案：7817．在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，且2cos(A ＋B )＝1，求AB 的长．解：∵A ＋B ＋C ＝π且2cos(A ＋B )＝1，∴cos(π－C )＝12，即cos C ＝－12. 又∵a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，∴a ＋b ＝23，ab ＝2.∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos C＝a 2＋b 2－2ab (－12) ＝a 2＋b 2＋ab ＝(a ＋b )2－ab＝(23)2－2＝10，∴AB ＝10.18．△ABC 的周长为2＋1，且sin A ＋sin B ＝2sin C .(1)求边AB 的长；(2)假如△ABC 的面积为16sin C ，求角C 的度数．解：(1)由题意与正弦定理得AB ＋BC ＋AC ＝2＋1，BC ＋AC ＝2AB ，两式相减，得AB ＝1.(2)由△ABC 的面积12BC ·AC ·sin C ＝16sin C ，得BC ·AC ＝13，由余弦定理得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC＝AC ＋BC 2－2AC ·BC －AB 22AC ·BC ＝12，所以C ＝60°.19．在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin(2A －π4)的值．解：(1)在△ABC 中，由正弦定理AB sin C ＝BC sin A，得AB ＝sin C sin ABC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝1－cos 2A ＝55. 从而sin 2A ＝2sin A cos A ＝45， cos 2A ＝cos 2A －sin 2A ＝35. 所以sin(2A －π4)＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.20．在△ABC 中，(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，且2cos A sin B ＝sin C ，确定△ABC 的形状．解：由正弦定理，得sin C sin B ＝c b. 由2cos A sin B ＝sin C ，有cos A ＝sin C 2sin B ＝c 2b. 又根据余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以c 2b ＝b 2＋c 2－a 22bc，即c 2＝b 2＋c 2－a 2，所以a ＝b .又因为(a ＋b ＋c )(a ＋b －c )＝3ab ，所以(a ＋b )2－c 2＝3ab ，所以4b 2－c 2＝3b 2，所以b ＝c ，所以a ＝b ＝c ，因此△ABC 为等边三角形．。

(完整word版)三角函数专题讲义

三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函数性质2。

正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

正弦定理和余弦定理讲义

正弦定理和余弦定理讲义课前双击巩固1.正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理公式asinA= ==2R (其中R 是△ABC 的外接圆的半径)a 2= ,b 2= , c 2=定理的变形 a=2RsinA ,b= ,c=,a∶b∶c=cos A= , cos B= , cos C=2.在△ABC 中,已知a,b 和A 时,解的情况如下:A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a=bsin Absin A<ab解的个数3.三角形面积公式(1)S=12ah (h 表示边a 上的高);(2)S=12bcsin A=12acsin B=12absin C ; (3)S=12r (a+b+c )(r 为三角形的内切圆半径). 常用结论1.三角形内角和定理:在△ABC 中,A+B+C=π;变形:A+B 2=π2-C 2.2.三角形中的三角函数关系:(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; (3)sinA+B 2=cos C 2;(4)cosA+B 2=sin C2.3.三角形中的射影定理在△ABC 中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.题组一常识题1.[教材改编] 在△ABC 中,B=45°,C=60°,c=2,则最短边的边长等于 .2.[教材改编] 在△ABC 中,已知a=5,b=2√3,C=30°,则c= .3.[教材改编] 在△ABC 中,已知a 2-c 2+b 2=ab ,则C 等于 .4.[教材改编] 在△ABC 中,已知a=3√2,b=2√3,cos C=13,则△ABC 的面积为 . 题组二常错题◆索引:在△ABC 中角与角的正弦的关系;正弦定理求角时解的个数;余弦定理、面积公式中边与角的三角函数的对应关系.5.在△ABC 中,若sin A=sin B ,则A ,B 的关系为 ;若sin A>sin B ,则A ,B 的关系为 .6.在△ABC 中,若A=60°,a=4√3,b=4√2,则B 等于 .7.在△ABC 中,a=2,b=3,C=60°,则c= ,△ABC 的面积等于 .8.在△ABC 中,角A ,B ,C 满足sin Acos C-sin Bcos C=0,则三角形的形状为 .课堂考点探究探究点一利用正弦﹑余弦定理解三角形1 △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2c-a=2bcos A. (1)求角B 的大小;(2)若b=2√3,求a+c的最大值.[总结反思](1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程,通过解方程求得未知元素;(正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,题时,常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数形式求解.式题(1)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足(a-b)(sin A+sin B)=(c-b)sin C,若a=√3,则b2+c2的取值范围是( )A.(5,6]B.(3,5)C.(3,6]D.[5,6](2)如图3-22-1,在△ABC中,D是边AC上的点,且AB=AD,2AB=√3BD,BC=2BD,则sin C的值为.图3-22-1探究点二利用正弦﹑余弦定理判定三角形的形状2如图3-22-2所示,图3-22-2在△ABC中,D是BC的中点,已知∠BAD+∠C=90°,则△ABC的形状是.[总结反思]判断三角形形状实质上是在缺少部分条件的情况下解三角形,此时三角形的各个元素虽然不能具体确定,但可以确定其中某些元素的等量或者不等量关系,据此对三角形形状作出判断.式题在△ABC中,若sin A=2cos Bsin C,则△ABC的形状是.探究点三与三角形面积有关的问题3已知锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足cos2B-cos2C-sin2A=-sin Asin B,sin(A-B)=cos(A+B).(1)求角A,B,C;(2)若a=√2,求三角形ABC的边长b的值及三角形ABC的面积.[总结反思](1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值),一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积,再代入公式求解;(2)若已知三边,可先求一个角的余弦值,再求正弦值,代入,一般表示为一个内角的三角函数,,或结合基本不等式求解.式题△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a(sin A-sin B)=(c-b)(sin C+sin B).(1)求角C;(2)若c=√7,△ABC的面积为3√3,求△ABC的周长.2课时作业一、填空题1．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝2，c ＝23，cos A ＝32且b <c ，则b 等于________.2．已知△ABC ，a ＝5，b ＝15，A ＝30°，则c ＝________.3．已知锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c,23cos 2A ＋cos 2A ＝0，a ＝7，c ＝6，则b 等于________.4．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若bcosC ＋ccosB ＝asinA ，则△ABC 的形状为________.5．在某次测量中，在A 处测得同一平面方向的B 点的仰角是50°，且到A 的距离为2，C 点的俯角为70°，且到A 的距离为3，则B 、C 间的距离为________.6．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝________. 7．在△ABC 中，∠ABC ＝π4，AB ＝2，BC ＝3，则sin ∠BAC ＝________.8．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c .若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.9．在△ABC 中，AC ＝3，A ＝45°，C ＝75°，则BC ＝________.10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c＝________.11．在△ABC 中，a ＝3，b ＝6，A ＝2π3，则B ＝________.二、解答题12．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值．13．已知a ，b ，c 分别为△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B ＝2sin A sin C . (1)若a ＝b ，求cos B ；(2)设B ＝90°，且a ＝2，求△ABC 的面积．。

考点17 正余弦定理(讲解)(解析版)

考点17 正余弦定理【思维导图】【常见考法】考法一：正余弦定理选择1．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c．若3,60a b A ===︒，则边c = 。

【答案】4【解析】2222cos a c b cb A =+-213923cos60c c ⇒=+-⨯⨯︒，即2340c c --=，解得4c =或1c =-（舍去）．2．在ABC中，2c =，75A =︒，45B =︒，则ABC 的外接圆面积为。

【答案】4π 【解析】因为在ABC 中，75A =︒，45B =︒，所以60C =︒，又c =r，则21sin c r C ===，因此ABC 的外接圆面积为214S r ππ==.3．在△ABC 中，A ＝60°，asin sin sin a b cA B C++++等于。

【解析】由正弦定理a b c sinA sinB sinC ==，a sinA=3∴sinA ，sinB ，sinC 则a b c sinA sinB sinC ++++=)3sinA sinB sinC sinA sinB sinC ++++=34.在△ABC 中，cos C2＝55，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝。

【答案】4 2【解析】因为cos C ＝2cos 2C2－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫552－1＝－35，所以c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋25－2×1×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝32，∴c ＝AB ＝42。

5.在△ABC 中，BC ＝2，AB ＝4，cos C ＝－14，则AC 的值为( ) 【答案】3【解析】△ABC 中，a ＝BC ＝2，c ＝AB ＝4，cos C ＝－14，∴c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即16＝4＋b 2－4b ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，化简得b 2＋b －12＝0，解得b ＝3或b ＝－4(不合题意，舍去)，∴b ＝AC ＝3.考法二：边角互换1．在△ABC 中，若a ＝2bsinA ，则角B 等于。

正弦余弦定理 ---讲义

正弦余弦定理讲义一、基本知识点正弦定理：R C cB bA a2sin sin sin ===正弦定理的基本作用：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；（一解）2．两边和其中一边对角，求其它的两角和一边（一解或者两解）（详见图示）已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况:⑴若A 为锐角时:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA)( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a b a b a b a baa 已知边a,b 和∠A仅有一个解有两个解仅有一个解无解a ≥b CH=bsinA<a≤)( b a 锐角一解无解b a余弦定理：,cos 2222A bc c b a -+=⇔bc a c b A 2cos 222-+=余弦定理的基本作用：1．已知三边，求三角；（一解）2．已知两边和夹角，求一边和两角（一解）公式一：a b c 111S ah bh ch 222===公式二：111S absinC acsinB bcsin A 222===公式三：S p(p a)(p b)(p c)=--- 其中1p (a b c)2=++称为三角形的半周长。

推导：将公式二中的角的关系变为边的关系，根据22sin C cos C 1+=，2sin C 1cos C =-，及余弦定理ab c b a C 2cos 222-+=的变形2222abcosC a b c =+-，则 2111S absinC ab 1cos C ab (1cosC)(1cosC)222==-=-+ 22114a b (1cosC)(1cosC)(2ab 2abcosC)(2ab 2abcosC)44=-+=-+ 222222222211(2ab a b c )(2ab a b c )[c (a b)][(a b)c ]44=--+++-=--+- 11111(c a b)(c a b)(a b c)(a b c)(c a b)(c a b)(a b c)(a b c)42222=+--++++-=+--++++-设1p (a b c)2=++，则S p(p a)(p b)(p c)=---。

平面向量的应用(一)正弦定理和余弦定理讲义

专题4:平面向量的应用（一）正弦定理和余弦定理核心知识点1：正弦定理：1．回顾学过的三角形知识填空(1)任意三角形的内角和为180°；三条边满足：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，并且大边对大角，小边对小角．(2)直角三角形的三边长a、b、c(斜边)满足勾股定理，即a2＋b2＝c2．2．正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asin A＝bsin B＝csin C．3．由正弦定理导出的结论(1)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．(2)由等比性质和圆的性质可知，asin A＝bsin B＝csin C＝a＋b＋csin A＋sin B＋sin C＝2R.其中，R为△ABC外接圆的半径．(3)A<B⇔a<b⇔sin A<sin B．4．解三角形(1)一般地，把三角形三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．(2)用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？①已知任意两角与一边，求其他两边和一角．②已知任意两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)．(3)两角和一边分别对应相等的两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形全等吗？下图中，AC＝AD；△ABC与△ABD的边角有何关系？你发现了什么？(4)已知两边及其中一边对角，怎样判断三角形解的个数？①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数．②在△ABC中，已知a、b和A，以点C为圆心，以边长a为半径画弧，此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形的个数，解的个数见下表：A为钝角A为直角A为锐角a>b 一解一解一解a ＝b 无解无解一解a b sin A两解 a ＝b sin A 一解 a <b sin A无解已知a 、b 、A ，△ABC 解的情况如下图示． (ⅰ)A 为钝角或直角时解的情况如下：(ⅱ)A 为锐角时，解的情况如下：核心知识点2：余弦定理：1．余弦定理文字语言三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍符号语言在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 推论在△ABC 中，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋c 2－b 22ac ,cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.(1)已知三角形的三条边求三个角；(2)已知三角形的两边及其夹角求第三边及两角．3．余弦定理和勾股定理的关系在△ABC 中，由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，若角C ＝90°，则cos C ＝0，于是c 2＝a 2＋b 2，这说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广．设c 是△ABC 中最大的边(或C 是△ABC 中最大的角)，则 a 2＋b 2<c 2⇔△ABC 是钝角三角形，且角C 为钝角；a 2＋b 2＝c 2⇔△ABC 是直角三角形，且角C 为直角； a 2＋b 2>c 2⇔△ABC 是锐角三角形，且角C 为锐角.核心知识点3：正余弦定理综合1．(1)正弦定理的数学表达式为a sin A ＝b sin B ＝csin C．(2)余弦定理的数学表达式为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 、b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 、c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ．2．应用正弦定理可以解决怎样的解三角形问题？(1)已知三角形的任意两个角与一边，解三角形． (2)已知三角形的两边与其中一边的对角，解三角形．3．应用余弦定理可以解决怎样的解三角形问题？(1)已知三角形的两边及其夹角，解三角形． (2)已知三角形的三边，解三角形．4．三角形的面积公式由正弦定理可得三角形的面积S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ．必考必会题型1：利用余弦定理解三角形【典型例题】在▱ABCD 中，已知AB ＝6，AC，∠CAB ＝30°，那么AD ＝．【题型强化】1.在△ABC 中，若sin A ：sin B ：sin C ＝1：：1，则C ＝．2.已知三角形内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且满足a 2﹣bc ＝b 2+c 2，则∠A ．【名师点睛】利用余弦定理解三角形的注意点：1.已知两边及夹角时，先用余弦定理建立关于第三边的方程，求出第三边.2.已知三边时，一般先用余弦定理的推论求出最大角的余弦值.3.已知两边及一边的对角时，既可以用正弦定理也可以用余弦定理.利用余弦定理是求第三边长，利用正弦定理是求另一个角，因此根据需要选择即可.注意利用正弦定理求角时，需根据大边对大角进行三角形个数的判断.必考必会题型2：利用正弦定理解三角形【典型例题】在△ABC 中，已知A ＝45°，B ＝60°，b ＝6，那么a ＝．【题型强化】1.在△ABC 中，若AB ，AC ＝1，∠C ，则BC ＝．2.在△ABC 中，已知a ＝1，b，A ＝30°，则B ＝．【名师点睛】已知两角和任意一边解三角形的方法：事实上，所谓解三角形本质上就是解基于边角的内蕴方程，已知三角形的两角与一边解三角形时，(1)由三角形内角和定理A+B+C=180°可以计算出三角形的第三个角；(2)由正弦定理可计算出三角形的另两边.已知两边和其中一边的对角解三角形的方法：首先用正弦定理求出另一边所对的角的正弦值，若这个角不是直角，则利用三角形中“大边对大角”看能否判断所求这个角是锐角，当已知的角为大边所对的角时，则能判断另一边所对的角为锐角，当已知的角为小边所对的角时，则不能判断，此时就有两解，再分别求解即可；然后由三角形内角和定理求出第三个角；最后根据正弦定理求出第三条边.说明：利用正弦定理解三角形本质上是强化对三角形内角和定理及互补的两角的正弦值相等的认识，在用正弦定理解三角形时，要注意“大边对大角”的运用.必考必会题型3：利用正、余弦定理实现边角互化【典型例题】在△ABC中，已知A：B：C＝3：4：5，那么a：b：c＝．【题型强化】1.在△ABC中，若sin A：sin B＝2：3，则．2.在△ABC中，边a，b，c所对角分别为A，B，C，且，则∠A＝．【名师点睛】边化角是正弦定理齐次比例关系非常重要的应用，其主要特点是将混有边角关系的条件问题转化为三角恒等变换问题，并从角的角度来审视三角形的特征，这在高考的全国卷中比较常见，因此要熟练掌握边化角的三角形考题的特征，一般来说，当条件中含有特殊数，如(往往和特殊角有关)或者齐次特征明显时，常进行边化角处理.对于正弦定理与三角恒等变换的综合问题，大多是基于三角形内角和定理展开的，故一般有两种类型：一是利用相应半角的互余关系、角的互补关系研究三角恒等变换，进而达到减元的目的，也就可以盯着目标进行三角恒等变换；二是利用正弦定理求得相应的角或者寻找相应的边角关系，进而运用三角恒等变换转化为一个角的三角函数问题.必考必会题型4：判定三角形的形状【典型例题】在△ABC中，若等式1+cos2C＝cos2A+cos2B成立，求证：△ABC为直角三角形．【题型强化】1.在△ABC中，（1）若△ABC的面积为，c＝2，A＝60°，求b，a．（2）若b cos A＝a cos B，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．2.在△ABC中，已知a2﹣b2＝（a cos B+b cos A）2试判断此三角形的形状．【名师点睛】判断三角形形状的思路：1.转化为三角形的边来判断：(1)△ABC为直角三角形或或；(2)△ABC为锐角三角形且且；(3)△ABC为钝角三角形或或；(4)按等腰或等边三角形的定义判断.2.转化为角的三角函数(值)来判断：(1)若cosA=0，则A=90°，△ABC为直角三角形；(2)若cosA<0，则△ABC为钝角三角形；(3)若cosA>0且cosB>0且cosC>0，则△ABC为锐角三角形；(4)若，则C=90°，△ABC为直角角形；(5)若sinA=sinB或sin(A-B)=0，则A=B，△ABC为等腰三角形；(6)若sin2A=sin2B，则A=B或A+B=90°，△ABC为等腰三角形或直角三角形.在具体判断的过程中，应注意灵活地应用正、余弦定理进行边角的转化，究竟是角化边还是边化角应依具体情况决定.必考必会题型5：正、余弦定理与三角恒等变换的综合应用【典型例题】在△ABC中，已知A＝30°，cos B＝2sin B sin C．（1）求证：△ABC为等腰三角形；（2）设D为△ABC外接圆的直径BE与AC的交点，且AB＝2，求AD：DC的值．【题型强化】1.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a cos B b sin A＝5．（Ⅰ）求边长a的值；（Ⅱ）若△ABC的面积S＝30，求△ABC的周长．2.△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，设sin A cos B＝sin B（2﹣cos A）．（1）若b+c a，求A；（2）若a＝2，求△ABC的面积的最大值．【名师点睛】解三角形的综合应用问题常见的有：(1)正、余弦定理和三角变换相结合，一般先进行边角互化，再利用三角公式变形，然后求角、求值或证明三角恒等式、判断三角形的形状等．(2)三角形与平面向量结合命题，先利用向量的平行、垂直等条件脱去向量外衣，转化为纯三角函数问题．然后依据三角公式和解三角形知识求解．【课后巩固】1．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边,若sin cos 0b A B -=,且2b ac =，则a cb+的值为A ．2BC D ．42．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ABC ∆的面积为S ，且1a =，2241S b c =+-，则ABC ∆外接圆的面积为（）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π3．在ABC ∆中，cos 25C =,BC=1,AC=5，则AB=A．B C D ．4．在ABC ∆中，60A ∠=︒，1b =，ABC S ∆=2sin 2sin sin a b cA B C++=++（）A ．3B ．3C ．3D ．5．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =，且2sin cos sin sin a C B a A b B =-+sin 2C ，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC 的面积为（）A B ．C ．D 6．设a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 的对边，已知()()()()sin sin sin b c A C a c A C ++=+-，设D 是BC 边的中点，且ABC ()AB DA DB ⋅+等于( ) A ．2B ．4C ．4-D ．2-7．在锐角三角形ABC 中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，且满足22b a ac -=，则11tan tan A B-的取值范围为___________.8．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为()22234a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是________.9．如图，设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos sin a C c A b B +=，且.6CAB π∠=若点D 是ABC 外一点，2DC =，3DA =，则当四边形ABCD 面积最大值时，sin D =____．10．在ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD = 且1()sin ()(sin sin )2a b A c b C B -=+-，则ABC ∆面积的最大值是___11．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos 6b A a B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）求角B 的大小；（2）设a =2，c =3，求b 和()sin 2A B -的值.12．在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =. （1）求cos ADB ∠；（2）若22DC =，求BC .13．在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sin cos sin sin A B C A B =++. （1）求角C 的大小；（2）若3c =，求ABC ∆周长的取值范围.。

余弦定理、正弦定理课件-2025届高三数学一轮复习

(2，8) .
⁠
2 + 1 > 0，
1
[解析] ∵2 a ＋1， a ，2 a －1是三角形的三边，∴ > 0，
解得 a ＞ .显然2 a
2
2 − 1 > 0，
＋1是三角形的最大边，则要使2 a ＋1， a ，2 a －1构成三角形，需满足 a ＋2 a －1
＞2 a ＋1，解得 a ＞2.设最大边对应的角为θ(钝角)，则 cos θ＝
3
3
(6)在斜△ ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan A ·tan B ·tan C .
(7)在△ ABC 中， a ＝ b cos C ＋ c cos B ； b ＝ a cos C ＋ c cos A ； c ＝ b cos A ＋ a cos B
(射影定理).
二、基础题练习
c2＝② a2＋b2－2ab cos C
；
⁠
.
⁠

＝
＝
＝③
sin sin sin
2R
.
⁠
定理
余弦定理
2
cos A＝
＋
变形 cos B＝④
cos C＝⑤
2 −2
2
2
正弦定理
(1)a＝2R sin A，b＝⑥ 2R sin B ，
c＝⑦ 2R sin C ；
⁠
；
(2) sin
＋
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.
(4)在△ ABC 中， sin ( A ＋ B )＝ sin C ； cos ( A ＋ B )＝－ cos C ；tan( A ＋ B )＝
－tan C ；

正余弦定理讲义1

正余弦定理(一）一、知识要点1、三角形中的重要结论（1）三角形三角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性（2）任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余（3）锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔最大的内角为锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方. 2、正弦定理：2sin sin sin ab c R AB C===(R 为三角形外接圆的半径) ①正弦定理的一些变式：()1sin sin sin a b c A B C ::=::；()2sin ,sin ,sin 222a b c A B C RRR===；()32sin ,2sin ,2sin a R A b R B b R C ===②应用范围：（1）已知两角和任意一边（2）已知两边和一对角③已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解3、余弦定理：2222222cos ,cos 2b c aa b c bc A A bc+-=+-=①余弦定理给出的是三边和一角之间的关系②应用范围：（1）已知三边（2）已知两边一夹角（3）已知两边一对角③已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用余弦定理，可以保证解的唯一性。

4、面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径）①求解三角形中的问题时，一定要注意A B C π++=这个特殊性：A B C π+=- ②常用的诱导公式：sin()sin ,sincos22A B C A B C ++==③求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化二、例题精解：例1、在ABC ∆中：（1）︒=︒==45,75,10C A c ，b = （2）︒===30,28,20A b a ，B sin =（3）︒===120,1,1C b a ，c = （4）37,4,3===c b a ，最大角为例2、（1）在△ABC 中，已知b ＝3，c ＝1，∠B ＝60°，求a 和∠A ，∠C ．（两边一对角）（2）在6,45,2,,ABC c A a b B C ∆===中，求和．（两边一对角）（3）在△ABC 中，已知3a =，2b =，45B = ，求,A C 和c （两边一对角）例3、已知下列三角形中两边及其一边的对角，先判别三角形是否有解？有解的作出解答。

第04讲正弦定理和余弦定理 (精讲)(学生版)

第04讲正弦定理和余弦定理 (精讲）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形个数问题角度2：利用正弦定理解三角形角度3：利用余弦定理解三角形角度4：正余弦定理综合应用高频考点二：判断三角形的形状高频考点三：三角形面积相关问题角度1：求三角形面积角度2：根据面积求参数角度3：三角形面积的最值第四部分：高考真题感悟1、正弦定理1.1正弦定理的描述①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.②符号语言：在ABC ∆中，若角A 、B 及C 所对边的边长分别为a ，b 及c ，则有sin sin sin a b cA B C==1.2正弦定理的推广及常用变形公式在ABC ∆中，若角A 、B 及C 所对边的边长分别为a ，b 及c ，其外接圆半径为R ，则 ①2sin sin sin a b cR A B C=== ②sin sin a B b A =；sin sin b C c B =；sin sin a C c A =； ③sin :sin :sin ::A B C a b c = ④2sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b c a b a c b cR A B C A B C A B A C B C+++++=======+++++ ⑤2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C =（可实现边到角的转化） ⑥sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R=（可实现角到边的转化） 2、余弦定理2.1余弦定理的描述①文字语言：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍. ②符号语言：在ABC ∆中，内角,,A B C ，所对的边分别是,,a b c ,则：2222cos a b c bc A =+-； 2222cos b a c ac B =+- 2222cos c a b ab C =+-2.2余弦定理的推论222cos 2b c a A bc +-=； 222cos 2a c b B ac +-=； 222cos 2a b c C ab+-=3、三角形常用面积公式①12S =⨯⨯底高； ②111=sin sin sin 222S ab C ac B bc A ==； ③1()2S a b c r =++（其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，r 是三角形ABC 的内切圆半径）； ④4abcS R=(其中，,,a b c 是三角形ABC 的各边长，R 是三角形ABC 的外接圆半径). 4、常用结论在三角形中的三角函数关系①sin()sin A B C += ②cos()cos A B C +=- ③tan()tan A B C +=- ④sin()cos 22A B C+= ⑤cos()sin 22A B C+= ⑥若sin sin A B A B =⇔=⑦若sin 2sin 2A B =⇔A B =或2A B π+=一、判断题1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）在ABC 中，若sin sin A B>，则A B > ( )2．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）在ABC 中，若()()()a c a c b b c +-=+，则60A ∠=( ) 二、单选题3．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在,2cos ABC a B c ⋅=△中，则三角形的形状一定是（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形4．（2022·天津市微山路中学高一阶段练习）在ABC 中，a =1b =，60A =︒，则B =（） A ．30°B ．60°C ．30°或150°D ．60°或120°高频考点一：利用正、余弦定理解三角形角度1：三角形个数问题例题1．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））已知△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，“满足2b =，6A π=的ABC 有两个”的必要不充分条件是（） A ．1a > B ．12a << C ．2a > D ．01a <<例题2．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）下列条件判断三角形解的情况，正确的的个数是（）． ①8a =，16b =，30A =︒，有两解； ②18b =，20c =，60B =︒，有一解； ③15a =，2b =，90A =︒，无解； ④40a =，30b =，120A =︒，有一解．A ．1B ．2C ．3D ．4例题3．（2022·辽宁·东北育才学校高一期中）在ABC ∆中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（）A ．a =8b =，60A =︒B ．5a =，6b =，120A =︒C ．3a =，4b =，45A =︒D ．4a =，3b =，60A =︒题型归类练1．（2022·山西运城·高一期中）在ABC 中，2AB =，60A =︒，BC m =，若满足条件的三角形有两个，则m 的取值范围为（）A ．12m <2．（2022·重庆一中高一阶段练习）若满足,6,4ABC AC BC k π∠===的ABC 恰有一个，则实数k 的取值范围是（）A ．(]0,6B ．(]{}0,662C ．{D ．(3．（2022·山东省实验中学高一期中）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，30C =，10c =.如果ABC 有两解，则a 的取值范围是（）A ．[]10,20B ．⎡⎣C ．(D ．()10,20角度2：利用正弦定理解三角形例题1．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处高一期中）在ABC 中，15,10,60BC AC A ===，则cos B =（）A ．BC ．D 例题2．（2022·湖北·华中师大一附中高一期中）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中2a =，b =，若满足条件的三角形有且只有两个，则角A 的取值范围为（） A ．π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．ππ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3π,2π4⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．π3π0,,2π44⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例题3．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）ABC 中，3A π=，4B π=，BC =ABC 的周长是______．例题4．（2022·河南新乡·高一期中）一艘轮船从A 地开往北偏西30方向上的B 地执行任务，完成任务后开往北偏东45︒方向上的C 地，轮船总共航行了966km ，若C 地在A 地北偏东15︒的方向上，则A ，B 两地相距约为___________km . 1.414）题型归类练1．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin C =2c =,3b =，则cos B 的值为（）A ．BC ．D ．2．（2022·重庆·高一阶段练习）在ABC 中，3cos 5A =-，a =5b =，则B 为（）A ．π4B ．π3C ．π4或34πD ．π3或2π33．（2022·浙江杭州·高一期中）设ABC 内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足π3A =，5π12B =，2c =，则=a （）A 1B 1C D 4．（2022·江苏·吴江汾湖高级中学高一期中）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1,2,60==∠︒=b c C ．若D 是边BC 上一点且B DAC ∠=∠，则AD =（）ABC D5．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中34C π=，c =且1sin sin 8A B =，则ABC 的面积为___________.6．（2022·重庆·高一阶段练习）已知轮船A 和轮船B 同时从C 岛出发，A 船沿北偏东30的方向航行，B 船沿正北方向航行（如图）．若A 船的航行速度为nmile /h ，1h 后，B 船测得A 船位于B 船的北偏东45︒的方向上，则此时A ，B 两船相距____________nmile .角度3：利用余弦定理解三角形例题1．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）已知ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 4C =，4a =，8b =，则ABC 的周长为（）A ．9B ．10C ．20D ．24例题2．（2022·河北·高一期中）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin sin cos 1B C B C A +-+=，则A =（）． A ．π6B ．5π6 C ．π3D ．2π3例题3．（2022·四川·成都七中高一期中）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin sin a A b B c b C =+-，AD 是ABC ∆的角平分线，D 在BC 边上，AD =3b c =，则a 的值为（）A B C D 例题4．（2022·吉林毓文中学高一期中）在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥，10AD =，14AB =，60BDA ∠=，120BCD ∠=，则BC 的长为______．题型归类练1．（2022·全国·高一单元测试）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，3cos 10C =，若92CB CA ⋅=，则c 的最小值为（）A ．2B ．4CD ．172．（2022·江苏常州·高一期中）ABC 中，2AB =，3BC =，4AC =，D 为AC 的中点，则BD 长为（）A B ．52C D3．（2022·辽宁·鞍山一中高一期中）已知ABC 中，4AB =，1AC =，BC =ABC 的面积是（）AB ．C ．6D ．4．（2022·湖北·高一阶段练习）在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c （a cos B －b cos A ）＝16，a －b ＝2，∠C ＝60，则c 的值等于___．5．（2022·广东·广州市为明学校高一期中）如图，要测量底部不能到达的某铁塔AB 的高度，在塔的同一侧选择C ，D 两观测点，且在C ，D 两点测得塔顶的仰角分别为45,30︒︒．在水平面上测得120BCD ∠=︒，C ，D 两地相距600m ，则铁塔AB 的高度是_______m ．6．（2022·安徽·高一期中）在某个位置测得一旗杆的仰角为θ，对着旗杆在平行地面上前进60米后测得旗杆仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进4倍，则该旗杆的高度为______米．角度4：正余弦定理综合应用例题1．（2022·山西·高一阶段练习）在ABC 中，已知cos A =1tan 2B =，若ABC ，则其最长边长为（）AB C D ．例题2．（2022·四川省内江市第六中学高一期中（文））已知在锐角ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且60A =，4BC =，则ABC ∆的周长的取值范围为（）A ．(4,12⎤⎦B ．(]8,12C ．)4,12⎡⎣D ．(]10,12例题3．（2022·山东菏泽·高一期中）在ABC ∆中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则sin B =（）A ．19B C ．1 D ．3例题4．（2022·河南·南阳中学高三阶段练习（理））在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足222533a b c +=，则sin A 的最大值是__________.例题5．（2022·山东·临沭县教育和体育局高一期中）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则ABC 的面积S =根据此公式，若()cos 2cos 0a B b c A +-=，且2224b c a ，则ABC 的面积为______.题型归类练1．（2022·江苏·高一课时练习）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度BC 等于（）A ．)2401mB ．)1801mC ．)1201mD ．)301m2．（2022·天津河北·高一期中）在 ABC 中，120B ∠=，AB =∠A 的角平分线AD |AC |＝（）A．2B ．3C D3．（2022·四川绵阳·高一期中）已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC )222a b c +-，则角C ＝（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．23π 4．（2022·湖北·华中师大一附中模拟预测）为了测量一个不规则公园,C D 两点之间的距离，如图，在东西方向上选取相距1km 的,A B 两点，点B 在点A 的正东方向上，且,,,A B C D 四点在同一水平面上．从点A 处观测得点C 在它的东北方向上，点D 在它的西北方向上；从点B 处观测得点C 在它的北偏东15︒方向上，点D 在它的北偏西75方向上，则,C D 之间的距离为______km.5．（2022·江西萍乡·三模（理））已知,,a b c 分别为锐角ABC 的内角,,A B C 的对边，若in 2s c a A =，则ABC 面积的最大值为_________．高频考点二：判断三角形的形状例题1．（2022·辽宁·铁岭市清河高级中学高一期中）在ABC 中，已知()sin 2sin cos C B C B =+，那么ABC 一定是（）A ．等腰直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形例题2．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）若在,2cos ABC a B c ⋅=△中，则三角形的形状一定是（） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形例题3．（2022·江苏南通·模拟预测）小强计划制作一个三角形，使得它的三条边中线的长度分别为1，则（）A ．能制作一个锐角三角形B ．能制作一个直角三角形C ．能制作一个钝角三角形D ．不能制作这样的三角形题型归类练1．（2022·全国·高一单元测试）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若cos cos a bA B=，222c a b ab =+-，则ABC ∆是（） A ．钝角三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形D ．等腰直角三角形2．（2022·江苏南通·高一期中）在ABC 中，若22cos a b c B -=，cos cos 1A B +=，则ABC 一定是（） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．无法确定3．（2022·天津市第二十一中学高一期中）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且222b c a bc +=+，若2sin sin sin B C A =，则△ABC 的形状是（） A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形4．（2022·安徽·安庆一中高一期中）已知在ABC 中，22cos sin sin cos a A B b A B =，则ABC 的形状为（） A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形5．（2022·江苏徐州·高一期中）在ABC 中，角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，．若1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-，则ABC 为（） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形高频考点三：三角形面积相关问题角度1：求三角形面积例题1．（2022·江西宜春·模拟预测（文））ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若56A π=，a ==c ，则ABC 的面积为（）A ．BCD ．例题2．（2022·吉林长春·模拟预测（文））ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若222a c ac b ++=，且3ac =，则ABC 的面积为（）A ．34B C D ．32例题3．（2022·内蒙古包头·二模（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知135B =︒，a =，b =ABC 的面积为（）A ．9B ．6C ．92D ．72例题4．（2022·全国·高一单元测试）锐角ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若7a =、8b =，1,cos 2m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(sin n A =，，且m n ⊥，则ABC 的面积为（）AB ．C ．D ．例题5．（2022·江西·模拟预测（文））在ABC 中，3cos ,2,4A AB BC ===ABC 的面积为（）A B C D ．例题6．（2022·新疆·乌市八中高一期中）在ABC 中，21,2,3AB AC B C π==-=，则ABC ∆的面积为（）A BC D 角度2：根据面积求参数例题1．（2022·安徽师范大学附属中学模拟预测（文））已知ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()sin sin sin a b A c C b B -=-，若ABC 的面积为c 的最小值为（）A ．B ．C ．2D ．4例题2．（2022·全国·二模（理））ABC ∆中，2172cos cos 20224C C --=，若4AB =，则AB 边上的高的最大值为（）A ．2B ．3C ．D ．例题3．（2022·江苏·东海县教育局教研室高一期中）在ABC ∆中，点D 为边AC 上靠近A 的四等分点，ABD ACB ∠=∠，CB BD ⊥，15ABC S =△，则AB =（）A ．5B ．3C ．D ．例题4．（2022·河南新乡·高一期中）记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，2,3,3===πa c B ，则AC 边上的高为（）A B C D ．7例题5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且60C =︒，3a =，ABC S =△，则AB 边上的中线长为（） A ．49 B ．7 C ．494 D ．72角度3：三角形面积的最值例题1．（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，已知2b =，且2cos cos cos a B a C c A a b -=+-，则ABC 面积的最大值是（）AB C ．2 D例题2．（2022·天津·高一期中）设锐角ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2B B +=，2c =，则ABC 面积的取值范围为（）A ．⎝B ．⎝C ．⎝D ．⎝⎭例题3．（2022·江苏·盐城中学高一期中）在四边形ABCD 中，AC AB =，3AD =，1CD =，3ABC π∠=，则四边形ABCD 面积的最大值为（）A B ．3C D ．4例题4．（2022·江西·临川一中模拟预测（理））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2cos ,+=⋅=a B b A c A a ABC 的面积的最大值为（）A ．B ．3CD 例题5．（2022·江苏省震泽中学高一期中）ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 4sin sin ,4a A b B C a B c +=+=，则ABC 面积的最大值为（）A ．B ．C ．4D ．例题6．（2022·重庆市第二十九中学校高一期中）在面积为S 的ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2243tan S b c A +=+，且6A π=，则S 的最大值为（）A ．34B ．32C ．D题型归类练1．（2022·山西运城·模拟预测（理））某公同管理处规划一块三角形地块ABC 种植花卉，经测量60,2,9m A AC AB BC =︒==，则该地块的而积为___________2m .2．（2022·湖南·高二阶段练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且cos sin c b A A -.(1)求角B ；(2)若4,a b ==ABC 的面积.3．（2022·广东汕头·高二阶段练习）在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足(2sin )cos B C a A ⋅.(1)求角A 的值：(2)当4,8a b c =+=时，求ABC 的面积.4．（2022·海南·模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知π4A =，b =．(1)求tan C ；(2)若a =ABC 的面积．5．（2022·全国·模拟预测）记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()π2sin πcos tan cos 2C B A B ⎛⎫-++=⋅ ⎪⎝⎭． (1)求A ；(2)若sin b A B ，求△ABC 的面积的最大值．6．（2022·河北·高一期中）如图，在ABC 中，2AB =，1AC =，π6B =，点D 在边BC 上，且cos ADB ∠=．(1)求AD ；(2)求ACD △的面积．1．（2021·全国·高考真题（文））在ABC 中，已知120B =︒，AC 2AB =，则BC =（） A ．1 B C D ．3 2．（2021·全国·高考真题（理））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60B =︒，223a c ac +=，则b =________．3．（2021·全国·高考真题）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．4．（2021·北京·高考真题）在ABC 中，2cos c b B =，23C π=．（1）求B ；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，求BC 边上中线的长．条件①：c =；条件②：ABC 的周长为4+条件③：ABC5．（2021·全国·高考真题）记ABC 是内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2b ac =，点D 在边AC 上，sin sin BD ABC a C ∠=.（1）证明：BD b =；（2）若2AD DC =，求cos ABC ∠.。

《余弦定理》讲义

《余弦定理》讲义一、引入在三角形的世界里，我们有很多工具来探索它的奥秘，其中余弦定理就是一把非常强大的钥匙。

想象一下，你知道了一个三角形的两条边和它们的夹角，或者三条边的长度，怎么去求出其他的角或者边呢？这时候余弦定理就派上用场了。

二、余弦定理的定义余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，对于任意三角形，任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。

若在三角形 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，则有：＼（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\）＼（b^2 ＝ a^2 ＋ c^2 2ac\cos B\）＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2 2ab\cos C\）三、余弦定理的推导我们可以通过向量的方法来推导余弦定理。

假设三角形 ABC 的三个顶点的坐标分别为 A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。

则向量\（＼overrightarrow{AB} ＝（x2 x1, y2 y1)＼），向量\（＼overrightarrow{AC} ＝（x3 x1, y3 y1)＼）。

因为\（＼overrightarrow{AB}＼cdot\overrightarrow{AC} ＝｜＼overrightarrow{AB}｜＼times|＼overrightarrow{AC}｜＼times\cos A\）＼＼begin{align}＼overrightarrow{AB}＼cdot\overrightarrow{AC}＆＝（x2 x1)（x3x1) ＋（y2 y1)（y3 y1)＼＼｜＼overrightarrow{AB}｜＾2&＝（x2 x1)＾2 ＋（y2 y1)＾2\＼｜＼overrightarrow{AC}｜＾2&＝（x3 x1)＾2 ＋（y3 y1)＾2\＼＼end{align}＼将上述式子代入\（＼overrightarrow{AB}＼cdot\overrightarrow{AC} ＝｜＼overrightarrow{AB}｜＼times|＼overrightarrow{AC}｜＼times\cos A\），经过整理就可以得到\（a^2 ＝ b^2 ＋ c^2 2bc\cos A\），同理可推导出其他两个式子。

第7讲正弦定理和余弦定理-中等难度-讲义

正弦定理和余弦定理引入思考1：如图固定ABC V 的边CB 及B ∠，使边AC 绕着顶点C 转动，C ∠的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的关系？能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？边AB 的长度随着其对角C ∠的大小的增大而增大。

sin sin AB ACC B=思考2：在Rt △ABC 中(若C=90︒)有： 222c a b =+那么在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨⎪⎪=+-⎩+-⎪=⎪⎩解读1、直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，C ＝90°，AB ＝c ，AC ＝b ，BC ＝a ．（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2．(勾股定理)AB C（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：(锐角三角函数定义) sinA ＝cosB ＝a c，cosA ＝sinB ＝b c，tanA ＝a b．2、斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边．（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π．（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．2sin sin sin a b cR A B C===．(R 为外接圆半径) （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．222222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab ⎧+-=⎪⎧=+-⎪+-⎪⎪=+-⇒=⎨⎨⎪⎪=+-⎩+-⎪=⎪⎩3、三角形的面积公式：（1）S△＝12aha ＝12bhb ＝12chc(ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高)；（2） S△＝12absinC ＝12bcsinA ＝12acsinB ；（3） S△＝2sin sin 2sin()a B C B C +＝2sin sin 2sin()b C A C A +＝2sin sin 2sin()c A BA B +；（4）S△＝2R2sinAsinBsinC ．(R 为外接圆半径) （5）S△＝4abcR；（6） S△；1()2s a b c ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(海伦公式)4、正余弦定理的边角互换功能①2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ②sin 2a A R =，sin 2b B R =，sin 2c C R= ③sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b c A B C++++=2R ④::sin :sin :sin a b c A B C =⑤222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+- 222sin sin sin 2sin sin cos B C A C A B =+- 222sin sin sin 2sin sin cos C A B A B C =+-⑥设,,a b c 是ABC ∆的角A 、B 、C 的对边（假设C 为ABC ∆最大的角）若222a b c +=，则90C =o ，ABC ∆为直角三角形．若222a b c +>，则90C <o ，ABC ∆为锐角三角形．若222a b c +<，则90C >o ，ABC ∆为钝角三角形． ⑦若sin2sin2A B =，则A B =或2A B π+=．⑧sin sin 22a bA B R R>⇔>a b A B ⇔>⇔> 5、三角形中的基本关系式：sin()sin ,cos()cos B C A B C A +=+=-，探究已知在ΔABC 中,A=450，a=2,求C ；请同学们思考两个问题：角C 有几个解？答：两个．当a=1时C 有几个解；当a=时C 有几个解；当a=3时C 有几个解答：当a=1时无解；当时有一个解；当a=3时有一个典例精讲一．选择题（共15小题）1．（2017秋•贺州期末）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a=1，∠B=45°，S △ABC =2则边长c 等于（） A ．4√2B ．5C ．√41D ．5√2【分析】利用三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：∵a=1，∠B=45°，S △ABC =2，∴12×1×csin45°=2，解得c=4√2．故选：A ．2．（2018春•江门期末）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ．若a 2+b 2=√3bc ，sinC=2√3sinB ，则ab=（）A ．√5B ．√7C ．√5或√7D ．2【分析】由正弦定理化简已知可得c=2√3b ，结合a 2+b 2=√3bc ，即可得解．【解答】解：∵sinC=2√3sinB ， ∴由正弦定理可得：c=2√3b ， ∴a 2+b 2=√3bc=6b 2，可得：a 2=5b 2，∴解得：ab=√5．故选：A ．3．（2017秋•洛阳期末）在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin 2A +sin 2C ﹣sin 2B=√3sinAsinC ，则B=（） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【分析】由已知及正弦定理可得：a 2+c 2﹣b 2=√3ac ，利用余弦定理可得cosB=√32，结合范围B ∈（0，π），利用特殊角的三角函数值可求B ．【解答】解：∵sin 2A +sin 2C ﹣sin 2B=√3sinAsinC ， ∴由正弦定理可得：a 2+c 2﹣b 2=√3ac ，∴由余弦定理可得：cosB=a 2+c 2−b 22ac =√3ac 2ac =√32，∵B ∈（0，π），∴B=π6．故选：A ．4．（2017秋•亳州期末）在△ABC 中，已知B =45°，c =2√2，b =4√33，则C=（） A ．60°B ．30°C ．60°或120°D ．120°【分析】由正弦定理可求出sinC ，利用特殊角的三角函数值可求C 的值．【解答】解：由正弦定理可得2√2sinC =4√33sin45°， ∴sinC=√32，∴C=60° 或 C=120°，故选：C ．5．（2018春•德州期末）已知在△ABC 中，AC=√3，AB=1，∠B=120°，则A 的角平分线AE 的长为（） A ．1B ．√2C ．2D ．√62【分析】利用余弦定理求解BC ，在结合正弦定理建立比值关系可得答案．【解答】解：在△ABC 中，由余弦定理：AC=√3，AB=1，∠B=120°cos120°=AB2+BC2−AC22AB⋅BC，可得BC=1．即△ABC是等腰三角形．可得∠A=∠C=30°AE是A的角平分线，∠BAE=15°．那么AEB=45°如图：在△ABE中，正弦定理，AEsin120°=AB sin45°可得：AE=√62．故选：D．6．（2018春•资阳期末）如图，一条河的两岸平行，河的宽度d=0.8km，一艘客船从码头A出发匀速驶往河对岸的码头B．已知AB=1km，水的流速大小为2km/h，若客船从码头A驶到码头B所用的时间为6min，则客船在静水中的速度大小为（）A．8km/h B．6√2km/h C．4√5km/h D．10km/h【分析】根据题意画出图形，结合图形设客船在静水中的速度，利用水流速度求出船实际航行的速度，利用路程、时间和速度的关系求得船在静水中的速度．【解答】解：设客船在静水中的速度大小为vkm/h，水流速度为2km/h，则船实际航行的速度为√v2+22=√v2+4，客船最短航行时间为t=6=0.1h，60由题意得√v2+4×0.1=1，解得v=4√6，∴船在静水中的速度为4√6km/h．故选：C．7．（2018春•嘉兴期末）已知△ABC为锐角三角形，则下列不等关系中正确的是（）A．cosA＜cosB B．cosA＞cosB C．sinA＜cosB D．sinA＞cosB 【分析】根据△ABC为锐角三角形，那么A+B＞90°，对下列选项进行考查即可．【解答】解：根据△ABC为锐角三角形，那么A+B＞90°，对于A：若A=45°，B=60°，则cosA＞cosB，∴A不对；对于B：若A=60°，B=45°，则cosA＜cosB，∴B不对；对于C：若A=45°，B=60°，则sinA＞cosB，∴C不对；对于D：由A+B＞90°即：A＞90°﹣B 两边取正弦，得：sinA＞sin（90°﹣B）=cosB，sinA＞cosB，∴D对．8．（2018春•沙坪坝区校级期中）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若b=2，c =2√3、cosA =√32，则△ABC 的面积为（）A ．2√3B ．√3C ．3D ．6【分析】由三角形的正弦平方加余弦的平方和为1，以及三角形的面积公式即可求得．【解答】解：∵cosA =√32，∴sinA=12∵b=2，c =2√3、cosA =√32，∴S=12bcsinA =√3，故选：B ．9．（2019春•冀州区校级月考）在△ABC 中，已知a=14，b=16，A=45°，则此三角形（） A ．无解 B ．只有一解 C ．有两解D ．解的个数不确定【分析】根据正弦定理，结合题意求得B 可以有两个值，此三角形有两解．【解答】解：△ABC 中，a=14，b=16，A=45°，由正弦定理得，14sin45°=16sinB，sinB=4√27＜1，且b ＞a ，∴B 可以有两个值，此三角形有两解．10．（2018春•太原期末）在△ABC 中，sinA=√33，点D 在边AC 上，且BD ⊥AB ，若BC=3√2，CD=√3，则△ABC 的面积为（） A ．6√2B ．6√3C ．12D ．9√22【分析】由已知可得△ABD 为直角三角形，结合sinA=√33，可得cos ∠BDC=﹣√33，由余弦定理得到BD=3，进而可得AD ，AB 长，最后求出△ABC 的面积【解答】解：∵BD ⊥AB ，故△ABD 为直角三角形，则cos ∠ADB=sinA=√33，cos ∠BDC=﹣√33，在△BCD 中 cos ∠BDC=BD 2+CD 2−BC 22BD⋅CD即﹣√33=22√3BD解得：BD=3，∵sinA=√33，∴AD=3√3，AB=3√2 △ABC 的面积S=9√22故选：D ．11．（2018春•吉安期末）如果满足条件B=60°，b=12的△ABC有两个解，则a 的取值范围是（）A．0＜a≤12B．12＜a＜8√3C．0＜a≤12或a=8√3D．12＜a≤8√3【分析】根据三角形有两个解的条件列出不等式，求出a的范围【解答】解：当△ABC有两个解时，有asinB＜b＜a，∵b=12，∠B=60°，∴asin60°＜12＜a，解得12＜a＜8√3，故选：B．12．（2018秋•上杭县校级月考）在△ABC中，A=60°，a=√6，b=4，满足条件的三角形的个数为（）A．0B．1C．2D．无数多【分析】在三角形ABC中，运用正弦定理求得sinB，结合正弦函数的值域，即可得到所求结论．【解答】解：在△ABC中，A=60°，a=√6，b=4，由正弦定理可得asinA =b sinB，即sinB=bsinAa =4×√32√6=√2＞1，则B无解，则三角形的个数为0，故选：A．13．（2018春•上城区校级期中）在△ABC中，下列结论正确的是（）①若sinA ＞sinB ，则A ＞B 一定成立②若sinA=cosB ，则△ABC 一定是直角三角形③若b=1，c=√3，S △ABC =√34，则A 等于30°A ．②B ．①C ．②③D ．①②③【分析】①，由正弦定理和大角对大边即可判断命题正确； ②，举例说明△ABC 不一定是直角三角形； ③，利用三角形面积公式求出A=30°或150°．【解答】解：对于①，由正弦定理得，a sinA =bsinB=2R ，R 为△ABC 外接圆的半径，∴a=2RsinA ，b=2RsinB ，又sinA ＞sinB ，∴a ＞b ，∴A ＞B ，①正确；对于②，△ABC 中，不妨令A=100°，B=10°，满足sinA=cosB ，此时三角形不是直角三角形，②不正确；对于③，若b=1，c=√3，S △ABC =√34，则12bcsinA=12×1×√3×sinA=√34， ∴sinA=12，∴A=30°或150°，③错误．综上，正确的命题序号是①．故选：B ．14．（2018•西城区模拟）如图，在△ABC 中，B=45°，D 是BC 边上一点，AD =√7，AC=3，DC=2，则AB 的长为（）A ．√22B ．3√62C ．3√32D ．3√22【分析】先根据余弦定理求出∠C 度数，最后根据正弦定理可得答案【解答】解：在△ADC 中，AD=√7，AC=3，DC=2，由余弦定理得cosC=AC 2+DC 2−AD 22×AC×DC =9+4−72×3×2=12，∴∠C=60°，在△ABC 中，AC=3，∠B=45°，∠C=60°，由正弦定理得AC sinB =ABsinC，∴AB=ACsinC sinB =3×√32√22=3√62，故选：B ．15．（2018•濮阳一模）已知△ABC 中，sinA ，sinB ，sinC 成等比数列，则sin2B sinB+cosB的取值范围是（）A ．(−∞，√22]B ．(0，√22]C ．(−1，√2]D ．(0，3−√32] 【分析】由sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列，利用等比数列的性质列出关系式，利用正弦定理化简，再利用余弦定理表示出cosB ，把得出关系式代入并利用基本不等式求出cosB 的范围，再设sinB +cosB=t ，可得y=t ﹣1t，在（1，√2]上是增函数，即可求出．【解答】解：∵在△ABC 中，sinA 、sinB 、sinC 依次成等比数列， ∴sin 2B=sinAsinC ，利用正弦定理化简得：b 2=ac ，由余弦定理得：cosB=a 2+c 2−b 22ac =a 2+c 2−ac 2ac =（a 2c +c 2a ）﹣12≥2√a 2c ⋅c 2a ﹣12=12（当且仅当a=c 时取等号），∴cosB≥1 2，∴B的范围为（0，π3 ]，设y=sin2BsinB+cosB =2sinBcosB sinB+cosB，设sinB+cosB=t，则2sinBcosB=t2﹣1，由于t=sinB+cosB=√2sin（B+π4），B∈（0，π3]，知t∈（1，√2]，故y=sin2BsinB+cosB =t2−1t=t﹣1t，t∈（1，√2]，∵y=t﹣1t，在（1，√2]上是增函数，∴y∈（0，√22]，故选：B．二．填空题（共5小题）16．（2017秋•桂林期末）在△ABC中，若∠A=30°，∠B=105°，BC=√2，则AB=2．【分析】由已知利用三角形内角和定理可求∠C，根据正弦定理即可解得AB的值．【解答】解：∵∠A=30°，∠B=105°，BC=√2，∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=45°，∴由正弦定理BCsin∠A=ABsin∠C，可得：AB=BC⋅sin∠Csin∠A=√2×√2212=2．故答案为：2．17．（2017秋•通州区期末）△ABC的顶点A，B，C在正方形网格中的位置如图所示，则cosA=√2626．【分析】利用勾股定理求出三角形三边长，再利用余弦定理求得cosA 的值．【解答】解：由题意可得AB=√22+22=2√2，AC=√22+32=√13，BC=√12+42=√17，∴cosA=AB 2+AC 2−BC 22AB⋅AC =2⋅2√2⋅√13=√2626，故答案为：√2626．18．（2018春•杭州期末）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a +c=1，若cosC +（cosA ﹣√3sinA ）cosB=0，则b 的取值范围是 [12，1）．【分析】根据三角形内角和定理与三角恒等变换，求出B 的度数；再由余弦定理和a +c=1求出b 2，利用二次函数的性质求出b 2的范围即可得出b 的范围．【解答】解：△ABC 中，cosC +（cosA ﹣√3sinA ）cosB=0， ∴﹣cos （A +B ）+cosAcosB ﹣√3sinAcosB=0，即sinAsinB ﹣√3sinAcosB=0， ∵sinA ≠0，∴sinB ﹣√3cosB=0，即tanB=√3；又B 为三角形的内角，∴B=π3；由a +c=1，得c=1﹣a ，且cosB=12，由余弦定理得：b 2=a 2+c 2﹣2ac•cosB ，即b 2=a 2+c 2﹣ac=（a +c ）2﹣3ac=1﹣3a （1﹣a ）=3（a ﹣12）2+14，∵0＜a ＜1，∴14≤b 2＜1，解得12≤b ＜1；∴b 的取值范围是[12，1）．故答案为：[12，1）．19．（2018春•红塔区校级期中）△ABC 中，∠BAC=135°，AC =√3，且△ABC的面积为√6，则AB 边上的高为 √62 ．【分析】运用三角形的面积公式S=12AB•ACsin ∠BAC ，解方程可得AB ，设AB边上的高为h ，由12×4h=√6，可得所求高．【解答】解：△ABC 中，∠BAC=135°，AC =√3，且△ABC 的面积为√6，可得12AB•ACsin ∠BAC=12AB•√3•√22=√6，解得AB=4，设AB 边上的高为h ，则12×4h=√6，可得h=√62，故答案为：√62．20．（2018春•道里区校级期末）甲，乙两楼相距30m ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则乙楼的楼高为 20√3 m ．【分析】设甲、乙两楼的位置分别为CD 、AB 如图所示．直角三角形ABD 中利用三角函数的定义，结合题中数据算出BD=20√3，再在△ABD 中，算出∠BAD=∠BDA=30°，从而得到AB=BD=20√3，由此得到乙楼的高．【解答】解：设甲、乙两楼的位置分别为CD 、AB 如图所示， ∵Rt △BDE 中，BE=AC=30m ，∠BDE=60°， ∴BD=BEsin60°=20√3，又∵△ABD中，∠BAD=∠BDA=30°，∴△ABD为等腰三角形，得AB=BD=20√3，即乙楼的高为20√3，故答案为：20√3．三．解答题（共3小题）21．（2018春•宜昌期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列．（1）求cosB的值；（2）边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．【分析】（1）根据等差数列与三角形内角和定理求出B的值，再计算cosB的值；（2）由等比数列与正弦定理，利用同角的三角函数关系，即可求得sinAsinC的值．【解答】解：（1）△ABC中，由A、B、C成等差数列知，2B=A+C，又A+B+C=180°，∴B=60°，∴cosB=12；…6分（2）由a、b、c成等比数列，知b2=ac，根据正弦定理得sin2B=sinAsinC，又cosB=12，∴sinAsinC=1﹣cos2B=34．…12分22．（2018春•沙坪坝区校级期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bcosC+ccosB2=√33acosB．（1）求B；（2）若b=√7，c=2√3，a＞b，求a．【分析】（1）由正弦定理，将边的问题转化为角的问题，由此能求出B．（2）由余弦定理．b2=a2+c2﹣2accosB，即可得到a．【解答】解：（1）因为bcosC+cCOSB2=√33acosB，由正弦定理，将其转化为：sinBcosC+sinCcosB2=√33sinAcosB所以sinA=2√33sinAcosB，而sinA≠0，故cosB=√32，所以B=π6．（2）由b2=a2+c2﹣2accosB，得7=12+a2﹣6a，解得a=5或a=1，∵a＞b∴a=1（舍）取a=5．23．（2018春•大连期末）如图，跳伞塔CD高h，在塔顶C测得地面上两点A，B的俯角分别是α，β，又测得∠ADB=γ．已知h=50，α=45°，β=60°，γ=30°，求AB的长．【分析】先由勾股定理确定AD，BD的长，再利用余弦定理，即可求得AB的长【解答】解：如图根据已知，CD=h，∵在△ACD中，∠CAD=α=45°，∴CD：AD=h：AD=tanα=1，∴AD=h，同理，在△BCD中，∠CBD=β=60°，∴BD=√33h，∴在△BDA中，由余弦定理得，AB2=AD2+BD2﹣2×AD×BD×cos∠ADB=h2+1 3 h2﹣2×h×√33h×cosγ，故AB2=13h2，故AB的长为√33h．归纳总结1、三角形中的边角关系:（1）边的关系：1）两边之和大于第三边；两边之差小于第三边 2）在直角三角形中：a 2+b 2=c 2 （2）角的关系： 1）A+B+C=18002）sin()sin A B C += cos()cos A B C +=- sin cos 22A B C+= （3）边角关系：1）大边对大角，大角对大边，等边对等角 2）在直角三角形ABC 中,C=900,则sin ,cos a b A A c c== 3）在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin sin a b c A B C ===sin sin sin a b cA B C++++=2R 注意：定理适合任意三角形。