二次根式的加减专题练习

二次根式的加减专题练习

（一）知识要点：

知识点1：同类二次根式

（Ⅰ）几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式，如x x 25,2223-和和这样的二次根式都是同类二次根式。

（Ⅱ）判断同类二次根式的方法：（1）首先将不是最简形式的二次根式化为最简二次根式以后，再看被开方数是否相同。（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关。

知识点2：合并同类二次根式的方法

合并同类二次根式的理论依据是逆用乘法对加法的分配律，合并同类二次根式，只把它们的系数相加，根指数和被开方数都不变，不是同类二次根式的不能合并。

知识点3：二次根式的加减法则

二次根式相加减先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并，合并的方法为系数相加，根式不变。

知识点4：二次根式的混合运算方法和顺序

运算方法是利用加、减、乘、除法则以及与多项式乘法类似法则进行混合运算。运算的顺序是先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。 知识点5：二次根式的加减法则与乘除法则的区别

乘除法中，系数相乘，被开方数相乘，与两根式是否是同类根式无关，加减法中，系数相加，被开方数不变而且两根式须是同类最简根式。

【典型例题】

例1. 下面各组里的二次根式是不是同类二次根式？说说你的理由。

（1）23,22,2

（2）232,18,8-- （3）,223 （4）53,32,2

解：（1）

23,22,2是同类二次根式 （2）∵

232,2318,228--=-= ∴是同类二次根式232,18,8-

- （3）223与不是同类二次根式

（4）53,32,2不是同类二次根式

例2. 计算

（1）2332332+-+

（2）10101540+-

（3）4832714

122+- 解：（1）2332332+-+＝ 243)223()3332(+-=++-

（2）10101540+-＝ 10251010105102=+⨯-

（3）4832714

122+-＝3914031239434=+- 注意：（3）中的39140不能写成39515

例3. 计算

（1）

6)35278(⨯- （2）)52)(103(-+

解：（1）

6)35278(⨯-＝215346356278(-=⨯-⨯

（2）)52)(103(-+＝52225525323--=-+-

例4. 计算

（1）)32)(32(-+ （2）2)533(+ （3）2)336(+

解：（1）)32)(32(-+＝4－3＝1

（2）2)533(+＝9+5185459518+=⨯+

（3）2)336(+＝336633933636+=⨯++

例5. 计算

（1）a a a a 124693

2-+ （a>0） （2）)12()41(b b a b a a --+ （a>0，b>0）

解：（1）原式＝a a a a 3232=-+

（2）原式＝()()a b a b +--212

b a b a b a 321212+=+-

+=

例6. 若m n m n m ++--7)2(161和是同类根式，求m ，n 的值。

解：∵n m n m +=+24)2(16

⎩⎨⎧+=+=--∴m n m n m 7221

∴==⎧⎨⎩m n 52

例7. 已知：x ＝

的值求32,132--+x x 。

解：∵4)1(3222--=--x x x

∴当x ＝1434)113(,132-=-=--+=+原式时

例8. 已知的值

试求)1()1(,32,32x y y x y x +⋅+-=+=。

解：∵32,32-=+=y x

∴3

2)32)(32(3

2321

1-=-+-=+=x

3

2)32)(32(3

23211+=+-+=-=y

∴)

3232)(3232()1)(1(-+-+++=++x y y x

＝（4+241216)32(4)324)(322=-=-=-

例9. 不求近似值比较的大小

与321

352

--。

解：∵3

5)35)(35()

35(2352+=+-+=-

3

432)32)(32(3

2321+=+=+-+=-

又∵35+>34+

∴352->321

-

例10. 已知821

21

+-+-=x x y ,求代

数式)

(224y y

x x xy x xy y x y x y x +÷+++---的值。

解：由题意，得

8,21==y x )(224y y x x xy

x xy y x y x y x +÷+++--- ＝)()()(2)2)(2(2y x y x xy

y x x y x y

x y x y x +⨯++---+ ＝y x y y x +=-+2

将x

22522228218,21=+=+===代入原式y

例11. 是否存在正整数a ，b （a

解：存在1404=+b a ＝396

设,39m a =b ＝n 39

∴m+n ＝6

∵a ，b 为正整数，a

∴==⎧⎨⎩==⎧⎨⎩m n m n 11

221524， ∴a 1＝39，b 1＝975；a 2＝156，b 2＝624.