《统计学》 第七章 相关分析与回归分析(补充例题)

第七章 相关分析与回归分析

(3)当固定资产改变200万元时，总产值平均改变多少？(4)当固定资产为1300万元时，总产值为多少？

（1）协方差——用以说明两指标之间的相关方向。

2

2))((n y x xy n n

y y x x xy

∑∑∑∑-=

--=σ

035.126400100

9801

6525765915610>=⨯-⨯=

计算得到的协方差为正数，说明固定资产和总产值之间存在正相关关系。 （2）相关系数用以说明两指标之间的相关方向和相关的密切程度。

∑∑∑∑∑∑∑---=

]

)(][)([2222y y n x x n y

x xy n r

95.0)

98011086657710()6525566853910(9801

65257659156102

2

=-⨯⨯-⨯⨯-⨯=

计算得到的相关系数为0.95，表示两指标为高度正相关。

(3)

2

226525

5668539109801

6525765915610)(-⨯⨯-⨯=--=

∑∑∑∑∑x x n y x xy n b 90.014109765

12640035

42575625566853906395152576591560==--=

85.39210

6525

9.0109801=⨯-=

-=x b y a 回归直线方程为： x y 9.085.392ˆ+= (4)当固定资产改变200万元时，总产值平均改变多少？

x y ∆=∆9.0,1802009.0|200=⨯=∆=∆x y 万元

当固定资产改变200万元时，总产值平均增加180万元。

(5)当固定资产为1300万元时，总产值为多少？

85.156213009.085.392|1300=⨯+==x y 万元

当固定资产为1300万元时，总产值为1562.85万元。

例2、试根据下列资产总值和平均每昼夜原料加工量资料计算相关系数。

解：【分析】本题中“企业数”应看成资产总值和平均每昼夜原料加工量两变量的次数，在计算相关系数的过程，要进行“加权”。

相关系数

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑---=

]

)(][)([2

2

2

2

f y f y f f x f x f yf

xf xyf f r 84.0)

331.2842()216001174000042(33

2160017960422

2

=-⨯⨯-⨯⨯-⨯=

要求：（1）编制直线回归方程；（2）由此计算出学习时数与学习成绩之间的相关系数。 解：先列出计算表： 解：（1）bx a y c +=

2.54037053104027405)(2

22=-⨯⨯-⨯=--=∑∑∑∑∑x x n y x xy n b

4.205

40

2.55310=⨯-=

-=x b y a 回归直线方程为：

x y c 2.54.20+=

（2）

∑∑∑∑∑∑∑---=

]

)(][)([2222y y n x x n y

x xy n r 956.002

.8681.151300

)

310207005()403705(310402740522=⨯=

-⨯⨯-⨯⨯-⨯=

计算得到的相关系数为0.95，表示两指标为高度正相关。

956.09135.02===r r

说明学习时数x 与成绩得分y 之间有高度的相关关系。 例3、检查5位同学统计学的学习时间与成绩分数如下表：

要求：（1）编制直线回归方程；（2）计算估计标准误差；（3）对学习成绩的方差进行分解分析，指出总误差平方和中有多少比重可由回归方程来解释；（4）由此计算出学习时数与学习成绩之间的相关系数。

解：（1）bx a y c +=

2.54037053104027405)(2

22=-⨯⨯-⨯=--=∑∑∑∑∑x x n y x xy n b

4.205

40

2.55310=⨯-=

-=x b y a 回归直线方程为：

x y c 2.54.20+=

（2）53.63

2740

2.53104.202070022

=⨯-⨯-=---=

∑∑∑n xy b y a y

S yx

（3）总误差分解列表如下： 学习

时数x 学习成绩y c y

y y - 2)(y y - c y y - 2)(c y y - y y c - 2)(y y c -

4 6 7 10 13 40 60 50 70 90 41.2 51.6 56.8 72.4 88.0 -22 -2 12 8 28 484 4 144 64 784 -1.2 8.4 -6.8 -2.4 2.0 1.44 70.56 46.24 5.76 4.00 -20.8 -10.4 -5.2 10.4 26.0 432.64 108.16 27.04 108.16 676.00 40

310

—

—

1480

—

—

1352.00

635

==

y ∑∑∑-+-=-222

)()()(y y

y y y y c

c

1480=128+1352

9135.01480

1352

)

()(2

2

2

==

--=∑∑

y y y y r

c

计算总误差平方和中有91.35%可以由回归方程来解释，学习时数x 与成绩得分y 之间有高度的相关。如果用理论分数c y 来估计实际分数y ，平均将发生6.53分的误差，这个数字与平均成绩62分对比约占10.5%。 （4）956.09135.02===r r

说明学习时数x 与成绩得分y 之间有高度的相关关系。