2020年九年级初中必会几何模型-三垂直模型

三垂直模型

【模型概述】

出现3个直角，且3个直角的顶点共线时，角的边相交会形成相似（含全等）三角形。

【基本模型】

图1 图2

【解读】

⑴图1和图2中，三个直角顶点B，C，D共线；

⑵当△ABC和△CDE三组对应边均不相等时，有△ABC∽△CDE；

⑶当△ABC和△CDE任意一组对应边相等时（如AC=CE），有△ABC≌△CDE；

⑷证明思路：同角的余角相等

⑸解题时往往只含有两个甚至一个垂直关系，需通过作垂线构造出三垂直模型，从而构造出全等或相似三角形，利用全等和相似的性质求解角度和线段长等问题。

典型例题1-1

已知：∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CM，BE⊥CM，垂足分别为D，E。

⑴如图1，①线段CD和BE的数量关系是

②请写出线段AD，BE，DE之间的数量关系并证明。

⑵如图2，结论②还成立吗？如不成立，写出并证明AD，BE，DE之间的数量关系。

【小结】

典型例题1-2

如图，已知矩形ABCD的顶点A，D分别落在x轴，y轴上，OD=2OA=6，AD：AB=3：1，则点C的坐标是（）

典型例题1-3

经过点A（-1,0），B（4,0），交y轴于点C。

⑴求抛物线的解析式；

⑵点D为y轴右侧抛物线上一点，是否存在点D

请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由。

⑶将直线BC绕点B顺时针旋转45°，与抛物线交于另一点E，求BE的长。

【小结】

变式训练1-1

如图,已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行直线间的距离都是1,如果正方形ABCD的四个顶点分别在四条直线上,则sinα=( )

变式训练1-2

如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，(1)求C点的坐标；

扩展模型：

共线三等角模型：当三垂直模型中3个直角变为相等的锐角或钝角时，仍会产生全等或相似三角形。

解读：

⑴图1和图2中，大小均为的三个锐角（或钝角）顶点在同一直线你上。

⑵当三组对应边均不相等时，图1中有△ABC∽△ECD，图2中有△ABC∽△CDE（注意对应关系）

⑶当△ABC和△CDE的任意一组对应边相等时，有两三角形全等。

⑷证明思路：三角形的外角和定理

⑸图1中，若C为AE的中点，连接BD，则有△ABC∽△ECD∽△CBD（可记为“中点三相似”）

⑹三垂直模型是共线三等角模型的特殊情况。

如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD=1，BD=2，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕EF，点E、F分别在AC和BC上，若BF=1.25，则CE=（）

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A（3,0），B （0,6），分别在x轴，y轴上，反比例函数的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为________．

如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴，y轴分别交于A(−9,0)，B(0,6)两点，过点C(2,0)作直线l与BC垂直，点E在直线l位于x轴上方的部分．（1）求一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式；

（2）若△ACE的面积为11，求点E的坐标；

（3）当∠CBE=∠ABO时，点E的坐标为________．

如图,在梯形ABCD中,AD∥BC，BC=4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形。

(1)求证：梯形ABCD是等腰梯形；

(2)动点P、Q分别在线段BC和MC上运动,且∠MPQ=60∘保持不变。设

PC=x，MQ=y，求y与x的函数关系式；

(3)在(2)中当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由。

(1)某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形。如图(1),已知：在△ABC中,∠BAC=90∘，AB=AC，直线l经过点A，BD⊥直线l，CE⊥直线l，垂足分别为点D. E. 证明：DE=BD+CE.

(2)组员小刘想,如果三个角不是直角,那结论是否会成立呢?如图(2),将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D. A. E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角。请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由。

如图1，在▱ABCD中，DH⊥AB于点H，CD的垂直平分线交CD于点E，交AB于点F，AB=6，DH=4，BF：FA=1：5．

（1）如图2，作FG⊥AD于点G，交DH于点M，将△DGM沿DC方向平移，得到△CG′M′，连接M′B．

①求四边形BHMM′的面积；

②直线EF上有一动点N，求△DNM周长的最小值．

（2）如图3，延长CB交EF于点Q，过点Q作QK∥AB，过CD边上的动点P 作PK∥EF，并与QK交于点K，将△PKQ沿直线PQ翻折，使点K的对应点K′恰好落在直线AB上，求线段CP的长．

已知顶点为A

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M，y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面积；

（3）如图2，点Q是折线A﹣B﹣C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标。