2003年中国数学奥林匹克_CMO_在长沙举行

过的人, 就录用他; 否则就不录用, 继续面试下一 个. 如 果前 9 个人都不录用, 那么就录用最后一个面试的人.
假定这 10 个 人的 能力 各不 相 同, 可以 按 能力 由 强到弱排为第 1, 第 2, , 第 10. 显然该 公司到底 录用
到哪 一个人, 与这 10 个 人 报 名 的顺 序 有 关. 大 家 知 道, 这样的排列共有 10! 种. 我们以 A k 表 示能力第 k 的人 能够被 录用 的 不同 报名 顺 序 的数 目, 以 A k 10! 表示他被录用的可能性.
( ay 1 + by 2 + cy 3 + dy 4 ) 2 + ( ax 4 + bx 3 + cx 2 +
dx 1) 2
2(
a
2
+ ab
b2
+
c
2
+ cd
d
2
)
.
本刊主编: 吴建平
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士都为本次活动题词.
来自内地、香港、澳门以及俄罗斯的共 36 支代表队的 157 名营员参加了活动. 经过两场比赛
( 每场 4 个半小时、做 3 道题) , 广东省代表队取得团体总分第一名, 荣获 陈省身杯 . 方家聪等 19
名同学取得金牌, 张凌人等 45 名同学取得银牌, 王蓉蓉等 73 名同学取得铜牌. 获得金牌的所有
( 3) 对于 S 中任 意两个 不同的元 素 a, b , 都存 在 S 中异于 a, b 的元素 d , 使得 a 与 d 的最大 公约数 大 于 1, 并且 b 与 d 的最大公约数也大于 1.
三、给定正整数 n , 求最 小的正 数 , 使得 对于 任
何 i ( 0, 2 ) , ( i= 1, 2, , n) , 只要
选手和获得银牌的前三名选手将入选 参加 2003IMO 的中国国家集训队 .
就有
n
tan 1 tan 2 tan n = 22 ,
不大于 .
cos 1 + cos 2+ + cos n
第二天试题
第一天试题
一、设点 I , H 分别为锐角 A BC 的内 心和垂心, 点 B 1 , C 1 分 别 为边 A C, A B 的中 点. 已 知射 线 B 1 I 交边 A B 于点 B2 ( B 2 B) , 射线 C 1 I 交 A C 的延长 线 于点 C2 , B2 C2 与 BC 相 交 于 K , A 1 为 BH C 的 外 心. 试 证: A , I, A 1 三 点 共 线 的 充 分 必 要 条 件 是
证明: 在该公司经理的方针之下, 有
( 1) A 1 > A 2 > > A 8 = A 9 = A 10 ; ( 2) 该公司 有超 过 70% 的 可能 性录 取到 能力 最
强的 3 个人之一, 而只有不超过 10% 的 可能录用 到能 力最弱的 3 个人之一.
三、设 a, b , c, d 为正 实数, 满足 ab + cd = 1; 点 Pi ( x i , yi ) ( i = 1, 2, 3, 4) 是以 原点为 圆心的 单位圆 周 上的四个点. 求证:
2003 年中国数学奥林匹克( CMO) 在长沙举行
由中国数学会主办的 2003 年中国数学奥林匹克( 第 18 届全国中学生数学冬令营) 于 2003 年
1 月 13 日至 18 日在湖南长沙举行. 本届冬令营的承办单位是长沙一中, 这是第二次在中学举办
CM O, 第一次是去年在上海中学. 著名数学家陈省身教授、中国数学奥林匹克委员会主席王元院
一、求所有满足 a 2, m 2 的三元正整数 组( a, m, n) , 使得 an + 203 是 am + 1 的倍数.
二、某公司需要录用一名秘书, 共有 10 人报 名, 公 司经理决定按照求 职报名 的顺序 逐个面试, 前 3 个人
面试后一定不录用. 自第 4 个人开 始将他 与前面 面试 过的人相比较, 如 果他的能 力超过 了前面 所有已 面试
BK B2 和 CK C2 的面积相等. 二、求出同时满足如下条件的集合 S 的元素个 数
最大值: ( 1) S 中的每个元素都是不超过 100 的正整数; ( 2) 对于 S 中任 意两个 不同元 素 a, b , 都存在 S
中的元素 c, 使得 a 与 c 的最 大公 约数 等于 1, 并 且 b 与 c 的最大公约数也等于 1;