天津市河西区2020学年高一数学上学期期末考试试卷(含解析)
天津市部分区2020-2021学年高一上学期数学答案
天津市部分区2020～2021学年度第一学期期末练习高一数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．题号12345678910答案DBCABCDBAD二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．11．2π12．113．214．24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭15．①③三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） 1cos 3α=，由22sin cos 1αα+=得，………………………………1分228sin 1cos 9αα=-=，……………………………………………2分又 α是第四象限角，∴sin 3α==-，…………………………………………4分∴sin 22sin cos ααα=，……………………………………………………5分9=-，…………………………………………………………6分22cos 2cos sin ααα=-……………………………………………………7分79=-.……………………………………………………………8分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知sin tan cos ααα==-，…………………………9分∴tan()4πα-tan tan 41tan tan 4παπα-=+⋅，……………………………………11分97+==.…………………………………12分Oxy 864235302520151051017．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由502x ->，得52x <，……………………………………………1分所以函数()f x 的定义域为5(,)2-∞.…………………………………………3分（Ⅱ）令()0f x =，即log (52)0a x -=，………………………………………5分则521x -=，所以2x =，…………………………………………6分所以函数()f x 的零点为2.……………………………………………7分（Ⅲ）(1)log (75(2))log a a f -=--=，(1)log (52)log 3a a f =-=，…………………………………………………8分当1a >时，函数log a y x =是增函数，所以log 7log 3a a >，即(1)(1)f f ->.…………………………………………………………………10分当01a <<时，函数log a y x =是减函数，所以log 7log 3a a <，即(1)(1)f f -<……………………………………………………………………12分18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意，可得函数的解析式为：0,010,0.2,1020,0.44,20.x y x x x x ≤≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩……………………………………………6分………………………………9分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当1020x <≤时，24y <≤，………………………10分因为164y =>，∴20x >，令0.4416x -=，解得，50x =，…………………………………………11分故此销售人员为公司创造50万元的销售利润.……………………………12分19．（本小题满分12分）解：2()cos 2cossin 2sin 66f x x x x ππ=++-…………………1分31cos 2sin 2cos 2)22x x x =++--………………………2分13sin 2cos 222x x =-sin(23x π=-………………………………………………………3分(Ⅰ)22T ππ==，所以()f x 的最小正周期为π.………………………………4分由2[2,2322x k k πππππ-∈-+，k Z ∈……………………………5分可得5[,]1212x k k ππππ∈-+，k Z ∈()f x ∴的单调递增区间为5[,)1212k k k Z ππππ-+∈；…………………………7分(Ⅱ)因为()f x 在区间[,]412ππ--上单调递减，…………………………………8分在区间[,]124ππ-上单调递增，…………………………………9分又1(42f π-=-，()112f π-=-，1(42f π=.所以()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为12，最小值为1-.………………12分20．（本小题满分12分）解：因为()f x 定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-即：112222xx x x m m ----⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，整理得，11(1)2222x xx x m m ---+=-+解得，2m =.………………………………………………………………………3分(Ⅱ)12,x x ∀∈R ，且12x x <，则12121211()()2222x x x x f x f x ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭…………………………………4分()1212112222x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭()1212122122x x x x ⎛⎫=-+ ⎪⋅⎝⎭…………………………5分由12,x x ∈R ，得1220,20xx >>，所以1211022x x +>⋅，………………………………………………………6分又由12x x <，得1222x x<，所以，12220xx -<.……………………………………………7分于是12()()0f x f x -<,即12()()f x f x <所以()f x 在R 上单调递增.……………………………………8分（Ⅲ）因为()f x 是奇函数，由22(31)()0f x f kx x ++-≥得，22(31)()f x f x kx +≥-，由(Ⅱ)可知，函数()f x 在[]1,1-上单调递增，所以，对任意[]1,1x ∈-，不等式22(31)()f x f x kx +≥-恒成立，等价于2210x kx ++≥在[]1,1x ∈-上恒成立，………………………………………9分设2()21g x x kx =++，[]1,1x ∈-，即：min()0g x ≥，()g x 的对称轴为4kx =-.①当14k-≤-时，即4k ≥时，则()()min 130g x g k =-=-≥，无解.②当114k -<-<时，即44k -<<时，则()2min 1048k k g x g ⎛⎫=-=-≥ ⎪⎝⎭，得，k -≤≤③当14k-≥时，即4k ≤-时，则()()min 130g x g k ==+≥，无解.综上，实数k 的取值范围是⎡-⎣.…………………………………12分。
2019-2020学年人教A版天津市部分区高一上学期期末数学试卷及答案 (解析版)
2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝．12．函数的定义域为．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为（参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.第I卷（选择题共40分）1．已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，则集合A∩∁U B＝（）A．{2，5} B．{3，6} C．{2，5，6} D．{2，3，5，6，8} 【分析】由全集U及B，求出B的补集，找出A与B补集的交集即可；解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A＝{2，3，5，6}，集合B＝{1，3，4，6，7}，∴∁U B＝{2，5，8}，则A∩∁U B＝{2，5}．故选：A．2．下列函数中既是奇函数，又在R上单调递增的是（）A．B．y＝sin x C．y＝x3D．y＝lnx【分析】分别判断函数的奇偶性和单调性即可．解：A．f（x）是奇函数，在定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞）上不单调，不满足条件．B．f（x）是奇函数，则R上不是单调函数，不满足条件．C．f（x）是奇函数，在R上是增函数，满足条件．D．函数的定义域为（0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．故选：C．3．函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（4，5）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，可得f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数，再通过计算f（1）、f（2）、f（3）的值，发现f（2）•f（3）＜0，即可得到零点所在区间．解：∵f（x）＝lnx+x﹣3在（0，+∞）上是增函数f（1）＝﹣2＜0，f（2）＝ln2﹣1＜0，f（3）＝ln3＞0∴f（2）•f（3）＜0，根据零点存在性定理，可得函数f（x）＝lnx+x﹣3的零点所在区间为（2，3）故选：C．4．在平面直角坐标系中，若角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，则sinα的值为（）A．B．C．D．【分析】利用三角函数定义直接求解．解：在平面直角坐标系中，角α以x轴的非负半轴为始边，且终边过点，∴，r＝＝1，∴sinα＝＝．故选：D．5．已知a＝log20.3，b＝20.3，c＝0.30.2，则a，b，c三者的大小关系是（）A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出．解：∵a＝log20.3＜0，b＝20.3＞1，0＜c＝0.30.2＜1，∴b＞c＞a．故选：B．6．为了得到函数y＝sin（2x﹣）的图象，只需将函数y＝sin2x的图象上所有的点（）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【分析】由函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解：∵y＝sin（2x﹣）＝sin[2（x﹣）]，∴将函数y＝sin2x的图象上所有的点向右平移个单位，即可得到函数y＝sin（2x﹣）的图象．故选：C．7．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，若，则不等式f（2x﹣1）＜0的解集为（）A．B．C．D．【分析】根据函数的奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）上单调递增，∴若，则不等式f（2x﹣1）＜0等价为f（|2x﹣1|）＜f（），即|2x﹣1|＜，即﹣＜2x﹣1＜，得＜x＜，即不等式的解集为（，），故选：A．8．若α、β都是锐角，且sinα＝，cos（α+β）＝﹣，则sinβ的值是（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数间的关系式的应用，可求得sin（α+β）与cosα的值，再利用两角差的正弦函数，可求得sinβ＝sin[（α+β）﹣α]的值．解：∵cos（α+β）＝﹣，α、β都是锐角，∴sin（α+β）＝＝；又sinα＝，∴cosα＝＝，∴sinβ＝sin[（α+β）﹣α]＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝×﹣（﹣）×＝．故选：A．9．下列命题正确的是（）A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”B．若a＞b，c＜0，则C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件【分析】A由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；B由条件，注意举反例，即可判断；C由二次函数的图象，即可判断；D先求出不等式x2﹣5x+6＞0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断．解：对于A，命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∀x∈R，使得2x≥x2”，故A错误；对于B，由条件知，比如a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，则＝﹣＜＝，故B错误；对于C，若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则≤1或≥4，故k≤2或k≥8，故C错误；对于D，x2﹣5x+6＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，故“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件，正确．故选：D．10．已知函数在区间上单调递增，且存在唯一使得f（x0）＝1，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．【分析】由函数f（x）在[﹣，]上单调递增求出0＜ω≤，再由存在唯一使得f（x0）＝1求出≤ω＜3；由此求得ω的取值范围．解：由于函数f（x）＝sin（ωx+）（ω＞0）在[﹣，]上单调递增；x∈[﹣，]，ωx+∈[﹣ω+，ω+]，﹣≤﹣ω+且ω+≤，解得ω≤且ω≤，所以0＜ω≤；又存在唯一使得f（x0）＝1，即x∈[0，]时，ωx+∈[，ω+]；所以≤ω+＜，解得≤ω＜3；综上知，ω的取值范围是[，]．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共20分.11．幂函数f（x）的图象经过（2，4），则f（3）＝9 ．【分析】设幂函数f（x）＝x a，由幂函数f（x）的图象经过（2，4），解得f（x）的解析式，由此能求出f（3）．解：设幂函数f（x）＝x a，∵幂函数f（x）的图象经过（2，4），∴2a＝4，解得a＝2，∴f（x）＝x2，∴f（3）＝32＝9．故答案为：9．12．函数的定义域为（﹣1，4）．【分析】由分母中根式内部的代数式大于0且对数式的真数大于0联立不等式组求解．解：由，得﹣1＜x＜4．∴函数的定义域为（﹣1，4）．故答案为：（﹣1，4）．13．已知lga+lg（2b）＝1，则a+b的最小值是2．【分析】利用对数运算性质可得ab，再利用基本不等式的性质即可得出．解：∵lga+lg（2b）＝1，∴2ab＝10，即ab＝5．a，b＞0．则a+b≥2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号．因此：a+b的最小值是2．故答案为：2．14．酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml 血液中酒精含量达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则整数t的值为 5 （参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48）【分析】100ml血液中酒精含量达到60ml，由题意得则60（1﹣20%）t＜20由此利用对数的性质能求出整数t的值．解：某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml，则100ml血液中酒精含量达到60ml，在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，他至少要经过t小时后才可以驾驶机动车．则60（1﹣20%）t＜20，∴0.8t＜，∴t＞＝﹣＝﹣＝≈＝4.8．∴整数t的值为5．故答案为：5．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．设集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}．（1）求A∪B，A∩B；（2）已知集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出集合A，B，由此能求出A∪B，A∩B．（2）当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，由此能求出实数a的取值范围．解：（1）∵集合A＝{x|x2﹣x﹣6＞0}＝{x|x＞3或x＜﹣2}，B＝{x|﹣4＜3x﹣7＜8}＝{x|1＜x＜5}，∴A∪B＝{x|x＜﹣2或x＞1}，A∩B＝{x|3＜x＜5}．（2）∵集合C＝{x|a＜x＜2a+1}，C⊆B，∴当C＝∅时，a≥2a+1，a≤﹣1，当C≠∅时，，解得1≤a≤2，综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，2]．16．已知函数．（1）在给出的直角坐标系中，画出y＝f（x）的大致图象；（2）根据图象写出f（x）的单调区间；（3）根据图象写出不等式f（x）＞0的解集．【分析】根据各段函数的解析式作图即可解：（1）如图，（2）由图可知f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，1）；单调递减区间为（﹣2，0），（1，+∞）；（3）由图可知f（x）＞0时，x∈（﹣4，﹣1）．17．已知sinα＝，α∈（，π），cosβ＝，β∈（0，）．（1）求cos（α﹣β）的值；（2）求tan（2β+）的值．【分析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角差的余弦公式，求得结果．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，两角和的正切公式，求得结果．解：（1）∵已知sinα＝，α∈（，π），∴cosα＝﹣＝﹣．∵cosβ＝，β∈（0，），∴sinβ＝＝，∵cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ＝﹣•+•＝＝﹣．（2）由以上可得tanβ＝＝2，∴tan2β＝＝＝﹣，tan（2β+）＝＝＝﹣．18．已知函数．（1）判断f（x）的单调性，并用函数单调性的定义证明；（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．解：（1）函数的定义域为R，设x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣﹣+＝﹣＝＝，∵x1＜x2，∴＜，则﹣＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，则f（x1）＜f（x2），即函数f（x）为增函数．（2）f（x）＝＝，则f（﹣x）＝＝＝﹣f（x），即f（x）是奇函数．19．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值；（3）若关于x的不等式mf（x）+3m≥f（x）在R上恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）根据f（x）＝sin（2x﹣）可求最小正周期；（2）利用x∈以及正弦函数单调区间即可求出最大最小值；（3）令t＝sin（2x﹣），将不等式化成m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即可求出m取值范围．解：f（x）＝sin2x﹣cos2x＝2sin（2x﹣），（1）T＝＝π，即f（x）的最小正周期为π；（2）当x∈时，则2x﹣∈[﹣，π]，sin（2x﹣）∈[﹣，1]，所以f（x）∈[﹣，2]，即f（x）最大值为2，最小值为﹣；（3）mf（x）+3m≥f（x）即2m sin（2x﹣）+3m≥2sin（2x﹣），令t＝f（x）＝sin（2x﹣），则t∈[﹣1，1]，所以2t+3∈[1，5]根据题意得2mt+3m≥2t对∀t∈[﹣1，1]恒成立，即有m≥＝1﹣对∀t∈[﹣1，1]恒成立，因为1﹣最大为1﹣＝，所以m≥．。
天津市河西区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
天津市河西区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共9小题，共27.0分）1. 已知集合A ={x|3≤x <7}，B ={x|2<x <5}，则A ∩B =( )A. {x|2<x ≤3}B. {x|3<x <5}C. {x|3≤x <5}D. {x|2<x <7}2. 已知a ，b ∈R ，则“ab =0”是“a 2+b 2=0”的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充要D. 既不充分又不必要3. 下列命题中假命题的是( )A. ∃x 0∈R ，lnx 0<0B. ∀x ∈(−∞,0)，e x >x +1C. ∀x >0，5x >3xD. ∃x 0∈(0,+∞)，x 0<sinx 04. 已知α是第二限角，则下列结论正确的是( )A. sinα⋅cosα>0B. sinα⋅tanα<0C. cosα⋅tanα<0D. 以上都有可能5. 为了得到y =3sin(2x +π3)函数的图象，只需把y =3sinx 上所有的点( )A. 先把横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移π6个单位 B. 先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左平移π6个单位 C. 先把横坐标缩短到原来的2倍，然后向左右移π3个单位 D. 先把横坐标缩短到原来的12倍，然后向右平移π3个单位6. 已知0<a <b <c ，则( )A. a b<acB. a b<bcC. alg(b +1)<blg(c +1)D. algc <blgb7. 函数，x ∈[−1,1]，则( )A. f(x)为偶函数，且在[0,1]上单调递减B. f(x)为偶函数，且在[0,1]上单调递增C. f(x)为奇函数，且在[−1,0]上单调递增D. f(x)为奇函数，且在[−1,0]上单调递减8. 设函数 f(x)={21−x,x⩽11−log 2x,x>1,则满足 f(x)⩽2的x 的取值范围是( )A. [−1,2] B. [0,2]C. [1,+∞)D. [0,+∞)9. 已知函数f(x)=|x|−1，关于x 的方程f 2(x)−|f(x)|+k =0，若方程恰有8个不同的实根，则实数k 的取值范围是( ) ．A. (0,14)B. (0,18]C. [1,2]D. (18,+∞)二、填空题（本大题共6小题，共18.0分） 10. 函数f(x)=√1−4x 的定义域是______ ．11. 已知扇形的弧长为6，半径为2，则扇形圆心角的弧度数__________rad 12. log 216−log 24= ________．13. 函数y =sin(x −π4)的图象的对称中心的坐标是________．14. 已知函数f(x)满足f(x)+2f(3−x)=x 2，则f(x)=______________．15. 已知函数f(x)={|x +a|+|x −1|,x >0x 2−ax +2,x ≤0的最小值为a +1，则实数a 的取值范围为____________．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分） 16. 已知sinα=−13，求tanα．17. 若cosα=23，α为第四象限角，求sin (α−2π)+sin (−α−3π)cos (α−3π)cos (π−α)−cos (−π−α)cos (α−4π)+sin(−π2+α)cos(11π2+α)的值．18. (Ⅰ)证明：sina +sinβ=2sinα+β2cosα−β2(α,β∈R )；(Ⅱ)求函数f (x )=sin (x +π)+sin (x −π3)的最小正周期与最大值．19. 已知函数f(x)，定义F(f(x))={1,x <f(x)0,x =f(x)−1,x >f(x).(Ⅰ)写出函数F(2x −1)的解析式；(Ⅱ)若F(|x −a|)+F(2x −1)=0，求实数a 的值；(Ⅲ)当x ∈[π3,43π]时，求ℎ(x)=cosx ⋅F(x +sinx)的零点个数和值域．20. 已知函数f (x )=log 2(mx 2−2mx +1)，m ∈R(I)若函数f (x )的定义域为R ，求m 的取值范围;(Ⅱ)设函数g (x )=f (x )−2log 4x ，若对任意x ∈[0,1]，总有g (2x )−x ≤0，求m 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查交集及其运算，属于基础题．由题意和交集的运算直接求出A∩B．解：因为集合A={x|3≤x<7}，B={x|2<x<5}，所以A∩B={x|3≤x<5}．故选C．2.答案：B解析：解：p：ab=0即为a=0或b=0；q：a2+b2=0即为a=b=0；所以p成立q不一定成立，反之q成立p一定成立，所以p是q的必要不充分条件，故选：B．先化简p为a=0或b=0；q为a=b=0；判断出p成立q不一定成立，反之q成立p一定成立，利用充要条件的有关定义得到结论．本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，然后两边互推一下，利用充要条件的定义进行判断，属于基础题．3.答案：D解析：本题主要考查全称量词与存在量词的概念及真假判断，解：A项，当0<x0<1时，lnx0<0，即A为真命题，故A项不符合题意，B项，设f(x)=e x−x−1，则f′(x)=e x−1，当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，即f(x)在(−∞,0)上单调递减，所以x∈(−∞,0)时，f(x)>f(0)=0恒成立，即．，e x>x+1成立，所以B为真命题，故B项不符合题意，C项，当x>0时，5x的斜率恒大于3x的斜率，且x=0时5x=3x，所以x>0时，5x恒大于3x，即C为真命题，故C项不符合题意，D项，设g(x)=x−sinx，则g′(x)=1−cosx≥0，所以g(x)在x∈(0,+∞)上单调递增，所以x∈(0,+∞)时，g(x)≥g(0)=0，所以不存在x0∈(0,+∞)，使x0<sinx0，即D为假命题，故D项符合题意，故选D．4.答案：B解析：直接利用角的象限，判断正弦函数与余弦函数、正切函数的值的符号，然后判断选项．本题考查角的象限与三角函数值的符号的判断，考查计算能力．解：因为α是第二限角，所以sinα>0，cosα<0，tanα<0，所以sinα⋅tanα<0．故选B．5.答案：A解析：解：把y=3sinx上所有的点先把横坐标缩短到原来的12倍，可得y=3sin2x的图象，然后向左平移π6个单位，可得y=3sin2(x+π6)=3sin(2x+π3)的图象，故选：A．利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．6.答案：C解析：∵a与1大小不确定，故y=a x的增减性不确定，故A错；取a=14,b=12,c=2验证，故B，D错；∵0<a<b<c,0<lg(b+1)<lg(c+1)，∴alg(b+1)<blg(c+1)，选C...7.答案：A解析：本题主要考查诱导公式、余弦函数的奇偶性和单调性，属于中档题．利用诱导公式化简函数f(x)的解析式为，故函数为偶函数．再由当x∈[0,1]时，可得函数y=cosπx是减函数，从而得出结论．解：∵函数，故函数为偶函数，排除C、D；当x∈[0,1]时，πx∈[0,π]，函数y=cosπx是减函数，答案为A．故选A．8.答案：D解析：本题主要考查不等式的转化与求解，应该转化特定的不等式类型求解．分类讨论：①当x≤1时；②当x>1时，再按照指数不等式和对数不等式求解，最后求出它们的并集即可．解：当x≤1时，21−x≤2的可变形为1−x≤1，x≥0，∴0≤x≤1．当x>1时，1−log2x≤2的可变形为x≥1，2∴x>1，故答案为[0,+∞)．故选D．9.答案：A解析：解：关于x的方程(|x|−1)2−||x|−1|+k=0可化为(x−1)2−(x−1)+k=0(x≥1)或(x−1)2−(1−x)+k=0(0≤x<1)或(x+1)2+(x+1)+k=0(−1<x<0)(3)或(x+1)2−(x+1)+k=0(x≤−1)函数g(x)=−f2(x)+|f(x)|图象，如图所示，由图象知实数k的取值范围为(0,14)， 故答案为(0,14).关于x 的方程f 2(x)−|f(x)|+k =0恰有8个不同的实根，即函数g(x)=−f 2(x)+|f(x)|图象与直线y =k 有8个交点，画出图象可得．此题是个中档题．本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想．10.答案：(0,14)解析：解：由{x >01−4x >0⇒0<x <14． 所以原函数的定义域为(0,14). 故答案为(0,14).由分子的对数式的真数大于0，由分母的根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．本题考查了函数定义域及其求法，函数的定义域，就是使函数解析式有意义的自变量x 的取值集合，是基础题．11.答案：3解析：利用弧长公式即可得出．本题考查了弧长公式的应用，属于基础题． 解：设扇形的圆心角的弧度数为α， 由已知及弧长公式可得6=2α， 解得α=3． 故答案为3．12.答案：2解析：解：原式=log 2164=log 24=2．故答案为：2． 进行对数的运算即可．考查对数的定义，对数的运算性质．13.答案：(kπ+π4,0)k∈Z解析：本题考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质，即可求得结果．解：令x−π4=kπ,(k∈Z)，解得x=kπ+π4,(k∈Z)∴对称中心坐标为(kπ+π4,0)k∈Z．故答案为(kπ+π4,0)k∈Z．14.答案：13x2−4x+6解析：本题考查函数的解析式.设f(x)=ax2+bx+c，由题求出a，b，c的值，进而得出答案．解：设f(x)=ax2+bx+c，∵f(x)+2f(3−x)=x2，∴ax2+bx+c+2[a(3−x)2+b(3−x)+c]=x2，即3ax2−(12a+b)x+18a+6b+3c=x2，∴{3a=1−(12a+b)=018a+6b+3c=0，解得{a =13b =−4c =6，故答案为13x 2−4x +6．15.答案：{−2−2√2}∪[−1,1]解析：本题考查了分段函数的单调性与最值计算，分类讨论思想，属于中档题． 分段讨论即可得出结果．解：(1)若−a ≤0，即a ≥0时，f(x)={a +1,0<x ≤12x +a −1,x >1x 2−ax +2,x ≤0，∴f(x)在(−∞,0]上单调递减，最小值为f(0)=2，在(0,+∞)上最小值为a +1， 故只需2≥a +1即可，解得0≤a ≤1；(2)若0<−a ≤1，即−1≤a <0时，则f(x)={−2x −a +1,0<x ≤−a a +1,−a <x <12x +a −1,x ≥1x 2−ax +2,x ≤0，∴f(x)在(−∞,0]上先减后增，最小值为f(a2)=2−a 24，在(0,+∞)上最小值为a +1，故只需2−a 24≥a +1即可，解得−2−2√2≤a ≤−2+2√2，又−1≤a <0，∴−1≤a <0，(3)若−a >1，即a <−1时，f(x)={−2x −a +1,0<x ≤1−a −1,1<x <−a2x +a −1,x ≥−a x 2−ax +2,x ≤0，∴f(x)在(−∞,0]上先减后增，最小值为f(a2)=2−a 24，f(x)在(0,+∞)上的最小值为−a −1>0， 而f(x)的最小值为a +1<0，故只需令2−a 24=a +1即可，解得a =−2−2√2或a =−2+2√2(舍)， 综上，a 的取值范围是{−2−2√2}∪[−1,1]． 故答案为{−2−2√2}∪[−1,1]．16.答案：解：∵sinα=−13，∴cosα=±√1−sin2α=±2√23，则tanα=−√24或√24．解析：由sinα的值，利用同角三角函数间基本关系求出cosα的值，即可确定出tanα的值．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．17.答案：解：由已知cosα=23，α是第四象限角，sinα=−√1−cos2α=−√53，故sin(α−2π)+sin(−α−3π)cos(α−3π) cos(π−α)−cos(−π−α)cos(α−4π)+sin(−π2+α)cos(11π2+α)=sinα−sinαcosα−cosα+cos2α+−cosαsinα=−sin2α+cos2αsinαcosα=−−√53×23=9√510．解析：本题考查诱导公式及同角三角函数基本关系式在化简求值中的应用，根据条件直接计算即可，属基础题．18.答案：解：(Ⅰ)证明：令x=α+β2，y=α−β2，则α=x+y，β=x−y，∴原等式等价于sin(x+y)+sin(x−y)=2sinxcosy，又∵sin(x+y)+sin(x−y)=(sinx cosy+cosx siny)+(sinx cosy−cosx siny)=2sinxcosy，；(Ⅱ)由(Ⅰ)得，∴f(x)的最小正周期为2π，最大值为1．解析：本题考查两角和与差的三角函数公式、函数的图像和性质． (Ⅰ)令x =α+β2，y =α−β2，问题转化为sin(x +y)+sin(x −y)=2sinxcosy ，利用两角和与差的三角公式即可证明；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论化简函数为，即可求出结果． 19.答案：解：(Ⅰ)定义F(f(x))={1,x <f(x)0,x =f(x)−1,x >f(x).，当2x −1>x ，可得x >1，则F(2x −1)=1；当2x −1=x ，可得x =1，则F(2x −1)=0；当2x −1<x ，可得x <1，则F(2x −1)=−1；可得F(2x −1)={1,x >10,x =1−1,x <1；(Ⅱ)当x >1时，F(2x −1)=1，F(|x −a|)=−1，即有|x −a|<x 恒成立，即为a 2≤2ax 在x >1恒成立，即有a 2≤2a ，解得0≤a ≤2；当x =1时，F(2x −1)=0，F(|x −a|)=0，可得|1−a|=1，解得a =0或2；当x <1时，F(2x −1)=−1，F(|x −a|)=1，即有|x −a|>x 恒成立，即为a 2≥2ax 在x <1恒成立，即有a 2≥2a ，解得a ≥2或a ≤0；则a 的值为0或2；(Ⅲ)当x ∈[π3,43π]时，ℎ(x)=cosx ⋅F(x +sinx)=0，可得cosx =0或F(x +sinx)=0，即有x =π2；x +sinx =x ，即sinx =0，解得x =π，则ℎ(x)的零点个数为2；当x +sinx >x ，即π3≤x <π时，ℎ(x)=cosx ∈(−1,12]；当x +sinx =x ，即x =π时，ℎ(x)=0；当x +sinx <x ，即π<x ≤4π3时，ℎ(x)=−cosx ∈[12,1)． 综上可得，ℎ(x)的值域为(−1,1)．解析：(Ⅰ)由新定义，讨论2x−1>x，2x−1=x，2x−1<x，解不等式即可得到所求函数F(2x−1)；(Ⅱ)讨论x>1，x=1，x<1，由F(2x−1)，求得F(|x−a|)，运用恒成立思想，即可得到a的值；(Ⅲ)由ℎ(x)=0可得cosx=0或F(x+sinx)=0，结合新定义和三角函数的图象与性质，可得零点个数；由x+sinx>x，x+sinx=x，x+sinx<x，化简ℎ(x)，分别求得值域，即可得到所求ℎ(x)在x∈[π3,43π]时的值域．本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论思想方法，以及不等式的解法和正弦函数、余弦函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．20.答案：解：(I)∵函数f(x)=log2(mx2−2mx+1),m∈R的定义域为R，∴mx2−2mx+1>0的解集为R．当m=0时，1>0，解集为R，符合题意；当m≠0时，m>0且Δ=(2m)2−4m<0，解得0<m<1，综上所述，m的取值范围为[0,1)；(II)∵g(x)=f(x)−2log4x，∴g(2x)−x⩽0等价于f(2x)−2log42x−x≤0，即f(2x)≤2x，令t=2x，则t∈[1,2]，∴x=log2t，∴f(t)≤2log2t，即log2(mt2−2mt+1)≤log2t2，∴mt2−2mt+1≤t2，即(m−1)t2−2mt+1≤0，令ℎ(t)=(m−1)t2−2mt+1，当m−1=0时即m=1，ℎ(t)=−2t+1，∵ℎ(t)在[1,2]上单挑递减，ℎ(t)max=ℎ(1)=−1≤0，∴m=1符合题意，当m−1>0时即m>1，ℎ(t)=(m−1)t2−2mt+1是开口向上的二次函数，对称轴x=mm−1=1+1m−1>1，若1<mm−1<2，即m>2，则ℎ(t)max在t=1或t=2处取得，∴{ℎ(1)≤0ℎ(2)≤0，即m ≥0，∴m >2符合题意． 若m m−1≥2，即1<m ≤2，则ℎ(t)max =ℎ(1)=m −1−2m +1=−m ≤0，即m ≥0，∴1<m ≤2符合题意，当m −1<0时即m <1，ℎ(t)=(m −1)t 2−2mt +1是开口向下的二次函数，对称轴x =m m−1=1+1m−1<1，∴ℎ(t)max =ℎ(1)=m −1−2m +1=−m ≤0，即m ≥0，∴0≤m <1符合题意，综上所述：m 的取值范围是[0,+∞)．解析：本题考查对数函数的定义域为R 的问题，对转化的思想要熟悉，以及考查恒成立的问题，注意换元，研究一元二次函数，属较难题．(I)函数f(x)=log 2(mx 2−2mx +1),m ∈R 的定义域为R 等价于mx 2−2mx +1>0的解集为R ，分类讨论即可；(II)把g(2x )−x ⩽0等价转化为f(2x )≤2x ，利用换元法得到(m −1)t 2−2mt +1≤0，进而把恒成立问题转化为求最值问题即可．。
天津市河西区2020-2021学年高一下学期期末数学试卷及答案
天津市河西区2020-2021学年高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列情况适合用全面调查的是（ ）． A ．了解一批玉米种子的发芽率 B ．了解某城市居民的食品消费结构 C ．调查一个县各村的粮食播种面积 D ．调查一条河的水质 2．下列命题正确的是（ ） A ．三点确定一个平面 B ．一条直线和一个点确定一个平面 C ．梯形可确定一个平面D ．圆心和圆上两点确定一个平面3．设p ：“条件A 与条件B 互斥”，q ：“条件A 与条件B 互为对立事件”，则p 是q 的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分而不必要条件4．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为1和2），2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则该试验的样本空间所包含的基本事件的个数为（ ） A ．6B ．9C ．12D ．165．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l6．某路段检查站监控录像显示，在某时段内，有1000辆汽车通过该站，现在随机抽取其中的200辆汽车进行车速分析，分析的结果表示为如下图的频率分布直方图，则估计在这一时段内通过该站的汽车中速度不小于90/km h 的约有7．在空间，若60AOB AOC ∠=∠=︒，90BOC ∠=°，直线OA 与平面OBC 所成的角为θ，则cos θ=（ ）A B C ．12 D ．138．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差9．如图，在正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）A ．1A F 与1D E 不可能平行B ．1A F 与BE 是异面直线C ．点F 的轨迹是一条线段D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值二、填空题10．某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市__________家．11．一个古典概型的样本空间Ω和事件A 和B ，其中()24n Ω=，()12n A =，()8n B =，()16n A B ⋃=，则()P AB =______．12．已知平面,αβ和直线a ，b ,c ，////,,,a b c a b c αββ⊂⊂⊂，则α与β的位置关系是________.13．如表记录了一位大学生某个月在食品上面的消费金额（单位：元）则该组数据的第60%分位数为______．14．一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，则两次取到的球颜色相同的概率为______．15．在正四棱锥P ABCD中，已知侧棱和底面边长都等于2，E是AB的中点，则异面直线PE与BC所成角的余弦值为______．三、解答题16．某校为了解全校高中学生五一假期参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示.（1）求这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时的人数；（2）估计这100名学生参加实践活动时间的众数、中位数和平均数.17．甲、乙两位同学参加某高校的入学面试．入学面试中有3道难度相当的题目，已知甲答对每道题目的概率都是35，乙答对每道题目的概率都是12．若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第3次为止．假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人互不影响．（Ⅰ）求甲第二次答题通过面试的概率；（Ⅱ）求乙最终通过面试的概率；（Ⅲ）求甲、乙两人至少有一人通过面试的概率．-中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，18．如图，已知在四棱锥P ABCDAB=，E、F分别是AB、PD的中点．==，2PA AD1AF平面PEC；（Ⅰ）求证：//（Ⅱ）求PC与平面ABCD所成角的正弦值；--的正切值．（Ⅲ）求二面角P EC D参考答案1．D【分析】根据全面查得抽样调查的定义逐一判断即可【详解】A．了解一批玉米种子的发芽率适合抽样调查，故不符合题意；B．了解某城市居民的食品消费结构适合抽样调查，故不符合题意；C．调查一个县各村的粮食播种面积适合抽样调查，故不符合题意；D．调查一条河的水质适合全面调查，故符合题意；故选：D．2．C【分析】根据公理2对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查公理2的理解和运用，属于基础题.3．B【分析】根据对立事件和互斥事件的关系，即可容易判断充分性和必要性.【详解】因为对立一定互斥，互斥不一定对立.故命题p是命题q的必要不充分条件.故选：B.【点睛】本题考查命题之间的关系，涉及对立事件和互斥事件的联系，属综合基础题. 4．A 【分析】样本数量少，可以通过列举法. 【详解】解：由题意，该试验的样本空间所包含的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4共6个，故选：A ． 5．D 【详解】试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ． 考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 6．C 【详解】考点：频率分布直方图；随机抽样和样本估计总体的实际应用． 专题：计算题．分析：利用频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距求出所有范围的频率和，令其为1，求出速不小于90km/h 段的频率；利用频数等于频率乘以样本容量求出汽车的辆数． 解答：解：据频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距得到这段时间内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的频率为1-（0.01+0.002+0.04）×10=0.3 这段时间内通过该站的汽车中速度不小于90km/h 的约有 1000×0.3=300 故答案为C点评：本题考查频率分布直方图中的频率等于纵坐标乘以组距、考查频数等于频率乘以样本容量、考查所有的频率和为1． 7．A 【分析】取OA 上一点A ，作AH ⊥平面BOC 于H ，连接OH ，AOH ∠为直线OA 与平面BOC 所成的角，分别作HE OB ⊥，交OB 于点E ，HF OC ⊥，交OC 于点F ，由已知得OFH 为等腰直角三角形，由此能求出直线OA 与平面BOC 所成的角的余弦值． 【详解】解：如图，取OA 上一点A ，过点A 作AH ⊥平面BOC 于H ，连接OH ， 则AOH ∠为直线OA 与平面OBC 所成的角θ，分别作HE OB ⊥，交OB 于点E ，HF OC ⊥，交OC 于点F ， 连接AE 、AF ，得AE OB ⊥，AF OC ⊥， 因为60AOB AOC ∠=∠=︒，OEA OFA ∠=∠，OA OA =， 所以OEA OFA ≅△△，所以AE AF =，所以EH FH =，则OH 为BOC ∠的角平分线， 由90BOC ∠=°，可得45FOH ∠=︒，则45OFH ∠=︒， 所以OFH 为等腰直角三角形，令OF a =，则OH ，2OA a =，所以cos OH AOH OA ∠==即cos θ 故选：A ．8．A 【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤，中位数仍为5x ，∴A 正确． ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++，后来平均数234817x x x x x '=+++（）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确 ③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确． 【点睛】本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解. 9．A 【分析】设平面1D AE 与直线BC 交于G ，连接AG ，EG ，则G 为BC 的中点，分别取1B B ，11B C 的中点M ，N ，连接1A M ，MN ，1A N ，证明平面1//A MN 平面1D AE ，即可分析选项ABC 的正误；再由//MN EG ，得点F 到平面1D AE 的距离为定值，可得三棱锥1F ABD -的体积为定值判断D ． 【详解】解：设平面1D AE 与直线BC 交于G ，连接AG ，EG ， 则G 为BC 的中点，分别取1B B ，11B C 的中点M ，N ， 连接1A M ，MN ，1A N ， 如图，∵11//A M D E ，1A M平面1D AE ，1D E ⊂平面1D AE ，∴1//A M 平面1D AE ，同理可得//MN 平面1D AE ， 又1A M 、MN 是平面1A MN 内的两条相交直线，∴平面1//A MN 平面1D AE ，而1//A F 平面1D AE ，∴1A F ⊂平面1A MN ， 得点F 的轨迹为一条线段，故C 正确；并由此可知，当F 与M 重合时，1A F 与1D E 平行，故A 错误；∵平面1//A MN 平面1D AE ，BE 和平面1D AE 相交，∴1A F 与BE 是异面直线，故B 正确； ∵//MN EG ，则点F 到平面1D AE 的距离为定值，∴三棱锥1F ABD -的体积为定值，故D 正确． 故选：A ．10．20 【详解】试题分析：根据所给的三种超市的数目，相加得到共有的超市数目，根据要抽取的超市数目，得到每个个体被抽到的概率，用中等超市的数目乘以被抽到的概率，得到结果． 解：∵大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家， ∴共有超市200+400+1400=2000，∵按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本， ∴每个个体被抽到的概率是，∴中型超市要抽取400×=20家，故答案为20．点评：本题考查分层抽样，这是一个每年必考的题目，解题的关键是抽样过程中每个个体被抽到的概率相等． 11．16【分析】 由()()()n AB P AB n =Ω求解即可 【详解】∵()12n A =，()8n B =，()16n A B ⋃=， ∴()()()()4n AB n A n B n A B =+-⋃=， ∴()()()41246n AB P AB n ===Ω． 故答案为：16．12．平行或相交 【分析】可通过对两平面α，β位置关系分类讨论，研究符合题意的位置关系. 【详解】若α//β,可以保证存在直线a ,b ,c ,且a //b //c ，a ⊂α，b ，c ⊂β，故平行关系有可能； 若α∩β=l ,且a //b //c //l ,此种情况下也能保证存在直线a ,b ,c ,且a //b //c ，a ⊂α，b ，c ⊂β，故两面相交也有可能，由上讨论知，在题设条件下，α与β的关系是平行或相交， 故答案为：平行或相交. 【点睛】本题主要考查平面与平面的位置关系的判断，考查了分类讨论思想与空间想象能力，属于基础题. 13．32.5 【分析】根据题意可知该组数据的第60%分位数为从小到大排序后第18与19个数据的平均数，求出即可. 【详解】解：∵3060%18⨯=，∴该组数据的第60%分位数为从小到大排序后第18与19个数据的平均数，由上表知，小于30的数据有11个，有2个30，3个31，2个32，2个33，故第18与19个数据分别是32、33，故该组数据的第60%分位数为323332.52+=，故答案为：32.5．14．7 15【分析】先求出基本事件总数，再计算满足条件的事件数进而计算出概率.【详解】解：一个袋子中有4个红球，6个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出2个球，基本事件总数21010945 2n C ⨯===，两次取到的球颜色相同包含的基本事件个数2246436521 22m C C ⨯⨯=+=+=，则两次取到的球颜色相同的概率为2174515mPn===．故答案为：715．15【分析】取CD的中点N，连接EN，PN，再取EN的中点H，可得PEH∠为异面直线PE与BC所成角，即可求出.【详解】解：取CD的中点N，连接EN，PN，再取EN的中点H，易知H为P点在底面的投影，则有PH⊥平面ABCD，如图所示，∴//EF BC，∴PEH∠为异面直线PE与BC所成角，PE PN =2EN =，112122EH EN ==⨯=，在Rt PEH △中，cosEH PEH PE ∠==16．（1）58；（2）众数7，中位数2，平均数7.16【分析】(1)求出参加实践活动时间在6～10小时的人所占的频率,再求解人数即可.(2)根据最高矩形底边中点的横坐标计算众数,利用中位数左右两边的频率均为0.5以及平均数的算法求解即可.【详解】（1）100[1(0.040.120.05)2]58⨯-++⨯=，即这100名学生中参加实践活动时间在6～10小时的人数为58.（2）由频率分布直方图可以看出，最高矩形底边中点的横坐标为7，故这100名学生参加实践活动时间的众数的估计值为7小时.(0.040.12)20.32+⨯=；(0.040.120.15)20.62++⨯=，中位数t 满足68t <<.由0.32(6)0.150.5t +-⨯=，得 7.2t =，即这100名学生参加实践活动时间的中位数的估计值为2小时.由(0.040.120.150.05)21a ++++⨯=，解得 0.14a =.这100名学生参加实践活动时间的平均数的估计值为0.04230.125250.15270.14290.052117.16⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（小时）【点睛】本题主要考查了根据频率分布直方图求解对应区间内的频率与众数、中位数和平均数的方法,属于基础题型.17．（Ⅰ）625；（Ⅱ）78；（Ⅲ）124125. 【分析】（1）甲第二次答题通过面试，则第一次面试未通过，利用分步用乘法即可计算出概率. （2）利用对立事件求出乙最终未通过面试的概率，再用1减去未通过面试的概率即得通过的概率.（3）利用对立事件求出甲、乙两人都未通过面试的概率，再用1减去甲、乙两人都未通过面试的概率即得甲、乙两人至少有一人通过面试的概率.【详解】解：（Ⅰ）设甲第二次答题通过面试为事件A ，则()33615525p A ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设乙最终通过面试为事件B ，对立事件为乙最终没通过面试， ∵()11111112228p B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()17188p B =-=． （Ⅲ）设甲、乙两人至少有一人通过面试为事件C ，对立事件为甲、乙两人都没有通过面试， ∵()333111115558125p C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---⨯= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴()11241125125p C =-=．18．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ（Ⅲ【分析】 （Ⅰ）取PC 的中点O ，连接OE ，OF ，证明//AF OE ，原题即得证；（Ⅱ）连接AC ，PCA ∠即为直线PC 与平面ABCD 所成的角，再解三角形得解； （Ⅲ）作AM CE ⊥交CE 的延长线于点M ，连接PM ，则PM CE ⊥，所以PMA ∠即为二面角P EC D --的平面角，再解三角形得解.【详解】（Ⅰ）证明：取PC 的中点O ，连接OE ，OF ，则//OF DC ，且12OF DC =， 又E 为AB 的中点，在矩形ABCD 中，//AE DC 且12AE DC =， 所以//OF AE 且OF AE =，所以四边形AEOF 为平行四边形，则//AF OE ，又AF ⊄平面PEC ，OE ⊂平面PEC ，所以//AF 平面PEC ；（Ⅱ）解：连接AC ，因为PA ⊥平面ABCD ， 所以PCA ∠即为直线PC 与平面ABCD 所成的角，在Rt PAC △中，222PC PA AC =+，且AC =故sin PA PAC PC ∠=所以PC 与平面ABCD（Ⅲ）解：作AM CE ⊥交CE 的延长线于点M ，连接PM ，则PM CE ⊥， 所以PMA ∠即为二面角P EC D --的平面角，由AME CBE ∽△△，则AE CB AM CE ⋅=所以tan PA PMA AM ∠=故二面角P EC D --。
〖精选4套试卷〗天津市河西区2020年高一(上)数学期末质量跟踪监视模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log||n a .其中一定为等比数列的是（ ） A.①③B.②④C.②③D.①②2．如图，正方形ABCD 的边长为 2，,E F 分别为,BC CD 的中点，沿,,AE EF FA 将正方形折起，使,,B C D 重合于点O ，构成四面体A OEF -，则四面体A OEF -的体积为（ ）A ．13B ．23C ．12D ．563．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，则20a 等于（ ） A ．7B ．3C ．-1D ．14．若x y >，则下列不等式正确的是（ ） A.22x y >B.11x y< C.11()()99xy<D.ln ln x y >5．已知梯形ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，且2AD =，4BC =，2AB =.按照斜二测画法作出它的直观图''''A B C D ，则直观图''''A B C D 面积为( ) A.3B.22C.32D.3226．若函数2|1|1()2ln 1x f x x x e +=+-+，则不等式(31)(2)f x f ->的解集为（ ）A ．(1,1)-B ．(4,2)-C ．(,1)(1,)-∞-+∞UD ．(,4)(2,)-∞-+∞U7．函数ln ()x xf x x=的图像是（ ） A. B. C. D.8．已知函数2()sin(2)3f x x π=+,则下列结论错误的是( ) A.()f x 的一个周期为π- B.()f x 的图象关于直线56x =-π对称 C.()f x π+的一个零点为6π D.()f x 在区间(0,)3π上单调递减9．定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,,k a a a L 中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有A ．18个B ．16个C ．14个D ．12个10．如图是为了求出满足321000->n n 的最小偶数n ，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )A ．1000>A 和1=+n nB ．1000>A 和2=+n nC ．1000≤A 和1=+n nD ．1000≤A 和2=+n n11．有4个人同乘一列有10节车厢的火车，则至少有两人在同一车厢的概率为（ ） A.63125B.62125C.63250D.3112512．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为（ ）A ．2，5B ．5，5C ．5，8D ．8，8二、填空题13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，则84S S 的值是__________. 14．若()442xx f x =+，则121000100110011001f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L =_________ 15．已知直线:360l x +-=与圆2212x y +=交于,A B 两点，过,A B 分别作l 的垂线与x 轴交于,C D 两点，则||CD =_______.16．已知x y 、、z 均为正数，则2223xy yzx y z +++的最大值为______________.三、解答题17．已知在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，A 为锐角，且满足3b 5asinB =. （1）求2B Csin2A cos 2++的值； （2）若a 2=ΔABC 的面积为32，求b,c .18．如图,在△ABC 中,AB=8,AC=3,∠BAC=60°,以点A 为圆心,r=2为半径作一个圆,设PQ 为圆A 的一条直径.(1)请用,AP AB u u u r u u u r 表示BP u u u r,用,AP AC u u u r u u u r 表示CQ uuu r ;(2)记∠BAP=θ,求·BP CQ u u u r u u u r的最大值.19．如图，在四边形ABCD 中，4,2AD AB ==．（1）若△ABC 为等边三角形，且AD BC ∥，E 是CD 的中点，求AE BD ⋅u u u r u u u r；（2）若AC AB =，3cos 5CAB ∠=，45AC BD ⋅=u u ur u u u r ，求||DC u u u r ．20．已知全集U R =，集合{|11}A x x =-<<， {|248}xB x =≤≤， {|427}C x a x a =-<≤-. （1）()U C A B ⋂；（2）若A C C ⋂=，求实数a 的取值范围. 21．设函数（且）是定义域为的奇函数.（1）若，试求不等式的解集； （2）若，且，求在上的最小值.22．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC . 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 D A D C D C B B C D B C13．10 14．500 15．4 16．10 三、解答题17．（Ⅰ）5350 （Ⅱ） 5b c == 18．（1）BP AP AB CQ AP AC =-=--u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，；（2）22.19．（1）11；（2）285。
天津市河西区2020_2021学年高一数学上学期期中试题含解析
17.已知函数 ．
（1）若函数 满足 ，求 的值；
（2）若函数 在 上具有单调性，求实数k的取值范围．
————（1） ；（2） ．
分析：（1）根据 求出函数的对称轴，得到关于 的方程，解出即可；
又函数 在 为减函数，则在 为减函数，由题意画出 的草图如下，
因为 ，所以 与 同号，
所以 或
所以 或
解得 或 ，
故选：D
9.已知函数 是 上的增函数， ， 是其图象上的两点，那么 的解集的补集是（）
A. B.
C. D.
————D
分析：因为 ， 是函数 图象上的两点，可知 ， ，所以不等式 可以变形为 ，即 ，再根据函数 是 上的增函数，去函数符号，得 ，解出x的范围就是不等式 的解集 ，最后求 在 中的补集即可．
A.若 ，则 B.若 ，则
C.若 ，则 D.若 ，则
————B
分析：
对于A，C，D均可举出反例说明其不正确，对于B依据不等式的性质可得解.
解答：当 时，A显然不成立；
若 时，则 ，即B正确；
当 时， ，显然C不成立；
当 时， ， ，显然D不成立；
故选：B.
点拨：本题主要考查不等式比较大小，属于基础题.
（1）求 的取值范围；
（2）求 的最小值，并求取得最小值时 的值．
————（1） ；（2） ， 时， 取得最小值9．
分析：（1）由已知结合基本不等式 即可求解；
（2）由已知可利用 表示 ，代入所求式子后进行分离，然后结合基本不等式可求．
解答：（1） ，当且仅当 时取等号，
天津市七校2022-2023学年数学高一上期末教学质量检测试题含解析
f
x
2 x 1 1 2x
1 3
，则函数
y
[
f
(x)]的值域是
A.0,1
B.1,1
C. 1, 0
D. 1, 0,1
10．四面体 S ABC 中，各个侧面都是边长为 a 的正三角形，E, F 分别是 SC 和 AB 的中点，则异面直线 EF 与 SA 所
成的角等于（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
所以 2 A， 4 A ，3 A，0,3 A，
故选：C 6、A
【解析】
f
2
1 2
2
4，
f
4
log2
4
2.
7、B
【解析】原式
故选
8、C
【解析】由对数函数的性质以及根式的性质列不等式组，即可求解.
【详解】由题意可得
解得
，
所以原函数的定义域为 ，
故选：C 9、D
【解析】化简函数
f
x
2 x 1 1 2x
∴ 31 cosA 1 ，∴ cosA 1 ，
3
9
∵ AD
AB
AC
且 D 在 BC 上，
AB AC
∴线段
AD
为
ABC
的角平分线，∴
AB AC
BD CD
3，
CB
4CD
以
A
为原点，如图建立平面直角坐标系，则
B
3,
0，C
1 9
，4
5 9
，D
2 3
，5 3
∴ AD
2 3
2
e
1 2
2
5 2
故选 D
2020-2021学年天津市河西区高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年天津市河西区高一（上）期末数学试卷一、选择题（共9小题）.1．（4分）﹣510°是第（）象限角．A．一B．二C．三D．四2．（4分）设a＞0，则下列运算正确的是（）A．B．C．D．3．（4分）已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝，x＞1}，则A∩B＝（）A．B．{y|0＜y＜1}C．D．∅4．（4分）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的弧长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm5．（4分）若x∈（0，1），则下列结论正确的是（）A．B．C．D．6．（4分）在下列区间中，函数f（x）＝e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．B．C．D．7．（4分）已知α∈（0，π），sinα+cosα＝，则cos2α＝（）A．±B．C．﹣D．±8．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时9．（4分）已知函数的最小正周期为π，f（x）的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增，则函数g（x）＝2cos（ωx+φ）在区间上的值域为（）A．[﹣，2]B．[﹣1，2]C．[﹣2，1]D．[﹣，1]二、填空题（共6小题）.10．（5分）＝．11．（5分）若log2[log3（log4x）]＝0，则x＝．12．（5分）将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍，则所得图象的函数解析式为．13．（5分）若函数y＝a x（a＞0，且a≠1），在[2，3]上的最大值比最小值大，则a＝．14．（5分）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin（ω+φ）+b则在6≤x≤14时这段曲线的函数解析式是．（不要求写定义域）15．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则实数a取值范围是．三、解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（10分）已知，．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．17．（12分）已知函数（m∈R）是奇函数．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求不等式的解集．18．（12分）已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）讨论f（x）在区间上的单调性；参考答案一、选择题（共9小题）.1．（4分）﹣510°是第（）象限角．A．一B．二C．三D．四解：由于﹣510°＝﹣360°×2+210°的终边落在第三象限，故﹣510°是第三象限角，故选：C．2．（4分）设a＞0，则下列运算正确的是（）A．B．C．D．解：因为＝，故选项A错误；，故选项B正确；，故选项C错误；，故选项D错误．故选：B．3．（4分）已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝，x＞1}，则A∩B＝（）A．B．{y|0＜y＜1}C．D．∅解：由题意可得：，∴．故选：A．4．（4分）已知扇形的周长为12cm，圆心角为4rad，则此扇形的弧长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm解：因为圆心角α＝4，设扇形的弧长为l，所以l＝4r，因为扇形的周长是12，所以l+2r＝4r+2r＝12，解得r＝2，所以l＝4×2＝8．5．（4分）若x∈（0，1），则下列结论正确的是（）A．B．C．D．解：∵x∈（0，1），∴lgx＜lg1＝0，，2x＞20＝1，∴，故选：D．6．（4分）在下列区间中，函数f（x）＝e x+4x﹣3的零点所在的区间为（）A．B．C．D．解：∵函数f（x）＝e x+4x﹣3，∴f′（x）＝e x+4＞0，∴函数f（x）＝e x+4x﹣3在（﹣∞，+∞）上为增函数，∵f（）＝+1﹣3＜0，f（）＝+2﹣3＝﹣1＞0，∴f（）•f（）＜0，∴函数f（x）＝e x+4x﹣3的零点所在的区间为（，）故选：C．7．（4分）已知α∈（0，π），sinα+cosα＝，则cos2α＝（）A．±B．C．﹣D．±解：∵α∈（0，π），sinα+cosα＝，1+2sinαcosα＝，即sinαcosα＝﹣，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα＝，cosα＝，则cos2α＝1﹣2sin2α＝﹣，8．（4分）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：℃）满足函数关系y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是（）A．16小时B．20小时C．24小时D．28小时解：y＝e kx+b（e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数）．当x＝0时，e b＝192，当x＝22时e22k+b＝48，∴e22k＝＝e11k＝e b＝192当x＝33时，e33k+b＝（e11k）3•（e b）＝（）3×192＝24故选：C．9．（4分）已知函数的最小正周期为π，f（x）的图象关于y轴对称，且在区间上单调递增，则函数g（x）＝2cos（ωx+φ）在区间上的值域为（）A．[﹣，2]B．[﹣1，2]C．[﹣2，1]D．[﹣，1]解：函数＝2sin （ωx+φ+）的最小正周期为＝π，∴ω＝2，f（x）＝2sin（2x+φ+）．f（x）的图象关于y轴对称，∴φ+＝kπ+，k∈Z．∵f（x）在区间上单调递增，可以令φ＝﹣，此时，f（x）＝﹣2cos2x．函数g（x）＝2cos（ωx+φ）＝2cos（2x﹣）．在区间上，2x﹣∈[﹣，]，cos（2x﹣）∈[﹣，1]，g（x）∈[﹣，2]，即g（x）的值域为[﹣，2]，二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中横线上.10．（5分）＝．解：＝＝．故答案为：．11．（5分）若log2[log3（log4x）]＝0，则x＝64．解：∵log2[log3（log4x）]＝0，∴log3（log4x）＝1，∴log4x＝3，∴x＝43＝64．故答案为：64．12．（5分）将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍，则所得图象的函数解析式为y＝sin（4x+）．解：将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度，可得y＝2sin（2x+）的图象；再将图象上每个点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍，则所得图象的函数解析式y＝sin（4x+），故答案为：y＝sin（4x+）．13．（5分）若函数y＝a x（a＞0，且a≠1），在[2，3]上的最大值比最小值大，则a＝或．解：∵函数y＝a x（a＞0，且a≠1），在[2，3]上的最大值比最小值大，当a＞1时，函数为增函数，∴a3﹣a2＝，求得a＝；当0＜a＜1时，函数为减函数，∴a2﹣a3＝，求得a＝，故答案为：或．14．（5分）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y＝A sin（ω+φ）+b则在6≤x≤14时这段曲线的函数解析式是y＝10sin（x﹣）+20．（不要求写定义域）解：由图可知，A＝（30﹣10）＝10，T＝2（14﹣6）＝16，b＝20，∴ω＝＝＝，∵点（10，20）在函数的图象上，∴10sin（×10+φ）+20＝20，即有sin（+φ）＝0，∴可解得：+φ＝kπ，k∈Z，不妨取k＝0，则有φ＝﹣，∴这段曲线的函数解析式是y＝10sin（x﹣）+20，故答案为：y＝10sin（x﹣）+20．15．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则实数a取值范围是[﹣1，+∞）．解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故答案为：[﹣1，+∞）．三、解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（10分）已知，．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．解：（Ⅰ）∵，，∴tan2α＝＝﹣．（Ⅱ）由tanα＝﹣，可得＝＝＝．（Ⅲ）∵sin2α＝＝＝﹣，cos2α＝＝＝＝，∴＝sin2αcos﹣cos2αsin＝﹣×﹣×＝﹣．17．（12分）已知函数（m∈R）是奇函数．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）求不等式的解集．解：（Ⅰ）因为函数（m∈R）是奇函数，则有f（0）＝0，解得m＝；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，，所以，则不等式可变形为f（x2﹣x）＜﹣f（﹣2），又f（x）为奇函数，所以f（x2﹣x）＜f（2），因为f（x）在R上为单调递减函数，则有x2﹣x＞2，解得x＜﹣1或x＞2，故不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞2}．18．（12分）已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）讨论f（x）在区间上的单调性；解：（1），∴T＝π；（2）依题意，令，解得，∴f（x）的单调递增区间为；设，易知，∴当时，f（x）在区间上单调递增，区间上单调递减．。
2023-2024学年天津市河西区高一上册期末数学试题(含解析)
2
2
2
2
3
sin
2 x
π 3
，
所以 T π ；
【小问 2 详解】
故选：C.
7. 设 a ， b ， c 都是正数，且 3a 4b 6c ，那么（ ）
A. 1 1 1
B. 2 2 1
C. 1 2 2
D.
c ab
c ab
c ab
212 c ab
【正确答案】B
【分析】令 3a 4b 6c M ，根据指数与对数的关系将指数式化为对数式，再由换底公
式及对数的运算法则计算可得.
因为
f
( 4
)
2 sin 4
1 | |
2 1
0 ，所以排除 C
4
4
故选：A
本题主要考查了函数图像的识别，属于中等题.
9.
下述四条性质：①最小正周期是 π ，②图象关于直线 x
π 3
对称，③图象关于点
π 12
,
0
对
称，④在
-
π 6
,
π 3
上是增函数.下列函数同时具有上述性质的一个函数是（
所以 为第二象限角， tan 0 ，
1
由三角函数的定义可得 tan
2 3
3 3 ，故答案为
3. 3
2
本题主要考查任意角的正切函数值,意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.
12. 函数 y log0.5 4x 3 的定义域为_________.
【正确答案】{x | 3 x 1} 4
32 42
logM 144 ，
所以 1 2 2 ，故 C 错误； c ab
对于
D：
1 a
天津市2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析) (2)
高一数学上学期期末考试试题（含解析）一､选择题1.下列运算正确的是（ ） A. 2332a a a =B. 2332a a a ÷=C. 1220a a -=D.212a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据指数幂的运算公式，逐个检验，即可求出结果. 【详解】对于A ，22313333262a a a a +==，故A 错误； 对于B ，3123221a a a a --÷==，故B 错误； 对于C ，11322222=a a a a ---=，故C 错误；对于D ，211222a a a ⨯⎛⎫= ⎝⎭=⎪，故D 正确；故选：D.【点睛】本题主要考查指数幂的运算公式，属于基础题.2.已知幂函数()y f x =的图象过点2（，则函数()f x 的解析式为（ ） A. 2()f x x =B. 12()f x x =C. 12()f x x -=D.2()f x x -=【答案】B 【解析】 【分析】设出函数的解析式，根据幂函数y ＝f （x ）的图象过点(2，构造方程求出指数a 的值，即可得到函数的解析式．【详解】解：设幂函数的解析式为y ＝x a ，∵幂函数y ＝f （x）的图象过点(2，=2a， 解得a 12=∴12()f x x = 故选B ．【点睛】本题考查的知识点是函数解析式的求法，其中对于已经知道函数类型求解析式的问题，要使用待定系数法，属于基础题．3.函数()()()log 120,1a f x x a a =-+>≠恒过定点（ ） A. ()2,2 B. ()2,3C. ()1,0D. ()2,1【答案】A 【解析】 【分析】根据对数函数()()log 0,1a f x x a a =>≠必过定点()10，，即可求出结果. 【详解】由对数函数的性质可知，当2x =时，函数()()()log 120,1a f x x a a =-+>≠恒过定点()2,2.故选：A.【点睛】本题主要考查了对数函数的性质，熟练掌握对数函数()()log 0,1a f x x a a =>≠必过定点()10，是解决本题的关键. 4.函数2x y -=-与2xy =的图象（ ） A. 关于x 轴对称 B. 关于y 轴对称 C. 关于原点对称 D. 关于直线y=x 对称【答案】C 【解析】 【分析】令()2x f x =，则()2xf x ---=-，由()y f x =与()y f x =--图象关于原点对称即可得解.【详解】解：令()2x f x =，则()2xf x ---=-()y f x =与()y f x =--的图象关于原点对称，2x y -∴=-与2x y =的图象关于原点对称.故选：C【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题. 5.已知α是锐角,那么2α是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 小于180︒的正角 D. 不大于直角的正角【答案】C 【解析】 【分析】根据α是锐角，得出2α的取值范围是()0,π，再判定2α的终边位置即可． 【详解】∵α是锐角，即090α<<︒，∴02180α<<︒. 所以2α是小于180︒的正角．故选：C ．【点睛】本题考查象限角的概念及判定，任意角的概念．得出2α的取值范围是关键． 6.已知tan 2α=,则sin cos 2cos ααα-的值为（ ）A. 2B. 12C. -2D. 12-【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意，对sin cos 2cos ααα-分子和分母同时除以cos α，利用sin tan cos ααα=，可将原式化简成tan 12α-，由此即可求出结果. 【详解】由题意可知，sin cos tan 112cos 22αααα--==，故选：B. 【点睛】本题主要考查了同角的基本关系的应用，熟练掌握和应用sin tan cos ααα=是解题关键，属于基础题.7.已知2log 3a =,3log 2b =,13log 9c =,则a ,b,c 的大小关系为（ ）A. c b a <<B. b a c <<C. a b c <<D. a c b <<【答案】A 【解析】 【分析】利用对数的两个重要公式()log 1,0,1log 10a aa a a =⎧>≠⎨=⎩，可知10a b c >>>>，据此即可求出结果.【详解】因为22log 3log 2=1a =>，3330log 1log 2log 31=<<=， 所以1a >，01b <<,0c <，所以c b a <<.故选：A.【点睛】本题主要考查了对数的大小比较以及对数函数单调性的应用，属于基础题.8.为了得到函数2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,只需将函数2sin 2y x =图象上所有的点（ ）A. 向左平行移动4π个单位 B. 向右平行移动4π个单位 C. 向左平行移动8π个单位 D. 向右平行移动8π个单位 【答案】C 【解析】 【分析】由条件根据函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，可得结论． 【详解】因为2sin 22sin 248y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故要得到2sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象， 只需将函数2sin 2y x =的图象向左平移8π个单位长度即可；故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，属于基础题． 9.在ABC ∆中,tan tan tan A B A B ++=,则角C 等于( )A.6π B.3π C.23π D.56π 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和公式可得()tan tan tan ,1tan tan A BA B A B++=- 以及诱导公式可知()()tan tan tan A B C C π+=-=- ，可得tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，据此即可求出结果.【详解】由两角和公式可得()tan tan tan ,1tan tan A BA B A B++=-由诱导公式可知()()tan tan tan A B C C π+=-=- ，所以tan tan tan 1tan tan A BC A B+=--，可知tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，又tan tan tan A B A B ++=，所以tan C ()0,C π∈，所以3=C π.故选：B.【点睛】本题主要考查了三角函数的两角和的正切公式以及诱导公式的应用，属于基础题. 二､填空题10.求值:()2log lg10=______. 【答案】0 【解析】 【分析】利用对数的两个重要公式()log 1,0,1log 10a aa a a =⎧>≠⎨=⎩，即可求出结果.【详解】()22log lg10log 10==. 故答案为: 0.【点睛】本题主要考查了对数的两个重要公式()log 1,0,1log 10a aa a a =⎧>≠⎨=⎩的应用，属于基础题.11.求值:2cos 3π=______. 【答案】12- 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式()cos cos παα-=-，即可求出结果. 【详解】21coscos cos 3332ππππ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭.故答案为：12-. 【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式()cos cos παα-=-的用法，属于基础题. 12.求值:sin72cos18cos72sin18︒︒+︒︒=______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式，即可求出结果.【详解】()sin72cos18cos72sin18sin 7218=sin90=1︒︒+︒︒=︒+︒︒. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查两角和的正弦公式，属于基础题. 13.函数()3sin 5πα+=,3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则cos α=______.【答案】45- 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式()sin +=sin παα-，可得3sin 5α=-，再根据3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即可求出结果.【详解】因为()3sin 5πα+=， ()sin +=sin παα-，所以3sin 5α=-，又3,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以4cos 5α=-. 故答案为：45-. 【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式以及同角的基本关系，属于基础题.14.1232e 2(){log (1)2x x f x x x ，，-<=-≥，则f （f （2））的值为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】先求f （2），再根据f （2）值所在区间求f （f （2））.【详解】由题意，f （2）=log 3（22–1）=1，故f （f （2））=f （1）=2×e 1–1=2，故答案为2．【点睛】本题考查分段函数求值，考查对应性以及基本求解能力.15.已知函数()(0,1)xf x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += .【答案】32- 【解析】若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质. 【此处有视频，请去附件查看】三､解答题 16.已知4sin 5α,且α是第二象限角. (1)求sin 2α的值; (2)求cos 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）2425-（2）10- 【解析】 分析】（1）根据题意以及同角基本关系可知3cos 5α=-，再利用二倍角公式即可求出结果； （2）根据（1）的结果利用两角和余弦公式，即可求出结果. 【详解】(1)∵4sin 5α,α是第二象限角,∴3cos 5α==-,∴4324sin 22sin cos 25525ααα⎛⎫==⨯⨯-=- ⎪⎝⎭.(2)∴cos cos cos sin sin 444πππααα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭43525210=-⨯-⨯=-. 【点睛】本题主要考查了三角函数同角基本关系和两角和的余弦公式，属于基础题.17.已知函数()1sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调区间;(2)求函数()f x 取得最大值时的x 集合.【答案】（1）5114,433k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈（2）5|4,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】（1）由条件利用正弦函数的单调性，求得函数的单调区间．（2）利用正弦函数的定义域和值域，求得函数取得最大值，以及此时的自变量x 的值．【详解】(1)()f x 在R 上的增区间满足:1222232k x k πππππ-+≤-≤+,k Z ∈,∴1522626k x k ππππ-+≤≤+,解得:54433k x k ππππ-+≤≤+,k Z ∈, 所以单调递增区间为54,433k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈, 单调递增区间为5114,433k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦,k Z ∈.(2)()max 12sin 223x f x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，令：12232x k πππ-=+,k Z ∈，解得：543x k ππ=+,k Z ∈， 函数()f x 取得最大值的x 集合为:5|4,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭. 【点睛】本题主要考查正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，属于基础题． 18.已知函数()()()lg 1lg 1f x x x =--+.(1)求函数的()f x 定义域;(2)判断函数()f x 的奇偶性,并用定义证明你的结论. 【答案】（1）()1,1-（2）()f x 是奇函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的性质进行求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义进行判断．【详解】(1)由1010x x ->⎧⎨+>⎩,解得11x x >-⎧⎨<⎩,∴11x -<<,∴函数()f x 的定义域()1,1-.(2)函数()f x 是奇函数.证明:由(1)知定义域关于原点对称.因为函数()()()lg 1lg 1f x x x =--+. ∵()()()()lg 1lg 1f x x x f x -=+--=-， 所以函数()f x 是奇函数.【点睛】本题主要考查函数定义域，奇偶性的判断，利用定义法是解决本题的关键． 19.已知函数()44cos 2sin cos sin x x x f x x =+-.(1)求函数()f x 的最小正周期; (2)求函数()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值.【答案】（1）π（2）最小值-1 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的同角基本关系、二倍角公式和辅角公式，对解析式化简，可得()24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据周期公式即可求出结果；（2）根据,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦．利用正弦函数的定义域和值域求得函数()f x 的最小值和最大值． 【详解】(1)()44cos sin 2sin cos x x x x x f =-+()()2222cos sin cos sin 2sin cos x x x x x x =+-+cos 2sin 224x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭,∴()f x 的最小正周期22T ππ==;(2)在闭区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上,32,444x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦,故当242x ππ+=时,函数()f x 取得最大值,当244x ππ+=-时,函数()f x 取得最小值为-1.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．。
2020-2021学年天津市河西区高一上学期期中数学试卷(Word版 含解析)
2020-2021学年天津市河西区高一（上）期中数学试卷一、选择题（共9小题）.1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩（∁U B）＝（）A．{5}B．{2，4}C．{2，4，5，6}D．{1，2，3，4，5，7}2．（4分）设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边成比例”，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（4分）命题p：“∃n∈N，则n2＞2n”的否定是（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∀n∈N，n2＜2n 4．（4分）下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＜5．（4分）一元二次不等式﹣x2+2x﹣3＞0的解集是（）A．∅B．（﹣3，1）C．（﹣1，3）D．（﹣3，﹣1）6．（4分）下列函数中与函数y＝x相等的函数是（）A．B．C．D．7．（4分）函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|的最大值和最小值分别是（）A．4和0B．4和﹣4C．0和﹣4D．既无最大值，也无最小值8．（4分）已知奇函数y＝f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）＝0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|﹣3＜x＜1或x＞2}C．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}D．{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3}9．（4分）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜1的解集的补集是（）A．（﹣1，2）B．（1，4）C．（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）二、填空题（共6小题）.10．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁A（A∪B）＝．11．幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（x）的解析式为．12．函数f（x）＝的定义域是．13．已知实数x＞0，则2﹣3x﹣的最大值是．14．若不等式ax2+2x+a＜0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是．15．已知函数f（x）是定义在[﹣2b，b+1]上的偶函数，且在[﹣2b，0]上单调递增，则f（x ﹣1）≤f（2x）的解集为．三、解答题：本大题共3小题，共34.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（10分）已知a，b＞0，且ab＝a+b+3．（Ⅰ）求ab的取值范围；（Ⅱ）求4a+b的最小值，并求取得最小值时a，b的值．17．（12分）已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8．（Ⅰ）若函数f（x）满足f（x﹣）＝f（﹣x﹣），求k的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围．18．（12分）某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h．（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价））参考答案一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩（∁U B）＝（）A．{5}B．{2，4}C．{2，4，5，6}D．{1，2，3，4，5，7}【分析】由全集U及集合B，找出不属于B的元素，确定出B的补集，找出A和B补集的公共元素，即可确定出所求的集合．解：∵全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{1，3，5，7}，∴∁U B＝{2，4，6}，又A＝{2，4，5}，则A∩（∁U B）＝{2，4}．故选：B．2．（4分）设p：“两个三角形相似”，q：“两个三角形的三边成比例”，则p是q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据所给命题，判断出能否得到p⇔q，从而得到p是否为q的充要条件，得到答案．解：两个三角形相似⇔两个三角形的三边对应成比例，故p是q的充要条件，故选：C．3．（4分）命题p：“∃n∈N，则n2＞2n”的否定是（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∀n∈N，n2＜2n 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．解：命题为特称命题，则命题p：“∃n∈N，则n2＞2n”的否定是：∀n∈N，n2≤2n，故选：C．4．（4分）下列不等式中成立的是（）A．若a＞b＞0，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＜【分析】利用不等式的基本性质即可得出．解：A．c＝0时不成立；B．成立．C．a＜b＜0，则a2＞ab＞b2．因此不成立．D．a＜b＜0，则＞．因此不成立．故选：B．5．（4分）一元二次不等式﹣x2+2x﹣3＞0的解集是（）A．∅B．（﹣3，1）C．（﹣1，3）D．（﹣3，﹣1）【分析】配方，可得﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2＜0，从而得解．解：因为﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2≤﹣2＜0恒成立，所以不等式的解集为∅．故选：A．6．（4分）下列函数中与函数y＝x相等的函数是（）A．B．C．D．【分析】分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．解：对于A，函数y＝＝|x|的对应法则与y＝x不相同，不是相等函数；对于B，函数y＝＝x（x∈R），定义域和对应法则与y＝x相同，是相等函数；对于C，函数y＝＝x（x≥0），定义域与y＝x不相同，不是相等函数；对于D，函数f（x）＝＝x（x≠0），定义域与y＝x不相同，不是相等函数．故选：B．7．（4分）函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|的最大值和最小值分别是（）A．4和0B．4和﹣4C．0和﹣4D．既无最大值，也无最小值【分析】通过对x＜﹣1，当﹣1≤x≤3与x＞3的讨论，将函数f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|中的绝对值符号去掉，求得该函数的值域，从而可得答案．解：∵f（x）＝|x﹣3|﹣|x+1|，∴当x＜﹣1时，x﹣3＜﹣4＜0，x+1＜0，f（x）＝﹣（x﹣3）﹣[﹣（x+1）]＝3﹣x+x+1＝4；当﹣1≤x≤3时，x﹣3≤0，x+1≥0，f（x）＝﹣（x﹣3）﹣（x+1）＝﹣x+3﹣x﹣1＝﹣2x+2；∴f（x）在x＝﹣1时取最大值f（x）max＝﹣2×（﹣1）+2＝4；在x＝3时取最小值f（x）min＝﹣2×3+2＝﹣4；当x＞3时，x﹣3＞0，x+1＞0，f（x）＝（x﹣3）﹣（x+1）＝﹣4；终上所述：f（x）＝．其值域是[﹣4，4]，即最小值是﹣4，最大值是4．故选：B．8．（4分）已知奇函数y＝f（x）在（﹣∞，0）为减函数，且f（2）＝0，则不等式（x﹣1）f（x﹣1）＞0的解集为（）A．{x|﹣3＜x＜﹣1}B．{x|﹣3＜x＜1或x＞2}C．{x|﹣3＜x＜0或x＞3}D．{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3}【分析】首先由奇函数的图象关于原点对称及f（x）在（﹣∞，0）为减函数且f（2）＝0画出f（x）的草图，然后由图形的直观性解决问题．解：由题意画出f（x）的草图如下，因为（x﹣1）f（x﹣1）＞0，所以（x﹣1）与f（x﹣1）同号，由图象可得﹣2＜x﹣1＜0或0＜x﹣1＜2，解得﹣1＜x＜1或1＜x＜3，故选：D．9．（4分）已知函数f（x）是R上的增函数，A（0，﹣1），B（3，1）是其图象上的两点，那么|f（x+1）|＜1的解集的补集是（）A．（﹣1，2）B．（1，4）C．（﹣∞，﹣1）∪[4，+∞）D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）【分析】因为A（0，﹣1），B（3，1）是函数f（x）图象上的两点，可知f（0）＝﹣1，f（3）＝1，所以不等式|f（x+1）|＜1可以变形为﹣1＜f（x+1）＜1，即f（0）＜f（x+1）＜f（3），再根据函数f（x）是R上的增函数，去函数符号，得0＜x+1＜3，解出x的范围就是不等式|f（x+1）|＜1的解集M，最后求M在R中的补集即可．解：不等式|f（x+1）|＜1可变形为﹣1＜f（x+1）＜1，∵A（0，﹣1），B（3，1）是函数f（x）图象上的两点，∴f（0）＝﹣1，f（3）＝1，∴﹣1＜f（x+1）＜1等价于不等式f（0）＜f（x+1）＜f（3），又∵函数f（x）是R上的增函数，∴f（0）＜f（x+1）＜f（3）等价于0＜x+1＜3，解得﹣1＜x＜2，∴不等式|f（x+1）|＜1的解集M＝（﹣1，2），∴其补集∁R M＝（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）．故选：D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分请将答案填在题中横线上.10．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，则∁A（A∪B）＝∅．【分析】根据条件先求出A∪B，然后再求出∁A（A∪B）即可．解：∵A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，∴A∪B＝{x|2＜x＜10}，∴∁A（A∪B）＝∅．故答案为：∅．11．幂函数y＝f（x）的图象过点（2，），则f（x）的解析式为．【分析】由题意设幂函数y＝f（x）＝x a，从而解得a．解：设y＝f（x）＝x a，则2a＝，故a＝﹣，故答案为：．12．函数f（x）＝的定义域是[4，5）∪（5，+∞）．【分析】利用分式的分母不等于0．偶次根式的被开方数大于或等于0，解方程组求得自变量的取值范围．解：由，解可得x≥4 且，x≠±5，故函数的定义域为[4，5）∪（5，+∞），故答案为[4，5）∪（5，+∞）．13．已知实数x＞0，则2﹣3x﹣的最大值是2﹣2．【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解．解：x＞0，则2﹣3x﹣＝2﹣（3x+）＝2﹣2，当且仅当3x＝即x＝时取等号，此时取得最大值2﹣2．故答案为：2﹣2．14．若不等式ax2+2x+a＜0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1）．【分析】依题意可得a＜0且4﹣4a2＜0，解之即可得到答案．解：∵不等式ax2+2x+a＜0对任意x∈R恒成立，∴a＜0且4﹣4a2＜0，解得：a＜﹣1．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1），故答案为：（﹣∞，﹣1）．15．已知函数f（x）是定义在[﹣2b，b+1]上的偶函数，且在[﹣2b，0]上单调递增，则f（x ﹣1）≤f（2x）的解集为{x|﹣1≤x≤}．【分析】由偶函数定义域的对称性可求b＝﹣1，从而可得f（x）在[﹣2，0]上为增函数，在[0，2]上为减函数，距离对称轴越远，函数值越小，将不等式转化为|x﹣1|≥|2x|，且﹣2≤x﹣1≤2，﹣2≤2x≤2，解之即可得结论．解：∵f（x）是定义在[﹣2b，b+1]上的偶函数，∴（﹣2b）+b+1＝0，解得b＝1，∴函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，∵f（x）在[﹣2，0]上单调递增，∴f（x）在[0，2]上单调递减，距离对称轴越远，函数值越小，由f（x﹣1）≤f（2x）可得|x﹣1|≥|2x|，且﹣2≤x﹣1≤2，﹣2≤2x≤2，解得﹣1≤x≤，故不等式的解集为{x|﹣1≤x≤}．故答案为：{x|﹣1≤x≤}．三、解答题：本大题共3小题，共34.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16．（10分）已知a，b＞0，且ab＝a+b+3．（Ⅰ）求ab的取值范围；（Ⅱ）求4a+b的最小值，并求取得最小值时a，b的值．【分析】（I）由已知结合基本不等式a+b即可求解，（II）由已知可利用b表示a，代入所求式子后进行分离，然后结合基本不等式可求．解：（I）ab＝a+b+3，当且仅当a＝b时取等号，解得≥3或≤﹣2（舍），故ab≥9，（II）∵a，b＞0，且ab＝a+b+3，∴b＝＞0，∴a＞1，∴4a+b＝4a+＝4a+＝1+4a+＝5+4（a﹣1）+＝13，当且仅当4（a﹣1）＝即a＝2时取等号，此时4a+b取得最小值9．17．（12分）已知函数f（x）＝4x2﹣kx﹣8．（Ⅰ）若函数f（x）满足f（x﹣）＝f（﹣x﹣），求k的值；（Ⅱ）若函数f（x）在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的对称轴，得到关于k的方程，解出即可；（Ⅱ）根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可．解：（Ⅰ）若函数f（x）满足f（x﹣）＝f（﹣x﹣），故对称轴是x＝＝﹣＝，解得：k＝﹣4；（Ⅱ）由题意得：≤5，或≥20，解得：k≤40或k≥160，故实数k的取值范围是（﹣∞，40]∪[160，+∞）．18．（12分）某地区上年度电价为0.8元/kW•h，年用电量为akW•h，本年度计划将电价降到0.55元/kW•h至0.75元/kW•h之间，而用户期望电价为0.4元/kW•h经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为K）．该地区电力的成本为0.3元/kW•h．（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？（注：收益＝实际用电量×（实际电价﹣成本价））【分析】（1）先根据题意设下调后的电价为x元/kw•h，依题意知用电量增至，电力部门的收益即可；（2）依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．解：（1）：设下调后的电价为x元/kw•h，依题意知用电量增至，电力部门的收益为（2）依题意有（9分）整理得解此不等式得0.60≤x≤0.75答：当电价最低定为0.6元/kw•h仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．。
天津市2020年高一上学期期末考试数学试题
第一学期期末考试 高一年级数学学科试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分共100分，考试用时100分钟．第I 卷（选择题 共40分）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的4个选项中，只有一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上．．．．．．．．．． 1.105sin 15cos 75cos 15sin +等于A. 0B. 1C.23 D. 212. 把函数x y cos =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），然后把图象向左平移4π个单位，则所得图象对应的函数解析式为 A. )421cos(πx y += B. )42cos(πx y +=C. )821cos(πx y +=D. )22cos(πx y +=3. 7.03=a ,37.0=b ,7.0log 3=c ,则c b a ,,的大小关系是A. b a c <<B. a c b <<C. a b c <<D. c a b <<4．设R ϕ∈,则“=0ϕ”是“()=cos(+)f x x ϕ()x R ∈为偶函数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数, 且在区间[0,)+∞单调递增. 若实数a 满足212(log )(log )2(1)f a f f a ≤+, 则a 的取值范围是A ．[1,2]B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．(0,2]D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦6. 在ABC ∆中，若tan tan tan A B A B ++=⋅，且sin cos B B ⋅=， 则ABC ∆的形状为A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等边三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形7．若02πα<<，02πβ<<-，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，cos 42πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭AB． CD．- 8.已知函数22()4sin sin ()2sin 24x f x x x ωπωω=⋅+-()0ω>在区间2,23ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且在区间[]0,π上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是A ．(]0,1B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦第II 卷（非选择题 共60分）二．填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，将答案填写在答题卡上．．．．．．．．．．． 9. 求值：=-+-ππππ313cos 4tan 713cos )623sin( . 10．化简：7sin(2)cos()cos()cos()225cos()sin(3)sin()sin()2πππαπαααππαπαπαα+--------++= . 11．函数21()21x x f x -=+的值域为 .12．已知奇函数()x f 的定义域为R ，且对任意实数x 满足()()2f x f x =-，当()1,0∈x 时，()21xf x =+，则121log 15f ⎛⎫⎪⎝⎭＝___________. 13．已知()()x x x f a a log log 2+-=对任意⎪⎭⎫ ⎝⎛∈21,0x 都有意义，则实数a 的取值范围是 .14.已知函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象与y 轴的交点为()0,1，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为()0,2x 和()02,2x π+-.则ϕ= ，0x = .15. 给出下列命题：（1）函数)32sin(4)(πx x f +=的图象关于点)0,6(π-对称； （2）函数)32sin(3)(πx x g --=在区间)125,12(ππ-内是增函数；（3）函数)2732sin()(πx x h -=是偶函数；（4）存在实数x ，使3cos sin πx x =+；（5）如果函数()3cos(2)f x x ϕ=+的图象关于点403π⎛⎫⎪⎝⎭，中心对称，那么ϕ的最小值为3π.其中正确的命题的序号是 .三．解答题：本大题共3小题，共32分，将解题过程及答案填写在答题卡上．．．．．．．．．．．．．．．． 16. （本小题满分10分）设函数()cos(2)22,(,)3f x x x m x R m R π=+++∈∈，（1）求函数()f x 的最小正周期及单调增区间； （2）当04x π≤≤时，()f x 的最小值为0，求实数m 的值．17．（本小题满分10分）已知]2,0[,cos sin sin )(2πx x x x x f ∈+= （1）求)(x f 的值域； （2）若65)(=αf ，求α2sin 的值。
天津市河西区2020-2021学年高三上学期期末数学试题(含答案解析)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设全集 ， ， ，则
A． B． C． D．
2．已知命题 ， ，则命题 的否定是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．某中学高一、高二、高三年级的学生人数之比依次为6：5：7，防疫站欲对该校学生进行身体健康调查，用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为n的样本，样本中高三年级的学生有21人，则n等于（）
又双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 ，
点 在直线 上， 即 ，
抛物线的焦点为 ，
又双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4， 双曲线的左顶点为 ， ，
双曲线的渐近线方程为 ，
由点 在双曲线的其中一条渐近线上可得 即 ，
双曲线的焦距 .
故选：D.
【点睛】
本题考查了双曲线与抛物线的综合应用，考查了运算求解能力与推理能力，关键是对于圆锥曲线性质的熟练掌握，属于中档题.
∴高三年级学生的数量占总数的 ，
∵分层抽样的方法从三个年级的学生中抽取一个容量为n的样本，若已知高三年级被抽到的人数为21人，
∴n＝21 54.
故选：C.
【点睛】
本题考查分层抽样的应用，是基础题.
4．D
【分析】
由题意结合奇函数的性质可得 ，可得当 时， ，利用 即可得解.
【详解】
函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，
【详解】
是实数，
，得 ，故答案为2.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
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的图像和函数
的图像在
上的交点个数，即可求出结
果. 【详解】因为函数
满足
,所以函数
是偶函数，图像关于 轴对称，又
函数
在
上的零点个数等价于函数
的图像和函数
的图
像在
上的交点个数，作出函数
和函数
的图像如下：
由图像易得函数
的图像和函数
的图像在
上的交点有 5 个，
即函数
在
上的零点个数为 5 个.
【点睛】本题主要考查数形结合的方法求函数零点问题，属于中档试题. 二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）
（2）若 有两个零点且均比-1 大，求 m 的取值范围．
【答案】（1） 或 4；（2）
【解析】
【分析】
(1)由函数只有一个零点可得，判别式等于 0，从而可求出结果;
(2)结合题意，由根与系数关系可列出关于 m 的不等式组，解之即可得出结果.
【详解】（1）根据题意，若
有且只有一个零点，
则
，
解可得：m=-1 或 4，
②函数
的图象关于点
对称
③函数
的图象的一条对称轴为
④若
，则
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由正弦函数的奇偶性可判断①；由正切函数的对称中心可判断②；由余弦函数的对称性可判
断③；由同角三角函数基本关系，可判断④
【详解】①因为
,所以是奇函数，故①正确；
②令
，得
，所以函数
的对称中心为
,故②错误；
③令
【详解】（1）函数
，
故它的最小正周期为 =π．
（2）令
，求得
，可得函数的增区间为
，
再根据 x 区间 上，可得函数的增区间为[0， ]、[ ，π]．
由以上可得，函数减区间为
，
再根据 x 区间 上，可得函数的减区间为
．
【点睛】本题主要考查三角恒等变换和函数的图像与性质，属于基础题型.
17.函数
．
（1）若 有且只有一个零点，求 m 的值；
，
,
，所以
【点睛】本题主要考查对数值大小的比较，属于基础题型.
5.将函数 f（x）=sinx 的图象上所有的点的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的 3 倍，再将图
象向右平移 π 个单位长度，所得图象的函数解析式为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由三角函数图像变换逐步写出结果即可.
【详解】将函数
的图象上所有的点的横坐标和纵坐标同时扩大为原来的 3 倍,可得
，再将
的图象向右平移 π 个单位长度可得
.
【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换，属于基础题型.
6.设函数 与
的图象的交点为 ，则 所在的区间是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
试题分析：根据题意，由于函数 与
的图象的交点为
，，则 就是图像与图
2020 学年天津市河西区高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共 8 小题，共 24.0 分）
1.已知
则
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
试题分析：依题意可知，
，所以
.
考点：本小题主要考查集合的运算.
点评：列举法表示的集合的运算，可以借助韦恩图辅助解决；描述法表示的集合的运算，可
以借助数轴辅助解决.
【详解】二次函数
在
上单调递减，故 A 错误；
定义域为
，
故 B 错误；指数函数
在 R 上单调递减，故 C 错误；因此选 D.
【点睛】本题主要考查函数的单调性，属于基础题型.
4.若
，则 a，b，c 的大小关系是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用对数函数、指数函数的单调性即可求解.
【详解】因为
像的交点的横坐标，那么可知也是方程的解，也是函数
的零点，因此结合零点存
在性定理可知，则有 选 A. 考点：函数零点
,那么可知 所在的区间是 ，
点评: 本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理，考查考生的灵活转化
能力和对零点存在性定理的理解，属于基础题．
7.在下列结论中（ ）
①函数
为奇函数
=
=．
【点睛】本题主要考查对数的运算，属于基础题型.
13.已知全集 ,
,
.
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）求
.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）
【解析】
试题分析：两集合 A,B 的交集为两集合的相同的元素构成的集合，并集为两集合所有的元素
构成的集合，补集为全集中除去集合中的元素，剩余的元素构成的集合
试题解析：（Ⅰ）
（Ⅱ）
考点：集合的交并补运算
即 m 的值为-1 或 4；
（2）根据题意，若
有两个零点且均比-1 大，
则有
，解可得-5＜m＜-1，
即 m 的取值范围为（-5，-1）． 【点睛】本题主要考查函数零点问题，属于中档试题.
ห้องสมุดไป่ตู้,所以 a=2.
【点睛】本题主要考查根据函数的值求参数问题，属于基础题型.
11.已知
是奇函数，且
，若
，则
．
【答案】-1
【解析】
试题解析：因为
是奇函数且
，所以
，
则
，所以
．
考点：函数的奇偶性． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 52.0 分）
12.计算：
．
【答案】 【解析】 【分析】 根据对数的运算法则进行化简即可. 【详解】log3 +1g25+1g4- -
2.已知角 的终边经过点
，则 =（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】 【分析】 由三角函数的定义即可求出结果.
【详解】因为角 的终边经过点
，所以
.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，属于基础题型.
3.下列函数中，在区间
上单调递增的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据常见函数的单调性即可判断出结果.
14.已知
．
（1）化简 ；
（2）若
，且 是第二象限角，求
的值．
【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 (1)由诱导公式即可化简出结果; (2)由二倍角公式和两角和的余弦公式即可求出结果.
【详解】（1）
=
=．
（2）若
且 是第二象限角，∴
，
，
．
【点睛】本题主要考查诱导公式和二倍角公式，属于基础题型.
,得
，所以函数
的图象的对称轴为
，故③正确；
④因为
，所以
，则
，故④错误.
【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，以及同角三角函数基本关系，属于基础题型.
8.设函数 满足
，当 时，
，若函数
，则函数
在
上的零点个数为（ ）
A. 6 B. 5 【答案】B 【解析】 【分析】
C. 4
D. 3
数形结合求得函数
【详解】（1）根据题意，f（x）为奇函数且在 R 上的增函数，则
，
解可得
即不等式的解集为
；
（2）根据题意，f（x）是定义在 R 上的偶函数，且在区间[0，+∞）上是增函数，
则
，
解可得：
，
即不等式的解集为
．
【点睛】本题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题型.
16.已知函数
．
（1）求 的最小正周期； （2）讨论 在区间 上的单调性． 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】 【分析】 (1)由三角恒等变换将函数解析式进行整理化简，再由最小正周期公式即可求出结果. (2)结合正弦函数的单调性即可求出结果.
15.（1）若奇函数 是定义在 R 上的增函数，求不等式
的解集；
（2）若 是定义在 R 上的偶函数，且在区间
上是增函数，求不等式
的解集．
【答案】（1）
；（2）
【解析】
【分析】
(1)由函数是奇函数可将不等式化为
，再由函数的单调性即可求出结果.
(2)由函数是偶函数可将不等式化为
，再由函数单调性即可求出结果.
9.已知
，则 =______
【答案】
【解析】 【分析】 由二倍角公式即可求出结果.
【详解】因为
，所以
，故
.
【点睛】本题主要考查二倍角公式，属于基础题型.
10.已知
，若
，那么实数 a 的值为______．
【答案】2 【解析】 【分析】 根据分段函数解析式，将
由内向外逐步代入即可求出结果.
【详解】由题意