利用夹逼准则求极限精编版
2.5-2夹逼准则推出一个重要极限
第5节 极限存在准则 两个重要极限 连续复利
夹逼准则推出一个重要极限
作为准则Ⅰ´的应用，可以证明一个重要的极限
lim sin x 1 x0 x
C B
如右图，设单位圆 O,
圆心角 AOB x, (0 x )
2 作单位圆的切线 ，得ACO .
o
x
D
A
扇形OAB的圆心角为x , OAB的高为 BD , 于是有sinx BD, x 弧 AB, tanx AC,
x
sin x
x
.
解 令 t x , 则当 x 时 , t 0 ,
lim
x
sin x
x
lim sin(t + )
t0
t
lim sin t t0 t
1.
THANK YOU
x 0
x
2 lim sin x lim cos x
x 0 x
x 0
2.
例4 求 lim sin 3 x .
x0 x
解 原式 3 lim sin t 3 x
t 0 t
3.
例5 解
求
lim
x 0
1
cos x2
x.
2 sin 2 x
原式
lim
x 0
1 lim 2 x 0
x2 sin 2
x 2
2( x )2 2
x2 2
,
lim x 2 0, x0 2
lim(1 cos x) 0, x0
lim cos x 1. x0
lim sin x 1. x0 x
夹逼准则推出一个重要极限
二、利用重要极限求极限（1）
例3 求 lim sin 2 x .
极限的夹逼定理及应用
极限的夹逼定理及应用在数学领域，极限是一个重要且基础的概念。
极限的夹逼定理是一种常见的极限求解方法，它在数学推导以及实际应用中扮演着关键的角色。
本文将介绍极限的夹逼定理的定义、原理以及其在数学和科学领域的应用。
一、极限的夹逼定理的定义和原理极限的夹逼定理，又称为夹逼准则或夹逼定理，是在求解极限问题时经常使用的方法之一。
它是基于一个基本观察：如果一个函数在某个点附近夹在两个趋于相同极限的函数之间，那么这个函数也将趋于相同的极限。
具体来说，设函数f(x)，g(x)，h(x)在点x=a的某个去心邻域内，满足以下条件：1. 对于所有的x，都有g(x)≤f(x)≤h(x)；2. lim[x→a]g(x)=lim[x→a]h(x)=L。
那么，当x趋近于a时，函数f(x)也将趋近于L，即lim[x→a]f(x)=L。
这个夹逼定理的原理直观而简洁。
通过将一个函数夹在两个已知极限相同的函数之间，我们可以确定该函数的极限值。
二、极限的夹逼定理的应用1. 极限的证明：极限的夹逼定理可以用于证明某个函数的极限存在或者不存在。
通过找到两个较为容易求解极限的函数，将待求解函数夹在两者之间，即可得到待求函数的极限值。
2. 应用于数列的极限求解：在数列的极限求解过程中，夹逼定理也起到了重要的作用。
通过将待求解的数列夹在两个已知数列之间，可以求得数列的极限。
3. 积分和导数的计算：夹逼定理在计算积分和导数时也有广泛的应用。
通过将待求解函数夹在两个已知函数之间，可以确定积分和导数的范围和结果。
4. 物理学中的应用：夹逼定理在物理学中也有许多应用。
例如，当我们研究一个系统的性质时，往往需要通过夹逼定理来确定其边界条件或者极限行为。
总结：极限的夹逼定理是数学中一种重要的计算方法，它可以用于证明极限的存在性、求解数列极限以及计算积分和导数等。
在实际应用中，夹逼定理在数学、物理学以及其他科学领域都有广泛的应用。
通过夹逼定理，我们可以更加准确地求解和分析各种问题，为我们的研究和实践提供有力的数学工具和理论支持。
利用夹逼定理求极限
利用夹逼定理求极限
夹逼定理是一种常用的求极限的方法，它适用于通过构造夹逼函数来确定极限值的情况。
夹逼定理的原理是，当存在两个数列lim an = lim bn = L，且对于所有n，都有an ≤ cn ≤ bn，那么有lim cn = L。
具体的步骤如下：
1. 首先，确定要求解的极限表达式。
2. 根据给定的函数表达式，找到一个或多个夹逼函数。
3. 判断夹逼函数的极限是否存在，并求出它们的极限值。
4. 利用夹逼定理，得出原极限的极限值。
以下是一个例子：
求lim (3n^2 - 2n + 1)/(2n^2 + 3n)。
解：首先，我们可以发现夹逼函数an = 3n^2/(2n^2 + 3n)和bn = (3n^2 + 4n)/(2n^2 + 3n)都可以夹住原函数。
然后，我们计算an和bn的极限：
lim an = lim (3n^2/(2n^2 + 3n)) = 3/2
lim bn = lim ((3n^2 + 4n)/(2n^2 + 3n)) = 3/2
根据夹逼定理，我们可以得出lim (3n^2 - 2n + 1)/(2n^2 + 3n) = 3/2。
所以，利用夹逼定理，我们成功求得了极限值。
通过构造夹逼函数，夹逼定理可以帮助我们确定复杂函数的极限值，但需要注意选择夹逼函数时要考虑函数的性质和区间的选择。
1-05-极限的存在准则(精编版)
π
2
)
扇形OAB的圆心角为x , ∆OAB的高为BD, 于是有 sin x = BD , x = 弧AB , tan x = AC ,
sin x ∴ sin x < x < tan x , 即 cos x < < 1, x 上式对于 −
π
2
< x < 0也成立.当0 < x <
2
π
2
时,
2
x x 2 x 0 < cos x − 1 = 1 − cos x = 2sin , < 2( ) = 2 2 2 2 x Q lim = 0,∴ lim(1 − cos x ) = 0, x→0 2 x →0 sin x ∴ lim cos x = lim1 = 1,∴ lim = 1. x→0 x →0 x→0 x
单调数列
几何解释: 几何解释
x1 x 2 x 3x n x n + 1
A
M
x
例5 证明数列 xn = 3 + 3 + L + 3 ( n重根
式)的极限存在 .
证
显然xn +1 > xn ,∴ { xn }是单调递增的; 又 Q x1 = 3 < 3, 假定xk < 3, xk +1 = 3 + xk < 3 + 3 < 3, ∴ { xn }是有界的;∴ lim xn 存在.
x→x0 ( x→∞)
称为夹逼准则 或称为两边夹定理 两边夹定理。 准则 I和准则 I’称为夹逼准则 或称为两边夹定理。 和 称为 有人形象地称之为“ 有人形象地称之为“Sandwich Theorem”。 。
夹逼法例题
夹逼法例题【原创版】目录1.夹逼法的定义和概念2.夹逼法的应用范围和条件3.夹逼法的解题步骤和方法4.夹逼法的例题解析5.夹逼法在实际问题中的应用正文一、夹逼法的定义和概念夹逼法，又称为夹逼定理，是一种求极限的方法。
它是通过构造两个函数，分别从左右两侧逼近目标函数，通过比较这两个函数的极限值，得到目标函数的极限值。
夹逼法广泛应用于数学分析、物理学和经济学等领域。
二、夹逼法的应用范围和条件夹逼法适用于求解以下类型的问题：1.求函数在某一点的极限值；2.求解无穷小量和无穷大量；3.求解连续函数的值域。
应用夹逼法的条件：1.两个函数在给定区间内连续；2.两个函数在给定区间内单调；3.两个函数在给定区间内的极限值存在且相等。
三、夹逼法的解题步骤和方法1.构造两个函数，分别从左右两侧逼近目标函数；2.证明这两个函数在给定区间内连续、单调；3.求出这两个函数在给定区间内的极限值；4.比较这两个函数的极限值，得到目标函数的极限值。
四、夹逼法的例题解析例题：求函数 f(x) = sinx / x 在 x 趋近于 0 时的极限值。
解：构造两个函数 g(x) = sinx 和 h(x) = 1 / x，分别从左右两侧逼近目标函数 f(x)。
1.证明 g(x) 和 h(x) 在区间 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 内连续、单调；2.求出 g(x) 和 h(x) 在区间 (-∞, 0) 和 (0, +∞) 内的极限值，分别为 -1 和+∞；3.比较 g(x) 和 h(x) 的极限值，得到 f(x) 在 x 趋近于 0 时的极限值为 -1。
五、夹逼法在实际问题中的应用夹逼法在求解实际问题中的应用非常广泛，如求解物理学中的电磁场问题、经济学中的边际效用等。
(2021年整理)利用夹逼准则求极限
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利用夹逼准则求极限 夹逼准则的使用方法：定理1 用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小.要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍,并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。
题型1 夹逼准则常用于求若干项和的极限推论1 极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限. 证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项,则整数倍为n 倍， 由定理1可知.)()(lim 1)()(limx x x n x n βαβα==例1.求)21 (4)121(lim 222nn n n n ++++++∞→.解：.11lim 22lim 22lim 2121lim222222==++=++=++∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n n n n n由推论1，.1221 (4)1212122222→+≤++++++≤+←n n nn n n nn n由夹逼准则可得所求极限为1.例2。
求).1...2111(lim 222n n n n n n n n +++++++++∞→解：.11lim 111lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n由推论1,.011 (2111022222)→++≤+++++++++≤++←n n nn n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为0。
夹逼定理word版
一、夹逼准则及第一个重要极限1、 准则I 如果数列{}n x ，{}n y ，{}n z 满足下列条件（1）n n n x y z ≤≤(1,2,....)n =（2）lim n n x a →∞=，lim n n z a →∞=则数列{}n y 的极限存在，且lim n n y a →∞= .证明 由lim n n x a →∞=⇒0ε∀>,1N ∃,当1n N >时，有 n x a ε-<⇒n a x ε-<又由lim n n z a →∞=⇒对上述ε，2N ∃，当2n N >时，有n z a ε-<⇒n z a ε+<取12{},N max N N =，则对上述0ε>，当n N >时，有 n n n x y z ≤≤， n a x ε-<， n z a ε+< 从而有n n n y z a x a εε≤≤<-+< 即 n y a ε-<,故 lim n n y a →∞=.上述极限存在准则可以推广到函数的极限情形，即:2、准则II 设函数()f x ，()g x ，()h x 满足(1) ()()()f x g x h x ≤≤ （ 当0,()U x x δ∈ (或x M >)时）；(2)0()lim ()x xx f x A→∞→=，0()lim ()x xx h x A→∞→=.则 0()lim ()x x x g x →∞→存在且等于 A .上述两个准则都称为夹逼准则. 举例 例1 求2n n→∞++++解因为2111n nn≤+++≤+又因为 lim1,lim 1n n→∞→∞==所以 由夹逼准则得21111n n →∞+++=+.3、第一个重要极限： 0sin lim 1x xx→=证明：在单位圆中， 有 AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形 （如图1-35）而 sin x CB =，x AB =，tan x AD =. 所以111sin tan 222x x x <<， 即 sin tan x x x <<,从而得 sin cos 1xx x <<.因为函数sin xx 与cos x 都是偶函数，所以在区间(,0)2π-内，sin cos 1xx x<<也成立.135图-故对于一切满足不等式 02x π<<的x 都有sin cos 1xx x<< 由 0limcos 1x x →= 及夹逼准则可得0sin lim 1x xx→=.特点与用法：分出两个“0因子”： “sin x ”和“x ”，而与“0因子”无关的极限分开求. 举例例1 求 0tan lim x xx →解 00tan sin 1lim lim()cos x x x x x x x →→=⋅00sin 1lim lim 1cos x x x x x→→=⋅=.例2 求201cos lim x xx →-解 201cos lim x x x →-2202sin 2lim x x x →=20sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭20sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭211122=⋅=.例3 求 1lim(1)tan 2x x x π→-解 设 1y x =-，即1x y =-，当1x →时，0y →，则1lim(1)tan2x x x π→-0(1)lim tan2y y y π→-=0lim cot2y yy π→=2lim coslim cos22sin sin222y y yyyyyy ππππππ→→=⋅=⋅2π=.（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。
用数列极限计算函数极限的夹逼定理
核心提示：1、夹逼定理（英文：Squeeze Theorem、Sandwich Theorem），也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、迫敛定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一。
2、夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间
1、夹逼定理（英文：Squeeze Theorem、Sandwich Theorem），也称两边夹定理、夹逼准则、夹挤定理、迫敛定理、三明治定理，是判定极限存在的两个准则之一。
2、夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。
应用
1、设{Xn}，{Zn}为收敛数列，且：当n趋于无穷大时，数列{Xn}，{Zn}的极限均为：a若存在N，使得当n>N时，都有Xn≤Yn≤Zn,则数列{Yn}收敛，且极限为a。
2、夹逼准则适用于求解无法直接用极限运算法则求极限的函数极限，间接通过求得F(x)和G(x)的极限来确定f(x)的极限。
第5节夹逼准则与两个重要极限
x x 1 x x 1
lim 1
2
x12
2
lim 1
2
x x 1
x x 1
e2 1 e2
例14 求
1
解: 原式 =
lim 2n2
e n n
e2
例知 解: 原式 =
x0 x
证 因为 sin(x) sin x , 故只讨论x0+的情形.
x
x
如图, 在单位圆中,AOB = x, BD = sinx, AC=tanx,
因为
SAOB < S扇形AOB < SAOC ,
所以
1 sin x 2
1x
2
1 tan x, 2
1 x 1 , sin x cos x
（1） g(x) f(x) h(x) (2) g (x) A, h(x) A (xx0或x),
则有 f(x) A (xx0或x) 准则I和准则I称为夹逼准则。
lim
x0
sin x x
sin 0 0
0 0
?
二、两个重要极限
(1) lim sin x 1.
第五节 夹逼准则与两个重要极限
利用极限的定义及运算法则虽可以求得很多函数的 极限，但是对于一些特殊函数的极限却无能为力，如
lim tan x , lim ( 3 x )2x
x0 x
x 2 x
极限值各是多少？如何求解？
一、夹逼准则
二、两个重要极限
一、夹逼准则
准则I 如果数列{xn}, {yn}, {zn}满足 (1) yn xn zn, (n =1,2,3…)；
cos x sin x 1, x
极限运算的夹逼法则
极限运算的夹逼法则
夹逼法则也称为挤压法则，是极限运算中常用的一种方法。
其核心思
想是：如果一个函数在某一点的左侧与右侧都被夹在两个不相等的函数之间，那么这个函数在这个点的极限就等于两个夹逼函数的极限，即夹逼法则。
夹逼法则通常用于解决一些比较复杂或者无法直接处理的极限问题。
下面介绍三种常见的夹逼法则：
1.两个函数夹逼法则。
如果函数f(某)在点某0的左侧和右侧都被两个函数g(某)和h(某)
夹逼着，并且这两个夹逼函数都收敛于同一个极限L，那么f(某)的极限
也必定收敛于L，即：
如果极限存在且有限，那么f(某)的极限必定是L。
2.单边夹逼法则。
在某些情况下，一个函数只在某一侧被夹逼着，此时就需要使用单边
夹逼法则。
如果函数f(某)在点某0的左侧被函数g(某)夹逼，并且g(某)收敛于同一个极限L，那么f(某)的左侧极限也必定收敛于L，即：如果极限存在且有限，那么f(某)的左侧极限必定是L。
3.双边夹逼法则。
在某些情况下，一个函数既被左侧函数夹逼，又被右侧函数夹逼，此
时就需要使用双边夹逼法则。
如果函数f(某)在点某0的左侧和右侧分别
被函数g(某)和h(某)夹逼，并且这两个夹逼函数都收敛于同一个极限L，那么f(某)的极限也必定收敛于L，即：
如果极限存在且有限，那么f(某)的极限必定是L。
夹逼法则的应用不仅局限于求解函数的极限，还可以用于证明一些数学定理以及刻画一些数学概念。
例如，利用夹逼法则可以证明无理数的存在性，也可以用它来定义连续性和数学归纳法。
由于夹逼法则便于理解，易于操作，因此被广泛应用于数学教学和研究中。
夹逼法求函数极限经典例题
夹逼法求函数极限经典例题在初中数学中，函数极限经常作为一个常考概念出现。
如果求出函数极限时，你使用哪些方法呢？如果你能熟练运用夹逼法就能轻松解决。
夹逼法是函数极限学习中的一个重要方法。
夹逼法主要是利用函数的相关性质求解函数的极限。
所谓的夹逼法就是在掌握公式的前提下，使用一种特殊的夹逼法，通过夹住函数的某一元素或者函数一阶极限区域上的一个点来达到求解函数极限的目的。
本例例中求解函数极限就是利用了夹逼法的运算法则来求出某一元素或者函数上限区域上的一个点，所以我们可以说该类型题是一种典型的夹逼法求极限例题。
首先要说明一下夹逼法计算函数的极限并不是很困难的运算法则哦，主要是借助夹逼法可以得到函数的极限条件！所以当你学会夹逼题也会很轻松就能计算出函数极限区域上的一个点了！一、例题（模拟题）解：由定义可知, f (x)在坐标轴上的坐标为 x+1,函数的 f (x)的值在该坐标轴上最大值为1 (即 f (x)在坐标轴上的值为 a-1)’=x-1/n+2,由式中可以看出 f (x)的值不会大于1。
设函数 f (x)在 x轴上的最大最小值为1.分析：此题中，要求函数 f (x)在坐标轴上的最大值不小于2.由于 f (t)为一个连续 n阶数，故在坐标轴上唯一确定的是 t+2.因此，利用夹逼法可得到函数极限区的所有解中，只要 t>0即可得出极限区域上任何一个点可以包含两个素数。
因此正确答案是: a-1/2= b-1/3=0.因此 c为函数 f (x-3)在坐标轴中最大值。
解：请将原函数 f (x-3)分解成为函数 g 0、 g=2、 N 1四个解析式。
运用夹逼法能得出以下结论：此方法适合于复杂的数学题时，如直线解方程，圆解方程.当然这里要说明的是本例中使用夹逼法求极限区域上任意一个点都可以。
但在计算时一定不能仅考虑到变量间相互影响而是考虑到变量间相互独立性和对变量间相互影响。
所以要注意以下几点：求解极限区间及边界条件：首先我们要明确一点，函数有多个值之和时，若求出函数在某一个区间对应的一个极限可以省略某些值或直接将极限区间写成整数是不可行的。
利用夹逼准则求极限
利用夹逼准则求极限夹逼准则（或称夹逼定理）是微积分中常用的一种方法，用于求解函数极限问题。
夹逼准则通常用于解决一些函数极限不存在或无法直接求解的情况。
夹逼准则的核心思想是，如果一个函数f(x)在一些点x0的左侧（或右侧）始终小于等于另一个函数g(x)，并且这两个函数的极限都等于L，则当x趋近于x0时，函数f(x)的极限也等于L。
夹逼准则可以形式化地表示如下：设函数f(x)与g(x)定义在点x0附近的一些开区间上（除去x0），且满足对于任意的x，都有f(x)≤g(x)。
如果lim┬(x→x₀)f(x) = L ，lim┬(x→x₀)g(x) = L ，则lim┬(x→x₀)f(x) 也等于 L。
下面我们将利用夹逼准则来求解一个极限的例子。
例子：求极限lim┬(x→0)sin(x)/x。
我们知道 sin(x) 是一个周期函数，且当x≠0 时，有 -1 ≤ sin(x) ≤ 1 ，因此对于任意的 x ，都有 -1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x。
当 x 趋近于 0 时，-1/x 和 1/x 分别趋近于正无穷和负无穷，即lim┬(x→0)(-1/x) = -∞ ，lim┬(x→0)(1/x) = ∞。
根据夹逼准则，我们可以得到lim┬(x→0)sin(x)/x = 0。
解析：根据夹逼准则，我们首先找到两个函数 f(x) 和 g(x) ，使得对于任意的 x ，都有f(x) ≤ sin(x)/x ≤ g(x)。
我们可以取f(x)=-1/x和g(x)=1/x。
对于任意的 x ，有f(x) ≤ sin(x)/x ≤ g(x)。
即 -1/x ≤ sin(x)/x ≤ 1/x ，当x≠0 时，该不等式恒成立。
然后我们再来看一下f(x)和g(x)的极限。
当 x 趋近于 0 时，-1/x 和 1/x 分别趋近于 -∞ 和∞ ，因此有lim┬(x→0)(-1/x) = -∞ ，lim┬(x→0)(1/x) = ∞。
函数极限存在的夹逼准则全
证: x0 ( , )
y sin(x0 x) sin x0
y
2
sin
x 2
cos( x0
x 2
)
x x 0 0
即
这说明
在
内任意一点连续 .
函数 在点 连续有下列等价命题:
lim y 0
x0
lim[
x0
f
( x0
x)
f
(x0 )]
第一类间断点: 及
均存在 ,
若 若 第二类间断点:
称 x0为可去间断点 . 称 x0 为跳跃间断点 .
及
中至少一个不存在 ,
若其中有一个为 , 称 x0 为无穷间断点 .
若其中有一个为振荡 , 称 x0 为振荡间断点 .
例如:
y
y tan x
x
2
为其无穷间断点
.
x 0 为其振荡间断点 .
f ( x0 ) f ( x0 ) 称 f (x) 在x0 点处左连续 f ( x0 ) f ( x0 ) 称 f (x) 在x0 点处右连续
若
在某区间上每一点都连续 , 则称它在该区间上
连续 , 或称它为该区间上的连续函数 .
其图像是一条连续而不间断的曲线。
y
y tan x
o x （ ， ）
2
22
a
b
[a , b]
二、 函数的间断点
设 在点 的某去心邻域内有定义 , 则下列情形
之一函数 f (x) 在点 不连续 :
(1) 函数 在 无定义 ;
(2)
不存在;
(3) 函数 在 虽有定义 , 且
利用夹逼准则求极限
利用夹逼准则求极限夹逼准则是常用的一种极限求解方法，它可以帮助我们确定一个函数的极限，尤其在无法直接计算极限的情况下，夹逼准则往往是非常有用的。
夹逼准则的基本原理是：如果函数f(x)被两个其他函数g(x)和h(x)夹住，即在一些区间[a, b]上，对于任意x∈[a, b]，有g(x) ≤ f(x)≤ h(x)，同时满足lim(x→a)g(x) = lim(x→a)h(x) = L，那么lim(x→a)f(x) = L。
接下来，我们将从简单到复杂地介绍几个使用夹逼准则求解极限的例子。
例1：求极限lim(x→0)xsin(1/x)。
首先我们观察到0 ≤ ，xsin(1/x)，≤ ，x。
因为当x≠0时，有-，x，≤ sin(1/x) ≤ ，x。
所以，当x≠0时，我们得到0 ≤ ，xsin(1/x)，≤ ，x。
根据夹逼准则，我们有lim(x→0)0 ≤ lim(x→0)，xsin(1/x)，≤ lim(x→0)，x。
显然lim(x→0)0 = 0，同时lim(x→0)，x， = 0，所以根据夹逼准则，我们得到lim(x→0)xsin(1/x) = 0。
例2：求极限lim(x→∞)(2x³ + 3)/(x³ + 4x²)。
对于该函数，我们可以将其进行化简，得到lim(x→∞)(2 +3/x³)/(1 + 4/x)。
当x→∞时，3/x³和4/x都趋近于0，所以我们可以得到lim(x→∞)(2 + 3/x³)/(1 + 4/x) = lim(x→∞)2/1 = 2例3：求极限lim(x→0)(sin(3x)/x)。
首先我们观察到-1 ≤ sin(3x)/x ≤ 1，因为sin(3x)的值在[-1, 1]之间。
根据夹逼准则，我们得到-1 ≤ sin(3x)/x ≤ 1、因此，我们有lim(x→0)-1 ≤ lim(x→0)(sin(3x)/x) ≤ lim(x→0)1、显然lim(x→0)-1 = -1，同时lim(x→0)1 = 1，所以根据夹逼准则，我们得到lim(x→0)(sin(3x)/x) = 1例4：求极限lim(x→∞)(x² + 3)/(√(x⁴ + 1))。
极限运算的夹逼法则
极限运算的夹逼法则夹逼法则是极限运算中非常重要的一种方法，用于确定一个函数的极限值。
它是由夹逼定理发展而来的，这个定理说如果有三个函数f(x)≤g(x)≤h(x)，并且当x趋向于其中一点时，f(x)和h(x)的极限值相等，那么g(x)的极限值也将等于它们的共同极限值。
夹逼法则是数学分析中的一种常见证明方法。
它的基本思想是通过用一个界好的函数序列把待求极限数列包夹起来，并且不断缩小这个包络区间，最终得到待求极限数列的极限值。
夹逼法则在实际问题中有广泛的应用，尤其在函数的连续性、保号性、收敛性等方面具有重要的意义。
以下是夹逼法则的详细阐述，帮助理解和应用夹逼法则。
设函数$f(x)，g(x)，h(x)$在特定点$x_0$的一些去心邻域内有定义，而且满足如下关系：$$f(x)\leq g(x)\leq h(x), \quad \forall x\in(x_0-\delta,x_0)\cup(x_0,x_0+\delta)$$又设当$x$趋向于$x_0$时，$f(x)$和$h(x)$的极限都存在，并且相等，即：$$\lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0} h(x) = a$$则当$x$趋向于$x_0$时，$g(x)$的极限也存在，并且等于$a$，即：$$\lim_{x\to x_0} g(x) = a$$夹逼法则的证明可以通过极限的定义进行推导。
根据极限的定义，对于任意给定的正数$\varepsilon$，存在正数$\delta_1$和$\delta_2$，当$x$满足$0<，x-x_0，<\delta_1$和$0<，x-x_0，<\delta_2$时，有$，f(x)-a，<\varepsilon$和$，h(x)-a，<\varepsilon$。
由于$f(x)\leq g(x)\leq h(x)$，所以有$，g(x)-a，\leq\max\{，f(x)-a，,，h(x)-a，\}<\varepsilon$。
极限存在的夹逼准则
极限存在的夹逼准则夹逼准则的形式如下：设函数f(x)、g(x)、h(x)在点a的一些邻域内定义，且对于该邻域内的所有x，有f(x)≤g(x)≤h(x)。
若当x趋于a 时，f(x)和h(x)的极限都等于L，则g(x)的极限也等于L。
在数列的情况下，如果数列a_n满足对于所有n，有a_n≤b_n≤c_n，且当n趋于无穷大时，数列a_n和c_n的极限都等于L，则数列b_n的极限也等于L。
夹逼准则的直观理解是通过两个函数或数列夹在另一个函数或数列之间，从而得到了在极限过程中的一些性质。
通过在这些性质上的限制，可以得出对于夹逼的函数或数列的极限存在性及其值的结论。
夹逼准则在实际应用中具有广泛的用途。
在求极限的过程中，有时候可以找到一对比较简单的函数或数列来“夹逼”待求的函数或数列，从而求得待求的极限。
夹逼准则在证明函数或数列的极限存在性以及极限值时，能够起到重要的作用。
夹逼准则的证明主要通过对于ε-δ的定义的运用，结合函数或数列的性质，构造出合适的不等式和判断条件，进而得出极限存在及其值的结论。
其中，ε表示误差范围，δ表示自变量趋于一些点时，与函数或数列的距离。
夹逼准则的基本思想是利用函数或数列与另一个已知的函数或数列的关系，通过比较它们的大小关系，证明待求的极限存在，并确定极限值。
总结起来，极限存在的夹逼准则是微积分中一种重要的判定极限存在性的方法。
它通过构造两个函数或数列来夹逼待求的函数或数列，从而得到极限存在性及其值的结论。
夹逼准则在实际应用中具有广泛的用途，可以帮助我们求解各种类型的极限。
通过掌握夹逼准则的使用方法和证明思路，可以更好地理解和应用微积分中的极限概念。
函数极限存在的夹逼准则(全)
解：无穷小量比较阶时，要找最低阶数
3
1
31
3 x2
3
x
x (1 x 2 ) x 6 (1 x 2 )3
3 x2
lim
x0
1
x6
1
31
x
x 6 (1 x 2 )3
lim x0
1
31
lim(1 x 2 )3 x0
1
x6
思考题：当x 0时，x x x 是x的几阶无穷小量？
精选2021版课件
0
例. 1、求 lim tan x . x0 x
解: 原式
lim x0
sin x
x
1 cos
x
lim
x0
sin x
x
lim
x0
1 cos
x
1
2、 求
lim1
x0
cos x2
x
.
解:
原式 =
lim
x0
2 sin 2 x2
x 2
1 2
lxim0sin2x
x 2
2
1 12 2
1 2
3、
求
lim
x0
arcsin x
当 x 0 时,
n 1 x 1 ～
1x n
常用等价无穷小 : 当 x 0 时,
sin x ～ x , arctan x ～x ,
tan x ～
x,
1 cos x ～
1 2
x2
,
arcsin x～ x ,
n
1
x
1～
1 n
x
ex 1 ～ x , ax 1 ～x ln a , (1 x)a 1 ～ax
【精品】0003夹逼定理
一、夹逼准则及第一个重要极限1、准则I 如果数列{}n x ，{}n y ，{}n z 满足下列条件（1）n n n x y z ≤≤(1,2,....)n =（2）lim n n x a →∞=，lim n n z a→∞=则数列{}n y 的极限存在，且lim n n y a →∞=. 证明由lim n n x a →∞=⇒0ε∀>,1N ∃,当1n N >时，有n x a ε-<⇒n a x ε-<又由lim n n z a →∞=⇒对上述ε，2N ∃，当2n N >时，有n z a ε-<⇒n z a ε+<取12{},N max N N =，则对上述0ε>，当n N >时，有n n n x y z ≤≤，n a x ε-<，n z a ε+<从而有n n n y z a x a εε≤≤<-+< 即n y a ε-<,故lim n n y a →∞=.上述极限存在准则可以推广到函数的极限情形，即:2、准则II 设函数()f x ，()g x ，()h x 满足(1)()()()f x g x h x ≤≤（当0,()U x x δ∈(或x M >)时）；(2)0()lim ()x xx f x A→∞→=，0()lim ()x xx h x A→∞→=.则0()lim ()x x x g x →∞→存在且等于A .上述两个准则都称为夹逼准则. 举例 例1求2111nn →∞++++解2111nn n≤+++≤+又因为lim 1,lim 1n n n n→∞→∞==所以由夹逼准则得21111n n →∞+++=+.3、第一个重要极限：0sin lim 1x xx →=证明：在单位圆中，有AOB AOD AOB S S S ∆∆<<扇形（如图1-35）而sin x CB =，x AB =，tan x AD =.所以111sin tan 222x x x <<， 即sin tan x x x <<,从而得sin cos 1xx x <<.因为函数sin xx 与cos x 都是偶函数，所以在区间(,0)2π-内，sin cos 1xx x<<也成立.135图-故对于一切满足不等式02x π<<的x 都有 sin cos 1xx x<< 由0limcos 1x x →=及夹逼准则可得0sin lim 1x xx→=.特点与用法：分出两个“0因子”：“sin x ”和“x ”，而与“0因子”无关的极限分开求. 举例例1求0tan lim x xx →解00tan sin 1lim lim()cos x x x x x x x →→=⋅00sin 1lim lim 1cos x x x x x→→=⋅=.例2求201cos lim x xx →-解201cos lim x x x →-2202sin 2lim x x x→=20sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭20sin 12lim 22x x x →⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭211122=⋅=.例3求1lim(1)tan 2x x x π→-解设1y x =-，即1x y =-，当1x →时，0y →，则1lim(1)tan2x x x π→-0(1)lim tan2y y y π→-=0lim cot2y yy π→=2lim coslim cos22sin sin222y y yyyyyy ππππππ→→=⋅=⋅2π=.。
函数极限存在的夹逼准则(全)
y y f (x)
y 定义：f (x) 在 x0 的某一邻域 内有定义
lim y 0
x
o x0 x x
x0
称函数 f (x) 在点 x0 连续
反映自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小。
例. 证明函数 y sin x 在 ( , ) 内任意一点连续 .
证: x0 ( , )
y
解：无穷小量比较阶时，要找最低阶数
3
1
31
3 x2
3
x
x (1 x 2 ) x 6 (1 x 2 )3
3 x2
lim
x0
1
x6
1
31
x
x 6 (1 x 2 )3
lim x0
1
31
lim(1 x 2 )3 x0
1
x6
思考题：当x 0时，x x x 是x的几阶无穷小量？
精选2021版课件
当 x 0 时,
n 1 x 1 ～
1x n
常用等价无穷小 : 当 x 0 时,
sin x ～ x , arctan x ～x ,
tan x ～
x,
1 cos x ～
1 2
x2
,
arcsin x～ x ,
n
1
x
1～
1 n
x
ex 1 ～ x , ax 1 ～x ln a , (1 x)a 1 ～ax
lim ,
是 的低阶无穷小
C ( 0) , 是 的同阶无穷小
1,
lim
k
C
0,
是 的等价无穷小 记作 ~ 或 ~
是 的 k 阶无穷小
精选2021版课件
11
例如 , 当 x 0 时
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利用夹逼准则求极限精
编版
MQS system office room 【MQS16H-TTMS2A-MQSS8Q8-MQSH16898】
利用夹逼准则求极限
夹逼准则的使用方法：
定理1用夹逼准则求极限，就是将数列放大和缩小。
要求放大和缩小后的极限容易求出，此时常将其放大到最大项的整数倍，缩小到最小项的整数倍，并且此时两者极限相等，即两者是等价无穷小，此时就可以得到原数列极限的值。
题型1夹逼准则常用于求若干项和的极限
推论1极限变化过程中最小项与最大项之比为1时可以使用夹逼准则求其极限。
证明：不妨设最小项为)(x α，最大项为)(x β，数列有n 项，则整数倍为n 倍， 由定理1可知.)()
(lim 1)()(lim
x x x n x n βαβα== 例1.求)21 (4)
12
1(
lim 2
2
2
n
n n n n ++
+++
+∞
→.
解：.11lim 22lim 22lim 2
121
lim
22
2222==++=++=++∞
→∞→∞→∞
→n n n n n n n n n n n n n
由推论1，.12
21 (4)
12
1212
2
2
2
2
→+≤
++
+++
+≤
+←
n n n
n n n n
n n
由夹逼准则可得所求极限为1.
例2.求).1
...2111(lim 222n
n n n n n n n +++++++++∞→
解：.11lim 1
1
1lim 2222=++++=++++∞→∞→n n n n n n n n n n n n 由推论1，.01
1...2111022222→++≤+++++++++≤++←n n n
n n n n n n n n n n n
由夹逼准则可得所求极限为0.
例3.求)....2211(lim 222
n
n n n
n n n n n +++++++++∞→ 解： 由推论1，
2
1112)1(...221112)1(2122222→++⋅+<+++++++++<++⋅+←n n n n n n n n n n n n n n n n n 由夹逼准则可得所求极限为2
1
.
由以上例题可以看出用夹逼准则求极限的关键在于对数列进行恰当的放缩
接下来的例题稍有难度，难处仍难在放缩的技巧
例4.求!
2lim n n
n ∞→.
解：).(4
2...322212!20放到第二项最大！n n n n ≤⨯⨯⨯⨯=<
且0!
4
lim =∞→n n .故由夹逼准则可知.0!2lim =∞→n n n 例5.求).1(lim
>∞
→ααn
n n
解：设),0(1>+=h h α则 从而,)1(202
h n n n
-<
<
α因为
,0)1(2
lim 2=-∞→h n n 由夹逼准则可知.0lim
=∞
→n
n n
α
例6.求.1
)
!sin(lim 3
2+∞→n n n n
解：由于,1
11)!sin(0333
232323
2n
n n n n n n n n n ==<+≤+≤
(三角函数有界性) 即33
231
1)!sin(1n
n n n n <+<-,而,01lim 1lim 33==-∞→∞→n n n n
由夹逼准则可知.01
)
!sin(lim 3
2=+∞→n n n n
例7.求.)321(lim 1
n
n n
n ++∞
→
解：原式.]1)3
2
()31[(3lim ]1)32()31[(3lim 1
1n n n n n n n n ++=++=∞→∞→
因为1)32()31(0<+<n n ,31)3
2
()31(1<++<n n ,
两边同时乘以n 3得到133213+<++<n n n n , 再两边同时开n 次方根得到.33]321[311n
n
n n
⨯<++<
当∞→n 时,.3lim 3133lim 3)33(lim 11
左边右边===⨯=⨯=⨯=∞
→∞
→∞
→n n n n
n
故由夹逼准则可得.3)321(lim 1=++∞
→n
n n
n 例8.求[].lim
x
x x ∞
→
解：由取整函数的性质可知[].1x x x ≤≤-
当,
0时>x [][]；即111,1≤≤-≤≤-x x x x x x x x x 当,0时<x [][]；即111,1≥≥-≥≥-x
x x x x x x x x 因为，1)1
1(lim =-∞→x
x 由夹逼准则可得[].1lim
=∞→x x x 例9.求).0,0(lim 0
>>⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+
→b x b x x αα 解由取整函数的性质可知)0(1≠≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡≤-x x
b
x b x b ,
当0>x 时，各项乘以
α
x
得到α
αααb
x b x x b ≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡<
- 因为,)(
lim 0
α
ααb
x b
x =-+→由夹逼准则可得.lim 0ααb x b x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+→。