(江西版)2013年高考数学总复习第十一章算法初步、推理与证明、复数单元检测理北师大版(含详解)

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2013年高考文科数学(江西卷)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分。

考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z=i （-2-i ）（i 为虚数单位）在复平面内所对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.若集合A=｛x ∈R|ax 2+ax+1＝0｝其中只有一个元素，则a= A.4 B.2 C.0 D.0或43.sin cos 2αα==若 A. 23-B. 13-C. 13D.234.集合A={2,3},B={1,2,3},从A,B 中各取任意一个数，则这两数之和等于4的概率是 A. B.C. D.5.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成。

利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为A.08B.07C.02D.01 6. 下列选项中，使不等式x ＜1x＜2x 成立的x 的取值范围是 A.（，-1） B. （-1，0） C.0，1） D.（1，+）7.阅读如下程序框图，如果输出i=4，那么空白的判断框中应填入的条件是A.S ＜8B. S ＜9C. S ＜10D. S ＜11 8.一几何体的三视图如右所示，则该几何体的体积为 A.200+9π B. 200+18πC. 140+9πD. 140+18π 9. 已知点A （2，0），抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM|：|MN|= A.2:B.1:2C. 1:D. 1:310.如图。

已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1m 的圆O 在t=0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y=cosx ，则y 与时间t （0≤x ≤1，单位：s ）的函数y=f （t ）的图像大致为第Ⅱ卷二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

专题11 不等式、推理与证明、复数、算法初步-三年(2022–2024)高考数学真题分类汇编(解析)

专题11不等式、推理与证明、复数、算法初步考点三年考情（2022-2024）命题趋势考点1：线性规划问题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题高考对本节的考查相对稳定，每年必考题型，考查内容、频率、题型、难度均变化不大．复数的运算与不等式是常考点，难度较低，预测高考在此处仍以简单题为主．考点2：不等式大小判断问题2024年北京高考数学真题考点3：利用基本不等式求最值2022年新高考全国II卷数学真题考点4：解不等式2024年上海高考数学真题考点5：程序框图2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点6：复数加减乘除运算2022年新高考天津数学高考真题2023年天津高考数学真题2024年天津高考数学真题2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题2024年高考全国甲卷数学（文）真题2024年高考全国甲卷数学（理）真题2024年北京高考数学真题2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题2023年高考全国乙卷数学（理）真题2023年高考全国甲卷数学（文）真题2022年新高考全国I卷数学真题2022年新高考全国II卷数学真题2022年高考全国甲卷数学（理）真题考点7：模运算2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题2022年新高考北京数学高考真题2022年高考全国甲卷数学（文）真题2023年高考全国乙卷数学（文）真题考点8：复数相等2024年上海高考数学真题2023年高考全国甲卷数学（理）真题2022年新高考浙江数学高考真题2022年高考全国乙卷数学（文）真题2022年高考全国乙卷数学（理）真题考点9：复数的几何意义2023年北京高考数学真题2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题考点1：线性规划问题1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若,x y满足约束条件43302202690x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y=-的最小值为（）A．12B．0C．52-D．72-【答案】D【解析】实数,x y满足4330220 2690 x yx yx y--≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，作出可行域如图：由5z x y=-可得1155y x z=-，即z的几何意义为1155y x z=-的截距的15-，则该直线截距取最大值时，z有最小值，此时直线1155y x z=-过点A，联立43302690x yx y--=⎧⎨+-=⎩，解得321xy⎧=⎪⎨⎪=⎩，即3,12A⎛⎫⎪⎝⎭，则min375122z=-⨯=-.故选：D.2．（2022年新高考浙江数学高考真题）若实数x，y满足约束条件20,270,20,xx yx y-≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩则34z x y=+的最大值是（）A．20B．18C．13D．6【答案】B【解析】不等式组对应的可行域如图所示：当动直线340x y z +-=过A 时z 有最大值.由2270x x y =⎧⎨+-=⎩可得23x y =⎧⎨=⎩，故()2,3A ，故max 324318z =⨯+⨯=，故选：B.3．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为．【答案】15【解析】作出可行域，如图，由图可知，当目标函数322z y x =-+过点A 时，z 有最大值，由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即(3,3)A ,所以max 332315z =⨯+⨯=.故答案为：154．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）若x ，y 满足约束条件312937x y x y x y -≤-⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最大值为.【答案】8【解析】作出可行域如下图所示：2z x y =-，移项得2y x z =-，联立有3129x y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得52x y =⎧⎨=⎩，设()5,2A ，显然平移直线2y x =使其经过点A ，此时截距z -最小，则z 最大，代入得8z =，故答案为：8.5．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若x ，y 满足约束条件2,24,0,x y x y y +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最大值是（）A ．2-B ．4C ．8D ．12【答案】C【解析】由题意作出可行域，如图阴影部分所示，转化目标函数2z x y =-为2y x z =-，上下平移直线2y x z =-，可得当直线过点()4,0时，直线截距最小，z 最大，所以max 2408z =⨯-=.故选：C.考点2：不等式大小判断问题6．（2024年北京高考数学真题）已知()11,x y ，()22,x y 是函数2x y =的图象上两个不同的点，则（）A ．12122log 22y y x x ++<B ．12122log 22y y x x ++>C ．12212log 2y y x x +<+D ．12212log 2y y x x +>+【答案】B【解析】由题意不妨设12x x <，因为函数2x y =是增函数，所以12022x x <<，即120y y <<，对于选项AB ：可得1212122222·222x x x x x x ++>=，即12122202x x y y ++>>，根据函数2log y x =是增函数，所以121212222log log 222x x y y x x+++>=，故A 正确，B 错误；对于选项C ：例如120,1x x ==，则121,2y y ==，可得()12223log log 0,122y y +=∈，即12212log 12y y x x +<=+，故C 错误；对于选项D ：例如121,2x x =-=-，则1211,24y y ==，可得()122223log log log 332,128y y +==-∈--，即12212log 32y y x x +>-=+，故D 错误，故选：B.考点3：利用基本不等式求最值7．（多选题）（2022年新高考全国II 卷数学真题）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（）A ．1x y +≤B ．2x y +≥-C ．222x y +≤D ．221x y +≥【答案】BC【解析】因为22222a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭（,a b ÎR ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x θθ-==，所以cos ,sin 33x y θθθ=+=，因此2222511cos sin sin cos 1sin 2cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当3333x y ==221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．考点4：解不等式8．（2024年上海高考数学真题）已知,x ∈R 则不等式2230x x --<的解集为．【答案】{}|13x x -<<【解析】方程2230x x --=的解为=1x -或3x =，故不等式2230x x --<的解集为{}|13x x -<<，故答案为：{}|13x x -<<.考点5：程序框图9．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）执行下面的程序框图，输出的B =（）A ．21B ．34C ．55D ．89【答案】B【解析】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=；当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=；当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=；当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.10．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）执行下边的程序框图，输出的n =（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】执行第一次循环，2123b b a =+=+=，312,12a b a n n =-=-==+=，222231220.0124b a -=-=>；执行第二次循环，2347b b a =+=+=，725,13a b a n n =-=-==+=，222271220.01525b a -=-=>；执行第三次循环，271017b b a =+=+=，17512,14a b a n n =-=-==+=，2222171220.0112144b a -=-=<，此时输出4n =.故选：B考点6：复数加减乘除运算11．（2022年新高考天津数学高考真题）已知i 是虚数单位，化简113i1+2i-的结果为．【答案】15i -/51i -+【解析】()()()()113i 12i 113i 11625i15i 1+2i 1+2i 12i 5-----==--．故答案为：15i -．12．（2023年天津高考数学真题）已知i 是虚数单位，化简514i23i++的结果为．【答案】4i +/4i +【解析】由题意可得()()()()514i 23i 514i 5213i4i 23i 23i 23i 13+-++===+++-.故答案为：4i +.13．（2024年天津高考数学真题）已知i 是虚数单位，复数)()5i 52i ⋅=．【答案】75i 【解析】))5i 52i 55i 25i 275i ⋅-=-+=.故答案为：75i .14．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知1i22iz -=+，则z z -=（）A ．i -B ．i C ．0D ．1【答案】A 【解析】因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----===-++-，所以1i 2z =，即i z z -=-．故选：A ．15．（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）设2i z =，则z z ⋅=（）A ．2-B 2C ．2-D ．2【答案】D【解析】依题意得，2i z =-，故22i 2zz =-=.故选：D16．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）若5i z =+，则()i z z +=（）A ．10iB ．2iC ．10D ．2【答案】A【解析】由5i 5i,10z z z z =+⇒=-+=，则()i 10i z z +=.故选：A17．（2024年北京高考数学真题）已知1i iz=--，则z =（）．A ．1i --B ．1i-+C ．1i-D ．1i+【答案】C【解析】由题意得()i 1i i 1z =--=-.故选：C.18．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）若1i 1zz =+-，则z =（）A ．1i --B ．1i -+C ．1i-D ．1i+【答案】C 【解析】因为11111i 111z z z z z -+==+=+---，所以111i i z =+=-.故选：C.19．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设252i1i i z +=++，则z =（）A ．12i -B ．12i +C ．2i -D ．2i+【答案】B【解析】由题意可得()252i 2i 2i 2i2i 112i 1i i 11i i 1z +++-=====-++-+-，则12i z =+.故选：B.20．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）()()()351i 2i 2i +=+-（）A ．1-B ．1C ．1i-D ．1i+【答案】C 【解析】()()351i 51i 1i (2i)(2i)5+-==-+-故选：C.21．（2022年新高考全国I 卷数学真题）若i(1)1z -=，则z z +=（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】D【解析】由题设有21i1i i iz -===-，故1+i z =，故()()1i 1i 2z z +=++-=，故选：D22．（2022年新高考全国II 卷数学真题）(22i)(12i)+-=（）A ．24i -+B ．24i --C ．62i+D ．62i-【答案】D【解析】()()22i 12i 244i 2i 62i +-=+-+=-，故选：D.23．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）若13i z =-，则1zzz =-（）A ．13i -B ．13i-C ．133-+D ．133--【答案】C【解析】13i,(13i)(13i)13 4.z zz =-=--=+=13i 131333z zz -==--故选：C考点7：模运算24．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知1i z =--，则z =（）A ．0B ．1C 2D ．2【答案】C【解析】若1i z =--，则()()22112z -+-=故选：C.25．（2022年新高考北京数学高考真题）若复数z 满足i 34i z ⋅=-，则z =（）A ．1B ．5C ．7D ．25【答案】B【解析】由题意有()()()34i i 34i 43i i i i z ---===--⋅-，故()()223|54|z -+-==．故选：B ．26．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）若1i z =+．则|i 3|z z +=（）A ．45B ．42C ．25D ．22【答案】D【解析】因为1i z =+，所以()()i 3i 1i 31i 22i z z +=++-=-，所以i 34422z z +=+=故选：D.27．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）232i 2i ++=（）A ．1B ．2C 5D ．5【答案】C【解析】由题意可得232i 2i 212i 12i ++=--=-，则()22322i 2i 12i 125++=-+-=故选：C.考点8：复数相等28．（2024年上海高考数学真题）已知虚数z ，其实部为1，且()2z m m z+=∈R ，则实数m 为．【答案】2【解析】设1i z b =+，b ∈R 且0b ≠.则23222231i i 1i 11b b b z b m z b b b ⎛⎫⎛⎫+-+=++=+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭，m ∈R ，22323101b mb b b b ⎧+=⎪⎪+∴⎨-⎪=⎪+⎩，解得2m =，故答案为：2.29．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （）A ．-1B ．0·C ．1D ．2【答案】C【解析】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.30．（2022年新高考浙江数学高考真题）已知,,3i (i)i a b a b ∈+=+R （i 为虚数单位），则（）A ．1,3a b ==-B ．1,3a b =-=C ．1,3a b =-=-D ．1,3a b ==【答案】B【解析】3i 1i a b +=-+，而,a b 为实数，故1,3a b =-=，故选：B.31．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）设(12i)2i a b ++=，其中,a b 为实数，则（）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b ==C ．1,1a b =-=D ．1,1a b =-=-【答案】A【解析】因为,a b ÎR ，()2i 2i a b a ++=，所以0,22a b a +==，解得：1,1a b ==-．故选：A.32．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知12z i =-，且0z az b ++=，其中a ，b 为实数，则（）A ．1,2a b ==-B ．1,2a b =-=C ．1,2a b ==D ．1,2a b =-=-【答案】A【解析】12z i=-12i (12i)(1)(22)iz az b a b a b a ++=-+++=+++-由0z az b ++=,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，得10220a b a ++=⎧⎨-=⎩,即12a b =⎧⎨=-⎩故选:A考点9：复数的几何意义33．（2023年北京高考数学真题）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(3)-，则z 的共轭复数z =（）A ．13i +B ．13i-C ．13i -D ．13i-【答案】D【解析】z 在复平面对应的点是(3)-，根据复数的几何意义，13i z =-，由共轭复数的定义可知，13i z =-.故选：D34．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）在复平面内，()()13i 3i +-对应的点位于（）．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】因为()()213i 3i 38i 3i 68i +-=+-=+，则所求复数对应的点为()6,8，位于第一象限.故选：A.。

2013届高考数学(理)一轮复习课件复数-复数的概念及运算(人教A版)

z1，z2∈C还成立吗？
提示：(1)假命题．例如：z1＝1＋i，z2＝－2＋i，z1－ z2＝3>0.
但z1>z2无意义，因为虚数无大小概念． (2)不一定成立．比如z1＝1，z2＝i满足z21＋z22＝0. 但z1≠0，z2≠0.
归纳拓展：(1)in的周期性：i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1， i4n＋3＝－i，n∈Z.
R}，N＝{x||x－
1 i
|<
2 ，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N＝
() A．(0，1)
B．(0，1]
C．[0，1)
D．[0，1]
答案：C 解析：M＝{y|y＝|cos2x|x∈R}， ∴M＝{y|0≤y≤1}， N＝{x||x＋i|< 2}＝{x|－1<x<1}， ∴M∩N＝{x|0≤x<1}．
[解析] ∵12＋－aii＝（1＋ai）5（2＋i）＝2－a＋（52a＋1）i， ∴12＋－aii＝2－5 a＋2a5＋1i， ∴22－a5＋5a＝1≠00，∴a＝2.
[答案] A
[规律总结] 有关复数的概念问题，一般涉及到复数的实部、虚部、模、虚数、纯虚数、实数、共轭复数等，解决时，一定先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定其实部和虚部．
第3课时复数的概念及运算
考纲下载 1．了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．理解复数相等的充要条件． 2．掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数形式的加法、减法、乘法、除法运算． 3．了解从实数系到复数系的关系及扩充的基本思想．
请注意！对于复数的考查越来越简单，一般只有一个选择题，以代数形式运算为主，另外还有时考查复数的有关概念，代数形式的运算技巧，复数的几何意义，复数模的最值，复平面内点的轨迹等．

2013年江西高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2,i M z =,i 为虚数单位,{}{}3,4,4N M N == ,则复数z =（）A.2i -B.2iC.4i -D.4i 【测量目标】集合的基本运算和复数的四则运算【考查方式】利用并集运算、复数的乘法运算求解. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】{}{}1,2,i ,3,4,M z N == 由{}4,M N = 得4,i=4,M z ∈∴4i.z =- 2.函数)y x =-的定义域为（）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]【测量目标】函数的定义域.【考查方式】利用根式和对数函数有意义的条件求解. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由00110x x x ⎧⇒<⎨->⎩…….3.等比数列,33,66x x x ++, 的第四项等于 ( )A.24-B.0C.12D.24【测量目标】等比数列性质.【考查方式】利用等比中项和等比数列的特点求解. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由2(33)(66)1x x x x +=+⇒=-或3x =-，（步骤1）当1x =-时，330x +=，故舍去，（步骤2）所以当3x =-，则等比数列的前3项为3,6,12---，故第四项为24-.（步骤3）4.总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号【测量目标】简单的随机抽样.【考查方式】利用随机抽样方法中随机数表的应用求解. 【难易程度】容易【参考答案】D 【试题解析】依题意，第一次得到的两个数为65,6520>,将它去掉；第二次得到的两个数为72，由于7220>,将它去掉；第三次得到的两个数字为08，由于0820<，说明号码08在总体内,将它取出;继续向右读，依次可以取出02,14,07,02;但由于02在前面已经选出，故需要继续选一个,再选一个数就是01，故选出来的第五个个体是01. 5.2532()x x-展开式中的常数项为 ( )A.80B.-80C.40D.40-【测量目标】二项式定理.【考查方式】利用二项展开式的通项公式求解.【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】展开式的通项为2510515532C ()()(2)C rrr r r r r T x x x --+=-=-，令10502r r -=⇒=，故展开式的常数项为225(2)C 40-=.6.若22221231111,,e ,x S x dx S dx S dx x ===⎰⎰⎰则123,,S S S 的大小关系为( )A.123S S S <<B.213S S S <<C.231S S S <<D.321S S S <<【测量目标】定积分的几何意义.【考查方式】利用定积分的求法比较三个的大小来求解. 【难易程度】中等【参考答案】B 【试题解析】32222212311122271,ln ln 2,e e e e 11133x x x S x dx S dx x S dx x =========-⎰⎰⎰，显然213S S S <<7.阅读如下程序框图，如果输出5i =,那么在空白矩形框中应填入的语句为( )第7题图A.22S i =-B.21S i =-C.2S i =D.24S i =+ 【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】根据程序框图表示的算法对i 的取值进行验证. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】当2i =时，22510;S =⨯+=<当3i =时，仍然循环，排除D;当4i =时，241910S =⨯+=< 当5i =时，不满足10,S <即此时10S …输出i .（步骤1）此时A 项求得2528,S =⨯-=B 项求得2519,S =⨯-=C 项求得2510,S =⨯=故只有C 项满足条件. （步骤2）8.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB CD ，正方体的六个面所在的平面与直线,CE EF 相交的平面个数分别记为,m n ，那么m n += （）第8题图A.8B.9C.10D.11 【测量目标】线面平行的判定.【考查方式】利用线面平行,线面相交的判断及空间想象力求解. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】直线CE 在正方体的下底面内，与正方体的上底面平行；与正方体的左右两个侧面,前后两个侧面都相交,故4m =;(步骤1)作CD 的中点G ，显然易证平面EFG 的底边EG 上的高线与正方体的前后两个侧面平行,故直线EF 一定与正方体的前后两个侧面相交;另外,直线EF 显然与正方体的上下两个底面相交;综上,直线EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4，故4n =,所以8m n +=.(步骤2)9.过点引直线l 与曲线y =,A B 两点,O 为坐标原点,当AOB △的面积取最大值时,直线l 的斜率等于 ( )A.3 B.3- C.3± D.【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】利用角形的面积,点到直线的距离公式,三角函数的最值求解. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】因为AOB △的面积在π2AOB ∠=时,取得最大值.设直线l 的斜率为k ,则直线l 的方程为(y k x =,即0kx y -=,(步骤1)由题意，曲线y =O 到直线l 的距离为π1sin4⨯=,23k =⇒=（舍去）,或k =.(步骤2) 10.如图，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线，12,l l 之间1l l ,l 与半圆相交于,F G 两点，与三角形ABC 两边相交于,E D 两点，设弧 FG 的长为(0π)x x <<,y EB BC CD =++，若l 从1l 平行移动到2l ,则函数()y f x =的图象大致是（）第10题图A B C D 【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】利用函数的图象、扇形弧长、三角函数，以及数形结合的数学思想求解. 【难易程度】较难【参考答案】D【试题解析】连接OF ,OG ,过点O 作,OM FG ⊥过点A 作AH BC ⊥,交DE 于点N .因为弧 FG的长度为x ,所以,FOG x ∠=则cos,2x AN OM ==所以cos ,2AN AE x AH AB ==则,2xAE =.2x EB ∴=2x y EB BC CD ∴=++=π)2xx =+<< 第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.函数2sin2y x x =+的最小正周期为T 为 . 【测量目标】三角函数的周期.【考查方式】利用三角恒等变换求解三角函数的最小周期. 【难易程度】容易【参考答案】π【试题解析】2πsin 2sin sin 2cos 22sin(233y x x x x x =+==-，故最小正周期为2ππ2T ==. 12.设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π3,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________.【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】利用向量的投影，向量的数量积运算求解. 【难易程度】容易【参考答案】52【试题解析】121(3)2||cos ||||||||2θ+===e e e a b a b a a a b b2112π2611cos 2653.222+⨯⨯⨯+=== e e e 13.设函数()f x 在(0,)+∞内可导,且(e )e x x f x =+,则(1)f '= .【测量目标】导数的运算.【考查方式】利用导数的运算,函数解析式的求解,以及转化与化归的数学思想求解. 【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】由1(e )e ()ln (0)()1(0)xxf x f x x x x f x x x'=+⇒=+>⇒=+>,故(1)2f '=. 14.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ,其准线与双曲线22133x y -=相交于,A B 两点,若ABF △为等边三角形,则p = .【测量目标】直线与双曲线位置关系.【考查方式】利用抛物线与双曲线的简单性质，等边三角形的特征求解. 【难易程度】中等【参考答案】6【试题解析】不妨设点A 在左方,AB 的中点为C ,则易求得点(0,),2pF (),2pA -)2pB -.（步骤1）因为ABF △为等边三角形，所以由正切函数易知tan 606FCp CB==⇒= . （步骤2）三、选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按第一题评阅计分，本题共5分 15.（1）.（坐标系与参数方程选做题）设曲线C 的参数方程为2x t y t=⎧⎨=⎩（t 为参数）,若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 . 【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】利用参数方程、直角坐标系方程和极从标的互化. 【难易程度】容易【参考答案】2cos sin 0ρθθ-=【试题解析】由曲线C 的参数方程为2,x t y t ==（t 为参数），得曲线C 的直角坐标系方程为2x y =，（步骤1）又由极坐标的定义得，2(cos )sin ρθρθ=，即化简曲线C 的极坐标方程为2cos sin 0ρθθ-=.（步骤2）（2）.（不等式选做题）在实数范围内,不等式211x --…的解集为 . 【测量目标】解绝对值不等式.【考查方式】利用绝对值不等式的解法，结合绝对值的性质求解. 【难易程度】容易【参考答案】[]0,4【试题解析】||2|1|11|2|110|2|222204x x x x x --⇒---⇒-⇒--⇒剟剟剟剟?.四、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos (cos )cos 0C A A B +=. （1）求角B 的大小；（2）若1a c +=,求b 的取值范围【测量目标】两角和与差的正余弦,余弦定理.【考查方式】给出相关信息,利用两角和的余弦函数,余弦定理求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即有sin sin cos 0A B A B = （步骤1）因为sin 0A ≠，所以sin 0B B =，又cos 0B ≠，所以tan B =又0πB <<，所以π3B ∠=.（步骤2）（2）由余弦定理，有2222cos b a c ac B =+-.（步骤3）因为11,cos 2a c B +==，有22113()24b a =-+.又01a <<，于是有2114b <…，即有112b <….（步骤4）17.（本小题满分12分）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：222(1)()0n n S n n S n n -+--+=（1）求数列{n a }的通项公式n a ；（2）令221(2)n n b n a+=+,数列{n b }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n ∈N ,都有564n T <【测量目标】数列的通项公式与前n 项和n S 的关系，裂项求和法.【考查方式】利用数列通项公式的求法和数列的求和，裂项求和法求出其前n 项和，通过放缩法证明. 【难易程度】中等【试题解析】（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.由于{}n a 是正项数列，所以20,n n S S n n >=+.（步骤1）于是112,2a S n ==…时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. 综上,数列{}n a 的通项2n a n =.（步骤1）（2）证明:由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+. 则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦.（步骤3） 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (22221111)1151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦.（步骤4） 18.（本小题满分12分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队.游戏规则为:以O 为起点,再从12345678,,,,,,,,A A A A A A A A (如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为X .若0X =就参加学校合唱团,否则就参加学校排球队. （1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X 的分布列和数学期望.第18题图【测量目标】古典概型，离散型随机变量分布列和期望.【考查方式】利用组合数的公式、向量数量积运算、古典概型概率等求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）从8个点中任意取两点为向量终点的不同取法共有28C 28=种，当0X =时，两向量夹角为直角共有8种情形,所以小波参加学校合唱团的概率为82(0)287P X ===.（步骤1）（2）两向量数量积X 的所有可能取值为2,1,0,1,2X --=-时,有两种情形;1X =时,有8种情形；1X =-时,有1(2)+(1)01.14147714EX =-⨯-⨯+⨯+⨯=-（步骤2）19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面,ABCD E 为BD 的中点,G 为PD 的中点，3,12DAB DCB EA EB AB PA ====△≌△,，连接CE 并延长交AD 于F . （1）求证:AD CFG ⊥平面；（2）求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值.第19题图【测量目标】线面垂直的判定，二面角,空间直角坐标系，空间向量及运算. 【考查方式】利用线面垂直的定理求解，通过建系求二面角的平面角的余弦值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）在ABD △中，因为E 是BD 的中点,所以1EA EB ED AB ====,故ππ,23BAD ABE AEB ∠=∠=∠=，（步骤1）因为DAB DCB △≌△,所以EAB ECB △≌△, 从而有FED FEA ∠=∠，（步骤2）故,EF AD AF FD ⊥=,又因为,PG GD =所以FG PA . 又PA ⊥平面ABCD ，所以,GF AD ⊥故AD ⊥平面CFG .（步骤3）（2）以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系,则3(0,0,0),(1,0,0),(2A B C D,第19题(2)图3(0,0,)2P ,故1333(0),(),(,2222222BC CP CD ==--=- ，，（步骤4）设平面BCP 的法向量111(1,,)y z =n，则111102233022y y z ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩ ，解得1123y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即12(1,,)33=-n .（步骤5）设平面DCP 的法向量222(1,,)y z =n，则222302330222y y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩，解得222y z ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（步骤6）即2(1=n .从而平面BCP 与平面DCP的夹角的余弦值为12124cos θ=== n n n n （步骤7）20. (本小题满分13分)如图,椭圆2222+=1(>>0)x y C a b a b：经过点3(1,),2P 离心率1=2e ，直线l 的方程为=4x .（1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，记,,PA PB PM 的斜率分别为123,,.k k k 问:是否存在常数λ，使得123+=k k k λ？若存在求λ的值；若不存在,说明理由.第20题图【测量目标】椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系. 【考查方式】利用椭圆方程的方法及直线的斜率求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由3(1,)2P 在椭圆上得,221914a b += ① 依题设知2a c =,则223b c =. ②（步骤1） ②代入①解得2221,4,3c a b ===.故椭圆C 的方程为22143x y +=.（步骤2）（2）方法一:由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =- ③代入椭圆方程223412x y +=并整理,得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=，（步骤3）设1122(,),(,)A x y B x y ,则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++ ④（步骤4）在方程③中令4x =得,M 的坐标为(4,3)k .从而121231233331222,,11412y y k k k k k x x ---====----. 注意到,,A F B 共线,则有AF BF k k k ==,即有121211y y k x x ==--.所以1212121212123331122()1111212y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 121212232.2()1x x k x x x x +-=--++ ⑤（步骤5）④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-=---+++ ，又312k k =-，所以1232k k k +=.故存在常数2λ=符合题意. （步骤6）方法二:设000(,)(1)B x y x ≠,则直线FB 的方程为:00(1)1y y x x =--，令4x =,求得003(4,)1y M x -，从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-,（步骤3）联立0022(1)1143y y x x x y ⎧=-⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩ ,得0000583(,)2525x y A x x ---，（步骤4）则直线PA 的斜率为:00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为:020232(1)y k x -=-，所以00000123000225232122(1)2(1)1y x y y x k k k x x x -+--++=+==---，（步骤5）故存在常数2λ=符合题意. （步骤6）21. (本小题满分14分)已知函数1()=(12)2f x a x --,a 为常数且>0a . （1）证明:函数()f x 的图象关于直线1=2x 对称；（2）若0x 满足00(())=f f x x ,但00()f x x ≠,则称0x 为函数()f x 的二阶周期点,如果()f x 有两个二阶周期点12,,x x 试确定a 的取值范围；（3）对于（2）中的12,x x 和a , 设3x 为函数()()ff x 的最大值点,()()()1,,A x f f x()()()()223,,,0.B x f f x C x 记ABC △的面积为()S a ,讨论()S a 的单调性.【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】利用函数的对称性,解方程,导数的应用及函数单调性求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）证明:因为11()(12),()(12),22f x a x f x a x +=--=- 有11()()22f x f x +=-,（步骤1）所以函数()f x 的图象关于直线12x =对称. （步骤2）（2）当102a <<时,有224,(())4(1),a x f f x a x ⎧⎪=⎨-⎪⎩1,21.2x x >…所以(())f f x x =只有一个解0x =，又(0)0f =，故0不是二阶周期点. （步骤3）当12a =时，有1,2(()).11,2x x f f x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩… 所以(())f f x x =有解集1|2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭…,又当12x …时,()f x x =,故1|2x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭…中的所有点都不是二阶周期点.（步骤4）当12a >时，有2222214,41124,42(()).1412(12)4,244144,4a x x a a a x x a f f x a a a a x x a a a a x x a ⎧⎪⎪⎪-<⎪=⎨-⎪-+<⎪⎪-⎪->⎩……… 所以(())f f x x =有四个解2222240,,,141214a a a a a a +++，（步骤5）又22(0)0,()1212a af f a a==++， 22222244(),()14141414a a a a f f a a a a ≠≠++++,故只有22224,1414a a a a ++是()f x 的二阶周期点.（步骤6）综上所述，所求a 的取值范围为12a >.（步骤7）（3）由（2）得2122224,1414a a x x a a ==++，因为3x 为函数(())f f x 的最大值点，所以314x a =或3414a x a-=.（步骤8）当314x a =时，221()4(14)a S a a -=+.求导得：22112(22()(14)a a S a a ---'=-+，所以当1(2a ∈时，()S a单调递增，当)a ∈+∞时()S a 单调递减；（步骤9）当3414a x a -=时，22861()4(14)a a S a a -+=+，求导得：2221243()2(14)a a S a a +-'=+，因12a>，从而有2221243()02(14)a aS aa+-'=>+，（步骤10）所以当1(,)2a∈+∞时()S a单调递增. （步骤11）。

2013年江西高考数学试题及答案(理科)

2013年江西高考数学试题及答案(理科)一、选择题 1．，已知集合M ＝{1，2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3，4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( ) A ．－2i B ．2i C ．－4i D ．4i1．C [解析] z i ＝4⇒z ＝－4i ，故选C.2．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1]2．B [解析] x ≥0且1－x >0，得x ∈[0，1)，故选B. 3．等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．243．A [解析] (3x ＋3)2＝x (6x ＋6)得x ＝－1或x ＝－3.当x ＝－1时，x ，3x ＋3，6x ＋6分别为－1，0，0，则不能构成等比数列，所以舍去；当x ＝－3时，x ，3x ＋3，6x ＋6分别为－3，－6，－12，且构成等比数列，则可求出第四个数为－24.4．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481A.08 B ．07 C.02 D ．014．D [解析] 选出来的5个个体编号依次为：08，02，14，07，01.故选D. 5． ⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80 C ．40 D ．－40 5．C [解析] T r ＋1＝C r 5(x 2)5－r ⎝⎛⎭⎫－2x 3r＝C r5(－2)r x 10－5r ，当r ＝2时，得常数项为40，故选C.6．若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A ．S 1<S 2<S 3B ．S 2<S 1<S 3C ．S 2<S 3<S 1D ．S 3<S 2<S 16．B [解析] S 1＝，S 2＝S 3＝ex⎪⎪⎪ )21＝e 2－e ，易知S 2<S 1<S 3，故选B .7．阅读如图1－1所示的程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )图1－1A ．S ＝2*i －2B ．S ＝2*i －1C ．S ＝2*iD ．S ＝2*i ＋47．C [解析] 依次检验可知选C.8．如图1－2所示，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB ∥CD ，正方体的六个面所在的平面与直线CE ，EF 相交的平面个数分别记为m ，n ，那么m ＋n ＝( )图1－2A ．8B ．9C ．10D ．118．A [解析] 直线CE 与上下两个平面平行，与其他四个平面相交，直线EF 与左右两个平面平行，与其他四个平面相交，所以m ＝4，n ＝4，故选A.9．过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( )A.33 B ．－33C ．±33D ．－ 39．B [解析] AB ：y ＝k (x －2)，k <0，圆心到直线的距离d ＝|－k 2|k 2＋1<1，得－1<k <0，|AB |＝21－d 2＝21－k 21＋k 2，S △AOB＝12|AB |d ＝2（1－k 2）k 2（1＋k 2）2，－1<k <0，可得当k ＝－33时，S △AOB 最大．故选B. 10．，如图1－3所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x (0<x <π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f (x )的图像大致是( )图1－3图1－410．D [解析] 设l ，l 2距离为t ，cos x ＝2t 2－1，得t ＝cos x ＋12.△ABC 的边长为23，BE 23＝1－t 1，得BE ＝23(1－t )，则y ＝2BE ＋BC ＝2×23(1－t )＋23＝23－433cos x ＋12，当x ∈(0，π)时，非线性单调递增，排除A ，B ，求证x ＝π2的情况可知选D.11．函数y ＝sin 2x ＋2 3sin 2 x 的最小正周期T 为________．11．π [解析] y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3，所以最小正周期为π. 12．设，为单位向量，且，的夹角为π3，若＝1＋32，＝21，则向量在方向上的射影为________．12.52 [解析] 向量在方向上的射影为 ||cos θ＝|＝＝52.13．，设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)＝________．13．2 [解析] f (e x )＝x ＋e x ，利用换元法可得f (x )＝ln x ＋x ，f ′(x )＝1x ＋1，所以f ′(1)＝2.14．抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________．14．6 [解析] 由题知三角形边长为23p ，得点B ⎝⎛⎭⎫13p ，－p 2，代入双曲线方程得p ＝6.15． (1)(坐标系与参数方程选做题)设曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)，若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________．(2)(不等式选做题)在实数范围内，不等式||x －2|－1|≤1的解集为__________________． 15．(1)ρcos 2θ－sin θ＝0 (2)[]0，4[解析] (1)曲线方程为y ＝x 2，将y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ代入得ρcos 2θ－sin θ＝0.(2)－1≤|x －2|－1≤1⇒0≤|x －2|≤2⇒－2≤x －2≤2，得0≤x ≤4. 16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos C ＋(cos A －3sin A )cos B ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝1，求b 的取值范围．解：(1)由已知得－cos(A ＋B )＋cos A cos B －3sin A cos B ＝0，即有sin A sin B －3sin A cos B ＝0，因为sin A ≠0，所以sin B －3cos B ＝0，又cos B ≠0，所以tan B ＝3，又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由余弦定理，有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 因为a ＋c ＝1，cos B ＝12，有b 2＝3⎝⎛⎭⎫a －122＋14.又0<a <1，于是有14≤b 2<1，即有12≤b <1.17．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈*，都有T n <564. 解：(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得 [S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n .于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项为a n ＝2n .(2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1（n ＋2）2. T n ＝116⎣⎡1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2－⎦⎤1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2 ＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564. 18．小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图1－5)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．图1－5解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形；所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为 X －2 －1 0 1 P1145142727EX ＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.19．，如图1－6所示，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，E 为BD 的中点，G 为PD 的中点，△DAB ≌△DCB ，EA ＝EB ＝AB ＝1，P A ＝32，联结CE 并延长交AD 于F .(1)求证：AD ⊥平面CFG ；(2)求平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值．图1－6解：(1)证明：在△ABD 中，因为E 是BD 中点，所以EA ＝EB ＝ED ＝AB ＝1. 故∠BAD ＝π2，∠ABE ＝∠AEB ＝π3.因为△DAB ≌△DCB ，所以△EAB ≌△ECB ，从而有∠FED ＝∠BEC ＝∠AEB ＝π3，所以∠FED ＝∠FEA ，故EF ⊥AD ，AF ＝FD ，又因为PG ＝GD ，所以FG ∥P A . 又P A ⊥平面ABCD ，所以GF ⊥AD ，故AD ⊥平面CFG .(2)以点A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A (0，0，0)，B (1，0，0)，C ⎝⎛⎭⎫32，32，0，D (0，3，0)，P 0，0，32，故BC →＝⎝⎛⎭⎫12，32，0，CP →＝⎝⎛⎭⎫－32，－32，32，CD →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，0.设平面BCP 的法向量1＝(1，y 1，z 1)，则⎩⎨⎧12＋32y 1＝0，－32－32y 1＋32z 1＝0，解得⎩⎨⎧y 1＝－33，z 1＝23，即1＝⎝⎛⎭⎫1，－33，23.设平面DCP 的法向量2＝(1，y 2，z 2)，则⎩⎨⎧－32＋32y 2＝0，－32－32y 2＋32z 2＝0，解得⎩⎨⎧y 2＝3，z 2＝2，即2＝(1，3，2)．从而平面BCP 与平面DCP 的夹角的余弦值为 cos θ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝43169·8＝24.20.图1－7，如图1－7所示，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝⎛⎭⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．解：(1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上得1a 2＋94b 2＝1，① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2，②②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3.故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4（k 2－3）4k 2＋3，④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4，3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12，注意到A ，F ，B 共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k ，所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1，⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24（k 2－3）4k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1.又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．方法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为：y ＝y 0x 0－1(x －1)．令x ＝4，求得M ⎝⎛⎭⎫4，3y 0x 0－1.从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12（x 0－1），联立⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－1（x －1），x 24＋y23＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线P A 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52（x 0－1），直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32（x 0－1），所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52（x 0－1）＋2y 0－32（x 0－1）＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．21．，已知函数f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫1－2⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a >0.(1)证明：函数f (x )的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f (f (x 0))＝x 0，但f (x 0)≠x 0，则称x 0为函数f (x )的二阶周期点．如果f (x )有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f (f (x ))的最大值点，A (x 1，f (f (x 1)))，B (x 2，f (f (x 2)))，C (x 3，0)．记△ABC 的面积为S (a )，讨论S (a )的单调性．解：(1)证明：因为f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝a (1－2|x |)， f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝a (1－2|x |)，有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，所以函数f (x )的图像关于直线x ＝12对称．(2)当0<a <12时，有f (f (x ))＝⎩⎨⎧4a 2x ，x ≤12，4a 2（1－x ），x >12.所以f (f (x ))＝x 只有一个解x ＝0，又f (0)＝0，故0不是二阶周期点．当a ＝12时，有f (f (x ))＝⎩⎨⎧x ，x ≤12，1－x ，x >12.所以f (f (x ))＝x 有解集x ⎪⎪⎪ )x ≤12，又当x ≤12时f (x )＝x ，故x⎪⎪⎪ )x ≤12中的所有点都不是二阶周期点．当a >12时，有f (f (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧4a 2x ，x ≤14a，2a －4a 2x ，14a <x ≤12，2a （1－2a ）＋4a 2x ，12<x ≤4a －14a，4a 2－4a 2x ，x >4a －14a.所以f (f (x ))＝x 有四个解0，2a 1＋4a 2，2a 1＋2a ，4a 21＋4a 2，又f (0)＝0，f⎝⎛⎭⎫2a 1＋2a ＝2a 1＋2a ， f ⎝⎛⎭⎫2a 1＋4a 2≠2a 1＋4a 2，f ⎝⎛⎭⎫4a 21＋4a 2≠4a 21＋4a 2，故只有2a 1＋4a 2，4a 21＋4a 2是f (x )的二阶周期点．综上所述，所求a 的取值范围为a >12.(3)由(2)得x 1＝2a 1＋4a 2，x 2＝4a 21＋4a 2，因为x 3为函数f (f (x ))的最大值点，所以x 3＝14a ，或x 3＝4a －14a.当x 3＝14a 时，S (a )＝2a －14（1＋4a 2），求导得：S ′(a )＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1－22（1＋4a 2）2. 所以当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1＋22时，S (a )单调递增，当a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22，＋∞时S (a )单调递减；当x 3＝4a －14a 时，S (a )＝8a 2－6a ＋14（1＋4a 2），求导得：S ′(a )＝12a 2＋4a －32（1＋4a 2）2；因a >12，从而有S ′(a )＝12a 2＋4a －32（1＋4a 2）2>0，所以当a ∈时S (a )单调递增．。

2020版高考数学一轮复习第11章算法复数推理与证明第2讲课后作业理(含解析)

第11章算法复数推理与证明第2讲A 组基础关1．(2018·榆林模拟)已知复数z 1＝6－8i ，z 2＝－i ，则z 1z 2＝( ) A ．8－6i B ．8＋6i C ．－8＋6i D ．－8－6i 答案 B解析 z 1z 2＝6－8i －i＝(6－8i)·i＝8＋6i.2．(2019·青岛模拟)在复平面内，复数z ＝4－7i2＋3i (i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B 解析 z ＝4－7i2＋3i＝4－7i2－3i13＝－13－26i 13＝－1－2i ，其共轭复数z ＝－1＋2i对应的点(－1,2)在第二象限．3．(2018·河南省天一大联考)已知复数z ＝2－3i ，若z 是复数z 的共轭复数，则z ·(z ＋1)＝( )A ．15－3iB ．15＋3iC ．－15＋3iD ．－15－3i答案 A解析依题意，z ·(z ＋1)＝(2－3i)(3＋3i)＝6＋6i －9i ＋9＝15－3i.4．(2019·广东测试)若z ＝(a －2)＋a i 为纯虚数，其中a ∈R ，则a ＋i 71＋a i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1 答案 C解析 ∵z 为纯虚数，∴⎩⎨⎧a －2＝0，a ≠0，∴a ＝2，∴a ＋i 71＋a i ＝2－i 1＋2i ＝2－i 1－2i 1＋2i1－2i＝－3i3＝－i.故选C.5．已知m 为实数，i 为虚数单位，若m ＋(m 2－4)i>0，则m ＋2i2－2i＝( )A ．iB ．1C ．－iD ．－1 答案 A解析因为m ＋(m 2－4)i>0，所以m ＋(m 2－4)i 是实数，所以⎩⎨⎧m >0，m 2－4＝0，故m ＝2.所以m ＋2i 2－2i＝2＋2i 2－2i ＝1＋i1－i＝i. 6．(2018·成都市第二次诊断性检测)若虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，则yx的最大值是( )A.32B.33C.12 D.3 答案 D解析因为(x －2)＋y i 是虚数，所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3.因为y x是复数x ＋y i 对应点的斜率，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y x max ＝tan ∠AOB ＝3，所以y x 的最大值为 3.7．(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0且a ≠0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题．对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∈/ R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B.8．(2017·天津高考)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i2＋i为实数，则a 的值为________．答案－2解析 ∵a ∈R ，a －i2＋i＝a －i2－i 2＋i 2－i ＝2a －1－a ＋2i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，∴－a ＋25＝0，∴a ＝－2.9．(2018·合肥模拟)设z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为________．答案 1解析设z 1＝a ＋b i ，z 2＝－1＋c i ，因为z 2＝z 1－i z 1，所以－1＋c i ＝(a ＋b i)－i(a －b i)＝(a －b )＋(b －a )i ，所以⎩⎨⎧a －b ＝－1，b －a ＝c ，所以c ＝1，所以z 2的虚部为1.10．已知复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20221＋i ，则复数z 在复平面内对应点的坐标为________．答案 (0,1)解析因为i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2022＝4×505＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 20221＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i1＋i＝－1＋i1－i 1＋i1－i ＝2i2＝i ，对应的点为(0,1)．B 组能力关1．(2018·华南师大附中模拟)欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知e a i 为纯虚数，则复数sin2a ＋i1＋i在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 A解析由题意得e a i＝cos a ＋isin a 是纯虚数，所以⎩⎨⎧cos a ＝0，sin a ≠0，所以sin2a ＝2sin a cos a ＝0，sin2a ＋i 1＋i ＝i 1＋i ＝i 1－i 2＝1＋i 2，其在复平面内对应的点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12在第一象限． 2．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－12i的“错位共轭”复数为( )A ．－36－12iB ．－32＋32iC.36＋12i D.32＋32i 答案 D解析由(z －i)⎝ ⎛⎭⎪⎫32－12i ＝1，可得z －i ＝132－12i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.故选D.3．(2019·西安模拟)已知方程x 2＋(4＋i)x ＋4＋a i ＝0(a ∈R )有实根b ，且z ＝a ＋b i ，则复数z 等于( )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－2＋2iD ．－2－2i答案 A解析由题意得b 2＋(4＋i)b ＋4＋a i ＝0，整理得(b 2＋4b ＋4)＋(a ＋b )i ＝0，所以⎩⎨⎧ b ＋22＝0，a ＋b ＝0，所以⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2，所以z ＝2－2i.4．已知复数z 在复平面内对应的点在第三象限，则z 1＝z ＋|z |在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 A解析令z ＝a ＋b i(a <0，b <0)，则|z |＝a 2＋b 2>|a |，z 1＝z ＋|z |＝(a 2＋b 2＋a )－b i ，又a 2＋b 2＋a >0，－b >0，所以z 1在复平面内对应的点在第一象限．5．已知复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i(a ∈R )的对应点在复平面的第二象限，则|1＋a i|的取值范围是________．答案 [1，5)解析复数z ＝(a －2)＋(a ＋1)i 对应的点的坐标为(a －2，a ＋1)，因为该点位于第二象限，所以⎩⎨⎧a －2<0，a ＋1>0，解得－1<a <2.所以|1＋a i|＝1＋a 2∈[1，5)．6．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7解析由复数相等的充要条件，可得⎩⎨⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，化简得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝－4cos 2θ－3sin θ＋4＝－4(1－sin 2θ)－3sin θ＋4＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为sin θ∈[－1,1]，所以λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.。

高考数学质量检测8 算法初步、复数、推理与证明、系列4选讲文(含解析)北师大版

质量检测(八)测试内容：算法初步、复数、推理与证明、系列4选讲(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2012年南昌模拟)复数z＝i1＋i在复平面上对应的点位于( ) A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：因为z＝i1＋i＝1＋i2，所以对应点⎝⎛⎭⎪⎫12，12，故在第一象限，选A.答案：A2．(2012年南昌市模拟)已知a，b，c是三条不同的直线，命题“a∥b且a⊥c⇒b⊥c”是真命题，如果把a，b，c中的两个或三个换成平面，在所得的命题中，真命题有A．1个B．2个C．3个D．4个解析：根据题意，可构成四个命题：①面α∥面β，且面α⊥面γ，则面β⊥面γ；②直线a∥面β，且a⊥面γ，则面β⊥面γ；③面α∥面β，且面α⊥直线c，则面β⊥直线c；④面α∥直线b且面α⊥面γ，则直线b⊥面γ，可知①②③为真命题，④中直线b∥面γ也可行，选C.答案：C3．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF 和GH不相交，则甲是乙成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：E，F，G，H四点不共面时，EF，GH必定不相交．因为若EF，GH相交，则E，F，G，H四点共面，所以由甲可推出乙；反过来，EF，GH不相交，推不出E，F，G，H不共面，因为当E，F，G，H平行时，E，F，G，H共面，故由乙推不出甲．从而可知选A.答案：A4．(2013年冀州中学期中)已知函数y＝log a(x－1)＋3，(a>0且a≠1)的图象恒过点P，若角α的终边经过点P，则sin2α－sin2α的值等于( )A.313B.513C．－313D．－513解析：根据已知条件可知，函数y＝log a(x－1)＋3，(a>0且a≠1)的图象恒过点P，则令x－1＝1，x＝2，得到y＝3，故过点P(2,3)，那么结合三角函数定义可知，sinα＝322＋32＝31313，cosα＝313，∴sin2α－sin2α＝313－2³313³31313＝－313，选C.答案：C5．如下图所示的程序框图中的输出结果为( )A．2 B．4C．8 D．16解析：k＝1，S＝2，k＝2，S＝4，k＝3，S＝8，输出8.答案：C6．(2012年福建质检)运行如图所示框图的相应程序，若输入a，b的值分别为log23和log32，则输出M的值是( )A．0 B．1C．2 D．－1解析：因为a＝log23>1，b＝log32<1，所以从程序框图可知输出值M＝log23³log32＋1＝2.故选C.答案：C7．(2012年广州调考)已知f1(x)＝sin x＋cos x，f n＋1(x)是f n(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2 011(x)＝( )A ．sin x ＋cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．－sin x －cos x解析：因为f 2(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝－sin x －cos x ，f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ＝f 1(x )，故f 2 011(x )＝f 502³4＋3(x )＝f 3(x )＝－sin x －cos x ，故选D.答案：D8．(2012年石家庄质检)函数f (x )满足f (0)＝0，其导函数f ′(x )的图象如图，则f (x )在[－2,1]上的最小值为( )A ．－1B ．0C ．2D ．3解析：f ′(x )＝2x ＋2，故f (x )＝x 2＋2x ＋c ，又f (0)＝0，∴c ＝0.从而f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，在[－2,1]上的最小值为f (－1)＝－1.答案：A9．(2012年湖北十五校联考)今年“十一”迎来祖国64周年华诞，北京十家重点公园将进行免费游园活动，北海公园免费开放一天，早晨6时30分有2人进入公园，第一个30分钟内有4人进去并出来1人，第二个30分钟内进去8人并出来2人，第三个30分钟内进去16人并出来3人，第四个30分钟内进去32人并出来4人……按照这种规律进行下去，到上午11时30分公园内的人数是( )A ．211－47B ．212－57 C ．213－68D ．214－80解析：设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝22－1，a 3＝23－2，a 4＝24－3，…，a 11＝211－10，所以该数列前11项的和为S 11＝(21－0)＋(22－1)＋(23－2)＋(24－3)＋…＋(211－10)＝2 1－2111－2－11 0＋10 2＝212－57.答案：B10．(2012年青岛质检)运行如图所示的程序框图，则输出s ＝( )A ．3B ．－2C ．4D ．8解析：s n －s n －1＝(－1)nn (1≤n ≤5)，s 0＝1，依题意，求s 5，即－2.故选B. 答案：B11．如图，有四个半径都为1的圆，其圆心分别为O 1(0,0)，O 2(2,0)，O 3(0,2)，O 4(2,2)．记集合M ＝{⊙O i |i ＝1,2,3,4}．若A ，B 为M 的非空子集，且A 中的任何一个圆与B 中的任何一个圆均无公共点，则称(A ，B )为一个“有序集合对”(当A ≠B 时，(A ，B )和(B ，A )为不同的有序集合对)，那么M 中“有序集合对”(A ，B )的个数是A ．2B ．4C ．6D ．8解析：注意到⊙O 1与⊙O 4无公共点，⊙O 2与⊙O 3无公共点，则满足题意的“有序集合对”(A ，B )的个数是4，选B.答案：B12．(2013年温州八校联考)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≥－23x －2y ≤3，，若x 2＋4y 2≥a恒成立，则实数a 的最大值为( )A.532B.45 C ．4D ．1解析：由x 2＋4y 2≥a 恒成立知a ≤(x 2＋4y 2)min ，令t ＝x 2＋4y 2，则表达式表示中心在原点，长轴长为2t ，短轴长为t 的椭圆，画出(x ，y )的可行域(如图所示)．由图可知，当直线x ＋y ＝1与椭圆x 2＋4y 2＝t 相切时，t 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2＋4y 2＝t 得5y 2－2y ＋1－t ＝0，∴Δ＝4－20(1－t )＝0，即t min ＝45，∴a ≤45.故选B. 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上) 13．已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ＋)，若|z |＝2，则复数z 的虚部是________．解析：|z |＝2，故1＋a 2＝4，a ＝±3，又a ∈R ＋，∴a ＝ 3. 答案： 314．观察下列式子：1＋122<32，1＋122＋132<53，1＋122＋132＋142<74，…，则可以猜想：1＋122＋132＋…＋12 0112<________. 解析：由32，53，74，…，可猜想第n 个式子应当为2n ＋1n ＋1，由此可得第2 010个表达式的右边应当为2³2 010＋12 010＋1＝4 0212 011.答案：4 0212 01115．(2012年长沙联考)阅读下面的程序框图，如果输出的函数值在区间[14，12]内，那么输入实数x 的取值范围是________．解析：因为输出的函数值在区间[14，12]内，所以x ∈[－2,2]，且f (x )＝2x∈[14，12]，解得x ∈[－2，－1]．综上，x ∈[－2，－1]．答案：[－2，－1]16．(2012年辽宁重点中学期末)计算C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C 2n ，可以采用以下方法：构造恒等式C 0n ＋C 1n x ＋C 2n x 2＋…＋C n n x n ＝(1＋x )n ，两边对x 求导，得C 1n ＋2C 2n x ＋3C 3n x 2＋…＋n C n n x n －1＝n (1＋x )n －1，在上式中令x ＝1，得C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋n C n n ＝n ²2n －1，类比上述计算方法，计算C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C nn ＝________.解析：类比构造恒等式C 1n x ＋2C 2n x 2＋3C 3n x 3＋…＋n C n n x n ＝nx (1＋x )n －1，两边对x 求导，得C 1n ＋22C 2n x ＋32C 3n x 2＋…＋n 2C n n xn －1＝n (1＋x )n －1＋n (n －1)x (1＋x )n －2，在上式中令x ＝1，得C 1n ＋22C 2n ＋32C 3n ＋…＋n 2C nn ＝n (n ＋1)2n －2.答案：n (n ＋1)2n －2三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．如图中的几何体中，AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ＝2，F 为CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .证明：(1)取CE 的中点G ，连接FG 、BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ， ∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴四边形GFAB 为平行四边形，∴AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . (2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点，∴AF ⊥CD ， ∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列． (1)证明：数列{a n }成等比数列的充要条件是a 1＝3；(2)设b n ＝5n－(－1)na n (n ∈N *)．若b n <b n ＋1对n ∈N *恒成立，求a 1的取值范围．解：(1)证明：因为数列{S n ＋1}是公比为2的等比数列，所以S n ＋1＝S 1＋1²2n －1，即S n ＋1＝(a 1＋1)²4n －1.因为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1，n ＝1，3 a 1＋1 ²4n －2，n ≥2，显然，当n ≥2时，a n ＋1a n＝4. ①充分性：当a 1＝3时，a 2a 1＝4，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝4，即数列{a n }是等比数列． ②必要性：因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝4，即3 a 1＋1a 1＝4，解得a 1＝3.(2)当n ＝1时，b 1＝5＋a 1；当n ≥2时，b n ＝5n－(－1)n³3(a 1＋1)³4n －2(a 1>－1)．①当n 为偶数时，5n－3(a 1＋1)³4n －2<5n ＋1＋3(a 1＋1)³4n －1恒成立，即15(a 1＋1)³4n －2>－4³5n恒成立，故a 1∈(－1，＋∞)．②当n 为奇数时，b 1<b 2且b n <b n ＋1(n ≥3)恒成立．由b 1<b 2知，5＋a 1<25－3(a 1＋1)，得a 1<174.由b n <b n ＋1对n ≥3的奇数恒成立知，5n＋3(a 1＋1)³4n －2<5n ＋1－3(a 1＋1)³4n －1恒成立，即15(a 1＋1)³4n －2<4³5n恒成立，所以a 1＋1<203⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －2恒成立．因为当对n ≥3的奇数时，203⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －2的最小值为253，所以a 1<223.又因为174<223，故－1<a 1<174.综上所述，b n <b n ＋1对n ∈N *恒成立时，a 1∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，174.19．(2012年黄冈市3月质量检测)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC ，AA 1＝6，AC 1＝3，AB ＝2，BC ＝1.(1)证明：BC ⊥平面ACC 1A 1；(2)D 为CC 1中点，在棱AB 上是否存在一点E ，使DE ∥平面AB 1C 1？证明你的结论； (3)求二面角B －AB 1－C 1的余弦值的大小．解：(1)证明：在矩形ACC 1A 1中，AC 1＝3，AA 1＝6，AC ＝3，所以AB 2＝AC 2＋BC 2，BC ⊥AC .又已知A 1A ⊥平面ABC ，BC ⊥AA 1，而AC ∩AA 1＝A ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1. (2)当点E 为棱AB 的中点时，满足题意．分别取BB 1中点M 和AB 中点E ，由DM ∥B 1C 1，EM ∥AB 1，得平面EMD ∥平面AB 1C 1，所以E 为AB 中点时，DE ∥平面AB 1C 1.(3)以C 为坐标原点，CB ，CC 1，CA 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则点C (0,0,0)，B (1,0,0)，A (0,0，3)，C 1(0，6，0)，B 1(1，6，0)，A 1(0，6，3)，D (0，62，0)，AB →＝(1,0，－3)，BB 1→＝(0，6，0)．设n ＝(x ，y ，z )是平面ABB 1的一个法向量．由⎩⎨⎧n ²AB →＝0，n ²BB 1→＝0得⎩⎨⎧x －3z ＝0，6y ＝0，取z ＝1，则n ＝(3，0,1)．又A 1D →＝(0，－62，－3)是平面AB 1C 1的一个法向量，且〈A 1D →，n 〉与二面角B －AB 1－C 1的大小相等，cos 〈A 1D →，n 〉＝A 1D →²n|A 1D →|²|n |＝－66，所以所求二面角的余弦值大小为－66. 20．(2012年天津六校联考)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝2，a n －1＝a n (a n ＋1－1)，b n ＝a n －1，数列{b n }的前n 项和为S n .(1)求证：数列{1b n}为等差数列；(2)设T n ＝S 2n －S n ，求证：T n ＋1>T n ；(3)求证：对任意的n ∈N *，都有1＋n 2≤S 2n ≤12＋n 成立．证明：(1)由b n ＝a n －1得a n ＝b n ＋1，代入a n －1＝a n (a n ＋1－1)得b n ＝(b n ＋1)b n ＋1，整理得b n －b n ＋1＝b n b n ＋1.因为b n ≠0，否则a n ＝1，与a 1＝2矛盾，从而得1b n ＋1－1b n＝1.因为b 1＝a 1－1＝1，所以数列{1b n}是首项为1，公差为1的等差数列．(2)因为1b n ＝n ，则b n ＝1n ，S n ＝1＋12＋13＋…＋1n ，所以T n ＝S 2n －S n＝1＋12＋13＋…＋1n ＋1n ＋1＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋ (1)＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n. 证法一：因为T n ＋1－T n ＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－12n ＋2＝12n ＋1 2n ＋2>0，所以T n ＋1>T n .证法二：因为2n ＋1<2n ＋2，所以12n ＋1>12n ＋2，所以T n ＋1－T n >12n ＋2＋12n ＋2－1n ＋1＝0，所以T n ＋1>T n .(3)用数学归纳法证明：①当n ＝1时，1＋n 2＝1＋12，S 2n ＝1＋12，12＋n ＝12＋1，不等式成立；②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，不等式成立，即1＋k 2≤S 2k ≤12＋k ，那么当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋…＋12k ＋…＋12k ＋1≥1＋k 2＋12k ＋1＋…＋12k ＋1＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12，＝1＋12＋…＋12k ＋…＋12k ＋1≤12＋k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1所以当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②知对任意的n ∈N *，不等式成立．21．(2012年东北四校质检)已知函数f (x )＝kx ＋ln x (k 是常数)． (1)讨论函数f (x )的单调性；(2)当k ＝0时，是否存在不相等的正数a ，b 满足f a －f b a －b ＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2？若存在，求出a ，b 的值；若不存在，说明理由．解：(1)由题意可知f ′(x )＝kx ＋1x(x >0)， ①k ≥0时，f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增； ②当k <0时，f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1k 上单调递增，在x ∈(－1k，＋∞)上单调递减．(2)不妨假设存在a >b >0符合题意，即ln a －ln b a －b ＝2a ＋b，整理得ln a b ＝2 a －b a ＋b ，①构造函数F (x )＝ln x －2 x －1x ＋1(x >0)，∴F (1)＝0且F ′(x )＝ x －12x x ＋1 2≥0，∴F (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增． ∵a b>1，∴F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b >F (1)＝0，即ln a b >2 a －ba ＋b，与①矛盾，∴符合题意的不相等的正数a ，b 不存在．请考生在22题A 、B 、C 中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22A.选修4－1：几何证明选讲(2012年郑州质检)如图，AB 是⊙O 的直径，弦BD ，CA 的延长线相交于点E ，EF 垂直BA 的延长线于点F .(1)求证：∠DEA ＝∠DFA ；(2)若∠EBA ＝30°，EF ＝3，EA ＝2AC ，求AF 的长．解：(1)证明：连接AD ，BC .因为AB 是⊙O 的直径，所以∠ADB ＝∠ACB ＝∠EFA ＝90°，故A ，D ，E ，F 四点共圆，∠DEA ＝∠DFA .(2)在Rt △EFA 和Rt △BCA 中，∠EAF ＝∠CAB ，所以△EFA ∽△BCA ，EA AB ＝AF AC. 设AF ＝a ，则AB ＝3－a ，所以a (3－a )＝12(3＋a 2)，解得a ＝1.所以AF 的长为1.22B.选修4－4：坐标系与参数方程(2012年昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝1－2sin φ，在以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程2ρcos θ＋2ρsin θ－1＝0.(1)求曲线C 和直线l 的普通方程；(2)设曲线C 上的点到l 的距离为d ，求d 的最大值．解：(1)由曲线C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos φ，y ＝1＋2sin φ，得⎩⎨⎧x －1 2＝ 2cos φ 2， y －1 2＝ 2sin φ 2.所以曲线C 的普通方程：(x －1)2＋(y －1)2＝2.由直线l 的极坐标方程：2ρcos θ＋2ρsin θ－1＝0，得直线l 的普通方程是2x ＋2y －1＝0.(2)由题知，曲线C 为以G (1,1)为圆心，半径为r ＝2的圆．设圆心G 到直线l 的距离为d 1，则d 1＝|2＋2－1|22＋22＝324<2＝r ，故直线l 与⊙G 相交．则曲线C 上的点到直线l 的最大距离d max ＝d 1＋r ＝724.22C.选修4－5：不等式选讲(2012年唐山模拟)设函数f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)． (1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤4；(2)若f (x )≥4恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ，x <0，2－x ，0≤x ≤1，3x －2，x >1.当x <0时，由2－3x ≤4，得－23≤x <0；当0≤x ≤1时，由2－x ≤4，得0≤x ≤1；当x >1时，由3x －2≤4，得1<x ≤2. 综上，不等式f (x )≤4的解集为[－23，2]．(2)f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧2a －3x ，x <0，2a －x ，0≤x ≤a ，3x －2a ，x >a .所以f (x )在(－∞，a ]上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增，当x ＝a 时，f (x )取最小值a .所以，a 的取值范围为[4，＋∞)．。

高考数学推理与证明

1.合情推理与演绎推理(1)归纳和类比都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整体的推理，后者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，推理的结论不一定为真，有待进一步证明.(2)演绎推理与合情推理不同，是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式.也是公理化体系所采用的推理形式，另一方面，合情推理与演绎推理又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性.2.直接证明与间接证明直接证明和间接证明是数学证明的两类基本证明方法.直接证明的两类基本方法是综合法和分析法：综合法是从已知条件推导出结论的证明方法；分析法是由结论追溯到条件的证明方法，在解决数学问题时，常把它们结合起来使用，间接证法的一种方法是反证法，反证法是从结论反面成立出发，推出矛盾的证明方法.思考反证法通常适用于哪些问题？答案反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要.反证法主要证明：否定性、唯一性命题；至多、至少型问题；几何问题.3.数学归纳法数学归纳法主要用于解决与正整数有关的数学问题.证明时，它的两个步骤缺一不可.它的第一步(归纳奠基)n＝n0时结论成立.第二步(归纳递推)假设n＝k时，结论成立，推得n＝k＋1时结论也成立.数学归纳法原理建立在归纳公理的基础上，它可用有限的步骤(两步)证明出无限的命题成立.思考何为探索性命题？其解题思路是什么？答案探索性命题是试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论的问题称为探求规律性问题，它的解题思想是：从给出的条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.题型一合情推理及应用例1观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于()A.28B.76C.123D.199答案 C解析记a n＋b n＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.反思与感悟归纳推理和类比推理是常用的合情推理，两种推理的结论“合情”但不一定“合理”，其正确性都有待严格证明.尽管如此，合情推理在探索新知识方面有着极其重要的作用.运用合情推理时，要认识到观察、归纳、类比、猜想、证明是相互联系的.在解决问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成解决问题的初步思路，然后用归纳、类比的方法进行探索、猜想，最后用逻辑推理方法进行验证.跟踪训练1自然数按下表的规律排列则上起第2 014行，左起第2 015列的数为()A.2 0142B.2 0152C.2 013×2 014D.2 014×2 015答案 D解析经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n 行的第1个数为n 2；②第一行第n 个数为(n －1)2＋1；③第n 行从第1个数至第n 个数依次递减1； ④第n 列从第1个数至第n 个数依次递增1.故上起第2 014行，左起第2 015列的数，应是第2 015列的第2 014个数，即为[(2 015－1)2＋1]＋2 013＝2 014×2 015. 题型二直接证明与间接证明例2 已知a ＞b ＞0，求证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b .证明欲证(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b ，只需证(a －b )28a ＜(a －b )22＜(a －b )28b ，∵a ＞b ＞0，∴只需证a －b 22a ＜a －b 2＜a －b22b ，即a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b，欲证a ＋b 2a ＜1，只需证a ＋b ＜2a ，即b ＜a ，该式显然成立.欲证1＜a ＋b2b，只需证2b ＜a ＋b ，即b ＜a ，该式显然成立. ∴a ＋b 2a ＜1＜a ＋b2b成立. ∴(a －b )28a ＜a ＋b 2－ab ＜(a －b )28b成立.反思与感悟直接证明方法可具体分为比较法、代换法、放缩法、判别式法、构造函数法等，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难，在实际证明问题时，应当把分析法和综合法结合起来使用. 跟踪训练2 已知等差数列{a n }中，首项a 1＞0，公差d ＞0. (1)若a 1＝1，d ＝2，且1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列，求正整数m 的值；(2)求证对任意正整数n ，1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2都不成等差数列.(1)解 ∵{a n }是等差数列，a 1＝1，d ＝2， ∴a 4＝7，a m ＝2m －1.∵1a 21，1a 24，1a 2m 成等比数列， ∴1492＝1(2m －1)2，即2m －1＝49.∴m ＝25.(2)证明假设存在n ∈N *，使1a 2n ，1a 2n ＋1，1a 2n ＋2成等差数列，即2a 2n ＋1＝1a 2n ＋1a 2n ＋2， ∴2a 2n ＋1＝1(a n ＋1－d )2＋1(a n ＋1＋d )2＝2a 2n ＋1＋2d2(a 2n ＋1－d 2)2，化简得d 2＝3a 2n ＋1.(*)又∵a 1＞0，d ＞0，∴a n ＋1＝a 1＋nd ＞d ，∴3a 2n ＋1＞3d 2＞d 2，与(*)式矛盾，因此假设不成立，故命题得证. 题型三数学归纳法及应用例3 已知a i ＞0(i ＝1,2，…，n )，考察： ①a 1·1a 1≥1；②(a 1＋a 2)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2≥4；③(a 1＋a 2＋a 3)⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋1a 3≥9.归纳出对a 1，a 2，…，a n 都成立的类似不等式，并用数学归纳法加以证明.解结论：(a 1＋a 2＋…＋a n )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a n≥n 2(n ∈N *). 证明：①当n ＝1时，显然成立. ②假设当n ＝k 时，不等式成立，即(a 1＋a 2＋…＋a k )·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a2＋…＋1a k≥k 2. 当n ＝k ＋1时，(a 1＋a 2＋…＋a k ＋a k ＋1)·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k＋1ak ＋1＝(a 1＋a 2＋…＋a k )⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋a k ＋1·⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a k ＋1a k ＋1(a 1＋a 2＋…＋a k )＋1 ≥k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 1＋a 1a k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a 2＋a 2a k ＋1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1a k ＋a k a k ＋1＋1 ≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.由①②可知，不等式对任意正整数n 都成立.反思与感悟数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为奠基步骤，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为递推步骤，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤，这两步缺一不可，第二步中证明“当n ＝k ＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的. 跟踪训练3 数列{a n }满足S n ＝2n －a n (n ∈N *). (1)计算a 1，a 2，a 3，a 4，并由此猜想通项公式a n ； (2)证明(1)中的猜想.(1)解当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－a 1，∴a 1＝1；当n ＝2时，a 1＋a 2＝S 2＝2×2－a 2，∴a 2＝32；当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝S 3＝2×3－a 3，∴a 3＝74；当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝S 4＝2×4－a 4， ∴a 4＝158.由此猜想a n ＝2n －12n 1(n ∈N *).(2)证明 ①当n ＝1时，a 1＝1，结论成立. ②假设n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝2k －12k －1，那么n ＝k ＋1时，a k ＋1＝S k ＋1－S k ＝2(k ＋1)－a k ＋1－2k ＋a k ＝2＋a k －a k ＋1， ∴2a k ＋1＝2＋a k .∴a k ＋1＝2＋a k 2＝2＋2k －12k －12＝2k ＋1－12k .所以当n ＝k ＋1时，结论成立. 由①②知猜想a n ＝2n －12n －1(n ∈N *)成立.应用反证法证明问题时，因对结论否定不正确致误例4 已知x ，y ∈R ，且x 2＋y 2＝0，求证x ，y 全为0. 错解假设结论不成立，则x ，y 全不为0，即x ≠0且y ≠0，∴x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾，故x ，y 全为0.错因分析 x ，y 全为0的否定应为x ，y 不全为0，即至少有一个不是0，得x 2＋y 2＞0与已知矛盾.正解假设x ，y 不全为0，则有以下三种可能： ①x ＝0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾； ②x ≠0，y ＝0，得x 2＋y 2＞0, 与x 2＋y 2＝0矛盾； ③x ≠0，y ≠0，得x 2＋y 2＞0，与x 2＋y 2＝0矛盾. ∴假设是错误的， ∴x ，y 全为0.防范措施应用反证法证明问题时，首先要否定结论，假设结论的反面成立，当结论的反面呈现多样性时，需罗列出各种可能情形，否定一定要彻底.1.下列推理正确的是( )A.把a (b ＋c )与log a (x ＋y )类比，则log a (x ＋y )＝log a x ＋log a yB.把a (b ＋c )与sin(x ＋y )类比，则sin(x ＋y )＝sin x ＋sin yC.把(ab )n 与(x ＋y )n 类比，则(x ＋y )n ＝x n ＋y nD.把(a ＋b )＋c 与(xy )z 类比，则(xy )z ＝x (yz ) 答案 D2.在△ABC 中，若sin A sin C ＞cos A cos C ，则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定答案 D解析由sin A sin C ＞cos A cos C ，得cos(A ＋C )＜0，即cos B ＞0, 所以B 为锐角，但并不能确定角A 和C 的情况，故选D.3.猜想数列12×4，14×6，16×8，18×10，…的通项公式是____________________.答案 a n ＝12n (2n ＋2)(n ∈N *)解析分析式子12×4，14×6，16×8，18×10，…的规律，可得分子均为1，分母为连续相邻的两个偶数的乘积.4.如图是由花盆摆成的图案，根据图中花盆摆放的规律，第n 个图形中的花盆数a n ＝__________.答案 3n 2－3n ＋1解析观察知每一个图案中间一行的花盆数为1,3,5，…，其中第n 个图案中间一行的花盆数为2n －1，往上一侧花盆数依次是2n －2,2n －3，…，它们的和为n (2n －1＋n )2＝n (3n －1)2，往下一侧(含中间一行)花盆数为n (3n －1)2，所以a n ＝2·n (3n －1)2－(2n －1)＝3n 2－3n ＋1.5.函数列{f n (x )}满足f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)，f n ＋1(x )＝f 1(f n (x )). (1)求f 2(x )，f 3(x )；(2)猜想f n (x )的表达式，并证明. 解 (1)f 1(x )＝x1＋x 2(x ＞0)， f 2(x )＝x 1＋x 21＋x 21＋x 2＝x1＋2x 2， f 3(x )＝x 1＋2x 21＋x 21＋2x 2＝x 1＋2x 2＋x 2＝x1＋3x 2. (2)猜想f n (x )＝x 1＋nx 2(n ∈N *)，下面用数学归纳法证明： ①当n ＝1时，命题显然成立； ②假设当n ＝k (k ∈N *)时，f k (x )＝x1＋kx 2，那么f k ＋1(x )＝x 1＋kx 21＋x 21＋kx 2＝x 1＋kx 2＋x 2＝x1＋(k ＋1)x 2.这就是说当n ＝k ＋1时命题也成立. 由①②可知，f n (x )＝x 1＋nx2对所有n ∈N *均成立.故f n (x )＝x 1＋nx2(n ∈N *).转化与化归的思想方法是数学最基本的思想方法，数学中一切问题的解决都离不开转化与化归，转化与化归是数学思想方法的灵魂.在本章中，合情推理与演绎推理体现的是一般与特殊的转化，数学归纳法体现的是一般与特殊、有限与无限的转化，反证法体现的是对立与统一的转化.从特殊到一般的思想方法即由特殊情况入手，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.与正整数n 有关的命题，经常要用到归纳猜想，然后用数学归纳法证明，这体现了从特殊到一般的探求规律的思想.一、选择题1.古希腊，毕达哥拉斯学派把1,3,6,10,15,21,28，…这些数叫做三角形数，因为这些数(除1外)对应的点可以排成一个正三角形，如图所示，则第n 个三角形数为( )A.nB.n (n ＋1)2C.n 2－1D.n (n －1)2答案 B解析观察图形可知，这些三角形数的特点是第n 个三角形数是在前一个三角形数的基础上加上n ，于是第n 个三角形数为1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2.2.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”结论显然是错误的，是因为( ) A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误答案 C解析演绎推理的一般模式是三段论，大前提是已知的一般性原理，小前提是研究的特殊情况，结论是得出的判断.本题中并非所有的有理数都是真分数，所以推理形式错误.3.如图，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (c,0)，当AB →⊥FB →时，由b 2＝ac 得其离心率为5－12，此类椭圆称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”，在“黄金双曲线”x 2a 21－y 2b 21＝1中，由b 21＝a 1c 1(c 1为黄金双曲线的半焦距)可推出“黄金双曲线”的离心率为( )A.5＋12 B.3＋12 C.5＋13D.7－12答案 A 解析 b 21＝a 1c 1，c 21－a 21＝b 21＝a 1c 1，∴c 21a 21－1＝c 1a 1，∴e 2－e －1＝0，∴e ＝5＋12(∵e ＞1).故选A.4.设函数f (x )＝2x ＋1x －1(x ＜0)，则f (x )( )A.有最大值B.有最小值C.为增函数D.为减函数答案 A解析 ∵x ＜0，∴－x ＞0，则 (－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≥2(－2x )⎝⎛⎭⎫－1x ＝22， ∴－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x ≤－2 2. ∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－2x )＋⎝⎛⎭⎫－1x －1≤－22－1. 当且仅当－2x ＝－1x ，即x ＝－22时取最大值.故选A.5.设集合S ＝{A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算为：A i A j ＝A k ，其中k 为i ＋j 被4除的余数，i ，j ＝0,1,2,3.则满足关系式(x x A 2＝A 0的x (x ∈S )的个数为( )A.1B.2C.3D.4 答案 B解析当x ＝A 0时，(x xA 2＝A 2≠A 0，当x ＝A 1时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立；当x ＝A 2时，(x xA 2＝A 0A 2＝A 2≠A 0；当x ＝A 3时，(x xA 2＝A 2A 2＝A 0，成立.故选B.6.O 是平面上一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈[0，＋∞)，则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心答案 B解析如图，AB →|AB →|为AB →上的单位向量，AC →|AC →|为AC →上的单位向量，则AB →|AB →|＋AC→|AC →|的方向为∠BAC的角平分线AD 的方向.又λ∈[0，＋∞)，∴λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向与AB →|AB →|＋AC →|AC →|的方向相同.而OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，∴点P 在AD 上移动，∴P 的轨迹一定通过△ABC 的内心. 二、填空题7.已知p ＝a ＋1a －2(a ＞2)，q ＝2－a 2＋4a －2(a ＞2)，则p ，q 的大小关系为______.答案 p ＞q解析 p ＝a －2＋1a －2＋2≥2(a －2)·1a －2＋2＝4，－a 2＋4a －2＝2－(a －2)2＜2，∴q ＜22＝4≤p .8.α，β是两个不同的平面，m ，n 是平面α及平面β外两条不同的直线，给出下列四个论断： ①m ⊥n ；②α⊥β；③n ⊥β；④m ⊥α.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出一个你认为正确的命题__________. 答案 ②③④⇒①(或①③④⇒②)9.若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c ，使f (c )＞0，则实数p 的取值范围是__________. 答案 ⎝⎛⎭⎫－3，32 解析方法一(补集法)：令⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)≤0，f (1)≤0即⎩⎪⎨⎪⎧ －2p 2＋p ＋1≤0，－2p 2－3p ＋9≤0即⎩⎨⎧ p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32.∴p ≤－3或p ≥32，符合题意的解是－3＜p ＜32. 方法二(直接法)：依题意，有f (－1)＞0或f (1)＞0，即2p 2－p －1＜0或2p 2＋3p －9＜0，∴－12＜p ＜1或－3＜p ＜32，∴－3＜p ＜32. 10.设函数y ＝f (x )在(0，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ，f (x )＞K ，若函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，则K 的最小值为______________. 答案 1e解析由于f (x )＝ln x ＋1e x ，所以f ′(x )＝1x －ln x －1e x ，令g (x )＝1x－ln x －1，则g ′(x )＝－x －2－1x＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，而g (1)＝0，所以当x ∈(0,1)时，g (x )＞0，此时，f ′(x )＞0，当x ∈(1，＋∞)时，g (x )＜0，此时f ′(x )＜0，所以f (x )在(0,1)上单调递增，f (x )在(1，＋∞)上单调递减，故f (x )max ＝f (1)＝1e ，又函数f (x )＝ln x ＋1e x，且恒有f K (x )＝f (x )，结合新定义可知，K 的最小值为1e. 三、解答题11.如图所示，设在四面体P ABC 中，∠ABC ＝90°，P A ＝PB ＝PC ，D 是AC 的中点，求证：PD ⊥平面ABC .证明要证明PD ⊥平面ABC ，只需证明PD 与平面ABC 内的两条相交直线垂直即可，由于已知△ACP 为等腰三角形，AP ＝PC ，D 为AC 的中点，故PD ⊥AC ，从而有△P AD 为直角三角形，且AD ＝BD ，PD ＝PD ，AP ＝PB ，于是△APD ≌△BPD .因此∠PDA ＝∠PDB ＝90°，∴PD ⊥BD .又知AC 交BD 于D ，可知PD ⊥平面ABC .12.求证：不论x ，y 取何非零实数，等式1x ＋1y ＝1x ＋y总不成立.证明假设存在非零实数x ，y 使得等式1x ＋1y ＝1x ＋y成立. 于是有y (x ＋y )＋x (x ＋y )＝xy ，即x 2＋y 2＋xy ＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＝0. 由y ≠0，得34y 2＞0. 又⎝⎛⎭⎫x ＋y 22≥0，所以⎝⎛⎭⎫x ＋y 22＋34y 2＞0. 与x 2＋y 2＋xy ＝0矛盾，故原命题成立.13.在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)求证1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1，a 1＝2，b 1＝4.由此可得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N *)时，结论成立，即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2. ∴当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数n 都成立.(2)证明当n ＝1时，1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .∴1a n ＋b n ＜12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n＜16＋12⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝⎛⎭⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512.综上，对n ∈N *，1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512成立.。

初中数学八年级下册第11单元第11章回顾与总结教学评一致性设计

第11章图形的与平移与旋转评价任务设计回顾与总结一、课标理解1.知识技能：（1）通过具体案例认识平面图形的平移、旋转、中心对称、中心对称图形。

并梳理基本性质。

（2）通过典型例題或变式训练讨论线段、平行四边形的中心对称性。

（3）认识并欣赏平移、旋转及中心对称在自然界和现实生活中的应用，并会运用图形的变换进行图案的设计（4）在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向或依次沿两个坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系，体会平移前后两图形的联系，体会图形坐标的变化。

2.数学思考：（1）研究平移与旋转及中心对称的概念过程中，初步建立几何直观。

（2）依据平移与旋转的基本性质体会合情推理，在运用演绎推理加以证明的过程中，发展合情推理与演绎推理的能力。

（3）从数学角度形成独立思考，体会应用数学发现问题和提出问题，并综合运用平移与旋转解决综合问题，增强应用意识，提高实践能力。

3.问题解决：（1）从数学角度发现平移与旋转的问题，并综合运用概念及其性质解决图形变换的画图问题与计算问題，增强应用意识，提高演绎推理能力。

（2）经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题的方法，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。

（3）在小组的合作和交流过程中，能较好的理解小组成员的思考方法和结论。

（4）能针对他人所提的问题进行反思，初步形成评价与反思的意识。

4.情感态度：（1）积极参与教学活动，对图形变换有好奇心和求知欲。

（2）感受成功的快乐，体验独自克服困难、解决图形变换问题的过程，有克服困难的勇气，具备学好数学的信心。

（3）在运用概念和基本性质表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用解决问题的特点，体会数学的价值，用于指导生活实践。

（4）敢于发表自已的想法，勇于质疑，养成认真勤奋、独立思考、合作交流等学习习惯，形成严谨求学的科学态度。

二、教材理解本节课是在学生已了解平移与旋转的概念及性质基础上梳理图形变换的思维导图。

2013年新课标江苏高考数学复习资料(含答案)

2013年高考数学第一轮复习资料第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A组1．已知A＝{1,2}，B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．解析：由集合B＝{x|x∈A}知，B＝{1,2}．答案：A＝B2．若∅{x|x2≤a，a∈R}，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知，x2≤a有解，故a≥0.答案：a≥03．已知集合A＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，集合B＝{x|－2≤x<8}，则集合A与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝{y|y≥－2}，∴B A.答案：B A4．(2012年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(V enn)图是________．解析：由N={x|x2+x=0}，得N={-1,0}，则N M.答案：②5．(2011年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x>5}，集合B＝{x|x>a}，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，∴A B，∴a<5.答案：a<56．(原创题)已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a，a∈Z}，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z}，又C＝{x|x＝4a ＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A，∴设m＝2a1，a1∈Z，又∵n∈B，∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2(a1＋a2)＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B.B组1．设a，b都是非零实数，y＝a|a|＋b|b|＋ab|ab|可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：(1)a>0且b>0；(2)a>0且b<0；(3)a<0且b>0；(4)a<0且b<0，讨论得y＝3或y＝－1.答案：{3，－1}2．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3，故m2＝2m－1，即(m－1)2＝0，∴m＝1.答案：13．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数是________个．解析：依次分别取a＝0,2,5；b＝1,2,6，并分别求和，注意到集合元素的互异性，∴P＋Q＝{1,2,6,3,4,8,7,11}．答案：84．已知集合M＝{x|x2＝1}，集合N＝{x|ax＝1}，若N M，那么a的值是________．解析：M ＝{x |x ＝1或x ＝－1}，N M ，所以N ＝∅时，a ＝0；当a ≠0时，x ＝1a＝1或－1，∴a ＝1或－1.答案：0,1，－15．满足{1}A ⊆{1,2,3}的集合A 的个数是________个．解析：A 中一定有元素1，所以A 有{1,2}，{1,3}，{1,2,3}．答案：36．已知集合A ＝{x |x ＝a ＋16，a ∈Z }，B ＝{x |x ＝b 2－13，b ∈Z }，C ＝{x |x ＝c 2＋16，c ∈Z }，则A 、B 、C 之间的关系是________．解析：用列举法寻找规律．答案：A B ＝C7．集合A ＝{x ||x |≤4，x ∈R }，B ＝{x |x <a }，则“A ⊆B ”是“a >5”的________．解析：结合数轴若A ⊆B ⇔a ≥4，故“A ⊆B ”是“a >5”的必要但不充分条件．答案：必要不充分条件8．(2011年江苏启东模拟)设集合M ＝{m |m ＝2n ，n ∈N ，且m <500}，则M 中所有元素的和为________．解析：∵2n <500，∴n ＝0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M 中所有元素的和S ＝1＋2＋22＋…＋28＝511.答案：511 9．(2012年高考北京卷)设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．解析：依题可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”，这三个元素一定是相连的三个数．故这样的集合共有6个．答案：610．已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．解：由lg(xy )知，xy >0，故x ≠0，xy ≠0，于是由A ＝B 得lg(xy )＝0，xy ＝1.∴A ＝{x,1,0}，B ＝{0，|x |，1x}．于是必有|x |＝1，1x＝x ≠1，故x ＝－1，从而y ＝－1.11．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1}，求实数m 的取值范围．解：由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}，(1)∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m ＋1>2m －1，即m <2，此时满足B ⊆A .②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，－2≤m ＋1，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.由①②得，m 的取值范围是(－∞，3]． (2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m >－5，m ≤4，m ≥3.故3≤m ≤4，∴m 的取值范围是[3,4]．(3)若A ＝B ，则必有⎩⎪⎨⎪⎧m －6＝－2，2m －1＝5，解得m ∈∅.，即不存在m 值使得A ＝B .12．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，B ＝{x |x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0}．(1)若A 是B 的真子集，求a 的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A＝B，求a的取值范围．解：由x2－3x＋2≤0，即(x－1)(x－2)≤0，得1≤x≤2，故A＝{x|1≤x≤2}，而集合B＝{x|(x－1)(x－a)≤0}，(1)若A是B的真子集，即A B，则此时B＝{x|1≤x≤a}，故a>2.(2)若B是A的子集，即B⊆A，由数轴可知1≤a≤2.(3)若A=B，则必有a=2第二节集合的基本运算A组1．(2011年高考浙江卷改编)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩∁U B＝____.解析：∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩∁U B＝{x|0<x≤1}．答案：{x|0<x≤1}2．(2012年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个．解析：A∩B＝{4,7,9}，A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，∁U(A∩B)＝{3,5,8}．答案：33．已知集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x＝2a，a∈M}，则集合M∩N＝________.解析：由题意知，N＝{0,2,4}，故M∩N＝{0,2}．答案：{0,2}4．(原创题)设A，B是非空集合，定义AⓐB＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，已知A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，则AⓐB＝________.解析：A∪B＝[0，＋∞)，A∩B＝[0,2]，所以AⓐB＝(2，＋∞)．答案：(2，＋∞)5．(2012年高考湖南卷)某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设两项运动都喜欢的人数为x，画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3，∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人)．答案：126．(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A＝{x|x>1}，集合B＝{x|m≤x≤m＋3}．(1)当m＝－1时，求A∩B，A∪B；(2)若B⊆A，求m的取值范围．解：(1)当m＝－1时，B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{x|1<x≤2}，A∪B＝{x|x≥－1}．(2)若B⊆A，则m>1，即m的取值范围为(1，＋∞)B组1．若集合M＝{x∈R|－3<x<1}，N＝{x∈Z|－1≤x≤2}，则M∩N＝________.解析：因为集合N＝{－1,0,1,2}，所以M∩N＝{－1,0}．答案：{－1,0}2．已知全集U＝{－1,0,1,2}，集合A＝{－1,2}，B＝{0,2}，则(∁U A)∩B＝________.解析：∁U A＝{0,1}，故(∁U A)∩B＝{0}．答案：{0}3．(2010年济南市高三模拟)若全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x≤2}，N＝{x|x2－3x≤0}，则M∩(∁U N)＝________.解析：根据已知得M∩(∁U N)＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}＝{x|－2≤x<0}．答案：{x|－2≤x<0} 4．集合A＝{3，log2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________.解析：由A∩B＝{2}得log2a＝2，∴a＝4，从而b＝2，∴A∪B＝{2,3,4}．答案：{2,3,4}5．(2009年高考江西卷改编)已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B 的元素个数为________．解析：U ＝A ∪B 中有m 个元素，∵(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：m －n6．(2009年高考重庆卷)设U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}，则∁U (A ∪B )＝________.解析：U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{3,6}，∴A ∪B ＝{1,3,5,6,7}，得∁U (A ∪B )＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}7．定义A ⊗B ＝{z |z ＝xy ＋xy，x ∈A ，y ∈B }．设集合A ＝{0,2}，B ＝{1,2}，C ＝{1}，则集合(A ⊗B )⊗C 的所有元素之和为________．解析：由题意可求(A ⊗B )中所含的元素有0,4,5，则(A ⊗B )⊗C 中所含的元素有0,8,10，故所有元素之和为18.答案：188．若集合{(x ，y )|x ＋y －2＝0且x －2y ＋4＝x ，y )|y ＝3x ＋b }，则b ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2＝0，x －2y ＋4＝0.⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.点(0,2)在y ＝3x ＋b 上，∴b ＝2.9．设全集I ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，|a ＋1|}，∁I A ＝{5}，M ＝{x |x ＝log 2|a |}，则集合M 的所有子集是________．解析：∵A ∪(∁I A )＝I ，∴{2,3，a 2＋2a －3}＝{2,5，|a ＋1|}，∴|a ＋1|＝3，且a 2＋2a －3＝5，解得a ＝－4或a ＝2，∴M ＝{log 22，log 2|－4|}＝{1,2}．答案：∅，{1}，{2}，{1,2}10．设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋(a 2－5)＝0}．(1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值；(2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，故集合A ＝{1,2}．(1)∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，代入B 中的方程，得a 2＋4a ＋3＝0⇒a ＝－1或a ＝－3；当a ＝－1时，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件；当a ＝－3时，B ＝{x |x 2－4x ＋4＝0}＝{2}，满足条件；综上，a 的值为－1或－3.(2)对于集合B ，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－5)＝8(a ＋3)．∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，①当Δ<0，即a <－3时，B ＝∅满足条件；②当Δ＝0，即a ＝－3时，B ＝{2}满足条件；③当Δ>0，即a >－3时，B ＝A ＝{1,2}才能满足条件，则由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－2(a ＋1)1×2＝a 2－5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－52，a 2＝7，矛盾.综上，a 的取值范围是a ≤－3. 11．已知函数f (x )＝6x ＋1－1的定义域为集合A ，函数g (x )＝lg(－x 2＋2x ＋m )的定义域为集合B . (1)当m ＝3时，求A ∩(∁R B )；(2)若A ∩B ＝{x |－1<x <4}，求实数m 的值．解：A ＝{x |－1<x ≤5}．(1)当m ＝3时，B ＝{x |－1<x <3}，则∁R B ＝{x |x ≤－1或x ≥3}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ＝{x |－1<x ≤5}，A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴有－42＋2×4＋m ＝0，解得m ＝8，此时B ＝{x |－2<x <4}，符合题意． 12．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 是单元素集，求a 的值及集合A ； (3)求集合M ＝{a ∈R |A ≠∅}．解：(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解．若a ＝0，方程有一解x ＝23，不合题意．若a ≠0，要方程ax 2－3x ＋2＝0无解，则Δ＝9－8a <0，则a >98.综上可知，若A ＝∅，则a 的取值范围应为a >98.(2)当a ＝0时，方程ax 2－3x ＋2＝0只有一根x ＝23，A ＝{23}符合题意．当a ≠0时，则Δ＝9－8a ＝0，即a ＝98时，方程有两个相等的实数根x ＝43，则A ＝{43}．综上可知，当a ＝0时，A ＝{23}；当a ＝98时，A ＝{43}．(3)当a ＝0时，A ＝{23}≠∅.当a ≠0时，要使方程有实数根，则Δ＝9－8a ≥0，即a ≤98.综上可知，a 的取值范围是a ≤98，即M ＝{a ∈R |A ≠∅}＝{a |a ≤98}第二章函数第一节对函数的进一步认识A 组1．(2009年高考江西卷改编)函数y ＝－x 2－3x ＋4x的定义域为________．解析：⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4≥0，x ≠0，⇒x ∈[－4,0)∪(0,1]答案：[－4,0)∪(0,1]2．(2010年绍兴第一次质检)如图，函数f (x )的图象是曲线段OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f (1f (3))的值等于________．解析：由图象知f (3)＝1，f (1f (3))＝f (1)＝2.答案：23．(2009年高考北京卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________.解析：依题意得x ≤1时，3x ＝2，∴x ＝log 32；当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32.答案：log 32 4．(2010年黄冈市高三质检)函数f ：{1，2}→{1，2}满足f [f (x )]>1的这样的函数个数有________个．解析：如图．答案：15．(原创题)由等式x 3＋a 1x 2＋a 2x ＋a 3＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3定义一个映射f (a 1，a 2，a 3)＝(b 1，b 2，b 3)，则f (2,1，－1)＝________.解析：由题意知x 3＋2x 2＋x －1＝(x ＋1)3＋b 1(x ＋1)2＋b 2(x ＋1)＋b 3，令x ＝－1得：－1＝b 3；再令x ＝0与x ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧－1＝1＋b 1＋b 2＋b 33＝8＋4b 1＋2b 2＋b 3，解得b 1＝－1，b 2＝0. 答案：(－1,0，－1)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x (x >1)，x 2＋1 (－1≤x ≤1)，2x ＋3 (x <－1).(1)求f (1－12－1)，f {f [f (－2)]}的值；(2)求f (3x －1)；(3)若f (a )＝32，求a .解：f (x )为分段函数，应分段求解．(1)∵1－12－1＝1－(2＋1)＝－2<－1，∴f (－2)＝－22＋3，又∵f (－2)＝－1，f [f (－2)]＝f (－1)＝2，∴f {f [f (－2)]}＝1＋12＝32.(2)若3x －1>1，即x >23，f (3x －1)＝1＋13x －1＝3x3x －1；若－1≤3x －1≤1，即0≤x ≤32，f (3x －1)＝(3x －1)2＋1＝9x 2－6x ＋2；若3x －1<－1，即x <0，f (3x －1)＝2(3x －1)＋3＝6x ＋1.∴f (3x －1)＝⎩⎨⎧3x 3x －1(x >23)，9x 2－6x ＋2 (0≤x ≤23)，6x ＋1 (x <0).(3)∵f (a )＝32，∴a >1或－1≤a ≤1.当a >1时，有1＋1a ＝32，∴a ＝2；当－1≤a ≤1时，a 2＋1＝32，∴a ＝±22.∴a ＝2或±22.B 组1．(2010年广东江门质检)函数y ＝13x －2＋lg(2x －1)的定义域是________．解析：由3x －2>0,2x －1>0，得x >23.答案：{x |x >23}2．(2010年山东枣庄模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，(x <－1)，－3，(－1≤x ≤2)，2x －1，(x >2)，则f (f (f (32)＋5))＝_.解析：∵－1≤32≤2，∴f (32)＋5＝－3＋5＝2，∵－1≤2≤2，∴f (2)＝－3，∴f (－3)＝(－2)×(－3)＋1＝7.答案：73．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则f (x )的解析式为________．解析：∵对任意的x ∈(－1,1)，有－x ∈(－1,1)，由2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，① 由2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)，②①×2＋②消去f (－x )，得3f (x )＝2lg(x ＋1)＋lg(－x ＋1)，∴f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)．答案：f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，(－1<x <1)4．设函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )＋1，则函数y ＝f (x )与y ＝x 图象交点的个数可能是________个．解析：由f (x ＋1)＝f (x )＋1可得f (1)＝f (0)＋1，f (2)＝f (0)＋2，f (3)＝f (0)＋3，…本题中如果f (0)＝0，那么y ＝f (x )和y ＝x 有无数个交点；若f (0)≠0，则y ＝f (x )和y ＝x 有零个交点．答案：0或无数5．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋bx ＋c (x ≤0)，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为f (x )＝________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________个．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c 4－2b ＋c ＝－2 ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0).由数形结合得f (x )＝x 的解的个数有3个．答案：⎩⎪⎨⎪⎧2 (x ＞0)x 2＋4x ＋2 (x ≤0) 36．设函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)，函数g (x )＝－x 2＋bx ＋c ，若f (2＋2)－f (2＋1)＝12，g (x )的图象过点A (4，－5)及B (－2，－5)，则a ＝__________，函数f [g (x )]的定义域为__________．答案：2 (－1,3)7．(2009年高考天津卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．解析：由已知，函数先增后减再增，当x ≥0，f (x )>f (1)＝3时，令f (x )＝3，解得x ＝1，x ＝3.故f (x )>f (1)的解集为0≤x <1或x >3.当x <0，x ＋6＝3时，x ＝－3，故f (x )>f (1)＝3，解得－3<x <0或x >3. 综上，f (x )>f (1)的解集为{x |－3<x <1或x >3}．答案：{x |－3<x <1或x >3}8．(2009年高考山东卷)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(4－x )， x ≤0，f (x －1)－f (x －2)， x ＞0，则f (3)的值为________．解析：∵f (3)＝f (2)－f (1)，又f (2)＝f (1)－f (0)，∴f (3)＝－f (0)，∵f (0)＝log 24＝2，∴f (3)＝－2.答案：－29．有一个有进水管和出水管的容器，每单位时间进水量是一定的，设从某时刻开始，5分钟内只进水，不出水，在随后的15分钟内既进水，又出水，得到时间x 与容器中的水量y 之间关系如图．再随后，只放水不进水，水放完为止，则这段时间内(即x ≥20)，y 与x 之间函数的函数关系是________．解析：设进水速度为a 1升/分钟，出水速度为a 2升/分钟，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＝205a 1＋15(a 1－a 2)＝35，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4a 2＝3，则y ＝35－3(x －20)，得y ＝－3x ＋95，又因为水放完为止，所以时间为x ≤953，又知x ≥20，故解析式为y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)．答案：y ＝－3x ＋95(20≤x ≤953)10．函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6.(1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的定义域为[－2,1]，求实数a 的值．解：(1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，由题意知g (x )≥0对x ∈R 恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2>0，Δ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0， ∴－511≤a <1.由①②可得－511≤a ≤1.(2)由题意知，不等式(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6≥0的解集为[－2,1]，显然1－a 2≠0且－2,1是方程(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6＝0的两个根．∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a 2<0，－2＋1＝3(1－a )a 2－1，－2＝61－a2，Δ＝[3(1－a )]2－24(1－a 2)>0∴⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >1，a ＝2，a ＝±2.a <－511或a >1∴a ＝2.11．已知f (x ＋2)＝f (x )(x ∈R )，并且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝－x 2＋1，求当x ∈[2k －1,2k ＋1](k ∈Z )时、f (x )的解析式．解：由f (x ＋2)＝f (x )，可推知f (x )是以2为周期的周期函数．当x ∈[2k －1,2k ＋1]时，2k －1≤x ≤2k ＋1，－1≤x －2k ≤1.∴f (x －2k )＝－(x －2k )2＋1.又f (x )＝f (x －2)＝f (x －4)＝…＝f (x －2k )，∴f (x )＝－(x －2k )2＋1，x ∈[2k －1,2k ＋1]，k ∈Z .12．在2008年11月4日珠海航展上，中国自主研制的ARJ 21支线客机备受关注，接到了包括美国在内的多国订单．某工厂有216名工人接受了生产1000件该支线客机某零部件的总任务，已知每件零件由4个C 型装置和3个H 型装置配套组成，每个工人每小时能加工6个C 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置，设加工C 型装置的工人有x 位，他们加工完C 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )．(单位：h ，时间可不为整数)(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务的时间最少？解：(1)g (x )＝20003x (0<x <216，x ∈N *)，h (x )＝1000216－x(0<x <216，x ∈N *)．(2)f (x )＝⎩⎨⎧20003x (0<x ≤86，x ∈N *).1000216－x (87≤x <216，x ∈N *).(3)分别为86、130或87、129.第二节函数的单调性A 组1．(2009年高考福建卷改编)下列函数f (x )中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)”的是________．①f (x )＝1x ②f (x )＝(x －1)2 ③f (x )＝e x ④f (x )＝ln(x ＋1)解析：∵对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数．答案：①2．函数f (x )(x ∈R )的图象如右图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是________．12]时，g (x )为减函数．解析：∵0<a <1，y ＝log a x 为减函数，∴log a x ∈[0，由0≤log a x ≤12a ≤x ≤1.答案：[a ，1](或(a ，1))3．函数y ＝x －4＋15－3x 的值域是________．解析：令x ＝4＋sin 2α，α∈[0，π2]，y ＝sin α＋3cos α＝2sin(α＋π3)，∴1≤y ≤2.答案：[1,2]4．已知函数f (x )＝|e x ＋aex |(a ∈R )在区间[0,1]上单调递增，则实数a 的取值范围__．解析：当a <0，且e x ＋a e x ≥0时，只需满足e 0＋ae 0≥0即可，则－1≤a <0；当a ＝0时，f (x )＝|e x |＝e x符合题意；当a >0时，f (x )＝e x ＋a e x ，则满足f ′(x )＝e x －ae x ≥0在x ∈[0,1]上恒成立．只需满足a ≤(e 2x )min成立即可，故a ≤1，综上－1≤a ≤1.答案：－1≤a ≤15．(原创题)如果对于函数f (x )定义域内任意的x ，都有f (x )≥M (M 为常数)，称M 为f (x )的下界，下界M 中的最大值叫做f (x )的下确界，下列函数中，有下确界的所有函数是________．①f (x )＝sin x ；②f (x )＝lg x ；③f (x )＝e x ；④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)解析：∵sin x ≥－1，∴f (x )＝sin x 的下确界为－1，即f (x )＝sin x 是有下确界的函数；∵f (x )＝lg x 的值域为(－∞，＋∞)，∴f (x )＝lg x 没有下确界；∴f (x )＝e x 的值域为(0，＋∞)，∴f (x )＝e x 的下确界为0，即f (x )＝e x 是有下确界的函数；∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)的下确界为－1.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (x >0)0 (x ＝0)－1 (x <－1)是有下确界的函数．答案：①③④6．已知函数f (x )＝x 2，g (x )＝x －1. (1)若存在x ∈R 使f (x )<b ·g (x )，求实数b 的取值范围；(2)设F (x )＝f (x )－mg (x )＋1－m －m 2，且|F (x )|在[0,1]上单调递增，求实数m 的取值范围. 解：(1)x ∈R ，f (x )<b ·g (x x ∈R ，x 2－bx ＋b ＝(－b )2－4b b <0或b >4.(2)F (x )＝x 2－mx ＋1－m 2，Δ＝m 2－4(1－m 2)＝5m 2－4，①当Δ≤0即－255≤m ≤255时，则必需⎩⎨⎧m2≤0－255≤m ≤255－255≤m ≤0.②当Δ>0即m <－255或m >255时，设方程F (x )＝0的根为x 1，x 2(x 1<x 2)，若m2≥1，则x 1≤0.⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≥1F (0)＝1－m 2≤0m ≥2.若m2≤0，则x 2≤0， ⎩⎪⎨⎪⎧m 2≤0F (0)＝1－m 2≥0－1≤m <－255.综上所述：－1≤m ≤0或m ≥2.B 组1．(2010年山东东营模拟)下列函数中，单调增区间是(－∞，0]的是________．①y ＝－1x②y ＝－(x －1) ③y ＝x 2－2 ④y ＝－|x |解析：由函数y ＝－|x |的图象可知其增区间为(－∞，0]．答案：④2．若函数f (x )＝log 2(x 2－ax ＋3a )在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：令g (x )＝x 2－ax ＋3a ，由题知g (x )在[2，＋∞)上是增函数，且g (2)>0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤2，4－2a ＋3a >0，∴－4<a ≤4.答案：－4<a ≤4 3．若函数f (x )＝x ＋a x (a >0)在(34，＋∞)上是单调增函数，则实数a 的取值范围__．解析：∵f (x )＝x ＋a x (a >0)在(a ，＋∞)上为增函数，∴a ≤34，0<a ≤916.答案：(0，916]4．(2009年高考陕西卷改编)定义在R 上的偶函数f (x )，对任意x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则下列结论正确的是________．①f (3)<f (－2)<f (1) ②f (1)<f (－2)<f (3) ③f (－2)<f (1)<f (3) ④f (3)<f (1)<f (－2)解析：由已知f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，得f (x )在x ∈[0，＋∞)上单调递减，由偶函数性质得f (2)＝f (－2)，即f (3)<f (－2)<f (1)．答案：①5．(2010年陕西西安模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，f (x )为减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，a 0≥(a －3)×0＋4a ，解得0<a ≤14.6．(2010年宁夏石嘴山模拟)函数f (x )的图象是如下图所示的折线段OAB ，点A 的坐标为(1,2)，点B 的坐标为(3,0)，定义函数g (x )＝f (x )·(x －1)，则函数g (x )的最大值为________．解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x －1) (0≤x <1)，(－x ＋3)(x －1) (1≤x ≤3)，当0≤x <1时，最大值为0；当1≤x ≤3时，在x ＝2取得最大值1.答案：17．(2010年安徽合肥模拟)已知定义域在[－1,1]上的函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，则函数y ＝f (cos x )的值域是________．解析：∵cos x ∈[－1,1]，函数y ＝f (x )的值域为[－2,0]，∴y ＝f (cos x )的值域为[－2,0]．答案：[－2,0]8．已知f (x )＝log 3x ＋2，x ∈[1,9]，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析：∵函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ≤9，1≤x 2≤9，∴x ∈[1,3]，令log 3x ＝t ，t ∈[0,1]， ∴y ＝(t ＋2)2＋2t ＋2＝(t ＋3)2－3，∴当t ＝1时，y max ＝13.答案：139．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a >0，a ≠1)在区间(0，12)内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为__________．解析：令μ＝2x 2＋x ，当x ∈(0，12)时，μ∈(0,1)，而此时f (x )>0恒成立，∴0<a <1.μ＝2(x ＋14)2－18，则减区间为(－∞，－14)．而必然有2x 2＋x >0，即x >0或x <－12.∴f (x )的单调递增区间为(－∞，－12)．答案：(－∞，－12)10．试讨论函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1的单调性．解：易知函数的定义域为(0，＋∞)．如果令u ＝g (x )＝log 12x ，y ＝f (u )＝2u 2－2u ＋1，那么原函数y＝f [g (x )]是由g (x )与f (u )复合而成的复合函数，而u ＝log 12x 在x ∈(0，＋∞)内是减函数，y ＝2u 2－2u ＋1＝2(u －12)2＋12在u ∈(－∞，12)上是减函数，在u ∈(12，＋∞)上是增函数．又u ≤12，即log 12x ≤12，得x ≥22；u >12，得0<x <22.由此，从下表讨论复合函数y ＝f [g (x )]的单调性：故函数y ＝2(log 12x )2－2log 12x ＋1在区间(0，22)上单调递减，在区间(22，＋∞)上单调递增．11．(2010年广西河池模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性；(3)若f (3)＝－1，解不等式f (|x |)<－2. 解：(1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，由于当x >1时，f (x )<0，所以f (x 1x 2)<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)由f (x 1x 2)＝f (x 1)－f (x 2)得f (93)＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，所以f (9)＝－2.由于函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数，由f (|x |)<f (9)，得|x |>9，∴x >9或x <－9.因此不等式的解集为{x |x >9或x <－9}．12．已知：f (x )＝log 3x 2＋ax ＋bx ，x ∈(0，＋∞)，是否存在实数a ，b ，使f (x )同时满足下列三个条件：(1)在(0,1]上是减函数，(2)在[1，＋∞)上是增函数，(3)f (x )的最小值是1.若存在，求出a 、b ；若不存在，说明理由．解：∵f (x )在(0,1]上是减函数，[1，＋∞)上是增函数，∴x ＝1时，f (x )最小，log 31＋a ＋b1＝1.即a ＋b ＝2.设0＜x 1＜x 2≤1，则f (x 1)＞f (x 2)．即x 12＋ax 1＋b x 1＞x 22＋ax 2＋bx 2恒成立．由此得(x 1－x 2)(x 1x 2－b )x 1x 2＞0恒成立．又∵x 1－x 2＜0，x 1x 2＞0，∴x 1x 2－b ＜0恒成立，∴b ≥1.设1≤x 3＜x 4，则f (x 3)＜f (x 4)恒成立．∴(x 3－x 4)(x 3x 4－b )x 3x 4＜0恒成立．∵x 3－x 4＜0，x 3x 4＞0，∴x 3x 4＞b 恒成立．∴b ≤1.由b ≥1且b ≤1可知b ＝1，∴a ＝1.∴存在a 、b ，使f (x )同时满足三个条件．第三节函数的性质A 组1．设偶函数f (x )＝log a |x －b |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (b ＋2)的大小关系为________．解析：由f (x )为偶函数，知b ＝0，∴f (x )＝log a |x |，又f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以0<a <1,1<a ＋1<2，则f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)>f (b ＋2)．答案：f (a ＋1)>f (b ＋2)2．(2010年广东三校模拟)定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f (1)＋f (4)＋f (7)等于________．解析：f (x )为奇函数，且x ∈R ，所以f (0)＝0，由周期为2可知，f (4)＝0，f (7)＝f (1)，又由f (x ＋2)＝f (x )，令x ＝－1得f (1)＝f (－1)＝－f (1)⇒f (1)＝0，所以f (1)＋f (4)＋f (7)＝0.答案：03．(2009年高考山东卷改编)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)、f (11)、f (80)的大小关系为________．解析：因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)，又因为f (x )在R 上是奇函数，f (0)＝0，得f (80)＝f (0)＝0，f (－25)＝f (－1)＝－f (1)，而由f (x －4)＝－f (x )得f (11)＝f (3)＝－f (－3)＝－f (1－4)＝f (1)，又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (1)>f (0)＝0，所以－f (1)<0，即f (－25)<f (80)<f (11)．答案：f (－25)<f (80)<f (11)4．(2009年高考辽宁卷改编)已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f (2x －1)<f (13)的x 取值范围是________．解析：由于f (x )是偶函数，故f (x )＝f (|x |)，由f (|2x －1|)<f (13)，再根据f (x )的单调性得|2x －1|<13，解得13<x <23.答案：(13，23) 5．(原创题)已知定义在R 上的函数f (x )是偶函数，对x ∈R ，f (2＋x )＝f (2－x )，当f (－3)＝－2时，f (2011)的值为________．解析：因为定义在R 上的函数f (x )是偶函数，所以f (2＋x )＝f (2－x )＝f (x －2)，故函数f (x )是以4为周期的函数，所以f (2011)＝f (3＋502×4)＝f (3)＝f (－3)＝－2.答案：－26．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1)证明：f (1)＋f (4)＝0；(2)求y ＝f (x )，x ∈[1,4]的解析式；(3)求y ＝f (x )在[4,9]上的解析式．解：(1)证明：∵f (x )是以5为周期的周期函数，∴f (4)＝f (4－5)＝f (－1)，又∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)＝－f (4)，∴f (1)＋f (4)＝0.(2)当x ∈[1,4]时，由题意可设f (x )＝a (x －2)2－5(a >0)，由f (1)＋f (4)＝0，得a (1－2)2－5＋a (4－2)2－5＝0，∴a ＝2，∴f (x )＝2(x －2)2－5(1≤x ≤4)．(3)∵y ＝f (x )(－1≤x ≤1)是奇函数，∴f (0)＝0，又知y ＝f (x )在[0,1]上是一次函数，∴可设f (x )＝kx (0≤x ≤1)，而f (1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴k ＝－3，∴当0≤x ≤1时，f (x )＝－3x ，从而当－1≤x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－3x ，故－1≤x ≤1时，f (x )＝－3x .∴当4≤x ≤6时，有－1≤x －5≤1，∴f (x )＝f (x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15.当6<x ≤9时，1<x －5≤4，∴f (x )＝f (x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15， 4≤x ≤62(x －7)2－5， 6<x ≤9. B 组1．(2009年高考全国卷Ⅰ改编)函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，则下列结论正确的是________．①f (x )是偶函数 ②f (x )是奇函数 ③f (x )＝f (x ＋2) ④f (x ＋3)是奇函数解析：∵f (x ＋1)与f (x －1)都是奇函数，∴f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝－f (x －1)，∴函数f (x )关于点(1,0)，及点(－1,0)对称，函数f (x )是周期T ＝2[1－(－1)]＝4的周期函数．∴f (－x －1＋4)＝－f (x －1＋4)，f (－x ＋3)＝－f (x ＋3)，即f (x ＋3)是奇函数．答案：④2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋32)，且f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝________.解析：f (x )＝－f (x ＋32)⇒f (x ＋3)＝f (x )，即周期为3，由f (－2)＝f (－1)＝－1，f (0)＝2，所以f (1)＝－1，f (2)＝－1，f (3)＝2，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2009)＋f (2010)＝f (2008)＋f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (2)＋f (3)＝0.答案：03．(2010年浙江台州模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (1)＝1，若将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝________.解析：f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，将f (x )的图象向右平移一个单位后，得到一个偶函数的图象，则满足f (－2＋x )＝－f (x )，即f (x ＋2)＝－f (x )，所以周期为4，f (1)＝1，f (2)＝f (0)＝0，f (3)＝－f (1)＝－1，f (4)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2010)＝f (4)×502＋f (2)＝0.答案：04．(2010年湖南郴州质检)已知函数f (x )是R 上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，若f (－1)＝0，那么关于x 的不等式xf (x )<0的解集是________．解析：在(0，＋∞)上有f ′(x )>0，则在(0，＋∞)上f (x )是增函数，在(－∞，0)上是减函数，又f (x )在R 上是偶函数，且f (－1)＝0，∴f (1)＝0.从而可知x ∈(－∞，－1)时，f (x )>0；x ∈(－1,0)时，f (x )<0；x ∈(0,1)时，f (x )<0；x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0.∴不等式的解集为(－∞，－1)∪(0,1)答案：(－∞，－1)∪(0,1)． 5．(2009年高考江西卷改编)已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2009)＋f (2010)的值为________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f (－2009)＝f (2009)．∵f (x )在x ≥0时f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )周期为2.∴f (－2009)＋f (2010)＝f (2009)＋f (2010)＝f (1)＋f (0)＝log 22＋log 21＝0＋1＝1.答案：16．(2010年江苏苏州模拟)已知函数f (x )是偶函数，并且对于定义域内任意的x ，满足f (x ＋2)＝－1f (x )，若当2<x <3时，f (x )＝x ，则f (2009.5)＝________.解析：由f (x ＋2)＝－1f (x )，可得f (x ＋4)＝f (x )，f (2009.5)＝f (502×4＋1.5)＝f (1.5)＝f (－2.5)∵f (x )是偶函数，∴f (2009.5)＝f (2.5)＝52.答案：527．(2010年安徽黄山质检)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，a ]上是增函数，函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，则f (2a －x 1)与f (x 2)的大小关系为________．解析：∵y ＝f (x ＋a )为偶函数，∴y ＝f (x ＋a )的图象关于y 轴对称，∴y ＝f (x )的图象关于x ＝a 对称．又∵f (x )在(－∞，a ]上是增函数，∴f (x )在[a ，＋∞)上是减函数．当x 1<a ，x 2>a ，且|x 1－a |<|x 2－a |时，有a －x 1<x 2－a ，即a <2a －x 1<x 2，∴f (2a －x 1)>f (x 2)．答案：f (2a －x 1)>f (x 2)8．已知函数f (x )为R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)．若f (a )＝－2，则实数a ＝________.解析：当x ≥0时，f (x )＝x (x ＋1)>0，由f (x )为奇函数知x <0时，f (x )<0，∴a <0，f (－a )＝2，∴－a (－a ＋1)＝2，∴a ＝2(舍)或a ＝－1.答案：－1 9．(2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (4－x )＝f (x )，因此，函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0.由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示，那么方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1＜x 2＜x 3＜x 4.由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 答案：-810．已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝－x lg(2－x )，求f (x )的解析式．解：∵f (x )是奇函数，可得f (0)＝－f (0)，∴f (0)＝0.当x >0时，－x <0，由已知f (－x )＝x lg(2＋x )，∴－f (x )＝x lg(2＋x )，即f (x )＝－x lg(2＋x ) (x >0)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x lg(2－x ) (x <0)，－x lg(2＋x ) (x ≥0).即f (x )＝－x lg(2＋|x |)(x ∈R )．11．已知函数f (x )，当x ，y ∈R 时，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f (x )是奇函数；(2)如果x ∈R ＋，f (x )<0，并且f (1)＝－12，试求f (x )在区间[－2,6]上的最值．解：(1)证明：∴函数定义域为R ，其定义域关于原点对称． ∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－x ，∴f (0)＝f (x )＋f (－x )．令x ＝y ＝0，∴f (0)＝f (0)＋f (0)，得f (0)＝0.∴f (x )＋f (－x )＝0，得f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)法一：设x ，y ∈R ＋，∵f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (x ＋y )－f (x )＝f (y )．∵x ∈R ＋，f (x )<0，∴f (x ＋y )－f (x )<0，∴f (x ＋y )<f (x )．∵x ＋y >x ，∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又∵f (x )为奇函数，f (0)＝0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.法二：设x 1<x 2，且x 1，x 2∈R .则f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)．∵x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)<0.∴f (x 2)－f (x 1)<0.即f (x )在R 上单调递减．∴f (－2)为最大值，f (6)为最小值．∵f (1)＝－12，∴f (－2)＝－f (2)＝－2f (1)＝1，f (6)＝2f (3)＝2[f (1)＋f (2)]＝－3.∴所求f (x )在区间[－2,6]上的最大值为1，最小值为－3.12．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )．(1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2010]上的所有x 的个数．解：(1)证明：∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数．(2)当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1，∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)又设1<x <3，则－1<x －2<1，∴f (x －2)＝12(x －2)，又∵f (x －2)＝－f (2－x )＝－f [(－x )＋2]＝－[－f (－x )]＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎨⎧12x (－1≤x ≤1)－12(x －2) (1<x <3)由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数．故f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2010，则14≤n ≤50234，又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤502(n ∈Z )，∴在[0,2010]上共有502个x 使f (x )＝－12.第三章指数函数和对数函数第一节指数函数A 组1．(2010年黑龙江哈尔滨模拟)若a >1，b <0，且a b ＋a －b ＝22，则a b －a －b 的值等于________．解析：∵a >1，b <0，∴0<a b <1，a －b >1.又∵(a b ＋a －b )2＝a 2b ＋a －2b ＋2＝8，∴a 2b ＋a －2b ＝6，∴(a b －a －b )2＝a 2b ＋a －2b －2＝4，∴a b －a －b ＝－2.答案：－22．已知f (x )＝a x ＋b 的图象如图所示，则f (3)＝________.解析：由图象知f (0)＝1＋b ＝－2，∴b ＝－3.又f (2)＝a 2－3＝0，∴a ＝3，则f (3)＝(3)3－3＝33－3. 答案：33－33．函数y ＝(12)2x －x 2的值域是________．解析：∵2x －x 2＝－(x －1)2＋1≤1， ∴(12)2x －x 2≥12.答案：[12，＋∞) 4．(2009年高考山东卷)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：函数f (x )的零点的个数就是函数y ＝a x 与函数y ＝x ＋a 交点的个数，由函数的图象可知a >1时两函数图象有两个交点，0<a <1时两函数图象有惟一交点，故a >1. 答案：(1，+∞)5．(原创题)若函数f (x )＝a x－1(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 等于________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1a 2－1＝0a 0－1＝2无解或⎩⎪⎨⎪⎧a >1a 0－1＝0a 2－1＝2⇒a ＝ 3.答案： 3 6．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a＝0，解得b ＝1.从而有f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a .又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)法一：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k .即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0，从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.法二：由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2，又由题设条件得－2t 2－2t ＋12t 2－2t ＋1＋2＋－22t 2－k ＋122t 2－k ＋1＋2<0即(22t 2－k ＋1＋2)(－2t 2－2t ＋1)＋(2t 2－2t ＋1＋2)(－22t 2－k ＋1)<0整理得23t 2－2t －k >1，因底数2>1，故3t 2－2t －k >0上式对一切t ∈R 均成立，从而判别式Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.B 组1．如果函数f (x )＝a x ＋b －1(a >0且a ≠1)的图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，那么一定有________．①0<a <1且b >0 ②0<a <1且0<b <1 ③a >1且b <0 ④a >1且b >0解析：当0<a <1时，把指数函数f (x )＝a x 的图象向下平移，观察可知－1<b －1<0，即0<b <1.答案：②2．(2010年保定模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2，所以f (x )在[a ，＋∞)上为减函数，又f (x )，g (x )都在[1,2]上为减函数，所以需⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1a ＋1>1⇒0<a ≤1.答案：(0,1]3．已知f (x )，g (x )都是定义在R 上的函数，且满足以下条件①f (x )＝a x ·g (x )(a >0，a ≠1)；②g (x )≠0；若f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 等于________．解析：由f (x )＝a x ·g (x )得f (x )g (x )＝a x ，所以f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52⇒a ＋a －1＝52，解得a ＝2或12.答案：2或124．(2010年北京朝阳模拟)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，其反函数为f －1(x )．若f (2)＝9，则f －1(13)＋f (1)的值是________．解析：因为f (2)＝a 2＝9，且a >0，∴a ＝3，则f (x )＝3x ＝13，∴x ＝－1，故f －1(13)＝－1.又f (1)＝3，所以f －1(13)＋f (1)＝2.答案：25．(2010年山东青岛质检)已知f (x )＝(13)x ，若f (x )的图象关于直线x ＝1对称的图象对应的函数为g (x )，则g (x )的表达式为________．解析：设y ＝g (x )上任意一点P (x ，y )，P (x ，y )关于x ＝1的对称点P ′(2－x ，y )在f (x )＝(13)x 上，∴y＝(13)2－x ＝3x －2.答案：y ＝3x －2(x ∈R ) 6．(2009年高考山东卷改编)函数y ＝e x ＋e －xe x －e－x 的图象大致为________．解析：∵f (－x )＝e －x＋e x e －x －e x ＝－e x＋e－xe x －e －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，排除④.又∵y ＝e x ＋e －x e x －e －x ＝e 2x ＋1e 2x －1＝e 2x －1＋2e 2x －1＝1＋2e 2x －1在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除②、③.答案：①7．(2009年高考辽宁卷改编)已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x <4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝________.解析：∵2<3<4＝22，∴1<log 23<2.∴3<2＋log 23<4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)log 224＝2－log 224＝2log 2124＝124.答案：1248．(2009年高考湖南卷改编)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义，对于给定的正数K ，定义函数f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，f (x )≤K ，K ， f (x )>K .取函数f (x )＝2－|x |，当K ＝12时，函数f K (x )的单调递增区间为________．解析：由f (x )＝2－|x |≤12得x ≥1或x ≤－1，∴f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≥1或x ≤－1，12，－1<x <1.则单调增区间为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1]。

2013届高三一轮复习理科数学全能测试(九)计数原理与概率、统计算法初步、推理与证明

2013届高三一轮复习理科数学全能测试（九）计数原理与概率、统计算法初步、推理与证明本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.参考公式：如果事件A,B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；球的表面积公式：24R S π=（其中R 表示球的半径）；球的体积公式：343V R π=（其中R 表示球的半径）；锥体的体积公式：Sh V 31=（其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高）；柱体的体积公式Sh V =（其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高）；台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++=（其中21,S S 分别表示台体的上，下底面积，h 表示台体的高）．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1、（2012安徽理）如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是（）A ．3B ．4C ．5D ．82、若5)1(-ax 的展开式中3x的系数是80，则实数a 的值是开始i=1, s=0s=s+12ii=i +1输出S结束否是（）A ．-2 B. 22 C.34 D. 23、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11．5，15．5） 2 [15．5,19．5） 4 [19．5，23．5） 9 [23．5,27．5） 18 [27．5，31．5） 1l [31．5，35．5） 12 [35．5．39．5） 7 [39．5,43．5） 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31．5，43．5）的概率约是A ．16 B ．13C ．12 D ．234、如图给出的是计算11112462012++++L 的值的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（） A ．1005i ≤ B ．1005i > C ．1006i ≤ D ．1006i >5、将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有A ．30种B ．90种C ．180种D ．270种6、有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两倍同学要站在一起，则不同的站法有A ．240种B ．192种C ．96种D ．48种7、如果nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223 的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（）A.3B.5C.6D.108、用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的五位数，其中恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间，这样的五位数的个数有( )A.48个B.12个C.36个D.28个9、定义方程()()f x f x '=的实数根x 0叫做函数()f x 的“新驻点”，如果函数()g x x =，()ln (1)h x x =+，()co s x x ϕ=（()x π∈π2，）的“新驻点”分别为α，β，γ，那么α，β，γ的大小关系是：（）A ．γβα<<B ．βγα<<C ．βαγ<<D ．γαβ<<10、将4个相同的白球和5个相同的黑球全部．．放入3个不同的盒子中，每个盒子既要有白球，又要有黑球，且每个盒子中都不能同时只．．．．．放入2个白球和2个黑球，则所有不同的放法种数为A ．3B ．6C ．12D ．18非选择题部分（共100分）注意事项：1．用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上． 2．在答题纸上作图，可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．11、（2012 江苏）某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334::,现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本,则应从高二年级抽取____名学生.12、（2012浙江理）若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是______________. 13、在72)2)(1(-+x x 的展开式中x 3的系数是．14、设随机变量X 的分布列如下：X 0 5 10 20 P0.1αβ0.2若数学期望E (X )＝10，则D (X )＝．15、某高三学生希望报名参加某6所高校中的3所学校的自主招生考试，由于其中两所学校的考试时间相同，因此该学生不能同时报考这两所学校．该学生不同的报考方法种数是．（用数字作答） 16、已知等式141422104232)21()1(xa xa x a a x x x ++++=-⋅-+ 成立，则+++321a a a 1413a a ++ 的值等于 .17、用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为9,,2,1 的9个小正方形（如右图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有种．三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18、为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重（单位：千克）情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图4），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12。

苏教版高考数学一轮复习讲义---第11章学案62 二项式定理

学案62 二项式定理导学目标： 1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．自主梳理1．二项式定理的有关概念(1)二项式定理：(a ＋b )n ＝C 0n a a n ＋C 1n a a n －1b 1＋…＋C r n a a n －r b r ＋…＋C n n a b n (n ∈N *)，这个公式叫做__________．①二项展开式：右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式． ②项数：二项展开式中共有________项．③二项式系数：在二项展开式中各项的系数__________(r ＝____________)叫做二项式系数．④通项：在二项展开式中的____________________叫做二项展开式的通项，用T r ＋1表示，即通项为展开式的第r ＋1项：T r ＋1＝____________________________.2．二项式系数的性质(1)C m n ＝C n －m n ；(2)C m n ＋C m －1n ＝C m n ＋1；(3)当r <n －12时，______________________；当r >n －12时，C r ＋1n <C rn ； (4)当n 是偶数时，中间的一项二项式系数________________________________取得最大值；当n 为奇数时，中间的两项二项式系数______________________________、__________________________相等，且同时取得最大值；(5)各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝______，C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝______.自我检测1．(2011·福建改编)(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于________．2．(2011·陕西改编)(4x －2－x )6(x ∈R )展开式中的常数项是________．3．(2010·四川)⎝⎛⎭⎪⎫2－13x 6的展开式中的第四项是______．4．(2011·山东)若(x －ax2)6展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．5．已知n 为正偶数，且⎝⎛⎭⎫x 2－12x n 的展开式中第4项的二项式系数最大，则第4项的系数是______．(用数字作答)探究点一二项展开式及通项公式的应用例1 已知在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x －123x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．变式迁移1(2010·湖北)在(x＋43y)20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．探究点二二项式系数的性质及其应用例2(1)求证：C1n＋2C2n＋3C3n＋…＋n C n n＝n·2n－1；(2)求S＝C127＋C227＋…＋C2727除以9的余数．变式迁移2(2010·上海卢湾区质量调研)求C22n＋C42n＋…＋C2k2n＋…＋C2n2n的值．探究点三求系数最大项例3已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．变式迁移3 (1)在(x ＋y )n 的展开式中，若第七项系数最大，则n 的值可能等于________．(2)已知⎝⎛⎭⎫12＋2x n ，(ⅰ)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数的最大项的系数；(ⅱ)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．1．二项式系数与项的系数是不同的，如(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中，第r ＋1项的二项式系数是C r n ，而第r ＋1项的系数为C r n an －r b r. 2．通项公式主要用于求二项式的指数，求满足条件的项或系数，求展开式的某一项或系数．在运用公式时要注意：C r n an －r b r 是第r ＋1项，而不是第r 项． 3．在(a ＋b )n 的展开式中，令a ＝b ＝1，得C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ；令a ＝1，b ＝－1，得C 0n －C 1n ＋C 2n －C 3n ＋…＝0，∴C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1，这种由一般到特殊的方法是“赋值法”．4．二项式系数的性质有：(1)在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，C 2n ＝C n －2n ，…，C r n ＝C n －r n .(2)如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大．5．二项式定理的一个重要作用是近似计算，当n 不是很大，|x |比较小时，(1＋x )n ≈1＋nx .利用二项式定理还可以证明整除性问题或求余数问题，证题时要注意变形的技巧．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．(2010·山东实验中学模拟)在⎝⎛⎭⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有________项．2．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为________．3．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－13x a n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是________．4．(2010·烟台高三一模)如果⎝⎛⎭⎪⎫3x －13x 2n的展开式中二项式系数之和为128，则展开式中1x3的系数是________．5．在(1－x )5＋(1－x )6＋(1－x )7＋(1－x )8的展开式中，含x 3的项的系数是________．6．(2011·湖北)(x －13x)18的展开式中含x 15的项的系数为________．(结果用数值表示)7．(2010·济南高三一模)(x －12x)6的展开式中的常数项为________．8.⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 210的展开式中的常数项是________．二、解答题(共42分)9．(14分)(1)设(3x －1)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4. ①求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； ②求a 0＋a 2＋a 4； ③求a 1＋a 2＋a 3＋a 4；(2)求证：32n ＋2－8n －9能被64整除(n ∈N *)．10．(14分)利用二项式定理证明对一切n ∈N *，都有2≤⎝⎛⎭⎫1＋1n n <3.11．(14分)已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n (n ∈N *)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和； (2)求展开式中含x 32的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项．学案62 二项式定理答案自主梳理1．(1)二项式定理 ②n ＋1 ③C r n 0,1,2，…，n ④C r n an －r b rC r n a n －r b r 2.(3)C r n <C r ＋1n(4)C n 2n C n ＋12n C n －12n(5)2n 2n －1 自我检测 1．40解析 (1＋2x )5的第r ＋1项为T r ＋1＝C r 5(2x )r ＝2r C r 5x r ，令r ＝2，得x 2的系数为22·C 25＝40.2．15解析设展开式的常数项是第r ＋1项，则T r ＋1＝C r 6·(4x )r ·(－2－x )6－r ，即T r ＋1＝C r 6·(－1)6－r ·22rx ·2rx －6x ＝C r 6·(－1)6－r ·23rx －6x ，∴3rx －6x ＝0恒成立．∴r ＝2，∴T 3＝C 26·(－1)4＝15.3．－160x4．4 解析 (x －a x 2)6展开式的通项为T r ＋1＝C r 6x 6－r (－1)r ·(a )r ·x －2r ＝C r 6x 6－3r (－1)r ·(a )r . 令6－3r ＝0，得r ＝2.故C 26(a )2＝60，解得a ＝4.5．－52解析 n 为正偶数，且第4项二项式系数最大，故展开式共7项，n ＝6，第4项系数为C 36⎝⎛⎭⎫－123＝－52. 课堂活动区例1 解题导引 (1)通项T r ＋1＝C r n an －r b r是(a ＋b )n 的展开式的第r ＋1项，而不是第r 项；二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念，二项式系数是指C r n ，r ＝0,1,2，…，n ，与a ，b 的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分．(2)求二项展开式中的有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好都是整数的项．解这种类型的问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解．若求二项展开式中的整式项，则其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项的方式一致．解 (1)通项公式为T r ＋1＝C r n xn －r 3⎝⎛⎭⎫－12r x －r3＝C r n⎝⎛⎭⎫－12r x n －2r 3，因为第6项为常数项，所以r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令n －2r 3＝2，得r ＝12(n －6)＝12×(10－6)＝2， ∴所求的系数为C 210⎝⎛⎭⎫－122＝454. (3)根据通项公式，由题意得⎩⎨⎧10－2r3∈Z ，0≤r ≤10，r ∈N .令10－2r 3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k ，∵r ∈N ，∴k 应为偶数．∴k 可取2,0，－2，即r 可取2,5,8.所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210⎝⎛⎭⎫－122x 2，C 510⎝⎛⎭⎫－125，C 810⎝⎛⎭⎫－128x －2. 变式迁移1 6解析展开式的通项T r ＋1＝C r 20·x20－r ·(43y )r ＝C r 20·x 20－r ·y r ·3r 4. 由0≤r ≤20，r4∈Z 得r ＝0,4,8,12,16,20.所以系数为有理数的项共有6项．例2 解题导引 (1)在有关组合数的求和问题中，经常用到形如C 0n ＝C n n ＝C n ＋1n ＋1，C k n＝C n －k n ，k C k n ＝n C k －1n －1等式子的变形技巧；(2)利用二项式定理解决整除问题时，关键是进行合理地变形构造二项式．求余数问题时，应明确被除式f (x )、除式g (x )[g (x )≠0]、商式q (x )与余式的关系及余式的范围．(1)证明方法一设S ＝C 1n ＋2C 2n ＋3C 3n ＋…＋(n －1)·C n －1n ＋n C n n ， ① ∴S ＝n C n n ＋(n －1)C n －1n ＋(n －2)C n －2n ＋…＋2C 2n ＋C 1n ＝n C 0n ＋(n －1)C 1n ＋(n －2)C 2n ＋…＋2C n －2n ＋C n －1n ，②①＋②得2S ＝n (C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n －1n ＋C n n )＝n ·2n .∴S ＝n ·2n －1.原式得证．方法二 ∵k n C k n ＝k n ·n ！k ！(n －k )！＝(n －1)！(k －1)！(n －k )！＝C k －1n －1，∴k C k n ＝n C k －1n －1.∴左边＝n C 0n －1＋n C 1n －1＋…＋n C n －1n －1 ＝n (C 0n －1＋C 1n －1＋…＋C n －1n －1)＝n ·2n －1＝右边．(2)解 S ＝C 127＋C 227＋…＋C 2727＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝C 09×99－C 19×98＋…＋C 89×9－C 99－1 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89)－2 ＝9(C 09×98－C 19×97＋…＋C 89－1)＋7，显然上式括号内的数是正整数．故S 被9除的余数为7.变式迁移2 解 (1＋x )2n ＝C 02n ＋C 12n x ＋C 22n x 2＋C 32n x 3＋…＋C 2n 2n x 2n . 令x ＝1得C 02n ＋C 12n ＋…＋C 2n －12n ＋C 2n 2n＝22n ；再令x ＝－1得C 02n －C 12n ＋C 22n －…＋(－1)r C r 2n ＋…－C 2n －12n ＋C 2n 2n＝0.两式相加，再用C 02n ＝1，得C 22n ＋C 42n ＋…＋C 2n2n ＝22n2－1＝22n －1－1.例3 解题导引 (1)求二项式系数最大的项：如果n 是偶数，则中间一项[第⎝⎛⎭⎫n 2＋1项]的二项式系数最大；如果n 是奇数，则中间两项[第n ＋12项与第⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＋1项]的二项式系数相等且最大；(2)求展开式系数最大的项：如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ≥A r －1A r ≥A r ＋1解出r 来，即得系数最大的项．解 (1)令x ＝1，则二项式各项系数的和为 f (1)＝(1＋3)n ＝4n ，又展开式中各项的二项式系数之和为2n . 由题意知，4n －2n ＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n －32)＝0， ∴2n ＝－31(舍)，或2n ＝32，∴n ＝5.由于n ＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25⎝⎛⎭⎫x 233(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35⎝⎛⎭⎫x 232(3x 2)3＝270x 223. (2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·x 23(5＋2r )．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r ≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3.∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. 故展开式中系数最大的项为T 5＝405x 263.变式迁移3 11,12,13(1)解析分三种情况：①若仅T 7系数最大，则共有13项，n ＝12；②若T 7与T 6系数相等且最大，则共有12项，n ＝11；③若T 7与T 8系数相等且最大，则共有14项，n ＝13，所以n 的值可能等于11,12,13.(2)解 (ⅰ)∵C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0.∴n ＝7或n ＝14，当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5. ∴T 4的系数为C 37⎝⎛⎭⎫12423＝352， T 5的系数为C 47⎝⎛⎭⎫12324＝70，当n ＝14时，展开式中二项式系数的最大的项是T 8.∴T 8的系数为C 714⎝⎛⎭⎫12727＝3 432. (ⅱ)∵C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，∴n 2＋n －156＝0.∴n ＝12或n ＝－13(舍去)．设T k ＋1项的系数最大， ∵⎝⎛⎭⎫12＋2x 12＝⎝⎛⎭⎫1212(1＋4x )12， ∴⎩⎪⎨⎪⎧C k 124k ≥C k －1124k －1，C k 124k ≥C k ＋1124k ＋1.∴9.4≤k ≤10.4.∴k ＝10.∴展开式中系数最大的项为T 11，T 11＝⎝⎛⎭⎫1212C 1012410x 10＝16 896x 10.课后练习区1．5 2.－2 3.7 4.21 5．－121解析 (1－x )5中x 3的系数为－C 35＝－10，(1－x )6中x 3的系数为－C 36＝－20，(1－x )7中x 3的系数为－C 37＝－35，(1－x )8中x 3的系数为－C 38＝－56.所以原式中x 3的系数为－10－20－35－56＝－121.6．17解析二项展开式的通项为T r ＋1＝C r 18x18－r (－13x)r ＝(－1)r (13)r C r 18x 18－3r2. 令18－3r2＝15，解得r ＝2.∴含x 15的项的系数为(－1)2(13)2C 218＝17.7．－52解析 T r ＋1＝C r 6x 6－r ⎝⎛⎭⎫－12r ·x －r ＝⎝⎛⎭⎫－12r C r 6·x 6－2r ，令6－2r ＝0，得r ＝3.∴常数项为T 3＋1＝⎝⎛⎭⎫－123C 36＝－52. 8．4 351解析 ⎝⎛⎭⎫1＋x ＋1x 210＝⎣⎡⎦⎤(1＋x )＋1x 210＝C 010(1＋x )10＋C 110(1＋x )91x 2＋C 210(1＋x )81x 4＋C 310(1＋x )71x 6＋C 410(1＋x )61x8＋…，从第五项C 410(1＋x )61x8起，后面各项不再出现常数项，前四项的常数项分别是C 010×C 010，C 110×C 29，C 210×C 48，C 310×C 67.故原三项展开式中常数项为C 010C 010＋C 110C 29＋C 210C 48＋C 310C 67＝4 351. 9．解 (1)①令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16. (3分) ②令x ＝－1得，a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(－3－1)4＝256，而由(1)知a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a 0＋a 2＋a 4＝136. (6分)③令x ＝0得a 0＝(0－1)4＝1，得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4－a 0 ＝16－1＝15.(9分)(2)证明 ∵32n ＋2－8n －9＝32·32n －8n －9 ＝9·9n －8n －9＝9(8＋1)n －8n －9＝9(C 0n 8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －1n ·8＋C n n·1)－8n －9 (12分)＝9(8n ＋C 1n 8n －1＋…＋C n －2n 82)＋9·8n ＋9－8n －9 ＝9×82×(8n －2＋C 1n ·8n －3＋…＋C n －2n )＋64n ＝64[9(8n －2＋C 1n 8n －3＋…＋C n －2n )＋n ]，显然括号内是正整数，∴原式能被64整除． (14分)10．证明因为⎝⎛⎭⎫1＋1n n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·⎝⎛⎭⎫1n 2＋C 3n ·⎝⎛⎭⎫1n 3＋…＋C n n ·⎝⎛⎭⎫1n a n ＝1＋1＋12！ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋13！ ·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋1n ！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n …⎝⎛⎭⎫1n .(4分)所以2≤⎝⎛⎭⎫1＋1n n <2＋12！＋13！＋…＋1n ！(7分)<2＋11·2＋12·3＋…＋1(n －1)n＝2＋⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝3－1n<3，(10分) 仅当n ＝1时，⎝⎛⎭⎫1＋1n n ＝2；(12分)当n ≥2时，2<⎝⎛⎭⎫1＋1n n <3. 故对一切n ∈N *，都有2≤⎝⎛⎭⎫1＋1n n <3. (14分)11．解由题意知，第五项系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则有C 4n ·(－2)4C 2n ·(－2)2＝101，化简得n 2－5n －24＝0，解得n ＝8或n ＝－3(舍去)．(2分) (1)令x ＝1得各项系数的和为(1－2)8＝1.(4分)(2)通项公式T r ＋1＝C r 8·(x )8－r ·⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝C r 8·(－2)r·x 8－r2－2r ，令8－r 2－2r ＝32，则r ＝1.故展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32.(8分)(3)设展开式中的第r 项，第r ＋1项，第r ＋2项的系数绝对值分别为C r －18·2r －1，C r 8·2r ，C r ＋18·2r ＋1，若第r ＋1项的系数绝对值最大，则⎩⎪⎨⎪⎧C r －18·2r －1≤C r 8·2r，C r ＋18·2r ＋1≤C r 8·2r ，解得5≤r ≤6.(12分)又T 6的系数为负，∴系数最大的项为T 7＝1 792x －11. 由n ＝8知第5项二项式系数最大．此时T 5＝1 120x －6.(14分)。

第十一章算法、框图、复数、推理与证明11-1算法与框图

②该语句对应的程序框图如图．

③其执行过程为：先对if后面的条件进行判断，如果条件成立，就执行条件后面的语句序列1，执行完后，跳过else及其后面的语句序列2，转去执行 end后面的语句；如果条件不满足则执行 else后面的语句序列2.

(2)简单格式

其对应的程序框图如图．该语句的功能为：如果表达式结果为真，则执行表达式后面的语句序列，否则跳过语句序列执行end后面的语句．

(3)通过实例，了解结构图，运用结构图梳理已学过的知识，整理收集到的资料信息． (4)结合作出的结构图与他人进行交流、体会结构图在揭示事物联系中的作用．二、复数 (1)在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算法则、方程理论)在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．

重点难点重点：算法的意义，程序框图的概念及三种基本逻辑结构．难点：条件分支结构与循环结构中条件的把握．知识归纳一、算法与框图 1．算法概念由基本运算和规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤．

2．算法要求 (1)明确、有效． (2)能解决一类问题，可重复使用． (3)能一步一步执行，每一步操作必须确切，不能含混不清． (4)经过有限步后得出结果． 3．算法的描述描述算法可以有不同的方式，常用的有自然语言、数学语言、框图、形式语言(算法语言)等．

Байду номын сангаас
④条件语句的功能当需要计算机按条件进行分析、比较、判断，并按判断后的不同情况进行不同处理(如判断一个数的正负，比较两个数的大小，对一组数据进行排序，分段函数求值等)时需要用条件语句． 5．循环语句在处理一些需要反复执行的运算任务，如累加求和，累乘求积，递推等问题时，常常要用循环语句编写程序．

(完整版)高中数学苏教版教材目录(必修+选修)

苏教版-----------------------------------必修1----------------------------------- 第1章集合1.1集合的含义及其表示1.2子集、全集、补集1.3交集、并集第2章函数2.1函数的概念2.1.1函数的概念和图象2.1.2函数的表示方法2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性2.2.2函数的奇偶性2.3映射的概念第3章指数函数、对数函数和幂函数3.1指数函数3.1.1分数指数幂3.1.2指数函数3.2对数函数3.2.1对数3.2.2对数函数3.3幂函数3.4函数的应用3.4.1函数与方程3.4.2函数模型及其应用-----------------------------------必修2----------------------------------- 第1章立体几何初步1.1空间几何体1.1.1棱柱、棱锥和棱台1.1.2圆柱、圆锥、圆台和球1.1.3中心投影和平行投影1.1.4直观图画法1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质1.2.2空间两条直线的位置关系1.平行直线2.异面直线1.2.3直线与平面的位置关系1.直线与平面平行2.直线与平面垂直1.2.4平面与平面的位置关系1.两平面平行2.平面垂直1.3空间几何体的表面积和体积1.3.1空间几何体的表面积1.3.2空间几何体的体积第2章平面解析几何初步2.1直线与方程2.1.1直线的斜率2.1.2直线的方程1.点斜式2.两点式3.一般式2.1.3两条直线的平行与垂直2.1.4两条直线的交点2.1.5平面上两点间的距离2.1.6点到直线的距离2.2圆与方程2.2.1圆的方程2.2.2直线与圆的位置关系2.2.3圆与圆的位置关系2.3空间直角坐标系2.3.1空间直角坐标系2.3.2空间两点间的距离-----------------------------------必修3----------------------------------- 第1章算法初步1.1算法的意义1.2流程图1.2.1顺序结构1.2.2选择结构1.2.3循环结构1.3基本算法语句1.3.1赋值语句1.3.2输入、输出语句1.3.3条件语句1.3.4循环语句1.4算法案例第2章统计2.1抽样方法2.1.1简单随机抽样1.抽签法2.随机数表法2.1.2系统抽样2.1.3分层抽样2.2总体分布的估计2.2.1频率分布表2.2.2频率分布直方图与折线图2.2.3茎叶图2.3总体特征数的估计2.3.1平均数及其估计2.3.2方差与标准差2.4线性回归方程第3章概率3.1随机事件及其概率3.1.1随机现象3.1.2随机事件的概率3.2古典概型3.3几何概型3.4互斥事件-----------------------------------必修4----------------------------------- 第1章三角函数1.1任意角、弧度1.1.1任意角1.1.2弧度制1.2任意角的三角函数1.2.1任意角的三角函数1.2.2同角三角函数关系1.2.3三角函数的诱导公式1.3三角函数的图象和性质1.3.1三角函数的周期性1.3.2三角函数的图象与性质1.3.3函数y=Asin(ωx+ψ)的图象1.3.4三角函数的应用第2章平面向量2.1向量的概念及表示2.2向量的线性运算2.2.1向量的加法2.2.2向量的减法2.2.3向量的数乘2.3向量的坐标表示2.3.1平面向量基本定理2.3.2平面向量的坐标运算2.4向量的数量积2.5向量的应用第3章三角恒等变换3.1两角和与差的三角函数3.1.1两角和与差的余弦3.1.2两角和与差的正弦3.1.3两角和与差的正切3.2二倍角的三角函数3.3几个三角恒等式-----------------------------------必修5----------------------------------- 第1章解三角形1．1正弦定理1．2余弦定理1．3正弦定理、余弦定理的应用第2章数列2．1数列2．2等差数列2.2.1等差数列的概念2.2.2等差数列的通项公式2.2.3等差数列的前n项和2．3等比数列2.3.1等比数列的概念2.3.2等比数列的通项公式2.3.3等比数列的前n项和第3章不等式3．1不等关系3．2一元二次不等式3．3二元一次不等式组与简单的线性规划问题3.3.1二元一次不等式表示的平面区域3.3.2二元一次不等式组表示的平面区域 3.3.3简单的线性规划问题3．4基本不等式2b a ab +≤)0,0(≥≥b a 3.4.1基本不等式的证明3.4.2基本不等式的应用-----------------------------------选修1-1-----------------------------------第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的共同性质第3章导数及其应用3．1导数的概念3.1.1平均变化率3.1.2瞬时变化率——导数3．2导数的运算3.2.1常见函数的导数3.2.2函数的和、差、积、商的导数 3．3导数在研究函数中的应用3.3.1单调性3.3.2极大值和极小值3.3.3最大值和最小值3．4导数在实际生活中的应用-----------------------------------选修1-2-----------------------------------第1章统计案例 1．1独立性检验 1．2回归分析第2章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明第3章数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义第4章框图 4．1流程图 4．2结构图-----------------------------------选修2-1-----------------------------------第1章常用逻辑用语1．1命题及其关系1.1.1四种命题1.1.2充分条件和必要条件 1．2简单的逻辑联结词1．3全称量词与存在量词1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定第2章圆锥曲线与方程 2．1圆锥曲线2．2椭圆2.2.1椭圆的标准方程2.2.2椭圆的几何性质2．3双曲线2.3.1双曲线的标准方程2.3.2双曲线的几何性质 2．4抛物线2.4.1抛物线的标准方程2.4.2抛物线的几何性质 2．5圆锥曲线的统一定义2．6曲线与方程2.6.1曲线与方程2.6.2求曲线的方程2.6.3曲线的交点第3章空间向量与立体几何3．1空间向量及其运算3.1.1空间向量及其线性运算3.1.2共面向量定理3.1.3空间向量基本定理3.1.4空间向量的坐标表示3.1.5空间向量的数量积 3．2空间向量的应用3.2.1直线的方向向量与平面的法向量3.2.2空间线面关系的判定3.2.3空间的角的计算-----------------------------------选修2-2-----------------------------------第一章导数及其应用1．1导数的概念1.1.1平均变化率1.1.2瞬时变化率——导数1．2导数的运算1.2.1常见函数的导数1.2.2函数的和、差、积、商的导数1.2.3简单复合函数的导数1．3导数在研究函数中的应用1.3.1单调性1.3.2极大值和极小值1.3.3最大值和最小值 1．4导数在实际生活中的应用1．5定积分1.5.1曲边梯形的面积1.5.2定积分1.5.3微积分基本定理第二章推理与证明2．1合情推理与演绎推理2.1.1合情推理2.1.2演绎推理2.1.3推理案例欣赏 2．2直接证明与间接证明2.2.1直接证明2.2.2间接证明 2．3数学归纳法第三章数系的扩充与复数的引入 3．1数系的扩充 3．2复数的四则运算 3．3复数的几何意义-----------------------------------选修2-3-----------------------------------第一章计数原理 1．1两个基本原理 1．2排列 1．3组合1．4计数应用题1．5二项式定理1.5.1二项式定理1.5.2二项式系数的性质及用第二章概率2．1随机变量及其概率分布2．2超几何分布2．3独立性2.3.1条件概率2.3.2事件的独立性2．4二项分布2．5随机变量的均值与方差2.5.1离散型随机变量的均值2.5.2离散型随机变量的方差与标准差2．6正态分布第三章统计案例3．1独立性检验3．2回归分析-----------------------------------选修4-1----------------------------------- 1.1 相似三角形的进一步认识1.1.1平行线分线段成比例定理1.1.2相似三角形1.2 圆的进一步认识1.2.1圆周角定理1.2.2圆的切线1.2.3圆中比例线段1.2.4圆内接四边形1.3 圆锥截线1.3.1球的性质1.3.2圆柱的截线1.3.3圆锥的截线学习总结报告-----------------------------------选修4-2----------------------------------- 2.1 二阶矩阵与平面向量2.1.1矩阵的概念2.1.2二阶矩阵与平面列向量的乘法2.2 几种常见的平面变换2.2.1恒等变换2.2.2伸压变换2.2.3反射变换2.2.4旋转变换2.2.5投影变换2.2.6切变变换2.3 变换的复合与矩阵的乘法2.3.1矩阵乘法的概念2.3.2矩阵乘法的简单性质2.4 逆变换与逆矩阵2.4.1逆矩阵的概念2.4.2二阶矩阵与二元一次方程组2.5 特征值与特征向量2.6 矩阵的简单应用学习总结报告-----------------------------------选修4-4----------------------------------- 4.1 直角坐标系4.1.1直角坐标系4.1.2极坐标系4.1.3球坐标系与柱坐标系4.2 曲线的极坐标方程4.2.1曲线的极坐标方程的意义4.2.2常见曲线的极坐标方程4.3 平面坐标系中几种常见变换4.3.1平面直角坐标系中的平移变换4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换4.4 参数方程4.4.1参数方程的意义4.4.2参数方程与普通方程的互化4.4.3参数方程的应用4.4.4平摆线与圆的渐开线学习总结报告-----------------------------------选修4-5----------------------------------- 5.1 不等式的基本性质5.2 含有绝对值的不等式5.2.1含有绝对值的不等式的解法5.2.2含有绝对值的不等式的证明5.3 不等式的证明5.3.1比较法5.3.2综合法和分析法5.3.3反证法5.3.4放缩法5.4 几个著名的不等式5.4.1柯西不等式5.4.2排序不等式5.4.3算术-几何平均值不等式5.5 运用不等式求最大（小）值5.5.1运用算术-几何平均值不等式求最大（小）值5.5.2运用柯西不等式求最大（小）值5.6 运用数学归纳法证明不等式学习总结报告。

2013年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析

2013年江西省高考数学试卷（理科）参考答案和试题分析一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2013•江西）已知集合M={1，2，zi}，i为虚数单位，N={3，4}，M∩N={4}，则复数z=（）A．﹣2i B．2i C．﹣4i D．4i考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：根据两集合的交集中的元素为4，得到zi=4，即可求出z的值．解答：解：根据题意得：zi=4，解得：z=﹣4i．故选C点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）（2013•江西）函数y=的定义域为（）A．（0，1）B．[0，1）C．（0，1]D．[0，1]考点：函数的定义域及其求法．专题：计算题；函数的性质及使用．分析：由函数的分析式可直接得到不等式组，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项解答：解：由题意，自变量满足，解得0≤x＜1，即函数y=的定义域为[0，1）故选B点评：本题考查函数定义域的求法，理解相关函数的定义是解题的关键，本题是概念考查题，基础题．3．（5分）（2013•江西）等比数列x，3x+3，6x+6，…的第四项等于（）A．﹣24 B．0C．12 D．24 考点：等比数列的性质．专题：等差数列和等比数列．分析：由题意可得（3x+3）2=x（6x+6），解x的值，可得此等比数列的前三项，从而求得此等比数列的公比，从而求得第四项．解答：解：由于x，3x+3，6x+6是等比数列的前三项，故有（3x+3）2=x（6x+6），解x=﹣3，故此等比数列的前三项分别为﹣3，﹣6，﹣12，故此等比数列的公比为2，故第四项为﹣24，故选A．本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的性质，属于基础题．点评：4．（5分）（2013•江西）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 01983204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A．08 B． 07 C． 02 D．01考点：简单随机抽样．专题：图表型．分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，01符合条件，故可得结论．解答：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01．故选：D．点评：本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．5．（5分）（2013•江西）（x2﹣）5的展开式中的常数项为（）A．80 B．﹣80 C．40 D．﹣40 二项式定理．考点：计算题；概率和统计．专题：分利用（x）5展开式中的通项公式T r+1=•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r，令x的幂析：指数为0，求得r的值，即可求得（x）5展开式中的常数项．解解：设（x）5展开式中的通项为T r+1，答：则T r+1=•x2（5﹣r）•（﹣2）r•x﹣3r=（﹣2）r••x10﹣5r，令10﹣5r=0得r=2，∴（x）5展开式中的常数项为（﹣2）2×=4×10=40．故选C．点本题考查二项式定理，着重考查二项展开式的通项公式，考查运算能力，属于中档题．6．（5分）（2013•江西）若S1=x2dx，S2=dx，S3=e x dx，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＜S2＜S3B．S2＜S1＜S3C．S2＜S3＜S1D．S3＜S2＜S1考点：微积分基本定理．专题：导数的概念及使用．分析：先利用积分基本定理计算三个定积分，再比较它们的大小即可．解答：解：由于S1=x2dx=|=，S2=dx=lnx|=ln2，S3=e x dx=e x|=e2﹣e．且ln2＜＜e2﹣e，则S2＜S1＜S3．故选：B．点评：本小题主要考查定积分的计算、不等式的大小比较等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．7．（5分）（2013•江西）阅读如下程序框图，如果输出i=5，那么在空白矩形框中应填入的语句为（）A．S=2*i﹣2 B．S=2*i﹣1 C．S=2*i D．S=2*i+4考程序框图．专题：图表型．分析：题目给出了输出的结果i=5，让我们分析矩形框中应填的语句，根据判断框中内容，即s＜10，我们模拟程序执行的过程，从而得到答案．解答：解：当空白矩形框中应填入的语句为S=2*I时，程序在运行过程中各变量的值如下表示：i S 是否继续循环循环前1 0/第一圈2 5 是第二圈3 6 是第三圈4 9 是第四圈5 10 否故输出的i值为：5，符合题意．故选C．点评：本题考查了程序框图中的当型循环，当型循环是当条件满足时进入循环体，不满足条件算法结束，输出结果．8．（5分）（2013•江西）如果，正方体的底面和正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，正方体的六个面所在的平面和直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，那么m+n=（）A．8B．9C．10 D．11考点：平面的基本性质及推论．专题：计算题；空间位置关系和距离．分析：判断CE和EF和正方体表面的关系，即可推出正方体的六个面所在的平面和直线CE，EF相交的平面个数分别记为m，n，求出m+n的值．解答：解：由题意可知直线CE和正方体的上底面平行在正方体的下底面上，和正方体的四个侧面不平行，所以m=4，直线EF和正方体的左右两个侧面平行，和正方体的上下底面相交，前后侧面相交，所以n=4，所以m+n=8．故选A．点评：本题考查直线和平面的位置关系，基本知识的使用，考查空间想象能力．9．（5分）（2013•江西）过点（）引直线l和曲线y=相交于A，B两点，O 为坐标原点，当△ABO的面积取得最大值时，直线l的斜率等于（）A．B．C．D．考直线和圆的位置关系；直线的斜率．专题：压轴题；直线和圆．分析：由题意可知曲线为单位圆在x轴上方部分（含和x轴的交点），由此可得到过C点的直线和曲线相交时k的范围，设出直线方程，由点到直线的距离公式求出原点到直线的距离，由勾股定理求出直线被圆所截半弦长，写出面积后利用配方法转化为求二次函数的最值．解答：解：由y=，得x2+y2=1（y≥0）．所以曲线y=表示单位圆在x轴上方的部分（含和x轴的交点），设直线l的斜率为k，要保证直线l和曲线有两个交点，且直线不和x轴重合，则﹣1＜k＜0，直线l的方程为y﹣0=，即．则原点O到l的距离d=，l被半圆截得的半弦长为．则===．令，则，当，即时，S△ABO有最大值为．此时由，解得k=﹣．故答案为B．点评：本题考查了直线的斜率，考查了直线和圆的关系，考查了学生的运算能力，考查了配方法及二次函数求最值，解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值，是中档题．10．（5分）（2013•江西）如图，半径为1的半圆O和等边三角形ABC夹在两平行线l1，l2之间，l∥l1，l和半圆相交于F，G两点，和三角形ABC两边相交于E，D两点．设弧的长为x（0＜x＜π），y=EB+BC+CD，若l从l1平行移动到l2，则函数y=f（x）的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：压轴题；函数的性质及使用．分析：由题意可知：随着l从l1平行移动到l2，y=EB+BC+CD越来越大，考察几个特殊的情况，计算出相应的函数值y，结合考查选项可得答案．解答：解：当x=0时，y=EB+BC+CD=BC=；当x=π时，此时y=AB+BC+CA=3×=2；当x=时，∠FOG=，三角形OFG为正三角形，此时AM=OH=，在正△AED中，AE=ED=DA=1，∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣（AE+AD）=3×﹣2×1=2﹣2．如图．又当x=时，图中y0=+（2﹣）=＞2﹣2．故当x=时，对应的点（x，y）在图中红色连线段的下方，对照选项，D正确．故选D．点本题考查函数的图象，注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键，属中档题．评：二．第Ⅱ卷填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分11．（5分）（2013•江西）函数y=最小正周期T为π．考点：三角函数的周期性及其求法；两角和和差的正弦函数；二倍角的余弦．专题：三角函数的图像和性质．分析：函数分析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和和差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期．解答：解：y=sin2x+2×=sin2x﹣cos2x+=2（sin2x﹣cos2x）+=2sin （2x﹣）+，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，涉及的知识有：二倍角的余弦函数公式，两角和和差的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键．12．（5分）（2013•江西）设，为单位向量．且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及使用．分析：根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为，运算求得结果．解答：解：∵、为单位向量，且和的夹角θ等于，∴=1×1×cos=．∵=+3，=2，∴=（+3）•（2）=2+6=2+3=5．∴在上的射影为=，故答案为．点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题．13．（5分）（2013•江西）设函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，则f′（1）= 2．考点：导数的运算；函数的值．专题：计算题；压轴题；函数的性质及使用；导数的概念及使用．分析：由题设知，可先用换元法求出f（x）的分析式，再求出它的导数，从而求出f′（1）．解答：解：函数f（x）在（0，+∞）内可导，且f（e x）=x+e x，令e x=t，则x=lnt，故有f（t）=lnt+t，即f（x）=lnx+x，∴f′（x）=+1，故f′（1）=1+1=2．故答案为：2．点评：本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的分析式，属于基本题型，运算型．14．（5分）（2013•江西）抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，其准线和双曲线=1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p=6．考点：抛物线的简单性质；双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质和方程．分析：求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线和双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．解答：解：抛物线的焦点坐标为（0，），准线方程为：y=﹣，准线方程和双曲线联立可得：，解得x=±，因为△ABF为等边三角形，所以，即p2=3x2，即，解得p=6．故答案为：6．点评：本题考查抛物线的简单性质，双曲线方程的使用，考查分析问题解决问题的能力以及计算能力．三．第Ⅱ卷选做题：请在下列两题中任选一题作答，若两道题都做，按第一题评卷计分．本题共5分．15．（5分）（2013•江西）（坐标系和参数方程选做题）设曲线C的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρcos2θ﹣sinθ=0．考点：抛物线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；压轴题．分析：先求出曲线C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代换求得极坐标方程．解答：解：由（t为参数），得y=x2，令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入并整理得ρcos2θ﹣sinθ=0．即曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣sinθ=0．故答案为：ρcos2θ﹣sinθ=0．点评：本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化．普通方程化为极坐标方程关键是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ．16．（2013•江西）（不等式选做题）在实数范围内，不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集为[0，4]．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；压轴题；不等式的解法及使用．分析：利用绝对值不等式的等价形式，利用绝对值不等式几何意义求解即可．解答：解：不等式||x﹣2|﹣1|≤1的解集，就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1的解集，也就是0≤|x﹣2|≤2的解集，0≤|x﹣2|≤2的几何意义是数轴上的点到2的距离小于等于2的值，所以不等式的解为：0≤x≤4．所以不等式的解集为[0，4]．故答案为：[0，4]．点评：本题考查绝对值不等式的解法，绝对值不等式的几何意义，注意不等式的等价转化是解题的关键．四．第Ⅱ卷解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•江西）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosC+（cosA﹣sinA）cosB=0．（1）求角B的大小；（2）若a+c=1，求b的取值范围．考点：余弦定理；两角和和差的余弦函数．专题：解三角形．分析：（1）已知等式第一项利用诱导公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，整理后根据sinA不为0求出tanB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（2）由余弦定理列出关系式，变形后将a+c及cosB的值代入表示出b2，根据a的范围，利用二次函数的性质求出b2的范围，即可求出b的范围．解答：解：（1）由已知得：﹣cos（A+B）+cosAcosB﹣sinAcosB=0，即sinAsinB﹣sinAcosB=0，∵sinA≠0，∴sinB﹣cosB=0，即tanB=，又B为三角形的内角，则B=；（2）∵a+c=1，即c=1﹣a，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2ac•cosB，即b2=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=1﹣3a（1﹣a）=3（a﹣）2+，∵0＜a＜1，∴≤b2＜1，则≤b＜1．点评：此题考查了余弦定理，二次函数的性质，诱导公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键． 18．（12分）（2013•江西）正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n 2（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）令b，数列{b n }的前n 项和为T n ．证明：对于任意n ∈N *，都有T ．考点：数列的求和；等差数列的通项公式．专题：计算题；证明题；等差数列和等比数列．分析：（I ）由S n2可求s n ，然后利用a 1=s 1，n ≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1可求a n （II ）由b==，利用裂项求和可求T n ，利用放缩法即可证明解答：解：（I ）由S n2可得，[]（S n +1）=0∵正项数列{a n }，S n ＞0∴S n =n 2+n 于是a 1=S 1=2n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+n ﹣（n ﹣1）2﹣（n ﹣1）=2n ，而n=1时也适合 ∴a n =2n （II ）证明：由b==∴]=点评：本题主要考查了递推公式a 1=s 1，n ≥2时，a n =s n ﹣s n ﹣1在求解数列的通项公式中的使用及数列的裂项求和方法的使用． 19．（12分）（2013•江西）小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队，游戏规则为：以0为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8（如图）这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X．若X=0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．（1）求小波参加学校合唱团的概率；（2）求X的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望和方差．专题：计算题；概率和统计．分析：（1）先求出从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法，而X=0时，即两向量夹角为直角，求出结果数，代入古典概率的求解公式可求（2）先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率，即可求解分布列及期望值解答：解：（1）从8个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有=28种X=0时，两向量夹角为直角共有8种情形所以小波参加学校合唱团的概率P（X=0）==（2）两向量数量积的所有可能情形有﹣2，﹣1，0，1X=﹣2时有2种情形X=1时有8种情形X=﹣1时，有10种情形X的分布列为：X ﹣2 ﹣1 0 1PEX==点评：本题主要考查了古典概率的求解公式的使用及离散型随机变量的分布列及期望值的求解．20．（12分）（2013•江西）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1，PA=，连接CE并延长交AD于F（1）求证：AD⊥平面CFG；（2）求平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线和平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：计算题；空间位置关系和距离；空间角．分析：（1）利用直角三角形的判定得到∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=．由△DAB≌△DCB得到△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠FEA=，所以EF⊥AD 且AF=FD，结合题意得到FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA，根据PA⊥平面ABCD得FG⊥平面ABCD，得到FG⊥AD，最后根据线面垂直的判定定理证出AD⊥平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，得到A、B、C、D、P的坐标，从而得到、、的坐标，利用垂直向量数量积为零的方法建立方程组，解出=（1，﹣，）和=（1，，2）分别为平面BCP、平面DCP的法向量，利用空间向量的夹角公式算出、夹角的余弦，即可得到平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值．解答：解：（1）∵在△DAB中，E为BD的中点，EA=EB=AB=1，∴AE=BD，可得∠BAD=，且∠ABE=∠AEB=∵△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB=∴∠EDA=∠EAD=，可得EF⊥AD，AF=FD又∵△PAD中，PG=GD，∴FG是△PAD是的中位线，可得FG∥PA∵PA⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∵AD⊂平面ABCD，∴FG⊥AD又∵EF、FG是平面CFG内的相交直线，∴AD⊥平面CFG；（2）以点A为原点，AB、AD、PA分别为x轴、y轴、z轴建立如图直角坐标系，可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（，，0），D（0，，0），P（0，0，）∴=（，，0），=（﹣，﹣，），=（﹣，，0）设平面BCP的法向量=（1，y1，z1），则解得y1=﹣，z1=，可得=（1，﹣，），设平面DCP的法向量=（1，y2，z2），则解得y2=，z2=2，可得=（1，，2），∴cos＜，＞===因此平面BCP和平面DCP的夹角的余弦值等于|cos＜，＞|=．点评：本题在三棱锥中求证线面垂直，并求平面和平面所成角的余弦值．着重考查了空间线面垂直的判定和性质，考查了利用空间向量研究平面和平面所成角等知识，属于中档题．21．（13分）（2013•江西）如图，椭圆C：经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．（1）求椭圆C的方程；（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB和直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．考点：直线和圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：压轴题；转化思想；圆锥曲线的定义、性质和方程．分析：（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离心率为e=，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准方程；（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一元二次方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用根和系数的关系求得x1+x2=，，再求点M的坐标，分别表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值；方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），以之表示出直线FB的方程为，由此方程求得M的坐标，再和椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k1，k2，k3．比较k1+k2=λk3即可求得参数的值解答：解：（1）椭圆C：经过点P （1，），可得①由离心率e=得=，即a=2c，则b2=3c2②，代入①解得c=1，a=2，b=故椭圆的方程为（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③代入椭圆方程并整理得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0设A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=，④在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），从而，，=k﹣注意到A，F，B共线，则有k=k AF=k BF，即有==k所以k1+k2=+=+﹣（+）=2k﹣×⑤④代入⑤得k1+k2=2k﹣×=2k﹣1又k3=k﹣，所以k1+k2=2k3故存在常数λ=2符合题意方法二：设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为令x=4，求得M（4，）从而直线PM的斜率为k3=，联立，得A（，），则直线PA的斜率k1=，直线PB的斜率为k2=所以k1+k2=+=2×=2k3，故存在常数λ=2符合题意点评：本题考查直线和圆锥曲线的综合问题，考查了分析转化的能力和探究的能力，考查了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量大，极易出错，解答时要严谨运算，严密推理，方能碸解答出．22．（14分）（2013•江西）已知函数f（x）=，a为常数且a＞0．（1）f（x）的图象关于直线x=对称；（2）若x0满足f（f（x0））=x0，但f（x0）≠x0，则x0称为函数f（x）的二阶周期点，如果f（x）有两个二阶周期点x1，x2，试确定a的取值范围；（3）对于（2）中的x1，x2，和a，设x3为函数f（f（x））的最大值点，A（x1，f（f（x1））），B（x2，f（f（x2））），C（x3，0），记△ABC的面积为S（a），讨论S（a）的单调性．考点：利用导数研究函数的单调性；奇偶函数图象的对称性；函数的值．专题：压轴题；新定义．分析：（1）只要证明成立即可；（2）对a分类讨论，利用二阶周期点的定义即可得出；（3）由（2）得出x3，得出三角形的面积，利用导数即可得出其单调性．解答：（1）证明：∵==a（1﹣2|x|），=a（1﹣2|x|），∴，∴f（x）的图象关于直线x=对称．（2）解：当时，有f（f（x））=．∴f（f（x））=x只有一个解x=0又f（0）=0，故0不是二阶周期点．当时，有f（f（x））=．∴f（f（x））=x有解集，{x|x}，故此集合中的所有点都不是二阶周期点．当时，有f（f（x））=，∴f（f（x））=x有四个解：0，，，．由f（0）=0，，，．故只有，是f（x）的二阶周期点，综上所述，所求a的取值范围为．（3）由（2）得，．∵x2为函数f（x）的最大值点，∴，或．当时，S（a）=．求导得：S′（a）=．∴当时，S（a）单调递增，当时，S（a）单调递减．当时，S（a）=，求导得．∵，从而有．∴当时，S（a）单调递增．点评：本题考查了新定义“二阶周期点”、利用导数研究函数的单调性、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力和计算能力．。

高考数学一轮第11章算法初步、复数、推理与证明 11-2

板块三启智培优·破译高考
数学思想系列 12——解决复数问题的实数化思想 [2018·金华模拟]已知 z∈C，解方程 z·－z －3i－z ＝1＋3i. 解题视点设 z＝a＋bi(a，b∈R)，根据已知中恒等的条件，列出一组含 a，b 的方程，解方程组使问题获得解决．
解设 z＝a＋bi(a，b∈R)，则(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi) ＝1＋3i，即 a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i.
∴－2λ－λ＋μμ＝＝－3，4，解得λμ＝＝－2. 1， ∴λ＋μ＝1.
考向复数的代数运算命题角度 1 复数的乘法运算例 3 [2017·山东高考]已知 a∈R，i 是虚数单位．若 z＝a＋ 3i，z·z ＝4，则 a＝( ) A．1 或－1 B. 7或－ 7 C．－ 3 D. 3
A. 5 B．2 5 C．5 2 D. 10
解析 ∵z＝－2＋i，∴－z ＝－2－i， ∴|(1＋z)·－z |＝|(1－2＋i)·(－2－i)|＝|3－i|＝ 1＋9＝ 10，故选 D.
5．[2017·江苏高考]已知复数 z＝(1＋i)(1＋2i)，其中 i 是虚数单位，则 z 的模是____1_0___．
解析 ∵a∈R，a2－＋ii＝a2－＋ii22－－ii＝2a－1－5a＋2i＝ 2a5－1－a＋5 2i 为实数，∴－a＋5 2＝0，∴a＝－2.
触类旁通求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模、共轭复数的概念都与复数的实部和虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即 a＋bi(a，b∈R) 的形式，再根据题意列方程(组)求解．
∴a＝43， b＝1，
解析依题意得(a＋ 3i)(a－ 3i)＝4，即 a2＋3＝4，∴ a＝±1.故选 A.

高三总复习复数.doc

高考必考专题2：复数一、课堂重点1、复数的代数形式： a bi a, b R ，a叫实部， b 叫虚部，实部和虚部都是实数。

2、复数相等：a bi c di a c且 b=d ； a bi 0 a 0且 b=0实数 (b=0)3、复数的分类：复数Z a bi一般虚数 (b 0,a0) 虚数 (b 0)0, a 0)纯虚数 (b4、复数的模：若向量uur uur| a bi | a2 b2 OZ表示复数z，则称 OZ的模r为复数z的模，z ；5、复平面：这个建立了直角坐标系来表示复数的坐标平面叫做复平面，其中x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数共轭复数：若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

6、复数的几何意义：复数 z a bi a,b R 一一对应复平面内的点Z (a,b)7、复数的四则运算加法： z1 +z2=( a+bi )+( c+di )=( a+c)+( b+d) i . a, b, c, d R减法： z - z =( a+bi )-( c+di )=( a- c)+( b- d) i . a, b, c, d R1 2乘法： z1z2= ( a+bi )( c+di )=( ac－bd)+( bc+ad) i .a, b, c, d R复数的加法运算满足交换律和结合律；复数的乘法运算满足交换律、结合律和分配律。

除法：z1(a+bi) (c+di)=a bi=ac bd bc adi a, b, c, d R z2 c di c2 d 2 c2 d 28、常用算式：1i ， (1 i )2 2i ， (1 i) 2 2i ，1 i i ，1i i i 1 i 1 i二、例题精讲1. （ 2008 上海）若复数z 满足 z (1+i) =1-i (I 是虚数单位 ) ，则其共轭复数z =____________.2. （ 2009 浙江）设z 1 i （ i 是虚数单位），则2z2 ( ) zA ．1 iB ． 1 iC ． 1 iD ． 1 i3. （北京理）在复平面内，复数z i (1 2i ) 对应的点位于（）A ．第一象限 B4. (2012 年山东 ) 复数 3 i1 i ．第二象限C．第三象限D．第四象限. 等于（）A ．1 2i B. 1 2i C. 2 i D. 2 i5. 若复数z1 4 29i , z2 6 9i, 其中i是虚数单位，则复数( z1 z2 )i 的实部为.6. (2012 年四川 ) 复数（）A. B.7.（安徽理） i 是虚数单位，若D.1 7i2a bi (a,b R) ，则乘积 ab 的值是( )iA. －15B. －3C. 38.(2015 高考北京 ) 复数i 2 i （）A ． 1 2i B． 1 2i C． 1 2i D． 1 2i－ 3+i9. （ 2013 年新课标文）复数z＝2+i 的共轭复数是（）+i － i C. － 1+i D. － 1－ i 10. （ 2014 年新课标文）已知复数，其中i 是虚数单位，则 = .11．（ 2013 年高考辽宁卷（文））复数的Z1模为（）i 1A ．1B． 2 C． 2 D．2 2 212．（ 2013 年高考课标Ⅱ卷（文）） ||= （）A ． 2 B． 2 C．D． 1113．（ 2013 年高考湖南）复数z=i · (1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于（）A ．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限214．（ 2013 年高考四川卷）如图, 在复平面内, 点A表示复数z ,则图中表示z 的共轭复数的点是（）A．A B．B C．C D．D315．（ 2013 年高考课标Ⅰ卷）1 2i（）(1 i )2A．1 1 i B．11i C．11i D．11i2 2 2 2416．（ 2013 年高考北京卷）在复平面内, 复数i (2 i) 对应的点位于（）A．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限517．（ 2013 年高考山东卷）复数, 则（）A． 25 B．C． 5 D．618．（ 2013 年高考江西卷）复数z=i(-2-i)(i 为虚数单位 ) 在复平面内所对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限719．（ 2013 年高考浙江卷）已知i 是虚数单位 , 则(2+i)(3+i)= （）A． 5-5i B． 7-5i C． 5+5i D． 7+5i208．（ 2013 年高考安徽）设 i 是虚数单位,若复数a 10 ( a R) 是纯虚数,则a的值为（）3 iA． -3 B． -1 C． 1 D． 3219．（ 2013 年高考福建卷）复数z 1 2i (i为虚数单位)在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2210．（ 2013 年高考广东卷）若i ( x yi ) 3 4i , x, y R ,则复数 x yi 的模是（）A． 2 B． 3 C． 4 D． 52311．（ 2013 年高考天津卷） i 是虚数单位 . 复数 (3 + i)(1-2i) = ______.2412．（ 2013 年高考重庆卷）已知复数z 1 2i ( i 是虚数单位),则z ____________.2513（． 2013 年上海）设m R , m2 m 2 m2 1 i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m ________. 2614 ．（ 2013 年高考湖北卷）i 为虚数单位,设复数z1, z2 在复平面内对应的点关于原点对称, 若z1 2 3i , 则 z2 __________.27．（ 2012 年高考浙江）已知i 是虚数单位 , 则3i = （）1 iA． 1-2i B． 2-i C． 2+i D． 1+2i28．（ 2012 年高考天津） i 是虚数单位 , 复数53i （）4 iA ． 1 iB ． 1 iC ． 1 iD ． 1 i i29． (2015 高考四川 ) 设 i 是虚数单位，则复数i 32()i30．（ 2012 年高考山东）若复数 z 满足 z(2i ) 11 7i(i 为虚数单位 ), 则 z 为（）A ． 3+5iB ． 3-5iC ． -3+5iD ． -3-5i31．（ 2012 年高考辽宁）复数（）A ．B ．C ．D ．32．（ 2012 年高考课标）复数 z=3i 的共轭复数是（）2 iA ． 2 iB ． 2 iC ． 1 iD ． 1 i33．（ 2012 年高考江西）若复数 z=1+i (i为虚数单位 )z 是 z 的共轭复数 ,则 z 2 + z 2的虚部为（）A ． 0B ．1C ． 1D ． 234．（ 2012 年高考湖南）复数 z=i(i+1)(i为虚数单位 ) 的共轭复数是（）A ． -1-iB ． -1+iC ． 1-iD ． 1+i35．（ 2012 年高考广东） ( 复数 ) 设 i 为虚数单位 , 则复数34i（）iA ． 4 3iB ． 4 3iC ． 4 3iD ． 4 3i36．（ 2012 年高考（福建文））复数 (2 i )2 等于（）A ． 3 4iB ． 5 4iC ． 3 2iD ． 5 2i37．（ 2012 年高考北京）在复平面内 , 复数10i对应的点坐标为（）3 iA ． (1,3)B ． (3,1)C ． ( 1,3)D ． (3, 1)38．（ 2012 年高考安徽）复数 z 满足 : ( z i )i2 i ; 则 z（）A ． 1 iB ． 1 iC ．iD ．i39．（ 2012 年高考上海）计算 :3 i=_______(i为虚数单位 ).1 i40．（ 2012 年高考湖北）若3 bi a bi ( a, b 为实数 , i 为虚数单位 ), 则 a b ____________.1 i41． (2015 高考广东 ) 若复数z i 3 2i ( i 是虚数单位)，则z （）A ．3 2iB ． 3 2iC ． 2 3iD ． 2 3i 42．（浙江）把复数的共轭复数记作，i 为虚数单位，若 =（）A． 3-i B． 3+i C． 1+3i D． 343．（天津）是虚数单位，复数=（A． B ． C ．D．44.（四川）复数 =（）A．B．C． 0 D．45. （山东）复数z=（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限46. （全国新课标）复数（）A. B. C. D.47. （全国大纲）复数，为的共轭复数，则（）A．B．C．D．48. （辽宁）为正实数，为虚数单位，，则（）B. C.49. （江西）若，则复数（）A． B ．C．D．50. （湖南）若，为虚数单位，且则（）A．，B．C． D ．51. （湖北）为虚数单位，则 =（）A． - B． -1 C．D．152. （福建） i 是虚数单位，若集合S=，则（）A．B．C． D ．53. （广东）设复数满足，其中为虚数单位，则=（）A．B．C．D．54. （北京）复数（）A． i B． -i C ．D．55. （安徽）设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数为（）C. D.56.（江苏）设复数ｚ满足（ i 是虚数单位），则的实部是 _________.57. （上海）复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，则等于 _________.58. （湖南）复数2等于（）1 iA. 1+iB. 1-iC. -1+iD. -1-i59. （全国 2 卷）复数（） A.B.C.D.60. （陕西）复数 z= i 在复平面上对应的点位于（）1 iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限61. （辽宁）设 a,b 为实数，若复数1+2i1 i ，则（）a3, b 1bi1, b 3A. aB.a 3,b 1C.aD.a 1,b32 22 262. （江西）已知（ x+i ）（ 1-i ） =y ，则实数 x ，y 分别为（）=-1 ， y=1B. x=-1， y=2 C. x=1，y=1D. x=1， y=263. （安徽）已知，则 i()= （）A.B.C. D.64. （浙江）设 i 为虚数单位，则5 i （）1 i+3i+3i65. （山东）已知a2ib i a, b R ，其中 i 为虚数单位，则 a b （）iA.1B. 1C. 2D. 366. （北京）复平面内，复数 6+5i, -2+3i对应的点分别为 A, 为线段 AB 的中点，则点 C 对应的复数是（）+8i+2i+4i +i67. （四川） i 是虚数单位，计算 i ＋ i 2 ＋i 3＝（）A. － 1C.iD.i68. （天津） i 是虚数单位，复数 3i=（）1 i+2i +4i69. （广东）若复数 z 1=1+i ， z 2=3-i ，则 z 1·z 2=（）A． 4+2iB. 2+iC. 2+2i70. （福建数） i 是虚数单位 , (1 i)4 等于 ()1-iA ． iB ． -iC ． 1D ． -171. （全国 1 卷）复数32i（）2 3iB.i i+13i （）72. （山东）已知a 2ibi （a,b ∈ R ），其中 i 为虚数单位，则 a+b=（）i73. （安徽） i 是虚数单位，i（）33iA.13i B.13i C. 1 3i D.1 3 i4 124 12262674. （湖北）若 i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数 Z ，则表示复数z的点是（）1 iA ． E75. （上海）若复数z 1 2i （ i 为虚数单位），则 z z z.76. （重庆）（已知复数 z=1+i，则2z =____________.2i z77. （北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为.1 i78. （江苏）设复数 z 满足 z(2-3i)=6+4i （其中 i 为虚数单位），则 z 的模为 ___________.79． [2014 ·重庆卷 ] 复平面内表示复数 i(1 － 2i)的点位于 ()A ．第一象限B．第二象限 C．第三象限D ．第四象限10i80． [2014 ·全国卷 ] 设 z ＝ 3＋ i ，则 z 的共轭复数为 ()A ．－ 1＋ 3iB．－ 1－ 3iC ． 1＋ 3iD ．1－ 3i81． [2014 ·安徽卷 ] 设 i 是虚数单位，－z－＝()z 表示复数 z 的共轭复数．若z ＝1＋ i ，则＋ i · ziA ．－2B．－ 2iC ．2D． 2i1＋i 282． [2014 ·北京卷 ] 复数 1－i ＝ ________．83． [2014 ·福建卷 ] 复数 z ＝ (3 － 2i)i的共轭复数 z 等于 ( ) A ．－ 2－ 3iB．－ 2＋ 3iC． 2－ 3iD． 2＋3i 84． [2014 ·广东卷 ] 已知复数 z 满足 (3 ＋ 4i)z ＝ 25，则 z ＝ ()A ．－ 3＋ 4iB．－ 3－ 4i C ． 3＋ 4iD． 3－ 4i85． [2014 ·湖北卷 ] i1－ i 2)为虚数单位，＝ (1＋ iA ．－ 1B ． 1C ．－ iD ． iz ＋i86． [2014 ·湖南卷 ] 满足z ＝ i(i为虚数单位 ) 的复数 z ＝ ()11 1 1 11＋ 2i－ 2iC．－ 2＋ 2iD．－ 2－ 2i87． [2014 ·江西卷 ] －是 z 的共轭复数，若－－＝ 2(i 为虚数单位 ) ，则 z ＝() zz ＋ z ＝ 2，(z － z )i A ． 1＋iB．－ 1－ i C．－ 1＋ iD． 1－ i88． [2014 ·辽宁卷 ] 设复数 z 满足 (z － 2i)(2 －i) ＝ 5，则 z ＝ () A ． 2＋3iB． 2－ 3i C．3＋ 2i D． 3－ 2i（ 1＋ i ） 389． [2014 ·新课标全国卷Ⅰ ] （ 1－ i ） 2＝()A ． 1＋i B． 1－ i C90． [2014 ·新课标全国卷Ⅱ ] 设复数．－ 1＋ iD．－ 1－ iz 1， z 2 在复平面内的对应点关于虚轴对称， z 1＝ 2＋ i ，则 z 1z 2＝()A ．－ 5B ． 5C ．－ 4＋ iD．－ 4－i91．[2014 ·山东卷 ] 已知 a ，b ∈ R ，i 是虚数单位，若 a － i 与 2＋ bi 互为共轭复数，则 (a ＋ bi)2＝()A ． 5－4iB ． 5＋4i C．3－ 4iD．3＋ 4i2－2i92． [2014 ·四川卷 ] 复数 1＋ i ＝ ________．7＋ i93． [2014 ·天津卷 ] i 是虚数单位，复数 3＋ 4i ＝()A ． 1－iB ．－ 1＋ i31 D17 25＋ i．－＋ i25 7794. (2011 年四川 ) 已知复数，则 =（）A.B.C. 195. （ 2012 年上海）若 1 2 i 是关于 x 的实系数方程x2bx c 0的一个复数根 , 则（）A ． b 2, c 3 .B ． b 2, c 1 .C ． b2, c1 . D ． b2, c 3 .96. （重庆）复数（）A ．B ．C ．D ．97.(2015 高考新课标 ) 若 a 为实数且 (2 ai )( a 2i )4i ，则 a （）A ．1B ．0C ．1D ．298.(2015 高考新课标 1) 设复数 z 满足1 z= i ，则 |z|=()1 zB.2C.399.(2015 高考湖北 ) 为虚数单位， 607的共轭复数为（）i．．．．A ．B ．C ．1D ．100.(2015 高考山东 ) 若复数 z 满足z 为虚数为单位，则 z =（）i ，其中 i1 iA. 1 iB.1 iC.1 iD.1 i101.(2015 高考安徽 ) 设 i 是虚数单位，则复数2i 在复平面内所对应的点位于（）1 iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限102.(2015 高考重庆 ) 设复数 +（，b ）的模为3 ，则（ + ）（ - bi ）=________.a bi a Ra bi a103.(2015 高考天津 ) i 是虚数单位，若复数 1 2i a i 是纯虚数，则实数 a 的值为.104.(2015 江苏高考 ) 设复数 z 满足 z23 4i （ i 是虚数单位），则 z 的模为 _______.1 2105.(2015 i1i （ i 为虚数单位），则复数 z =（高考湖南 ) 已知）zA. 1 iB.1 iC.1 iD.1 i106.(2015 高考上海 ) 若复数 z 满足 3z z 1 i ，其中 i 为虚数单位，则 z．107.(2015 高考上海 ) 设 z 1 ，z 2 C ，则“ z 1 、z 2 中至少有一个数是虚数” 是“ z 1 z 2 是虚数” 的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D．既非充分又非必要条件。

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2013年高考第一轮复习数学北师(江西版)理第十一章算法初步、推理与证明、复数单元检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2011安徽高考，文1)设i 是虚数单位，复数1＋a i2－i为纯虚数，则实数a 为( )．A ．2B ．－2C ．－12D ．122．如图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )．A ．12B ．23C ．34D ．453．观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )．4．下面程序运行的结果是( )．A ．5 050B ．5 049C ．3D ．2 5．下列推理是归纳推理的是( )．A ．A ，B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a ＞|AB |，得动点P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积为πr 2，猜出椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的面积S ＝πabD ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪z 1＋2i 1－i 1＋i ＝0的复数z 的共轭复数所对应的点在( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．如图，程序框图的输出结果为170，那么在判断框中①表示的“条件”应该是( )．A ．i ＞5B ．i ≥7C ．i ≥9D ．i ＞98．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n ＝( )．A ．2n －2－12B ．2n－2C ．2n －1＋1D ．2n ＋1－49．若三角形内切圆半径为r ，三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为S ＝12r (a ＋b ＋c )．根据类比思想，若四面体内切球半径为R ，四个面的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4，则这个四面体的体积为( )．A ．V ＝16R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)B ．V ＝14R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)C ．V ＝13R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)D ．V ＝12R (S 1＋S 2＋S 3＋S 4)10．(2011山东高考，理12)设A 1，A 2，A 3，A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若13A A＝λ12A A (λ∈R )，14A A ＝μ12A A (μ∈R )，且1λ＋1μ＝2，则称A 3，A 4调和分割A 1，A 2.已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B ，则下面说法正确的是( )．A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．i 是虚数单位，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 4＝__________.12．定义某种运算⊗，S ＝a ⊗b 的运算原理如图所示．则0⊗(－1)＝__________；设f (x )＝(0⊗x )x －(2⊗x )，则f (1)＝__________.13．将正整数12分解成两个正整数的乘积有1×12,2×6,3×4三种，其中3×4是这三种分解中，两数差的绝对值最小的，我们称3×4为12的最佳分解．当p ×q (p ≤q 且p ，q ∈N *)是正整数n 的最佳分解时，我们规定函数f (n )＝p q ，例如f (12)＝34.关于函数f (n )有下列叙述：①f (7)＝17；②f (24)＝38；③f (28)＝47；④f (144)＝916.其中正确的序号为__________(填入所有正确的序号)． 14．对于命题：若O 是线段AB 上一点，则有|OB |OA ＋|OA |OB＝0.将它类比到平面的情形是：若O 是△ABC 内一点，则有S △OBC OA ＋S △OCA OB ＋S △OBA OC＝0.将它类比到空间的情形应该是：若O 是四面体ABCD 内一点，则有__________．15．在计算“11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)(n ∈N *)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项：1k (k ＋1)＝1k －1k ＋1，由此得11×2＝11－12，12×3＝12－13，…，1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，将上述各式相加，得11×2＋12×3＋…＋1n (n ＋1)＝1－1n ＋1.类比上述方法，请计算“11×2×3＋12×3×4＋…＋1n (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)”，其结果为__________．三、解答题(本大题共6小题，共75分)16．(12分)已知集合A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}(其中i 是虚数单位)，集合B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}．求实数a 的值．17．(12分)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <0，2－5x ，x ≥0，写出求该函数的函数值的算法，并画出程序框图．18．(12分)已知α，β≠k π＋π2(k ∈Z )，且sin θ＋cos θ＝2sin α，①sin θcos θ＝sin 2β，②求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β).19．(12分)已知函数f (x )＝kx ＋b 的图象与x ，y 轴分别相交于点A ，B ，AB＝2i ＋2j (i ，j 分别是与x ，y 轴正半轴同方向的单位向量)，函数g (x )＝x 2－x －6. (1)求k ，b 的值；(2)当x 满足f (x )＞g (x )时，求函数g (x )＋1f (x )的最小值．20．(13分)已知a ，b ，c 是互不相等的实数，且都不为零．求证：由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a 和y ＝cx 2＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．21．(14分)如图，梯形ABCD 和正△PAB 所在平面互相垂直，其中AB ∥DC ，AD ＝CD ＝12AB ，且O 为AB 中点．(1)求证：BC ∥平面POD ； (2)求证：AC ⊥PD .参考答案一、选择题1．A 解析：1＋a i 2－i ＝(1＋a i)(2＋i)(2－i)(2＋i)＝(2－a )＋(2a ＋1)i 5＝2－a 5＋2a ＋15i 为纯虚数，∴2－a 5＝0，∴a ＝2.2．C 解析：n ＝11×2＋12×3＋13×4＝1－12＋12－13＋13－14＝34.3．A 解析：表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．4．A 解析：读程序知，该程序的功能是求S ＝1＋2＋3＋…＋100的值，由等差数列的求和公式S ＝100×(1＋100)2＝5 050.5．B 解析：从S 1，S 2，S 3猜想出数列的前n 项和S n 的表达式，是从特殊到一般的推理，所以B 是归纳推理．6．A 解析：由已知得z (1＋i)－(1＋2i)·(1－i)＝0，∴z ＝(1＋2i)(1－i)1＋i＝(1＋2i)(－i)＝2－i.∴z ＝2＋i ，即z 对应的点(2,1)在第一象限．7．C 解析：依次运行程序可得当S ＝2时，i ＝3；S ＝10时，i ＝5，…；S ＝170时，i ＝9，故判断框内可填入i ≥9.8．B 解析：∵a 1＝0＝21－2，∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2， a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2， a 4＝2a 3＋2＝12＋2＝14＝24－2， ……猜想a n ＝2n－2.9．C 解析：平面几何中结论的推导是面积分割，类比到空间几何中，应用体积分割的方法即可得到答案．10．D 解析：∵C ，D 调和分割点A ，B ， ∴AC ＝λAB ，AD ＝μAB ，且1λ＋1μ＝2(*)，不妨设A (0,0)，B (1,0)，则C (λ，0)，D (μ，0)，对A ，若C 为AB 的中点，则AC ＝12AB ，即λ＝12，将其代入(*)式，得1μ＝0，这是无意义的，故A 错误；对B ，若D 为AB 的中点，则μ＝12，同理得1λ＝0，故B 错误；对C ，要使C ，D 同时在线段AB 上，则0＜λ＜1且0＜μ＜1，∴1λ＞1，1μ＞1，∴1λ＋1μ＞2，这与1λ＋1μ＝2矛盾；故C 错误；显然D 正确．二、填空题11．1 解析：41i 1i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝42(1i)(1i)(1i)⎡⎤+⎢⎥+-⎣⎦＝i 4＝1.12．1 －1 解析：根据框图可知0(－1)＝|－1|＝1；f (x )＝(0x )x －(2x )⇒f (1)＝(01)－(21)＝0－1＝－1.13．①③ 解析：因为7＝1×7，所以f (7)＝17，①正确；24＝3×8＝4×6＝2×12，最佳分解应该是4×6，所以f (24)＝46＝23，所以②错误；同理③正确；对于④，144＝12×12，所以f (144)＝1212＝1.14．V O －BCD OA ＋V O －ACD OB ＋V O －ABD OC ＋V O －ABC OD＝0 解析：由线段到平面，线段的长类比为面积，由平面到空间，面积可以类比为体积，由此可以类比得一命题为O 是四面体ABCD内一点，则有V O －BCD OA ＋V O －ACD OB ＋V O －ABD OC ＋V O －ABC OD＝0.15．n 2＋3n4(n ＋1)(n ＋2)解析：∵1n (n ＋1)(n ＋2)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2)， ∴11×2×3＋12×3×4＋…＋1n (n ＋1)(n ＋2) ＝12⎣⎢⎡11×2－12×3＋12×3－13×4＋…＋⎦⎥⎤1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2) ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤11×2－1(n ＋1)(n ＋2) ＝n 2＋3n 4(n ＋1)(n ＋2). 三、解答题16．解：∵A ∩B ＝{3}，∴3∈A .∴(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3.根据复数相等，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1.17．解：算法如下：第一步，输入x .第二步，如果x ＜0，那么f (x )＝3x －1；否则f (x )＝2－5x .第三步，输出函数值f (x )．程序框图如下：18．证明：因为(sin θ＋cos θ)2－2sin θ·cos θ＝1，所以将①②代入，可得4sin 2α－2sin 2β＝1.③另一方面，要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β2(1＋tan 2β)，即证1－sin 2αcos 2α1＋sin 2αcos 2α＝1－sin 2βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos 2β，即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1.由于上式与③相同，于是问题得证．19．解：(1)由已知得k ≠0，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bk，0，B (0，b )，则AB ＝(bk，b )，于是⎩⎪⎨⎪⎧b k＝2，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝2.(2)由f (x )＞g (x )，得x ＋2＞x 2－x －6，即(x ＋2)(x －4)＜0，得－2＜x ＜4. g (x )＋1f (x )＝x 2－x －5x ＋2＝x ＋2＋1x ＋2－5，由于x ＋2＞0，则g (x )＋1f (x )≥－3，其中等号当且仅当x ＋2＝1，即x ＝－1时成立． ∴g (x )＋1f (x )的最小值是－3.20．证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点(即任何一条抛物线与x 轴没有两个不同的交点)，由y ＝ax 2＋2bx ＋c ，y ＝bx 2＋2cx ＋a ，y ＝cx 2＋2ax ＋b ，得Δ1＝(2b )2－4ac ≤0，Δ2＝(2c )2－4ab ≤0，Δ3＝(2a )2－4bc ≤0.上述三个同向不等式相加得，4b 2＋4c 2＋4a 2－4ac －4ab －4bc ≤0，∴2a 2＋2b 2＋2c 2－2ab －2bc －2ac ≤0.∴(a －b )2＋(b －c )2＋(c －a )2≤0.∴a ＝b ＝c ，这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证． 21．证明：(1)因为O 为AB 中点，所以BO ＝12AB .又AB ∥CD ，CD ＝12AB ，所以有CD ＝BO ，CD ∥BO ，所以ODCB 为平行四边形，所以BC ∥OD .又DO ⊂平面POD ，BC 平面POD ，所以BC ∥平面POD . (2)连接OC .因为CD ＝BO ＝AO ，CD ∥AO ，所以ADCO 为平行四边形，又AD ＝CD ，所以ADCO 为菱形，所以AC ⊥DO ，因为在正△PAB 中，O 为AB 中点，所以PO ⊥AB .又因为平面ABCD ⊥平面PAB ，平面ABCD ∩平面PAB ＝AB ，所以PO ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AC . 又PO ∩DO ＝O ，所以AC ⊥平面POD .又PD ⊂平面POD ，所以AC ⊥PD .。