矩阵论课程论文

西安理工大学研究生课程论文报告课程名称：矩阵论课程代号：任课教师：论文报告题目：矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵求解中的应用完成日期：2015 年10 月25 日学科：电力电子与电力传动学号：姓名：成绩：矩阵函数在线性定常系统状态转移矩阵求解中的应用摘 要控制系统的运动是系统性能定量分析的重要内容。

“运动”是物理学上的一个概念，它是通过求系统方程的解)(t x 、)(t y 来分析研究的。

由于状态方程是矩阵微分（差分）方程，输出方程式为矩阵代数方程，因此求系统方程的解主要是求状态方程的解。

而求状态方程的解的关键是求状态转移矩阵。

本文主要介绍了矩阵对角化标准型，约当标准型，凯莱-哈密顿定理及矩阵函数知识在线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵求解中的应用。

关键词：状态转移矩阵，约当标准型，凯莱-哈密顿定理，矩阵函数.1.问题提出线性系统有线性定常系统和线性时变系统，最为基本的是线性定常系统。

而线性定常系统根据有无初始输入，分为线性定常齐次方程，和线性定常非齐次方程。

本文只给出线性定常系统的齐次状态方程的状态转移矩阵的求解。

线性定常系统齐次方程的解亦即系统的自由解，是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。

线性定常系统齐次状态方程为()()t Ax t x= ()1-1其中，x 是n 维状态向量；A 为n n ⨯系数矩阵。

设初始时刻00=t ，系统的初始状态()()00x t x =。

仿照标量微分方程求解的方法求方程()1-1的解。

设方程()1-1的解为t 的向量幂级数形式，即)(t x = ++++++k k t b t b t b t b b 332210 ()2-1式中，() ,2,1,0=i b i 为n 维向量。

式()2-1代入方程()1-1得()+++++=+++++-k k k k t b t b t b b b A t kb t b t b b 3322101232132 ()3-1既然式()2-1是方程()1-1的解，则式()3-1对任意的t 都成立。

因此，式()3-1的等式两边t 的同次幂项的系数应相等，有⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫=======-0!11103!31231302!21121201b A Ab b b A Ab b b A Ab b Ab b k k k k k()4-1 Ⅰ.当0=t 时，由式()2-1可得到()00x b = ()5-1将式()4-1和式()5-1代入式()2-1，得到齐次状态方程的解()()()0!122!21x t A t A At I t x k k k +++++= ()6-1 上边右边括号内的级数是n n ⨯矩阵指数函数，记成At e ，即+++++=k k k At t A t A At I e !122!21 ()7-1 所以式()6-1可写成()()0x e t x At = ()8-1Ⅱ.如果初始时刻00≠t ，初始状态为()0t x ，则齐次状态方程的解为()()()00x e t x t t A -= ()9-1由上式可知，系统在状态空间的任一时刻t 的状态()t x ，可视为系统的初始状态()0t x 通过矩阵指数函数()0t t A e -的转移而得到的。

因此，矩阵指数函数()0t t A e -又称为状态转移矩阵。

从上面的分析看，求状态方程的解()t x ，关键是求矩阵指数At e 。

2.问题求解2.1 矩阵指数的基本性质在介绍求矩阵指数At e 的方法之前，先介绍At e 的一些主要性质和几个特殊的指数函数：（1）∑∞==0!k kk Atk t A e ，该无穷级数在有限时间时绝对收敛的（2）AtAt Ae e dtd =（3）()2121At At t t A e e e ⋅=+ （4）[]At Ate e --=1（5）若BA AB =，则()t B A Bt At e e e +=⋅； 若BA AB ≠，则()t B A Bt At e e e +≠⋅（6）若P 为非奇异矩阵，A 通过非奇异变换成对角阵，即AP P A 1-∧=,则有 11--=P Pe e AP p At (7) 若A 为对角阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n A λλλ0021，则⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t tt At n e e e e λλλ00212.2状态转移矩阵()t φ的几种计算方法1.根据Ate 的定义直接计算() +++++==n n n At t A t A At I e t !122!21φ2.拉普拉斯变换法对于线性定常系统的齐次状态方程()()t Ax t x= 两边求拉普拉斯变换，得()()()s Ax x s sX =-0，即()()()0x s X A sI =-， 有()()()01x A sI s X --=因此，()()[]()011x A sI L e t x At ---==若初始时刻00=t ，初始状态为()0x ，则对上式进行拉普拉斯变换，得()()[]11---==A sI L e t At Lφ 3.非奇异线性变换（1）矩阵A 经线性变换化为对角线矩阵Λ求Ate当矩阵A 的n 个特征值互异或者虽有重根但是仍有n 个独立的特征向量时，经过线性变换，将A 化为对角形矩阵Λ，即⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Λ=-n PAP λλλ00 211 此时，系统的状态转移矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++=+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+Λ+Λ+=t t tn n n n At n e e e t t t t t t t t t t I e λλλλλλλλλλλλλλλ0000000002122!21222!212221!2112221!212122!21111111 由于P P A Λ=-1所以矩阵A 的状态转移矩阵()()()()[]Pe P P t t I P P t P Pt P P P t P P Pt P P P t P P Pt P I e e t t PtPAt Λ----------Λ=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+=+Λ+Λ+===-122!21122!21111221!2111221!2111φ（2）矩阵A 经线性变换化为约当形矩阵J 求Ate当矩阵A 的n 个特征值均相同，且为1λ时，经过线性变换，可化为约当形矩阵J⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==-1111111λλλ00J PAP 则()()tn n Jte t t n t t n te 11!211!11121λ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=--0所以，系统的状态转移矩阵为()P e P e t Jt At 1-==φ 4. 应用凯莱-哈密顿定理首先介绍一下凯莱-哈密顿定理：n n ⨯矩阵A 满足自身的特征方程，即矩阵A 的特征多项式是A 的零化多项式。

()[]0det 012211=+++++=-=∆----a a a a A I n n n n n λλλλλλ即012211-----a a a a n n n n n λλλλ ----= 根据凯莱-哈密顿定理，有()0012211=+++++=∆----I a A a A a A a A A n n n n n于是I a A a A a A a A n n n n n 012211----- ----=上式表明，n A 是1-n A ，2-n A ，…A ，I 的线性组合。

显然有A a A a A a A a A A A n n n n n n 0211211----- ---+=⋅=则I a a A a a a A a a a A a a A n n n n n n n n n n 010*******-2121)()(---------++-++-+=）（ 依次类推，可得2-1-,n n A A ，…均是1-n A ，2-n A ，…A ，I 的线性组合。

那么，Ate 就化成一个A 的最高幂次为1-n 的n 项幂级数的形式，即()()()1110!122!21--+++=+++++==n n n n n At At a A t a I t a t A t A At I e t）（φ(1)A 的特征值),,2,1(n i i =λ互异应用凯莱-哈密顿定理，i λ和A 均是特征多项式的零根。

因此，()()()n i t a t a t a e n in i t i ,,2,11110 =+++=--λλλ那么，()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----t a t a t a e e e n n n n nn n t t t n 11012122221121111121λλλλλλλλλλλλ于是，()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----t t t n n n n n n n n e e e t a t a t a λλλλλλλλλλλλ211-121222211211110111 (2)A 的特征值均相同设A 的特征值为1λ，待定系数()t a i 的计算公式如下()()()()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----------t t t t n n t n n n n n n n n n e e t e t e t e tn n n n t a t a t a t a t a 111111!112!212!211!111-112131211212113111123101!113210!22131001110000λλλλλλλλλλλλλλλλ(3)A 的n 个特征值有重特征值和互异特征值当A 的n 个特征值有重特征值和互异特征值时，待定系数()t a i 可以根据()()21综合得出，然后求出状态转移矩阵()t φ。

3.举例计算已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3-2-10A ，分别用上述四种方法求解状态转移矩阵()t φ。

解：()1 定义法根据定义计算()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--+-+-+-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+++++==--------t t tt t t t t k k k At e e ee e e e e t t t t t t t t t t t t t t A t A At I e t 22223252273372367223322!122!212222313213210!2132101001φ ()2 拉普拉斯变换法[]()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-++-+=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=---22112212211121122121332111s s s s s s s s s s s s s s A sI 那么，()[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=-=----------t t t t t t t t At e e e e e e e e A sI Le 2222112222 ()3 化矩阵为对角线标准型由()()021-=++=λλλA I 得特征根2-1-21==λλ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-211-1-222-1-111111-21AP P P adjP P P λλ 所以，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-----------⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t tt ttt t t Ate e ee ee e e e e P Pee 222221200122221112002111()4 应用凯莱-哈密顿定理已知特征根2-1-21==λλ，，两两相异，则有()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡----------------------t t t t t t tt t t tt At t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e ee At a I t a e e e e e e e e e e e t a t a 22222210222211211022223210100122111221111121λλλλ可见，四种算法的计算结果是一样的。