工科数学分析(II)期末复习提纲
工科数学分析ii期末复习提纲
《工科数学分析II 》期末考试复习提纲第16章 重积分二重积分、三重积分的定义以及性质；重积分的计算方法：化为累次积分或换元法；重积分的物理应用：计算重心坐标、转动惯量以及万有引力。
重点：1、正确交换积分顺序；2、灵活选择换元变量。
第10、13题为典型题。
典型例题1. 计算二重积分(,)Df x y dxdy ，其中2[0,]D π=，cos() (,) 1 , x y x y f x y x y -≥⎧=⎨<⎩，. 解：将重积分化为累次积分即可。
2. 通过交换积分次序计算累次积分(1)2110yx dx e dy ⎰⎰,(2)82dx ⎰. 解：可用作图法或不等式法交换积分顺序。
例，01,1x x y ≤≤≤≤等价于01,0y x y ≤≤≤≤。
3. 计算二重积分cos()Dx xy dxdy⎰⎰,2||x Dxy e dxdy ⎰⎰, 其中{(,)|||||1}D x y x y =+≤.提示：关于y 轴的对称性。
见223页注。
4. 通过换元计算椭圆盘2221ax bxy cy ++≤的面积. (其中20b ac -<) 提示：单位特征向量是一组标准正交基。
5.计算二重积分22224x y ππ≤+≤⎰⎰,22x y Rx+≤⎰⎰.6. 计算二重积分D,其中2222{(,)|1,0,0}x y D x y x y a b=+≤≥≥.提示：x =arcosθ,y =brsinθ。
7. 计算二重积分()sin()Dx y x y dxdy -+⎰⎰,其中{(,)|||||}D x y x y π=+≤.提示：u=x-y, v=x+y 。
8. 计算二重积分22()Dxy dxdy+⎰⎰,其中D 由22221,2,1,2x y x y xy xy -=-===所围而成。
提示：u =x 2−y 2,v =xy 。
9. 设(,)f x y 为一连续函数, 求极限222201lim (,)r x y r f x y dxdy r π→++≤⎰⎰.提示：216页积分中值定理。
数学分析(二)知识点总结
(10) (11)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx
e x dx e x C
( 5)
( 6)
1 dx arcsin x C 2 1 x
csc x C
1 dx 2 2 x a
(19)
csc xdx ln(csc x cot x ) C
ln( x x 2 a 2 ) C
7、凑微分常见类型:
1. f ( x n1 ) x n dx;
f (ln x ) 3. dx; x
f ( x) 2. dx; x 1 f( ) x 4. 2 dx; x
注：检验积分结果正确与否的基本方法。
（3）求积分比求微分困难—— 1）没有万能的积分法； 2）有的初等函数的积分不是初等函数，从而“积 不出来”，如 ex dx 积分对数 dx 和 ， x ln x sin x cos x 积分正弦 dx 、积分余弦 dx ， x x
ex x sinn x cos n x 及更一般的形式 n dx 、 n dx 、 ln x x dx 、 x dx ， x
反例： {(1 1 )n }是满足Cauchy条件的有理数列， n
但其极限是无理数e .
即柯西收敛准则在有理数域不成立。
几个概念：
区间套（闭区间套）， 聚点（3个等价定义及其等价性的证明）， 开覆盖（有限开覆盖）。 举例说明闭区间套定理中将闭区间换成开区间 结论不成立。 1 1 如 （0， ）是前一个包含后一个，且 lim ( 0) 0, { } n n n 但不存在属于所有开区间的公共点。
工科数学分析(下)考试题(带答案)培训资料
工科数学分析（下）期末考试模拟试题姓名：___________得分: _________一、填空题（每小题3分，满分18分）1、设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为_________.2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y=⎰+Ñ设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分1,()cc x y x y ds +=+=⎰Ñ3.设曲线为则曲线积分 ___________4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________5、2sin(xy)(y)______________.y yF dx x=⎰的导数为 6、{,01,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim0→→y x ()xy yx y x sin 11232+-(2) 220)(lim 22y x x y x y +→→2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xvx u ∂∂⋅∂∂（中间为乘号）.3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）1. ∑∞=1!.2n n n nn2.∑∞=-1!2)1(2n n nn四、（本小题8分）求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k u r r r u r 穿过球面∑： 222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量； 五、（本小题7分）2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y lx e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。
高等数学II期末考试复习要点
高等数学II期末考试复习要点
一、考试题型，题量：
选择题，填空以及计算，约15-20道题
二、复习要点：
（一）微分方程：
1．可分离变量方程
2．二阶常系数线性非齐次微分方程的通解
（二）多元函数微分学
1．多元复合函数的偏导数
2．由一个方程所确定的隐函数的偏导数
3．方向导数的计算
4．曲面的切平面
5．条件极值
（三）多元函数积分学
1．交换二重积分顺序
2．二重积分的基本计算
3．三重积分的基本计算
4．第一类，第二类曲线积分的基本计算
5．第一类，第二类曲面积分的基本计算
6．化三重积分为球面坐标、柱面坐标下的三次积分7．格林公式、曲线积分与路径无关的条件
8．高斯公式
9．函数的奇偶性与积分区域的对称性对积分的影响（四）无穷级数
1．幂级数的收敛域
2．简单函数的幂级数展开
3．简单函数的傅里叶级数以及其和函数。
《工科数学分析教学资料》复习重点.doc
使用Dirichlet 判别法和Abel 判别法判断数项级数的收敛性，进而判断绝对收敛性 1. 判断下面级数是否收敛.五、（本题15分）OO 1寸 COS — l 、n讨论级数工 ——（1 + -）的收敛性，如果收敛，要分析是绝对收敛还是条件收敛。
77=1 nP n8 1 1四研究级数y （-ir 丄（i+丄）"的绝对收敛或条件收敛性。
（io 分） 負 3n n四、（本题10分）p • 2判断级数z （-l ）w ^-^{5-arctann}是绝对收敛还是条件收敛?n=l 兀使用Dirichlet 判别法和Abel 判别法判断函数项级数的一致收敛性三、 （本题满分10分）a 1确定函数/（x ）=y （-i ）w 丄的定义域及其在定义域上的连续性和可微性。
心 n xy" ° ◎ + x ）arctan /LY 在［0,+x ）上的一致收敛性例.讨论 “2 1"（1 + *） 通过内闭一致收敛性验证和函数的连续性和可微性1. 证明函数项级数/（x ） = Y^-e~x2n2在（0,oo ）不一致收敛，但是和函数/'（兀）在（0,oo ）连n=i n续.2. 证明和函数= 1在（-oo,+oo ）上连续。
H =3 k >n In 7?丿3.证明：（1）函数项级数工叱⑷在（o,+oo ）上不一致收敛；⑵ 函数项级数 n=lnxe~,lx 在（0,+oo ）上连续，且可逐项求导.n=l 8n=沖（1+丄几 IT n幕级数的收敛域幕级数的求法1)讨论下面幕级数收敛区间，在此基础上求和函数・OOZ /:=! 2 n 2 2. 求幕级数的收敛域与和函数，并求级数£牛的和。
n=l n=0 2二、(本题满分10分)求幕级数$(-1)"」一的收敛域，并求级数在收敛区“=2 咻一1)间内的和函数.3. 己知S(x) =》^i£,求S(x) + S(l-x)o求Fourier 级数1. 假设f(x) = -一 ,XG 10,2K ),求f(x)的Fourier 级数.22. 将函数/W = |sinx|在［-龙，龙］展开为傅立叶级。
《工科数学分析2》教学大纲
《工科数学分析2》教学大纲一、课程概述《工科数学分析2》是大学工科数学的重要课程之一，是《工科数学分析1》的延续和拓展。
本课程主要讲解复变函数、级数和积分等内容，旨在培养学生的抽象思维能力和数学建模能力，为学生提供解决实际问题的数学工具。
二、教学目标1.掌握复数的定义和运算规则，了解复变函数的基本性质。
2.理解级数的概念和性质，掌握级数的求和方法和判敛定理。
3.掌握变量变换法解积分的基本方法，能够使用积分计算实际问题。
4.培养学生的抽象思维能力和数学建模能力，能够运用所学知识解决实际问题。
三、教学内容和安排1.复变函数(1)复数的定义和运算(2)复变函数的定义和性质(3)复变函数的基本运算法则(4)全纯函数与调和函数(5)复变函数的导数和积分(6)复变函数的级数展开2.级数(1)级数的概念和性质(2)正项级数的判敛定理(3)幂级数和Taylor级数(4)级数的求和方法3.积分(1)变量变换法(2)定积分的性质和计算方法(3)不定积分的计算方法(4)对数和指数的定义和性质(5)定积分的应用四、教学方法1.理论授课：通过讲解和演示，向学生介绍基本概念、定理和方法，培养学生的理论分析能力。
2.示例分析：通过具体例子分析，引导学生理解和应用所学知识，培养学生的问题解决能力。
3.课堂讨论：开展课堂讨论，鼓励学生积极参与，提高学生的思辨和探究能力。
4.实例练习：布置一定数量的课后习题，让学生独立思考和解决问题，巩固所学知识。
五、学习评价与考核1.平时成绩占总评成绩的30%，包括课堂表现、作业完成情况和课程讨论参与度等方面的评价。
2.期中考试占总评成绩的40%，测试学生对于基本概念、定理和方法的掌握情况。
3.期末考试占总评成绩的30%，综合测试学生对于整个课程的理解与应用能力。
六、教学资源1.教材：综合使用教材《工科数学分析2》，辅助教材《工科数学分析2习题解析》。
2.多媒体课件：利用多媒体技术，辅助教学，提高教学效果。
工科数学分析复习资料
哈工大工科数学分析复习资料微分公式：基本积分公式：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰+-+--=-+++++=+-===-Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn ln )ln(221cos sin 22222222222222222ππ三角函数的有理式积分公式：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim0==+=∞→→e xxxx x x·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
最新工科数学分析(下)考试题(带答案)
工科数学分析（下）期末考试模拟试题姓名：___________得分: _________一、填空题（每小题3分，满分18分）1、设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为_________.2.,,,-__________.222L L xdy ydx L x y =⎰+设为一条不过原点的光滑闭曲线且原点位于内部其走向为逆时针方向则曲线积分1,()cc x y x y ds +=+=⎰3.设曲线为则曲线积分 ___________4、微分方程2(3xy y)dx 0x dy +-=的通解为___________5、2sin(xy)(y)______________.y yF dx x=⎰的导数为 6、{,01,0x (x),2x e x f x ππππ--≤<≤≤==则其以为周期的傅里叶级数在点处收敛于_____________.二、计算下列各题（每小题6分，满分18分） 1. (1) 求极限lim0→→y x ()xy yx y x sin 11232+-(2) 220)(lim 22y x x y x y +→→2.设f ，g 为连续可微函数，()xy x f u ,=，()xy x g v +=，求xvx u ∂∂⋅∂∂（中间为乘号）.3..222V z x y z V +=设是由所围成的立体,求的体积.三、判断积数收敛性（每小题4分，共8分）1. ∑∞=1!.2n n n nn2.∑∞=-1!2)1(2n n nn四、（本小题8分）求向量场2(23)()(2)x z xz y y z =+-+++A i j k 穿过球面∑：222(3)(1)(2)9x y z -+++-=流向外侧的通量； 五、（本小题7分）2(1sin )cos ,(0,1)(0,1)y y lx e x dy e xdx l x A B +--=-⎰计算其中为半圆到的一段弧。
2009-2010工科数学分析(2)期末考题
A北京航空航天大学2009－2010 学年第二学期期末《工科数学分析（2）》班号学号姓名成绩一、填空题（每题5分，共40分） 1) 求 ⎰⎰++Ddxdy yx y x 2222)sin(= )cos 12ππ-（其中}0|),{(22π≤+≤=y x y x D 。
2) 计算dxdydz z y x I 2)(++=⎰⎰⎰Ω=54π其中Ω为球体1222≤++z y x 。
3) 求 ⎰=L ds y || ）（12238-.)2,1()2,1(,4:2一段到从其中-=x y L4) 计算 ⎰L xydx = 0的一段弧到，上，从为抛物线其中)1,1()11(2B A x y L -=。
5) 计算曲面积分⎰⎰+SS y z d )(22=π22其中 S 为锥面22y z x += 界于0到1之间的部分。
6) 计算 ⎰⎰Sxydxdy = 81其中S 是球面1222=++z y x 在0,0,0≥≥≥z y x 的部分,取外侧.7) 设),,(z x y z x y F =ρ，则=)(F div ρ ）（222zxy z x y ++- =)(F rot ρ）（xz y 1,1,1- 8) dy y y y x e dx y y y x e r x x Lr )sin cos ()cos sin (1lim2++-⎰→= π2其中L 为圆心在原点半径为r 的圆周，方向沿逆时针方向。
二、（使用Green 公式计算，本题满分１0分） 计算,4.22yx xdyydx L++-⎰其中L 为 ,.42x y -=从点（2,0）到（-2,0）的一段。
解：令 22224,4yx x Q y x y P +=+-=,则当0422≠+y x 时, 有 .)4(422222yPy x x y x Q ∂∂=+-=∂∂--------------- 分2-------- 取椭圆 44:22=+y x ,上半部分记为l ，方向为逆时针，。
《数学分析(2)》复习要点.doc
《数学分析（2）》复习要点第五章定积分1、定积分的概念和性质（含积分中值定理）、利用定积分定义求特殊和式的极限。
2、微积分基本定理、变限积分的一般求导公式及其应用。
3、求定积分的换元积分法、利用换元法证明定积分等式、定积分的奇偶对称性。
4、求定积分的分部积分法、积分公式打打I哙二〃为人于1的奇数，『曲皿叮曲皿=气兀也一^二•仝，〃为正偶数。
nW 25、无穷积分的计算。
第六章定积分的应用（与多元积分学相结合）1、定积分应用的元索法。
2、平面图形面积的计算。
3、旋转体和平行截面面积为已知的立体体积的计算。
4、平面曲线弧长的计算。
5、旋转曲面面积的计算。
第七章空间解析几何1、向量的坐标、向量的分向量、向量在坐标轴上的投影，利用坐标求向量的模、方向余弦、线性运算。
2、数量积与向量积的概念、性质、运算律及的坐标表示式，两向量夹角的求法，向量的投影和平行四边形面积的计算。
3、平面的点法式方程与一般方程的求法，两平面的夹角和点到平面的距离。
4、直线的对称式方程、参数方程和一般方程的求法，两直线的夹角、直线与平面的夹角，点到直线的距离。
5、母线平行于坐标轴的柱面方程与旋转曲面的方程，常见二次曲面的标准方程与图形。
第八章多元函数微分法1、二元函数的概念、定义域、多元复合函数的运算。
2、二重极限与一•次极限的概念和联系，简单二重极限与二次极限的计算。
3、二元函数连续的概念，二元分段函数在分段点（坐标原点）处连续性的判别。
4、偏导数与全微分的概念，会用定义判断分段函数在分段点（坐标原点）处的可偏导性和可微性。
5、二元函数在某点连续、可偏导、可微、偏导数连续间的关系。
6、多元复合函数的求导法则。
7、隐函数的求导方法（公式法、直接法）。
8、方向导数的概念与计算方法，梯度的概念以及梯度与方向导数的关系。
9、高阶偏导数的概念、复合函数及隐函数二阶偏导数的计算。
第九章多元函数微分学的应用1、空间曲线的切线与法平面的求法。
2、曲面的切平面与法线的求法。