江苏省苏州市高一数学上学期期末考试试题
江苏省苏州市高一上学期数学期末考试试卷
江苏省苏州市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）如图，正三棱柱的各棱长都2，E，F分别是的中点，则EF的长是（）A . 2B .C .D .2. （2分） (2018高一上·镇原期末) 若直线过点，则此直线的倾斜角是（）A .B .C .D .4. （2分）若点（5，b）在两条平行直线6x﹣8y+1=0与3x﹣4y+5=0之间，则整数b的值为（）A . 5B . -5C . 4D . -45. （2分） (2016高一下·淄川期中) 正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB′与A′C′所在直线的夹角为（）A . 30°B . 60°C . 90°D . 45°6. （2分）在下列区间中，函数的零点所在的区间为（）A .B .C .D .7. （2分）下列函数中，既是偶函数，又是在区间上单调递减的函数为（）A .B .C .D .8. （2分）下列命题中：1）平行于同一直线的两直线平行；2）平行于同一直线的两平面平行；3）平行于同一平面的两直线平行；4）平行于同一平面的两平面平行．其中正确的个数有（）A . 1B . 2C . 3D . 49. （2分）某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个），这种细菌由1个繁殖成4096个需经过（）A . 12小时B . 4小时C . 3小时D . 2小时10. （2分）一个水平放置的三角形的斜二侧直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′=1，那么原△ABO 的面积是（）A .B .C .D . 211. （2分）侧棱长都为的三棱锥的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则球的表面积为（）A .B .C .D .12. （2分） (2016高一上·荆州期中) 函数y= 的图象是下列图象中的（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）已知直线L斜率为﹣3，在y轴上的截距为7，则直线l的方程为________14. （1分） (2019高三上·建平期中) 已知函数，则方程的解 ________15. （1分）若logab•log3a=2，则b的值为________．16. （2分） (2019高二下·上海月考) 已知正三棱柱的底面边长为1，高为8，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行一周到达点的最短路线的长为________三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分） (2018高一上·温州期中) 已知集合A={x|0＜x+2≤7}，集合B={x|x2-4x-12≤0}，全集U=R，求：（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）A∩（∁UB）．18. （10分） (2019高一上·忻州月考) 计算下列各式的值．（1）；（2）．19. （10分） (2019高二上·雨城期中) 已知的三个顶点是（1）求边上的高所在直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程.20. （10分）已知函数f（x）= x3+x2﹣3x+a（I）求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为2，求它在该区间上的最大值．21. （10分） (2019高一上·嘉善月考) 设函数的定义域为集合 ,函数的值域为集合 .（1）求集合 ,；（2）若全集 ,集合 ,满足 ,求实数的取值范围.22. （15分） (2018高一下·临川期末) 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AB的中点.（Ⅰ）求证：CD 平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：BC1∥平面A1CD.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。
2022-2023学年江苏省苏州市苏州中学高一数学第一学期期末检测试题含解析
【解析】根据AC的斜率等于AB的斜率得到 ，解方程即得解.
【详解】由题意可得AC的斜率等于AB的斜率，
∴ ，解得a＝﹣8.
故答案为：-8
【点睛】本题主要考查斜率的计算和三点共线，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
14、
【解析】令 ，转化条件为方程 有解，运算可得
【详解】令 ，则 ，
化简得 ，
12．计算 ______
13．已知点A（3，2），B（﹣2，a），C（8，12）在同一条直线上，则a＝_____.
14．已知正实数x，y满足 ，则 的最小值为______
15． 的值是________
16．比较大小： ________ .
三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
∴|2x－1|< ，解得 <x< .
故选： .
【点睛】本题考查利用函数奇偶性和单调性解不等式，属综合基础题.
4、B
【解析】根据解析式得 ，进而得令 ，得 为奇函数， ，进而结合函数单调性求解即可.
【详解】函数 ，定义域为 ，
满足 ，
所以 ，
令 ，所以 ，所以 奇函数，
，
函数 在 均为增函数，
所以 在 为增函数，
【解析】 曲线 与直线 在 轴右侧的交点按横坐标从小到大依次记为 ，曲线 与直线 在 轴右侧的交点按横坐标转化为 根，解简单三角方程可得 对应的横坐标分别为 ， ，故选B.
【思路点睛】本题主要考查三角函数的图象以及简单的三角方程，属于中档题.解答本题的关键是将曲线 与直线 在 轴右侧的交点按横坐标转化为 根，可得 或 ，令 取特殊值即可求得 ，从而可得 .
8．“ ”是“ ”的（）
2019-2020学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4}，集合{1A =，3}，则(U A =ð ) A ．{1，3} B ．{2，4} C ．{1，2} D ．{3，4}2．（5分）函数()f x =的定义域为( )A ．(,4)-∞B ．(-∞，4]C ．(4,)+∞D ．[4，)+∞3．（5分）已知0.83a =，3log 0.8b =，3(0.8)c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<4．（5分）已知点(3,4)P 在角α的终边上，则cos()2πα+的值为( )A ．35B ．35-C ．45 D ．45-5．（5分）已知函数23,0()log ,0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则1(())2f f 的值等于( )A ．13-B ．13CD．6．（5分）在ABC ∆1tan tan A B A B ++=，则角C 的度数为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒7．（5分）如图，四边形ABCD 中，2AB DC =，E 为线段AC 上的一点，若35DE AB AD λ=-，则实数λ的值等于( )A ．15B ．15-C ．25 D ．25-8．（5分）如果函数()y f x =在其定义域内存在实数0x ，使得00()()()(f kx f k f x k =为常数）成立，则称函数()y f x =为“对k 的可拆分函数”．若()21x af x =+为“对2的可拆分函数”，则非零实数a 的最大值是( )A ．31)2B ．31)2C ．51)2D ．51)2二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．210．（5分）下列函数中既是定义域上的偶函数，又是(0,)+∞上的增函数为( ) A ．1||y x =B ．23y x =C ．||y lnx =D ．|||x y e =11．（5分）已知向量1(1,2)e =-，2(2,1)e =，若向量1122a e e λλ=+，则可使120λλ<成立的a 可能是( ) A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(0,1)-12．（5分）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象经过点1(,)32π，且在区间(,)126ππ上单调，则ω，ϕ可能的取值为( ) A ．2ω=，6πϕ=-B ．2ω=，2πϕ=-C ．6ω=，6πϕ=D ．6ω=，56πϕ=三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知(2,3)A -，(8,3)B ，若2AC CB =，则点C 的坐标为 ．14．（5分）函数()210x f x x =+-的零点所在区间为(,1)n n +，n Z ∈，则n = ．15．（5分）已知(0,)απ∈，sin cos αα+，则tan α= ． 16．（5分）已知函数22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，则a b += ，函数()y f x =的最小值为 ．四.解答题：本大题共4小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知{|()(2)0}A x x a x a =-+-<，{|04}B x x =<<． （1）若3a =，求A B ；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围．18．（12分）已知锐角α，β满足131cos ,cos 147αβ==． （1）求cos()αβ+的值； （2）求αβ-．19．（12分）如图，在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，60A =︒，D 为线段BC 中点，E 为线段AD 中点． （1）求AD BC 的值； （2）求EB EC 的值．20．（12分）摩大轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1)．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2)．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()sin()H t A t B ωϕ=++其中0A >，0)ω>，求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．2019-2020学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知全集{1U =，2，3，4}，集合{1A =，3}，则(U A =ð ) A ．{1，3}B ．{2，4}C ．{1，2}D ．{3，4}【解答】解：因为全集{1U =，2，3，4}，则集合{1A =，3}， 则{2U C A =，4}． 故选：B ．2．（5分）函数()f x =的定义域为( )A ．(,4)-∞B ．(-∞，4]C ．(4,)+∞D ．[4，)+∞【解答】解：由40x ->， 得4x <． ∴函数()f x =的定义域是：(,4)-∞．故选：A ．3．（5分）已知0.83a =，3log 0.8b =，3(0.8)c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c a b <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．b c a <<【解答】解：0.80331a =>=，33log 0.8log 10b =<=，300(0.8)0.81c <=<=， b c a ∴<<．故选：D ．4．（5分）已知点(3,4)P 在角α的终边上，则cos()2πα+的值为( )A ．35B ．35-C ．45 D ．45-【解答】解：点(3,4)P 在角α的终边上，5r ∴==， ∴4cos()sin 25y r παα+=-=-=-． 故选：D ．5．（5分）已知函数23,0()log ,0x x f x x x ⎧⎪=⎨>⎪⎩…，则1(())2f f 的值等于( )A ．13-B ．13CD．【解答】解：2log ,0()3,0x x x f x x >⎧=⎨⎩…211()log 122f ∴=-，111[()](1)323f f f -=-==．故选：B ．6．（5分）在ABC ∆1tan tan A B A B ++=，则角C 的度数为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【解答】解：因为tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++==-所以tan tan(())tan()C A B A B π=-+=-+= 又(0,180)C ∈︒︒， 故30C =︒， 故选：A ．7．（5分）如图，四边形ABCD 中，2AB DC =，E 为线段AC 上的一点，若35DE AB AD λ=-，则实数λ的值等于( )A ．15B ．15-C ．25 D ．25-【解答】解：2AB DC =，35DE AB AD λ=-，325DC DA λ=+，由向量共线定理可知，3215λ+=， 则15λ=， 故选：A ．8．（5分）如果函数()y f x =在其定义域内存在实数0x ，使得00()()()(f kx f k f x k =为常数）成立，则称函数()y f x =为“对k 的可拆分函数”．若()21xaf x =+为“对2的可拆分函数”，则非零实数a 的最大值是( )A ．31)2B ．31)2C ．51)2D ．51)2【解答】解：()21xaf x =+为“对2的可拆分函数”， 则存在实数m ，(2)f m f =（2）()f m ，得221521m m a a a =++，令2mt =， 故225(21)5(1)211m m t a t ++==++，令25(1)()1t g t t +=+，0t >，()g t '=当1)t ∈时，()g t 递增；当1t ∈，)+∞时，()g t 递减；故5()1)1)2max g t g =-===， 故选：D ．二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．（5分）已知集合{|2}A x ax =…，{2B =，若B A ⊆，则实数a 的值可能是( ) A ．1-B ．1C ．2-D ．2【解答】解：因为集合{|2}A x ax =…，{2B =，B A ⊆， 若1a =-，[2A =-，)+∞，符合题意，A 对； 若1a =，(A =-∞，2]，符合题意，B 对； 若2a =-，[1A =-，)+∞，符合题意，C 对； 若1a =，(A =-∞，1]，不符合题意，D 错； 故选：ABC ．10．（5分）下列函数中既是定义域上的偶函数，又是(0,)+∞上的增函数为( ) A ．1||y x =B ．23y x =C ．||y lnx =D ．|||x y e =【解答】解：1||y x =在(0,)+∞上为减函数，不符合题意， ||y lnx =为非奇非偶函数，不符合题意，23y x =和||x y e =为偶函数，且在在(0,)+∞上为增函数，故选：BD ．11．（5分）已知向量1(1,2)e =-，2(2,1)e =，若向量1122a e e λλ=+，则可使120λλ<成立的a 可能是( ) A ．(1,0)B ．(0,1)C ．(1,0)-D ．(0,1)-【解答】解：1(1,2)e =-，2(2,1)e =，∴向量11221(a e e λλλ=+=-，122)(2λλ+，2)λ，21(2λλ=-，122)λλ+，若使120λλ<成立，(1,0)a =，则1220λλ+=，满足题意， (0,1)a =，则2120λλ-=，不满足题意， (1,0)a =-，则1220λλ+=，满足题意， (0,1)a =-，则2120λλ-=，不满足题意，故选：AC ．12．（5分）已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象经过点1(,)32π，且在区间(,)126ππ上单调，则ω，ϕ可能的取值为( ) A ．2ω=，6πϕ=-B ．2ω=，2πϕ=-C ．6ω=，6πϕ=D ．6ω=，56πϕ=【解答】解：因为函数()f x 过点(3π，1)2， 所以1sin()23πω=+∅，所以236k ππωπ+∅=+，或5236k ππωπ+∅=+， 又因为在区间(,)126ππ上单调，所以2612T ππ-…，解得6T π…，26ππω…，所以12ω…，若函数()f x 在区间(,)126ππ上单调递增，则2222362k k k πππππωππ-+<+∅=+<+，()k Z ∈当0k =时，36ππω+∅=，若2ω=，则2π∅=-，若6ω=，则116π∅=-． 当1k =时，236ππωπ+∅=+，若6ω=，则6π∅=．若函数()f x 在区间(,)126ππ上单调递减，则532222362k k k πππππωππ+<+∅=+<+，()k Z ∈ 当0k =时，536ππω+∅=， 若2ω=，则6π∅=， 若6ω=，则76π∅=-． 当1k =时，5236ππωπ+∅=+， 若6ω=，则56π∅=， 故ω，∅可能取的值为2ω=，2π∅=-；6ω=，则6π∅=；6ω=，则56π∅=． 故选：BCD ．三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知(2,3)A -，(8,3)B ，若2AC CB =，则点C 的坐标为 (6,1) ． 【解答】解：设(,)C x y ，(2,3)A -，(8,3)B ，2AC CB =，(2x ∴-，3)2(8y x +=-，3)(162y x -=-，62)y -，∴2162362x x y y -=-⎧⎨+=-⎩，解得6x =，1y =，∴点C 的坐标为(6,1)．故答案为：(6,1)．14．（5分）函数()210x f x x =+-的零点所在区间为(,1)n n +，n Z ∈，则n = 2 ． 【解答】解：函数()210x f x x =+-的零点所在的区间是(,1)n n +，且n 为整数，f （2）50=-<，f （3）10=>，f （2）f （3）0<，根据函数零点的判定定理可得，函数()210x f x x =+-的零点所在的区间是(2,3)， 故2n =， 故答案为：2．15．（5分）已知(0,)απ∈，sin cos αα+，则tan α= ． 【解答】解：由25(sin cos )12sin cos 9αααα+=+=，得42sin cos 9αα=-，所以2413(sin cos )12sin cos 199αααα-=-=+=， 因为(0,)απ∈，所以sin 0α>，cos 0α<，所以sin cos αα-，与s i n c o s αα+=联立得，sin α=cos α=，所以sin tan cos ααα===故答案为：． 16．（5分）已知函数22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，则a b += 5 ，函数()y f x =的最小值为 ．【解答】解：由题意可知，0x =与1x =是函数的零点，22()()()f x x x x ax b =-++的图象关于直线2x =对称，20x ax b ∴++=的根为4，3，7a ∴=-，12b =，则5a b +=，函数22432()()(712)81912y f x x x x x x x x x ==--+=-+-．则32()42438122(2)(22f x x x x x x x '=-+-=--+-．①令()0f x '=，解得2x =，或2x =，或2x =；②令()0f x '<，解得2x <22x <<；③令()0f x '>，解得22x <<，或2x >+．()f x ∴在(,2-∞上单调递减，在(22)上单调递增，在(2,2上单调递减，在(2+)+∞上单调递增，在2x =处取得极大值，在2x =与2x =处取得极小值．65(24f -=-，5(24f =-． ∴函数()y f x =的最小值为54-．故答案为：5，54-．四.解答题：本大题共4小题，共70分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知{|()(2)0}A x x a x a =-+-<，{|04}B x x =<<． （1）若3a =，求A B ；（2）若AB A =，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）3a =时，{|13}A x x =-<<，且{|04}B x x =<<， (0,3)AB ∴=； （2）AB A =，B A ∴⊆，①2a a >-，即1a >时，{|2}A x a x a =-<<，则204a a -⎧⎨⎩……，解得4a …；②2a a <-，即1a <时，{|2}A x a x a =<<-，则024a a ⎧⎨-⎩……，解得2a -…；③2a a =-，即1a =时，A =∅，不满足B A ⊆，这种情况不存在； ∴综上得，a 的取值范围为(-∞，2][4-，)+∞．18．（12分）已知锐角α，β满足131cos ,cos 147αβ==． （1）求cos()αβ+的值； （2）求αβ-．【解答】解：已知锐角α，β满足131cos ,cos 147αβ==，故sin α=，同理sin β， （1）131334323cos()cos cos sin sin 14798αβαβαβ+=-=-=-； （2）由1336491cos()cos cos sin sin 9898982αβαβαβ-=+=+==，又锐角α，β，且cos cos αβ>，所以αβ<，故(2παβ-∈-，0)，故3παβ-=-．19．（12分）如图，在ABC ∆中，已知2AB =，4AC =，60A =︒，D 为线段BC 中点，E 为线段AD 中点． （1）求AD BC 的值； （2）求EB EC 的值．【解答】解：（1）D 为线段BC 中点，且2AB =，4AC =，∴22111()()()(164)6222AD BC AB AC AC AB AC AB =+-=-=⨯-=； （2）E 为线段AD 中点，∴EB ED DB =+1122AD CB =+ 11()()42AB AC AB AC =++- 3144AB AC =-， EC ED DC =+1122AD BC =+ 11()()42AB AC AC AB =++- 3144AC AB =-， ∴3131()()4444EB EC AB AC AC AB =-- 2253381616AB AC AB AC =-- 513324416821616=⨯⨯⨯-⨯-⨯ 54=-．20．（12分）摩大轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1)．某摩天轮的最高点距离地面的高度为90米，最低点距离地面10米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2)．开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱．摩天轮转一周需要30分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时．（1）经过t 分钟后游客甲距离地面的高度为H 米，已知H 关于t 的函数关系式满足()sin()H t A t B ωϕ=++其中0A >，0)ω>，求摩天轮转动一周的解析式()H t ；（2）问：游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度恰好为30米？（3）若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间相隔5个座舱，在摩天轮转动一周的过程中，记两人距离地面的高度差为h 米，求h 的最大值．【解答】解：（1）H 关于t 的函数关系式为()sin()H t A t B ωϕ=++， 由9010A B A B +=⎧⎨-+=⎩，解得40A =，50B =；又0t =时，(0)40sin 5010H ϕ=+=，解得sin 1ϕ=-，所以2πϕ=-；又30T =，所以223015T πππω===； 所以摩天轮转动一周的解析式为 ()40sin()50152H t t ππ=-+；（2）令()30H t =，得40sin()5030152t ππ-+=，即1sin()1522t ππ-=-，所以1cos 152t π=， 解得153t ππ=，或5153t ππ=， 解得5t =，或25t =；所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，和25分钟时，距离地面的高度恰好为30米；（3）由题意知，游客甲距离地面高度解析式为4050152y sin t ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭甲，游客乙距离地面高度解析式为40501532y sin t πππ⎡⎤⎛⎫=--+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦乙；则14040401515321515153h y y cost cos t cos t t cos t πππππππ⎛⎫⎛⎫=-=--==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭乙甲； 令153t πππ+=，解得10t =，此时h y y =-乙甲取得最大值为40；所以两人距离地面的高度差h 的最大值为40米．。
2023-2024学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，3，4}，N＝{2，4，5}，则M∩（∁U N）＝（）A．∅B．{4}C．{1，3}D．{2，5}2．已知幂函数y＝f（x）的图象过点（3，√3），则函数y＝f（x）+f（2﹣x）的定义域为（）A．（﹣2，2）B．（0，2）C．（0，2]D．[0，2]3．“实数a＝﹣1”是“函数f（x）＝x2+2ax﹣3在（1，+∞）上具有单调性”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动．一张纸每对折一次，纸张变成两层，纸张厚度会翻一倍．现假定对一张足够大的纸张（其厚度等同于0.0766毫米的胶版纸）进行无限次的对折．借助计算工具进行运算，整理记录了其中的三次数据如下：已知地球到月亮的距离约为38万公里，问理论上至少对折（）次，纸张的厚度会超过地球到月亮的距离．A．41B．43C．45D．475．已知一个扇形的周长为40cm，面积为100cm2，则该扇形的圆心角的弧度数为（）A．12B．1C．32D．26．已知cosα﹣sinα＝2sinαtanα，其中α为第一象限角，则tanα＝（）A．﹣1B．12C．1D．27．已知f（x）为偶函数，对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x3．若函数y＝f（x）的图象与函数g（x）＝log a|x|（a＞0，且a≠1）的图象恰有6个交点，则a的取值范围是（）A．（3，5）B．（3，5]C．（5，7）D．（5，7]8．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2）的图象过点（0，1），且f（x）在区间(π8，π4)上具有单调性，则ω的最大值为（）A．43B．4C．163D．8二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷
2021-2022学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷1.（单选题，5分）命题“∀x∈R，sinx+1≥0”的否定是（）A.∀x∈R，sinx+1＜0B.∃x0∈R，sinx0+1≥0C.∀x∈R，sinx+1≤0D.∃x0∈R，sinx0+1＜02.（单选题，5分）已知集合M= {x|√x＜1}，N={x|0≤x≤4}，则M∩N=（）A.（0，1]B.（1，4]C.[0，1）D.{1，4}3.（单选题，5分）在△ABC中，“ A=π6”是“ sinA=12”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.（单选题，5分）若定义域为R的奇函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，则不等式f （2x-1）-f（x）＜0的解集为（）A.（-∞，1）B.[0，1）C. [12，1)D.（1，+∞）5.（单选题，5分）若三个变量y1，y2，y3，随着变量x的变化情况如下表．aA.y1，y2，y3B.y3，y2，y1C.y1，y3，y2D.y3，y1，y26.（单选题，5分）已知a ，b ＞0，且a+2b=1，则 1a +2b 的最小值为（ ）A.6B.8C.9D.107.（单选题，5分）已知函数y=f （x ）的部分图象如图所示，则函数f （x ）的解析式最可能是（ ）A.y=xcosxB.y=sinx-x 2C. y =1−cosx 2xD.y=sinx+x8.（单选题，5分）若函数 f (x )={log 2x +2x ，x ＞0sin (ωx +π3)，−π≤x ≤0有4个零点，则正实数ω的取值范围是（ ）A. [43，73)B. [73，103) C. (43，73]D. (73，103]9.（多选题，5分）下列结果为1的是（ ）A. e 12e 14e 18B.lg2+lg5C. 823−912D.log 23×log 34×log 4210.（多选题，5分）已知a ＞b ＞c ＞0，下列结论中一定正确的是（ ）A.ab ＞bcB. a a−c ＞b b−cC.tana ＞tanbD.2022a-c +a ＞2022b-c +b11.（多选题，5分）若关于x 的不等式ae x +bx+c ＜0的解集为（-1，1），则（ ）A.b＞0B.|a|＜|c|C.a+b+c＞0D.8a+2b+c＞012.（多选题，5分）记区间M=[a，b]，集合N={y|y= k|x|，x∈M}，若满足M=N成立的实|x|+1数对（a，b）有且只有1个，则实数k可以取（）A.-2B. 12C.1D.313.（填空题，5分）写出一个满足“对任意实数a，b，f（a+b）=f（a）f（b）”的增函数f（x）=___ ．14.（填空题，5分）若对任意a＞0且a≠1，函数f（x）=a x+1+1的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ=___ ．15.（填空题，5分）若实数a，b满足a•2a=b•log2b=4，则a，b的大小关系a ___ b（填“＜”，“=”或“＞”）．16.（填空题，3分）立德中学拟建一个扇环面形状的花坛（如图），该该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后可通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧时，x=___ 米．现要给花坛的边缘（实线部分）进行装饰，已知直线部分的装度）．当θ=43饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，则花坛每平方米的装饰费用M最小为 ___ )．元(M=总费用花坛总面积17.（问答题，12分）已知集合A={x|x2-5x≤0}，B={x|（x-t）（x-t-6）≤0}，其中t∈R．（1）当t=1时，求A∪B；（2）若A⊆B，求t的取值范围．18.（问答题，12分）已知 sinα+sin (π2−α)=15 ，其中α为第二象限角．（1）求cosα-sinα的值；（2）求 1+sin 2αcos 2α+tanα 的值．19.（问答题，12分）已知函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|≤ π2）的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式和单调增区间；（2）将函数f （x ）的图象向左平移 π4 个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数g （x ）的图象，若关于x 的方程g （x ）-2m=0在区间[0，π]上有两个不同的解x 1，x 2，求g （ x 1+x 22 ）的值及实数m 的取值范围．20.（问答题，12分）已知函数f （x ）=x|x-m|+n ．（1）当f （x ）为奇函数，求实数m 的值；（2）当m=1，n ＞1时，求函数y=f （x ）在[0，n]上的最大值．21.（问答题，12分）已知函数 f (x )=log a (1x +a) ，其中实数a ＞0且a≠1．（1）若关于x 的函数 g (x )=f (x )+log a x 2 在 (12，34) 上存在零点，求a 的取值范围；（2）求所有的正整数m 的值，使得存在a∈（0，1），对任意x∈[m ，7]，均有不等式 f (1|ax−1|)＞f (x 1−a ) 成立．22.（问答题，12分）悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线．1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为 y =c 2(e x c +e −xc ) ，其中c 为参数．当c=1时，该方程就是双曲余弦函数cosℎ(x)=e x+e−x，类似的我们有双曲正弦函数sinℎ(x)=2e x−e−x．2（1）诸从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数y=cosh（2x）+sinh（x）的最小值；① [cosh（x）]2-[sinh（x）]2=1；② sinh（2x）=2sinh（x）cosh（x）；③ cosh（2x）=[cosh（x）]2+[sinh（x）]2．]，cosℎ(cosx)＞sinℎ(sinx)．（2）求证：∀x∈[−π，π4。
江苏省苏州市2022高一数学上学期期末考试试题(含解析)
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集U= {1,2,3,4}, 集合A= {1,3}, 则 （ ）
A. {1,3} B. {2,4} C. {1,2} D. {3,4}
17.已知A= {x| (x−a)(x+a−2) < 0},B= {x| 0 <x< 4}.
(1) 若a= 3, 求A∩B；
(2) 若A∪B=A，求实数a的取值范围.
【答案】(1)A∩B= ;(2)
【解析】
【分析】
(1)当a= 3时,求出集合 ,由集合的交集运算即可得解;(2)由A∪B=A知 ,对 的关系进行讨论并利用并集的性质列出不等式组,求出a的取值范围.
A.ω= 2,φ= B.ω= 2,φ= C.ω= 6,φ= D.ω= 6,φ=
【答案】BC
【解析】
【分析】
将各选项 代入解析式,逐项判断是否过点 ,再计算出正弦函数的单调区间,判断函数在区间 上是否单调,即可得解.
【详解】对于A, , ,图像不过点 ,不合题意;
对于B, , 图像过点 ,
令 ,解得 ,
所以 在区间 上单调递增;
对于C, , 图像过点 ,
令 ,解得 ,
令 ,解得 ,
所以 在区间 上单调递减;
对于D, , 图像过点 ,
令 ,解得 ,
当
所以 在区间 上不是单调函数,不合题意.
故选:BC
【点睛】本题考查正弦型函数的单调性,属于基础题.
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
(1) 经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，已知H关于t的函数关系式满足H(t)=Asin(ωt+φ)+B其中A>0,ω> 0)，求摩天轮转动一周的解析式H(t)；
苏州中学2022-2023学年高一上学期期末数学试题A(含解析)
江苏省苏州中学2022-2023学年度第一学期质量评估高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合{}212,4,2A a a a =+-，且3A -∈，则a =（）A.-1B.-3或-1C.3D.-32.“0ab >”是“2b aa b+≥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若不等式210x kx ++<的解集为空集，则k 的取值范围是（）A.22k -≤≤ B.2k ≤-或2k ≥ C.22k -<< D.2k <-或2k >4.命题“x R ∀∈，n N *∃∈，使得21n x ≥+”的否定形式是（）A.x R ∀∈，n N *∃∈，使得21n x <+ B.x R ∀∈，n N *∀∈，使得21n x <+C.x R ∃∈，n N *∃∈，使得21n x <+ D.x R ∃∈，n N *∀∈，使得21n x <+5.已知全集U R =，集合{}02A x x =≤≤，{}20B x x x =->，则图中的阴影部分表示的集合为（）A.{}12x x x ≤>或 B.{}012x x x <<<或 C.{}12x x ≤< D.{}12x x <≤6.已知命题:p x R ∀∈，2230ax x ++>，若命题p 为假命题，则实数a 的取值范围是（）A.13a a ⎧<⎫⎨⎩⎭B.103a a ⎧⎫⎨<⎩≤⎬⎭C.13a a ⎧≤⎫⎨⎩⎭D.13a a ⎧≥⎫⎨⎬⎩⎭7.已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为{}13x x <<，则不等式0ax bcx a+>+的解集为（）A.143x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B.143x x ⎧⎫-<<-⎨⎩⎭C.143x x x <->⎧⎫⎨⎬⎩⎭或 D.143x x x <->-⎧⎫⎨⎩⎭或8.若存在正实数b ，使得()ab a b b a +=-，则（）A.实数a 1B.实数a 1C.实数a 1D.实数a 1二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.“22320x x --<”的一个充分不必要条件可以是（）A.1x >-B.01x <<C.1122x -<< D.2x <10.设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,4A =，{}0,1,3B =，则（）A.{}0,1A B = B.{}4U C B = C.{}0,1,3,4A B = D.集合A 的真子集个数为811.已知0a >，0b >，且1a b +=，则（）A.2728a b +≥B.114a b +≤ C.14ab ≤≤12.已知关于x 的不等式(1)(3)20a x x -++>的解集是()12,x x ，其中12x x <，则下列结论中正确的是（）A.1220x x ++= B.1231x x -<<< C.124x x -> D.1230x x +<三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知集合{}A x x a =≤，{}13B x x =≤≤，且(),R A C B R = ，则实数a 的取值范围是_________.14.已知0a >，0b >，5a b +=的最大值为____________.15.古希腊数学家欧几里得所著《几何原本》中的“几何代数法”，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明“如图，O 为线段AB 中点，C 为AB 上的一点.以AB 为直径作半圆，过点C 作AB 的垂线，交半圆于D .连结OD ，AD ，BD ，过点C 作OD 的垂线，垂足为E .设AC a =，CB b =，则图中线段2a b OD x +==，线段CD y ==，线段________2abz a b==+；由该图形可以得出x ，y ，z 的大小关系为__________（第一空3分，第二空2分）16.若集合{}20x x tx t +-<中恰有二个元素是整数，则实数t 的取值范围为___________.四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（10分）设a ，b ，c R ∈，证明：222a b c ab ac bc ++=++的充要条件是a b c==18.（12分）已知集合{}2131A x a x a =-<<+，集合{}14B x =-<<（1）当0a =时，求()R C A B ；（2）若A B ⊆，求实数a 的取值范围.19.（12分）求关于x 的不等式210ax x ax +--<的解集.20.（12分）已知:431p x -≤，2:4310q x ax a -+-≤.（1）是否存在实数a ，使得p 是q 的充要条件？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.（2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.21.（12分）如图，长方形ABCD 表示一张6×12（单位：分米）的工艺木板，其四周有边框，中间为薄板，木板上一瑕疵（记为点P ）到外边框AB ，AD 的距离分别为1分米，2分米，现欲经过点P 锯掉一块三角形废料MAN ，其中M ，N 分别在AB ，AD 上，设AM ，AN 的长分别为m 分米，n 分米.（1）求证：211m n+=；（2）为使剩下木板MBCDN 的面积最大，试确定m ，n 的值；（3）求剩下木板MBCDN 的外边框长度（MB ，BC ，CD ，DN 的长度之和）的最大值及取得最大值时m ，n 的值.22.（12分）已知一元二次函数2(0)y bx c a ++≠（1）若0y >的解集为{}34x x -<<，解关于x 的不等式22(3)0bx ax c b +-+<（2）若对任意x R ∈，不等式2y ax b ≥+恒成立，求222b a c+的最大值.高一数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】D【解析】若243a a +=-则1a =-或-3，当1a =-时242a a a +=-，与集合元素互异性矛盾，所以3a =-，此时{}12,3,5A --=，若231aa -=-⇒=-舍去综上3a =-故选D2.【答案】C【解析】若0ab >，则0a b >，0b a >，所以2b a a b +≥=，当且仅当b a a b =成立，充分若2b a a b +≥，则0a b >，0ba>，所以0ab >，必要故选C 3.【答案】A 【解析】由题意得2Δ4022k k =-≤⇒-≤≤，故选A4.【答案】D5.【答案】A 【解析】{}{}2010B x x x x x x =->=><或，由题意可知阴影部分对应的集合为()()U C A B A B ，∴{}12A B x x =<≤ ，A B R = ，即{}()12U C A B x x x =≤> 或，∴{}()()12UA B A B C x x x =≤> 或，故选A.6.【答案】C【解析】首先求出命题p 为真命题的a 的范围.若0a=，则不等式等价为230x +>，对于x R ∀∈不成立，若0a≠，则04120a a >⎧⎨∆=-<⎩，解得：13a >，∴命题p 为真命题的a 的取值范围为13a a⎧>⎫⎨⎬⎩⎭，∴使命题p 为假命题的a 的范围是13a a⎧≤⎫⎨⎩⎭.故选C.7.【答案】C【解析】因为关于x 的一元二次不等式20axbx c ++>的解集为{}13x x <<，所以1和3为方程20ax bx c ++=的两个根，所以3ca =，4b a =-，0a <，则0ax b cx a +>+，等价于4031x x ->+，即()()3140x x +->，故不等式的解集为()1,4,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭.故选：C.8.【答案】C 【解析】()aba b b a +=-，可得()2210b a a b a +-+=，由于存在0b >，可得上式有两个正根，可得121b b =，21210a b b a-+=>，()222140a a --≥，即有212a a-≥，且()()2212120a a a a -+--≥，解得1a≤--或01a <≤，则a 1-，故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】BC 【解析】∵22320xx --<，∴122x -<<，∵10,1,22⎛⎫⊆- ⎪⎝⎭，111,,2222⎛⎫⎛⎫-⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴01x <<或1122x -<<是22320xx --<的充分不必要条件，故选：BC.10.【答案】A C 【解析】∵全集{}0,1,2,3,4U=，集合{}0,1,4A =，{}0,1,3B =，∴{}0,1A B = ，故A 正确，{}2,4U C B =，故B 错误，{}0,1,3,4A B = ，故C 正确，集合A 的真子集个数为3217-=，故D 错误故选：AC.11.【答案】ACD【解析】∵0a >，0b >，且1a b +=，∴10b a =->，∴01a <<，∴2221772212488a b a a a ⎛⎫+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，∴A 正确，∵1111()224b aa b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仪当12a b ==时，等号成立，∴114a b +≥，∴B 错误，∵0a >，0b >，1a b =+≥，∴14ab ≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，∴C 正确，∵2112a b =+++=≤，当且仅当12a b ==时，等号成立，∴D 正确，故选：ACD12.【答案】ACD【解析】由关于x 的不等式(1)(3)20(0)a xx a -++>≠的解集是()12,x x ，其中12x x <，所以0a<，且1x ，2x 是一元二次方程22230ax ax a ++-=的解，所以122x x +=-，1223233a x x a a-==-<-，所以1220x x ++=，1230x x +<，选项AD 正确，又因为124x x -=，所以选项C 正确.由方程(1)(3)20a xx -++=的解是-3和1，得出不等式(1)(3)20a x x -++>的解集为()12,x x ，此时1231x x <-<<，选项B 错误.故选：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.【答案】[)3,+∞【解析】∵{}A x x a =≤，{}13B x x =≤≤，∴(,1)(3,)R C B =-∞+∞ ，又()R A R C B = ，∴3a ≥.14.【答案】【解析】22≤=⇒，当且仅当=等15.【答案】ED ；z y x≤≤【解析】由题意得：2a bOD+=，CD ab =，由于CD OC ⊥，CE OD ⊥，∴~OCD OEC △△，则OD CDCD ED=，故22a bab abED ED a b ab+=⇒=+，利用直角三角形的边的关系，得OD CD DE >>.当O 和C 重合时，ODCD DE ==，∴22ab a b ab a b +≤≤+，即z y x ≤≤.16.【答案】16914,,3223⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 【解析】法一：220(1)x tx t t x x +-<⇒-->，当1x >时211211x t x x x ->=-++--当1x <时，211211x t x x x -<=-++--，作出1()121f x x x =-++-的图像，如图所示，当1x >时，若()t f x ->有两个整数解，则(3)(4)f t f <-≤，即9161692332t t <-≤⇒-≤<-当1x <时，若()t f x -<有两个整数解，则(2)(1)f t f -≤-<-，即41143223t t -≤-<-⇒<≤综上.t 的取值范围为16914,,3223⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ 法二：∵集合{}2x xtx t +-<中恰有两个元素是整数，∴不等式20x tx t +-<的解集中恰有两个整数解，而函数()2f x x tx t =+-恒过点()1,1，则①若0t<，则由(1)10f =>，02tx =->，抛物线开口向上，得到这两个整数解为2和3，则(2)0f <，(3)0f <，(4)0f ≥，∴t 的取值范围为169,32⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，②若0t>，则由(1)10f =>，02tx =-<，抛物线开口向上，得到这两个整数解为-1和0，则(2)0f -≥，(1)0f -<，(0)0f <，∴t 的取值范围为14,23⎛⎤⎥⎝⎦，综上，t 的取值范围为16914,,3223⎡⎫⎛⎤--⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ .四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】①必要性：如果222a b c ab bc ca ++=++，则2220ab c ab bc ca ++---=所以222()()()0a b b c c a -+-+-=所以()0a b -=，()0b c -=，()0c a -=.即ab c ==.（2）充分性：若a b c ==.所以222()()()0ab bc c a -+-+-=所以2220a b c ab bc ca ++---=所以222ab c ab bc ca++=++综上可知：222a b c ab bc ca ++=++的充要条件是a b c ==.18.【解析】（1）当0a=时，{}11A x x =-<<，∴{}11R C A x x x =≤-≥或，∴(){}14R A B x C x =≤< .（2）∵A B ⊆，∴集合A 可以分为A =∅或A ≠∅两种情况讨论.当A =∅时，2131a a -≥+，即2a ≤-；当A ≠∅时，得2113142131a a a a -≥-⎧⎪+≤⎨⎪-<+⎩即01a ≤≤.综上，(][],20,1a ∈-∞- .19.【解析】210(1)(1)0ax x ax ax x +--<⇒+-<当0a=时，不等式的解集为{}1x x <当0a>时，不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭，不等式的解集为11x x a ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭当0a<时，不等式可化为1(1)0x x a ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭若1a=-，则不等式的解集为{}1x x ≠若10a -<<，则不等式的解集为11x x x a >-<⎧⎫⎨⎬⎩⎭或若1a<-，则不等式的解集为11x x x a <->⎧⎫⎨⎬⎩⎭或20.【解析】因为1431143112x x x -≤⇒-≤-≤⇒≤≤（1）若p 是q 的充要条件，则不等式24310x ax a -+-≤的解集为112xx ⎧≤≤⎫⎨⎬⎩⎭，所以11421312a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，此方程组无解，所以不存在实数a ，使得p 是q 的充要条件（2）若p 是q的充分不必要条件，则集合1x ⎧≤≤⎫⎨⎬⎩⎭为不等式24310x ax a -+-≤解集的真子集所以231231030424014310a a a a a a a ⎧⎧≤-+-≤⎪⎪⇒⇒≤≤⎨⎨⎪⎪≥⎛⎫ ⎪⎭⎩⎝-+-≤⎩，当a =时，22431010x ax a x -+-≤⇒-≤⇒11x -≤≤，满足题意，当34a =时，22515431030422x ax a x x x -+-≤⇒-+≤⇒≤≤，满足题意所以实数a 的取值范围为30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦21.【解析】（1）证明：过点P 分别作AB 、AD 的垂线，垂足分别为E 、F ，则PNF △与MPE △相似，从而PE NFME PF=，所以1122n m -=-，即2mn m n =+，所以211m n+=；（2）要使剩下木板MBCDN 的面积最大，即要锯掉的三角形废料MAN 的面积12Smn =最小，由（1）可知，211m n +=≥，解得8mn ≥，11当且仅当21m n=，即4m =，2n =时取等号，故当4m =，2n =时，剩下木板MBCDN 的面积最大；（3）解：要使剩下木板MBCDN 的外边框长度最大，即要m n +最小，所以212()3332n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭，当且仅当2n m m n=，即2m =+1n =+故当2m =+1n =MBCDN的外边框长度最大为33-分米.22.【解析】（1）∵20ax bx c ++>的解集为{}34x x -<<，∴0a <，34b a -+=-，34c b a a-⨯=⇒=-，12(0)c a a =-<，∴2222(3)02150(0)2150bx ax c b ax ax a a x x +-+<⇔-++<<⇔--<，∴解集为()3,5-.（2）∵22(2)0y ax b ax b a x c b ≥+⇔+-+-≥恒成立，∴22200Δ(2)4()0440a a b a a c b b a ac ⎧>>⎧⇔⎨⎨=---≤+-≤⎩⎩，∴204()b a c a ≤≤-，∴222222414()1c b a c a a a c a c c a ⎛⎫- ⎪-⎝⎭≤=++⎛⎫+ ⎪⎝⎭令1c t a =-，∵24()0a c a b -≥≥，∴010c c a t a≥>⇒≥⇒≥.∴22222441(1)22b t t ac t t t ≤=+++++，令24()(0)22t g t t t t =≥++.当0t =时，(0)0g =，当0t >时，4()222g t t t=≤=++∴222b a c +的最大值为2-.。
—学年苏州市第一学期期末考试(高一数学)
高 一 数 学第一学期期末考试一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填在答卷相应位置上．1.已知集合{}5,4,3,2,1=U ,集合{}3,2,1=A ，{}4,3=B ,则=)(B C A U ___________ 2.计算：=-)3cos(π___________3.设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且2)2()3(=-+f f ，则=-)3()2(f f ___________4.函数612++-=x x y 的定义域为___________5.在平面直角坐标系xOy 中，已知角α的顶点在原点，始边在x 轴正向，终边经过点)6,(-x P ，且53tan -=α，则x 的值为____________6.函数x y sin )21(=的值域为___________ 7.已知函数)0)(6sin(3)(>-=ωπωx x f 和)32cos(2)(π+=x x g 两图像的对称轴完全相同，则ω的值为____________8.设向量)2,2(),161,(t b t a ==，且b a //，则实数=t ____________ 9.函数)1(log 22x y -=的单调递增区间为____________10.已知向量)1,4(),2,2(==OB OA ,在x 轴上一点P 使⋅有最小值，则点P 的坐标为_______11.设向量)1,2(),2,(==b x a ，若b a 和的夹角为锐角，则实数x 的取值范围为___________12.已知3cos sin cos sin =-+αααα，则=--αααα22cos cos sin sin 1___________ 13.关于x 的不等式0222≤++-a ax x 的解集为M ，如果[]M ⊆4,1，则实数a 的取值范围为______14.对于函数)(x f y =和其定义域的子集D ，若存在常数M ，使得对于任意的D x ∈1，存在唯一的D x ∈2，满足等式M x f x f =+2)()(21，则称M 为)(x f 在D 上的均值。
江苏省苏州市学年高一上学期期末数学试卷
高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将符合要求的答案涂在答题卷上）1．（ 4 分）若集合 M={x|2 ﹣x ＜ 0} ， N={x|x ﹣ 3≤0} ，则 M ∩N 为（） A ． （ ﹣ ∞，﹣ 1）∪（ 2，3] B ．（﹣ ∞，3]C ．（ 2， 3]D ． （1， 3]2．（ 4 分） “ ”是 “A=30 °的”（）A ． 充分而不必要条件 C ． 充分必要条件B ． 必要而不充分条件 D ．既不充分也必要条件3．（ 4 分）下列函数中，既是偶函数又在（ A ． y=x3B ． y=|x|+1 0， +∞）内单调递增的是（）C ．y=﹣ x +12D ． y=2﹣ x4．（ 4 分）已知 sin α= ， α是第二象限的角，则 cos （π﹣ α）=（） A ．B ．C ．D ．5．（ 4 分）已知 f （ x ） = ，若 f （ x ） =3，则 x 的值为（）A ． 1 或B ． ±C ．D ． 1 或或6．（ 4 分）将函数 y=sin （ 2x+ ）图象上的所有点向左平移 个单位，得到的图象的函数解析式是（）A ． y=sin （ 2x+） B ． y=sin （ 2x+ ） C ．y=sin （ 2x ﹣ ） D ． y=sin2x7．（ 4 分） △ ABC 中，已知 a=2 A ． 60°B ． 30° ， b=2 ，A=60 °，则 B= （）C ．60°或 120°D ． 120°8．（ 4 分）若 x 满足不等式 |2x ﹣ 1|≤1，则函数 y=（ ） x的值域为（） A ． [0， ）B ． （ ﹣ ∞， ]C ．（ 0， 1]D ． [ ， 1]9．（ 4 分）函数在区间 [5 ， +∞）上是增函数，则实数 a 的取值范围是（） A ． [6， +∞）B ． （ 6， +∞）C ．（ ﹣ ∞， 6]D ．（﹣ ∞， 6）10．（ 4 分）设 f （ x ）=asin （ πx+ α）+bcos （πx+ β），其中 a ，b ，α，β均为非零实数，若 f= ﹣ 1，则 f 等于（） A ． ﹣ 1B ． 1C ．0D ． 2二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，请将答案填写在题中横线上）11．（ 4 分）函数的定义域是．12．（ 4 分）若 sin α+2cos α=0，则 sin 2α﹣ sin αcos α=．13．（ 4 分）已知 f （x ）是以 2 为周期的奇函数，在区间 [0 ， 1] 上的解析式为 f （x ） =2x ，则 f （ 11.5） =．x14．（ 4 分） f （ x ）是 R 上的偶函数，当 x ≥0 时， f （ x ） =2 +1，若 f （ m ） =5，则 m 的值为．15．（ 4 分）某项工程的流程图如图（单位：天）：根据图，可以看出完成这项工程的最短工期是天．三、解答题（本大题共8 小题，共 90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（ 8 分）计算： log 24+（﹣ 1） ﹣（ ）+cos ．17．（ 10 分）设 a ，b ， c 分别是 △ ABC 的三个内角 A 、B 、C 所对的边， S 是△ ABC 的面积，已知 a=4， b=5 ， S=5 ．（ 1）求角 C ； （ 2）求 c 边的长度．x（b＞0，b≠1）的图象过点（1，4）和点（2，16）．18．（12 分）已知函数f（x）=a+b（1）求f（x）的表达式；（2）解不等式f（x）＞（）；（3）当x ∈（﹣3，4] 时，求函数g（x）=log 2f（x）+x 2 6 的值域．﹣19．（12 分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，当a，b∈（0，+∞）时，均有f（a?b）=f （a）+f （b），已知f（2）=1．求：（1）f（1）和f（4）的值；（2）不等式f（x2）＜2f （4）的解集．20．（12 分）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期：（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值．22．（ 14 分）已知函数 f （ x ）=x 恒成立．求：（ 1） y=f （x ）的解析式；2 +（ a+1）x ﹣ b 2﹣2b ，且 f （ x ﹣ 1） =f （2﹣ x ），又知 f （ x ） ≥x （ 2）若函数 g （x ） =log 2[f （ x ）﹣ x ﹣1] ，求函数 g （x ）的单调区间．23．（ 14 分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥 上的车流速度 v （单位：千米 / 小时）是车流密度 x （单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过 20 辆/ 千米时，车流速度为 60 千米/ 小时，研究表明：当 20≤x ≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数． （Ⅰ）当 0≤x ≤200 时，求函数 v （ x ）的表达式；（Ⅱ）当车流密度 x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆 /小时） f （ x ） =x ?v （x ）可以达到最大，并求出最大值． （精确到 1 辆/小时）．（ ） 的值域为 江苏省苏州市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的，请将符合要求的答案涂在答题卷上） C ．BB ． A ．C ． A ．7．（ 4 分） △ ABC 中，已知 a=2 ， b=2 ，A=60 °，则 B= （）A ． 60°B ． 30°C ． 60°或 120°D ． 120°考点 ： 正弦定理． 专题 ： 解三角形．分析： 由正弦定理可得： sinB== ， B=30 °+k360 °或 B=150 °+k360 °， k ∈Z ，由 0＜ B ＜180°， a=2＞ b=2，即可求 B 的值．解答： 解：∵由正弦定理可得： sinB=== =sin30 °．∴ B=30 °+k360 °或 B=150 °+k360 °， k ∈Z ， 又∵ 0＜B ＜ 180°，a=2 ＞b=2 ，∴由大边对大角可得： 0＜B ＜ 60°，∴ B=30 °． 故选： B ．点评： 本题主要考察了正弦定理，三角形中大边对大角等知识的应用，属于基础题．x8．（ 4 分）若 x 满足不等式 |2x ﹣ 1|≤1，则函数 y=（ ） 的值域为（）A ． [0， ）B ． （ ﹣ ∞， ]C ． （ 0， 1]D ． [ ， 1]考点 ： 函数的值域．专题 ： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由不等式可得 0≤x ≤1；从而化简求函数的值域．解答： 解：由不等式 |2x ﹣1|≤1 解得，0≤x ≤1； 则 ≤≤1；故函数 y= x[ ，1]； 故选 D ． 9．（ 4 分）函数 在区间 [5 ， +∞）上是增函数，则实数a 的取值范围是（） A ． [6， +∞）B ． （ 6， +∞）C ． （ ﹣ ∞，6]D ．（﹣ ∞，6）﹣ 11．（ 4 分）函数的定义域是（ 0， 1]．12．（ 4 分）若 sin α+2cos α=0，则 sin α﹣ sin αcos α= 2． 解答： 解：∵ sin α+2cos α=0，∴移项后两边同除以 cos α可得： tan α=﹣ 2， ∴由万能公式可得： sin2α===﹣ ，cos2α= = =﹣ ，∴ sin α﹣ sin αcos α=2=﹣= ．考点 ： 复合函数的单调性． 专题 ： 函数的性质及应用．2t分析： 令 t=x ﹣ 2（ a ﹣1）x+1 ，则二次函数 t 的对称轴为 x=a ﹣ 1，且 f （ x ）=g （ t ）=2 ，故 函数 t 在区间 [5 ， +∞）上是增函数，故有 a ﹣ 1≤5，由此求得 a 的范围．解答： 解：令 t=x 2 2（ a ﹣ 1）x+1 ， t则二次函数 t 的对称轴为 x=a ﹣1，且 f （ x ） =g （ t ） =2 ，根据 f （ x ）在区间 [5 ，+∞）上是增函数， 故二次函数 t 在区间 [5 ，+∞）上是增函数， 故有 a ﹣1≤5， 解得 a ≤6，故选： C ．点评： 本题主要考查复合函数的单调性、二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想， 属于中档题．10．（ 4 分）设 f （ x ）=asin （ πx+ α）+bcos （πx+ β），其中 a ，b ，α，β均为非零实数，若 f= ﹣ 1，则 f 等于（） A ． ﹣ 1B ． 1C ． 0D ． 2考点 ： 运用诱导公式化简求值．专题 ： 分析： 三角函数的求值． 把 x=2012 ， f= ﹣ 1 代入已知等式求出 asin α+bcos β的值，再将x=2013 及 asin α+bcos β 的值代入计算即可求出值．解答： 解：由题意得： f=asin+bcos=asin α+bcos β=﹣ 1，则 f=asin+bcos= ﹣（ asin α+bcos β） =1， 故选： B ．点评： 此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键．二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分，请将答案填写在题中横线上）13．（ 4 分）已知 f （x ）是以 2 为周期的奇函数，在区间 [0 ， 1] 上的解析式为 f （x ） =2x ，则 f （ 11.5） =﹣1．考点 ： 函数的周期性．专题 ： 计算题；函数的性质及应用．分析： 由 f （ x ）是以 2 为周期的奇函数知 f （ 11.5） =﹣f （ 0.5） =﹣1． 解答： 解：∵ f （ x ）是以 2 为周期的奇函数，∴ f （ 11.5） =f （ 12﹣ 0.5） =f （﹣ 0.5） =﹣ f （ 0.5） =﹣ 1； 故答案为：﹣ 1．点评： 本题考查了函数的性质的应用，属于基础题．x14．（ 4 分） f （ x ）是 R 上的偶函数，当 x ≥0 时， f （x ）=2 +1，若 f （ m ）=5，则 m 的值为 ±2．考点 ： 函数奇偶性的判断． 专题 ： 函数的性质及应用．分析： 根据函数奇偶性的性质进行求解即可． 解答： 解：若 m ≥0，则由 f （ m ）=5 得 f （ m ） =2m=4 ，解得 m=2 ， ∵ f （ x ）是偶函数， ∴ f （﹣ 2）=f （2） =5， 则 m= ±2， 故答案为： ±2m+1=5 ，点评： 本题主要考查函数奇偶性的应用，解方程即可，比较基础．15．（ 4 分）某项工程的流程图如图（单位：天）：根据图，可以看出完成这项工程的最短工期是 7 天．考点 ： 流程图的作用． 专题 ： 图表型．分析： 本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时，应结合所给表格分析好可以合并的工序，注意利用优选法对重复的供需选择用时较多的．进而问题即可获得解答． 解答： 解：由题意可知：工序 ①→ 工序 ② 工时数为 2；工序 ②→ 工序③ 工时数为2． 工序 ③→ 工序⑤ 工时数为2，工序 ⑤→ 工序⑥ 工时数为 1，所以所用工程总时数为： 2+2+2+1=7 天． 故答案为： 7．点评： 本题考查的是工序流程图 （即统筹图） ，在解答的过程当中充分体现了优选法的利用、 读图表审图表的能力以及问题的转化和分析能力，属于基础题．即 2三、解答题（本大题共8 小题，共90 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（8 分）计算：log 24+（﹣1）﹣（）+cos ．考点：有理数指数幂的化简求值．专题：计算题．分析：根据指数幂的运算性质进行计算即可．解答：解：原式====1．点评：本题考查了指数幂的运算性质，是一道基础题．17．（10 分）设a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A 、B、C 所对的边，S 是△ABC 的面积，已知a=4，b=5 ，S=5 ．（1）求角C；（2）求 c 边的长度．考点：余弦定理；正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）由题意和三角形的面积公式求出，由内角的范围求出角C；（2）由（1）和余弦定理求出 c 边的长度．解答：解：（1）由题知，由S= absinC 得，，解得，又C 是△ABC 的内角，所以或；（2）当时，由余弦定理得= =21，解得；当时，=16+25+2 ×4×5×=61，解得．综上得，c 边的长度是或．点评：本题考查余弦定理，三角形的面积公式的应用，注意内角的范围．﹣x18．（12 分）已知函数f（x）=a+b（1）求f（x）的表达式；（b＞0，b≠1）的图象过点（1，4）和点（2，16）．（2）解不等式f（x）＞（）；（3）当x ∈（﹣3，4] 时，求函数g（x）=log 2f（x）+x 2 6 的值域．考点：指数函数的图像与性质；指数函数的图像变换．专题：函数的性质及应用．分析：（1）把点代入即可求出f（x）的表达式，（2）根据指数的单调性，原不等式转化为2x＞x2﹣3，解不等式即可；2（3）根据对数函数的图象和性质，函数g（x）转化为g（x）=（x+1 ）﹣7，根据定义域即可求出值域解答：解：（1）由题知解得或（舍去）x∴数f（x）=4 ，（2）f（x）＞（），∴4x＞（），∴22x＞∴2x＞x 2 3解得﹣1＜x＜3∴不等式的解集为（﹣1，3），2 x 2 2 2（3）∵g（x）=log 2f（x）+x ﹣6=log 24 +x ﹣6=2x+x ﹣6=（x+1 ）﹣7，∴x∈（﹣3，4]，∴g（x）min =﹣7，当x=4 时，g（x）max=18∴值域为[ ﹣7，18]点评：本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题19．（12 分）设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，当a，b∈（0，+∞）时，均有f（a?b）=f （a）+f （b），已知f（2）=1．求：（1）f（1）和f（4）的值；2（2）不等式f（x ）＜2f （4）的解集．考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：（1）由f（a?b）=f （a）+f （b），令a=b=1 得，令a=b=2 ，从而解得．（2）化简f（x2）＜2f （4）得f（x2）＜f（16）；从而由函数的单调性求解．解答：解：（1）∵f（a?b）=f （a）+f （b），﹣令 a=b=1 得， f （ 1） =f （1） +f （ 1）， ∴ f （ 1） =0；令 a=b=2，则 f （ 4） =f （2） +f （ 2） =2；2（ 2）∵ f （x ）＜ 2f （ 4）， ∴ f （ x 2f （16）； ∵ f （ x ）是定义在（ 0， +∞）上的增函数，2 ∴ 0＜ x ＜ 16；故﹣ 4＜x ＜ 0 或 0＜ x ＜ 4；故不等式 f （x 22f （ 4）的解集为（﹣ 4，0）∪（ 0， 4）． 点评： 本题考查了抽象函数的应用及单调性的应用，属于基础题．20．（ 12 分）已知函数 ．（Ⅰ）求 f （x ）的最小正周期： （Ⅱ）求 f （x ）在区间上的最大值和最小值．考点 ： 三角函数的周期性及其求法；两角和与差的余弦函数；三角函数的最值． 专题 ： 三角函数的图像与性质．分析： （Ⅰ）利用两角和公式和二倍角公式对函数的解析式进行化简整理后，利用正弦函数的性质求得函数的最小正周期． （Ⅱ）利用 x 的范围确定 2x+的范围，进而利用正弦函数的单调性求得函数的最大和最小值．解答： 解：（Ⅰ）∵，=4cosx （ ）﹣ 12= sin2x+2cos x ﹣ 1 = sin2x+cos2x=2sin （ 2x+），所以函数的最小正周期为π；（Ⅱ）∵﹣ ≤x ≤ ，∴﹣≤2x+≤，∴当 2x+= ，即 x=时， f （ x ）取最大值 2，当 2x+=﹣时，即 x= ﹣时， f （x ）取得最小值﹣ 1．点评： 本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值．解题的关键是对函数解析式的化简整理．）＜）＜﹣ ﹣ 22．（ 14 分）已知函数 f （ x ）=x 恒成立．求：（ 1） y=f （x ）的解析式；2 +（ a+1）x ﹣ b 2﹣2b ，且 f （ x ﹣ 1） =f （2﹣ x ），又知 f （ x ） ≥x （ 2）若函数 g （x ） =log 2[f （ x ）﹣ x ﹣1] ，求函数 g （x ）的单调区间．考点 ： 专题 ： 对数函数的图像与性质；函数解析式的求解及常用方法． 函数的性质及应用．分析： （ 1）由 f （x ﹣ 1） =f （ 2﹣ x ），得出 f （ x ）的对称轴，求出 a 的值，再由 f （ x ）≥x 恒 成立， △ ≤0，求出 b 的值即可；（ 2）求出 g （ x ）的解析式，利用复合函数的单调性，判断 g （ x ）的单调性与单调区间． 解答： 解：（ 1）∵ f （ x ﹣ 1）=f（ 2﹣ x ），∴ f （ x ）的对称轴为 x= ；（ 1 分）又∵函数 f （x ） =x 2∴﹣= ，2+（ a+1） x ﹣b ﹣ 2b ，解得 a=﹣2，22∴ f （ x ） =x ﹣ x ﹣ b ﹣2b ； （ 1 分）又∵ f （ x ）≥x 恒成立， 即 x 2x ﹣ b 22b ≥x 恒成立，22也即 x ﹣ 2x ﹣ b ﹣ 2b ≥0 恒成立；∴△ =（﹣ 2） 24（﹣ b 2整理得 b 22b ） ≤0， （ 1 分） +2b+1 ≤0，2即（ b+1） ≤0； ∴ b=﹣ 1， （ 2 分） ∴ f （ x ） =x 2﹣ x+1 ；（ 1 分）（ 2）∵ g （ x ） =log 2[x 2x+1 ﹣ x ﹣ 1]=log 2（ x 2﹣2x ）， （ 1 分） 令 u=x 2﹣ 2x ，则 g （ u ） =log 2u ； 由 u=x 22x ＞ 0，得 x ＞ 2 或 x ＜ 0， （2 分） 当 x ∈（﹣ ∞，0）时， u=x 22x 是减函数， 2 当 x ∈（2， +∞）时， u=x ﹣ 2x 是增函数； （ 2 分） 又∵ g （u ） =log 2u 在其定义域上是增函数，（ 1 分）∴ g （ x ）的增区间为（ 2，+∞），减区间为（﹣ ∞， 0）． （ 2 分）点评： 本题考查了函数的图象与性质的应用问题，也考查了不等式恒成立的应用问题，是综合性题目．23．（ 14 分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥 上的车流速度 v （单位：千米 / 小时）是车流密度 x （单位：辆 /千米）的函数，当桥上的车流密度达到200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过 20 辆/ 千米时，车流速度为 60 千米/ 小时，研究表明：当 20≤x ≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数． （Ⅰ）当 0≤x ≤200 时，求函数 v （ x ）的表达式；﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/ 小时）f（x）=x ?v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到 1 辆/小时）．考点：函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．专题：应用题．分析：（Ⅰ）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20≤x ≤200 时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（Ⅱ）先在区间（0，20]上，函数f（x）为增函数，得最大值为f=1200 ，然后在区间[20，200] 上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x 值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200] 上的最大值．解答：解：（Ⅰ）由题意：当0≤x ≤20 时，v（x）=60；当20＜x ≤200 时，设v（x）=ax+b 再由已知得，解得故函数v（x）的表达式为．（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得当0≤x ＜20 时，f（x）为增函数，故当x=20 时，其最大值为60×20=1200当20≤x≤200 时，当且仅当x=200 ﹣x，即x=100 时，等号成立．所以，当x=100 时，f（x）在区间在区间[0 ，200]上取得最大值为，即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333 辆/ 小时．答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式（Ⅱ）当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333 辆/小时．点评：本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题．。
江苏省苏州市高一数学上学期期末复习卷4苏教版
2021～2021学年第一学期期末复习试卷〔4〕高一数学一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题纸相应位置上．．．．．．．．. 1. 数集{}2,1M x =，那么实数x 的取值范围为 ▲ ．2. 设点(),A x y 是300角终边上异于原点的一点，那么y x的值为▲ ．3. 幂函数()f x 的图象经过点(，那么()f x 的解析式是▲ ．4. 方程x x 24lg -=的根(),1x k k ∈+，k Z ∈，那么k = ▲ ．5. 求值：1425sincos =34ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭▲ ． 6. 向量()()1,1,1,2a b =-=，且()2//()a b a b λ+-，那么=λ▲ ．7. 函数1ln y x=的图像先作关于x 轴对称得到图像1C ，再将1C 向右平移一个单位得到图像2C ，那么2C 的 解析式为 ▲ ．8. 扇形的周长为8cm ，那么该扇形的面积S 的最大值为▲ ．9. 函数3y =的定义域为 ▲ ．10. 假设1,2a b ==，且()a b a -⊥，那么向量a 及b 的夹角为▲ ．11. 设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，假设()()cos ,02=sin ,0x x f x x x ππ⎧⎛⎫-≤<⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤<⎩，那么154f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭▲ ． 12. O 为原点，点B A 、的坐标分别为()(),0,0,a a 其中常数0>a ，点P 在线段AB 上，且()01AP t AB t =≤≤，那么OA OP ⋅的最大值为 ▲ ．13. 定义在区间[]2, 2-上的偶函数()g x ,当0x ≥时()g x 单调递减,假设()()1g m g m -<，那么实数m 的取值范围是 ▲ ．14. 假设关于x 的方程kx x x =-2||有三个不等实数根，那么实数k 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解容许写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内.15. 〔本小题总分值14分〕设集合(){}{}22|44,,|45A x x a a x a R B x x x =+=+∈=+=． 〔1〕假设A B A =，求实数a 的值； 〔2〕求A B ，A B ．16. 〔本小题总分值14分〕3tan 2,,2πααπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，求：〔1〕()()3sin 2sin 2cos 31ππααπα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭-+；〔2〕sin 4πα⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 17. 〔本小题总分值15分〕向量()()1,2,3,4-=a =b ．〔1〕假设()()3//k -+a b a b ，求实数k 的值； 〔2〕假设()m ⊥-a a b ，求实数m 的值．18. 〔本小题总分值15分〕函数()()sin 0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在它的某一个周期内的单调减区间是511,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍〔纵坐标不变〕，所得到的图象对应的函数记为()g x ，求函数()g x 在3,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值. 19. 〔本小题总分值16分〕某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数p 及听课时间t 〔单位：分钟〕之间的关系满足如下图的曲线．当(]0,14t ∈时，曲线是二次函数图象的一局部，当[]14,40t ∈时，曲线是函数()()log 5830,1a y x a a =-+>≠图象的一局部．根据专家研究，当注意力指数p 大于80时学习效果最正确． 〔1〕试求()p f t =的函数关系式；〔2〕教师在什么时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最正确？请说明理由．20. 〔本小题总分值16分〕函数()()()2log 41,x f x kx k =++∈R 是偶函数. 〔1〕求k 的值；〔2〕设函数()24log 23xg x a a ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭，其中0.a >假设函数()f x 及()g x 的图象有且只有一个交点，求a 的取值范围.2021～2021学年第一学期期末复习试卷〔4〕高一数学1.{|,x x R ∈且1}x ≠± 2. 3.12()f x x = 4. 15.6.12- 7.ln(1)y x =- 8. 49.[1,2) 10.4π11.212.2a13.1[1,)2- 14.1(0,)215．〔此题总分值14分〕 解：{}{}414A x x x a B ====或，，.4分(1) 因为A B A=，所以A B⊆，由此得1a =或4a =；8分(2) 假设1a =，那么{}14A B ==，，所以{}14A B =，，{}14AB =，；10分假设4a =，那么{}4A =，所以{14}A B =，,{4}A B =；12分假设14a a ≠≠且，那么{}4A a =，，所以{14}A B a =，，, {4}A B =.14分 16. 解：∵3tan 2,(,)2πααπ=∈，∴sin cos αα== ２分〔1〕原式＝sin 2cos cos 1ααα---+ (5)分＝ 1.1==+ 8分 〔2〕sin()4πα--sin()sin cos cos sin 444πππααα=-+=--11分＝2210+=14分 17. 〔１〕3(0,10)-=-a b ，(13,24)k k k +=+-+a b ，4分因为(3)-a b ∥()k ＋a b ， 所以10300k --=，所以13k =-.7分 〔２〕(3,24)m m m -=---a b ，10分因为()m ⊥-a a b ，所以32(24)0m m ----=， 所以1m =-.18. 解：〔1〕由条件，115212122T πππ=-=， ∴2,ππω= ∴2ω= 2分又5sin(2)1,12πϕ⨯+=∴3πϕ=-4分∴()f x 的解析式为()sin(2)3f x x π=-6分〔2〕将()y f x =的图象先向右平移6π个单位，得2sin(2)3x π-8分∴2()sin(4)3g x x π=-10分而325[,],488636x x πππππ∈∴-≤-≤12分∴函数()g x 在3[,]88ππ上的最大值为1，最小值为12-15分19.【解】〔1〕当[014]t ∈，时， 设2()(12)82(0)p f t c t c ==-+<，………………2分将(14，81)代入得1.4c =- 所以当[014]t ∈，时，21()(12)824p f t t ==--+.4分 当[1440]t ∈，时，将(14，81)代入()log 583a y x =-+，得1.3a =6分于是2131(12)82(014)4()log (5)83(1440).t t p f t t t ⎧--+<⎪==⎨-+⎪⎩，≤，，≤≤〔2〕解不等式组20141(12)82804t t <⎧⎪⎨--+>⎪⎩≤，得1214.t -<11分 解不等式组131440log (5)8380t t ⎧⎪⎨-+>⎪⎩≤≤，得1432.t <≤14分故当1232t -<<时，()80p t >，答：教师在()1232t ∈-时段内安排核心内容能使得学生学习效果最正确． 16分20. 解：〔1〕∵2()log (41)()x f x kx k =++∈R 是偶函数，∴2()log (41)()x f x kx f x --=+-=对任意x R ∈，恒成立2分即：22log (41)2log (41)x x x kx kx +--=++恒成立，∴1k =- 5分〔2〕由于0a >，所以24()log (2)3x g x a a =⋅-定义域为24(log ,)3+∞，也就是满足423x >7分∵函数()f x 及()g x 的图象有且只有一个交点，∴方程224log (41)log (2)3x x x a a +-=⋅-在24(log ,)3+∞上只有一解即：方程414223x xx a a +=⋅-在24(log ,)3+∞上只有一解 9分令2,x t =那么43t >，因而等价于关于t 的方程24(1)103a t at ---=〔*〕在4(,)3+∞上只有一解10分① 当1a =时，解得34(,)43t =-∉+∞，不合题意；11分② 当01a <<时，记24()(1)13h t a t at =---，其图象的对称轴203(1)at a =<- ∴函数24()(1)13h t a t at =---在(0,)+∞上递减，而(0)1h =- ∴方程〔*〕在4(,)3+∞无解13分③ 当1a >时，记24()(1)13h t a t at =---，其图象的对称轴203(1)at a =>- 所以，只需4()03h <，即1616(1)1099a a ---<，此恒成立 ∴此时a的范围为1a >15分综上所述，所求a 的取值范围为1a > 16分。
江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷含解析
江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B=．2．（5分）已知f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x+1，则f（﹣1）=．3．（5分）若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于．4．（5分）已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），则||=．5．（5分）函数y=e2x﹣1的零点是．6．（5分）把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位，所得函数图象所对应的解析式为．7．（5分）若函数f（x）=，则f（log23）=．8．（5分）函数的单调递增区间为．9．（5分）设是两个不共线向量，，，，若A、B、D三点共线，则实数P的值是．10．（5分）若=﹣，则sin2α的值为．11．（5分）f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是．12．（5分）如图，O是坐标原点，M、N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则的范围为．13．（5分）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕l的长度=cm．14．（5分）函数是奇函数，且f（﹣2）≤f（x）≤f （2），则a=．二、解答题：本大题共6小题，计90分．15．（14分）已知=（1，2），=（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．16．（14分）已知，，，．（I）求tan2β的值；（II）求α的值．17．（14分）已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）解不等式f（x）＜1；（3）判断并证明f（x）的单调性．18．（16分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）19．（16分）如图1，在△ABC中，，，点D是BC的中点．（I）求证：；（II）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：为常数，并求该常数；（III）如图2，若，F为线段AD上的任意一点，求的范围．20．（16分）已知g（x）=x2﹣2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．（1）求a的值；（2）若不等式g（2x）﹣k•4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的取值范围．江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，则A∩B={0，1} ．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={0，1，2}，∴A∩B={0，1}．故答案为：{0，1}．2．（5分）已知f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x+1，则f（﹣1）=2．【解答】解：∵f（x）是偶函数，当x≥0时，f（x）=x+1，∴当x＜0时，f（x）=﹣x+1，∴f（﹣1）=﹣（﹣1）+1=2．故答案为：2．3．（5分）若tanα=3，，则tan（α﹣β）等于．【解答】解：tan（α﹣β）===，故答案为．4．（5分）已知A（﹣3，4）、B（5，﹣2），则||=10．【解答】解：由题意A（﹣3，4）、B（5，﹣2），∴||===10故答案为105．（5分）函数y=e2x﹣1的零点是0．【解答】解：令y=0，即e2x=1，解得：x=0，故答案为：0．6．（5分）把函数y=sinx的图象上所有点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），再将图象上所有点向右平移个单位，所得函数图象所对应的解析式为y=sin （2x﹣）．【解答】解：把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，得到y=sin2x，再函数y=sin2x的图象上所有点向右平移个单位，得到y=sin[2（x﹣）]=sin （2x﹣）对图象，∴所求函数的解析式为：y=sin（2x﹣）．故答案为：y=sin（2x﹣）．7．（5分）若函数f（x）=，则f（log23）=9．【解答】解：∵函数f（x）=，log23＞log22=1，∴f（log23）===9．故答案为：9．8．（5分）函数的单调递增区间为．【解答】解：令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，故函数的增区间为故答案为．9．（5分）设是两个不共线向量，，，，若A、B、D三点共线，则实数P的值是﹣1．【解答】解：∵，，∴，∵A、B、D三点共线，∴，∴2=2λ，p=﹣λ∴p=﹣1，故答案为：﹣1．10．（5分）若=﹣，则sin2α的值为﹣．【解答】解：∵=﹣，∵2cos2α=sin（﹣α），∴2（cos2α﹣sin2α）=cosα﹣sinα，∴cosα﹣sinα=0，或cosα+sinα=，平方可得1﹣sin2α=0，或1+sin2α=，∴sin2α=1，或sin2α=﹣，∵若sin2α=1，则co s2α=0，代入原式可知应舍去，故答案为：﹣．11．（5分）f（x）=x2，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．【解答】解：f（x）=x2，x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，即|x+t|≥|x|在[t，t+2]恒成立，即：x≤（1+）t在[t，t+2]恒成立，或x≤（1﹣）t在[t，t+2]恒成立，解得：t≥或t≤﹣，故答案为：（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．12．（5分）如图，O是坐标原点，M、N是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则的范围为[0.）．【解答】解：设的夹角为θ，，则cosθ∈[﹣1，0），2==2+2cosθ∈[0，2）的范围为：[0，），故答案为[0，）．13．（5分）如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若，则折痕l的长度=cm．【解答】解：由已知及对称性知，GF=BF=lcosθ，GE=BE=lsinθ，又∠GEA=∠GFB=2θ，∴AE=GEcos2θ=lsinθcos2θ，又由AE+BE=lsinθcos2θ+lsinθ=6得：l===．故答案为：．14．（5分）函数是奇函数，且f（﹣2）≤f（x）≤f（2），则a=．【解答】解：∵函数是奇函数且定义域内有0∴f（0）=0解得c=0，故f（x）=．x＞0，a＞0，f（x）==≤（ax=时取等号）∵f（﹣2）≤f（x）≤f（2），∴2a=，∴a=．故答案为．二、解答题：本大题共6小题，计90分．15．（14分）已知=（1，2），=（﹣3，1）．（Ⅰ）求；（Ⅱ）设的夹角为θ，求cosθ的值；（Ⅲ）若向量与互相垂直，求k的值．【解答】解：（Ⅰ）=（1，2）﹣2（﹣3，1）=（1+6，2﹣2）=（7，0）．（Ⅱ）=﹣．（Ⅲ）因为向量与互相垂直，所以，（）•（）=0，即因为=5，，所以，5﹣10k2=0，解得．16．（14分）已知，，，．（I）求tan2β的值；（II）求α的值．【解答】（本题满分为14分）解：（I）∵，，可得：sin=， (2)分∴tan==﹣2，…4分∴tan2β==…7分（II）∵，，∴α+β∈（，），又∵，∴cos（α+β）=﹣=﹣，…9分∴cosα=cos（α+β﹣β）=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=（）×（﹣）+×（）=，∵，∴α=．…14分17．（14分）已知函数f（x）满足f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x）．（1）求函数f（x）的解析式及定义域；（2）解不等式f（x）＜1；（3）判断并证明f（x）的单调性．【解答】解：（1）f（x+1）=lg（2+x）﹣lg（﹣x），可令t=x+1，则x=t﹣1，可得f（t）=lg（1+t）﹣lg（1﹣t），即有f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x），由1+x＞0且1﹣x＞0，解得﹣1＜x＜1，则函数f（x）的定义域为（﹣1，1）；（2）由f（x）＜1即lg（1+x）﹣lg（1﹣x）＜1，即为lg（1+x）＜lg10（1﹣x），可得0＜1+x＜10（1﹣x），解得﹣1＜x＜，则不等式的解集为（﹣1，）；（3）证明：f（x）在（﹣1，1）上为增函数．理由：设﹣1＜m＜n＜1，则f（m）﹣f（n）=lg（1+m）﹣lg（1﹣m）﹣[lg（1+n）﹣lg（1﹣n）]=lg﹣lg=lg•=lg•，由于﹣1＜m＜n＜1，可得1﹣m＞1﹣n＞0，1+n＞1+m＞0，可得0＜＜1，0＜＜1，则0＜•＜1，即有lg•＜0，则f（m）﹣f（n）＜0，即f（m）＜f（n），故f（x）在（﹣1，1）上为增函数．18．（16分）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．（1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？（2）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p=f（x）的表达式；（3）当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6000元？（工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价﹣成本）【解答】解：（1）设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则（个）因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．…（2分）（2 ）当0≤x≤100时，p=60；…（3分）当100＜x＜550时，；…（4分）当x≥550时，p=51．…（5分）所以…（6分）（3）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则…（9分）当0＜x≤100时，L≤2000；…（10分）当x≥500时，L≥6050；…（11分）当100＜x＜550时，．由，解得x=500．答：当销售商一次订购500个时，该厂获得的利润为6000元．…（13分）19．（16分）如图1，在△ABC中，，，点D是BC的中点．（I）求证：；（II）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：为常数，并求该常数；（III）如图2，若，F为线段AD上的任意一点，求的范围．【解答】（I）证明：延长AD到A1使得AD=DA1，连接CA1，A1B，∵D是BC的中点，∴四边形ACA1B是平行四边形，∴=+，∵；（II）证明：∵=+，∴•（﹣）=（+）•（﹣）=•+•，∵DE⊥BC，∴•=0，∵•=（）=，∴•（﹣）=（III）解：△ABC中，||=2，||=1，cosA=，，∴||==，同理+=2，∴•（+）=•2=||•||，设||=x，则||=﹣x（0），∴•（+）=2x（﹣x）≤2=1，当且仅当x=时取等号，∴•（+）∈（0，1]．20．（16分）已知g（x）=x2﹣2ax+1在区间[1，3]上的值域[0，4]．（1）求a的值；（2）若不等式g（2x）﹣k•4x≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若函数有三个零点，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）g（x）=x2﹣2ax+1=（x﹣a）2+1﹣a2在区间[1，3]上的值域[0，4]．若1≤a≤3时，g（x）的最小值为g（a）=1﹣a2，由1﹣a2=0，可得a=1（﹣1舍去），g（x）=（x﹣1）2满足在区间[1，3]上的值域[0，4]；若a＞3时，g（x）在[1，3]递减，g（x）的最小值为g（3），由g（3）=10﹣6a=0，解得a=（舍去）；若a＜1，则g（x）在[1，3]递增，g（x）的最小值为g（1），由g（1）=2﹣2a=0，解得a=1．综上可得，a=1；（2）由g（2x）﹣k•4x≥0即（2x）2﹣2•2x+1﹣k•4x≥0，化为k≤（2﹣x）2﹣2•2﹣x+1，令t=2﹣x，由x≥1可得0＜t≤，则k≤t2﹣2t+1，0＜t≤，记h（t）=t2﹣2t+1，0＜t≤，由单调递减，可得h（t）的最小值为（﹣1）2=，则k的取值范围是k≤；（3）令y=0，可化为|2x﹣1|2﹣2•|2x﹣1|+1+2k﹣3k•|2x﹣1|=0（|2x﹣1|≠0）有3个不同的实根．令t=|2x﹣1|，则t＞0，由2x﹣1＞﹣1，当x＜0时，t=|2x﹣1|=1﹣2x，t∈（0，1]且递减，当0＜x＜1时，t=|2x﹣1|=2x﹣1，t∈（0，1）且递增，当x=1时，t=1．当x＞1时，t=|2x﹣1|=2x﹣1，t∈（1，+∞）且递增，t2﹣（3k+2）t+1+2k=0有两个不同的实数解t1，t2，已知函数有3个零点等价为0＜t1＜1，t2＞1或0＜t1＜1，t2=1，记m（t）=t2﹣（3k+2）t+1+2k，则或，解得k＞0或k无实数解，综上可得，k的取值范围是（0，+∞）．。
2020-2021学年江苏省苏州市高一(上)期末数学试卷 (解析版)
2020-2021学年江苏省苏州市高一（上）期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1B．p2C．p3D．p42．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A ＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3} 4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝cos x C．y＝tan x D．y＝cos5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（）A．甲大B．乙大C．一样大D．大小不能确定6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（）A．B．C．D．7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4]C．[1，4）D．[1，4]二、多项选择题（共4小题）.9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（）A．f（x）的定义域为[0，+∞）B．f（x）的值域为[0，+∞）C．f（x）是偶函数D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（）A．b a＜c a B．log b a＞log c aC．＜D．sin b＜sin c12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，函数g（x）＝[f（x）]，则（）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}B．函数g（x）是周期函数C．函数g（x）的图象关于x＝对称D．方程•g（x）＝x只有一个实数根三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为．14．关于x的方程sin x+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为．15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为．16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约年．（参考数据：lg2≈0.3）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：v406090100120Q 5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，x n∈D2，使得g（x i）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．参考答案一、单项选择题（共8小题）.1．设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R，x+|x|＞0；p3：∀x∈Z，|x|∈N；p4：∃x∈R，x2﹣2x+3＝0．其中真命题为（）A．p1B．p2C．p3D．p4解：设有下面四个命题：对于p1：∃x∈R，x2+1＜0不成立，故该命题为假命题；p2：∀x∈R，当x＜0时，x+|x|＝0，故该命题为假命题；p3：∀x∈Z，|x|∈N，该命题为真命题；p4：∃x∈R，由于x2﹣2x+3＝0中△＝4﹣12＝﹣8＜0，故不存在实根，故该命题为假命题；故选：C．2．已知角α终边上一点P的坐标为（﹣1，2），则cosα的值为（）A．﹣B．﹣C．D．解：由题意，点（﹣1，2）到原点的距离是，＝故cosα＝＝﹣故选：B．3．对于集合A，B，我们把集合{x|x∈A且x∉B}叫作集合A与B的差集，记作A﹣B．若A ＝{x|lnx≤2ln}，B＝{x|x≥1}，则A﹣B为（）A．{x|x＜1}B．{x|0＜x＜1}C．{x|1≤x＜3}D．{x|1≤x≤3}解：集合A＝{x|lnx≤2ln}＝{x|0＜x≤3}，B＝{x|x≥1}，A﹣B＝{x|0＜x＜1}．故选：B．4．下列四个函数中，以π为最小正周期且在区间（，π）上单调递增的函数是（）A．y＝sin2x B．y＝cos x C．y＝tan x D．y＝cos解：函数y＝sin2x的周期为，又x∈（，π），则2x∈（π，2π），所以y＝sin2x在区间（，π）上不是单调递增，故选项A错误；函数y＝cos x的周期为2π，故选项B错误；函数y＝tan x的周期为π，且在区间（，π）上单调递增，故选项C正确；函数的周期为，故选项D错误．故选：C．5．“双十一”期间，甲、乙两个网购平台对原价相同的某种商品进行打折促销活动，各进行了两次降价．甲平台第一次降价a%，第二次降价b%；乙平台两次都降价%（其中0＜a＜b＜20），则两个平台的降价力度（）A．甲大B．乙大C．一样大D．大小不能确定解：由题意可知，甲平台的降价力度为：1﹣（1﹣a%）（1﹣b%），乙平台的降价力度为：1﹣（1﹣%）2，作差得：[1﹣（1﹣a%）（1﹣b%）]﹣[1﹣（1﹣%）2]＝（%）2﹣a%•b%＝﹣2＜0，所以乙平台的降价力度大，故选：B．6．已知函数f（x）的图象如图所示，则函数y＝xf（x）的图象可能是（）A．B．C．D．解：由图象可知，函数f（x）是偶函数，则y＝xf（x）为奇函数，则图象关于原点对称，排除C，D，在原点的右侧，函数值为先负后正，故排除B，故选：A．7．若θ为第二象限角，则﹣化简为（）A．2tanθB．C．﹣2tanθD．﹣解：∵θ为第二象限角，∴sinθ＞0，∴原式＝﹣＝﹣＝＝﹣．故选：D．8．已知函数f（x）＝，若函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，4）B．（1，4]C．[1，4）D．[1，4]解：函数f（x）＝，当x时，f（f（x））＝（x2﹣3）2﹣3，当时，f（f（x））＝﹣（x2﹣3）+1，当x＜0时，f（f（x））＝（﹣x+1）2﹣3，作出函数f（f（x））的图象可知，当1＜k≤4时，函数y＝f（f（x））﹣k有3个不同的零点．∴k∈（1，4]．故选：C．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．已知幂函数f（x）的图象经过点（3，），则（）A．f（x）的定义域为[0，+∞）B．f（x）的值域为[0，+∞）C．f（x）是偶函数D．f（x）的单调增区间为[0，+∞）解：设幂函数f（x）＝x a，∵f（x）过点（3，），∴3a＝，a＝，∴f（x）＝，故函数的定义域是[0，+∞），A正确，C错误，值域是[0，+∞），B正确，D正确，故选：ABD．10．为了得到函数y＝cos（2x+）的图象，只要把函数y＝cos x图象上所有的点（）A．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的2倍B．向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的倍C．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度D．横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度解：把函数y＝cos x图象上所有的点向左平移个单位长度，可得y＝cos（x+）的图象；再将横坐标变为原来的倍，可得y＝cos（2x+）的图象．或把函数y＝cos x图象上所有的点横坐标变为原来的倍，得到y＝cos2x的图象；再向左平移个单位长度，可得y＝cos（2x+）的图象．故选：BC．11．已知实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则（）A．b a＜c a B．log b a＞log c aC．＜D．sin b＜sin c解：因为实数a，b，c满足0＜a＜1＜b＜c，则函数y＝x a为单调递增函数，所以b a＜c a，故选项A正确；不妨取，则log b a＝，log c a＝，所以log b a＜log c a，故选项B错误；不妨取，则，，所以，故选项C正确；因为b和c所对应的角是哪一个象限角不确定，故sin b和sin c无法比较大小，故选项D 错误．故选：AC．12．高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如[﹣2.1]＝﹣3，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝sin|x|+|sin x|，函数g（x）＝[f（x）]，则（）A．函数g（x）的值域是{0，1，2}B．函数g（x）是周期函数C．函数g（x）的图象关于x＝对称D．方程•g（x）＝x只有一个实数根解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sin x|＝f（x），所以f（x）是偶函数，而sin|x|不是周期函数，|sin x|为周期函数，对于x＞0，当2kπ＜x＜π+2kπ时，f（x）＝2sin x，当π+2kπ＜x＜2π+2kπ时，f（x）＝0，所以g（x）＝，k＝0，±1，±2，…，故A正确，由f（x）是偶函数，则g（x）为偶函数，x＞0时，f（x）成周期性，但起点为x＝0，所以g（x）在（﹣∞，+∞）上不是周期函数，故B不正确；函数g（x）的图象关于x＝0对称，不关于x＝对称，故C不正确；，当x＝0时，g（0）＝0，当x＝时，g（）＝1，与g（x）只有（0，0）交点即方程•g（x）＝x只有一个实数根，故D正确．故选：AD．三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝+lg（2﹣x）的定义域为[1，2）．解：要使函数的解析式有意义，自变量x须满足：解得：1≤x＜2．故函数的定义域为[1，2）故答案为[1，2）14．关于x的方程sin x+x﹣3＝0的唯一解在区间（k﹣，k+）（k∈Z）内，则k的值为2．解：设f（x）＝sin x+x﹣3，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＜0，f（）＝sin+﹣3＝sin﹣＝sin﹣sin ＞0，（，所以sin＞sin）．由零点定理知，f（x）在区间（，）内一定有零点，所以k＝2．故答案为：2．15．已知a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，则a+3b的最小值为6．解：因为a，b为正实数，且ab+a+3b＝9，所以a+3b＝9﹣ab＝9﹣，当且仅当a＝3b时取等号，解得，a+3b≥6或a+3b≤﹣18（舍），则a+3b的最小值为6．故答案为：6．16．当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若生物体内原有的碳14含量为A，按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x的函数关系式是y＝A•，考古学家在对考古活动时挖掘到的某生物标本进行研究，发现该生物体内碳14的含量是原来的62.5%，则可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．（参考数据：lg2≈0.3）解：由题意知，y＝A•，当y＝62.5%A时，有62.5%A＝A•，即＝，∴＝＝＝log28﹣log25＝3﹣＝3﹣≈，∴x＝3820，∴可以推测该生物的死亡时间距今约3820年．故答案为：y＝A•；3820．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在条件①＝；②4sin2A＝4cos A+1；③sin A cos A tan A＝中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知角A为锐角，_____．（1）求角A的大小；（2）求sin（π+A）cos（﹣A）的值．解：若选择条件①，（1）由于＝，可得14sin A﹣7cos A＝3sin A+4cos A，可得sin A＝cos A，即tan A＝1，因为A为锐角，可得A＝；（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．若选择②，（1）由于4sin2A＝4cos A+1，4（1﹣cos2A）＝4cos A+1，可得4cos2A+4cos x﹣3＝0，解得cos A＝，或﹣（舍去），因为A为锐角，可得A＝．（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．若选择③，（1）因为sin A cos A tan A＝sin2A＝，可得sin A＝，或﹣，因为A为锐角，sin A＞0，可得sin A＝，可得A＝；（2）sin（π+A）cos（﹣A）＝（﹣sin A）cos（1010π+﹣A）＝﹣sin2A＝﹣．18．（12分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}．（1）当a＝3时，求A∪B；（2）设p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．解：由题意得，A＝{x|﹣1＜x＜3}，B＝{x|a﹣1＜x＜a+1}．（1）a＝3时，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜4}＝（﹣1，4）．（2）因为p：x∈A，q：x∈B，若p是q的必要不充分条件，则A⫋B，所以（等号不能同时成立），经验证a≠2，解之得0≤a＜2，所以实数a的取值范围是[0，2）．19．（12分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象经过点（，），其最大值与最小值的差为4，且相邻两个零点之间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．解：（1）由题意可得A＝2，T＝π，所以ω＝＝2，所以f（x）＝2sin（2x+φ），又图象经过点（，），所以f（）＝2sin（2×+φ）＝，即sin（+φ）＝，因为|φ|＜，所以φ＝，所以f（x）＝2sin（2x+）．（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，再根据x∈[0，π]，可得函数的单调增区间为[0，]，[，π]．20．（12分）已知定义在R上的函数f（x）＝2x+k•2﹣x（k∈R）．（1）若f（x）是奇函数，求函数y＝f（x）+f（2x）的零点；（2）是否存在实数k，使f（x）在（﹣∞，﹣1）上调递减且在（2，+∞）上单调递增？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+k•2x＝﹣2x﹣k•2﹣x，可得k＝﹣1，所以f（x）＝2x﹣2﹣x，令y＝f（x）+f（2x）＝2x﹣2﹣x+22x﹣2﹣2x＝0，即（2x﹣2﹣x）（1+2x+2﹣x）＝0，所以2x﹣2﹣x＝0，解得x＝0，即函数y＝f（x）+f（2x）的零点为x＝0．（2）当k≤0时，函数f（x）＝2x+k•2﹣x在R上单调递增，不符合题意；当k＞0时，令t＝2x，当x∈（﹣∞，﹣1）时，t∈（0，），当x∈（2，+∞）时，t∈（4，+∞），因为f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增，所以g（t）＝t+在（0，）上单调递减且在（4，+∞）上单调递增，所以≤≤4，解得≤k≤16，故存在实数k∈[，16]使f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减且在（2，+∞）上单调递增．21．（12分）经多次实验得到某种型号的汽车每小时耗油量Q（单位：L）、百公里耗油量W（单位：L）与速度v（单位：km/h）（40≤v≤120）的数据关系如表：v406090100120Q 5.268.3251015.6W139.25为描述Q与v的关系，现有以下三种模型供选择Q（v）＝0.5v+a，Q（v）＝av+b，Q（v）＝av3+bv2+cv．（1）请填写表格空白处的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）已知某高速公路共有三个车道，分别是外侧车道、中间车道和内侧车道，车速范围分别是[60，90），[90，110），[110，120]（单位：km/h），问：该型号汽车应在哪个车道以什么速度行驶时W最小？解：（1）填表如下：v406090100120Q 5.268.3251015.6W13109.251013由题意可得符合的函数模型需满足在40≤v≤120时，v都可取，三种模型都满足，且该函数模型应为增函数，所以第一种函数模型不符合，若选择第二种模型，代入（40，5.2），（60，6），得，解得，则Q（v）＝0.04v+3.6，此时Q（90）＝7.2，Q（100）＝7.6，Q（120）＝8.4，与实际数据相差较大，所以第二种模型不符合，经观察，第三种函数模型最符合实际，代入（40，5.2），（60，6），（100，10），则，解得，∴Q（v）＝0.000025v3﹣0.004v2+0.25v．（2）∵W＝＝0.0025v2﹣0.4v+25＝0.0025（v﹣80）2+9，∴当v＝80时，W取得最小值9，所以该型号汽车应在外侧车道以80km/h的速度行驶时W最小．22．（12分）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若足对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2…，x n∈D2，使得g（x i）＝f（x0）（其中i＝1，2，……，n，n∈N*），则称g（x）为f（x）的“n重覆盖函数．”（1）判断g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]）是否为f（x）＝x+2（x∈[0，1]）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由．（2）若g（x）＝为f（x）＝的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）若g（x）＝sin（ωx﹣）（x∈[0，2π]）为f（x）＝的“2k+1重覆盖函数”（其中k∈N），请直接写出正实数ω的取值范围（用k表示）（无需解答过程）．解：（1）因为g（x）＝|x﹣1|（x∈[0，4]），f（x）＝x+2（x∈[0，1]），则对∀x0∈[0，1]，∃n个不同的实数x1，x2…，x n∈[0，4），使得g（x i）＝f（x0）（i＝1，2，…，n），即|x i﹣1|＝x0+2∈[2，3]，则x i∈[3，4]，所以对于∀x0∈[0，1]，都能找到一个x1，使|x1﹣1|＝x0+2，所以g（x）是f（x）的“n重覆盖函数”，故n＝1；（2）因为f（x）＝，其定义域为（0，+∞），即对∀x0∈（0，+∞），存在2个不同的实数x1，x2∈R，使得g（x i）＝f（x0）（i＝1，2），即∈（0，+∞），即对任意k＞0，g（x）＝k要有两个实根，当x＞1时，g（x）＝log2x＝k已有一个根，故只需x＜1时，g（x）＝k仅有一个根，①当a＝0时，g（x）＝1，不符合题意；②当a＞0时，则必须满足g（1）＝a+2a﹣3+1≤0，解得；③当a＜0时，抛物线开口向下，存在最大值，故不符合题意；综上可得，实数a的取值范围为．；（3）正实数ω的取值范围为．。
江苏省苏州市高一上学期数学期末考试试卷
江苏省苏州市高一上学期数学期末考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共10题；共20分)1. （2分） (2019高二下·蕉岭月考) 已知集合，则集合（）A .B .C .D .2. （2分）如果角的终边经过点，那么的值是（）A .B .C .D .3. （2分）下列等式正确的是（）A . = +B . = ﹣C . ﹣ =D . + + =4. （2分） (2016高一上·福州期中) 已知a=2 ，b=log2 ，c=log3π，则（）A . c＞a＞bB . a＞c＞bC . a＞b＞cD . c＞b＞a5. （2分）下列函数中，与函数y=的奇偶性相同，且在（﹣∞，0）上单调性也相同的是（）A . y=-B . y=x2+2C . y=x3﹣3D . y=6. （2分）(2017·芜湖模拟) 函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0，|φ|≤ ）的部分图象如图所示，若方程f（x）=a在x∈[﹣， ]上有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A . [ ，）B . [﹣，）C . [﹣，）D . [ ，）7. （2分） (2016高一上·铜仁期中) 已知R上的奇函数f（x）和偶函数g（x）满足f（x）+g（x）=ax﹣a ﹣x+2（a＞0，且a≠1），若g（2）=a，则f（2）的值为（A .B . 2C .D . a28. （2分）函数f（x）=3sin（+）的最小值及最小正周期是（）A . ﹣3，4πB . ﹣3，2πC . ﹣3，πD . ﹣3，9. （2分）(2017·浙江) 如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1= • ，I2= • ，I3= • ，则（）A . I1＜I2＜I3B . I1＜I3＜I2C . I3＜I1＜I2D . I2＜I1＜I310. （2分）设函数f（x）=ax2+bx+c，其中a是正数，对于任意实数x，等式f（1﹣x）=f（1+x）恒成立，则当x∈R时，f（2x）与f（3x）的大小关系为（）A . f（3x）＞f（2x）B . f（3x）＜f（2x）C . f（3x）≥f（2x）D . f（3x）≤f（2x）二、填空题 (共7题；共7分)11. （1分） (2019高一下·上海月考) 化简: ________.12. （1分）若一扇形的圆心角为3弧度，且此扇形周长为5，则此扇形的面积S=________．13. （1分）(2014·广东理) 若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11+a9a12=2e5 ，则lna1+lna2+…lna20=________．14. （1分）若函数f（x）=（m﹣1）xα是幂函数，则函数g（x）=loga（x﹣m）（其中a＞0，a≠1）的图象过定点A的坐标为________15. （1分） (2016高一下·南平期末) 已知向量，满足| |=1，| |=2 ，| ﹣ |=2，则• =________．16. （1分）(2019·黄山模拟) 已知O是锐角△MBC的外接圆圆心，A是最大角，若，则m的取值范围为________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2016~2017学年第一学期期末考试试卷
高一数学
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分。
1. 已知集合}101{，，-=A ，}210{，，=B ，则=B A I __________.
2. 已知)(x f 是偶函数，当0≥x 时，1)(+=x x f ，则=-)1(f __________.
3. 若3tan =α，3
4tan =β，则=-)tan(βα__________. 4. 已知)4,3(-A ，)25(-，B ，则=||AB __________.
5. 函数12-=x e y 的零点是__________.
6. 把函数x y sin =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的
21(纵坐标不变)，再将图象上所有点右平移3
π个单位，所得函数图象所对应的解析式=y __________. 7. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈=]
2017,0[,4)0,2017[,)41()(x x x f x x ，则=)3(log 2f __________.
8. 函数)42sin(π
-=x y 的单调增区间为__________.
9. 设b a 、是两个不共线向量，b a p +=2，b a +=，b a 2-=，若D B A 、、三点共线，则实数=p __________.
10. 若22)4
sin(2cos -=-παα
，则=α2sin __________. 11. 2)(x x f =，若对任意的]2,[+∈t t x ，不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立，则实数t 的取值范围是__________.
12. 如图，O 是坐标原点，N M 、是单位圆上的两点，且分别在第一和第三象限，则||+的范围为__________.
13. 如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若4
1sin =θ，则折痕l 的长度=__________cm.
14. 函数),,(1
)(2R ∈++=c b a ax c bx x f 是奇函数，且)2()()2(f x f f ≤≤-，则=a __________.
二、解答题：本大题共6小题，计90分。
15. (本题满分14分)
已知)2,1(=a ，)1,3(-=b .
(I)求b a 2-；
(II)设b a ，的夹角为θ，求θcos 的值；
(III)若向量b a k +与b a k -互相垂直，求k 的值.
16. (本题满分14分) 已知⎪⎭⎫ ⎝⎛∈20πα，，⎪⎭
⎫
⎝⎛∈ππβ，2，31cos -=β，()624sin -=+βα. (I)求β2tan 的值；
(II)求α的值.
已知函数)(x f 满足)lg()2lg()1(x x x f --+=+.
(I)求函数)(x f 的解析式及定义域；
(II)解不等式1)(<x f ；
(III)判断并证明)(x f 的单调性.
18. (本题满分16分)
某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定位60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂价不能低于51元.
(I)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？
(II)设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数)(x f P =的表达式； (III)当销售商一次订购多少件时，该厂获得的利润为6000元？
(工厂售出一个零件的利润=实际售出单价－成本)
如图1，在ABC ∆中，2||=AB ，1||=AC ，点D 是BC 的中点.
(I)求证：2
AC AB AD +=； (II)直线l 过点D 且垂直于BC ，E 为l 上任意一点，求证：)(AC AB AE -⋅为常数，并求该常数；
(III)如图2，若43
cos =，F 为线段AD 上的任意一点，求)(FC FB AF +⋅的范围.
20. (本题满分16分)
已知12)(2+-=ax x x g 在区间]3,1[上的值域]4,0[.
(I)求a 的值；
(II)若不等式04)2(≥⋅-x x k g 在[)∞+∈，1x 上恒成立，求实数k 的取值范围； (III)若函数k k g y x x x 3|12|2
|12||)
12(|--⋅+--=有三个零点，求实数k 的取值范围.。