人教版高考数学专题复习：解析几何专题

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人教A版高考总复习一轮数学精品课件第九章平面解析几何第二节两条直线的位置关系 (2)

算量较大,一般较少使用.
3.三种距离
此公式与两点的先后顺序无关
点点距
点线距
线线距
P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离 |P1P2|= (x2 -x1 )2 + (y2 -y1 )2
|0 + 0 + |
点P0(x0,y0)到直线
l:Ax+By+C=0的距离
d=
2 + 2
两条平行直线Ax+By+C1=0
式.
2 -1
提示
· = -1,
2 -1
1 +2
2
=
1 +2
·
+ .
2
常用结论
1.两种求直线方程的设法
(1)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)垂直的直线可设为Bx-Ay+m=0.
(2)与直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)平行的直线可设为Ax+By+n=0.
2.六种常见的对称点
(1)点(x,y)关于原点(0,0)的对称点为(-x,-y).
(2)点(x,y)关于x轴的对称点为(x,-y),关于y轴的对称点为(-x,y).
(3)点(x,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线y=-x的对称点为(-y,-x).
(4)点(x,y)关于直线x=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=b的对称点为
1
1
l1:y=-2,直线 l2:x=-2,易知 l1⊥l2,满足条件;当

⊥l2,则两直线斜率乘积为-1,即- ×
2
2

a≠0 时,若 l1
=1≠-1,不满足.综上所述,a=0.故选 A.

高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章平面解析几何第4节直线与圆、圆与圆的位置关系

2
2
圆 C1:x +y
+D1x+E1y+F1=0( + -4F1>0)与
2
2
C2:x +y +D2x+E2y+F2=0
( + -4F2>0)相交时:
(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R)表示过两圆
3
相交
|r1-r2|<d<r1+r2
2
内切
d=|r1-r2|
1
内含
d<|r1-r2|
0
1.圆的切线方程常用结论
(1) 过圆 x2+y2=r2(r>0) 上一点 P(x0,y0) 的圆的切线方程为
x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直
C2:x2+y2-10x-12y+45=0.
(1)求证:圆C1和圆C2相交;
2
2
(1)证明:因为 C1:(x-1) +(y-3) =11,
圆心 C1(1,3),半径 r1= ;
2
2
C2:(x-5) +(y-6) =16,
圆心 C2(5,6),半径 r2=4.

所以|C1C2|= (-) + (-) =5,
圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是(

人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件第9章解析几何第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题

(3y1+6-x1-x2)(y-y2)-(y1-y2)(x-x2)=0.
将 x=0,y=-2 代入上式,整理得 12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)
6(+2)
因为 x1+x2=
2
4+3
3(+4)
,x1x2=
2
4+3
,
-8-16
所以 y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=
在椭圆上,即 9
2
9(1- 1 )
9
( 1 +3)2
∴
联立
=
2
1- 2
9
2
( 2 -3)
9
+
( 2 -3)2
,
22
2
1 =1, 9
+ 22 =1,
,整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
= + ,
2
=
22
+ 2 = 1,
得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
+ 4
则点 M
将
= 1,
= 1,
2 6
1,3
2 6
y=- 代入
3
解得
,N
=
2 6
1,
3
2
y= x-2,得
3
2 6或
3
= 1,
=
2 6
- 3 ,
.
x=3- 6,则点 T 3-
2 6
6,3
.
又 = ,所以点 H(5-2

高考数学专题复习专题九第五讲解析几何课件新人教版

题型突破
(2)由(1)知 F1(－1,0),F2(1,0),
又直线 AF1 与 BF2 平行,
所以可设直线 AF1 的方程为 x＋1＝my,
直线 BF2 的方程为 x－1＝my.
第五讲
设 A(x1,y1),B(x2,y2),y1>0,y2>0.
2 x1 ＋y2 1＝1，由 2 得(m2＋2)y2 1－2my1－1＝0, x1＋1＝my1
考情分析
第五讲
(1) 中点弦问题：具有斜率的弦中点问题 , 常用设而不求法 ( 点差法)：设曲线上两点代入方程,然后两方程相减,再应用中点关系及斜率公式,消去四个参数. (2)焦点三角形问题：椭圆或双曲线上一点,与两个焦点构成的三角形问题,常用正、余弦定理和定义搭桥. (3)直线与圆锥曲线位置关系问题：直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组 ,进而转化为一元二次方程后利用判别式 ,应特别注意数形结合的方法. (4)圆锥曲线的有关最值(范围)问题：圆锥曲线中的有关最值(范围) 问题,常用代数法和几何法解决： ①若命题的条件和结论具有明显的几何意义,一般可用图形性质来解决； ②若命题的条件和结论体现明确的函数关系式 ,则可建立目标函数 (通常利用二次函数 ,三角函数 ,基本不等式)求最值.
第五讲
(2)设 A,B 为抛物线上的两点,且直线 AB 不与 x 轴垂直,若线段 AB 的垂直平分线恰过点 M,求证：线段 AB 中点的横坐标为定值.
(1)解由已知得直线 l 的斜率存在,设直线 l 的方程为 y＝k(x－4),由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0), 因为点 F 到直线 l 的距离为 3,所以 |3k| 2＝ 3, 1＋k
解 c (1)由题设知 a2＝b2＋c2,e＝ . a 1 c2 由点(1,e)在椭圆上,得a2＋a2b2＝1,

专题09 解析几何-【口袋书】高考数学复习思维导图(人教版)

解析几何直线方程倾斜角斜率公式方程定义范围位置关系当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角. 直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0定义式坐标式特殊方程平行相交距离公式重合两点距点线距线线距对称问题圆的方程圆点与圆的位置关系直线与圆的位置关系定义标准方程一般方程平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)(x －a)2＋(y －b)2＝r 2(r ＞0) 圆心：(a ，b)，半径： rx 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，(D 2＋E 2－4F ＞0)(1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点；(2)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形．A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.圆与圆的位置关系弦长圆的切线相交相交线直线方程：两个圆方程相减椭圆定义性质常用结论秒杀技巧2a=2c 2a<2c平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a(2a ＞|F 1F 2|=2c)的动点P 的轨迹叫做椭圆，这两个定点F 1，F 2叫做椭圆的焦点线段不存在离心率表示椭圆的扁平程度．当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b ＝越小，因此椭圆越扁．直线与椭圆的位置关系，可以利用直线的定点与椭圆的位置关系来判断定点在椭圆外---相交、相切、相离定点在椭圆上---相交、相切定点在椭圆内---相交双曲线定义性质“绝对值”去掉，其余条件不变，则动点的轨迹只有双曲线的一支若常数为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段F1F2的中垂线秒杀技巧抛物线定义平面内与一个定点F 和一条定直线l(点F 不在直线l 上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线性质秒杀技巧点差法使用范围推导过程结论中点弦相关问题A 、B 、P 是椭圆双曲线上不同的三点，A 、B 关于原点对称焦点在X 轴椭圆焦点在X 轴的双曲线焦点在y 轴的双曲线焦点在X 轴的抛物线焦点在y 轴的椭圆焦点在y 轴的抛物线三定定点定值定直线常见条件转化直线对边平行---斜率相等，或向量平行两边垂直---斜率乘积为－1，或向量数量积为0直角三角形中线性质---两点的距离公式点与圆的位置关系两角相等---斜率成相反数或相等或利用角平分线性质圆外圆上圆内点与直径端点向量数量积为零点与直径端点向量数量积为负数点与直径端点向量数量积为正数圆直线什么都不知道--设斜截式--找出斜与截的关系直线方程引入参数--化简成关于参变量的关系式--另参变量系数为0求点转化为点斜式圆方程引入参数--化简成关于参变量的关系式--另参变量系数为0求点消参法消参法根据题意列式，算出某点的横坐标或纵坐标为一个常数。

高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章平面解析几何第11节圆锥曲线中的证明与存在性问题

出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(2)假设存在点M(t,0)(t<0)满足题设条件.
由(1)知双曲线C的右焦点为F(2,0).
设Q(x0,y0)(x0>1)为双曲线C右支第一象限上一点.
当x0=2时,因为∠QFM=2∠QMF=90°,
所以∠QMF=45°,于是|MF|=|QF|=3,
所以t=-1,即M(-1,0).
看
谢
感您的观
当 p<0 时,x=± -,则 2 -=4 ,
解得p=-4,故C的方程为x2=8y.
(2)设P为C的准线上一点,过P作C的两条切线,切点为A,B,直线PA,PB
的斜率分别为k1,k2,且直线PA,PB与y轴分别交于M,N两点,直线AB的
斜率为k0.证明:k1·k2为定值,且k1,k0,k2成等差数列.
(2)证明:由(1)可知C的准线方程为y=-2,
不妨设P(m,-2),A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意,过点P且与C相切的直线l的斜率一定存在,设为k,
则l:y=k(x-m)-2,且k≠0,
= (-)-,
2
联立
得 x -8kx+8(km+2)=0,
= ,
2
2

则Δ=64k -32(km+2)=0,即 k -mk-1=0,
|| ||
,证明:∠ANC=2∠AMC.
=
|| ||
(2)证明:由(1)可知 M(-8,0),设直线 l 的方程为 x=my-8,其与椭圆

E:+=1 的交点为 B(x1,y1),C(x2,y2),

+
=
,
2

2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析

2024高考数学解析几何知识点总结与题型分析随着时间的推移，我们离2024年的高考越来越近。

数学作为高考的一门重要科目，解析几何是其中的一个重点内容。

为了帮助同学们更好地复习解析几何，并在高考中取得好成绩，本文将对2024高考数学解析几何的知识点进行总结与题型分析。

1. 直线与平面1.1 直线的方程直线的一般方程为Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数。

根据直线的特点，我们可以将其方程转化为其他形式，如点斜式、两点式、截距式等，以便于解题。

1.2 平面的方程平面的一般方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为常数。

类似于直线的情况，根据平面的性质，我们可以将其方程转化为点法式、截距式等形式。

2. 空间几何体2.1 球球是解析几何中的一个重要概念。

其方程为(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2，其中(a, b, c)为球心坐标，r为半径长度。

2.2 圆锥曲线圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线。

通过对几何体的方程进行适当的变化，可以得到不同类型的圆锥曲线方程。

掌握其特点和方程形式，对于解析几何的学习非常重要。

3. 空间几何关系3.1 直线与直线的位置关系直线与直线的位置关系包括相交、平行、重合等情况。

根据两条直线的方程，我们可以通过求解方程组或直线的斜率等方式，判断它们之间的空间位置关系。

3.2 直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系包括相交、平行、重合等情况。

根据直线的方程和平面的方程，我们可以通过代入求解或者检验点的方法，判断它们之间的位置关系。

4. 解析几何的常见题型4.1 直线与平面的交点求解给定直线和平面的方程，我们需要求解它们的交点。

通过将直线方程代入平面方程中，可以得到关于未知变量的方程组，进而求解出交点的具体坐标。

4.2 距离计算在解析几何中，我们常常需要计算点、直线或平面之间的距离。

对于给定的两点，我们可以利用距离公式进行计算；对于直线和平面，我们可以利用点到直线/平面的距离公式进行计算。

【新】人教A版高考数学复习课件专题五解析几何1-5-2.ppt

▪ 第2讲 ▪ 圆锥曲线中的定点、定值、最值、
范围问题
真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考
▪ 高考定位圆锥曲线的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．
真题感悟·考点整合热点聚焦·题型突破归纳总结·思维升华专题训练·对接高考
因此
x1
＋
x2
＝
m(y1
＋
y2)
－
2
＝
－4 m2＋2
，
于
是
AB
的中点为
Mm－2＋22，m2m＋2，故直线 PQ 的斜率为－m2 ，PQ 的方程为 y＝
－m2 x，即 mx＋2y＝0.
由yx2＝ 2－－y2m＝2 x1，
得(2－m2)x2＝4，所以 2－m2>0，且 x2＝2－4m2，
2．圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 F1，F2 分别为椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有 ①|OP|∈[b，a]； ②|PF1|∈[a－c，a＋c]； ③|PF1|·|PF2|∈[b2，a2]； ④∠F1PF2≤∠F1BF2.
▪ [考点整合] ▪ 1．定点、定值问题 ▪ 在解析几何中，有些含有参数的直线或曲
线，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题；有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义第八章必刷大题17 解析几何

1234
本课结束
1234
由(1)知双曲线 C 的方程为x42－y82＝1，设E(x1，y1)，F(x2，y2). ①当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m，
y＝kx＋m，联立方程x42－y82＝1，化简得(2－k2)x2－2kmx－(m2＋8)＝0，则Δ＝(－2km)2＋4(m2＋8)(2－k2)>0，
1234
可得 x1＋x2＝4k82k＋2 3，x1x2＝44kk22－＋132，
①
由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，
则 kPA＋kPB＝x1－y1 m＋x2－y2 m＝0，
可得kxx1－1－m1＋kxx2－2－m1＝0，
因为k≠0，可得(x1－1)(x2－m)＋(x1－m)(x2－1)＝0，
2，0)，F
22，0，点
A
满足|AE|＝
2|AF|，
点 A 的轨迹为曲线 C.
(1)求曲线C的方程；
设 A(x，y)，因为|AE|＝ 2|AF|，
所以 x－ 22＋y－02＝ 2×
x－
222＋y－02，
将等式两边平方后化简得x2＋y2＝1.
1234
(2)若直线 l：y＝kx＋m 与双曲线：x42－y92＝1 交于 M，N 两点，且∠MON ＝π2(O 为坐标原点)，求点 A 到直线 l 距离的取值范围.
1234
即m2－4k2＋8>0， x1＋x2＝22－kmk2，
且x1x2＝－2m－2－k2 8，因为D→E·D→F＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2 ＝(x1－2)(x2－2)＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝0，所以(k2＋1)x1x2＋(km－2)(x1＋x2)＋m2＋4
1234

高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章平面解析几何第9节直线与圆锥曲线中的定点与定值问题

-
直线 MA1 的方程为 y=

(x+2),直线
NA
2 的方程为 y=
+
联立直线 MA1 与直线 NA2 的方程可得
=
由
+ ( +) ( -)
=
=
- ( -) ( -)
=
-
(x-2),
-
-

· -· +
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
定值问题

[例1] 已知双曲线 C: - =1 (a>0,b>0)的虚轴长为4,直线2x-y=0
为双曲线C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的标准方程;
(1)解:因为虚轴长为4,所以2b=4,即b=2,
因为直线2x-y=0为双曲线C的一条渐近线,
与曲线C方程联立,消去y整理得(4+3k2)x2+6kx-9=0,
Δ=36k2+4×9×(4+3k2)=144(1+k2)>0恒成立,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
则|MN|= +
|x1-x2|=
+
×
设线段 MN 的中点为 T(x0,y0),
+
则 x0=

=-

由题意,直线MN的斜率不为0,
设M(x1,y1),N(x2,y2),

直线 MN 的方程为 x=my-4,且-<m<,

2
2
2
与 -=1 联立消去 x 可得(4m -1)y -32my+48=0,且Δ=64(4m +3)>0,

高考数学总复习(一轮)(人教A)教学课件第八章平面解析几何第10节圆锥曲线中的最值与范围问题

将点(-1, )的坐标代入椭圆方程 + =1,得 +

所以椭圆 E 的方程为 + =1.

=1,解得 b= ,
(2)设直线l与圆O:x2+y2=a2交于C,D两点,当
求△ABF2面积的取值范围.
2
2
|CD|∈[2 ,

] 时,
解:(2)由(1)知圆 O 的方程为 x +y =4,由题意,直线 l 的斜率不为 0,
=
+-

因为 t∈(1,+∞),所以 ∈(0,1),

所以|AB|+|DE|∈[ ,7).
,

-( - ) +

综上所述,|AB|+|DE|的取值范围为[ ,7].
解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参
得最值的临界条件,得出最值.
(2)代数法:若题目的条件和结论能体现一种明确的函数,则首先建
立目标函数,再求这个函数的最值,求函数最值的常用方法有配方
法、判别式法、基本不等式法及函数的单调性法等.
[针对训练] (2024·河南襄城模拟)已知抛物线C的顶点在坐标
原点,焦点在y轴的正半轴上,圆x2+(y-1)2=1经过抛物线C的焦点.
提升·关键能力
类分考点,落实四翼
考点一
最值问题

[例1] (2024·安徽蚌埠模拟)在椭圆 C: + =1 (a>b>0)中,c=2,

2023年人教版高考数学总复习第一部分考点指导第九章平面解析几何第五节第2课时椭圆的几何性质

)
A．m>1
B．m>0
C．0<m<5 且 m≠1 D．m≥1 且 m≠5
【解析】选
D.方法一：由于直线
y＝kx＋1
恒过点(0，1)，所以点(0，1)必在椭圆内或椭圆上，则
1 0<m
≤1 且
m≠5，故 m≥1 且 m≠5.
y＝kx＋1，方法二：由
消去 y 整理得(5k2＋m)x2＋10kx＋5(1－m)＝0.
【解析】(1)由题意知 e＝ac ＝21 ，2a＝4.又 a2＝b2＋c2，解得 a＝2，b＝ 3 ，所以椭圆方程为x42 ＋y32 ＝1. (2)①当两条弦中一条弦所在直线的斜率为 0 时，另一条弦所在直线的斜率不存在，由题意知|AB|＋|CD|＝7，不满足条件．
②当两弦所在直线的斜率均存在且不为 0 时，设直线 AB 的方程为 y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则直线 CD 的方程为 y＝
第2课时椭圆的几何性质
第九章平面解析几何
考点探究·悟法培优
考点探究·悟法培优
考点一椭圆的几何性质多维探究
高考考情：椭圆的几何性质是历年高考的重点，其中离心率的求解常出现在小题中，直线与椭圆的交点问题
几乎每年必考，难度较大．
·角度 1 求椭圆的离心率的值(范围) [典例 1](1)已知 F1，F2 是椭圆 C：ax22 ＋by22 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，A 是 C 的左顶点，点 P 在过 A 且斜
·角度 2 与椭圆有关的范围(最值)问题 [典例 2]已知椭圆ax22 ＋by22 ＝1(a＞b＞0)的右焦点为 F2(3，0)，离心率为 e.
(1)若 e＝
3 2
，求椭圆的方程；

高三数学-[原创]解析几何高考复习[特约]-人教版精品

解析几何高考复习★考前知识准备：1．数轴上A 、B 两点的坐标分别是1x 、2x ，则有向线段AB 的数量AB =12x x -．2．直角坐标系中，两点),(111y x P 、),(222y x P 的距离||21P P =212212)()(y y x x -+-．3．点P 分有向线段21P P 所成的比λ=21PP P P ．4．设有向线段21P P 的两个端点分别为),(111y x P 和),(222y x P ，点),(y x P 分21P P 所成的比为)1(-≠λλ，则λ=x x x x --21=yy y y --21；x =λλ++121x x ；y =λλ++121y y ．5．已知),(111y x P 、),(222y x P ，),(y x P 是线段21P P 的中点，则x =221x x +；y =221y y +． 6．在△ABC 中，),(11y x A 、),(22y x B 、),(33y x C ，重心为),(y x G ，则x =3321x x x ++；y =3321y y y ++． 7．直线的倾斜角α的取值范围是︒<≤︒1800α．8．经过两点),(111y x P 、),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率=k 1212x x y y --．10．若直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，且21l l ⊥，则=⋅21k k －1． 11．（1）一条直线到另一条直线的角的取值范围是),0[π；（2）两条直线的夹角的取值范围是]2,0[π．12．设直线1l 和2l 的斜率分别为1k 和2k ，且1l 和2l 不垂直，1l 到2l 的角为θ，1l 与2l 的夹角为ϕ，则=θtg 12121k k k k +-；=ϕtg 12121k k k k +-．13．（1）已知点),(00y x P 和直线0:=++C By Ax l ，点P 到直线l 的距离是d ，则d（2）已知两条平行直线0:,0:2211=++=++C By Ax l C By Ax l 的距离是d ，则d14．圆心是),(b a C ，半径是r 的圆的方程是222)()(r b y a x =-+-．15．方程022=++++F Ey Dx y x 表示圆的充要条件是0422>-+F E D ． 16．已知圆的方程是022=++++F Ey Dx y x ，则圆心的坐标是)2,2(E D --，半径=r F E D 42122-+．17．已知点),(00y x P 与圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，那么：（1）点P 在圆C 外的充要条件是0002020>++++F Ey Dx y x ；（2）点P 在圆C 上的充要条件是0002020=++++F Ey Dx y x ；（3）点P 在圆C 内的充要条件是0002020<++++F Ey Dx y x ．18．设圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，那么：（1）直线与圆相切的充要条件是r d =；（2）直线与圆相离的充要条件是r d >；（3）直线与圆相交的充要条件是r d <．19．设两圆的半径分别为r 和R )(r R >，两圆的圆心距为d ，那么：（1）两圆外切的充要条件是r R d +=；（2）两圆内切的充要条件是r R d -=；（3）两圆外离的充要条件是r R d +>；（4）两圆内含的充要条件是r R d -<；（5）两圆相交的充要条件是r R d r R +<<-．20．点),(00y x P 为圆222r y x =+上的一点，则过点P 的圆的切线方程是200r y y x x =+． 21．点),(00y x P 为圆C ：022=++++F Ey Dx y x 外一点，则点P 到圆C 的切线长：=d F Ey Dx y x ++++002020．22．两圆C 1：011122=++++F y E x D y x 与C 2：022222=++++F y E x D y x 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程是0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．23．填写下面的表格：24．已知双曲线的渐近线方程为0=±by ax ，则双曲线的方程可设为)()()(22R by ax ∈=-λλ．25．已知抛物线)0(22>=p px y 过焦点的弦长为a ，则弦的中点的横坐标是)(21p a -． 26．圆锥曲线与直线b kx y +=交于),(11y x A 、),(22y x B 两点，则弦AB 的长： |AB|=]4))[(1(212212x x x x k -++=]4))[(11(212212y y y y k-++． ★考前基础练习：27．已知点)5,(-a A 和)10,0(B 的距离是17，则a 的值为8±． 28．点),(b a P 关于坐标原点的对称点P '的坐标是),(b a --． 29．若点P 分线段AB 所成的比为31，则点B 分有向线段AP 所成的比为34-．30．已知点)6,1(1--P 、)0,3(2P 和),37(y P -，则点P 分21P P 所成的比=λ41-；=y 8-． 31．已知直线l 经过点)4,2(A 和点)1,9(-B ，则直线l 的倾斜角等于75arctg -π． 32．已知直线l 的斜率为k ，且1-≤k ≤1，则直线l 的倾斜角θ的取值范围是),43[]4,0[πππ⋃． 33．已知三点)2,3(A 、)4,(t B 、)1,6(C 在同一条直线上，则t 的值为3-． 34．经过点)2,4(-P ，且倾斜角是︒120的直线方程是03423=-++y x ． 35．倾斜角的正弦值为135，且在y 轴上的截距是2-的直线方程是024125=--±y x ． 36．直线63+=y x 在y 轴上的截距是2-．37．经过点)2,3(--且在两坐标轴上截距相等的直线方程是05032=++=-y x y x 或． 38．经过两点)8,1(-A 、)2,4(-B 的直线方程是062=-+y x ． 39．直线02443=+-y x 的斜率是43，在x 轴上的截距是8-，在y 轴上的截距是6． 40．过点)4,1(-A 且与直线0532=++y x 平行的直线方程是01032=++y x ． 41．已知两点)5,3(-M 、)5,7(-N ，则线段MN 的垂直平分线的方程为02=+-y x ．42．直线32:1+-=x y l 和23:2-=x y l 的夹角等于3arctg ． 43．直线1+=kx y 与直线2+=x y 的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是),1(+∞．44．已知点),(b a M 在直线1543=+y x 上，则22)6()2(-+-b a 的最小值是3．45．与直线5247=+y x 平行，并且距离等于3的直线的方程为080247070247=-+=++y x y x 或． 46．已知点)1,1(A 和)6,3(B ，则与点A 的距离等于A 与B 的距离的点的轨迹方程是29)1()1(22=-+-y x ． 47．与x 轴的距离和与点)4,0(F 的距离相等的点的轨迹方程是)2(82-=y x ．48．已知两点)9,4(1P 和)3,6(2P ，则以21P P 为直径的圆的方程是10)6()5(22=-+-y x ．49．已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为)4,1(A 、)3,2(-B 、)5,4(-C ，则△ABC 的外接圆的方程是0232222=-+-+y x y x ．50．以)3,1(C 为圆心，且和直线0743=--y x 相切的圆的方程是25256)3()1(22=-+-y x ． 51．直线043=+y x 被圆014222=++-+y x y x 截得的弦长等于32．52．已知点)3,2(-P 为圆082822=++-+y x y x 内一点，则以P 为中点的弦所在直线的方程是01=++y x ．53．直线012=+-y x 被圆4)2(22=-+y x 截得的弦的中点的坐标是)59,52(．54．两圆C 1：0101022=--+y x y x 与C 2：0402622=-+++y x y x 的公共弦所在直线方程是01034=-+y x ，公共弦的长等于10．55．平面内到两个定点)4,0(1-F 和)4,0(2F 的距离的和为10的点的轨迹方程是192522=+x y ． 56．到直线49=x 的距离与到定点)0,4(F 的距离之比为43的点的轨迹方程是17922=-y x ．57．焦点坐标为)0,32(-和)0,32(，并且经过点)6,5(-P 的椭圆的标准方程是182022=+y x ．58．已知两点)0,5(1-F 和)0,5(2F ，则到这两点的距离的差的绝对值为10的点的轨迹方程是)5|(|0≥=x y ． 59．双曲线14491622=-x y 的实半轴长为3，虚半轴长为4，焦点坐标为)5,0(±，离心率为35，准线方程为59±=y ，渐近线方程为043=±y x ． 60．与双曲线116922=-y x 有共同的渐近线，且经过点)32,3(-A 的双曲线方程是149422=-y x ．61．“双曲线为等轴双曲线”是“双曲线的离心率等于2”的充要条件． 62．已知双曲线8822=-ky kx 的一个焦点为)3,0(，则k 的值为1-．63．双曲线122=-y x 的一条弦的中点为)1,2(，则此弦所在直线的方程为032=--y x ． 64．已知抛物线的焦点坐标是)2,0(-F ，则它的标准方程是y x 82-=．65．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点)22,2(-M ，则它的标准方程是x y 42=． 66．抛物线)0(22>=p px y 上一点M 到焦点的距离是a ，则点M 的横坐标是2pa -．67．正方形的中心在)0,1(-C ，一条边所在的直线方程是053=-+y x ，求其它三边所在的直线方程．答案：033=--y x 、093=+-y x 和073=++y x ．68．已知)0,3(P ，Q 是圆122=+y x 上的动点，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程．答案：41)23(22=+-y x ． 69．抛物线px y 22=截直线12+=x y 所得的弦长为15，求此抛物线方程．答案：x y 122=或x y 42-=．提示：利用弦长公式求解．70．求过点)2,3(A ，圆心在直线x y 2=上，且与直线52+=x y 相切的圆的方程．答案：5)4()2(22=-+-y x 或5)58()54(22=-+-y x ．71．从圆1)1()1(22=-+-y x 外一点)3,2(P ，向该圆引切线，求切线的方程．答案：2=x 和0643=+-y x ．72．已知圆锥曲线C 是椭圆或双曲线，若其中心为坐标原点，对称轴为坐标轴，且过点)32,2(-A 和)5,23(-B ，试判断曲线C 是椭圆还是双曲线，并求其方程．答案：设曲线C 的方程为122=+by ax ，∵曲线C 过)32,2(-A 和)5,23(-B ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-4111)5()23(1)32()2(2222b a b a b a ，∴曲线C 的方程是1422=-y x ，曲线C 是双曲线． 73．已知双曲线的的离心率为2，求它的两条渐近线的夹角．答案：︒60．74．有一正三角形的两个顶点在抛物线px y 22=上，另一顶点在原点．求这个三角形的边长．答案：p 34．75．已知椭圆的方程是191622=+y x ．求椭圆内接正方形的面积．答案：25576．。

【知识梳理】解析几何的20个微专题(附高考数学真题讲析)

【知识梳理】解析几何的20个微专题[1]专题1：直线与方程知识梳理：（1）直线的倾斜角定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为︒0.倾斜角的范围为[)︒︒180,0. （2）直线的斜率：定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即=k αtan .倾斜角是︒90的直线，斜率不存在. （3）过两点的直线的斜率公式：经过两点),(),,(222111y x P y x P 的直线的斜率公式：当21x x ≠时，1212x x y y k --=；当21x x =时，斜率不存在.注：①任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率，倾斜角是︒90的直线的斜率不存在.②斜率随倾斜角的变化规律：③可以用斜率来证明三点共线，即若AC AB k k =，则C B A ,,三点共线. 直线方程的五种形式注意：①求直线方程的方法主要有两种：一是直接法，根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，直接写出直线方程；二是待定系数法，先设出直线方程，再根据条件求出待定系数，最后代入求出直线方程.但使用直线方程时，一定要注意限制条件，以免解题过程中丢解.②截距与距离的区别：截距可为一切实数，纵截距是直线与y 轴交点的纵坐标，横截距是直线与x 轴交点的横坐标，而距离是一个非负数.直线与直线位置关系1．两条直线的交点若直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A 相交，则交点坐标是方程组⎩⎨⎧=++=++0222111C y B x A C y B x A 的解. 2．两条直线位置关系的判定（1）利用斜率判定若直线1l 和2l 分别有斜截式方程1l ：11b x k y +=和2l ：22b x k y +=，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为2121,b b k k ≠=. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为2121,b b k k ==.③直线1l 与2l 相交的等价条件为21k k ≠；特别地，1l ⊥2l 的等价条件为121-=⋅k k .若1l 与2l 斜率都不存在，则1l 与2l 平行或重合.若1l 与2l 中的一条斜率不存在而另一条斜率为0，则1l 与2l 垂直.（2）用直线一般式方程的系数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，则 ①直线1l ∥2l 的等价条件为0012211221≠-=-C B C B B A B A 且. ②直线1l 与2l 重合的等价条件为0012211221=-=-C B C B B A B A 且.③直线1l 与2l 相交的等价条件为01221≠-B A B A ；特别地， 1l ⊥2l 的等价条件为02121=+B B A A .注：与0=++CBy Ax 平行的直线方程一般可设为0=++m By Ax 的形式，与0=++C By Ax 垂直的直线方程一般可设为0=+-n Ay Bx 的形式.（3）用两直线联立的方程组的解的个数判定设直线1l ：0111=++C y B x A ，2l ：0222=++C y B x A ，将这两条直线的方程联立，得方程组⎩⎨⎧=++=++00222111C y B x A C y B x A ，若方程组有惟一解，则1l 与2l 相交，此解就是1l ，2l 交点的坐标；若方程组无解，此时1l 与2l 无公共点，则1l ∥2l ；若方程组有无数个解，则1l 与2l 重合.3. 直线系问题（1）设直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A若1l 与2l 相交，则0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ表示过1l 与2l 的交点的直线系（不包括2l ）；若1l ∥2l ，则上述形式的方程表示与与2l 平行的直线系.（2）过定点),(00y x 的旋转直线系方程为))((00R k x x k y y ∈-=-（不包括0x x =）；斜率为0k 的平行直线系方程为)(0R b b x k y ∈+=.注：直线系是具有某一共同性质的直线的全体，巧妙地使用直线系，可以减少运算量，简化运算过程. 距离公式与对称问题 1.距离公式（1）两点间的距离公式平面上的两点),(),,(222111y x P y x P 间的距离=21P P 212212)()(y y x x -+-.特别地，原点)0,0(O 与任一点),(y x P 的距离=OP 22y x +.若x P P //21轴时，=21P P 21x x -；若y P P //21轴时，=21P P 21y y -. （2）点到直线的距离公式已知点),(000y x P ，直线l ：0=++C By Ax ，则点0P 到直线l 的距离=d 2200BA CBy Ax +++.已知点),(000y x P ，直线l ：a x =，则点0P 到直线l 的距离=d a x -0. 已知点),(000y x P ，直线l ：b y =，则点0P 到直线l 的距离=d b y -0. 注：用此公式求解点到直线距离问题时，直线方程要化成一般式. （3）两条平行直线间的距离公式已知两平行直线1l ：0111=++C y B x A 和2l ：0222=++C y B x A ，若点),(000y x P 在1l 上，则两平行直线1l 和2l 的距离可转化为),(000y x P 到直线2l 的距离.已知两平行直线1l ：01=++C By Ax 和2l ：02=++C By Ax ，则两直线1l 和2l 的距离=d 2221BA C C +-.注：用此公式求解两平行直线间的距离时，直线方程要化成一般式，并且y x ,项的系数必须对应相等. 2.对称问题（1）中心对称 ①点关于点的对称点),(00y x P 关于),(b a A 的对称点为)2,2(001y b x a P --. ②直线关于点的对称在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点的坐标，再由两点式求出直线的方程，或者求出一个对称点，再利用1l ∥2l ，由点斜式求出直线的方程，或者在所求直线上任取一点),(y x ，求出它关于已知点的对称点的坐标，代入已知直线，即可得到所求直线的方程. (2）轴对称①点关于直线的对称点),(00y x P 关于b kx y +=的对称点为),(111y x P ,则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++⋅=+-=⋅--b x x k y y k x x y y 22101010101,由此可求出11,y x .特别地, 点),(00y x P 关于a x =的对称点为),2(001y x a P -，点),(00y x P 关于b y =的对称点为)2,(001y b x P -. ②直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称问题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称直线相交，一是已知直线与对称直线平行. 本章知识结构专题2：圆的标准方程与一般方程知识梳理:⑴.圆的一般方程的概念：当时，二元二次方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程。

高考数学二轮复习专题四《解析几何》新人教版

【专题四】解析几何【考情分析】1．圆锥曲线在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点．高考一般设计两个客观题和一个主观题，客观题考查直线与圆的关系和圆锥曲线的概念及基本几何性质，主观题一般通过以圆锥曲线为载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强．2．该部分考查的重点有：直线与圆的方程、直线与圆的位置关系、三种圆锥曲线的概念及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，动点轨迹方程的求法，解析几何与各部分知识综合问题的解法，数形结合思想等．【知识交汇】1．直线与圆综合直线与圆都是解析几何的基本知识点，考题常以选择题和填空题形式综合考查他们之间的位置关系．难度不大，属于基础题．例1．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（）A ．227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭B ．22(2)(1)1x y -+-=C ．22(1)(3)1x y -+-= D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭答案：B解析：设圆心为(,1),a 由已知得|43|11,2().52a d a -==∴=-舍故选B ．点评：圆与x 轴相切，则圆心的纵坐标与半径的值相等，注意用数形结合，画出草图来帮助理解．例2．已知圆C 与直线x －y ＝0 及x －y －4＝0都相切，圆心在直线x ＋y ＝0上，则圆C 的方程为（）（A ）22(1)(1)2x y ++-= (B) 22(1)(1)2x y -++= (C) 22(1)(1)2x y -+-= (D) 22(1)(1)2x y +++= 答案：B解析：圆心在x ＋y ＝0上,排除C 、D,再结合图象，或者验证A 、B 中圆心到两直线的距离等于半径2即可．点评：圆与直线相切，则圆心到直线的距离等于半径，注意用数形结合，画出草图来帮助理解．当然选择题中也可以用排除法，既快又准的得出答案．2．直线与圆锥曲线的综合直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系，但要注意曲线上的点的纯粹性；涉及弦长问题时，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便．直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程，数形结合，分类讨论、化归等数学思想方法，因此这部分经常作为高考试题的压轴题，命题主要意图是考查运算能力，逻辑推理能力．例3．已知以1(20)F -，，2(20)F ，为焦点的椭圆与直线40x +=有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（） A．B．C．D．解析：设椭圆方程为221(0).mx ny m n +=≠>，联立方程组：221,40mx ny x ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩消x得：2(3)16m n y m +++－1＝0， △＝192m 2－4(16m －1)（3m ＋n)＝0，整理，得：316,m n mn +=即：3116.n m+=，又c ＝2，由焦点在x 轴上信，所以， 11m n -＝4，联立解得：1713m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故长轴长为点评：直线与圆锥曲线只有一个交点时，经常采用联立方程组，消去一个未知数后，变成一元二次方程，由判别式来求解，但要注意，有时要考虑二次项的系数为0的特殊情况．3．向量与圆锥曲线综合向量作为数学的一个实用工具，在各部分的高考试题中频频出现，这也是命题者设计隐藏已知条件的热点所在，解决该类问题的关键是将条件转化，从而挖掘出条件的真正面目．例4．设椭圆E ； 22221x y a b+=（a ，b>0）过M （2，1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由．解析；（1）因为椭圆E ； 22221x y a b +=（a ，b>0）过M （2，1)两点，所以2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2284a b ⎧=⎨=⎩椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥，设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩得222()8x kx m ++=，即222(12)4280k x kmx m +++-=，则△=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>，即22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++要使OA OB ⊥，需使12120x x y y +=，即2222228801212m m k k k --+=++，所以223880m k --=，所以223808m k -=≥又22840k m -+>，所以22238m m ⎧>⎨≥⎩，所以283m ≥，即3m ≥或3m ≤-，因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为r =，222228381318m m r m k ===-++，r = 所求的圆为2283x y +=，此时圆的切线y kx m =+都满足m ≥或m ≤，而当切线的斜率不存在时切线为x =22184x y +=的两个交点为(33±或()33-±满足OA OB ⊥，综上，存在圆心在原点的圆2283x y +=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A ，B ，且OA OB ⊥．因为12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，所以22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++，||AB ===== ①当0k ≠时||AB =因为221448k k ++≥所以221101844k k<≤++，所以2232321[1]1213344k k<+≤++，||AB <≤2k =±时取”=”． ②当0k =时，||AB =． ③当AB 的斜率不存在时，两个交点为或(，所以此时||AB =综上， |AB |||AB ≤≤即；||AB ∈ 点评；本题属于探究是否存在的问题，主要考查了椭圆的标准方程的确定，直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法，能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系．4．方程、不等式与圆锥曲线综合近几年来的高考题中，圆锥曲线与方程、不等式的综合一直是高考热点之一，尤其是均值不等式在求最值或范围中的应用，更是频繁出现．其综合性强，对能力的要求较高，运算难度较大．例5．如图，直线y kx b =+与椭圆2214x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ．（I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值；（II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．解析：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，．由2214x b +=，解得12x =±，所以221212112S b x x b b b =-=+-=·，当且仅当b =S 取到最大值1．图1（Ⅱ）解：由2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，，得22212104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭， ∆＝22224(41)(1)k b k b -+-＝224k b -＋1，①｜AB ｜＝＝1224x x k -=+＝2 ②设O 到AB 的距离为d ，则21Sd AB ==，又因为d =，所以221b k =+，代入②式并整理，得42104k k -+=，解得，212k =，232b =，代入①式检验，0∆>．故直线AB的方程是y x =+，或y x =，或y x =+，或22y x =--．点评；求圆锥曲线的弦长时，可利用弦长公式：｜AB｜＝＝12x x -来求解．5．充分、必要条件与圆锥曲线的综合高考对简单逻辑用语中的充分、必要条件的考查，主要通过与其它部分的综合问题出现，而与解析几何相综合的问题最为普遍，通过这种形式主要考查对充分、必要条件的理解和解析几何部分的基本概念等细节性问题、严密性问题．例6． “a=b ”是“直线2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切”的( ) ． A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件D 既不充分又不必要条件答案：A解析：若a=b ，则直线与圆心的距离为22|2|=+-a a 等于半径，∴2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切若2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切，则22|2|=+-b a∴40-=-=-b a b a 或故“a=b ”是“直线2)()222=-+-+=b y a x x y 与圆（相切”的充分不必要条件．点评：解决该类问题的关键是，先将二者排好队，然后通过判断前者是否能推出后者，即判断是否充分条件；通过判断后者是否能推出前者，即判断是否必要条件．例7．圆221x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（）A ．(k ∈B ． (k ∈C ．((2)k ∈-+，∞D ．((3)k ∈-+，∞答案：B解析：本小题主要考查直线和圆的位置关系．依题圆221x y +=与直线2y kx =+没有公共点1d ⇔=>⇔(k ∈点评：直线与圆的公共点的问题，有两种解决方法：（1）运用圆心到直线的距离与半径的关系进行判断，d r >直线与圆相离，没有公共点；d r =直线与圆相切，有一个公共点；d r <直线与圆相交，有两个公共点．（2）利用判别式进行判断，0∆<直线与圆相离，没有公共点； 0∆=直线与圆相切，有一个公共点； 0∆>直线与圆相交，有两个公共点．两种方法任选其一都可以解决问题，但是相比之下，第一种方法略简单些．【思想方法】【例1】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2A P P B =，则椭圆的离心率是（）A ．2 B ．2C ．13D ．12答案．D解析：对于椭圆，因为2AP PB =，则12,2,2OA OF a c e =∴=∴=【分析】该题体现了转化与化归思想和数形结合的巧妙应用．是解析几何与平面向量结合的综合性考题，命题点是解析几何与向量的交汇．【例2】直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 的最近距离是．答案：122-解析：因为圆心到直线的距离为= ，所以直线1-=x y 上的点到圆042422=+-++y x y x 的最近距离就是圆心到直线的距离减去半径，即12212|112|-=---- ．【分析】该题体现了对转化与化归思想的考查，本题主要考查了直线和圆的位置关系，将直线与圆的最近距离转化为圆心到直线的距离，问题迎刃而解．【例3】点A 、B 分别是椭圆1203622=+y x 长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PF PA ⊥．求点P 的坐标．解析：由已知可得点A （－6，0），F （4，0），设点P 的坐标是(,),{6,},{4,}x y AP x y FP x y =+=-则，由已知得：.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> 【分析】该题体现了方程思想和转化与化归思想的应用，解析几何中的很多综合题的解决过程中，都需要根据已知条件列出方程或方程组，通过解方程或方程组来达到求解的目的．【例4】已知椭圆中心在原点，焦点在y 轴上，焦距为4，离心率为32，（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设椭圆在y 轴正半轴上的焦点为M ，又点A 和点B 在椭圆上，且M 分有向线段AB所成的比为2，求线段AB 所在直线的方程．解析：（Ⅰ）设椭圆方程为12222=+bx a y 由2c=4得c=2 又32=a c故a=3， 5222=-=c a b ∴所求的椭圆方程为22195y x +=．（Ⅱ）若k 2≠，若k 存在，则设直线AB 的方程为：y=kx+2又设A ),()(221,1y x B y x由⎪⎩⎪⎨⎧=++=195222y x kx y 得：02520)59(22=-++kx x k ． 1222095k x x K -+=+① 1222595x x K -⋅=+②∵点M 坐标为M （0，2） ∴)2,()2,(2211-=--=y x y x 得2=2=∴)2,(2)2,(2211-=--y x y x∴212x x -=代入①、②得222095k x k =+… ③ 22225295x k =+④由③、④ 得 22202()95k k =+22595k + ∴213k =3k =± ∴线段AB 所在直线的方程为：233+±=x y ．【分析】本题是分类讨论在解析几何中的应用，处理直线与圆锥曲线的位置关系时，待定直线方程要考虑斜率不存在的情况，【专题演练】1．设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )．A ．24y x =±B ．28y x =±C ． 24y x =D ． 28y x = 2．过点(0,1)作与抛物线24y x =仅有一个公共点的直线共有( )A ． 1条B ． 2条C ． 3条D ． 0条3．已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3FA FB =，则||AF =（）A ．． 2 C． 34．已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为．5．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF =_________；12F PF ∠的小大为__________．6．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>x =．（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）已知直线0x y m -+=与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆225x y +=上，求m 的值．7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l（I ）求a ，b 的值；（II ）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l 的方程；若不存在，说明理由．【参考答案】1．答案；B解析：抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a ，则直线l 的方程为2()4a y x =-，它与y 轴的交点为A (0,)2a-，所以△OAF 的面积为1||||4242a a⋅=，解得8a =±．所以抛物线方程为28y x =±，故选B ．2．答案：C ．解析：点01（，）在抛物线x y 42=的外部，考虑与对称轴平行及与抛物线相切两种情况，即满足条件的直线有3条．3．答案：A解析；过点B作BM l⊥于M，并设右准线l与X轴的交点为N，易知FN=1．由题意3FA FB=，故2 ||3 BM=．又由椭圆的第二定义，得2||3BF==||AF=A．4．答案：2(2)x-+2(2)y+=1解析：设圆2C的圆心为（a，b），则依题意，有111022111a bba-+⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪+⎩，解得：22ab=⎧⎨=-⎩，因为对称圆的半径不变仍为1．所以圆2C的方程为2(2)x-+2(2)y+=1．5．答案：2,120︒解析：∵229,3a b==，∴c==∴12F F=又1124,26PF PF PF a=+==，∴22PF=，又由余弦定理，得(22212241cos2242F PF+-∠==-⨯⨯，∴12120F PF︒∠=，故应填2,120︒．6．解析：（Ⅰ）由题意，得2acca⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1,a c=∴2222b c a=-=，∴所求双曲线C的方程为2212yx-=．（Ⅱ）设A、B两点的坐标分别为()()1122,,,x y x y，线段AB的中点为()00,M x y，由22120y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩得22220x mx m ---=（判别式0∆>）， ∴12000,22x x x m y x m m +===+=， ∵点()00,M x y 在圆225x y +=上，∴()2225m m +=，∴1m =±．7．解析；(I ）设(,0)F c ，直线:0l x y c --=，由坐标原点O 到l的距离为22=1c =．又c e a b a ==∴== （II ）由(I ）知椭圆的方程为22:132x y C +=．设11(,)A x y 、B 22(,)x y 由题意知l 的斜率为一定不为0，故不妨设 :1l x my =+代入椭圆的方程中整理得22(23)440m y my ++-=，显然0∆>．由韦达定理有：1224,23m y y m +=-+1224,23y y m =-+．．．．．．．．① 假设存在点P ，使OP OA OB =+成立，则其充要条件为：点1212P (,)x x y y ++的坐标为，点P 在椭圆上，即221212()()132x x y y +++=．整理得2222112212122323466x y x y x x y y +++++=．又A B 、在椭圆上，即22221122236,236x y x y +=+=．故12122330x x y y ++=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②将212121212(1)(1)()1x x my my m y y m y y =++=+++及①代入②解得212m =1222y y ∴+=-，12x x +=22432232m m -+=+，即3(,)22P ±．当3,(,),:12222m P l x y =-=+;当3,(,:12222m P l x y =-=-+．。

高考数学复习专题解析几何理-人教版高三全册数学试题

某某省高安灰埠中学2016年高考数学复习专题解析几何理1.如图15所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．图15解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2， ∴a ＝2，b ＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2＋1（y ≤0），得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )．∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP ·AQ ＝0，即－2k2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分．2. 如图15所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．图15解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2， ∴a ＝2，b ＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得(k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2＋1（y ≤0），得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP ·AQ ＝0，即－2k2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分．3.设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为A ，上顶点为B .已知|AB |＝32|F 1F 2|. (1)求椭圆的离心率；(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB 为直径的圆经过点F 1，经过原点O 的直线l 与该圆相切，求直线l 的斜率．解：(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ，0)．由|AB |＝32|F 1F 2|，可得a 2＋b 2＝3c 2. 又b 2＝a 2－c 2，则c 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)由(1)知a 2＝2c 2，b 2＝c 2.故椭圆方程为x 22c 2＋y 2c2＝1.设P (x 0，y 0)．由F 1(－c ，0)，B (0，c )，有F 1P →＝(x 0＋c ，y 0)，F 1B →＝(c ，c )．由已知，有F 1P →·F 1B →＝0，即(x 0＋c )c ＋y 0c ＝0. 又c ≠0，故有x 0＋y 0＋c ＝0.① 又因为点P 在椭圆上，所以x 202c 2＋y 20c2＝1.②由①和②可得3x 20＋4cx 0＝0.而点P 不是椭圆的顶点，故x 0＝－43c .代入①得y 0＝c 3，即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4c 3，c 3.设圆的圆心为T (x 1，y 1)，则x 1＝－43c ＋02＝－23c ，y 1＝c 3＋c 2＝23c ，进而圆的半径r ＝（x 1－0）2＋（y 1－c ）2＝53c . 设直线l 的斜率为k ，依题意，直线l 的方程为y ＝kx .由l 与圆相切，可得|kx 1－y 1|k 2＋1＝r ，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c 3－2c 3k 2＋1＝53c ，整理得k 2－8k ＋1＝0，解得k ＝4±15，所以直线l 的斜率为4＋15或4－15.4.如图16，设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．(1)已知直线l 的斜率为k ，用a ，b ，k 表示点P 的坐标；(2)若过原点O 的直线l 1与l 垂直，证明：点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b.解：(1)设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (k <0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b2＝1，消去y 得(b 2＋a 2k 2)x 2＋2a 2kmx＋a 2m 2－a 2b 2＝0.由于l 与C 只有一个公共点，故Δ＝0，即b 2－m 2＋a 2k 2＝0，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2kmb 2＋a 2k 2，b 2m b 2＋a 2k 2. 又点P 在第一象限，故点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2k b 2＋a 2k2，b 2m b 2＋a 2k 2. (2)由于直线l 1过原点O 且与l 垂直，故直线l 1的方程为x ＋ky ＝0，所以点P 到直线l 1的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2k b 2＋a 2k2＋b 2k b 2＋a 2k 21＋k2，整理得d ＝a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2.因为a 2k 2＋b 2k2≥2ab ，所以a 2－b 2b 2＋a 2＋a 2k 2＋b 2k2≤a 2－b 2b 2＋a 2＋2ab＝a －b ，当且仅当k 2＝b a时等号成立．所以，点P 到直线l 1的距离的最大值为a －b .5.如图14所示，设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，|F 1F 2||DF 1|＝22，△DF 1F 2的面积为22. (1)求椭圆的标准方程；(2)设圆心在y 轴上的圆与椭圆在x 轴的上方有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径．解：(1)设F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝a 2－b 2.由|F 1F 1||DF 1|＝22得|DF 1|＝|F 1F 2|22＝22c . 从而S △DF 1F 2＝12|DF 1||F 1F 2|＝22c 2＝22，故c ＝1.从而|DF 1|＝22，由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2＝|DF 1|2＋|F 1F 2|2＝92，因此|DF 2|＝322，所以2a ＝|DF 1|＋|DF 2|＝22，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝1. 因此，所求椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)如图所示，设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22＋y 2＝1相交，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是两个交点，y 1>0，y 2>0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性，易知，x 2＝－x 1，y 1＝y 2，|P 1P 2|＝2|x 1|.由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1P 1＝(x 1＋1，y 1)，F 2P 2＝(－x 1－1，y 1)．再由F 1P 1⊥F 2P 2得－(x 1＋1)2＋y 21＝0.由椭圆方程得1－x 212＝(x 1＋1)2，即3x 21＋4x 1＝0，解得x 1＝－43或x 1＝0.当x 1＝0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在．当x 1＝－43时，过P 1，P 2分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C .由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，知CP 1⊥CP 2.又|CP 1|＝|CP 2|，故圆C 的半径|CP 1|＝22|P 1P 2|＝2|x 1|＝423.6. 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )A.433 B.233C ．3D ．2 A [解析] 设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，r 1>r 2，椭圆的长半轴长为a 1，双曲线的实半轴长为a 2，椭圆、双曲线的离心率分别为e 1，e 2.则由椭圆、双曲线的定义，得r 1＋r 2＝2a 1，r 1－r 2＝2a 2，平方得4a 21＝r 21＋r 22＋2r 1r 2，4a 22＝r 21－2r 1r 2＋r 22.又由余弦定理得4c 2＝r 21＋r 22－r 1r 2，消去r 1r 2，得a 21＋3a 22＝4c 2，即1e 21＋3e 22＝4.所以由柯西不等式得⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋1e 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 1＋13×3e 22≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 21＋3e 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝163. 所以1e 1＋1e 2≤433.故选A.7. 设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________．11.x 23－y 212＝1 y ＝±2x [解析] 设双曲线C 的方程为y 24－x 2＝λ，将(2，2)代入得224－22＝－3＝λ，∴双曲线C 的方程为x 23－y 212＝1.令y 24－x 2＝0得渐近线方程为y ＝±2x .8.已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1＝( )A.14B.13C.24D.23A [解析] 根据题意，|F 1A |－|F 2A |＝2a ，因为|F 1A |＝2|F 2A |，所以|F 2A |＝2a ，|F 1A |＝4a .又因为双曲线的离心率e ＝ca＝2，所以c ＝2a ，|F 1F 2|＝2c ＝4a ，所以在△AF 1F 2中，根据余弦定理可得cos ∠AF 2F 1＝|F 1F 2|2＋|F 2A |2－|F 1A |22|F 1F 2|·|F 2A |＝16a 2＋4a 2－16a 22×4a ×2a ＝14.9.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率．(2)如图16，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．图16解：方法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5. (2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a .又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－mk，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m2＋k .由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8，即m 2＝4||4－k 2＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)．又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x得y 1＝2t 1－2m ，同理得y 2＝－2t1＋2m. 设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t ，0)．由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8.所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a2＝1得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0. 因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0, 即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法三：(1)同方法一．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0，因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k2，又因为△OAB 的面积为8，所以12 |OA |·|OB |· sin ∠AOB ＝8，又易知sin ∠AOB ＝45，所以25x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0. 因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.10. 若实数k 满足0<k <9，则曲线x 225－y 29－k ＝1与曲线x 225－k －y 29＝1的( )A ．焦距相等B ．实半轴长相等C ．虚半轴长相等D ．离心率相等4．A [解析] 本题考查双曲线的几何性质，注意利用基本量的关系进行求解． ∵0<k <9，∴9－k >0，25－k >0. 对于双曲线x 225－y 29－k ＝1，其焦距为225＋9－k ＝234－k ；对于双曲线x 225－k －y 29＝1，其焦距为225－k ＋9＝234－k .所以焦距相等．11.如图17，O 为坐标原点，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e 1；双曲线C 2：x 2a 2－y 2b 2＝1的左、右焦点分别为F 3，F 4，离心率为e 2.已知e 1e 2＝32，且|F 2F 4|＝3－1.(1)求C 1，C 2的方程；(2)过F 1作C 1的不垂直于y 轴的弦AB ，M 为AB 的中点．当直线OM 与C 2交于P ，Q 两点时，求四边形APBQ 面积的最小值．解： (1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b ，0)，F 4(3b ，0)，于是3b －b ＝|F 2F 4|＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 1x ＝my －1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0. 易知此方程的判别式大于0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根，所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. 因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2m 2＋2，m m 2＋2，故直线PQ 的斜率为－m 2，PQ 的方程为y ＝－m2x ，即mx ＋2y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m 2x ，x 22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m2，从而|PQ |＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m2.设点A 到直线PQ 的距离为d ，则点B 到直线PQ 的距离也为d ，所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx 1＋2y 1)(mx 2＋2y 2)<0，于是|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|＝|mx 1＋2y 1－mx 2－2y 2|，从而2d ＝（m 2＋2）|y 1－y 2|m 2＋4. 又因为|y 1－y 2|＝（y 1＋y 2）2－4y 1y 2＝22·1＋m 2m 2＋2，所以2d ＝22·1＋m2m 2＋4. 故四边形APBQ 的面积S ＝12|PQ |·2d ＝22·1＋m22－m 2＝22·－1＋32－m2.而0<2－m 2≤2，故当m ＝0时，S 取最小值2. 综上所述，四边形APBQ 面积的最小值为2.12.如图17所示，已知双曲线C ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的右焦点为F ，点A ，B 分别在C 的两条渐近线上，AF ⊥x 轴，AB ⊥OB ，BF ∥OA (O 为坐标原点)．图17(1)求双曲线C 的方程；(2)过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0xa 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，|MF ||NF |恒为定值，并求此定值．解：(1)设F (c ，0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1.由题意，直线OB 的方程为y ＝－1a x ，直线BF 的方程为y ＝1a (x －c )，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，－c 2a .又直线OA 的方程为y ＝1ax ，则A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，c a ，所以k AB ＝c a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 2a c －c 2＝3a .又因为AB ⊥OB ，所以3a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝－1，解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由(1)知a ＝3，则直线l 的方程为x 0x3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0(y 0≠0)．因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，2x 0－33y 0，直线l 与直线x ＝32的交点为N 32，32x 0－33y 0，则|MF |2|NF |2＝（2x 0－3）2（3y 0）214＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 0－32（3y 0）2＝（2x 0－3）29y 204＋94（x 0－2）2＝ 43·（2x 0－3）23y 20＋3（x 0－2）2. 又P (x 0，y 0)是C 上一点，则x 203－y 20＝1，代入上式得|MF |2|NF |2＝43·（2x 0－3）2x 20－3＋3（x 0－2）2＝43·（2x 0－3）24x 20－12x 0＋9＝43，所以|MF ||NF |＝23＝233，为定值．13. 已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A. 3 B ．3 C.3m D ．3mA [解析] 双曲线的一条渐近线的方程为x ＋my ＝0.根据双曲线方程得a 2＝3m ，b 2＝3，所以c ＝3m ＋3，双曲线的右焦点坐标为(3m ＋3，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为|3m ＋3|1＋m＝ 3.14.已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为( ) A. x ±2y ＝0 B. 2x ±y ＝0 C. x ±2y ＝0 D. 2x ±y ＝0．A [解析] 椭圆C 1的离心率e 1＝a 2－b 2a ，双曲线C 2的离心率e 2＝a 2＋b 2a .由e 1e 2＝a 2－b 2a ·a 2＋b 2a＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝12，所以b a ＝22，所以双曲线C 2的渐近线方程是y ＝±22x .故选A.15. 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 A [解析] 由题意知，双曲线的渐近线为y ＝±ba x ，∴b a＝2.∵双曲线的左焦点(－c ，0)在直线l 上，∴0＝－2c ＋10，∴c ＝5.又∵a 2＋b 2＝c 2，∴a 2＝5，b 2＝20，∴双曲线的方程为x 25－y 220＝1.16．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m ，0)满足|PA |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．.52 [解析] 双曲线的渐近线为y ＝±bax ，渐近线与直线x －3y ＋m ＝0的交点为A ⎝⎛⎭⎪⎫－am a ＋3b ，a ＋3b ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3b ，a －3b .设AB 的中点为D ，由|PA |＝|PB |知AB与DP 垂直，则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2m （a ＋3b ）（a －3b ），－3b 2m （a ＋3b ）（a －3b ），k DP＝－3，解得a 2＝4b 2，故该双曲线的离心率是52. 17.设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，|PF 1|·|PF 2|＝94ab ，则该双曲线的离心率为( )A.43B.53C.94D ．3 B [解析] 不妨设P 为双曲线右支上一点，根据双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2|＝2a ，联立|PF 1|＋|PF 2|＝3b ，平方相减得|PF 1|·|PF 2|＝9b 2－4a 24，则由题设条件，得9b 2－4a 24＝94ab ，整理得b a ＝43，∴e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫432＝53.18.曲线y ＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．y ＝－5x ＋3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e－5x，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y ＝－5x＋3.19. 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )A.12B.23C.34D.43D [解析] 因为抛物线C ：y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，且点A (－2，3)在准线上，所以p＝4.设直线AB 的方程为x ＋2＝m (y －3)，与抛物线方程y 2＝8x 联立得到y 2－8my ＋24m ＋16＝0，由题易知Δ＝0，解得m ＝－12(舍)或者m ＝2，这时B 点的坐标为(8，8)，而焦点F 的坐标为(2，0)，故直线BF 的斜率k BF ＝8－08－2＝43.20. 已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72 B ．3 C.52D ．2 B [解析] 由题知F (2，0)，设P (－2，t )，Q (x 0，y 0)，则FP ＝(－4，t )，FQ →＝(x 0－2，y 0)，由FP ＝4FQ ，得－4＝4(x 0－2)，解得x 0＝1，根据抛物线定义得|QF |＝x 0＋2＝3.21. 如图14，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1＞0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2＞0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．图14(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点，记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．解：(1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1，A 2B 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1. 故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2，所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，因此S 1S 2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2. 又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2|A 2B 2→|知，|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2，故S 1S 2＝p 21p 22. 22.在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值X 围．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0.(2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.①当k ＝0时，y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14.故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. 当k ≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③(i)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12.即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点．故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12或－12≤k <0.即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点．当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．故当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点．(iii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0<0，由②③解得－1<k <－12或0<k <12.即当k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2有一个公共点，故此时直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．综上可知，当k ∈()－∞，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞∪{0}时，直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点；当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与轨迹C 恰好有两个公共点；当k ∈⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，直线l 与轨迹C 恰好有三个公共点．23. 如图14，正方形ABCD 和正方形DEFG 的边长分别为a ，b (a ＜b )，原点O 为AD 的中点，抛物线y 2＝2px (p ＞0)经过C ，F 两点，则b a＝________．1＋ 2 [解析] 依题意可得C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，－a ，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2＋b ，b ，代入抛物线方程得a ＝p ，b 2＝2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋b ，化简得b 2－2ab －a 2＝0，即 b a 2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －1＝0，解得ba ＝1＋ 2.24.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.25. 设F 为抛物线C ：y 2＝3x 的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( )A.334 B.938 C.6332 D.94D [解析] 抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，则过点F 且倾斜角为30°的直线方程为y ＝33⎝ ⎛⎭⎪⎫x －34，即x ＝3y ＋34，代入抛物线方程得y 2－3 3y －94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝3 3，y 1y 2＝－94，则S △OAB ＝12|OF ||y 1－y 2|＝12×34×（33）2－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＝94.26.已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有|FA |＝|FD |.当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形．(1)求C 的方程．(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E . ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标．②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0. 设D (t ，0)(t >0)，则FD 的中点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋2t 4，0.因为|FA |＝|FD |，由抛物线的定义知3＋p 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －p 2，解得t ＝3＋p 或t ＝－3(舍去)．由p ＋2t4＝3，解得p ＝2，所以抛物线C 的方程为y 2＝4x . (2)①证明：由(1)知F (1，0)．设A (x 0，y 0)(x 0y 0≠0)，D (x D ，0)(x D >0)．因为|FA |＝|FD |，则|x D －1|＝x 0＋1，由x D >0得x D ＝x 0＋2，故D (x 0＋2，0)．故直线AB 的斜率k AB ＝－y 02.因为直线l 1和直线AB 平行，设直线l 1的方程为y ＝－y 02x ＋b ，代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8b y 0＝0，由题意Δ＝64y 20＋32b y 0＝0，得b ＝－2y 0.设E (x E ，y E )，则y E ＝－4y 0，x E ＝4y 20.当y 2≠4时，k AE ＝y E －y 0x E －x 0＝－4y 0＋y 04y 20－y 204＝4y 0y 20－4，可得直线AE 的方程为y －y 0＝4y 0y 20－4(x －x 0)，由y 20＝4x 0，整理可得y ＝4y 0y 20－4(x －1)，直线AE 恒过点F (1，0)．当y 20＝4时，直线AE 的方程为x ＝1，过点F (1，0)．所以直线AE 过定点F (1，0)． ②由①知，直线AE 过焦点F (1，0)，所以|AE |＝|AF |＋|FE |＝(x 0＋1)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x＋1＝x 0＋1x 0＋2.设直线AE 的方程为x ＝my ＋1，因为点A (x 0，y 0)在直线AE 上，故m ＝x 0－1y 0. 设B (x 1，y 1)．直线AB 的方程为y －y 0＝－y 02(x －x 0)，由y 0≠0，得x ＝－2y 0y ＋2＋x 0.代入抛物线方程得y 2＋8y 0y －8－4x 0＝0，所以y 0＋y 1＝－8y 0，可求得y 1＝－y 0－8y 0，x 1＝4x 0＋x 0＋4.所以点B 到直线AE 的距离为d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4x 0＋x 0＋4＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋8y 0－11＋m2＝4（x 0＋1）x 0＝4⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0，则△ABE 的面积S ＝12×4⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋1x 0x 0＋1x 0＋2≥16，当且仅当1x 0＝x 0，即x 0＝1时，等号成立．所以△ABE 的面积的最小值为16.27. 如图15所示，曲线C 由上半椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0，y ≥0)和部分抛物线C 2：y＝－x 2＋1(y ≤0)连接而成，C 1与C 2的公共点为A ，B ，其中C 1的离心率为32. (1)求a ，b 的值；(2)过点B 的直线l 与C 1，C 2分别交于点P ，Q (均异于点A ，B )，若AP ⊥AQ ，求直线l 的方程．图15解：(1)在C 1，C 2的方程中，令y ＝0，可得b ＝1，且A (－1，0)，B (1，0)是上半椭圆C 1的左、右顶点．设C 1的半焦距为c ，由c a ＝32及a 2－c 2＝b 2＝1得a ＝2， ∴a ＝2，b ＝1.(2)方法一：由(1)知，上半椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1(y ≥0)．易知，直线l 与x 轴不重合也不垂直，设其方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，代入C 1的方程，整理得 (k 2＋4)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0.(*) 设点P 的坐标为(x P ，y P )，∵直线l 过点B ，∴x ＝1是方程(*)的一个根．由求根公式，得x P ＝k 2－4k 2＋4，从而y P ＝－8kk 2＋4，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k 2－4k 2＋4，－8k k 2＋4. 同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1）（k ≠0），y ＝－x 2＋1（y ≤0），得点Q 的坐标为(－k －1，－k 2－2k )． ∴AP →＝2k k 2＋4(k ，－4)，AQ →＝－k (1，k ＋2)．∵AP ⊥AQ ，∴AP ·AQ ＝0，即－2k2k 2＋4[k －4(k ＋2)]＝0，∵k ≠0，∴k －4(k ＋2)＝0，解得k ＝－83.经检验，k ＝－83符合题意，故直线l 的方程为y ＝－83(x －1)．方法二：若设直线l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)，比照方法一给分．28.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，直线y ＝4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且|QF |＝54|PQ |.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，若AB 的垂直平分线l ′与C 相交于M ，N 两点，且A ，M ，B ，N 四点在同一圆上，求l 的方程．解：(1)设Q (x 0，4)，代入y 2＝2px ，得x 0＝8p，所以|PQ |＝8p ，|QF |＝p 2＋x 0＝p 2＋8p.由题设得p 2＋8p ＝54×8p，解得p ＝－2(舍去)或p ＝2，所以C 的方程为y 2＝4x .(2)依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)．代入y 2＝4x ，得y 2－4my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.故线段的AB 的中点为D (2m 2＋1，2m )， |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2|＝4(m 2＋1)．又直线l ′的斜率为－m ，所以l ′的方程为x ＝－1my ＋2m 2＋3.将上式代入y 2＝4x ，并整理得y 2＋4my －4(2m 2＋3)＝0.设M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)，则y 3＋y 4＝－4m，y 3y 4＝－4(2m 2＋3)．故线段MN 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋2m 2＋3，－2m ，|MN |＝1＋1m 2|y 3－y 4|＝4（m 2＋1）2m 2＋1m2. 由于线段MN 垂直平分线段AB ，故A ，M ，B ，N 四点在同一圆上等价于|AE |＝|BE |＝12|MN |，从而14|AB |2＋|DE |2＝14|MN |2，即4(m 2＋1)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋2m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2m 2＋22＝4（m 2＋1）2（2m 2＋1）m4，化简得m 2－1＝0，解得m ＝1或m ＝－1，故所求直线l 的方程为x －y －1＝0或x ＋y －1＝0.29. 如图14，已知两条抛物线E 1：y 2＝2p 1x (p 1＞0)和E 2：y 2＝2p 2x (p 2＞0)，过原点O 的两条直线l 1和l 2，l 1与E 1，E 2分别交于A 1，A 2两点，l 2与E 1，E 2分别交于B 1，B 2两点．图14(1)证明：A 1B 1∥A 2B 2；(2)过O 作直线l (异于l 1，l 2)与E 1，E 2分别交于C 1，C 2两点，记△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的面积分别为S 1与S 2，求S 1S 2的值．解：(1)证明：设直线l 1，l 2的方程分别为y ＝k 1x ，y ＝k 2x (k 1，k 2≠0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 1x ，得A 1⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 21，2p 1k 1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 1x ，y 2＝2p 2x ，得A 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 21，2p 2k 1. 同理可得B 1⎝⎛⎭⎪⎫2p 1k 22，2p 1k 2，B 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 2k 22，2p 2k 2. 所以A 1B 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2p 1k 22－2p 1k 21，2p 1k 2－2p 1k 1＝2p 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1，A 2B 2→＝⎝⎛⎭⎪⎫2p 2k 22－2p 2k 21，2p 2k 2－2p 2k 1＝2p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 22－1k 21，1k 2－1k 1. 故A 1B 1→＝p 1p 2A 2B 2→，所以A 1B 1∥A 2B 2(2)由(1)知A 1B 1∥A 2B 2，同理可得B 1C 1∥B 2C 2，C 1A 1∥C 2A 2，所以△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，因此S 1S 2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫|A 1B 1→||A 2B 2→|2. 又由(1)中的A 1B 1→＝p 1p 2|A 2B 2→|知，|A 1B 1→||A 2B 2→|＝p 1p 2，故S 1S 2＝p 21p 22. 30. 已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4. (1)求椭圆C 的离心率；(2)设O 为原点，若点A 在椭圆C 上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，试判断直线AB 与圆x 2＋y 2＝2的位置关系，并证明你的结论．．解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1.所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2. 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22. (2)直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．证明如下：设点A ，B 的坐标分别为(x 0，y 0)，(t ，2)，其中x 0≠0.因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0，即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.当x 0＝t 时，y 0＝－t 22，代入椭圆C 的方程，得t ＝±2，故直线AB 的方程为x ＝± 2.圆心O 到直线AB 的距离d ＝2，此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．当x 0≠t 时，直线AB 的方程为y －2＝y 0－2x 0－t(x －t )，即(y 0－2)x －(x 0－t )y ＋2x 0－ty 0＝0. 圆心O 到直线AB 的距离d ＝|2x 0－ty 0|（y 0－2）2＋（x 0－t ）2.又x 20＋2y 20＝4，t ＝－2y 0x 0，故d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x 0＋2y 20x 0x 20＋y 20＋4y 2x 20＋4＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4＋x 20x 0x 40＋8x 20＋162x 20＝ 2.此时直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切．31.已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别为l 1：y ＝2x ，l 2：y ＝－2x .(1)求双曲线E 的离心率．(2)如图16，O 为坐标原点，动直线l 分别交直线l 1，l 2于A ，B 两点(A ，B 分别在第一、四象限)，且△OAB 的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l 有且只有一个公共点的双曲线E ？若存在，求出双曲线E 的方程；若不存在，说明理由．图16解：方法一：(1)因为双曲线E 的渐近线分别为y ＝2x ，y ＝－2x ，所以b a＝2，所以c 2－a 2a＝2，故c ＝5a ，从而双曲线E 的离心率e ＝ca＝ 5. (2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 与x 轴相交于点C .当l ⊥x 轴时，若直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点，则|OC |＝a ，|AB |＝4a .又因为△OAB 的面积为8，所以12|OC |·|AB |＝8，因此12a ·4a ＝8，解得a ＝2，此时双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.若存在满足条件的双曲线E ，则E 的方程只能为x 24－y 216＝1.以下证明：当直线l 不与x 轴垂直时，双曲线E ：x 24－y 216＝1也满足条件．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，依题意，得k >2或k <－2，则C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－m k，0.记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x 得y 1＝2m 2－k ，同理得y 2＝2m 2＋k .由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－m k ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2m2－k －2m 2＋k ＝8，即m 2＝4||4－k 2＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 216＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0.因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16)＝－16(4k 2－m 2－16)．又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点．因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x 得y 1＝2t 1－2m ，同理得y 2＝－2t 1＋2m .设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t ，0)．由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8.所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a2＝1得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0. 因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0，即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0, 即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0，即(1－4m 2)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法三：(1)同方法一．(2)当直线l 不与x 轴垂直时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得k >2或k <－2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，4x 2－y 2＝0得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2＝0，因为4－k 2<0，Δ>0，所以x 1x 2＝－m 24－k2，又因为△OAB 的面积为8，所以12 |OA |·|OB |· sin ∠AOB ＝8，又易知sin ∠AOB ＝45，所以25x 21＋y 21·x 22＋y 22＝8，化简得x 1x 2＝4.所以－m 24－k2＝4，即m 2＝4(k 2－4)．由(1)得双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2－y 24a2＝1得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－4a 2＝0. 因为4－k 2<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋4a 2)＝0，即(k 2－4)(a 2－4)＝0，所以a 2＝4，所以双曲线E 的方程为x 24－y 216＝1.当l ⊥x 轴时，由△OAB 的面积等于8可得l ：x ＝2，又易知l ：x ＝2与双曲线E ：x 24－y 216＝1有且只有一个公共点．综上所述，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.32.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．33.在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (1，0)的距离比它到y 轴的距离多1.记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)设斜率为k 的直线l 过定点P (－2，1)，求直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k 的相应取值X 围．．解：(1)设点M (x ，y )，依题意得|MF |＝|x |＋1，即（x －1）2＋y 2＝|x |＋1，化简整理得y 2＝2(|x |＋x )．故点M 的轨迹C 的方程为y 2＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，0，x <0. (2)在点M 的轨迹C 中，记C 1：y 2＝4x ，C 2：y ＝0(x <0)．依题意，可设直线l 的方程为y －1＝k (x ＋2)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝k （x ＋2），y 2＝4x ，可得ky 2－4y ＋4(2k ＋1)＝0.① 当k ＝0时，y ＝1.把y ＝1代入轨迹C 的方程，得x ＝14. 故此时直线l ：y ＝1与轨迹C 恰好有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1. 当k ≠0时，方程①的判别式Δ＝－16(2k 2＋k －1)．②设直线l 与x 轴的交点为(x 0，0)，则由y －1＝k (x ＋2)，令y ＝0，得x 0＝－2k ＋1k.③ (i)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ<0，x 0<0，由②③解得k <－1或k >12. 即当k ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，直线l 与C 1没有公共点，与C 2有一个公共点．故此时直线l 与轨迹C 恰好有一个公共点．(ii)若⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，x 0<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 0≥0，由②③解得k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12或－12≤k <0. 即当k ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12时，直线l 与C 1只有一个公共点．当k ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0时，直线l 与C 1有两个公共点，与C 2没有公共点．。

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