简单线性规划(最终版)

变式：求利润z=x+3y的y最大值.
x2y 8
44
x y

16 12

x

0
y 0
4 N（2，3） 3
4
8x
0
y 1 x4
2
y1x z 33
zmax 2 3 3 11
解线性规划问题的步骤：
（1）画：画出线性约束条件所表示的可行域； （2）移：在线性目标函数所表示的一组平行线
区域内所有坐标为整数的点P(x,y),安排生 产任务x,y都是有意义的.
思考：
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙 种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
分析：设甲,乙两种产品分别生产x，y件, 则利润可以表示为：2x+3y
若设利润为z,则z=2x+3y,这样上述问题转化为:
当x，y在满足上述约束条件时,z的最大值为多 少?

x

0
y 0
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里 目标函数为关于x,y的一次式,又 称为线性目标函数
在线性约束下求线性目标函数的最值问题,统 称为线性规划.
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解, 所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最值的可行解叫做这个 问题的最优解
变式：若生产一件甲产品获利1万元， 生产一件乙产品获利3万元，采用哪种 生产安排利润最大？
大值
3 y3
z
3 的最
x2y 8
44
x y

16 12

x

0
4
3
M（4，2）
4
来自百度文库
8x
0
y 1 x4 2
y 0 Zmax 4 2 2 3 14
y2x 3
x2y 8
44
x y

16 12
象这样关于x,y一次不等 式组的约束条件称为 线性约束条件
而且还与直线 Z=Ax+By的斜率有关．
把问题1的有关数据列表表示如下:
资源
A种配件 B种配件 所需时间 利润(万元)
甲产品 乙产品 资源限额 (1件) (1件)
4
0
16
0
4
12
1
2
8
2
3
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
y
4 3
4
0
8x
y
4 3
o
M
4
8
y
4
3
M（4，2）
4
8x
0
y 1 x4
y
o
x
复习： 1、直线的截距：
横截距：直线与X轴 交点横坐标
纵截距：直线与Y轴 交点纵坐标
注意：截距不是距离，有正负
y=x+1 y= -x+3
复习： 2、在同一坐标系上作出下列直线:
2x+y=0;2x+y=1;2x+y=-3;2x+y=4;2x+y=7
Y
观察图像：形如2x+y=t
（t≠0）的直线有什么特
资源
A种配件 B种配件 所需时间
甲产品 (1件)
4 0 1
乙产品 (1件)
0 4 2
资源限额
16 12 8
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,
设甲,乙两种产品分别生产x,y件,由己知条件可得:
x2y 8
44
x y

16 12

x

0
y 0
y
4 3
o
4
8
将上面不等式组表示成平面上的区域
中，利用平移的方法找出与可行域 有公共点且纵截距最大或最小的直线 （3）求：通过解方程组求出最优解；
（4）答：作出答案。
[练习]解下列线性规划问题：
1、求z=2x+y的最值，使式中的x、y满足约束条件：
y x x y 1 y 1
y x
x y 1
y
y 1
z=2x+3y表示与2x+3y=0平行的一组直线
把z=2x+3y变形为y=-
2 3
x+
z 3
,这是斜率为-
2 3
,
在y轴上的截距为 z 的一族与y=- 2 x平行直线,
3
3
求截距 z 的最值,即可得z的最值. 3
问题：求利润z=2x+3y的最大值.
转化为求直线 y 2 x z 的截距
答——做出答案
小结
本节主要学习了线性约束下如何求目 标函数的最值问题
正确列出变量的不等关系式,准确作出 可行域是解决目标函数最值的关健
线性目标函数的最值一般都是在可行域 的顶点或边界取得.
把目标函数转化为某一直线,其斜率与 可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要 弄清楚.
体验:
一、先定可行域和平移方向，再找最优解。 二、最优解一般在可行域的顶点处取得． 三、在哪个顶点取得不仅与B的符号有关，

x

0
（x,y）
求z的最大值与最小值。 y 0
线性规
可行域 所有的 可行解
划问题
小结
解决线性规划问题的步骤：
画——画出线性约束条件所表示的可行域 移——在目标函数所表示的一组平行线（与目标函 数中z=0平行）中，利用平移的方法找出与可行域 有公共点且纵截距最大或最小的直线
求——根据观察的结论，先求交点的坐标，再 求出最优解
x+y=1
A
目标函数： Z=2x+y y=x
Zmin=-3
y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)
O B
x C
2x+y=0
Zmax=3
线性规划
目标函数
问题：
（线性目标函数）
线性约 束条件
设z=2x+3y，式中变量满足
最优解
下列条件： x 2 y 8
44
x y

16 12
任何一个满足 不等式组的
2
y2x z 33
y
4
3
M
o
4
8
2x+3y=0
简单的线性规划问题（二）
y
o
x
一、复习概念
一组关于变量x、y的一次不等式，称为线性约束条件
把求最大值或求最小值的的函数称为目标函数，因为 它是关于变量x、y的一次解析式，又称线性目标函数。
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值 问题，统称为线性规划问题。
点？
结论 : 形如2x y t(t 0) 的直线与2x y 0平行.
o
x
复习： 二元一次不等式（组）表示平面区 域的方法:
（1）直线定界：Ax+By+C=0 （注意实线和虚线的区别）；
y
（2）特殊点定域：一般的， 选取原点（0,0）。
x+y-1>0 1
（3）二元一次不等式组 表示的平面区域是各个不 等式表示的平面区域的交 集，即各个不等式表示的 平面区域的公共部分。
O1
x
x+y-1<0
x+y-1=0
问题1:某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品,每
生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙 种产品使用4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂 获得16个A配件和12个B配件,按每天工作8小时计算, 该厂所有可能的日生产安排是什么?
分析：把问题1的有关数据列表表示如下: