几种特殊类型行列式及其计算

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论文题目：几种特殊类型行列式及其计算

作者单位：数学与信息科学系

作者签名：

2012年5月31 日

目录

摘要 (1)

引言 (2)

1行列式的定义及性质 (3)

1.1 定义 (3)

1.2 性质 (3)

2行列式的分类及其计算方法 (4)

2.1 箭形（爪形）行列式 (4)

2.2 两三角型行列式 (4)

2.3 两条线型行列式 (7)

2.4 Hessenberg型行列式 (9)

2.5 三对角型行列式 (10)

2.6 各行(列)元素和相等的行列式 (11)

2.7 相邻两行(列)对应元素相差1的行列式 (12)

2.8 范德蒙德型行列式 (13)

结束语 (14)

参考文献 (15)

致谢 ·········································································································································错误!未定义书签。

几种特殊类型行列式及其计算

摘要：行列式的计算是一个普遍的难题.在一些文献中我们已经了解了一些解决它的基本方法，例如:化为上下三角形法，降阶法，加边法，拆项法，递推法，数学归纳法.本文是对几种特殊类型的行列式给以归纳，再根据不同类型给出相应的计算方法.这使得绝大多数行列式能够被归为这其中的某一种，从而能快速简洁的计算出这些行列式.

关键词：行列式;爪形;两三角型;两条线型;范德蒙德型

Several Special Types of Determinants and Its Calculation Abstract: The n-th determinant calculation is a common difficult problem for students. We have already knew some ways in some documents to solve it, for example: the making definition, changing into triangle (upper and low), decreasing the degree, adding the margin, splitting some items, recursive algorithm and induction. This article aims to conclude some special kinds of determinants firstly and then gives the relevant calculation methods.That made most of the determinants can be attributed to one of that kinds,then it can be calculated more quickly and pithily.

Key Words: Determinant; Claw; “Two-triangle”type; “Two-wire”type; “Vandermonde”type

1

引言

行列式不仅是高等代数的重要内容之一，也是学习其它学科的基础，成为很多学科和领域相当重要的工具，例如在物理学、化学、运筹学等探讨最优化方案时，正是因为成功的应用了行列式来解方程组，才使得问题简单化了，由此可见行列式的计算是一个重要的问题，但同时它也是个比较复杂的问题，特别是高阶行列式，是工程计算中不可或缺的一部分，所以有必要深入研究和归纳高级行列式的计算方法.

对这一重要问题，很多文献资料已经做了一些讨论，并给出了相应的结论，如文献[3]讨论了行列式的基本计算方法和技巧，给出了“化零”和“降阶”的基本思想，即先利用行列式的性质做恒等变形化简，使行列式中出现较多零元素，文献[1][10]等具体概括了一些有相同规律的行列式的计算方法，如三线型行列式、两三角型行列式、范德蒙德行列式等.文献[2][9]等通过一些实例的研究，给出了一些重要方法如化三角形法、降阶法、加边法、递推法、数学归纳法等.大部分行列式可以通过变换化为具有某种特点的行列式，进而用相对简便的方法进行计算.

本文在上述文献的基础上，首先根据行列式的形态特征对行列式进行分类，总结出几种有某种特点的特殊行列式，再根据不同类型行列式的特点给出相应的计算方法.这样使高阶行列式的计算得到进一步的归纳总结.具有一定的理论意义及应用价值.

2

3

1 行列式的定义及性质

1.1 定义[3] n 级行列式

1112121

22

212

n n n n nn

a a a a a a a a a

等于所有取自不同行不同列的个n 元素的乘积12

12n j j nj a a a (1)的代数和,这里12

n j j j 是

1,2,

,n 的一个排列,每一项(1)都按下列规则带有符号:当12n j j j 是偶排列时,(1)带正号，当

12n j j j 是奇排列时,(1)带有负号.这一定义可写成

()

()

121212

11

121212221212

1n n n

n j j j n j j nj j j j n n nn

a a a a a a a a a a a a τ=

-∑

这里

12

n

j j j ∑

表示对所有n 级排列求和.

1.2 性质[4]

性质1.2.1 行列互换,行列式的值不变.

性质1.2.2 某行(列)的公因子可以提到行列式的符号外.

性质1.2.3 如果某行(列)的所有元素都可以写成两项的和,则该行列式可以写成两行列式的和;这两个行列式的这一行(列)的元素分别为对应的两个加数之一,其余各行(列)与原行列式相同.

性质1.2.4 两行(列)对应元素相同,行列式的值为零. 性质1.2.5 两行(列)对应元素成比例,行列式的值为零.

性质1.2.6 某行(列)的倍数加到另一行(列)对应的元素上,行列式的值不变. 性质1.2.7 交换两行(列)的位置,行列式的值变号.