专题课：二次函数的最值(动画效果)

例 4：求函数 f ( x ) x 2 ax 3 在 1，上的最小值 2
2
.
1
O
2
(1) a 1；
( 2 ) 1 a 2；
(3) a 2 .
类型三：动轴定区间
例 4 .解：1)当 a 1时， f ( x ) 在 1, 2 上为增函数， ( f ( x ) min f ( 1) 2 a 2；
( 2 ) f ( x ) 在 0，上为减函数，在 1
1，上为增函数 2
f ( x ) min f (1) 4， 0 1 2 1 ， f ( x ) max f ( 0 ) f ( 2 ) 3 故 f ( x )的最小值为 3，最大值为 5.
变式 1：求函数 f ( x ) ax 2 x 3 在 R 上的最值 .
2
( 3 )当 a 0时， f ( x ) a ( x
1 a
)
2
1 a
3，对称轴 x
1 a
.
1 f ( x ) 在 ， 上为增函数，在 a 1 1
1 ， 上为减函数 a
2
解： f ( x ) ( x a ) a 3，对称轴 x a .
2 2
f ( x ) 在 ， a 上为减函数，在 f ( x ) min f ( a ) a 3
2
a ， 上为增函数
.
.
故 f ( x )的最小值为
a 3，最大值不存在
专题课：二次函数的最值
辽宁北镇高中 才忠勇
题型一：非受限型二次函数的最值 题型二：受限型二次函数的最值 类型一：定轴定区间
类型二：定轴动区间 类型三：动轴定区间
题型一：非受限型二次函数的最值
例1：求函数 f ( x ) x 2 x 3 在 R 上的最值 .
2
解 ： f ( x ) ( x 1) 4， 对 称 轴 x 1 .
2
变 2：求函数 f ( x ) x 2 x 3 在 t , t 1上的最大值
2
类型二：定轴动区间
.
O
1
思考1：最大值的点可能出现在哪里？ 思考2：能够成为最大值的点具有怎样的特征？ 思考3：求最大值应分几种情形讨论？
解：1)当 t (
1 2
1，即 t
2
1 2
时，
2
f ( x ) 在 1,1 上 为 增 函 数 ， f ( x ) m in f ( 1) a + 4；
2 2
( 2 )当 t
1 2
1 t 1，即 0 t
1 2
时，
f ( x ) 在 t ， 上单调递减，在 1
1， t 1上单调递增，
2
f ( x ) min f (1) 4， f ( x ) max f ( t ) t 2 t 3；
( 3 )当 t 1 t
( 3 ) x 2，； 3
(1) x 2，； ( 2 ) x 0，； 0 2
.
2
O
1 2
3
解： f ( x ) ( x 1) 4，对称轴 x 1 .
2
(1) f ( x ) 在 2 , 0 上为减函数， f ( x ) min f ( 0 ) 3， f ( x ) max f ( 2 ) 5 故 f ( x )的最小值为 3，最大值为 5.
( 3 )当 t 1时， f ( x ) 在 t , t 1上单调递增， f ( x ) min f ( t ) t 2 t 3；
2
1， t 1上单调递增
综上所述：
f ( x ) min
t 4， t 0 4， t 1 0 2 t 2 t 3， t 1
( 2 )当 1 a
1 2
Байду номын сангаас时，
f ( x ) 在 1， a 上单调递减，在
2
a ，上单调递增， 2
f ( x ) min f ( a ) a 3， f ( x ) max f ( 2 ) 4 a 1；
( 3 )当
1 2
a 2时，
f ( x ) 在 1, a 上单调递减，在
( 2 )当 a
1 2
综上所述：
f ( x ) max
1 4 a 1， a 2 1 2 a 2， a 2
变 2 .解： f ( x ) ( x a ) a 3，对称轴 x a .
2 2
(1)当 a 1时， f ( x ) 在 1, 2 上为增函数， f ( x ) min f ( 1) 2 a 2， f ( x ) max f ( 2 ) 4 a 1；
思考2：二次函数在闭区间上的最值与哪些因素 有关？
类型二：定轴动区间
例 3：求函数 f ( x ) x 2 x 3 在 t , t 1上的最小值
2
.
O
1
(1) t 1 1；
( 2 ) t 1 t 1；
(3)t 1 .
例 3 .解： f ( x ) ( x 1) 4，对称轴 x 1 .
2 2
综上所述：
f ( x ) min
1 2 t 2 4， t 0 t 2 t 3， t 2 4， t 1 f ( x ) max 0 2 t 2 4， t 1 t 2 t 3， t 1 2
类型二：动轴定区间
2.求 f ( x ) x + a x + 3 在 区 间 1 ,1 上 的 最 小 值 为 3 ， 求 实 数 a . 2 a 2 a a 解 ： f (x) (x+ ) + ，对称轴x . 2 4 2 a (1)当 1， 即 a 2时 ， 2
2
f ( x ) 在 ， 上 为 减 函 数 ， 在 1， 上 为 增 函 数 . 1 f ( x ) m in f (1) 4 故 f ( x )的 最 小 值 为 4， 无 最 大 值 .
题型一：非受限型二次函数的最值
变式 1：求函数 f ( x ) x 2 ax 3 在 R 上的最值 .
1 2
，即
1 2
t 1时，
f ( x ) 在 t ， 上单调递减，在 1
1， t 1上单调递增，
2
f ( x ) min f (1) 4， f ( x ) max f ( t 1) t 4；
( 4 )当 t 1时， f ( x ) 在 t , t 1 上单调递增， f ( x ) min f ( t ) t 2 t 3， f ( x ) max f ( t 1) t 4 t ；
综上所述：
f ( x ) min
2 a 2， a 1 2 a 3， 1 a 2 4 a 1， a 2
解：1)当 a (
1 2
时， f ( x ) max f ( 2 ) 4 a 1； 时， f ( x ) max f ( 1) 2 a 2 .
2
题型一：非受限型二次函数的最值
变式 1：求函数 f ( x ) ax 2 x 3 在 R 上的最值 .
2
解：1)当 a 0时， f ( x ) 2 x 3，不存在最大值； (
( 2 )当 a 0时， f ( x ) a ( x 1 a )
2
1 a
3，对称轴 x
f ( x ) max f ( t ) t 2 t 3； ( 2 )当 t 1 2
2
1，即 t
1 2
时，
f ( x ) max f ( t 1) t 4 .
综上所述：
f ( x ) max
1 2 t 2 t 3， t 2 t 2 4， t 1 2
.
f ( x ) max f ( ) 3 a a 故 f ( x )的最大值为 1 a 3，最小值不存在 .
题型二：受限型二次函数的最值 类型一：定轴定区间
例 2：已知函数 f ( x ) x 2 x 3，画出函数在以
2
下相应区间的图象，并
求出最大值和最小值
2
解 ： 函 数 f (x )的 对 称 轴 为 x = a.
(1 ) 当 a 1 时 ， f ( x ) m ax = f (2 ) 4 a + 3； (2) 当 a > 1 时 ， f ( x ) m in = f (1) 2 a .
4 a + 3, a 1 综 上 所 述 ： f ( x ) m ax = 2 a , a >1
( 2 )当 1 a 2时， f ( x ) 在 1, a 上为减函数，在 f ( x ) min f ( a ) a 3；
2
a ， 为增函数， 2
( 3 )当 a 2时， f ( x ) 在 1, 2 上为减函数， f ( x ) min f ( 2 ) 4 a 1 .
变 2：求函数 f ( x ) x 2 x 3 在 t , t 1上的最值 .
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类型二：定轴动区间
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思考：求最值应分几种情形讨论？
变 2 .解： f ( x ) ( x 1) 4，对称轴 x 1 .
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(1)当 t 1 1，即 t 0时， f ( x ) 在 t , t 1上单调递减， f ( x ) min f ( t 1) t 4， f ( x ) max f ( t ) t 2 t 3；