[研究生入学考试]赵树源线性代数_线性代数第1讲
人民大2024赵树嫄《线性代数(第六版)》PPT第四章 特征值问题和矩阵的对角化
1
本章介绍矩阵的特征值、特征向量以及矩阵对 角化的问题。
2
第一节 矩阵的特征值与特征向量
(一) 矩阵的特征值 定义 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在一个数 ， 以及一个非零 n 维列向量 ，使得
A
则称 为矩阵 A 的特征值，而 称为矩阵 A 的属于 特征值 的特征向量。
说明： 1、特征值问题是针对方阵而言的； 2、特征向量必须是非零向量； 3、特征向量既依赖于矩阵A，又依赖于特征值λ。
的特征向量。
证 (2) A 0 A( A ) A(0 ) 0 ( A ) 0(0 ) ,
即 A2 20 ，
重复这个过程, 可得 A3 30 , , Am 0m .
27
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
26
性质2 设 0 是矩阵 A 的特征值， 是相应的特征向量，则
(1) k0 是kA 的特征值（k 是任意常数）；
(2) m0 是 Am 的特征值（m 是正整数）；
(3) 当 A 可逆时,0 0 ,且01 是A1 的特征值.
且 仍然是矩阵kA 、Am 、A1 的相应于特征值k0 、m0 、
1 0
2 1 1 解 | E A | 0 2 0
4 1 3
( 2)2( 1) 0 ,
所以A的特征值为 1 2(二重根), 2 1 .
21
2 1 1 | E A | 0 2 0 , 1 2(二重根), 2 1 .
4 1 3
4
对
1
2 ，2 E
A
0
1 0
1 4 0 0
3
特征值与特征向量的计算方法：
研究生入学考试线性代数第讲PPT课件
上述在Fn中定义的向量加法和数乘运算称为向量的线性运算,
满足八条运算规则:
(1) a+b=b+a (加法交换律);
(2) (a+b)+g=a+(b+g) (加法结合律);
(3) 对任一向量a, a+0=a;
(4) 对任一向量a, 存在负向量-a, 使a+(-a)=0
(5) 1a=a;
(6) k(la)=(kl)a
2021/5/17
9
第9页/共34页
定义2 设a=[a1,a2,...,an],b=[b1,b2,...,bn]Fn, kF, 定义 (i) a=b, 当且仅当ai=bi(i=1,2,...,n) (ii) 向量加法(或a与b之和)为
a+b=[a1+b1,a2+b2,...,an+bn];
(iii) 向量的数量乘法(简称数乘)为
向量线性表示.
a3
a2
a3=l1a1+l2a2
a1=l3a3+0a2
2021/5/17
O
a1
a3
O
第15页/共34页
a2 15 a1
两种情况都等价于: 存在不全为0的数k1,k2,k3, 使 k1a1+k2a2+k3a3=0; 若a1,a2,a3不共面, 则任一个向量都不能由另两个向量线性表 示, 即只有当k1,k2,k3全为零时, 才有k1a1+k2a2+k3a3=0.
a=[a1,a2,...,an],
(3.2)
其中ai称为a的第i个分量.
向量写作(3.2)的形式, 称为行向量; 向量写作列的形式(也用
矩阵的转置记号表示)
线性代数3-3(第四版)赵树嫄
《线性代数》(第四版)教学课件
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例4 判断向量组
1(1 2 0 1) 2(1 3 0 1) 3(1 1 1 0)
是否线性相关
解 对矩阵(1T 2T 3T)施以初等变换化为阶梯形矩阵
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2 0
3 0
1 1
0 0
1 0
1 1
0 0
即1 2线性相关
《线性代数》(第四版)教学课件
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(二)关于线性组合与线性相关的定理
定理37
向量组1 2 s(s2)线性相关的充分必要条件是 其
中至少有一个向量是其余s1个向量的线性组合
定理38
如果向量组1 2 s 线性相关 而1 2 s线性无 关 则向量可由向量组1 2 s线性表示且表示法唯一
定理36 如果向量组中有一部分向量(称为部分组)线性相关 则整
个向量组线性相关 此定理也可叙述为 线性无关的向量组中任何一部分组
皆线性无关 例6 含零向量的向量组线性相关 因零向量线性相关 由定理36可知 该向量组也线性相关
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(二)关于线性组合与线性相关的定理
k1()k2()k3()0
成立 整理得
(k1k3)(k1k2)(k2k3)0 因为向量组 线性无关 故
k1 k1
k2
k3 0 0
k2 k3 0
该方程组的系数行列式D20
所以该方程组只有零解k1k2k30
从而 线性无关
提示
101 D 1 1 0 20
011
《线性代数》(第四版)教学课件
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线性代数(人大版赵树嫄编)第一章行列式课件刘国刚资料
2020/10/11
广东财经大学数学与统计学院 刘国刚
第一章 行列式
▪ 本章主要介绍n阶行列式的定义，性质及其计 算方法．此外还要介绍用n阶行列式求解n元线性 方程组的克莱姆(Cramer)法则．
2020/10/11
广东财经大学数学与统计学院 刘国刚
§1.1 二阶、三阶行列式
2020/10/11
a32 a33
a11 a12 a13
＋
a11 D a21
a31
a12 a13 a22 a 23
a32 ＋a33
a21 a22 a 23
a3－1 a32 a33 －
＋
a11a a 22 33 a12a a 23 31 a13a a 21 32
a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
D1
b1 b2
a12 a22
b1a22 a12 b2
D2
a11 a21
b1 a11 b2 b1 a21
b2
x1
b1a22 a12b2
a11a2D 2 a12a21
x1
D1 D
x2
D2 D
a11 x1 a12 x2 b1
a21
x1
a22 x2
b2
x2
a11b2 b1a21
(1)
a31 x1 a32 x2 a33 x3 b3
a11 a12 a13
D a21 a22 a23
a31 a32 a33
2020/10/11
称为三阶行列式
广东财经大学数学与统计学院 刘国刚
当
a11
D a21
a31
x1
D1 D
x2
D2 D
第1讲行列式
ri krj ci kc j
a11 D a21 an1
a1 j a2 j anj
a1i a2i ani
a1n a2 n ann
a11 ci kc j a21 an1
a1 j a2 j anj
a1i ka1 j a2i ka2 j ani kanj
a1n a2 n ann
例2 计算
1 2 D 0 1
0 1 1 3
1 3 0 4
2 1 1 2
解
1 0 D 0 0
利用性质化成上三角形行列式
0 1 1 3 1 1 0 5 2 5 1 4
1 0 0 0 0 1 0 0 1 2 1 5 1 6 2 19
1 0 0 0
0 1 2 1 1 5 31 0 1 6 0 0 31
1 0 0 0
2 1 0 0
4 4 88 10 22
例4 计算
2 1 D 1 1
1 2 1 1
1 1 2 1
1 1 1 2
解： 这个行列式有一个很特殊的特点：
其每一行的元素之和均为5。
c1 c 3 5 c1 c 2 5
c1 c 4
D
5 5
r4 r1
1 2 1 1
1 1 2 1
计算方法： 对角线法则
主对角线及平行于主对角线的元素的 乘积冠正号。 副对角线及平行于副对角线的元素的 乘积冠负号。
例 1： 计算三阶行列式
解：
注：对角线法只适用于二、三阶行列式。
三、排列与逆序数
定义1 由正整数1，2，……, n 组成的一个
有序数组称为一个n级排列（permutation） n级排列的个数共有 n！种。 即 1，2，……, n 。的全排列。我们关心的是
《线性代数第1讲》课件
03
线性代数是数学的一个重要分支，广泛应用于 科学、工程和经济学等领域。
线性代数的基本性质
线性代数的运算具有结合律和交换律，例如矩阵乘法满足结合律和交换律 。
线性代数中的向量和矩阵具有加法、数乘和矩阵乘法的封闭性，即这些运 算的结果仍属于向量空间或矩阵集合。
线性代数中的一些基本概念，如向量空间的基底、向量的维数、矩阵的秩 等，具有明确的数学定义和性质。
04
线性变换在几何、物理和工程等领域有广泛应性方程组的解法
1 2
3
高斯-约当消元法
通过行变换将系数矩阵化为行最简形式，从而求解线性方程 组。
克拉默法则
适用于线性方程组系数行列式不为0的情况，通过求解方程 组得到未知数的值。
矩阵分解法
将系数矩阵分解为几个简单的矩阵，简化计算过程，如LU分 解、QR分解等。
THANKS
特征值与特征向量的应用
判断矩阵的稳定性
通过计算矩阵的特征值，可以判 断矩阵的稳定性，从而了解系统 的动态行为。
信号处理
在信号处理中，可以通过特征值 和特征向量的方法进行信号的滤 波、降噪等处理。
数据压缩
在数据压缩中，可以使用特征值 和特征向量的方法进行数据的压 缩和重构，提高数据的存储和传 输效率。
03
向量与向量空间
向量的定义与性质
01
基础定义
03
向量具有加法、数乘和向量的模等基本性质。
02
向量是有大小和方向的量，通常用实数和字母 表示。
04
向量的模是衡量其大小的标准，计算公式为 $sqrt{a^2 + b^2}$。
向量空间的概念
01
抽象空间
02
向量空间是一个由向量构成的集合，满足加法和数乘封闭性、
赵树嫄-《线性代数(第五版)》第一章 行列式
(二) n 阶行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a31 a32 a33 a13a22a31 a11a23a32 a12a21a33
(1) 三阶行列式共有 3! = 6 项． (2) 每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． (3) 每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个
a12a31b2 a11a22b3 a12a21b3 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
10
x3
b1a21a32 a11a22a33
a22a31b1 a11a32b2 a12a23a31 a13a21a32
a12a31b2 a11a22b3 a11a23a32 a12a21a33
(a12a31 a11a32 ) x2
(a13a31 a11a33 ) x3
a31b1 a11b3
(a22 )
(a22a31 a21a32 ) x2 (a23a31 a21a33 ) x3 a31b2 a21b3 a12
x3
b1a21a32 a22a31b1 a11a32b2 a11a22a33 a12a23a31 a13a a21 32
1 1 1
0 1 1
1 2 1
1 2 2
D2 2 1 3 10, D3 2 1 1 5,
1 0 1
1 1 0
故方程组的解为
x1
D1 D
1,
x2
D2 D
2,
x3
线性代数知识点
考研数学知识点－线性代数第一讲 基本知识二．矩阵和向量 ① A ② ( A③c( + + A 1．线性运算与转置B B + =) B 反对称矩阵B +A +C = A + ( B + C ) 初等变换分 ) =cA + cB ( c + d ) A = cA +dAA T= 三．矩阵的初等变换，阶梯形矩阵 ⎧ ⎨−A 。
初等行变换初等列变换⎩ 三类初等行变换 ④c ( dA ) = ( cd )A ①交换两行的上下位置⑤ cA = 0 ⇔ c = 0 或 A = 0 。
A → B向量组的线性组合 ②用非零常数 c 乘某一行。
③把一行的倍数加到另一行上（倍加变换）α ,α , Λ ,α ，1 2 s 阶梯形矩阵⎛4 1 0 2 0 ⎞c α + c α + Λ + c α 。
1 12 2 s s ⎜ ⎟ 1 0⎜ 0 − 1 2 5 1 ⎟转置2 1⎜ ⎟0 0 0 2 3 ⎜ ⎟ 4 3 ⎜ ⎟ A 的转置 A T （或 A ′ ）0 0 0 0 0 ⎝ ⎠T ①如果有零行，则都在下面。
T ( A ) = A ②各非零行的第一个非 0 元素的列号自上而下严格 单调上升。
TT T ( A ± B ) = A ± B或各行左边连续出现的 0 的个数自上而下严格单调 T T 上升，直到全为 0 。
( c A ) = c ( A ) 。
台角：各非零行第一个非 0 元素所在位置。
简单阶梯形矩阵：3． n 阶矩阵3．台角位置的元素都为 1n 行、 n 列的矩阵。
4．台角正上方的元素都为 0。
对角线，其上元素的行标、列标相等 a , a ,Λ 11 22 每个矩阵都可用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单 ⎛ * 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 阶梯形矩阵。
对角矩阵 ⎜ 0 * 0 ⎟ 如果 A 是一个 n 阶矩阵⎜ ⎟ 0 0 * ⎝ ⎠ A 是阶梯形矩阵 ⇒ A 是上三角矩阵，反之不一定，如⎛ 3 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 数量矩阵 0 3 0 = 3E ⎛ 0 0 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 1 0 是上三角，但非阶梯形 0 0 3 ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ 0 0 1 ⎝ ⎠⎛ 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 单位矩阵 ⎜ 0 1 0 ⎟ E 或I 四．线性方程组的矩阵消元法 ⎜ ⎟ 0 0 1 ⎝ ⎠ 用同解变换化简方程再求解三种同解变换：⎛ * * * ⎞⎜ ⎟ ①交换两个方程的上下位置。
线性代数课件
两式相减消去 x2，得
（a11a22 − a12a21）x1 = b1a22 − a12b2 ;
类似地， 类似地，消去 x1，得
（a11a22 − a12a21）x2 = a11b2 − b1a21 ,
当 a11a22 − a12a21 ≠ 0 时， 方程组有唯一解为
b1a22 − a12b2 a11b2 − b1a21 x1 = . ， x2 = a11a22 − a12a21 a11a22 − a12a21
观察结果 （1）每项都是位于不同行不同列的元素的乘积． （2）每项行标都是自然排列，列标都是1,2,3的某个 排列，列标为偶排列则该项符号为＋，否则为－
(3)每项的通式： 1)t a1 j1 a2 j2 a3 j3 , t为j1 j2 j3的逆序数 (−
类似地：
a11 D= a21 a12 = a11a22 − a12 a21 a22
b1a22 a23 + a12 a23b3 + a13b2 a32 − b1a23a32 − a12 b2 a33 − a13a22 b3 x1 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31 a11b2 a33 + b1a23a31 + a13a21b3 − a11a23b3 − b1a21a33 − a13b2 a31 x2 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31 a11a22 b3 + a12 b2 a31 + b1a21a32 − a11b2 a32 − a12 a21b3 − b1a22 a31 x3 = a11a22 a33 + a12 a23a31 + a13a21a32 − a11a23a32 − a12 a21a33 − a13a22 a31
线性代数(赵树嫄)第1章行列式
1
0 1 5 1 1 3 4 7 1
§1.2 n阶行列式 引例 n元线性方程组（方程个数＝未知量个数）
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 a2n xn b2 .......... ......... an1 x1 an2 x2 ann xn bn
N (n(n 1)L 21) (n 1) (n 2) 1
定理1.2． n个数码共有n!个排列，其中奇偶排列各占 n! 一半, 各为 . 2 (二) n阶行列式的定义
即
定义1.2 用n2个元素aij (i , j 1,2, , n)排成的数表
a11 a21 a n1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
aij中i称为行标, j称为列标, aij
竖排称为列 , 其中横排称为行，
(i , j )元
表示该元素处在第 i行第j列, 处在行列的交叉处 , 有时也记为
a11 a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a 23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 a 33
6 2 8
主对角线及其主对角线方向上的三个元素的乘 副对角线及其副对角线方向上的三个元 积 带正号， 素的乘积 带负号， 所得六项的代数和就是三阶行列 式的展开式．
例5
a, b R, a , b 满足什么条件时有
a b 0 b a 0 0 1 0 1
解
a b 0 2 a b a 0 b2 1 0 1
线性代数人大(赵树
推广之，有如下n 阶行列式定义
定义： n阶行列式
a11 a12 a1n a 22 a 2 n a n 2 a nn
a 21 D a n1
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn Det(aij )
记
是所有取自不同行、不同列n个元素的乘积 a1 j1 a2 j2 anjn
线性代数 16
n! n( n 1) C n 2!(n 2)! 2
方法2
n个数中比i大的数有n- i个(i=1,2,…,n),若在排列
x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构
成的逆序为(n- i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和 为 li+[(n-i)-li]= n-i (i=1,2,…,n)
a1 j1 a2 j2 a3 j3
(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的
乘积构成，除符号外可写为 a1 j1 a2 j2 a3 j3 (ii)符号为 ( 1) ( j1 j2 j3 ) “+” 123 231 312 （偶排列） (iii)项数为 3！=6 “-” 321 213 132 （奇排列）
从而 ( x1 x2 xn ) ( xn xn1 x1 ) n( n 1) ( n 1) ( n 2) 2 1 2 此即 ( x x x ) n( n 1) I . n n 1 1 2
线性代数
17
3. n阶行列式定义
x1 3 x2 5 例1 解二元线性方程组 4 x1 3 x2 5
解: 方程组未知量的系数所构成的二阶行列式
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【最新整理，下载后即可编辑】考研数学线性代数讲义目录第一讲基本概念线性方程组矩阵与向量初等变换和阶梯形矩阵线性方程组的矩阵消元法第二讲行列式完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘法乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第四讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的情况的判别基础解系和通解第六讲特征向量与特征值相似与对角化特征向量与特征值—概念,计算与应用相似对角化—判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量替换实对称矩阵的合同标准化和规范化惯性指数正定二次型与正定矩阵附录二向量空间及其子空间附录三两个线性方程组的解集的关系附录四06,07年考题第一讲 基本概念1．线性方程组的基本概念线性方程组的一般形式为: a 11x 1+a 12x 2+…+a 1n x n =b 1,a 21x 1+a 22x 2+…+a 2n x n =b 2,… … … …a m1x 1+a m2x 2+…+a mn x n =b m ,其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等.线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足:当每个方程中的未知数x i 都用k i 替代时都成为等式.线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解.b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组.n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只要零解)和无穷多解(即有非零解).把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量(1)基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.由m ⨯n 个数排列成的一个m 行n 列的表格,两边界以圆括号或方括号,就成为一个m ⨯n 型矩阵.例如2 -1 0 11 1 1 0 22 5 4 -2 93 3 3 -1 8是一个4⨯5矩阵.对于上面的线性方程组,称矩阵a 11 a 12 … a 1n a 11 a 12 … a 1nb 1A = a 21 a 22 … a 2n 和(A |)= a 21 a 22 … a 2n b 2… … … … … … …a m1 a m2 … a mn a m1 a m2 … a mnb m为其系数矩阵和增广矩阵. 增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i 行第j 列的数称为(i,j)位元素.元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0.两个矩阵A 和B 相等(记作A =B ),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.由n 个数构成的有序数组称为一个n 维向量,称这些数为它的分量.书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a 1,a 2,⋯ ,a n 的向量可表示成a 1(a 1,a 2,⋯ ,a n )或 a 2 ,┆a n请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1⨯n 矩阵,右边是n ⨯1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个m ⨯n 的矩阵的每一行是一个n 维向量,称为它的行向量; 每一列是一个m 维向量, 称为它的列向量.常常用矩阵的列向量组来写出矩阵,例如当矩阵A 的列向量组为1,2,⋯ ,n 时(它们都是表示为列的形式!)可记A =(1,2,⋯ ,n ).矩阵的许多概念也可对向量来规定,如元素全为0的向量称为零向量,通常也记作0.两个向量和相等(记作=),是指它的维数相等,并且对应的分量都相等.(2) 线性运算和转置线性运算是矩阵和向量所共有的,下面以矩阵为例来说明.加(减)法:两个m ⨯n 的矩阵A 和B 可以相加(减),得到的和(差)仍是m ⨯n 矩阵,记作A +B (A -B ),法则为对应元素相加(减).数乘: 一个m ⨯n 的矩阵A 与一个数c 可以相乘,乘积仍为m ⨯n 的矩阵,记作c A ,法则为A 的每个元素乘c.这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律:① 加法交换律: A +B =B +A .② 加法结合律: (A +B )+C =A +(B +C ).③ 加乘分配律: c(A +B )=c A +c B .(c+d)A =c A +d A .④ 数乘结合律: c(d)A =(cd)A .⑤ c A =0⇔ c=0 或A =0.转置:把一个m ⨯n 的矩阵A 行和列互换,得到的n ⨯m 的矩阵称为A 的转置,记作A T (或A ').有以下规律:① (A T )T = A .② (A +B )T =A T +B T .③ (c A )T =c A T .转置是矩阵所特有的运算,如把转置的符号用在向量上,就意味着把这个向量看作矩阵了.当是列向量时, T 表示行向量,当是行向量时, T 表示列向量.向量组的线性组合:设1,2,…,s 是一组n 维向量, c 1,c 2,…,c s 是一组数,则称c 11+c 22+…+c s s 为1,2,…,s 的(以c 1,c 2,…,c s 为系数的)线性组合.n 维向量组的线性组合也是n 维向量.(3) n 阶矩阵与几个特殊矩阵行数和列数相等的矩阵称为方阵,行列数都为n 的矩阵也常常叫做n 阶矩阵.把n 阶矩阵的从左上到右下的对角线称为它对角线.(其上的元素行号与列号相等.)下面列出几类常用的n 阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的.对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n 阶矩阵.单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E (或I ).数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c 的对角矩阵,它就是c E.上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵.下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵.对称矩阵:满足A T=A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵.(反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.)3. 矩阵的初等变换和阶梯形矩阵矩阵有以下三种初等行变换:①交换两行的位置.②用一个非0的常数乘某一行的各元素.③把某一行的倍数加到另一行上.(称这类变换为倍加变换)类似地, 矩阵还有三种初等列变换,大家可以模仿着写出它们,这里省略了. 初等行变换与初等列变换统称初等变换.阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵,如果满足:①如果它有零行,则都出现在下面.②如果它有非零行,则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严格单调递增.把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角.简单阶梯形矩阵:是特殊的阶梯形矩阵,特点为:③台角位置的元素为1.④并且其正上方的元素都为0.每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵.这种运算是在线性代数的各类计算题中频繁运用的基本运算,必须十分熟练.请注意: 1.一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的,但是其非零行数和台角位置是确定的.2. 一个矩阵用初等行变换化得的简单阶梯形矩阵是唯一的.4. 线性方程组的矩阵消元法线性方程组的基本方法即中学课程中的消元法:用同解变换把方程组化为阶梯形方程组(即增广矩阵为阶梯形矩阵的方程组).线性方程组的同解变换有三种:①交换两个方程的上下位置.②用一个非0的常数乘某个方程.③把某个方程的倍数加到另一个方程上.以上变换反映在增广矩阵上就是三种初等行变换.线性方程组求解的基本方法是消元法,用增广矩阵或系数矩阵来进行,称为矩阵消元法. 对非齐次线性方程组步骤如下:(1)写出方程组的增广矩阵(A|),用初等行变换把它化为阶梯形矩阵(B|γ).(2)用(B|γ)判别解的情况:如果最下面的非零行为(0,0, ⋯,0|d),则无解,否则有解.有解时看非零行数r(r不会大于未知数个数n),r=n时唯一解；r<n时无穷多解.(推论:当方程的个数m<n时,不可能唯一解.)(3)有唯一解时求解的初等变换法:去掉(B|γ)的零行,得到一个n×(n+1)矩阵(B0|γ0),并用初等行变换把它化为简单阶梯形矩阵(E|η),则η就是解.对齐次线性方程组:(1)写出方程组的系数矩阵A,用初等行变换把它化为阶梯形矩阵B.(2)用B判别解的情况:非零行数r=n时只有零解；r<n时有非零解(求解方法在第五章讲). (推论:当方程的个数m<n时,有非零解.)讨论题1.设A是n阶矩阵,则(A) A是上三角矩阵⇒A是阶梯形矩阵.(B) A是上三角矩阵⇐A是阶梯形矩阵.(C) A是上三角矩阵⇔A是阶梯形矩阵.(D) A是上三角矩阵与A是阶梯形矩阵没有直接的因果关系.2.下列命题中哪几个成立?(1) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一行还是是阶梯形矩阵.(2) 如果A是阶梯形矩阵,则A去掉任何一列还是是阶梯形矩阵.(3) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则A也是阶梯形矩阵.(4) 如果(A|B)是阶梯形矩阵,则B也是阶梯形矩阵.(5) 如果 A 是阶梯形矩阵,则A和B都是阶梯形矩阵.B第二讲行列式一.概念复习1. 形式和意义形式:用n 2个数排列成的一个n 行n 列的表格,两边界以竖线,就成为一个n 阶行列式:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … … .a n1 a n2 … a nn 如果行列式的列向量组为1,2, … ,n ,则此行列式可表示为|1,2, … ,n |.意义:是一个算式,把这n 2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号! (不必形式一样,甚至阶数可不同.)每个n 阶矩阵A 对应一个n 阶行列式,记作|A |.行列式这一讲的的核心问题是值的计算,以及判断一个行列式的值是否为0.2. 定义(完全展开式)2阶和3阶行列式的计算公式:a 11 a 12a 21 a 22 = a 11a 22-a 12a 21 .a 11 a 12 a 13a 21 a 22 a 23 = a 11a 22a 33+ a 12a 23a 31+ a 13a 21a 32-a 13a 22a 31- a 11a 23a 32-a 12a 21a 33.a 31 a 32 a 33一般地,一个n 阶行列式a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n… … …a n1 a n2 … a nn 的值是许多项的代数和,每一项都是取自不同行,不同列的n 个元素的乘积,其一般形式为:n nj j j a a a 2121,这里把相乘的n 个元素按照行标的大小顺序排列,它们的列标j 1j 2…j n 构成1,2, …,n 的一个全排列(称为一个n 元排列),共有n!个n 元排列,每个n 元排列对应一项,因此共有n!个项.所谓代数和是在求总和时每项先要乘+1或-1.规定(j 1j 2…j n )为全排列j 1j 2…j n 的逆序数(意义见下面),则项nnj j j a a a 2121所乘的是.)1()(21n j j j τ-全排列的逆序数即小数排列在大数右面的现象出现的个数. 逆序数可如下计算:标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.例如求436512的逆序数: 0023********,(436512)=3+2+3+2+0+0=10.至此我们可以写出n 阶行列式的值:a 11 a 12 … a 1na 21 a 22 … a 2n =.)1(21212121)(nn n nj j j j j j j j j a a a τ-∑ … … …a n1 a n2 … a nn这里∑nj j j 21表示对所有n 元排列求和.称此式为n 阶行列式的完全展开式.用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.例如对角行列式,上(下)三角行列式的值就等于主对角线上的元素的乘积,因为其它项都为0.2. 化零降阶法把n 阶行列式的第i 行和第j 列划去后所得到的n-1阶行列式称为(i,j)位元素a ij 的余子式,记作M ij .称A ij =(-1)i+j M ij 为元素a ij 的代数余子式.定理(对某一行或列的展开)行列式的值等于该行(列)的各元素与其代数余子式乘积之和.命题 第三类初等变换(倍加变换)不改变行列式的值.化零降阶法 用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.化零降阶法是实际计算行列式的主要方法,因此应该熟练掌握.3.其它性质行列式还有以下性质:① 把行列式转置值不变,即|A T |=|A | .② 某一行(列)的公因子可提出.于是, |c A |=c n |A |.③ 对一行或一列可分解,即如果某个行(列)向量则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行(列)向量换为或所得到的行列式.例如 |,1+2|=|,1|+|,2|.④ 把两个行(列)向量交换, 行列式的值变号.⑤ 如果一个行(列)向量是另一个行(列)向量的倍数,则行列式的值为0.⑥ 某一行(列)的各元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和=0.⑦ 如果A 与B 都是方阵(不必同阶),则A * = A O =|A ||B |.O B * B范德蒙行列式：形如1 1 1 (1)a 1 a 2 a 3 … a na 12 a 22 a 32 … a n 2… … … …a 1n-i a 2n-i a 3n-i … a n n-i的行列式(或其转置).它由a 1,a 2 ,a 3,…,a n 所决定,它的值等于).(i j ji a a -∏< 因此范德蒙行列式不等于0⇔ a 1,a 2 ,a 3,…,a n 两两不同.对于元素有规律的行列式(包括n 阶行列式),常常可利用性质简化计算,例如直接化为三角行列式等.4.克莱姆法则克莱姆法则 应用在线性方程组的方程个数等于未知数个数n (即系数矩阵为n 阶矩阵)的情形.此时,如果它的系数矩阵的行列式的值不等于0,则方程组有唯一解,这个解为(D 1/D, D 2/D,⋯,D n /D),这里D 是系数行列式的值, D i 是把系数行列式的第i 个列向量换成常数列向量所得到的行列式的值.说明与改进:按法则给的公式求解计算量太大，没有实用价值.因此法则的主要意义在理论上,用在对解的唯一性的判断,而在这方面法则不够. 法则的改进:系数行列式不等于0是唯一解的充分必要条件.实际上求解可用初等变换法:对增广矩阵(A |)作初等行变换,使得A 变为单位矩阵:(A |)→(E |η),η就是解.用在齐次方程组上 :如果齐次方程组的系数矩阵A 是方阵,则它只有零解的充分必要条件是|A |≠0.二. 典型例题1.利用性质计算元素有规律的行列式例1① 2 a a a a ②1+x 1 1 1③1+a 1 1 1a 2 a a a 1 1+x 1 12 2+a 2 2a a 2 a a . 1 1 1+x 1 .3 3 3+a 3 .a a a 2 a 1 1 1 1+x4 4 4 4+aa a a a 2例2 1 2 3 4 52 3 4 5 13 4 5 1 2 .4 5 1 2 35 1 2 3 4例31+x1 1 111 1 .1 1+x211 1 1+x31 1 1 1+x4例4 a 0 b c0 a c b .b c a 0c b 0 a例5 1-a a 0 0 0-1 1-a a 0 00 -1 1-a a 0 . (96四)0 0 -1 1-a a0 0 0 -1 1-a2. 测试概念与性质的题例6 x3-3 1 -3 2x+2多项式f(x)= -7 5 -2x 1 ，求f(x)的次数和最高次项的系数.X+3 -1 3 3x 2-29 x 3 6 -6例7 求 x-3 a -1 4f(x)= 5 x-8 0 –2 的x 4和x 3的系数.0 b x+1 12 2 1 x例8 设4阶矩阵A =(, 1, 2 ,3),B =(, 1, 2 ,3),|A |=2, |B |=3 ,求|A +B | .例9 a b c d已知行列式 x -1 -y z+1 的代数余子式A 11=-9,A 12=3,A 13=-1,A 14=3,求x,y,z.1 -z x+3 yy-2 x+1 0 z+3例10 求行列式 3 0 4 0 的第四行各元素的余子式的和.(01)2 2 2 20 -7 0 05 3 -2 23.几个n 阶行列式两类爪形行列式及其值:例11 a 1 a 2 a 3 … a n-1 a nb 1c 2 0 … 0 0证明 0 b 2 c 3 0 0 =11111(1)n i i i i n i b b a c c --+=-∑.… … … …0 0 0 … b n-1 c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).例12 a 0 a 1 a 2 … a n-1 a nb 1c 1 0 … 0 0证明 b 2 0 c 2 … 0 0 =011111n n i i i i i n i i a c c c a b c c -+==-∑∏.… … … …b n … 0c n提示: 只用对第1行展开(M 1i 都可直接求出).另一个常见的n 阶行列式:例13 证明a+b b 0 … 0 0a a+b b … 0 0… … … … = 110n n n n i i i a b a b a b ++-=-=-∑(当a ≠b 时).0 0 0 … a+b b0 0 0 a a+b提示:把第j 列(行)的(-1)j-1倍加到第1列(行)上(j=2,…,n),再对第1列(行)展开.4.关于克莱姆法则的题例14设有方程组x 1+x 2+x 3=a+b+c,ax 1+bx 2+cx 3=a 2+b 2+c 2,bcx 1+acx 2+abx 3=3abc.(1)证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c 两两不等.(2)在此情况求解.参考答案例1 ①(2+4a)(2-a)4.② x 3(x+4). ③ a 3(a+10).例2 1875.例3 x 1x 2x 3x 4+x 2x 3x 4+x 1x 3x 4+x 1x 2x 4+x 1x 2x 3.例4 (a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).例5 1-a+a 2-a 3+a 4-a 5.例6 9,-6例7 1,-10.例8 40.例9 x=0,y=3,z=-1.例10 -28.例14 x 1=a,x 2=b,x 3=c..第三讲 矩阵一．概念复习1. 矩阵乘法的定义和性质定义2.1 当矩阵A 的列数和B 的行数相等时,和A 和B 可以相乘,乘积记作AB . AB 的行数和A 相等,列数和B 相等. AB 的(i,j)位元素等于A 的第i 个行向量和B 的第j 个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.设 a 11 a 12 … a 1n b 11 b 12 … b 1s c 11c 12 … c 1sA = a 21 a 22 … a 2nB = b 21 b 22 … b 2sC =AB =c 21 c 22 … c 2s… … … … … …… … …a m1 a m2 … a mn ,b n1 b n2 … b ns ,c m1c m2 … c ms ,则c ij =a i1b 1j +a i2b 2j +…+a in b nj .矩阵的乘法在规则上与数的乘法有不同:① 矩阵乘法有条件.② 矩阵乘法无交换律.③ 矩阵乘法无消去律,即一般地由AB =0推不出A =0或B =0.由AB =AC 和A ≠0推不出B =C .(无左消去律)由BA =CA 和A ≠0推不出B =C . (无右消去律)请注意不要犯一种常见的错误:把数的乘法的性质简单地搬用到矩阵乘法中来.矩阵乘法适合以下法则:① 加乘分配律 A (B +C )= AB +AC , (A +B )C =AC +BC .② 数乘性质 (c A )B =c(AB ).③ 结合律 (AB )C = A (BC ).④ (AB )T =B T A T .2. n 阶矩阵的方幂和多项式任何两个n 阶矩阵A 和B 都可以相乘,乘积AB 仍是n 阶矩阵.并且有行列式性质:|AB |=|A ||B |.如果AB =BA ,则说A 和B 可交换.方幂 设k 是正整数, n 阶矩阵A 的k 次方幂A k 即k 个A的连乘积.规定A 0=E .显然A 的任何两个方幂都是可交换的,并且方幂运算符合指数法则:① A k A h = A k+h .② (A k )h = A kh .但是一般地(AB )k 和A k B k 不一定相等!n 阶矩阵的多项式设f(x)=a m x m +a m-1x m-1+…+a 1x+a 0,对n 阶矩阵A 规定f(A )=a m A m +a m-1A m-1+…+ a 1A +a 0E .称为A 的一个多项式.请特别注意在常数项上加单位矩阵E .乘法公式 一般地,由于交换性的障碍,小代数中的数的因式分解和乘法公式对于n 阶矩阵的不再成立.但是如果公式中所出现的n 阶矩阵互相都是乘法交换的,则乘法公式成立.例如当A 和B 可交换时,有:(A ±B )2=A 2±2AB +B 2;A 2-B 2=(A +B )(A -B )=(A +B )(A -B ).二项展开式成立: B AC B A -=∑=+1)(等等.前面两式成立还是A 和B 可交换的充分必要条件.同一个n 阶矩阵的两个多项式总是可交换的. 一个n 阶矩阵的多项式可以因式分解.3. 分块法则矩阵乘法的分块法则是简化矩阵乘法的一种方法.对两个可以相乘的矩阵A 和B ,可以先用纵横线把它们切割成小矩阵(一切A的纵向切割和B 的横向切割一致!),再用它们来作乘法.(1)两种常见的矩阵乘法的分块法则A 11 A 12B 11 B 12 = A 11B 11+A 12B 21 A 11B 12+A 12B 22A 21 A 22B 21 B 22 A 21B 11+A 22B 21 A 21B 12+A 22B 22要求A ij 的列数B jk 和的行数相等.准对角矩阵的乘法:形如A 1 0 0A = 0 A 2 0… … …0 0 … A n的矩阵称为准对角矩阵,其中A 1,A 2,…,A k 都是方阵.两个准对角矩阵A 1 0 ... 0 B 1 0 0A = 0 A 2 ... 0 , B = 0 B 2 0… … … … … …0 0 … A k 0 0 … B k如果类型相同,即A i 和B i 阶数相等,则A 1B 1 0 0AB = 0 A 2B 2 … 0 .… … …0 0 … A k B k(2)乘积矩阵的列向量组和行向量组设A 是m ⨯n 矩阵B 是n ⨯s 矩阵. A 的列向量组为1,2,…,n ,B的列向量组为1,2,…,s , AB 的列向量组为1,2,…,s ,则根据矩阵乘法的定义容易看出(也是分块法则的特殊情形):① AB 的每个列向量为:i =A i ,i=1,2,…,s.即A (1,2,…,s )= (A 1,A 2,…,A s ).② =(b 1,b 2,…,b n )T ,则A = b 11+b 22+…+b n n .应用这两个性质可以得到:如果i =(b 1i ,b 2i ,…,b ni )T ,则i =A I =b 1i 1+b 2i 2+…+b ni n .即:乘积矩阵AB 的第i 个列向量i 是A 的列向量组1,2,…,n 的线性组合,组合系数就是B 的第i 个列向量i的各分量.类似地, 乘积矩阵AB 的第i 个行向量是B 的行向量组的线性组合,组合系数就是A 的第i 个行向量的各分量.以上规律在一般教材都没有强调,但只要对矩阵乘法稍加分析就不难得出.它们无论在理论上和计算中都是很有用的.(1) 当两个矩阵中,有一个的数字很简单时,直接利用以上规律写出乘积矩阵的各个列向量或行向量,从而提高了计算的速度.(2) 利用以上规律容易得到下面几个简单推论:用对角矩阵从左侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各行向量; 用对角矩阵从右侧乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的各列向量.数量矩阵k E乘一个矩阵相当于用k乘此矩阵；单位矩阵乘一个矩阵仍等于该矩阵.两个同阶对角矩阵的相乘只用把对角线上的对应元素相乘.求对角矩阵的方幂只需把对角线上的每个元素作同次方幂.(3) 矩阵分解:当一个矩阵C的每个列向量都是另一个A的列向量组的线性组合时,可以构造一个矩阵B,使得C=AB.例如设A=(α,β,γ), C=(α+2β-γ,3α-β+γ,α+2γ),令1 3 1B= 2 -1 0 ,则C=AB.-1 1 2(4) 初等矩阵及其在乘法中的作用对单位矩阵E作一次初等(行或列)变换,所得到的矩阵称为初等矩阵.有三类初等矩阵:E(i,j):交换E的i,j两行(或列)所得到的矩阵.E(i(c)):用非0数c乘E的第i行(或列)所得到的矩阵.也就是把E的对角线上的第i个元素改为c.E(i,j(c))(i≠j):把E的第j行的c倍加到第i行上(或把第i列的c 倍加到第j列上)所得到的矩阵, 也就是把E的(i,j)位的元素改为c.命题对矩阵作一次初等行(列)变换相当于用一个相应的初等矩阵从左(右)乘它.4. 矩阵方程和可逆矩阵(伴随矩阵)(1) 矩阵方程矩阵不能规定除法,乘法的逆运算是解下面两种基本形式的矩阵方程:(I) AX=B.(II) XA=B.这里假定A是行列式不为0的n阶矩阵,在此条件下,这两个方程的解都是存在并且唯一的.(否则解的情况比较复杂.)当B只有一列时,(I)就是一个线性方程组.由克莱姆法则知它有唯一解.如果B有s列,设B=(1,2,…,s),则X也应该有s 列,记X=(X1,X2,…,X s),则有AX i=i,i=1,2,…,s,这是s个线性方程组.由克莱姆法则,它们都有唯一解,从而AX=B有唯一解.这些方程组系数矩阵都是A,可同时求解,即得(I)的解法:将A和B并列作矩阵(A|B),对它作初等行变换,使得A变为单位矩阵,此时B变为解X.(A|B)→(E|X)(II)的解法:对两边转置化为(I)的形式:A T X T=B T.再用解(I)的方法求出X T,转置得X..(A T|B T)→(E|X T)矩阵方程是历年考题中常见的题型,但是考试真题往往并不直接写成(I)或(II)的形式,要用恒等变形简化为以上基本形式再求解.(2) 可逆矩阵的定义与意义定义设A是n阶矩阵,如果存在n阶矩阵B,使得AB=E, BA=E,则称A为可逆矩阵.此时B是唯一的,称为A的逆矩阵,通常记作A-1.如果A可逆,则A在乘法中有消去律:AB=0⇒B=0；AB=AC⇒B=C.(左消去律)；BA=0⇒B=0；BA=CA⇒B=C. (右消去律)如果A可逆,则A在乘法中可移动(化为逆矩阵移到等号另一边):AB=C⇔B=A-1C. BA=C⇔B=CA-1.由此得到基本矩阵方程的逆矩阵解法:(I) AX=B的解X=A-1B .(II) XA=B的解X= BA-1.这种解法想法自然，好记忆,但是计算量比初等变换法大(多了一次矩阵乘积运算).(3) 矩阵可逆性的判别与性质定理n阶矩阵A可逆⇔|A|≠0.证明“⇒”对AA-1=E两边取行列式,得|A||A-1|=1,从而|A|≠0. (并且|A-1|=|A|-1.)“⇐”因为|A|≠0,矩阵方程AX=E和XA=E都有唯一解.设B,C分别是它们的解,即AB=E,CA=E. 事实上B=C(B=EB=CAB=CE=C),于是从定义得到A可逆.推论如果A和B都是n阶矩阵,则AB=E⇔BA=E.于是只要AB=E(或BA=E)一式成立,则A和B都可逆并且互为逆矩阵.可逆矩阵有以下性质:①如果A可逆,则A-1也可逆,并且(A-1)-1=A.A T也可逆,并且(A T)-1=(A-1)T.当c≠0时, c A也可逆,并且(c A)-1=c-1A-1.对任何正整数k, A k也可逆,并且(A k)-1=(A-1)k.(规定可逆矩阵A的负整数次方幂A-k=(A k)-1=(A-1)k.)② 如果A 和B 都可逆,则AB 也可逆,并且(AB )-1=B -1A -1.(请自己推广到多个可逆矩阵乘积的情形.)初等矩阵都是可逆矩阵,并且E (i,j)-1= E (i,j), E (i(c))-1=E (i(c -1)), E (i,j(c))-1= E (i,j(-c)).(4) 逆矩阵的计算和伴随矩阵① 计算逆矩阵的初等变换法当A 可逆时, A -1是矩阵方程AX =E 的解,于是可用初等行变换求A -1:(A |E )→(E |A -1)这个方法称为求逆矩阵的初等变换法.它比下面介绍的伴随矩阵法简单得多.② 伴随矩阵若A 是n 阶矩阵,记A ij 是|A |的(i,j)位元素的代数余子式,规定A的伴随矩阵为A 11 A 21 … A n1A *= A 12 A 22 … A n2 =(A ij )T .… … …A 1n A 2n … A mn请注意,规定n 阶矩阵A 的伴随矩阵并没有要求A 可逆,但是在A 可逆时, A *和A -1有密切关系.基本公式: AA *=A *A =|A |E .于是对于可逆矩阵A ,有A -1=A */|A |, 即A *=|A |A -1.因此可通过求A *来计算A -1.这就是求逆矩阵的伴随矩阵法.和初等变换法比较, 伴随矩阵法的计算量要大得多,除非n=2,一般不用它来求逆矩阵.对于2阶矩阵a b * d -bc d = -c a ,因此当ad-bc ≠0时,a b -1 d -bc d = -c a (ad-bc) .伴随矩阵的其它性质:①如果A是可逆矩阵，则A*也可逆，并且(A*)-1= A/|A|=(A-1)*.② |A*|=|A|n-1.③ (A T)*=(A*)T.④ (c A)*=c n-1A*.⑤ (AB)*=B*A*；(A k)*=(A*)k.⑥当n>2时,(A*)*=|A|n-2A；n=2时,(A*)*=A.二典型例题1.计算题例1=(1,-2,3) T,=(1,-1/2,1/3)T, A= T,求A6.讨论:(1)一般地,如果n阶矩阵A=T,则A k=(T)k-1A=(tr A)k-1A .(2)乘法结合律的应用:遇到形如T的地方可把它当作数处理.① 1 -1 1T= -1 1 -1 ，求T.（2003一）②设=(1,0,-1)T, A=T,求|a E-A n|.③n维向量=(a,0,⋯,0,a)T, a<0, A=E-T, A-1=E+a-1T,求a. (03三,四)④n维向量=(1/2,0,⋯,0,1/2)T,A=E-T,B=E+2T,求AB. (95四)⑤A=E-T,其中,都是n维非零列向量,已知A2=3E-2A,求T.例2(1999三) 1 0 1设A = 0 2 0 ，求A n-2A n-1.(n>1)例3 1 0 0设A = 1 0 1 ，(1)证明当n>1时A n =A n-2+A 2-E . (2) 求A n .例4设A 为3阶矩阵, 1,2,3是线性无关的3维列向量组,满足 A1=1+2+3, A 2=22+3,A 3=22+33.求作矩阵B ,使得A (1,2,3)=(1,2,3)B . (2005年数学四)例5设3阶矩阵A =(1,2,3),|A |=1,B =(1+2+3,1+22+33,1+42+93),求|B |.(05)例6 3维向量1,2,3,1,2,3满足1+3+21-2=0,31-2+1-3=0,2+3-2+3=0,已知1,2,3|=a,求|1,2,3|.例7设A 是3阶矩阵, 是3维列向量,使得P =(,A ,A 2)可逆,并且A 3=3A -2A 2.又3阶矩阵B 满足A =PBP -1.(1)求B .(2)求|A +E |.(01一)2 1 0例8 3阶矩阵A ,B 满足ABA *=2BA *+E ,其中A = 1 2 0 ,求|B |.(04一)0 0 1例9 3 -5 1设3阶矩阵A = 1 -1 0 , A -1XA =XA +2A ,求X .-1 0 2例10 1 1 -1设3阶矩阵A = -1 1 1 , A *X =A -1+2X ,求X .1 -1 1例11 4阶矩阵A ,B 满足ABA -1=BA -1+3E ,已知1 0 0 0A *= 0 1 0 0 ,求B . (00一)1 0 1 00 -3 0 8例12 3 0 0 1 0 0已知A = 2 1 0 , B = 0 0 0 , XA +2B =AB +2X ,求X 11.2 13 0 0 -1例13 设1=(5,1,-5)T ,2=(1,-3,2)T ,3=(1,-2,1)T ,矩阵A满足A 1=(4,3) T , A 2=(7,-8) T , A 3=(5,-5) T ,求A .2.概念和证明题例14 设A 是n 阶非零实矩阵,满足A *=A T .证明:(1)|A |>0.(2)如果n>2,则|A |=1.例15 设矩阵A =(a ij )3 3满足A *=A T ,a 11,a 12,a 13为3个相等的正数,则它们为(A) 3/3.(B) 3. (C)1/3. (D) 3. (2005年数学三)例16 设A和B都是n阶矩阵,C= A0 ,则C*=0 B(A) |A|A* 0 . (B) |B|B * 0 .0 |B|B * 0 |A|A*(C) |A|B* 0 . (D ) |B|A* 0 .0 |B|A* 0 |A|B*例17 设A是3阶矩阵,交换A的1,2列得B,再把B的第2 列加到第3 列上,得C.求Q,使得C=AQ.例18 设A是3阶可逆矩阵,交换A的1,2行得B,则(A) 交换A*的1,2行得到B*.(B) 交换A*的1,2列得到B*.(C) 交换A*的1,2行得到-B*.(D) 交换A*的1,2列得到-B*.(2005年)例19 设A是n阶可逆矩阵, 交换A的i,j行得到B.(1) 证明B可逆.(2) 求AB-1.例20设n阶矩阵A满足A2+3A-2E=0.(1)证明A可逆,并且求A-1.(2)证明对任何整数c,A-c E可逆.讨论: 如果f(A)=0,则(1) 当f(x)的常数项不等于0时,A可逆.(2) f(c)≠0时,A-c E可逆.(3) 上述两条的逆命题不成立.例21设是n维非零列向量,记A=E-T.证明(1) A2=A⇔T =1.(2)T =1⇒ A不可逆. (96一)讨论: (2)的逆命题也成立.例22 设A,B都是n阶矩阵,证明E-AB可逆⇔ E-BA可逆.例23设3阶矩阵A,B满足AB=A+B.(1) 证明A-E可逆.(2) 设 1 -3 0B= 2 1 0 ,求A.0 0 2 (91)例24设A,B是3阶矩阵, A可逆,它们满足2A-1B=B-4E.(1) 证明A-2E可逆.(2) 设 1 -2 0B= 1 2 0 ,求A.0 0 2 (2002)例25设n阶矩阵A,B满足AB=a A+b B.其中ab≠0,证明(1) A-b E和B-a E都可逆.(2) A可逆⇔ B可逆.(3) AB=BA.例26设A,B都是n阶对称矩阵,E+AB可逆,证明(E+AB)-1A 也是对称矩阵.例27 设A,B都是n阶矩阵使得A+B可逆,证明(1) 如果AB=BA,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(2) 如果A.B都可逆,则B(A+B)-1A=A(A+B)-1B.(3) 等式B(A+B)-1A=A(A+B)-1B总成立.例28设A,B,C都是n阶矩阵,满足B=E+AB,C=A+CA,则B-C 为(A) E.(B) -E. (C) A. (D) -A. (2005年数学四)参考答案1 -1/2 1/3例1 35A=35 -2 1 –2/3 .3 -3/2 1①3.②a2(a-2n). ③-1. ④E. ⑤4.例2 O.例 3 (1)提示:A n=A n-2+A2-E⇔A n-2(A2-E)=A2-E ⇔A(A2-E)=A2-E.(2)n=2k时, 1 0 0A n = k 1 0 .k 0 1n=2k+1时, 1 0 0A n = k+1 0 1 .k 1 0例4 1 0 0B= 1 2 2 .1 1 3例5 2.例6 –4a.例7 0 0 0B= 1 0 3 . |E+A|=-40 1 -2例8 1/9.例9 -6 10 4X= -2 4 2 .-4 10 0例10 1 1 0(1/4) 0 1 1 .1 0 1例11 6 0 0 0B= 0 6 0 0 .6 0 6 00 3 0 -1例12 1 0 02 0 0 .6 -1 -1例13 2 -1 1-4 -2 -5 .例15 (A).例16 (D).例17 0 1 1Q= 1 0 0 .0 0 1例18 (D).例19E(i,j).例22提示:用克莱姆法则.例如证明 ,即在E-AB可逆时证明齐次方程组(E-BA)X=0只有零解.例23 1 1/2 0A= -1/3 1 0 .0 0 2例24 0 2 0A= -1 -1 0 .0 0 -2例25 提示:计算(A-b E)(B-a E).例28 (A).第四讲向量组的线性关系与秩一.概念复习1. 线性表示关系 设1,2,…,s 是一个n 维向量组.如果n 维向量等于1,2,…,s 的一个线性组合，就说可以用1,2,…,s 线性表示.如果n 维向量组1,2,…,t 中的每一个都可以可以用1,2,…,s 线性表示,就说向量 1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示.判别“是否可以用1,2,…,s 线性表示? 表示方式是否唯一？”就是问：向量方程x 11+x 22+…+x s s =是否有解？解是否唯一？用分量写出这个向量方程,就是以1,2,…,s为增广矩阵的线性方程组.反之,判别“以A 为增广矩阵的线性方程组是否有解？解是否唯一？”的问题又可转化为“是否可以用A 的列向量组线性表示? 表示方式是否唯一？”的问题.向量组之间的线性表示问题与矩阵乘法有密切关系: 乘积矩阵AB 的每个列向量都可以表示为A 的列向量组的线性组合,从而AB 的列向量组可以用A 的列向量组线性表示;反之,如果向量组1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示,则矩阵(1,2,…,t )等于矩阵(1,2,…,s )和一个s ⨯t 矩阵C 的乘积. C 可以这样构造: 它的第i 个列向量就是i 对1,2,…,s 的分解系数(C 不是唯一的).向量组的线性表示关系有传递性,即如果向量组1,2,…,t 可以用1,2,…,s 线性表示,而1,2,…,s 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示,则1,2,…,t 可以用γ1,γ2,…,γr 线性表示.当向量组1,2,…,s 和1,2,…,t 互相都可以表示时就说它们等价并记作1,2,…,s ≅1,2,…,t. 等价关系也有传递性.。
《线性代数第1讲》课件
2 应用广泛
线性代数在数学、物理、 工程和计算机科学等领域 有广泛的应用。
3 继续学习
进一步学习线性代数的高 级概念和技术。
通过实际问题，展示线性方程组求解的 应用场景。
4. 线性变换
线性变换的定义
解释线性变换的概念和性质。
线性变换的例子
举例说明线性变换在几何和物理 等领域的具体应用。
线性变换的矩阵表示
介绍线性变换与矩阵的关系，以 及矩阵表示的计算方法。
总结
1 掌握基本概念
通过学习本课程，你将对 向量、矩阵、线性方程组 和线性变换有深刻理解。
1. 向量
向量的表示
介绍向量的表示方法，如坐标表 示、列向量表示和解析表示。
向量的运算
讲解向量的加法、减法和数量乘 法运算规则以及向量点乘和叉乘 的定义和性质。
向量的应用
探索向量在几何、物理和工程等 领域的应用，如力的分解、平面 垂直和投影。
2. 矩阵
矩阵的定义
介绍矩阵的定义，以及行、列和元素的概念。
矩阵的运算
讲解矩阵的加法、减法和数量乘法运算规则，以及矩阵乘法的定义和性质。
矩阵的应用
探索矩阵在线ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程组求解、线性变换和网络模型等领域的应用。
3. 线性方程组
1
概念解释
介绍线性方程组的概念、解的概念和解
求解方法
2
集的形式。
讲解线性方程组的求解方法，包括高斯
消元法、矩阵求逆法和克拉默法则。
3
应用举例
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# 线性代数第1讲 ## 简介 介绍线性代数的基本概念和相关知识点，包括向量、矩阵、线性方程组等。 ## 前置知识 1. 数学基础知识 2. 高中数学知识 ## 主要内容 1. 向量的定义和运算 2. 矩阵的定义和运算 3. 线性方程组及其求解方法 4. 线性变换 ## 目标 1. 熟练掌握向量的概念和运算 2. 熟练掌握矩阵的概念和运算 3. 能够解决线性方程组及其求解方法 4. 了解线性变换的基本概念
线性代数(赵树嫄)第一章 行列式
2a12 10a13 a22 a32 5a23 5a33
a11 a12 a1 a2 a n1 a n 2
a1n an bn ann
a1n bn ann
a1n a11 a12 an b1 b2 ann an1 an 2
推论：如果行列式的某一行（列）的每个元素都可 以写成 m 个数的和，则此行列式可以写成 m 个行 列式的和。 性质5： 行列式的某一行(列)的所有元素都乘以数 k 加到另一行(列)的相应元素上，行列式的值不变，即 a11 a12 a1n a11 a12 a1n r kr i j a i 1 a i 2 ain a i 1 ka j 1 a i 2 ka j 2 a in ka jn a n1 a n 2 a nn a n1 an 2 a nn 推理： 行列式的某一行(列) 的元素直接加到另一行 (列)的相应元素上，行列式的值不变。
对于二、三阶行列式，或者 0 元素很多 的高阶行列式，可以直接利用行列式定 义来计算。
例1
a11 a21 a n1 0 a22 an 2
下三角形行列式
0 0 a11a22 ann ann
上三角形行列式
a11 0 0 a12 a22 0 a1n a2 n a11a22 ann ann
为三阶行列式， 记为：
a21 a22 a23 a31 a32 a33
即：
a11 a12 a13 a21 a22 a23 =a11a22a33 +a12a23a31+a13a21a32 a31 a32 a33
-a11a23a32 -a12a21a33 -a13a22a31
第五版 线性代数(赵树嫄)第一章 行列式
D a21 a22 a23 a11a22a33a12a23a31a13a21a32 a31 a32 a33 a11a23a32a12a21a33a13a22a31
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三阶行列式
(二)三阶行列式
a11 a12 a13
任意一个排列经过一个对换后奇偶性改变
定理12 n个数码(n1)共有n!个n级排列 其中奇偶排列各占一半
举例 对排列21354施以对换(1 4)后得到排列24351 N(21354)2 而N(24351)5 可见对换后奇偶性改变
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(一)排列与逆序 (二)n阶行列式的定义
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(一)排列与逆序
n级排列
由n个不同数码1 2 n组成的有序数组i1 i2 in 称为一 个n级排列
定义11(逆序数)
在一个n级排列i1 i2 in中 如果有较大的数it排在较小的 数is前面(isit) 则称it与is构成一个逆序 一个n级排列中逆序的 总数 称为它的逆序数 记为N(i1 i2 in)
a10 例 5 D 1 a 0 0 的充分必要条件是什么?
411
a10 解 D 1 a 0 a2 1
411
当且仅当a210 即|a|1时 D0 因此可得D0的充分必 要条件是|a|1
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§12 n阶行列式
a22 a32
a23 a33
a24 a34
a41 a42 a43 a44
线性代数赵树
例6 已知三阶方阵A的特征值为 1， 1， 2。设B A 5 A，
3
试求 | B | 。
2018/10/15 线性代数 18
性质3 设A (a ij )是n阶方阵，如果 (1) | a ij | 1， ( i 1,2, , n)
j 1 n
或
(2) | aij | 1， ( j 1,2,, n)
证明：用数学归纳法证 明.
(1)m 1, 特征向量是非零向量, 所以当然单个非零向量 是线性无关的.
( 2)设A的m 1个互不相同的特征值 1 , 2 ,, m 1对应的 特征向量 1 , 2 , m 1线性无关.
下面只要证明 m个互不相同的特征值对 应的特征向量 线性无关.
证明： (1) 是方阵A的特征值， 非零向量 , 使得A ,
而A A( A ) A( ) A
2 2
2是矩阵A2的特征值。
2018/10/15 线性代数 15
(2)由A 可得，k A k ，即 (kI A) (k )
它有非零解的充要条件 为：
|I A| 0 a11 a12
（3） a1n
a 21 即： a n1
a 22
an 2
a2n
0
a nn
上式是个以 为未知量的一元 n次方程， 称为矩阵A的特征方程。 其左端 | I A | 是的n次多项式，记为 f ( ), 称为方阵A的特征多项式。
0 1 得基础解系： 2 1 , 3 0 1 4
所以k2 2 k3 3 (k2 , k3不全为零)是对应于 特征值2 3 2的全部特征向量。
第1讲(排列及其逆序数)
当 a 1 1 a 2 2 a 1 2 a 2 1 0 时，方程组的解为
x1 b1 a 22 a 12 b 2 a 11 a 22 a 12 a 21 ， x2 a 11 b 2 b1 a 21 a 11 a 22 a 12 a 21 . （ 3）
行列式
n阶行列式的定义、性质及计算方法
Cramer法则
第一节 二阶与三阶行列式
一、二阶行列式 1、引入 用消元法解二元线性方程组
a 1 1 x 1 a 1 2 x 2 b1 , a 21 x 1 a 22 x 2 b2 .
1
2
1 a 22 : 2 a 12 :
参考书：
1、《线性代数》 陈治中 2、《线性代数》 居余马 3、《线性代数》 赵树嫄 科学出版社 清华大学出版社 中国人民大学出版社
4、《线性代数思想方法与学习指导》 赵晶 天津大学出版社
关于作业：
每周交一次，按学号分单、双号交；即 第二周双号交,第三周单号交，依此类推。
第一章
主要内容：
故此排列为偶排列.
2） n n 1 n 2 3 2 1
2 解：n n 1 n 2 3 n3 n2 0 1 2 1
n1
n 1 n 2 2 1
n n 1 2
当 n 4 k ,4 k 1
5 0,
同理可得
2 D1 1 0 1 D2 2 1 1 D3 2 1 2 1 1 2 1 0 2 1 1 1 3 5, 1 1 3 10 , 1 2 1 5, 0
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(2) 在一般情形, 设原排列为 Aik1k2…ks jB 经过对换(i, j)变为新排列 Ajk1k2…ks iB 由原排列中将数码i依次与k1,k2,…,ks,j作 s+1次相邻对换, 变为 Ak1k2…ks jiB 再将j依次与ks,…,k2,k1作s次相邻对换得 到新排列, 即新排列可由原排列经过2s+1 次相邻对换得到, 改变了奇数次奇偶性, 因此与原排列的奇偶性相反.
解:
a21>0 当且仅当|a|>1
11
§1.2 n阶行列式
12
(一)排列与逆序 由n个不同数码1,2,…,n 组成的有序数组 i1i2…in, 称为一个n级排列. 例如, 1234及2341都是4级排列, 25413是 一个5级排列.
13
定义 1.1 在一个n级排列i1i2…in中, 如果 有较大的数it排在较小的数is前面(is<it), 则称it与is构成一个逆序. 一个n级排列中 逆序的总数, 称为它的逆序数, 记为 N(i1i2…in) 如果排列i1i2…in的逆序数N(i1i2…in)是奇 数则称为奇排列, 是偶数或0则称为偶排 列.
22
(二) n阶行列式的定义 观察二阶行列式和三阶行列式: a11 a12 a11a22 a12 a21 a21 a22
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a11a22 a33 + a12 a23a31 a33 + a13a21a32 a11a23a32
a12 a21a33 a13a22 a31
20
定理1.2 n个数码(n>1)共有n!个n级排列, 其中奇偶排列各占一半.
21
证: n级排列的总数为n(n1)…21=n!, 设其中奇排列为p个, 偶排列为q个. 设想将每一个奇排列都施以同一的对换, 例如都对换(1,2), 则由定理1.1可知p个奇 排列全部变为偶排列, 于是有pq; 同理如 将全部偶排列也都施以同一对换, 则q个 偶排列全部变为奇排列, 于是又有qp, 所 以得出p=q, 即奇偶排列数相等, 各为n!/2 个. 用三级排列验证, 见表1-1, 奇偶排列各三 个
线性代数第1讲
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1
第一章 行列式
§1.1 二阶,三阶行列式
2
(一) 二阶行列式
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
a12
a11
a21
a22 +
3
例1.
5 1 3 2
5 2 (1) 3 13
17
定理1.1 任意一个排列经过一个对换后 奇偶性改变.
18
证: (1) 首先讨论对换相邻两个数码的情形, 设排列为 AijB 其中A,B表示除i,j以外的 其余数码, 经过 对换(i, j), 变为排列 AjiB 比较上面两个排列中的逆序, 显然, AB中 数码的次序没有改变,且i,j与A,B中数码次 序也没有改变, 仅改变了i与j的次序, 因此, 新排列仅比原排列增加或减少了一个逆 序, 所以它们的奇偶性相反.
1 0 6
9
例2. a,b满足什么条件时有
a b 0 b a 0 0 1 0 1
解:
a b 0 2 2 b a 0 a + b 1 0 1
若要a2+b2=0, 必须a=0且b=0.
10
例3.
a 1 0 1 a 的充分必要条件是什么 0 0 ? 4 1 1 a 1 0 2 1 a 0 a 1 4 1 1
排列 逆序 逆序数 奇偶性
1列
奇排列
213
231
21
21, 31
1
2
奇排列
偶排列
312
321
31, 32
21,31,32
2
3
偶排列
奇排列
16
在一个排列i1…is…it…in中, 如果仅将它 的两个数码is与it对调, 其它数码不变, 得 到另一个排列, 这样的变换, 称为一个对 换, 记为 对换(is,it). 例如, 对排列21354施以 对换(1,4)后得到 排列24351.
14
例如, 排列23154中, 2在1前面, 3在1前面, 5在4 前面, 共有3个逆序, 即 N(23154)=3, 所以23154为奇排列. 排列12…n的逆序数是零, 是偶排列. 例如, 由1,2,3这3个数码组成的3个数码组成的 3级排列共有3!=6种. 其排列情况可列成表.
15
表1-1
4
例2. 设
D
2
1
3
问: (1) 当为何值时D=0
(2) 当为何值时D0
5
解:
D
2
1
3
3
2
23=0, 则=0, =3.
因此可得 (1) 当=0或=3时D=0, (2) 当0且3时D0.
6
(二) 三阶行列式
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a11a22 a33 + a12 a23a31 a33 + a13a21a32 a11a23a32
a12 a21a33 a13a22 a31
7
画线法记忆 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33
+ +
+
8
例1.
1 4
2 3 0 5 1 0 6 + 2 5 ( 1) + 3 4 0 1 5 0 2 4 6 3 0 (1) 10 48 58
25
(2) 每一项的符号是, 当这一项中元素的 行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列 标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排 列则取负号. 如在上述二阶行列式中, 当 N(j1j2)为偶数时取正号, 为奇数时取负号; 在上述三阶行列式中, 当N(j1j2j3)为偶数 时取正号, 为奇数时取负号. 根据这个规律, 可给出n阶行列式的定义.
23
(1) 二阶行列式表示所有不同的行不同的 列的两个元素乘积的代数和. 两个元素的 乘积可以表示为 a1 j1 a2 j2 j1j2为2级排列, 当j1j2取遍了2级排列(12, 21) 时, 即得到二阶行列式的所有项(不包含符 号), 共为2!=2项.
24
三阶行列式表示所有位于不同的行不同 的列的3个元素乘积的代数和. 3个元素 的乘积可以表示为 a1 j1 a2 j2 a3 j3 j1j2j3为三级排列, 当j1j2j3取遍了3级排列时, 即得到三阶行列式的所有项(不包含符号), 共为3!=6项.