北师大版八年级数学上册1.1.1勾股定理同步训练卷
北师版数学 八年级上册 第1章 勾股定理 1.1.1 勾股定理 同步练习(包含
北师版八年级上册第1章勾股定理1.1.1 勾股定理同步检测一．选择题（共10小题，3*10=30）1．在△ABC 中，∠A ＝90°，则下列式子不成立的是( )A ．BC 2＝AB 2＋AC 2 B ．AB 2＝AC 2＋BC 2C ．AB 2＝BC 2－AC 2D ．AC 2＝BC 2－AB 22. 直角三角形的两直角边长分别为5，12，则斜边上的高为( )A ．6B ．8C.1813D.60133．若直角三角形的三边长分别为2，4，x ，则x 的可能值有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．如果直角三角形两直角边长分别为4，5，那么以斜边为边长的正方形的面积为( )A ．41B ．1C ．9D ．以上答案都不对5. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行( )A ．8米B ．10米C ．12米D ．14米6. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线．已知AB ＝5，AD ＝3，则BC 的长为( )A ．5B ．6C ．8D ．107．如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB ＝90°，AE ＝6，BE ＝8，则阴影部分的面积是( )A．48 B．60C．76 D．808．如图，阴影部分的面积为（）A．3 B．9C．81 D．1009．一直角三角形的三边是三个连续的正整数，则此直角三角形的周长为（）A．6 B．8C．10 D．1210．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠DBC＝90°，AD＝3，AB＝4，BC＝12，则CD为（）A．5 B．13C．17 D．18第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共6小题，3*8=24）11．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则勾与股的和是____．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，则BC＝____．13．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.当∠C＝90°，b＝4 m，c＝5 m时，a＝_______．14．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，已知其中两个正方形的面积，则正方形A的面积是____，B的面积是________．15. 在“寻找滨河最美，拒绝不文明行为”系列活动中，细心的董明同学发现：学校有一块长方形花圃，如图，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了____步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．16．有一根高为16 m的电线杆在点A处断裂，电线杆顶部点C落到离电线杆底部B点8 m的地方，则电线杆的断裂处点A离地面有____________m.17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，AC＝5，点E在BC上，将△ABC沿AE折叠，使点B落在AC边上的点B′处，则BE的长为________．18. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，最大正方形的边长为2 cm，则正方形A，B，C，D的面积和是____ cm2.三．解答题（共7小题，46分）19. （6分）如图，在△ABD中，∠D＝90°，点C是BD上一点，已知CB＝9，AB＝17，AC＝10，求AD的长．20. （6分）如图，在△ABC中，CDLAB于D，AC=20,BC= 15,DB=9，求AB的长.21．（6分）“中华人民共和国道路交通管理条例”规定小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A正前方30 m 的B处，过了2 s后，测得小汽车到达点C处与车速检测仪A间距离为50 m，这辆小汽车超速了吗？(参考数据：1 m/s＝3.6 km/h)22．（6分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，若AB＝5 cm，BC＝3 cm，求BD的长．23. （6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝13，BC⊥AB，对角线AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．24．（6分）在一棵树的10 m高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20 m的池塘，而另一只爬向树顶后直扑池塘(运动路线看作直线)，如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？25. （8分）如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在边BC上的点F处，折痕为AE.已知AB= 8cm,BC=10cm,求EC的长.参考答案：1-5 BDBAB 6-10 CCCDB11. 1712. 413. 3m14. 20，25615. 416. 617.3 218. 419.解：设CD长为x.在Rt△ACD中，AD2＝102－x2. 在Rt△ABD中，AD2＝172－(x＋9)2.∴102－x2＝172－(x＋9)2，解得x＝6，∴所以AD2＝64，AD＝820.解：∵CDLAB于D，AC=20,BC=15,DB=9,∴在Rt△BCD中,CD2=BC2-DB2=152-92=144.在Rt△ACD中，AD2=AC2- CD2=202-144=256,∴AD=16,∴AB=AD+DB=16+9 =25.21.解：由题意得AB＝30 m，AC＝50 m．由勾股定理得BC2＝AC2－AB2＝502－302＝402.于是BC＝40 m．此时小汽车的速度为40÷2＝20(m/s)．∵20 m/s＝72 km/h＞70 km/h，∴这辆小汽车超速了22.解：由勾股定理可以得到AB2＝AC2＋BC2，∴AC＝4，由S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，即12×4×3＝12×5×CD ， ∴CD ＝125， ∴BD 2＝BC 2－CD 2＝8125， ∴BD ＝95(cm) 23. 解：在Rt △ABC 中，∵AC 2＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝25，∴AC ＝5，在Rt △ACD 中，∵CD 2＝AD 2－AC 2＝132－52＝144，∴CD ＝12，∵S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD＝12AB ·BC ＋12AC ·CD ＝12×3×4＋12×5×12 ＝3624. 解：如图，点B 为树顶，D 处有两只猴子，则AD ＝10 m ，C 为池塘，则AC ＝20 m ． 设BD 的长为x m ，则树的高度为(10＋x)m.∵AC ＋AD ＝BD ＋BC ，∴BC ＝20＋10－x ＝30－x.在△ACB 中，∠A ＝90°，∴AC 2＋AB 2＝BC 2，即202＋(10＋x)2＝(30－x)2，解得x ＝5.即树高为15 m25. 解：∵ABCD 是长方形，∴∠B=∠C=90°.由折叠的性质易得AF= E AD=BC=10cm,DE=EF.设EC=xcm ， 则DE=(8-x)cm ，EF=(8-x)cm.在Rt △ABF 中，BF 2=AF 2-AB 2=36，∴BF=6cm, ∴FC=BC-BF=4cm.在Rt △CEF 中，由勾股定理得CE 2+FC 2=EF 2，即x 2+42=（8-x ）2，解得x=3.∴EC 的长为3cm.。
北师大版八年级数学上册同步练习附答案
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为.3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为.4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.FC参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8． 2．2.5m ． 3．1360cm ． 4．D ． 5．25km ． 6．4． 7．3 cm ．1.2 一定是直角三角形吗1.如图在∆ABC 中, ∠BAC = 90︒, AD ⊥BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。
4. 已知：钝角∆BAC ，CD 垂直BA 延长线于D ，求证：BC AB AC AB AD 2222=++⋅。
D CO ABD AB C5. 已知：AB AC =，且AB AC ⊥，D 在BC 上，求证：BD CD AD 2222+=。
1.1.探索勾股定理同步练习(北师大版初中数学八年级上册)
第一章 勾股定理参考例题［例1］如下图所示，△ABC 中，AB =15 cm ，AC =24 cm ，∠A =60°，求BC 的长.分析：△ABC 是一般三角形，若要求出BC 的长，只能将BC 置于一个直角三角形中. 解：过点C 作CD ⊥AB 于点D在Rt △ACD 中，∠A =60°∠ACD =90°－60°=30°AD =21AC =12(cm) CD 2=AC 2－AD 2=242－122=432，DB =AB －AD =15－12=3.在Rt △BCD 中，BC 2=DB 2+CD 2=32+432=441BC =21 cm.评注：本题不是直角三角形，而要解答它必须构造出直角三角形，用勾股定理来解. ［例2］如下图，A 、B 两点都与平面镜相距4米，且A 、B 两点相距6米，一束光线由A 射向平面镜反射之后恰巧经过B 点. 求B 点到入射点的距离.分析：此题要用到勾股定理，全等三角形，轴对称及物理上的光的反射的知识.解：作出B 点关于CD 的对称点B ′，连结AB ′，交CD 于点O ，则O 点就是光的入射点.因为B ′D =DB .所以B ′D =AC .∠B ′DO =∠OCA =90°，∠B ′=∠CAO所以△B ′DO ≌△ACO (SSS )则OC =OD =21AB =21×6=3米.连结OB，在Rt△ODB中，OD2+BD2=OB2所以OB2=32+42=52，即OB=5(米).所以点B到入射点的距离为5米.评注：这是以光的反射为背景的一道综合题，涉及到许多几何知识，由此可见，数学是学习物理的基础.1.探索勾股定理（一）在两千多年前我国古算术上记载有“勾三股四弦五”.你知道它的意思吗？它的意思是说：如果一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4个长度单位，那么它的斜边的长一定是5个长度单位，而且3、4、5这三个数有这样的关系：32+42=52.（1）请你动动脑筋，能否验证这个事实呢？该如何考虑呢？（2）请你观察下列图形，直角三角形ABC的两条直角边的长分别为AC=7，BC=4，请你研究这个直角三角形的斜边AB的长的平方是否等于42+72？测验评价等级：A B C ，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案（1）边长的平方即以此边长为边的正方形的面积，故可通过面积验证.分别以这个直角三角形的三边为边向外做正方形，如右图：AC =4，BC =3,S 正方形ABED =S 正方形FCGH －4S Rt △ABC=(3+4)2－4×21×3×4=72－24=25 即AB 2=25，又AC =4，BC =3，AC 2+BC 2=42+32=25∴AB 2=AC 2+BC 2（2）如图（图见题干中图）S 正方形ABED =S 正方形KLCJ －4S Rt △ABC =(4+7)2－4×21×4×7=121－56=65=42+72 2.探索勾股定理（二）下图甲是任意一个直角三角形ABC ，它的两条直角边的边长分别为a 、b ,斜边长为c .如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC 全等的三角形，放在边长为a +b 的正方形内.①图乙和图丙中（1）（2）（3）是否为正方形？为什么？②图中（1）（2）（3）的面积分别是多少？③图中（1）（2）的面积之和是多少？④图中（1）（2）的面积之和与正方形（3）的面积有什么关系？为什么？由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？测验评价等级：A B C，我对测验结果（满意、一般、不满意）参考答案①图乙、图丙中（1）（2）（3）都是正方形.易得（1）是以a为边长的正方形，（2）是以b为边长的正方形，（3）的四条边长都是c，且每个角都是直角，所以（3）是以c为边长的正方形.②图中（1）的面积为a2,(2)的面积为b2,(3)的面积为c2.③图中（1）（2）面积之和为a2+b2.④图中（1）（2）面积之和等于（3）的面积.因为图乙、图丙都是以a+b为边长的正方形，它们面积相等，（1）（2）的面积之和与（3）的面积都等于（a+b)2减去四个Rt△ABC的面积.由此可得：任意直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理.2.探索勾股定理（二）班级：________ 姓名：________1.填空题(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.(3)如图1：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC 方向上任取一点C，若测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_________.图12.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积.3.在△ABC中，∠C=90°,AC=2.1 cm,BC=2.8 cm（1）求这个三角形的斜边AB的长和斜边上的高CD的长.（2）求斜边被分成的两部分AD和BD的长.4.如图2：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？5.如图3，已知长方形ABCD中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.测验评价结果：_____________；对自己想说的一句话是：______________________.参考答案1.(1)2.5 (2)30 (3)30米2.如图：等边△ABC 中BC =12 cm ，AB =AC =10 cm作AD ⊥BC ，垂足为D ，则D 为BC 中点，BD =CD =6 cm在Rt △ABD 中，AD 2=AB 2－BD 2=102－62=64∴AD =8 cm∴S △ABD =21BC ·AD =21×12×8=48(cm 2) 3.解：(1)∵△ABC 中，∠C =90°，AC =2.1 cm ，BC =2.8 cm∴AB 2=AC 2+BC 2=2.12+2.82=12.25∴AB =3.5 cm∵S △ABC =21AC ·BC =21AB ·CD ∴AC ·BC =AB ·CD∴CD =AB BC AC ⋅=5.38.21.2⨯=1.68(cm) (2)在Rt △ACD 中，由勾股定理得：AD 2+CD 2=AC 2∴AD 2=AC 2－CD 2=2.12－1.682=(2.1+1.68)(2.1－1.68)=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.21×0.21∴AD =2×3×0.21=1.26(cm)∴BD =AB －AD =3.5－1.26=2.24(cm)4.解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36(m 2)5.解：根据题意得：Rt △ADE ≌Rt △AEF∴∠AFE =90°,AF =10 cm,EF =DE设CE =x cm ，则DE =EF =CD －CE =8－x在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6 cm∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8－x)2=x2+42∴64－16x+x2=x2+16∴x=3(cm),即CE=3 cm。
北师大版八年级数学上册同步练习附答案
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为.3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为.4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m高的树被风折断，树顶落在离树根3 m之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8 cm，BC=10 cm，求EC的长.FC参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8． 2．2.5m ． 3．1360cm ． 4．D ． 5．25km ． 6．4． 7．3 cm ．1.2 一定是直角三角形吗1.如图在∆ABC 中, ∠BAC = 90︒, AD ⊥BC 于D , 则图中互余的角有 A ．2对 B ．3对 C ．4对 D ．5对2.如果直角三角形的两边的长分别为3、4，则斜边长为3.已知：四边形ABCD 中，BD 、AC 相交于O ，且BD 垂直AC ，求证：AB CD AD BC 2222+=+。
4. 已知：钝角∆BAC ，CD 垂直BA 延长线于D ，求证：BC AB AC AB AD 2222=++⋅。
D CO ABD AB C5. 已知：AB AC =，且AB AC ⊥，D 在BC 上，求证：BD CD AD 2222+=。
北师大版八年级上册数学全册同步练习(全套)
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理※课时达标1.△ABC，∠C=90°，a=9，b=12，则c =_______．2.△ABC，AC=6，BC=8,当AB=________时，∠C=90°．3.等边三角形的边长为6 cm，则它的高为 __________．4.直角三角形两直角边长分别为5 和12，则斜边上的高为__________．5.等腰三角形的顶角为120°，底边上的高为3，则它的周长为__________．6.若直角三角形两直角边之比为3∶4，斜边长为20，则它的面积为__________．7.若一个三角形的三边长分别为3，4， x，则使此三角形是直角三角形的x的值是_________．8.在某山区需要修建一条高速公路，在施工过程中要沿直线AB打通一条隧道，动工前，应先测隧道BC 的长，现测得∠ABD=150°，∠D=60°，BD=32 km，请根据上述数据，求出隧道BC的长(精确到0.1 km)※课后作业★基础巩固1.△ABC中，∠C=90°，若a∶b=3∶4，c=10，则a=__________，b=__________．2.△ABC中∠C=90°，∠A=30°，AB=4，则中线BD=__________．3.如图，将直角△ABC沿AD对折，使点C落在AB上的E处，若AC=6，AB=10，则DB=__________．第3题第5题第9题3cm，c=3 cm，则△ABC中最小的角为______度．4.△ABC中，三边长分别为a=6 cm，b=35.如图，AB⊥BC，且AB=3，BC=2，CD=5，AD=42，则∠ACD=__________，图形ABCD的面积为__________．6.等腰三角形的两边长为 2 和5，则它的面积为__________．7.有一根7 cm木棒，要放在长，宽，高分别为5 cm，4 cm，3 cm的木箱中，__________(填“能”或“不能”)放进去．8.直角三角形有一条直角边为11，另外两条边长是自然数，则周长为__________．9.如图，△ABC中AD⊥BC于D，AB=3，BD=2，DC=1，则AC等于( ).A.6B.6C.5D.4☆能力提升10.直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长( ).A.4 cmB.8 cmC.10 cmD.12 cm11.如图，△ABC 中，∠C=90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC=8，AD=5，则AC 等于 ( ). A.3 B.4 C.5 D.13第11题 第12题12.如图，△ABC 中，AB=AC=10，BD ⊥AC 于D ，CD=2，则BC 等于( ). A.210 B.6C.8D.513.ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，斜边长为2，斜边上的高为( ). A.1 B.3C.23 D.43 14.直角三角形的一条直角边是另一条直角边的31，斜边长为10,它的面积为( ). A.10B.15C.20D.30●中考在线15.在△ABC 中，∠C ＝90°，若c ＝10，a ∶ b ＝3∶4，则直角三角形的面积是＝ ．16.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2。
北师大新版八年级数学上学期《1.1 探索勾股定理》同步练习卷
一、选择题。
1．（3 分）直角三角形的两直角边分别为 a，b，斜边为 c，则下列关于 a，b，c 三边的关系
式不正确的是（ ）
A．b2＝c2﹣a2
B．a2＝c2﹣b2
C．b2＝a2﹣c2
D．c2＝a2+b2
2．（3 分）一个直角三角形，两直角边长分别为 3 和 4，下列说法正确的是（ ）
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北师大新版八年级数学上册《1.1 探索勾股定理》同步练 习卷
参考答案
一、选择题。
1．C； 2．A； 3．C； 4．A； 5．C； 6．B； 7．A； 8．A； 9．D；
二、填空题。
10．5； 11．50； 12．2； 13．54cm2； 14．100cm2； 15．15； 16．8； 17．1； 18BC 中，∠ABC＝90°，分别以 BC、AB、AC 为边向外作正方形，
面积分别记为 S1、S2、S3，若 S2＝4，S3＝6，则 S1＝
．
13．（3 分）如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是 15cm 和 12cm，那么这个直角三角
形的面积是
．
14．（3 分）如图，∠MCF＝∠FCD，∠MCE＝∠ECB，EF＝10cm，则 CE2+CF2＝
五、标题 21．（8 分）如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？
22．（8 分）如图，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝7，BC＝24，CD⊥AB 于 D． （1）求 AB 的长； （2）求 CD 的长．
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23．（8 分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边 AC＝18cm，BC＝24cm，现将直角边 AC 沿直线 AD 折叠，使它落在斜边 AB 上，且与 AE 重合，你能求出 BD 的长吗？
北师大版八年级数学上册《1.1 探究勾股定理》同步训练题-带答案
北师大版八年级数学上册《1.1 探究勾股定理》同步训练题-带答案学校：___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．在下列各组数中，是勾股数的是（ ）A ．4，6，8B ．6，8，10C ．6，9，10D ．5，11，13 2．在Rt ABC △中，斜边5BC =，则222AB AC BC ++的值为（ ）A ．15B ．25C ．50D ．无法计算3．在平面直角坐标系中，点(3,4)P ，则点P 到原点的距离为（ ）A ．3B ．5-C ．5D ．4 4．如图，数字代表所在正方形的面积，则A 所代表的正方形的面积为（ ）A ．25B ．49C ．81D ．1005．如图，在边长为1的小正方形网格中，P 为CD 上任一点，22PB PA -的值为（ ）A ．6B ．8C ．18D ．126．如图，将矩形ABCD 沿EF 折叠，使点D 与点B 重合，已知39AB AD ==，，求BE 的长( )A ．3B ．4.5C ．5D ．67．若直角三角形的一条直角边和斜边的比为1:2，另一条直角边长为33，则直角三角形的斜边长为（ ）8．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC BD ，交于点O ．若1AD =，BC=4，则22AB CD +等于（ ）A ．15B ．16C ．17D ．209．如图，Rt ABC △中90C ∠=︒，分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 和BCMN ，四块阴影部分的面积分别为1S 、2S 和3S 、4S 若已知12AC BC ⨯=，则1234S S S S +++的值为（ ）A ．18B ．24C ．25D ．36二、填空题10．已知直角三角形两直角边长分别为3和5，则斜边长为 .11．平面直角坐标系中，有点()23A -，和点()47B ，，连接AB ，线段AB 的长为 ． 12．如图，在边长为1的小正方形网格中，P 为CD 上任一点，则22PB PA -的值是 ．13．如图，分别以直角三角形的三边向外作正方形，若正方形面积14S =，315S =则正方形面积2S = ．14．如图，在ABC 和EDB △中90C EBD ∠=∠=︒，点E 在AB 上．若ABC EDB ≅△△，AC=12，AB=13，则DB = ．三、解答题15．计算图中四边形ABCD 的面积.16．如图，某公园有一块四边形空地ABCD ，公园管理处计划在四边形ABCD 区域内种植草坪，AC 处修一条小路．已知10AB =米，20BC CD ==米，30AD =米，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积．17．已知ABC CDE △≌△，且90B D ∠=∠=︒，把ABC 和CDE 拼成如图所示的形状，使点B ，C ，D 在同一条直线上，若4AB =，DE=3．(1)求AE的长；(2)将ABC沿AC折叠，点B落在点F处，延长AF与CE相交于点G，求FG的长．参考答案：。
第一章勾股定理同步训练2024-2025学年北师大版数学八年级上册+
一.选择题
1．以下列各组数为三角形的三条边长，其中能作成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4B．4，5，6C．1， ， D．2， ，3
2．在 中，两直角边都扩大2倍，则斜边扩大为原来的（ ）．
A．2倍B．3倍C．4倍D． 倍
3.有五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（ ）
4．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
5．适合下列条件的△ABC中, 直角三角形的个数为（ ）
① ② ，∠A=45°;③∠A=32°, ∠B=58°；
④ ⑤ ⑥
⑦ ⑹
A．2个B．3个C．4个D．5个
6.如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为 里， 里， 里，则该沙田的面积为（ ）（“里”是我国市制长度单位， 里 米）
A． 平方千米B． 平方千米C． 平方千米D． 平方千米
（1）求∠ACB的度数；
（2）海港C受台风影响吗？为什么？
（3）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？
A.48 B.60 C.76 D.80
7. 如图，在 中， ， ，点 在 上， ， ，则 长为（ ）
A. B. C. D.
8.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5m，高为3m，计划在楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要（）
数学八年级上北师大版1.1探索勾股定理同步练习
探索勾股定理班级：___________姓名：___________得分：__________一． 选择填空题（每小题5分，40分） 1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2； .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2；C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，ο90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2； D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，ο90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2．2．在ABC ∆中,1AB AC ==,BC 边上有2006个不同的点122006,,P P P L ,记()21,2,2006i i i i m AP BP PC i =+⋅=L ,则122006m m m ++L =_____.3.斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．4．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形．5．如图，已知ABC ∆中，︒=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．6、如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出的尺寸(单位：mm)，计算两圆孔中心A 和B 的距离为（ ）．ACBA．80mm B．90 mm C．100 mm D．80mm7、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离为3米，同时梯子的顶端B下降至B′．那么BB′：①等于1米，②大于1米，③小于1米．其中正确结论的序号是（）A．① B．② C．③ D．无法确定8、如图所示，在一个正方形上连接直角三角形，再以直角边为边长作正方形，一个一个连接在一起，无限反复同一个过程，构成了千姿百态、奇妙美丽的勾股树，设最大正方形的边长为10，末尾正方形A、正方形B、正方形C、正方形D、正方形E的面积和为S，则S n=（）A．100 B．120 C．110 D．80二、解答题（每小题10分，60分）1．如图，要修建一个育苗棚，棚高h=3m ，棚宽a=4m ，棚的长为12m ，现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？2．如图所示，在Rt ABC ∆中,90,,45BAC AC AB DAE ∠=︒=∠=︒,且3BD =,4CE =,求DE 的长.3．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？4、如图在Rt △ABC 中,3,4,90==︒=∠BC AC C ，在Rt △ABC 的外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形。
北师大版八年级上册数学认识勾股定理同步练习题
第一章勾股定理1.1 探索勾股定理第1课时认识勾股定理1．若△ABC中，∠C=90°，（1）若a=5，b=12，则c= ；（2）若a=6，c=10，则b= ；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a= ，b= .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为 1.5 m，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 .3．直角三角形两直角边长分别为5 cm，12 cm，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为（）.A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm25．轮船从海中岛A出发，先向北航行9km，又往西航行9 km，由于遇到冰山，只好又向南航行4 km，再向西航行6 km，再折向北航行2 km，最后又向西航行9 km，到达目的地B，求AB两地间的距离.6．一棵9 m 高的树被风折断，树顶落在离树根3 m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高？7．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处， 若AB =8 cm ，BC =10 cm ，求EC 的长.CF D A参考答案：1．（1）13；（2）8；（3）6，8．2．2.5m．60cm．3．134．D．5．25km．6．4．7．3 cm．构建数学的知识网络学习数学,重要的是要构建一个数学的知识网络,将单一的知识都串联起来,这样有助于对综合型题目的解答。
高效学习经验——把数学的知识点都结合起中考状元XX平日里爱打篮球、爱看球赛,XX给人的第一印象很阳光。
在他看来,他取得高分的最大秘诀就是:基础知识掌握得非常牢固。
在所有学科中,XX认为自己的理科和英语还算不错。
他说他最擅长的是用知识网络法来归纳知识,让零散的知识变得系统、有条理，具体如何做呢?以数学为例,XX会首先联想一个数学关键词比如说一元二次方程,然后围绕着这个关键词想一想,什么叫做一元次方程,一元二次方程有哪些解法,解答一元二次方程的步骤是什么等等,然后再将这些间题的答案写在笔记本中,这样知识就变得非常清晰了。
北师大八年级数学上册1.1探索勾股定理同步练习含答案
c ab ac b b c ba ac一、选择题：1. 下列说法正确的是（ ）A .若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2C .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D .若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B.c b a >+C.c b a <+D.222c b a =+3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ） A ．斜边长为25 B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为20 二、填空题：4．在中， 90=∠C ，（1）如果a =3，b =4，则c = ； （2）如果a =6，b =8，则c = ； （3）如果a =5，b =12，则c = ；(4) 如果a =15，b =20，则c = .5．如图,三个正方形中的两个的面积S 1＝25，S 2＝144，则另一个的面积S 3为________．三、解答题：6．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c 2＝a 2＋b2.1.1.2 探索勾股定理一.填空题(1)某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，则木板的长应取米.(2)有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距海里.(3)如图1：隔湖有两点A 、B ，为了测得A 、B 两点间的距离，从与AB 方向成直角的BC 方向上任取一点C ，若测得CA =50 m,CB =40 m ，那么A 、B 两点间的距离是_________.图1二、解答题：1.已知一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm 和10 cm ，求这个三角形的面积.2.在△ABC 中，∠C =90°,AC =2.1 cm,BC =2.8 cm（1）求这个三角形的斜边AB 的长和斜边上的高CD 的长. （2）求斜边被分成的两部分AD 和BD 的长.3.如图2：要修建一个育苗棚，棚高h =1.8 m,棚宽a =2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？4.如图3，已知长方形ABCD 中AB =8 cm,BC =10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.2 一定是直角三角形吗一、选择题：1、以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（ ） A 5cm ，12cm ，13cm B 5cm ，8cm ，11cm C 5cm ，13cm ，11cm D 8cm ，13cm ，11cm2、⊿ABC 中，如果三边满足关系2BC =2AB +2AC ，则⊿ABC 的直角是（ ）A ∠ CB ∠AC ∠BD 不能确定3、由下列线段组成的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A a=7，b=25，c=24 B a=2.5，b=2，c=1.5 C a=45，b=1，c= 32 D a=15，b=20，c=254、三角形的三边长a 、b 、c 满足ab c b a 2)(22=-+，则此三角形是（ ） A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等腰三角形5、小红要求△ABC 最长边上的高，测得AB =8 cm ，AC =6 cm ，BC =10 cm ，则可知最长边上的高是A.48 cmB.4.8 cmC.0.48 cmD.5 cm6.满足下列条件的△ABC ，不是直角三角形的是A.b 2=c 2－a 2B.a ∶b ∶c =3∶4∶5C.∠C =∠A －∠BD.∠A ∶∠B ∶∠C =12∶13∶157.在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是A.5，6，7B.1，4，9C.5，12，13D.5，11，128.若一个三角形的三边长的平方分别为：32，42，x 2则此三角形是直角三角形的x 2的值是A.42B.52C.7D.52或79.如果△ABC 的三边分别为m 2－1，2 m ，m 2+1(m ＞1)那么A.△ABC 是直角三角形，且斜边长为m 2+1 B.△ABC 是直角三角形，且斜边长2 为mC.△ABC 是直角三角形，但斜边长需由m 的大小确定D.△ABC 不是直角三角形 二、填空题：10、若一个三角形的三边长分别是m+1，m+2，m+3，则当m= ，它是直角三角形。
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理 同步测试
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理同步测试一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形．已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c．如图②，现将这四个全图②等的直角三角形紧密拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，OC=3，则该飞镖状图案的面积（）A．6 B．12 C．24 D．2432.如果梯子的底端离建筑物5米,13米长的梯子可以到达建筑物的高度是( )A.12米B.13米C.14米D.15米3.如图，以Rt△ABC为直径分别向外作半圆，若S1=10，S3=8，则S2=()A. 2B. 6C. √2D. √64．下列各组数中，是勾股数的为（）A．1，2，3 B．4，5，6 C．3，4，5 D．7，8，95. 如图所示, 一个高1.5米,宽3.6米的大门,需要在相对的顶点间用一条木板加固,则这块木板的长度是 ( )A.3.8米B.3.9米C.4米D.4.4米6．已知一轮船以18 n mile/h 的速度从港口A 出发向西南方向航行，另一轮船以24 n mile/h 的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口1.5 h 后，两轮船相距( )A ．30 n mileB ．35 n mileC ．40 n mileD ．45 n mile7.已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么此三角形的第三条边的长为()A. 4B. 16C. √34D. 4或√348.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ．若ab=8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为（ ）A ．9B ．6C ．4D ．39．如图，将△ABC 放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A ，B ，C 恰好在网格图中的格点上，那么△ABC 中BC 的高是（ ）A ．210B ．410 C ．510 D ．510．如图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，然后分别以三个正方形的中心为圆心，正方形边长的一半为半径作圆，记三个圆的面积分别为S1，S 2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是( )A．S1＋S2＞S3B．S1＋S2＝S3C．S1＋S2＜S3D．无法确定二、填空题(每题4分，共32分)11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD是底边上的高，若AB＝5 cm，BC ＝6 cm，则AD＝__________．12．如图，已知△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，DE是AC的垂直平分线，DE交AB于点D，连接CD，则CD= ．13.如图，某会展中心在会展期间准备将高5m长13m宽2m的楼道上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元钱．14.王师傅在操场上安装一副单杠,要求单杠与地面平行,杠与两撑脚垂直,如图所示,撑脚长AB,DC为3 m,两撑脚间的距离BC为4 m,则AC= m就符合要求.15．如图是一个长方体，则AB＝____，阴影部分的面积为____．16．如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm至D点，则橡皮筋被拉长了．17.如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD是底边上的高，若AB=5cm，BC=6cm，则AD=______cm．18.如图所示的是一个三级台阶,它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米,A,B是这个台阶上两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物,则蚂蚁沿台阶面爬行到B点的最短路程是米.三、解答题（共5小题，满分58分）19．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=2，求△ABC 的周长．20.(12分)如图所示,将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上,旗杆的高度为320 cm,在无风的天气里,彩旗自然下垂,如图所示.求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形所示(单位:cm).21.(12分)已知如图，四边形ABCD中，∠B=90∘，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，求这个四边形的面积．22．(12分)某消防部队进行消防演练．在模拟现场，有一建筑物发生了火灾，消防车到达后，发现离建筑物的水平距离最近为12 m，如图，即AD＝BC＝12 m，此时建筑物中距地面12.8 m高的P处有一被困人员需要救援．已知消防云梯车的车身高AB是3.8 m，问此消防车的云梯至少应伸长多少米？23．(12分)有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，其长AD＝8 cm，高AB＝6 cm，水深为AE＝4 cm，在水面线EF上紧贴内壁G处有一粒食物，且EG＝6 cm，一只小虫想从水缸外的A处沿水缸壁爬进水缸内的G处吃掉食物．(1)小虫应该沿怎样的路线爬才能使爬的路线最短呢？请你画出它爬行的最短路线，并用箭头标注．(2)求小虫爬行的最短路线长(不计缸壁厚度)．答案提示1．C ．2.A 3. A 4．C ． 5.B 6.D 7. D 8.D ．9．A ．10.B 11.4 cm 12．5 13. 612 14. 14.5 15. 15．13；30 16. 16．2cm 17. 17. 4 18. 18.2.5 19．解：∵AD ⊥BC ， ∴∠ADB=∠ADC=90°，∵在Rt △ADB 中，∠DAB=90°﹣∠B=90°﹣45°=45°=∠B ， ∴AD=BD=2，由勾股定理得：AB=222222=+； ∵在Rt △ADC 中，∠C=30°，AD=2， ∴AC=2AD=4，由勾股定理得：CD=322422=-，∴△ABC 的周长是AC+AB+BC=4+22+2+23=6+22+23．20.解:如图所示,彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h也就是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长,由于902+1202=1502,所以彩旗的对角线长为150 cm,所以h=320-150=170(cm).21. 解：连接AC，如图所示：∵∠B=90∘，∴△ABC为直角三角形，又AB=4，BC=3，∴根据勾股定理得：AC=√AB2+BC2=5，又AD=13，CD=12，∴AD2=132=169，CD2+AC2=122+52=144+25=169，∴CD2+AC2=AD2，∴△ACD为直角三角形，∠ACD=90∘，则S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD=12AB⋅BC+12AC⋅CD=12×3×4+12×12×5=36．22.解：因为CD＝AB＝3.8 m，所以PD＝PC－CD＝9 m.在Rt△ADP中，AP2＝AD2＋PD2，得AP＝15 m.所以此消防车的云梯至少应伸长15 m.23．解：(1)如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G与BC交于点Q，则AQ＋QG为最短路线．(第25题)(2)因为AE＝4 cm，AA′＝12 cm，所以A′E＝8 cm.在Rt△A′EG中，EG＝6 cm，A′E＝8 cm，A′G2＝A′E2＋EG2＝102，所以A′G＝10 cm，所以AQ＋QG＝A′Q＋QG＝A′G＝10 cm.所以最短路线长为10 cm.学海迷津：数学学习十大方法1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
北师大版八年级上册数学第一章 勾股定理 同步测试卷(含答案)
北师大版八年级上册数学第一章勾股定理同步测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．把一个直角三角形的两直角边长同时扩大到原来的3倍，则斜边长扩大到原来的( )A．2倍B．3倍C．4倍D．5倍2.如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥AB，AB=√5，且AC：BD=2：3，那么AC的长为()A. 2√5B. √5C. 3D. 43.下面四组线段能够组成直角三角形的是( )A.2,3,4B.3,4,5C.6,7,8D.7,8,94．如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是( )A．3 cm2B．4 cm2C．5 cm2D．6 cm25．满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为( )A．∠A＝∠B－∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2C．b2＝a2－c2 D．a∶b∶c＝2∶3∶46.如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b 的面积为()A.8B. 9C. 10D. 117．如图所示，圆柱的高AB=3，底面直径BC=3，现在有一只蚂蚁想要从A 处沿圆柱表面爬到对角C 处捕食，则它爬行的最短距离是（ ）A ．π+13B ．23C ．2432π+ D ．213π+ 8.小明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1 m,当它把绳子的下端拉开5 m 后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为 ( )A.8 mB.10 mC.12 mD.14 m9．已知直角三角形的斜边长为5 cm ，周长为12 cm ，则此三角形的面积是( )A ．12 cm 2B ．6 cm 2C ．8 cm 2D ．10 cm 210．如图：在△ABC 中，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ，且EF ∥BC 交AC 于M ，若CM=5，则CE 2+CF 2等于（ ）A ．75B ．100C ．120D ．125二．填空题（共8小题，满分32分）11．已知△ABC 的三边长为a 、b 、c ，满足a+b=10，ab=18，c=8，则此三角 形为 三角形．12.在Rt△ABC中，已知两边长为5、12，则第三边的长为______ ．13.如图所示,小明将一张长为20 cm,宽为15 cm的长方形纸剪去了一角,量得AB=3 cm,CD=4 cm,则剪去的直角三角形的斜边长为.c－b＝0，14．已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足关系式(a2－c2－b2)2＋||则△ABC的形状为____________．15．如图，每个小正方形边长为1，则△ABC边AC上的高BD的长为．16.如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B 沿AE折叠，使点B落在点B′处.当△CEB′为直角三角形时，CB′的长为______．17.如图所示,在一棵树上的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处,另一只猴子爬到树顶C后直接跃到A处,距离以直线计算,若两只猴子所经过的距离相等, 则这棵树高米.18．在一根长90 cm的灯管上缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看成圆柱体，且底面周长为4 cm，彩色丝带均匀地缠绕了30圈(如图为灯管的部分示意图)，则彩色丝带的总长度为__________．三、解答题19．（8分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，∠B=45°，∠C=30°，AD=2，求△ABC 的面积．20．（10分）方格纸中小正方形的顶点叫格点．点A和点B是格点，位置如图．（1）在图1中确定格点C使△ABC为直角三角形，画出一个这样的△ABC；（2）在图2中确定格点D使△ABD为等腰三角形，画出一个这样的△ABD；（3）在图2中满足题（2）条件的格点D有个．21.如图所示，将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠.点B 落在E点，AE交DC 于F点，已知AB=8cm，BC=4cm.求折叠后重合部分的面积．22．如图，一根12 m的电线杆AB用铁丝AC，AD固定，现已知用去的铁丝AC＝15 m，AD＝13 m，又测得地面上B，C两点之间的距离是9 m，B，D两点之间的距离是5 m，则电线杆和地面是否垂直，为什么？23．（12分）为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，DA=4m，BC=12m，CD=13m．（1）求出空地ABCD的面积．（2）若每种植1平方米草皮需要200元，问总共需投入多少元？24．（14分）阅读理解：我们知道在直角三角形中，有无数组勾股数，例如：5、12、13；9、40、41；…但其中也有一些特殊的勾股数，例如：3、4、5；是三个连续正整数组成的勾股数．解决问题：①在无数组勾股数中，是否存在三个连续偶数能组成勾股数？答：，若存在，试写出一组勾股数：．②在无数组勾股数中，是否还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．③在无数组勾股数中，是否存在三个连续奇数能组成勾股数？若存在，求出勾股数，若不存在，说明理由．答案提示1.B2. D3.B4.C5.D6. C 7．C． 8.C 9.B 10．B．11．直角．12.13或√11913.20 cm14．等腰直角三角形15．8 516. 2或√1017.1518．150 cm 19．解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt △ADB 中，∵∠B+∠BAD=90°，∠B=45°，∴∠B=∠BAD=45°，∴BD=AD=2，在Rt △ADC 中，∵∠C=30°，∴AC=2AD=22，∴CD=()()622222=-，BC=BD+CD=2+6， ∴S △ABC =21×BC ×AD=21×（2+6）×2=1+3． 20．解：（1）（2）如图所示：（3）在图2中满足题（2）条件的格点D 有4个．故答案是：4．21. 解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D =∠B =90∘，AD =BC ，∵将一个长方形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，∴BC =CE ，∠B =∠E ，∴AD =CE ，∠D =∠E ，在△EFC 和△DFA 中，{∠E =∠D∠EFC =∠DFA CE =AD，∴△EFC ≌△DFA ，∴DF =EF ，AF =CF ，设FC =x ，则DF =8−x ，在RT △ADF 中，DF 2+AD 2=AF 2，即(8−x)2+16=x 2，解得：x =5，即CF =5cm ，∴折叠后重合部分的面积=12CF ×AD =10cm 2．22．解：垂直．理由如下：因为AB ＝12 m ，AC ＝15 m ，BC ＝9 m ，所以AC 2＝BC 2＋AB 2.所以∠CBA ＝90°.又因为AD ＝13 m ，AB ＝12 m ，BD ＝5 m ，所以AD 2＝BD 2＋AB 2.所以∠ABD ＝90°，因此电线杆和地面垂直．23．解：（1）连接BD ，在Rt △ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2=32+42=52，在△CBD 中，CD 2=132，BC 2=122，而122+52=132，即BC 2+BD 2=CD 2，∴∠DBC=90°，则S 四边形ABCD =S △BAD +S △DBC =21•AD •AB+21DB •BC=21×4×3+21×12×5=36； （2）所以需费用36×200=7200（元）．24．解：①存在三个连续偶数能组成勾股数，如6，8，10，故答案为：存在；6，8，10；②答：不存在，理由是：假设在无数组勾股数中，还存在其它的三个连续正整数能组成勾股数，设这三个正整数为n﹣1，n，n+1，则（n﹣1）2+n2=（n+1）2，（5分）n 1=4，n2=0（舍），当n=4时，n﹣1=3，n+1=5，∴三个连续正整数仍然是3，4，5，∴不存在其它的三个连续正整数能组成勾股数；③答：不存在，理由是：在无数组勾股数中，存在三个连续奇数能组成勾股数，设这三个奇数分别为：2n﹣1，2n+1，2n+3（n＞1的整数），（2n﹣1）2+（2n+1）2=（2n+3）2，n 1=27，n2=﹣21，∴不存在三个连续奇数能组成勾股数；。
2023-2024学年八年级数学上册《第一章 勾股定理的应用》同步练习题附带答案-北师大版
2023-2024学年八年级数学上册《第一章勾股定理的应用》同步练习题附带答案-北师大版学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．梯子的底端离建筑物6米，10米长的梯子可以到达建筑物的高度是（）A．6米B．7米C．8米D．9米2．一个长方形抽屉长3cm，宽4cm，贴抽屉底面放一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm3．由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A．8m B．10m C．16m D．18m4．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高丈，末折抵地，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（）A．4尺B．4.55尺C．5尺D．5.55尺5．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积41，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．25 B．41 C．62 D．816．如图，斜坡BC的长度为4米．为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平距离向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为4√3米，则原来斜坡的水平距离CD的长度是（）米．A．2 B．4 C．2√3D．67．国庆假期中，小华与同学去玩探宝游戏，按照探宝图，他们从门口A处出发先往东走8km，又往北走2km，遇到障碍后又往西走3km，再向北走到6km处往东拐，仅走了1km，就找到了宝藏，则门口A到藏宝点B的直线距离是（）A．20km B．14km C．11km D．10km8．如图，OP=1，过点P作PP1⊥OP且PP1=1，得OP1=√2；再过点P，作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=√3；又过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2…依此法继续作下去，得OP2021=（）A．√2023B．√2022C．√2021D．√2020二、填空题9．一轮船以16海里/时的速度从A港向东北方向航行，另一艘船同时以12海里/时的速度从A港向西北方向航行，经过1.5小时后，它们相距海里．10．如图是某路口处草坪的一角，当行走路线是A→C→B时，有人为了抄近道而避开路的拐角∠ACB(∠ACB=90°)，于是在草坪内走出了一条不该有的捷径路AB.某学习实践小组通过测量可知，AC的长约为6米，BC的长约为8米，为了提醒居民爱护草坪，他们想在A，B处设立“踏破青白可惜，多行数步无妨”的提示牌．则提示牌上的“多行数步”是指多行米．11．在平静的湖面上，有一朵荷花高出水面半尺，忽然一阵强风吹来把荷花垂直拉到水里且荷花恰好落在水面．花在水平方向上离开原来的位置2尺远，则这个湖的水深是尺．12．如图，一个长方体铁盒的长，宽，高分别是8 cm，6 cm，24 cm，-根长28 cm的木棒完全装进这个盒子里.（填“能”或“不能”）13．如图，山坡上，树甲从点A处折断，其树顶恰好落在另一棵树乙的根部C处，已知AB＝4m，BC ＝10m，已知两棵树的水平距离为6m，则树甲原来高．三、解答题14．如图，小旭放风筝时，风筝挂在了树上，他先拉住风筝线，垂直于地面，发现风筝线多出1米；把风筝线沿直线BC向后拉5米，风筝线末端刚好接触地面，求风筝距离地面的高度AB.15．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，请你求出旗杆的高度（滑轮上方的部分忽略不计）．16．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1）.如图（2），已知云梯最多只能伸长到15m（即AB=CD=15m），消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m（即BE=12m）高的B处救人后，还要从15m（即DE=15m）高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？（延长AC交DE于点O，AO⊥DE点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m）17．如图，在笔直的公路AB旁有一座山，为方便运输货物现要从公路AB上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为15km，与公路上另一停靠站B的距离为20km，停靠站A、B之间的距离为25km，且CD⊥AB．（1）求修建的公路CD的长；（2）若公路CD修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？18．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．（1）求监测点A与监测点B之间的距离；（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．参考答案1．C2．B3．C4．B5．D6．A7．D8．B9．3010．411．3.7512．不能13．(4+6√5)m14．解：设AB＝x米，则AC＝（x＋1）米由图可得，∠ABC＝90°，BC＝5米在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2即x2+52=(x+1)2解得x＝12答：风筝距离地面的高度AB为12米.15．解：如图设旗杆高度为x米，则AC=AD=x(m)，AB=(x−2)(m)而BC=8m 在Rt△ABC中AB2+BC2=AC2，即(x−2)2+82=x2解得：x=17(m)即旗杆的高度为17m．16．解：在 Rt △ABO 中∵∠AOB =90° AB =15m ，OB =12−3=9 （m ） ∴AO =√AB 2−OB 2=√152−92=12 （m ）在 Rt △COD 中∵∠COD =90°，CD =15m ，OD =15−3=12 （m ） ∴OC =√CD 2−OD 2=√152−122=9 （m ）∴AC =OA −OC =3 （m ）答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离 AC 为 3m .17．（1）解：∵AC=15km ，BC=20km ，AB=25km152+202=252∴△ACB 是直角三角形，∠ACB=90°∵12AC ×BC=12AB ×CD∴CD=AC ×BC ÷AB=12（km ）．故修建的公路CD 的长是12km ；（2）解：在Rt △BDC 中，BD= √BC 2−CD 2=16（km ）一辆货车从C 处经过D 点到B 处的路程=CD+BD=12+16=28（km ）． 故一辆货车从C 处经过D 点到B 处的路程是28km ．18．（1）解：在RtΔABC 中，AC =300km ，BC =400km ∴AB =√AC 2+BC 2=√3002+4002=500（km ）答：监测点A 与监测点B 之间的距离为500km ；（2）解：海港C 受台风影响理由：∵∠ACB =90°，CE ⊥AB∴S ΔABC =12AC ⋅BC =12CE ⋅AB ∴300×400=500CE∴CE =240km∵以台风中心为圆心周围260km 以内为受影响区域∴海港C 会受到此次台风的影响以C 为圆心，260km 长为半径画弧，交AB 于D ，F则DE =EF =260km 时，正好影响C 港口在RtΔCDE 中∵ED =√CD 2−CE 2=√2602−2402=100（km ）∴DF =200km∵台风的速度为25千米/小时∴200÷25=8（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为8小时．。
北师大版八年级数学上册 1.1探索勾股定理 同步测试(含答案)
2020秋北师大版八年级数学上册第一章1.1探索勾股定理 假期同步测试一、选择题：1. 下列说法正确的是（ ）A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的 三 边，则a 2＋b 2＝c 2C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 22. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）A ．c b a =+ B.c b a >+C.c b a <+D.222c b a =+3．一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是（ ）A ．斜边长为25B ．三角形周长为25C ．斜边长为5D ．三角形面积为204．直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，则下列关于a ，b ，c 三边的关系式不正确的是（ ）A ．b 2=c 2﹣a 2B ．a 2=c 2﹣b 2C ．b 2=a 2﹣c 2D ．c 2=a 2+b 25．如图，点E 在正方形ABCD 内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是（ ）A ．48B ．60C ．76D ．806．在Rt△ABC中，斜边长BC=3，AB2+AC2+BC2的值为（）A．18 B．9 C．6 D．无法计算7．在Rt△ABC中，∠C=90°，若AC=5，BC=12，则AB的长为（）A．5 B．12 C．13 D．158．若直角三角形的三边长分别为3，5，x，则x的可能值有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．如图，分别以直角△ABC的三边AB、BC、CA为直径向外作半圆，设直线AB左边阴影部分面积为S1，右边阴影部分面积为S2，则（）A．S1=S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定10．直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为（）A．12 B．10 C．8 D．6二、填空题：1．在Rt△ABC中，∠B=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a=12，b=13，则c的值为______．2．甲船以15海里/时的速度离开港口向北航行，乙船同时以20海里/时的速度离开港口向东航行，则它们离开港口2小时后相距______海里．3．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，分别以BC、AB、AC为边向外作正方形，面积分别记为S1、S2、S3，若S2=4，S3=6，则S1=______．4．在RC∆中，Bt A∠C，=90（1）如果a=3，b=4，则c= ；（2）如果a=6，b=8，则c= ；（3）如果a=5，b=12，则c= ；(4) 如果a=15，b=20，则c= .5．如图,三个正方形中的两个的面积S1＝25，S2＝144，则另一个的面积S3为________．6．如果直角三角形的斜边与一条直角边分别是15cm和12cm，那么这个直角三角形的面积是______．7．如图，∠MCF=∠FCD，∠MCE=∠ECB，EF=10cm，则CE2+CF2=______．8．等腰△ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是______cm．9．如图，由四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”．Rt△ABF中，∠AFB=90°，AF=4，AB=5．四边形EFGH的面积是______．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．三、解答题：1．利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，验证：c2＝a2＋b2.cab ac b b cba ac2．下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形ABC的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”; 王华同学说: “第三边长是7.”还有一些同学也提出了不同的看法……（1）假如你也在课堂上, 你的意见如何? 为什么?（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)3．如图，测得某楼梯的长为5m，高为3m，宽为2m，计划在表面铺地毯，若每平方米地毯50元，你能帮助算出至少需要多少钱吗？4．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=15cm，AC=13cm，AD=12cm，求：△ABC的面积．5．如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？6．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=7，BC=24，CD⊥AB于D．（1）求AB的长；（2）求CD的长．7．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC 沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？8.如图，已知长方形ABCD 中AB =8 cm,BC =10 cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.答案提示一、选择题：1.D ；2.B ；3.C ；4．C ；5．C ；6．A ；7．C ；8．B ；9．A ；10．D ；二、填空题：1．5； 2．50； 3．2； 4.5； 10； 13； 25 ； 5.169；6．54cm 2； 7．100cm 2； 8．8； 9．1； 10．3；三、解答题：1.中空正方形的面积为2)(a b -，也可表示为ab c 2142⨯-，∴2)(a b -=ab c 2142⨯-，整理得222c b a =+. 3.（1）分两种情况:当4为直角边长时，第三边长为5；当4为斜边长时，第三边长为7.（2）略4．5．6．8.解：根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AEF∴∠AFE=90°,AF =10 cm,EF=DE设CE=x cm，则DE=EF=CD－CE=8－x在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，即82+BF2=102，∴BF=6 cm∴CF=BC－BF=10－6=4(cm)在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即(8－x)2=x2+42∴64－16x+x2=x2+16∴x=3(cm),即CE=3 cm。
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北师版八年级数学上册
1.1.1勾股定理
同步训练卷
一、选择题（共10小题，3*10=30）
1．在△ABC中，∠A＝90°，则下列式子不成立的是( )
A．BC2＝AB2＋AC2B．AB2＝AC2＋BC2
C．AB2＝BC2－AC2D．AC2＝BC2－AB2
2．已知一个直角三角形三边长的平方和为800，则斜边长为()
A．10 B．20 C．30 D．40
3．若直角三角形的三边长分别为2，4，x，则x的可能值有( )
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE＝BE，AD＝2，CE＝5，则CD等于()
A．2 B．3 C．4 D．4.5
5．如果直角三角形两直角边长分别为4，5，那么以斜边为边长的正方形的面积为( )
A．41 B．1 C．9 D．以上答案都不对
6. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少要飞行( )
A．8米B．10米C．12米D．14米
7．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为( ) A．5 B．6 C．8 D．10
8．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( ) A．48 B．60 C．76 D．80
9．如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B′处，点A的对应点为点A′，且B′C＝3，则CN的长是( )
A．1 B．4 C．9 D．16
10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的较长直角边长为a，较短直角边长为b.若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为()
A．9B．6 C．4D．3
二．填空题（共8小题，3*8=24）
11．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，AB＝13，则勾与股的和是____．
12. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c.当∠C＝90°，b＝4 m，c＝5 m时，a＝_______．13．如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为________．
14．我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形
的两直角边长分别为a，b，那么(a－b)2的值是________．
15．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，已知其中两个正方形的面积，则正方形A 的面积是____，B 的面积是________．
16．斜边长为17 cm ，一条直角边长为15 cm 的直角三角形的面积为______________．
17．在“寻找滨河最美，拒绝不文明行为”系列活动中，细心的董明同学发现：学校有一块长方形花圃，如图，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了____步路(假设2步为1米)，却踩伤了花草．
18．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，最大正方形的边长为2 cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积和是____ cm 2.
三．解答题（共7小题， 46分）
19．(6分) 如图，在△ABD 中，∠D ＝90°，点C 是BD 上一点，已知CB ＝9，AB ＝17，AC ＝10，求AD 的长．
20．(6分)如图，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，AC ＝4，BC ＝3，BD ＝95
，求：CD 、(2)AB 的长．
21．(6分) “中华人民共和国道路交通管理条例”规定小汽车在城市街道上行驶速度不得超过70 km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街道上直向行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A正前方30 m 的B处，过了2 s后，测得小汽车到达点C处与车速检测仪A间距离为50 m，这辆小汽车超速了吗？(参考数据：1 m/s＝3.6 km/h)
22．(6分)如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，AD＝13，BC⊥AB，对角线AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．
23．(6分) 1876年，美国总统伽菲尔德(James Abram Garfield)利用如图验证了勾股定理．你能利用它验证勾股定理吗？
24．(8分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20 m，BC＝15 m，CD＝7 m，求四边形ABCD的面积．
25．(8分) 如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.
(1)求DB的长；
(2)在△ABC中，求BC边上的高的长．
参考答案
1-5BBBCA 6-10BCCBD
11. 17
12. 3m
13. 3
14. 1
15. 20,256
16. 60 cm 2
17. 4
18. 4
19. 解：设CD 长为x.在Rt △ACD 中，AD 2＝102－x 2.
在Rt △ABD 中，AD 2＝172－(x ＋9)2.
∴102－x 2＝172－(x ＋9)2，
解得x ＝6，
∴所以AD 2＝64，AD ＝8
20. 解：在Rt △BCD 中，CD 2＝BC 2－BD 2＝32－⎝⎛⎭⎫952
＝14425，
所以CD ＝125
. 在Rt △ACD 中，AD 2＝AC 2－CD 2＝42－⎝⎛⎭⎫1252＝25625，
所以AD ＝165
. 所以AB ＝AD ＋BD ＝165＋95
＝5. 21. 解：由题意得AB ＝30 m ，AC ＝50 m ．
由勾股定理得BC 2＝AC 2－AB 2＝502－302＝402.于是BC ＝40 m ． 此时小汽车的速度为40÷2＝20(m/s)．
∵20 m/s ＝72 km/h ＞70 km/h ，
∴这辆小汽车超速了
22. 解：在Rt △ABC 中，∵AC 2＝AB 2＋BC 2＝32＋42＝25，
∴AC ＝5，
在Rt △ACD 中，∵CD 2＝AD 2－AC 2＝132－52＝144，
∴CD ＝12，
∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB·BC ＋12AC·CD ＝12×3×4＋12
×5×12＝36 23. 证明：因为梯形的面积可以表示为12(a ＋b)(a ＋b)，也可以表示为12ab ＋12c 2＋12
ab ， 所以12(a ＋b)(a ＋b)＝12ab ＋12c 2＋12
ab. 整理，得12a 2＋ab ＋12b 2＝ab ＋12
c 2. 即a 2＋b 2＝c 2.
24. 解：如图，连接AC.
因为∠B ＝∠D ＝90°，所以△ABC 与△ACD 都是直角三角形．
在Rt △ABC 中，根据勾股定理，
得AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，则AC ＝25 m.
在Rt △ACD 中，根据勾股定理，
得AD2＝AC2－CD2＝252－72＝576，则AD ＝24 m.
故S 四边形ABCD ＝S △ABC ＋S △ACD ＝12AB·BC ＋12AD·CD
＝12×20×15＋12×24×7＝234(m2)．
25. 解：(1)因为DB ⊥BC ，BC ＝4，CD ＝5，
所以在Rt △BCD 中，根据勾股定理得DB ＝3.
(2)如图，延长BD 至E ，使DE ＝DB ，连接AE.
因为D 是AC 边的中点，所以AD ＝CD.
在△EDA 和△BDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDB ，DE ＝DB ，
所以△EDA ≌△BDC(SAS)．所以∠DAE ＝∠DCB.所以AE ∥BC.
因为DB ⊥BC ，所以△ABC 中BC 边上的高的长等于BE 的长． 易知BE ＝2BD ＝6，所以在△ABC 中，BC 边上的高的长为6.。