[研究生入学考试]赵树源线性代数_线性代数第1讲

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例如, 排列23154中, 2在1前面, 3在1前面, 5在4 前面, 共有3个逆序, 即 N(23154)=3, 所以23154为奇排列. 排列12…n的逆序数是零, 是偶排列. 例如, 由1,2,3这3个数码组成的3个数码组成的 3级排列共有3!=6种. 其排列情况可列成表.
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表1-1
线性代数第1讲
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第一章 行列式
§1.1 二阶,三阶行列式
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(一) 二阶行列式
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
a12
a11
a21
a22 +
3

例1.
5 1 3 2
5 2 (1) 3 13
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(二) n阶行列式的定义 观察二阶行列式和三阶行列式: a11 a12 a11a22 a12 a21 a21 a22
a11 a12 a21 a22 a31 a32
a13 a23 a11a22 a33 + a12 a23a31 a33 + a13a21a32 a11a23a32
a12 a21a33 a13a22 a31
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பைடு நூலகம்
(1) 二阶行列式表示所有不同的行不同的 列的两个元素乘积的代数和. 两个元素的 乘积可以表示为 a1 j1 a2 j2 j1j2为2级排列, 当j1j2取遍了2级排列(12, 21) 时, 即得到二阶行列式的所有项(不包含符 号), 共为2!=2项.
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三阶行列式表示所有位于不同的行不同 的列的3个元素乘积的代数和. 3个元素 的乘积可以表示为 a1 j1 a2 j2 a3 j3 j1j2j3为三级排列, 当j1j2j3取遍了3级排列时, 即得到三阶行列式的所有项(不包含符号), 共为3!=6项.
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定理1.1 任意一个排列经过一个对换后 奇偶性改变.
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证: (1) 首先讨论对换相邻两个数码的情形, 设排列为 AijB 其中A,B表示除i,j以外的 其余数码, 经过 对换(i, j), 变为排列 AjiB 比较上面两个排列中的逆序, 显然, AB中 数码的次序没有改变,且i,j与A,B中数码次 序也没有改变, 仅改变了i与j的次序, 因此, 新排列仅比原排列增加或减少了一个逆 序, 所以它们的奇偶性相反.
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(2) 在一般情形, 设原排列为 Aik1k2…ks jB 经过对换(i, j)变为新排列 Ajk1k2…ks iB 由原排列中将数码i依次与k1,k2,…,ks,j作 s+1次相邻对换, 变为 Ak1k2…ks jiB 再将j依次与ks,…,k2,k1作s次相邻对换得 到新排列, 即新排列可由原排列经过2s+1 次相邻对换得到, 改变了奇数次奇偶性, 因此与原排列的奇偶性相反.
1 0 6
9
例2. a,b满足什么条件时有
a b 0 b a 0 0 1 0 1
解:
a b 0 2 2 b a 0 a + b 1 0 1
若要a2+b2=0, 必须a=0且b=0.
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例3.
a 1 0 1 a 的充分必要条件是什么 0 0 ? 4 1 1 a 1 0 2 1 a 0 a 1 4 1 1
排列 逆序 逆序数 奇偶性
123
132
无
32
0
1
偶排列
奇排列
213
231
21
21, 31
1
2
奇排列
偶排列
312
321
31, 32
21,31,32
2
3
偶排列
奇排列
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在一个排列i1…is…it…in中, 如果仅将它 的两个数码is与it对调, 其它数码不变, 得 到另一个排列, 这样的变换, 称为一个对 换, 记为 对换(is,it). 例如, 对排列21354施以 对换(1,4)后得到 排列24351.
解:
a21>0 当且仅当|a|>1
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§1.2 n阶行列式
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(一)排列与逆序 由n个不同数码1,2,…,n 组成的有序数组 i1i2…in, 称为一个n级排列. 例如, 1234及2341都是4级排列, 25413是 一个5级排列.
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定义 1.1 在一个n级排列i1i2…in中, 如果 有较大的数it排在较小的数is前面(is<it), 则称it与is构成一个逆序. 一个n级排列中 逆序的总数, 称为它的逆序数, 记为 N(i1i2…in) 如果排列i1i2…in的逆序数N(i1i2…in)是奇 数则称为奇排列, 是偶数或0则称为偶排 列.
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(2) 每一项的符号是, 当这一项中元素的 行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列 标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排 列则取负号. 如在上述二阶行列式中, 当 N(j1j2)为偶数时取正号, 为奇数时取负号; 在上述三阶行列式中, 当N(j1j2j3)为偶数 时取正号, 为奇数时取负号. 根据这个规律, 可给出n阶行列式的定义.
a13 a23 a11a22 a33 + a12 a23a31 a33 + a13a21a32 a11a23a32
a12 a21a33 a13a22 a31
7
画线法记忆 a11 a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a33

+ +
+
8
例1.
1 4
2 3 0 5 1 0 6 + 2 5 ( 1) + 3 4 0 1 5 0 2 4 6 3 0 (1) 10 48 58
4
例2. 设
D

2

1
3
问: (1) 当为何值时D=0
(2) 当为何值时D0
5
解:
D

2

1
3
3
2
23=0, 则=0, =3.
因此可得 (1) 当=0或=3时D=0, (2) 当0且3时D0.
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(二) 三阶行列式
a11 a12 a21 a22 a31 a32
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定理1.2 n个数码(n>1)共有n!个n级排列, 其中奇偶排列各占一半.
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证: n级排列的总数为n(n1)…21=n!, 设其中奇排列为p个, 偶排列为q个. 设想将每一个奇排列都施以同一的对换, 例如都对换(1,2), 则由定理1.1可知p个奇 排列全部变为偶排列, 于是有pq; 同理如 将全部偶排列也都施以同一对换, 则q个 偶排列全部变为奇排列, 于是又有qp, 所 以得出p=q, 即奇偶排列数相等, 各为n!/2 个. 用三级排列验证, 见表1-1, 奇偶排列各三 个