固体物理基础答案吴代鸣复习课程
固体物理基础_西安电子科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
固体物理基础_西安电子科技大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.晶体的物理性质具有各向异性，现有一NiCoO4样品经测试未发现各向异性，这表明该样品不是晶体。
参考答案:错误2.Mg和Cl两种元素只能形成金属晶体Mg和离子晶体MgCl。
参考答案:错误3.在能带底部（极小值处），Bloch电子的加速度与外力（）参考答案:方向相同4.晶体中产生电流的条件（）参考答案:不满带，且F外¹05.近自由电子的状态密度与自由电子的状态密度是一样的。
参考答案:错误6.对晶体比热的描述，下面正确的是（）参考答案:对确定的材料，晶体的比热在高温下为常数，低温下与成正比7.求晶体的比热时，在高温下，只能用Einsten模型，而低温时只能用Debye模型。
参考答案:错误8.螺旋操作存在于金刚石晶体中，滑移反映操作存在于NaCl晶体中。
参考答案:正确9.晶体是具有（）结构的固体。
参考答案:高度长程有序10.闪锌矿晶体结构是（）参考答案:由二套面心立方子格子沿体对角线方向滑移1/4长度套构而成11.在极低温下，声子热导率l分别与样品（晶粒）的尺度L和【图片】成正比。
参考答案:正确12.温度为T时，只有ħw³kBT的格波才能被激发，而ħw参考答案:错误13.费米分布函数的物理意义是指在热平衡态下，电子占据能量为E的电子态的几率。
参考答案:正确14.下列不属于布里渊区的特点是（）参考答案:各个布里渊区的形状都是相同的15.In的电负性为1.78，As的电负性为2.18，当这两个元素形成晶体时，该晶体的化学键是（）参考答案:共价键16.克龙尼克—潘纳模型中，在化简后的决定离子能量的超越方程中，关于P的描述正确的是（）。
参考答案:P的数值表达了粒子被束缚的程度17.离子键的特点是（）参考答案:无方向性、无饱和性18.光学支格波的特点是（）参考答案:q®0时，w¹019.晶体中具有氧八面体结构特征的是（）参考答案:钙钛矿结构20.金属结合的特点是（）参考答案:电子的共有化运动21.晶格振动的能量量子称为 ( )参考答案:声子22.在晶体中，一般能做理解面的是晶面指数低的晶面，这是因为（）参考答案:指数简单的晶面，它们的面密度较大，晶面间距也较大，沿着这些面间距大的晶面，晶体容易开裂，形成解理面。
固体物理基础答案解析吴代鸣复习课程
固体物理基础答案解析吴代鸣1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.证明：如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。
右边为底面的俯视图。
而三个正三角形构成的立体结构，其高度为2．若晶胞基矢c b a,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。
解：c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a===,,晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(倒格子基矢： kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢222321)()()(2)(2cl b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ故（hkl ） 晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h G d ++=++==πππ3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答：通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。
体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。
布拉菲晶格是简单立方格子。
4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。
解：（111）面平均每个（111）面有2213613=⨯+⨯个原子。
（111）面面积()222232322)22()2(221a a a a a a =⋅=-⋅ 所以原子面密度22)111(34232aa ==σ（110）面平均每个（110）面有2212414=⨯+⨯个原子。
（110）面面积222a a a =⋅所以（110）面原子面密度22)110(222aa==σ5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a2,21==，试画出第一、二、三、布里渊区。
固体物理吴代鸣第六章习题答案
固体物理基础 吴代明 复习讲义123章
▪2 复式晶格：每个基 元中含有两个或两个 以上的原子或离子 (NaCl)
4
▪ 3 简单晶格必须由同种原子组成；
▪ 反之，由同种原子组成的晶格却不一定是 简单晶格，如：金刚石、Mg、Zn 等晶格 都是复式晶格,
如: 相同原子但几何位置不等价的原子构成 的晶体金刚石。
2021/10/10
例如：Cu的面心立方晶格，Si的金刚石晶格和NaCl晶格，布拉伐格子都是面心 立方格子，每个格点的基元分别为 一个Cu、两个Si和一对Na+、Cl-离子。
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3
简单晶格与复式晶格图示
▪1 简单晶格：由完全 等价的一种原子构成 的晶格，而且每一个 基元只有一个原子。 (Cu, Na)
二者的关系： GnRl 2m (m为整数)；
表明：若两矢量点积为2π的整数倍，则其中一 个矢量为正格子位矢，另一个必为倒格子位矢。
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小结
(1)每个晶格都有两个点阵（或两套格子）同它联系着， 即正格子和倒格子（或晶体点阵和倒易点阵），二者互 易(例如体心立方与面心立方互为倒格子)，这两个点阵都 是由三个基矢所定义的空间无穷多个周期性排列的点阵 所构成，且两种格子空间中长度的量纲互为倒数；
格。
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三、原胞，晶胞
一个晶格中体积最小的周期性结构单元称原胞。
a2
a1
a2
a1
a2
a2
a1
a2
a1
a1
原胞及基矢的选取——不唯一
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1. 空间点阵原胞：空间点 阵中最小的重复单元， 只含有一个格点，对于 同一空间点阵，原胞的 体积相等。
固体物理吴代鸣 第三章
Ⅱ. 德拜模型
模型要点：
（1）用连续介质中的弹性波替代格波，即以弹性波 的色散关系ω(q)=Cq替代晶格格波的色散关系ω (q); （2）认为晶体中只存在三支弹性波，二支横波和一 支纵波，其色散关系分别为： ωt(q)=Ctq和ωl(q)=Clq。
体系规定：
N个原子组成，共有3N个晶格振动模。
重要结论
(2)T处于低温段时，实验规律与理论不符； 实验结论：CV（低温）～T3
爱因斯坦模型的评价
虽然Einstein模型简单，但与实验符合程度却相 当好，说明晶体比热的量子理论的成功；但极低温下 Einstein模型给出的比热容随温度T下降过快，而实 际上低温热容随温度的变化具有T3关系。只考虑了光 学模的贡献，完全忽略了声学波的贡献。说明 Einstein模型过于简单，需要进一步修正。晶格振动 采取格波形式，它们的频率值是不完全相同的，而是 有一定的分布情况。
0 其中 E (称爱因斯坦温度） kB
讨论
（1）高温情况（Ｔ>>θE): （2）低温情况（Ｔ<<θE):
CV 3 NkB
CV 3 NkB (
E
T
)2 e
T
E
T
T 0时, e
E
T
0, 有CV 3 NkB (
E
T
)2 e
E
0
结论：(1)T趋近于0时的理论结果与实际符合较好；
即Debye的T3定律
关于非谐效应
（1）格临爱森状态方程：
dU E d ln P , 其中 是格临爱森常数。 dV V d ln V CV （2）格临爱森定律： K 0V
表示当温度变化时，热膨胀系数近似与晶格热容量成比例。
固体物理课后答案
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π / 6 ≈ 0.52 体心立方 3π / 8 ≈ 0.68 面心立方 2π / 6 ≈ 0.74六方密排 2π / 6 ≈ 0.74 金刚石 3π /16 ≈ 0.34 解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。
证明：体心立方格子的基矢可以写为面心立方格子的基矢可以写为根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为同理与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。
注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。
根据定义，面心立方的倒格子基矢为同理而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。
证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为即为平面的法线根据定义，倒格子基矢为则倒格子原胞的体积为1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足其中a 为立方边长。
解：根据倒格子的特点，倒格子与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系因此只要先求出倒格，求出其大小即可。
因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。
1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。
若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。
答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a 。
固体物理基础(吴代鸣之高教版)课后1到10题答案
固体物理基础(吴代鸣之高教版)课后1到10题答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一． 本章习题P272习题1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633.一． 说明：C 是上下底面距离，a 是六边形边长。
二． 分析：首先看是怎样密堆的。
如图(书图1.10(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。
（同一面上有6个，上下各有3个）上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。
中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。
球心之间距离为a 。
所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。
三．证明：如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点33'aAB AO ==∴（由余弦定理)330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=633.1322384132)2()2()3()2(2222222222''≈===∴+=+=+=a c c a ac a ac OA AO OO2．若晶胞基矢c b a,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。
一、分析：我们想到倒格矢与面间距的关系G d π2=。
倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G++=写出)(321b b b 与正格子基矢 )(c b a的关系。
即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G。
进而求得此面间距d 。
二、解：c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a===,,晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(倒格子基矢： kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 222321)()()(2)(2cl b k a h G k cl j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ故（hkl ） 晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h Gd ++=++==πππ3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择每个原胞含有几个原子1．分析：考虑选取原胞的条件：（即布拉菲晶格的最小单元）（1）体积最小的重复结构单元（2）只包含一个格点（3）能反映晶格的周期性应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。
固体物理基础参考解答精编版
孙会元主编的《固体物理基础》中的习题参考解答
e CV =(
∂u π2 2 0 k B g (ε F )V = )T = γ T ∂T 3
式中 γ =
π2
3
2 0 kB g (ε F ) ，称 为 电 子 比 热 容 系 数 。由 于 电 子 比 热 容 系 数 与 费 米 面 处 的 能
态密度有关， 所以利用电子比热容系数可以直接提供费米面附近能态密度的信息。 8. 求 一 维 、二 维 和 三 维 情 形 下 ，自 由 电 子 的 能 态 密 度 。分 别 示 意 画 出 一 维 ，二 维 ， 三维自由电子气的能态密度曲线，并由此说明对于一维系统是否具有长程序， 为什么？ 答：三维下单位体积的能态密度为
0 εF = εF [1 −
π 2 k BT 2 ( 0 ) ] 12 ε F
所以，随着温度的升高，会导致费米能稍稍下降。也就是说，自由电子费米气体 对应的费米球略有变小。 4. 试 说 明 电 子 密 度 在 金 属 自 由 电 子 气 体 模 型 中 的 作 用 ？ 答：自由电子气体模型可用价电子密度 n 来描述，而且，n 是仅有的一个独 立参量。对于给定的金属，价电子密度是已知的。由此，我们可以求得具体的费 米波矢、费米能量、费米速度、费米温度等。 5. 如 何 理 解 金 属 自 由 电 子 气 体 的 简 并 性 ？ 答 ：在 统 计 物 理 中 ，把 体 系 与 经 典 行 为 的 偏 离 ，称 为 简 并 性 (degeneracy) 。在 绝对零度时电子仍有相当大的平均能量，这与经典的结果是截然不同的。按照经 典 的 自 由 电 子 气 体 (Drude) 的 模 型 ，电 子 在 T =0 时 的 平 均 能 量 为 零 。因 此 ，在 T =0K 时，金属自由电子气是完全简并的。系统简并性的判据是：
固体物理基础 第三版 课后答案 西安电子科技大学出版社(曹全喜 雷天明 黄云霞 著)
13.若轴矢 a 、 b、 c 构成简单正交系，证明。晶面族（h、k、l）的面间距为
2 d hkl
1 l 2 ( ) ( ) (c )
h 2 a k 2 b
co
证毕
m
2 a1 a 2 2 b3 k c
证 1：把原点选在该面族中任意一晶面上任一点，设相邻晶面分别与正交系 a 、 b、 c 交于
求面间距 d111。 解：由布拉格反射模型，认为入射角＝反射角 2dsin= d=
ww
1.54 =2.34(Å) 2 sin 19.2 0
17．试说明：1〕劳厄方程与布拉格公式是一致的； 2〕劳厄方程亦是布里渊区界面方程； 解：1〕由坐标空间劳厄方程： 与正倒格矢关系
Rl k h 2
w.
案 网
因为 b1 、 b2 、 b3 相互正交。
2 2
2
2
n 2 sin
Rl (k k 0 ) 2
比较可知：若
即入射波矢 k 0 ，衍射波矢 k 之差为任意倒格矢 k h ，则 k 方向产生衍射光， k h k k 0 式
co
the end 对主极大 取 n=1
w.
a3 || b3 , 且 b1 =| b2 |= b3
bi
设
ai
=m（为常值，且有量纲，即不为纯数）
则
ww
G hkl m(h a1 k a 2 l a3）＝m A
则
Ghkl 与 A 平行。
若以上正、倒基矢，换为正、倒轴矢，以上证明仍成立，则可用于 fcc 和 bcc 晶格。
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2
1 2 右边 ( in uin 4 un i ( n )
1 2 ( in (un ui ) 4 un i ( n )
S110 2a a 2a
110
2
1 1 4 2 2 4 2 2 2 a 2a
1－5设二维矩形格子的基矢 为a1 ai , a2 2aj , 试画出 头三个布里渊区。
2π π 解：倒格子基矢： b1 i , b2 j a a
e
i ( n2 n3 ) π
]
π i ( n1 n2 n3 ) 2
]
n1 n2 n3 2(2 N 1), N为整数； 消光条件为： n1 , n2 , n3中有二奇一偶或二偶一 奇
2 1证明一维NaCl晶格的马德隆常数 2 ln 2.
证明：任选一参考离子i，则左右两侧对称分布，
2
4 π 0 nB 得：r0 2 e
1 n 1
..............(2 )
'
e n 1 由(2)得：B r0 ...............(3) 4 π 0 n 2 Ne 1 (3)代入(1)得：U (r0 ) 1 ........(4) 8π 0 r0 n
2
3
4
1 1 1 令x 1，得： ln 2 1 ...... 2 3 4
2 ln 2
2－2若离子间的排斥势用e 来表示，只考虑 最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结 合能的表达式，并讨论参数和应如何决定。
固体物理基础(吴代鸣之高教版)课后11到13题答案
11．设有一维单原子晶格，在简谐近似下，考虑每一原子与其余所有原子的作用，试求格波的色散关系。
解：第n 个原子位移x n ，第n+p 个位移x n+p ，第n-p 个位移x n-p （P=1，2，3，……）。
设最近邻原子间力常数为β1，次近邻β2，再次近邻β3，……βp简谐近似下(由书P47，式3.1.6)：∑≠+=ji ij ij x U U 2041β第n个原子的运动方程：)(22n i in n i n nx x x U dtx d M -=∂∂-=∑≠β第n+p 和第n-p 个原子对第n 个原子的作用力：)2()()(n p n p n p p n n p n p n p p x x x x x x x f -+=---=-+-+βββ第n 个原子总的受力：)2(n p n p n p pp px x x f -+=-+∑∑β运动方程：)2(22n p n p n p pnx x x dt x d M -+=-+∑β试探解：)(t naq i n Ae x ω-= 代入运动方程：)2cos 2(0)2(22-=-∴≠-+=-∑∑-paq M x x e x e x Mx p pn n ipaq n ipaq n p pn βωβω所以色散关系为：)cos 1(2)(2pqa Mq pp-=∑βω12. 设有一维双原子晶格，最近邻原子间的力常数交错地等于β和10β，假定两种原子的质量相等，最近邻原子间距为a/2，试求格波的色散关系。
解：同一维单原子类似，可写出两种原子的运动方程n n n n u v v dt u d M βββ21010122-+=- n n n nv u u dtv d M βββ102122⨯-+=+ 试探解为)(t naq i n Ae u ω-= )(t naq i n Be v ω-=代入运动方程有：n n iaq n n u v e v Mu βββω210102-+=-- n iaq n n n v e u u Mv βββω202-+=-将u n 、v n 代入消去公因子)(t naq i e ω-得BA e AB M A B B e A M iaqiaq βββωβββω202101022-+=--+=--整理，化为关于A 、B 的线性方程组{)20()1(0)1(10)2(22=-++-=+---B M A e B e A M iaqiaq ωβββωβA ，B 有非零解的条件是上式系数行列式等于零，即2220)1()1(102ωβββωβM e e M iaqiaq -+-+---0=有)cos 1(210202400)1)(1(10)20)(2(24222222=+⋅-+--∴=++⋅----aq M M M e e M M iaq iaq βωωβωββββωβωβ即0)cos 1(20222422=-++-qa M M βωωβ 解出：{}2122222)]cos 1(204)22[(2221)(qa M M M M q -⋅-±=βββω])cos 20101(11[21qa M+±=β13.求出一维单原子晶格的模密度，并导出在低温下晶格比热与温度关系。
固体物理基础吴代鸣之高教版课后1到10题答案
一．本章习题P272习题1、试证理想六方密堆结构中c/a=1、633、一． 说明:C 就是上下底面距离,a 就是六边形边长。
二． 分析:首先瞧就是怎样密堆的。
如图(书图1、10(a),P8),六方密堆结构每个格点有12个近邻。
(同一面上有6个,上下各有3个)上下底面中间各有一个球,共有六个球与之相切,每个球直径为a 。
中间层的三个球相切,又分别与上下底面的各七个球相切。
球心之间距离为a 。
所以球心之间即格点之间距离均为a(不管就是同层还就是上下层之间)。
三． 证明:如图OA=a,OO ’=C/2(中间层就是上下面层的一半),AB=a O ’就是ΔABC 的三垂线交点33'a AB AO ==∴(由余弦定理)330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=633.1322384132)2()2()3()2(2222222222''≈===∴+=+=+=a c c a ac a ac OA AO OO2.若晶胞基矢c b a,,互相垂直,试求晶面族(hkl)的面间距。
一、分析:我们想到倒格矢与面间距的关系G d π2=。
倒格矢与晶面族 (hkl)的关系321b l b k b h G++=写出)(321b b b 与正格子基矢 )(c b a的关系。
即可得与晶面族(hkl) 垂直的倒格矢G 。
进而求得此面间距d 。
二、解:c b a ,,互相垂直,可令k c c j b b i a a===,,晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(倒格子基矢:kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b πππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=而与 (hkl)晶面族垂直的倒格矢 222321)()()(2)(2cl b k a h G k cl j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππ故(hkl) 晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h G d ++=++==πππ3.若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子,试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？1．分析:考虑选取原胞的条件:(即布拉菲晶格的最小单元)（1）体积最小的重复结构单元（2）只包含一个格点（3）能反映晶格的周期性应将几个原子组合成一个格点,然后构成原胞。
吴代鸣固体物理基础部分习题解答
8.证明一维NaCl 晶格的Madelung 常数2ln 2α=。
证明：任选一个离子为参考离子i ，左右两侧对称分布，令ij j r a a =（a 为晶格常数） 则有：111112......1234jj aα⎡⎤±=-+-+⎢⎥⎣⎦∑＝同号为-，异号为+。
已知级数234l n (1)......234x x x x x +=-+-+令x=1 则得：111l n 21......234=-+-+ 故Madelung 常数2ln 2α=。
9.若离子间的排斥势用-r/eρλ来表示，只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数λ和ρ应如何决定。
解：设最近邻离子间距离为r ，则ij j r a r =（以离子i 为原点）2/0204()4ij r ij ijij ij e e r r r u r e r ρλπεπε-⎧-=⎪⎪=⎨⎪±⎪⎩，（最近邻，），（最近邻以外）总的相互作用能为：2/()0124Nr j i j Ne U e ra ρλπε-≠⎡⎤=-±-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑最近邻 2/0..........................(1)24r Ne U Z e r ραλπε-⎡⎤∴=-+⎢⎥⎣⎦； 其中Z 为最近邻离子数 由平衡条件00r r U r =∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭得02/200.........................(2)4r e Z e r ρραλπε-= 得20001.......................(3)24N e U r r αρπε⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ 结合能0()c E U r =- 对于NaCl 等离子晶体：02201...................(4)9r rU K Nr r =⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭02/32000121............(5)184r e Z K e r r ραλπερ-⎡⎤-∴=+⎢⎥⎣⎦将（2）代入（5）得： 22320000121..................(6)1844e e K r r r ααπεπερ⎡⎤=-+⋅⎢⎥⎣⎦202400.........................(7)272e r e r K αραπε∴=+ 由（2）得：02/200......................(8)4r e e r Zρραλπε=则4220002003611243r K e e U r e πεααπεα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭10.如果NaCl 晶体中离子的电荷增加一倍，假定排斥势不变，试估计晶体的结合能以及离子间的平衡距离将产生多大变化？解：总相互作用能20........(1)24n N e B U r r απε⎛⎫=--⎪⎝⎭ 02210000...........(2)24n r r U N e nB r r r απε+=⎛⎫∂⎛⎫=-= ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭得到：11'0024..............(2)n nB r e πεα-⎛⎫=⎪⎝⎭由（2）得到：2100...............(3)4n e B r nαπε-=将（3）代入（1）得： 20001()1........(4)8N e U r r n απε⎛⎫=-- ⎪⎝⎭当电荷由e 变为2e 时，由（2·）和（4）可得：1010(2)4()n r e r e -= 1(2)4()nn U e U e -= 11.在一维单原子晶格中，若考虑每一个原子与其余所有原子都有作用，在简谐近似下求格波的色散关系。
吴代鸣固体物理基础部分习题解答
u k BT
u
−19
对于间隙原子，主要由 Frenkel（夫伦克尔）缺陷引起， n间 = ( NN ) e
4×1.6×10 − − n间 2 k BT 2×1.38×10−23 ×1300 =e =e = 1.79 × 10−8 ∴ 间隙原子浓度 N
1 ' 2
−
u 2 k BT
−
≈ Ne
u 2 k BT
�
( n,n )
� � � ik ⋅ Rm ' e γ ( R ∑ m ) ，对 m 的
求和只限于最近邻，试求 bcc 和 fcc 晶格 s 带的能量 E ( k ) 。 解： （1）对于 bcc 晶格，最近邻原子数 8 个，坐标为 （±
a a a ，代入上式得： ,± ,± ） 2 2 2
a a a � i ( − kx − k y − kz ) ⎤ ⎡ i ( k x a + k y a + k z a ) i ( − a kx + a k y + a kz ) Es (k ) = Es − β − γ ⎢e 2 2 2 + e 2 2 2 + ... + e 2 2 2 ⎥ ⎣ ⎦
17. 铜的空位形成能约为 1.26eV ， 间隙原子的形成能约为 4eV ， 试估计接近熔点 （ 1300K） 时空位和间隙原子的浓度，并比较两者的数量级。
−
解：对于空位，主要由 Schottky（肖特基）缺陷引起， n空 = Ne
1.26×1.6×10 − − n −23 ∴ 空位浓度 空 = e kBT = e 1.38×10 ×1300 = 1.32 ×10 −5 N
�
⎣
⎦
� m1 E1 (0) + m2 E2 (k 0 ) 因此： EF = m1 + m2
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1.试证理想六方密堆结构中c/a=1.633. 证明：如图所示，六方密堆结构的两个晶格常数为a 和c 。
右边为底面的俯视图。
而三个正三角形构成的立体结构，其高度为2．若晶胞基矢c b a,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。
解：c b a ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a,,晶胞体积abc c b a v )(倒格子基矢：kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢222321)()()(2)(2cl b k a h G k c l j b k i a h b l b k b h G 故（hkl ） 晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h G d3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？ 答：通过分析我们知道，原胞可选为简单立方，每个原胞中含有5个原子。
体心，八个顶点中取一个，对面面心各取一个原子（即三个）作为基元。
布拉菲晶格是简单立方格子。
4．试求面心立方结构的（111）和（110）面的原子面密度。
解：（111）面平均每个（111）面有2213613 个原子。
（111）面面积222232322)22()2(221a a a a a a所以原子面密度22)111(34232aa（110）面平均每个（110）面有2212414个原子。
（110）面面积222a a a所以（110）面原子面密度22)110(222a a5．设二维矩形格子的基矢为j a a i a a2,21 ，试画出第一、二、三、布里渊区。
解：倒格子基矢：jb j a j a j ax x a a a a v b k x a i ax i a x a a a a v b 11323321212212222)(2)(2222)(2所以倒格子也是二维矩形格子。
2b方向短一半。
最近邻;,22b b次近邻;2,2,,2211b b b b再次近邻;,,,12122121b b b b b b b b再再次近邻;3,322b b做所有这些点与原点间连线的垂直平分线，围成布里渊区。
再按各布里渊区的判断原则进行判断，得：第一布里渊区是一个扁长方形；第二布里渊区是2块梯形和2块三角形组成；第三布里渊区是2对对角三角和4个小三角以及2个等腰梯形组成。
6．六方密堆结构的原胞基矢为：k c a j a i a a ja i a a32123212321试求倒格子基矢并画出第一布里渊区。
解：原胞为简单六方结构。
原胞体积：c a j i j i c a i j ac j i a k c j i a j i a a a a v 2232123)3()3(41)]3(21[)3(21])3(21[)3(21)(倒格子基矢：kca a vb j i aj i a k c c a a a vb j i a kc j i a c a a a v b2)(2)3(2)]3(21[232)(2)3(32])3(21[232)(221321322321由此看到，倒格子同原胞一样，只是长度不同，因此倒格子仍是简单六方结构。
（注意：倒格子是简单六方，而不是六方密堆）选六边形面心处格点为原点，则最近邻为六个角顶点，各自倒格矢的垂直平分面构成一个六面柱体。
次近邻为上下底面中心，其垂直平分面为上下平行平面。
再次近邻是上下面六个顶角，其垂直平分面不截上面由最近邻和次近邻垂直平分面构成的六角柱体。
所以第一布里渊区是一个六角柱体。
比倒格子六方要小。
7．略8、证明一维NaCl 晶体的马德隆常数为2ln 2证明：，，则左右两侧对称分布任选一参考离子i最近距离）为晶格常数（正负离子；这里令a a a r j ij .为其中，异号为＋；同号; (4131211121)＝那么，有：j j a (4)32)1ln(利用展开式：432x x x x x (4)1312112ln ，得：1令x 2ln 29、若离子间的排斥势用 re 来表示，只考虑最近邻离子间的排斥作用，试导出离子晶体结合能的表达式，并讨论参数λ和ρ应如何决定。
解：离子为原点）（以，则设最近邻离子间距离为i r a r r j ij，（最近邻以外）4），（最近邻，4)(0202/ij ij ij r ij r e r r r e er u ij最近邻/)(02142总相互作用能为：r Nij jea re N U为最近邻离子数其中)1......(....................；42/02Z e Z r e NU r)2.....(....................4；得：0由平衡条件：/20020r r r eZ r e r U )3...(....................142得：0002r r e NU )(结合能0r U E c)4.........(. (91)等离子晶体：对于0220r r r U Nr K NaCl)5..(..........142181/2300200r e Z r e r K )6........(..........1442181得：)5(代入)2(将20023020r e r e r K)7.....(.. (7224)00202Kr e r e )8..(....................4得：)2(由/20020reZr e10、如果NaCl 结构晶体中离子的电荷增加一倍，假定排斥势不变，试估计晶体的结合能及离子间的平衡距离将产生多大变化。
解：)1........(42总相互作用能02n r B r e NU )2.( (0421020020)n r r r nB r e N r U )2....(..........4得：'11200n e nB r)3.....(..........4得：)2(由1002 n r ne B)4........(118)(得：)1(代入)3(002n r e N r U 11100'4)()2(4)()2(可知：)4(和)2(时，由2变为当电荷由 n nne U e U e r e r e e11、在一维单原子晶格中，若考虑每一院子于其余所有原子都有作用，在简谐近似下求格波的色散关系。
ji ijij j i ij ij u U u x U 20041)(21解：在简谐近似下：)(41个原子的运动方程：第222 j i ij ij n n n u u u U dtu d m n)(41右边)(2)(2 n j nj nj n i in in n u u u))()((41)(2)(2n j n j nj n i i n in n u u u u u))()((21)()(nj n j nj n i i n in u u u u)()(ni n i in u upn p n pn p u u u )2(pn aq p n t i aq p n t i pnaq t i naq t i n u Ae Ae Ae m Aeu )2(代入上式得：设))(())(()(2)( pp paq m)cos 1(2整理，得：212、设有一维双原子晶格，两种院子的质量相等，最近邻原子间的力常数交错地等于1 和2 ，试求格波的色散关系。
nn n n n n n n u u u dtu d m )()()(解：2121121122nn n n n n n n u u u u dt d m )()()(2111211222)()(;试探解：t naq i n t naq i n Be Ae uBA AeB m A B Be A m iaq iaq )()(代入方程，得：21212212120)()()(2121221221 m e e m iaq iaqmaqcos 2经计算，得：21222121213、已知一维单原子晶格的格波色散关系为)cos 1(2)(2qa Mq试求：(1)格波的模密度g( );(2)低温下晶格热容与温度的比例关系。
))((2)(解：一维时，模密度q dq lgaqdqMad M aq sin 22;21cos 由色散关系，得：22/142224M M M a d dqm q M q M M a q q d q l g02/14222)(4)())(()()(22)( 2/142224M M Ma lmT k d g T T EC B1)/exp()(晶格热容：）1项，（因为低温，略去4mB Tk e d M M a l TC11d eTM alTk B)似为无穷大主要，所以上限可以近因为低温，频率低的占(222)1(dx e e x T k M al xxB3经计算，上面积分＝2T Ma lk C B3214、将Debye 模型用于一维晶格，求低温下晶格热容与温度的关系，并和上题的结果进行比较，讨论Debye 模型的合理性。
cq 色散关系：解：对于德拜模型，有cdq d))((2)(q dq l g))((1q d c l1)(T k B e g d TC222)1(dx e e x T k c l xxB3上面积分＝2T c k l C B32温的情况下。
有其合理性，尤其是低成正比，说明德拜模型与上题结果比较，都与T。