一类抛物型方程的能控性

关于一类非局部抛物型方程解的存在性及唯一性

是满足下列性质的函数：
a(ξ ) 是连续函数且对任意的ξ ∈ R ，存在 m, M 满足 0 < m ≤ a(ξ ) ≤ M 。
（1.2）
b(ξ ) 是连续函数且对任意的ξ ∈ R ，存在α , β 满足 0 < α ≤ b(ξ ) ≤ β 。
（1.3）
l, y 是 L2 (Ω) 上的线性函数，分别为
∫ ∫ ∫ ∫ Ω utvdx + a(l(w(t)))
∇u ⋅ ∇vdx +b( y(w(t)))
Ω
uvdx =
Ω
Ω
fvdx
-2-

∫ ∫ ∫ ∫ |
Ω ut vdx |=|
Ω
fvdx − a(l(w(t)))
∇u ⋅ ∇vdx −b( y(w(t)))
定理 2.1 假设（1.2）、（1.3）、（1.4）、（1.5）、（2.1），则下面的方程
⎪⎧ ⎨
d dt
(u,
v)
+
a(l(u(t
)))∫
∇u
Ω
⋅
∇vdx
+b(
y(u(t)))(u,
v)
=
(
f
,
v)
⎪⎩u(x,0) = u0
必存在解 u = u(x, t) ，且满足
in D′(0,T ),∀ v ∈V （2.2）
The existence and uniqueness of solutions to a class of Nonlocal parabolic quation
Xin Kuidong
college of science, hohai-univ. , nanjing PRC（210098）

一类退化抛物型方程组解的渐近性质

>
n−qq2 qp2
或m
≤ pp1或n
≤
qq2,
以及初值数据u0(x), v0(x)充
分小.
那么, 问题(1.1)-(1.4)的每个非负解都具有整体性.
证根据比较原理, 对于任意的T > 0, 我们只需要构造有界的、正的上解即可. 假
设φ(x)表示下列线性椭圆问题的唯一正解:
−∆φ(x) = 1, x ∈ Ω; φ(x) = 1, x ∈ ∂Ω.
的局部存在性定理:
定理 1 假设u0, v0 0, u0, v0 ∈ L∞(Ω), 则存在T ∗ = T ∗(u0, v0) > 0使得对于任意的T < T ∗, 问题(1.1)-(1.4)都存在一个非负的弱解(u(x, t), v(x, t)), 而且, T ∗ = +∞或者
lim sup ∥u(·, t)∥∞ = +∞ 或 lim sup ∥v(·, t)∥∞ = +∞.
u(x, t) = 0, v(x, t) = 0,
(x, t) ∈ ∂Ω × (0, T ),
(1.4)
其中Ω是RN (N 1)中具有光滑边界∂∫Ω的一个有界区域, m, n > 1,的有界函数, ∥ · ∥αα = Ω | · |αdx.
应用数学 MATHEMATICA APPLICATA 2019, 32(3): 664-668
一类退化抛物型方程组解的渐近性质
覃思乾, 周泽文, 凌征球 ( 玉林师范学院数学与统计学院, 广西玉林 537000 )
摘要：本文利用正则化技术和上下解方法, 研究一类退化抛物型方程组，确定了
解的整体存在与爆破的渐近性质.
记
C = (C + 1) |Ω| , 1

抛物型方程的计算方法

分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班)指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。

差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式.本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析.关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian(Class 2, Grade 2011, College of Mathematics and Information Science)Advisor: Nie huaAbstract: The common methods to solve parabolic equations include differential method, finite element method etc. The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations. In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover, the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words: differential method, finite element method, convergence, stability1 绪论1.1 引言自然界里中热的传播，溶质在液体中弥散，多孔介质中渗流等随时间发展的现象和过程，都可以用抛物型方程来描述.因此，抛物型方程是刻画自然界的一类很重要的方程.然而，很多的方程我们并不能求出它的精解确，或者表达式过于复杂，所以需要采用数值方法去计算它们的近似解.抛物型方程最基本的计算方法当属有限差分法[1]，通过离散化便可得到计算格式，该方法构造简单，易于操作.但是在处理一些复杂的边值问题时计算会很复杂，因此我们需要探讨一些新的处理手段.有限元计算方法起源于椭圆型方程的计算，它将求解椭圆型方程的解转换为求解其变分形式的解[1],从而极大地丰富了偏微分方程的计算手段.正式由于其在椭圆型方程计算中的巨大优势，以及抛物型方程与椭圆型方程的密切联系，所以该方法很自然的被推广到了抛物型方程初边值问题的计算上[4].本文系统的总结了一类抛物型方程的计算方法，包括有限差分法和有限元方法.并且通过数值算例给出了两类方法的一个比较.为此,本文需要先给出一些基本的分析知识作为研究该问题的基础[6,7]，下来就给出了抛物型方程的变分形式，这个是构造有限元计算格式的基础，在此基础上，给出了有限元计算格式并讨论了其收敛性和稳定性. 1.2 准备知识抛物型偏微分方程是一类典型的发展方程，其一般形式如下：)()(x f u L tu=-∂∂ （1.1.1）其中),(t x u 是空间自变量).....(1n x x x =和时间t 的未知函数，L 是关于空间变量的线性椭圆型微分算子，即f u c x b x x a L n i i i j i n j i ij=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂+∂∂±≡∑∂∑=21, 其系数的实函数为自变量和右端项)...(,,1n ij ij x x x f c b a =，且在方程（1.1.1）的定义域n R ∈Ω中满足椭圆性条件Ω∈∀∈=∀>≥∑∑==x x ix x aR nn ni j i nj i ij,}0{).....(,0)()()(1121,ξξξααξξξ（1.1.2）当L 是非线性椭圆型微分算子或者f 是u 的非线性函数时，则称相应的抛物型方程为非线性的.下面给出抛物型方程的定解条件：初值条件，不妨设初始时刻0=t ,则Ω∈∀=x x u x u ),()0,(0 （1.1.3）第一类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=t x t x u t x u D （1.1.4）第二类边值条件：0,),,(),(>∀Ω∂∈∀=∂∂t x t x g t x vu（1.1.5）第三类边值条件：0,),,(),)((>∀Ω∂∈∀=+∂∂t x t x g t x u tuα （1.1.6）其中00),(,,>≥ααα上，且至少在一部分边界的已知函数，是t x u g u D ，v 为的单位外法向量Ω∂.2，有限差分法本章将给出抛物型方程最基本的计算方法—有限差分法。

【国家自然科学基金】_一维抛物型方程_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140802

科研热词绝对稳定抛物型方程截断误差局部一维格式
推荐指数 1 1 1 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6
2011年科研热词非线性近似能控性瞬态热传导切换控制光滑粒子动力学一维抛物型系统推荐指数 1 1 1 1 1 1
2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
2013年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
科研热词推荐指数无条件稳定 2 数值级数法 2 收敛性 2 反问题 2 一维抛物方程 2 高精度 1 马尔科夫链 1 隐式差分格式 1 误差估计 1 紧有限差分法 1 紧有限体积格式 1 有限差分法 1 有限体积法 1 数值试验 1 数值解法 1 收敛性分析 1 抛物型方程第三边值问题 1 抛物型方程 1 抛物型偏微分方程 1 截断误差 1 对流项 1 一维抛物型方程 1 monte carlo算法 1
科研热词推荐指数稳定性 2 最优阶误差估计 2 四阶抛物偏微分方程 2 隐式差分格式 1 截断误差 1 一维抛物型方程 1 stability 1 optimal error estimates 1 h~1-galerkin混合元方法 1 h^1-galerkin混合元方法 1 h^1-galerkin mixed element method 1 fourth-order parabolic partial1 differential equat
2008年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16荐指数一维抛物型方程 2 高精度 1 非线性抛物型偏积分微分方程 1 非线性 1 连续分布滞量 1 演化计算 1 有限差分法 1 最优阶误差估计 1 无条件稳定 1 收敛精度 1 抛物型偏泛函微分方程 1 强迫振动性 1 局部观测资料 1 变分 1 反问题 1 反演 1 参数 1 半显式差分方法 1 中立型 1 h1-galerkin混合有限元方法 1

一类拟线性抛物型方程组的可解性

‘
（）Ａ一６ ∈／，＞０ｖ￡ｖ，２ｔ＝
，
在相同区域上的问题（）行了研究，用上下解１进运方法，到问题（）得１的正解的整体存在性条件，并
将这个耦合型方程扩展成ｎ个方程的情形。
ｃｎｉｏｓｂｋｇｕｅｆｔｅｕｐｒａｄｌｗｅｏｕｉｎｍｅｏｓｓｍｅａｐｏｒａｅｃｎｉｏｓｏｌｂｌｏｄｔｎ，ｙｍａｉｓｏｐｅｎｏｒｓｌｔｔｄ，ｏｐｒｐｉｔｏｄｔｎｆｒｇｏａｉｎｈｏｈｉｅｉｔｎｅｏｏｕｉｎｒｅｅｍｉｅｅｐｃｉｅｙａｄｗｅｅｔｎｈｅｕｔｔｈｏｄｔｎｆｎｑａｉｎ．ｘｓｅｃｆｓｌｔｓａｅｄｔｒｎｄｒｓｅｔｌ，ｎｘｅｄｔｅｒｓｌｏｔｅｃｎｉｏｓｏｅｕｔｓｏｖｓｉｏ
（）Ａｔｕ—ａｐ ∈ ，＞０＝ｐ，ｔ
（ｍ）Ａａｐ ∈ ，＞０Ｕ￡ｕ— ｕ，ｔ＝
＝口
ｄｎ
，
ＸＥａ，＞Ｏｔ
ｕ（０）０，＝（ ∈ ）并得到了许多有益的性质。受此启发，本文对定义
第ｌ９卷第２期
２１０２年４月
莆田学院学报
ＪｕｎｌｆｕｎｏｒａｏＰｔａＵｎｖｒｉｉｉｅｓｔｙ
中图分类号：７．Ｏ１５２

一类受控于bang-bang控制的退化抛物系统的近似能控性

Vol. 42， No. 2May ， 2021第42卷第2期2021 年 5 月吉林师范大学学报(自然科学版)Journal of Jilin Normal University ( Natural Science Edition )doi ：10.16862/ki. issn1674-3873. 2021. 02. 008一类受控于bang-bang 控制的退化抛物系统的近似能控性杜润梅，刘亚新(长春工业大学数学与统计学院，吉林长春130012)摘要:选取作用在区域内部的bang-bang 控制作为控制函数，利用共轭系统的唯一延拓性证明了一类在边界退化的抛物系统的近似能控性.结果表明，对任意的目标函数均存在一个控制函数，使该问题的解在有限时间内可充分接近目标函数.关键词：退化抛物方程组;近似能控性;耦合方程组;bang-bang 控制中图分类号：0175.26 文献标志码：A 文章编号：1674-3873-(2021)02-0045-071预备知识本文考虑如下耦合系统:div( a 〕( ”) V u ) + 〃]( ”)V u +C ]]氐,(”，t ) w Q t ；(1)u + % v =d vdiv(。

2( ”)Vv) + &2 ( ”)V v + C 21 u + C 22 V 二 0 , ( ”，t) E. Q 丁； dt u( ”，t)二 0,v( ”，t)二 0 , ( ”，t) E dC X (0, T); u(”，0)二 u °(”),v(”，0)二v °(”)，” e C.(2)(3)(4)其中:Q t =C x (0,T) ,C 为］R "—有界域,T>0；控制函数hEl}( Q t ) ； X 为特征函数是C 的开子集,函数a t e C( C ) n c 1 (C)满足条件a t > 0,” e C ,且假设I a ；1 ( ”)d ”V+s , (5)C b i = (bm …,b n^E W" (C ；R n ),. inf lc,l > 0® UU®,u 0,”0EL 2( C).这里 i,j = 1,2.方程(1)3X ［0, T ］丿和(2)可以用来描述生物模型［1］.本文证明了控制函数h 可以选取为bang-bang 控制.该控制类似于开关，可以由一个值转换为另一个值.在实际的生产生活中,bang-bang 控制更容易实现,所以对它的研究是必要的.目前，关于退化抛物方程组的研究取得了一些成果,见文献［2-9 ］.本文利用文献［10 ］的方法,首先考虑控制系统(1),(2),(3)在零初值条件，即u(”，0)二0,v(”，0)二0,”e C (6)下的近似能控性，再证明系统(1)—(4)是近似能控的.收稿日期：2021-03-11基金项目：吉林省教育厅“十三五”科学技术项目(JJKH20200643KJ,JJKH20200679KJ)第一作者简介:杜润梅(1985—),女'吉林省长春市人'副教授'博士'博士生导师.研究方向:偏微分方程及其应用.46吉林师范大学学报（自然科学版）第42卷2适定性和近似能控性定义1如果对任意满足了，第eL2(Q t),<p(-,T)\°=*(-,T)1。

学习笔记_不同类型偏微分方程的特性

双曲线型方程
偏微分方程分类抛物型方程
椭圆型方程
混合型方程
考虑拟线性方程组2222211111
f y v d x v c y u b x u a f y v d x v c y u b x u a =∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂
分类方法一：克莱姆法则
)
()()
(1221122112211221d b d b c c b c b d a d a b c a c a a -=-+--=-=
042>-ac b 方程组是双曲型
042=-ac b 方程组是抛物型
042<-ac b 方程组是椭圆型
分类方法二：特征值法
][][2
21112211
d b d b c a c a N -= N 的特征值是实数，方程是双曲型
N 的特征值是虚数，方程是椭圆型
N 的特征值是实数和虚数的混合，方程组是混合特性
二阶偏微分方程
AUxx+BUxy+CUyy+...= 0
Δ=B^2-4AC
Δ>0:双曲型
Δ=0:抛物型
Δ<0:椭圆型
双曲型方程
例如：
稳态无黏超声速流动
非定常无黏流动
波动方程是双曲形偏微分方程的最典型代表
抛物型
例如：
稳态边界层流动
非定常的热传导
双曲型和抛物型方程的主要数学特性是，她们可以借助自身从一个已知的初始平面或线出发推进求解。

椭圆型
例如：
稳态、亚声速无黏流动
不可压缩无黏流动
椭圆型方程，一给定点上的流动变量必须同时与流场中其他所有点上的流动变量一起求解。

一类退化抛物型方程初边值问题的blowup

一类退化抛物型可以被定义为在给定初边值下满足偏微分方程。

这类
方程常被用于在物理，天文学和其他学科中的应用，它们的解决方案
可以提供有关被研究系统的机制和行为的信息。

然而，这类方程可能会面临一个叫做blowup的挑战，这是指这一类的
解析解会在某个时刻爆炸，而不是一直收敛到某个常数值。

研究表明，在特定的初边值和参数中，抛物型方程的解可能会出现动力学爆炸行为，而不是一直收敛到某个常数值。

动力学爆炸通常可以由垂直双曲
分支解析地表示出来，其在偏微分方程解上存在极限行为。

抛物型方程的blowup在经典动力系统理论中得到广泛应用，它可以用
来模拟复杂现象，比如发散、涟漪、共振、数学不稳定性等。

空间上
可以表示为数学模型的抛物型就可以考虑物理系统的动力学，这些物
理系统会产生blowup的行为，并可以通过抛物型方程研究。

此外，blowup也在动力计算领域引入了新的挑战，由于抛物型方程具
有无限可变的对流特性，数值方法一般无法有效地解决。

为了解决这
一问题，研究者们提出了一些学术工作，他们提出了一些复杂的数值
方案，使用数值代替解析解，从而解决了抛物型方程的blowup问题。

因此，从多领域的角度来看，blowup仍然是重要的研究课题，从理论
到实践，它都给大家带来了新的挑战，同时也提供了新的突破口。

研
究者们也在不断努力完善已有的研究成果，希望能够更好地理解抛物
型方程blowup的机制和行为，从而潜心研究并获得成功。

求解一维抛物型方程的一类半隐格式及组显格式

求解一维抛物型方程的一类半隐格式及组显格式一维抛物型方程是数学中比较常见的一类方程，用来描述各种函数的性质，形式如下：$$ y=ax^2+bx+c $$半隐格式与组显格式是求解一维抛物型方程的两种经典技术，都能应用于解决一维抛物型方程中实数根的问题。

下面就分别介绍这两种技术：1. 半隐格式：半隐格式也称半陈述格式，是一类快速求解一维抛物型方程根的数值求解方法，可以给出一维抛物型方程的根，不必经过复杂的运算。

把一维抛物型方程$ax^2+bx+c=0$改为如下半隐格式：$$ \frac{x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0}{a} $$显然，上式的两个根都是$\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，需要注意的是，对于无解的情况，半隐格式也能给出无解的结果。

2. 组显格式：组显格式也称组文格式，是一类快速求解一维抛物型方程实数根的数值求解方法，可以给出一维抛物型方程根，不必经过复杂的运算。

将一维抛物型方程$ax^2+bx+c=0$改为如下组显格式：$$\left\{\begin{aligned}x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0 \\x+\frac{c}{a}=0\end{aligned}\right.$$组显格式的两个根分别是$\frac{-b}{2a}$和$\frac{-c}{a}$。

由组显格式可以发现，由于组显格式具有更加直观的单实根示意，因此可以更加快速精确地获得一维抛物型方程的实数根。

总结来说，半隐格式和组显格式都是求解一维抛物型方程的常用技术，它们具有计算迅速、简单直观等优点，半隐格式能求出所有一维抛物型方程的根，而组显格式能够更迅速精确地求出实数根。

它们也常常被应用于应用于微积分、几何学等图形函数的计算。

各类抛物型微分方程的解法

各类抛物型微分方程的解法抛物型微分方程是一类常见的微分方程，在数学和物理学中具有重要意义。

本文将介绍一些常见的抛物型微分方程，并探讨它们的解法。

热传导方程热传导方程描述了热量在物体中的传导过程，它的一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = k \cdot \frac{\partial^2 u}{\partialx^2}$$其中，$u$ 是温度分布函数，$t$ 是时间变量，$x$ 是空间变量，$k$ 是热传导系数。

热传导方程的解法主要基于分离变量法、傅里叶级数法和格林函数法。

扩散方程扩散方程描述了物质在空间中的扩散过程，它的一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = D \cdot \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u$ 是物质浓度分布函数，$t$ 是时间变量，$x$ 是空间变量，$D$ 是扩散系数。

扩散方程的解法也可以利用分离变量法、傅里叶级数法和格林函数法。

波动方程波动方程描述了波在介质中的传播过程，它的一般形式为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \cdot \frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$其中，$u$ 是波函数，$t$ 是时间变量，$x$ 是空间变量，$c$ 是波速。

波动方程的解法可以利用分离变量法、傅里叶级数法和变换法等。

Navier-Stokes方程Navier-Stokes方程是描述流体运动的基本方程之一，它的一般形式为：$$\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v} = -\frac{1}{\rho} \nabla p + \nu \nabla^2 \mathbf{v}$$其中，$\mathbf{v}$ 是流体速度矢量，$t$ 是时间变量，$p$ 是压力函数，$\rho$ 是密度，$\nu$ 是运动粘度。

一类抛物型方程局部解的存在性与爆破

了方程（）Ｂ “ ＝０ＪＵ一０１在（）和ＪＵ时解的存在性；文献［］讨论了方程４
“
Ｑ ’ 力× ［，．１：０明定义１广义解）设 “∈ （
（ ’，Ｂ（）∈ Ｑ１且） “
喜ｃｌ一ｃ。［Ｌ（ ’］“ 蠡ｌ＋。＞差，Ｑ１）
（）５
ｄ口Ｔ
ｒ
＋ — １，１）且对Ｖ ∈ Ｅ有Ｔ
的初边值问题解的存在性及解的耗竭．
Ｉ（ “ｌ一ｌＵｌＶ一１卿Ｏ－ＶＵ・
Ｂ（）・ “
Ｊ口
文献ｆ］论了方程当Ｂ（）０５讨 “ 一时解的全局存在性，且证明了初值 “ 当大 ”时解在有限时间内爆并适
破．
＋Ｉ “ｆｄｄ＋ “｛ｐｘｔｕ）
Ｉｌ０ｚ “（）（，）ｘ：ｏ “（）ｌ０ｚｚＯｄ
（）６
本文的主要结果和特点概括如下：
则称ｕｘ，）为问题（）～（）的广义解．（１３
２局部解的存在性与爆破
摘要：在总结前人研究抛物型方程的局部解的存在性与爆破性问题的基础上，明了抛物型方程当初值满足一定条件证
时局部解的存在，及当初值充分大时解将在有限时间内发生爆破，当方程中参数ｐ大于１时，是利用比较原理，以且不而
ｕｘ，）一Ｕ（）， ∈ ｎ（００ｚｚ
条件时局部解存在，Ｕ（）适当大”则解将在有限若。ｚ “

抛物型方程的CARLEMAN不等式及其应用的研+究综述

饕
（保密的学位论文在解密后适用本授权书）
捧
学位论文作者签名：受堡盘指导教师签名：
，
日
规驰矽铲汨期：上啤川＞７日
学位论文工作单位：通讯地址：
摘要
本文是一篇关于抛物型方程和方程组的Ｃａｒｌｅｍａｎ估计及其在相关系统的能控性、强唯一延拓性等问题研究中的应用的综述文章．
近十多年来，由于Ｃａｒｌｅｍａｎ估计在发展方程（如波方程、热方程、Ｓｃｈｒ６ｄｉｎｇｅｒ方程、Ｎａｖｉｅｒ－Ｓｔｏｋｅｓ方程等）支配系统的能控性、强唯一延拓以及逆问题研究中所起的关键作用，已经引起了非线性发展方程、分布参数系统控制理论与偏微分方程系统逆问题研究领域众多数学工作者的极大关注．对干线性和半线性发展方程（组），在对偶原理和Ｉ－ＩＵＭ（ＨｉｌｂｅｒｔＵｎｉｑｕｅＭｅｔｈｏｄ）方法的框架下讨论能控性问题，首先建立Ｃａｒｌｅｍａｎ估计，进而得到能观不等式已经成为一种经典模式，也是迄今为止最为有效的技术手段之一．
ＫｅｙＷｏｒｄｓ：Ｃａｒｌｅｍａｎｉｎｅｑｕａｌｉｔｙ，Ｅｘａｃｔｌｙｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｌｅ，Ｎｕｌｌｃｏｎｔｒｏｌｌａｂｌｅ，Ｐａｒ录
中文摘要…………………………………………………………………………．．Ｉ英文摘要…………………………………………………．．．……………………．．Ⅱ 目录…………………………………………………………………………．ＩⅡ §ｌ引言……………………………………………………………………………１ §２抛物方程的Ｃａｒｌｅｍａｎ不等式及证明………………………………………………４ §３Ｃａｒｌｅｍａｎ不等式在线性抛物方程的能控性中的应用………………．．……………．１９３．１热方程的能控性………………………………………………………………．１９３．２线性抛物方程的能控性………………………………………………………．．２ｌ §４Ｃａｒｌｅｍａｎ不等式在系数不光滑的抛物方程能控性中的应用………………………．２６ §５Ｃａｒｌｅｍａｎ不等式在抛物方程组能控性中的应用…………………………………．．３３参考文献…………………………………………………………………………．３９一冀．致谢…………………………………………………………………………．４ｌ

一类边界退化抛物系统的零可控性

ＮｕｌＣｏｔｏｌｂｌｙｏａｓｏｒｂｌｙｔｍｓｌｎｒｌｉｔｆａＣｌｓｆＰａａｏｉＳｓｅａｉｃ
ｗｉｈＢｏｎａｙＤｅｅｅａｙｔｕｄｒｇｎｒｃ
ＷＥＩＹａ．ｅｇｎｆｎ，ＤＵｎ．ｅＲｕｍ１。
魏岩峰，杜润梅
（．北华大学师范分院基础部，１吉林吉林１２１；．吉林大学数学研究所，３０３２长春１０１）３０２
摘要：考虑一类边界退化抛物系统的零可控性，其中支配方程在退化边界上弱退化，并且满足Ｎｕｎｅｍａｎ零边值条件．建立了该系统的Ｃｒｍｎ不等式和可观测性不等式，并得到了该系ａｌａｅ
其中：＞０；Ｔ＞；０ｈ∈Ｌ（０１（，）Ｘ（，）是控制函数；＝（。）（，）０Ｔ），ｃ０１是控制区域．方程（）１度场的简化模型．方程（）１在＝０处是退化的．并且当０＜＜１时，弱退化的；当 ≥１时，强退化的．方程（）是是１的边值条件为
统的零可控性．
关键词：界退化；可控性；Ｃｒｍｎ不等式；可观测性不等式边零ａｌａｅ
中图分类号：１５２Ｏ７．６文献标志码：Ａ文章编号：１７－４９２１）５０４－６１５８（０１０－８９４０
可控的．
∈（１，０，）
『（，）＝“ １ｔ＝０ “０ｔ（，），０＜Ｏ１ｔ∈ （，）ｔ＜，０Ｔ，， ¨ 【“ ０ｔ＝ｕ１ｔ＝０Ｏ ≥ １ｔ∈ （，）Ｍ（，）（，），Ｌ，０Ｔ；初值条件为． “ ，）＝Ｕ（，（０）

一类带最大单调图的非线性抛物型方程的能控性

另一方面，由共轭方程（．）以及Ｏ和的性质，司得到２，２Ｌ
础
×（，０
。ｅ
ｓ。
由此不等式和（．式，可以选取足够大的常数ｓ得到（．）．２）６２４式定理２１设ａ∈Ｌ。ＱＴ．．。（）则存在常数Ｍ，使得只要９∈Ｌ。Ｑ）满足。（，
（．式中，Ｖ∈ ｏ（ ×（，）表示控制函数；１１）。０）
在 ∑ 上，Ｔ在Ｑ中．
表示上的特征函数．本文中，
是Ｒ ×Ｒ上的最大单调图；０（；Ｒ—Ｒ满足 ∈ Ｑ）ｆ：（１厂Ｈ）．局部Ｌｐｃｉ连续，ｆｏ＝０则ｉｈｚｓｔ（），
ｏｘｔ＝ｅ。一（）其中 ∈Ｌ。【．（，）一，。（）２注１２（．式在下面的条件下也是零能控的．１）１
（ｆ连续，ｆＯ＝０且ｌ（）Ｃｌｌ２ｓ∈Ｒ，中Ｃ和Ｃ常数；ｉ）（），，ｓｌｌ＋Ｃ，ｓ其ｌ２是（）．局Ｌｐｃｉｉ厂全ｉｉｓｈｔｚ连续，ｆ０＝０且满足（．）（），１２式；
文从三个方面考虑．一是非齐次项ｇ本文考虑在处消逝的情况，ｆ．Ｍ（－）ｄｄ．即．／ｔ．Ｔｘｔｅ
＜＋。，中Ｍ为依赖于Ｑ，和ｌ。其，。。的常数．本文中所提的条件（．）１与文献［和文４３］献『相较，更为一般．二是控制函数Ｖ相较于一般的控制，本文得到。控制需要更６１，。

抛物型方程范文

抛物型方程范文抛物型方程是描述一类物理现象的偏微分方程，主要用于描述质点在受力作用下的运动。

常见的抛物型方程包括热传导方程、亥姆霍兹方程和波动方程等。

在这篇文章中，我将从热传导方程和亥姆霍兹方程两个方面来介绍抛物型方程的基本概念、特点和解法。

热传导方程是描述物质热传导过程的方程，其一般形式为：$$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \cdot\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$其中，$u(x,t)$表示物质的温度分布，$x$表示空间变量，$t$表示时间变量，$\alpha$表示热扩散系数。

这个方程可以用来描述物体在温度差驱动下的热传导过程。

其特点是，如果初始时刻温度分布和边界条件已知，则可以求解出任意时刻的温度分布。

亥姆霍兹方程是描述波动现象的方程，其一般形式为：$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + k^2 u = f$$其中，$u(x)$表示波函数，$x$表示空间变量，$k$表示波数，$f(x)$表示外力源。

这个方程可以用来描述各种波动现象，如声波、光波等。

其特点是，如果已知边界条件和外力源，则可以求解出任意位置的波函数。

下面我们来具体介绍一些解抛物型方程的方法。

对于热传导方程，最常用的求解方法是分离变量法。

这种方法假设温度分布可以表示为一个时间函数和空间函数的乘积形式，然后将原方程代入得到两个常微分方程，再求解这两个方程得到温度分布。

但是这种方法只适用于一些简单的边界条件和外力源。

对于亥姆霍兹方程，常用的求解方法是格林函数法。

这种方法是先求解格林函数的方程，再利用格林函数和外力源的卷积来得到波函数。

格林函数可以看作是在单位脉冲作用下产生的响应波函数，因此利用外力源的线性叠加性质，可以得到任意外力源下的波函数。

此外，还有一些其他的数值方法可以用来求解抛物型方程，如有限差分法、有限元法等。

一类抛物型方程的第一边值问题解的唯一性

０引言
本文主要研究方程
下面介绍本文的主要定理：
定理设 ∈Ｃ－Ｑ）（Ｔ为方程（＿）２（Ｎｃ・一）１。Ｑ１１（．）１１
（．）１２（．）１３
（．）１４
～
地一＝
，
（ｔ ∈Ｑ，）Ｔ
其中Ｑ＝｛，）ｌ＜＜，＜≤ ，ｒ（ｔｘ／０ｔ在文献［— 】０１３中
已经证明了当方程（．）（．）的边界条件为齐１１～１中４次时，方程存在古典解，则该解是唯一的．本若在文中，我们主要考虑一般的情况下，即方程的边界条件和初始条件均为非齐次时，方程（．）（．）１１～１的４古典解若存在则必然唯一．
维普资讯
第７卷第１期
２００８年３月
南通大学学报（自然科学版）
ＪｕａｆＮａｔｎｉｅｓｔＮａｕａｃｅｃｉｏ）ｏｒｌｎｏｇＵｎｖｒｉｎｏｙ（ｔｒｌｉｎｅＥｄｔｎＳｉ
ｅｕｔｎ．ＵｓｎａｃｙｉｅｕｔｏｎｏｗａｌｉｅｕｔｎｑａｏｓｉｉｇＣｕｈｎｑａｎａｄＧｒｎｌｎｑａｉ，ｗｅｃｎｇｔｔｅｅｅｇｎｑｕｌ．Ｔｈｎｗｅｐｏｅｔｅｉｏａｅｎｒｙｉｅａｉｈｙｔｅｒｖｈ
ห้องสมุดไป่ตู้
ＴｈｒｔＢｏｅＦｉｓｕｎｄｒｌｆＰａａｌｃＰａｔａｆｅｅｉｕａｉｎｓａｙＶａｕｅｏｒｂｏｉｒｉｌＤｉｒｎｔａＥｑｔｏｌ

一类抛物型方程的熄灭

．
＋
（）６
业
２
＋
。
１＋
一‘ ＝１
（７／）
由）） ÷ １＋号（ｒ）（（得２一ｌ。５７解＿
由ｕ ∈ （，Ｑ）应用Ｅｒｎ — ｒｄｒｈｌｇＢｏｅ插值定理［］有ｉｗ３
，
ＩｕＩｃＩＩｕＩＪ：ＩＪＡ常数ｃ与ｕ，无关。为方便起见我们把这类参数都以ｃ表示（ ‘ ）
等ｌ＝，０ａ０＿ｌｎｉ’
ｚ，）＝ｚ（， ∈Ｑ ‘ ０（ ‘ ）０
其中Ｑ是Ｎ维欧氏空间尺中的有界光滑区域，边界记为ａＪ，ＰＱ，，，是正数，）Ｌ初值ｌ（），不恒为０ △ ｇ０，表示Ｌｐｃ算子。本文用ｌ表示（中的范数，ＱｌａｌｅａＱ）ｌ表示Ｑ的测度。
可得
（）８
。
由Ｇｉｄ一ｉｎ。［］ａ。Ｎｒｂｒ４不等式ｒｅｇ
ＩｓｃＪ：ＪｕＪ，Ｊｌｌｌ：：ＪｕｕＪｌＩ１０
—
ＪＩｕ）ｕ，的初边值问题，ＬＩ对解熄灭的充分必要条件作了详细的讨论。文［］３在文［］Ｉ的基础上加入一个
非线性项，得到了解熄灭的一个充分条件。受文［］［］［］Ｉ，２，３的启发，本文考虑以下初边值问题
警（△ｕＡｕ一＝， ∈ × ，）＋一）＋ｌｕ卢０（Ｑ（∞ ）０
本文的主要结果是：
定理
设０＜ｙ＜Ｐ＜ｌｔｘｔ是问题（），（，ｔ）１的解，则对任意ｚ）∈ ‘ｘｏ

含有一个控制的拟线性抛物系统的能控性

Ｉｔ＋ｆｘｔ，，），一△ Ｙ（，Ｙ＝０，
在Ｑ内，
Ｊ一ｚｇ￣ｚＹｚ）（）在内Ｉ △０（ｙＶ）（，Ｑ，４ Байду номын сангаас ，一ｘ，，，在 ∑上．－＿
【（，）ｏ）（，）ｏ）ｙｘ０＝ｙ（，ｚ０＝ｚ（，ｘｘｘ在Ｑ内，
．，ｘｔ ∈Ｑ， ∈Ｒ ×Ｒ×Ｒ，） Ⅳ，
基金项目：国家自然科学基金（０７０７和华中农业大学 “ ６５４１）薪火”专项（０９０５资助２０ＸＨ０）
通讯作者
Ｎｏ１．
何红英等：含有一个控制的拟线性抛物系统的能控性
１５５
其中ｃｘｔ是个权函数，它的定义见下文中式（．ｅ，（）２３）
（３对任意ｉ１２３Ｊ１２３４有Ｈ）＝，，，＝，，，，
ｆ）１．１一
其中ｕｘｔ ∈ 。（）（，。Ｑ是控制函数，初始值（，）Ｗ（））ＹＺ ∈（，Ｑｎ础（），，。Ｏ【）ｆｇ是给定的函２
数，它们满足一定的性质，下文中将详细列出．本文引用的记号有： ∈＝（１∈，３） ∈，２∈ ， ∈Ｒ×Ｒ×ＲⅣ×ＲⅣ 其中 ∈，２∈Ｒ，３∈ ，ｌ∈ ∈，４∈ＲⅣ ；（１∈ ，３ ∈Ｒ ×Ｒ ×Ｒ其中 ∈ ，２∈Ｒ，３∈Ｒ我们记 ∈一（，４．视上下文在不引 ∈ ，２∈ ） Ⅳ，１∈ ∈ Ⅳ， ∈）起混淆的情况下，我们以ｌ１１ｌ．表示空间Ｒ， Ⅳ， ×Ｒ×Ｒ或者空间Ｒ ×Ｒ×ＲⅣ×ＲⅣ 中ＲＲ Ⅳ

一类无穷维系统的零能控性

１引言
一
为强度函数，因为它确定了．厂的强度．关于能控性的些概念，可以在文献［２— ４］等中获得更多细节．记＝（／，ｅ），ｎＥＮ，且称它们为－厂的关于基｛ｅ｝：的广义Ｆｏｕｒｉｅｒ系数．本文总是假定 ≠０，ｎ
∈Ｎ，理由将在稍后给出．本文的主要结果是下面的２个定理：
定理１．１假定
令为复数域Ｃ上的无穷维的可分Ｈｉｌｂｅｒｔ
空间，ｌｌ・Ｉ１和（・，・）分别表示
．
中的范数和
内积．令：
考虑如下的无穷维系统
＋【（０）其中，ｚ。 ∈
＝ｇ（ｔ）ｆ，ｔ∈ （０，Ｔ］，
ｏ，
＝
，、上
那么系统（１）是零能控的．
定理１．２假定存在｛Ａ｝：的子列（仍记为
收稿日期：２０１５— ０４— ２１
基金项目：国家自然科学基金青年基金（１１４０１４０４）和四川省教育厅自然科学青年科研基金（１３ＺＢ０１６４）
１）Ａ，ｎ ∈Ｎ满足Ａ＝ｋ（ｎ＋Ｏ／）＋ｏ（／Ｚ一），这里ｋ，Ｏｔ，卢都是实数且ｋ＞０，＞１；
２）对任意的叼＞０，成立ｌｉｍｉｎｆｌｆ￣Ｉｅ＞０，

具有动点控制的一维抛物型方程的精确零能控

具有动点控制的一维抛物型方程的精确零能控黄祖达;肖宏芳;孙波【摘要】考虑了一维抛物型方程ut=uxx+b(x,t)ux+f(u)+(Bv)(x,t),为了达到精确零能控,给出了支持动点控制的一些条件,并在技巧上简化了它们.而且,给出了一种新方法,用这个方法证明了具有超线性项的半线性系统也是精确零能控的.【期刊名称】《高师理科学刊》【年(卷),期】2011(031)002【总页数】5页(P12-16)【关键词】半线性抛物型方程;能控;点控制;超线性【作者】黄祖达;肖宏芳;孙波【作者单位】湖南文理学院数学与计算科学学院,湖南,常德,415000;长沙理工大学数学与计算科学学院,湖南,长沙,410076;长沙理工大学数学与计算科学学院,湖南,长沙,410076【正文语种】中文【中图分类】O175.26Abstract：Considered one dimensional parabolic equationsut=uxx+b(x,t)ux+f(u)+(Bv)(x, t)，gave and simplified some conditions for the support of point controls to achieve exact null controllability．Moreover，gave a new method，by which proved that semilinear systems with superlinear terms are also exactly null-controllable．Key words：semilinear parabolic equation；controllability；point control；superlinear伴有动点控制的抛物型方程很早就被Yoshiyukisakawa研究过[1]，他给出了有关线性系统的一个充要条件：此系统在任何有限时间可为一定点探测器观察到，这相当于说是大致能控的．文献[2]证明了抛物型方程是近似可为一动点所控制的，且维数少于3．文献[3]研究了有关一维抛物型方程Dirichlet边界问题SIAM J Contr Opt，2001（40）：231-252[4] Robinson J C．Infinite-dimensional dynamical systems[M]．Cambridge：Cambridge University Press，2001：136-139[5] Khapalov A Y．Exact null-controllability for the semilinear heat equation with superlinear term and mobilecinternal controls[J]．Nonlinear analysis，2001（43）：785-801【相关文献】[1] Yoshiyuki S．Observability and related problems for partial differential eqations of parabolic type[J]．SIAM J Control，1975（13）：14-27[2] Khapalov A Y．On unique continuation of solutions of the parabolic equation from a curve[J]．Control and Cybernetics，1996（25）：25-30[3] Khapalov A Y．Mobile point controls versus locally distributed ones for the controllability of the semilinear parabolic equation[J]．。