2017-2018年上海七宝中学高三下数学三模

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上海市七宝中学高三数学5月(三模)试题文沪教版

上海市七宝中学高三数学5月（三模）试题文沪教版一、填空题（本题满分56分）本大题共有14题，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．１．i 为虚数单位，复数11i-的虚部是＿＿＿＿． 2．若抛物线2:2C y px =的焦点在直线20x y +-=上，则C 的准线方程为_____．3．设函数2log , 0,()4, 0,x x x f x x >⎧=⎨⎩≤ 若函数()()g x f x k =-存在两个零点，则实数k 的取4.5．若θ67人有够自理”，-1代表“生活不能自理”.则随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是_____（用分数作答）.8．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是_________.9．已知函数()2xf x =,点P(,a b )在函数1(0)y x x=>图象上，那么()()f a f b ⋅ 的最小值是____________.10．在平面上，12AB AB ⊥，12||1,||2MB MB ==,12AP AB AB =+.若||1MP <，则||MA 的取值范围是_____. 11．函数()(21)(2)xxf x a -=--的图象关于1x =对称，则()f x 的最大值为___.12．对于任意正整数，定义“n 的双阶乘n!!”如下：对于n 是偶数时，开始结束输入n 输出n i =0n 是奇数n =3n +1i<3i =i +12n n =是否n!!=n·(n －2)·(n －4)……6×4×2；对于n 是奇数时，n!!=n·(n －2)·(n －4)……5×3×1．现有如下四个命题：①(2013!!)·(2014!!)=2014!；②2014!!=21007·1007!；③2014!!的个位数是0；④2015!!的个位数是5．正确的命题是________13．已知关于t 的一元二次方程),(0)(2)2(2R y x i y x xy t i t ∈=-++++.当方程有实根时，则点),(y x 的轨迹方程为______. 14. 已知向量序列：12,,,n a a a 满足如下条件：1||4||2a d ==，121a d ⋅=-且1n n a a d --=（2,3,4,n =）.若10k a a ⋅=，则k =___；12||,||,,||n a a a 中第___项最小.二、选择题（本题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 5分，否则一律得零分． 15．下列函数中周期为π且图象关于直线3x π=对称的函数是（）（Ａ）（Ａ）2sin()23x y π=+ （Ｂ）2sin(2)6y x π=-（Ｃ）2sin(2)6y x π=+（Ｄ）2sin()23x y π=- 16．若,x y 满足约束条件,1,3 3.x y y x x y +⎧⎪+⎨⎪+⎩≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是（）（A ）1- （B ）0 （C ）3 （D ）617．棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）（A ）143 （B ）4 （C ）103（D ）318．若直线4ax by +=和圆224x y +=没有公共点，则过点(,)P a b 的直线l 与椭圆22194x y +=的公共点（）（A ）至少有一个（B ）有两个（C ）只有一个（D ）不存在三、解答题解答题：（本题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定侧视图俯视图主视图区域（对应的题号）内写出必要的步骤． 19．（本题12分）圆形广场的有南北两个大门在中轴线上，东、西各有一栋建筑物与北门的距离分别为30米和40米，且以北门为顶点（视大门和建筑物为点）的角为060，求广场的直径（保留两位小数）.20．（本题14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.设底面直径和高都是4的圆柱的内切球为O . （1）求球O 的体积和表面积；（2）AB 是与底面距离为1的平面和球的截面圆M内的一条弦，其长为AB 两点间的球面距离.21．（本题14分）本题共有3小题，第1小题满分3 分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.设椭圆()222210y x a b a b+=>>两顶点(,0),(,0)A b B b -焦距为2，过点(4,0)P 的直线l 与椭圆交于,C D 两点．（1）求椭圆的方程；（2）求线段,C D 中点Q 的轨迹方程；（3）若直线AC 的斜率为1，在椭圆上求一点M ，使三角形22．（本题16分）本题共有3小题，第1小题满分3 分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.数列}{n a 满足12)1(1-=-++n a a n n n ，其中11a =，n S 是n a 的前n 和. （1）求23456,,,,a a a a a ；（2）求n a ；（3）求n S .23．（本题18分）本题共有3小题，第1小题满分4 分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()(1|1|)f x a x =--，a 为常数，且1a >.DCBA（1）求()f x 的最大值；（2）证明函数()f x 的图象关于直线1x =对称；（3）当2a =时，讨论方程(())f f x m =解的个数.文科答案 1、12；2、x=-2；3、(0,1]；4、5；5、12k πθπ=+或5()12k k Z πθπ=+∈； 6、4；7、287/300；8、直线；9、4；10、||MA ∈；11、1/4； 12、．①②③④；13、22(1)(1)2x y -+-=；14、9；3. BDBB 19．设南、北门分别为点A 、B ，东、西建筑物分别为点C 、D.在BCD 中，2220304023040cos601300CD =+-⋅⋅⋅=，CD =分由于AB 为BCD 的外接圆直径，所以sin 60CD AB ===41.63≈. 所以广场直径约为41.63米. 12分DCBA20．（1）3432233V π=⋅π⋅=球，…… 3分 24216S =π⋅=π表面积 …… 6分（2）23AOB π∠=， …… 12分所以AB 两点间的球面距离为43π. …… 14分21．（1）椭圆方程为22154y x +=. …… 3分（2）设11(,)C x y ，22(,)D x y ，(,)Q x y ，则2211154y x +=①，2222154y x +=②①-②得 21212121()()5()()4y y y y x x x x -⋅+=--⋅+， …… 5分因21212121,4y y y y y y x x x x x x-+==--+，所以544y y x x ⋅=--，即2252040x x y -+= （01x ≤≤）. ……8分用代入法求解酌情给分。

上海市浦东新区高考2017-2018学年数学三模试卷(文科) Word版含解析

2017-2018学年上海市浦东新区高考数学三模试卷（文科）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．抛物线的准线方程为______．2．计算：=______．3．已知||=2， |=3，且、的夹角为，则|3﹣2|=______．4．在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=______．5．关于x方程=0的解为______．6．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为______．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=______．8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为______．（结果用数值表示）9．已知，则目标函数z=20x+10y的最大值为______．10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的．已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为______．11．直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围______．12．已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），关于x 的函数g（x）=f（x）﹣k n x的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+…+k n2）=______．13．函数f（x）=3|x+5|﹣2|x+3|，数列a1，a2，…，a n…，满足a n=f（a n），n∈N*，若要+1使a1，a2，…a n，…成等差数列．则a1的取值范围______．14．设集合P={1，2，…，6}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：______．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.15．若a、b∈R，则“a＜b＜0”是“a2＞b2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件16．设P为双曲线﹣y2=1（a＞0）的上一点，∠F1PF2=，（F1、F2为左、右焦点），则△F1PF2的面积等于（）A．B．C．D．17．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）A．B．2 C．4 D．18．设{a n}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{a n}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{a n}为“封闭等比数列”．给出以下命题：（1）a1=3，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（2）a1=，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（3）若{a n}，{b n}都是“封闭等比数列”，则{a n•b n}，{a n+b n}也都是“封闭等比数列”；（4）不存在{a n}，使{a n}和{a n2}都是“封闭等比数列”；以上正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，证明：EF∥平面PAC；（2）求三棱锥E﹣PAD的体积．20．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．21．已知函数f（x）=ax2﹣+1，g（x）=x+．（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E： +y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G： +y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G只有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G只有一个公共点，求|k1k2|的值；（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y1），且椭圆E上的点M（x0，y2）（y1y2＞0）求证：AM⊥BC．23．已知无穷数列{a n}满足a n=p•a n+（n∈N*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．+1（1）若p=，q=2，且a3=，求a1的值；（2）若a1=5，p•q=0，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若a1=2，q=1，求证：当p∈（，）时，数列{a n}是单调递减数列．2016年上海市浦东新区高考数学三模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题，满分56分）只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．抛物线的准线方程为y=1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】化抛物线方程为标准式，求得p，则直线方程可求．【解答】解：由，得x2=﹣4y，∴2p=4，即p=2，则抛物线的准线方程为y==1．故答案为：y=1．2．计算：=1．【考点】极限及其运算．【分析】先由组合数计算公式，把转化为，进而简化为，由此能求出结果．【解答】解：===1．故答案为：1．3．已知||=2， |=3，且、的夹角为，则|3﹣2|=6．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的公式进行求解即可．【解答】解：∵||=2， |=3，且、的夹角为，∴•=||||cos=2×=3，则|3﹣2|2=9||2﹣12•+4||2=9×4﹣12×3+4×9=36﹣36+36=36，则|3﹣2|=6，故答案为：6．4．在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】求出复数z+1，然后求解复数的模．【解答】解：在复平面内，点A（﹣2，1）对应的复数z，则|z+1|=|﹣2+i+1|=|﹣1+i|==．故答案为：．5．关于x方程=0的解为x=或x=，k∈Z．【考点】三角函数中的恒等变换应用；二阶矩阵．【分析】由已知可得sin2x=．求出2x的值，则原方程的解可求．【解答】解：由=0，得4sinxcosx﹣1=0，即sin2x=．∴2x=或x=，则x=或x=，k∈Z．故答案为：x=或x=，k∈Z．6．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3=0}，B={x|ax﹣1=0}，若B⊆A，则由a的值构成的集合为{﹣1，0， } ．【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】先化简集合A，利用B⊆A，求出a的取值，注意要分类讨论．【解答】解：∵A={x|x2﹣2x﹣3=0}={﹣1，3}，∴若B⊆A，则若a=0，即B=∅时，满足条件B⊆A．若a≠0，则B={x|ax﹣1=0}={}，要使B⊆A，则=﹣1或=3，解得a=﹣1，或a=．综上a=0或a=﹣1或a=，∴由a的值构成的集合为{﹣1，0， }．故答案为：{﹣1，0， }．7．已知公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，若=3，则=．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项，由=3得到首项和公差的关系，代入等差数列的通项公式可得．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，则，由=3，得，即d=4a1，∴=．故答案为：．8．某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中，男、女生都有的概率为．（结果用数值表示）【考点】等可能事件的概率．【分析】根据题意，首先计算从2名男生和4名女生中选出4人数目，再分析选出的4人中只有男生、女生的数目，由排除法可得男、女生都有的情况数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案．【解答】解：根据题意，从2名男生和4名女生中选出4人，有C64=15种取法，其中全部为女生的有C44=1种情况，没有全部为男生的情况，则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有15﹣1=14种，则其概率为；故答案为．9．已知，则目标函数z=20x+10y的最大值为100．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合求得目标函数的最大值．【解答】解：由约束条件作出可行域如图（图中实点），化目标函数z=20x+10y为y=﹣2x+，由图可知，当直线y=﹣2x+过点A（5，0）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为100．故答案为：100．10．如图所示的多面体是经过正四棱柱底面顶点B作截面A1BC1D1后形成的．已知AB=1，A1A=C1C=D，D1B与底面ABCD所成的角为，则这个多面体的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意画出图形，连接BD，BD1，可得∠，在底面正方形中，由AB=1，求得BD=，在Rt△D1DB中，解直角三角形求得DD1，求出直角梯形ADD1A1的面积，然后由棱锥的体积公式求得答案．【解答】解：如图，连接BD，BD1，则∠，在底面正方形中，由AB=1，得BD=，在Rt△D1DB中，由BD=，∠，求得，∴A1A=C1C=D=，则，∴多面体的体积为V=．故答案为：．11．直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，则k的取值范围{0}∪[，+∞）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】联立方程组消元，令方程无解或只有一解得出k的范围．【解答】解：把y=kx+1代入y2=2x得k2x2+（2k﹣2）x+1=0，（1）若k=0，则﹣2x+1=0，方程只有一解，故直线y=kx+1与抛物线y2=2x只有一个公共点，符合题意．（2）若k≠0，△=（2k﹣2）2﹣4k2=4﹣8k．∵直线y=kx+1与抛物线y2=2x至多有一个公共点，∴△=4﹣8k≤0，解得k．∴k或k=0．故答案为：{0}∪[，+∞）．12．已知函数f（x）=，若对于正数k n（n∈N*），关于x的函数g（x）=f（x）﹣k n x的零点个数恰好为2n+1个，则（k12+k22+k32+…+k n2）=．【考点】函数的图象；函数零点的判定定理；极限及其运算．【分析】画出函数f（x）=的图象，若g（x）=0，则f（x﹣2）=k n x，数形结合可得圆心（2n+1，0）到直线y=k n x的距离为1，进而得到答案．【解答】解：当0≤x＜2时，（x﹣1）2+y2=1，（y≥0）其图形是以（1，0）点为圆心以1为半径的上半圆，当x≥2时，函数f（x）=f（x﹣2）表示函数的周期为2，故函数f（x）=的图象如下：若g（x）=0，则f（x﹣2）=k n x，由于g（x）的零点个数为2n+1则直线y=k n x与第n+1个半圆相切，圆心（2n+1，0）到直线y=k n x的距离为1，即有k12+k22+k32+…+k n2=．∴（k12+k22+k32+…+k n2）=，故答案为：=f（a n），n∈N*，若要13．函数f（x）=3|x+5|﹣2|x+3|，数列a1，a2，…，a n…，满足a n+1使a1，a2，…a n，…成等差数列．则a1的取值范围{﹣9}∪[﹣3，+∞）．【考点】数列与函数的综合．【分析】由绝对值的意义可得f（x）的分段函数式，求得对任意n∈N*，a n﹣a n≥1．{a n}+1为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣3，再对a1讨论，①当a1＜﹣5时，②若﹣5≤a1＜﹣3，③若a1≥﹣3，结合函数式和等差数列的通项，即可得到结论．【解答】解：当x≥﹣3时，f（x）=3x+15﹣2x﹣6=x+9；当﹣5≤x＜﹣3时，f（x）=3x+15+2x+6=5x+21；当x＜﹣5时，f（x）=﹣3x﹣15+2x+6=﹣x﹣9．﹣a n=9；当a n≥﹣3时，a n+1﹣a n=4a n+21≥4×（﹣5）+21=1；当﹣5≤a n＜﹣3时，a n+1﹣a n=﹣2a n﹣9＞﹣2×（﹣5）﹣9=1．当a n＜﹣5时，a n+1∴对任意n∈N*，a n﹣a n≥1．+1即a n≥a n，即{a n}为无穷递增数列．+1又{a n}为等差数列，所以存在正数M，当n＞M时，a n≥﹣3，=f（a n）=a n+9，由于{a n}为等差数列，从而a n+1因此公差d=9．①当a1＜﹣5时，则a2=f（a1）=﹣a1﹣9，又a2=a1+d=a1+9，故﹣a1﹣9=a1+9，即a1=﹣9，从而a2=0，当n≥2时，由于{a n}为递增数列，故a n≥a2=0＞﹣3，=f（a n）=a n+9，而a2=a1+9，故当a1=﹣9时，{a n}为无穷等差数列，符合要求；∴a n+1②若﹣5≤a1＜﹣3，则a2=f（a1）=5a1+21，又a2=a1+d=a1+9，∴5a1+21=a1+9，得a1=﹣3，应舍去；=f（a n）=a n+9，从而{a n}为无穷等差数列，符合要求．③若a1≥﹣3，则由a n≥a1得到a n+1综上可知：a1的取值范围为{﹣9}∪[﹣3，+∞）．故答案为：{﹣9}∪[﹣3，+∞）．14．设集合P={1，2，…，6}，A，B是P的两个非空子集．则所有满足A中的最大数小于B中的最小数的集合对（A，B）的个数为：129．【考点】子集与真子集．【分析】设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A中必含元素k，另元素1，2，…，k﹣1，可在A中，B中必不含元素1，2，…，k；元素k+1，k+2，…，k可在B 中，但不能都不在B中．由此能求出a n，当n=6时，代值计算即可．【解答】解：设A中的最大数为k，其中1≤k≤n﹣1，整数n≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k ﹣1，可在A 中，故A 的个数为：C k ﹣10+C k ﹣11+C k ﹣12+…+C k ﹣1k ﹣1=2k ﹣1， B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：C n ﹣k 1+C n ﹣k 2+…+C n ﹣k n ﹣k =2n ﹣k ﹣1，从而集合对（A ，B ）的个数为2k ﹣1•（2n ﹣k ﹣1）=2n ﹣1﹣2k ﹣1，∴a n =（2n ﹣1﹣2k ﹣1）=（n ﹣1）•2n ﹣1﹣=（n ﹣2）•2n ﹣1+1．当n=6时，a 6=（6﹣2）×25+1=129 故答案为：129．二、选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分. 15．若a 、b ∈R ，则“a ＜b ＜0”是“a 2＞b 2”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等式的基本性质．【分析】利用不等式的性质判断出“a ＜b ＜0”则有“a 2＞b 2”，通过举反例得到“a 2＞b 2”成立推不出“a ＜b ＜0”成立，利用充要条件的有关定义得到结论．【解答】解：若“a ＜b ＜0”则有“a 2＞b 2”反之则不成立，例如a=﹣2，b=1满足“a 2＞b 2”但不满足“a ＜b ＜0” ∴“a ＜b ＜0”是“a 2＞b 2”的充分不必要条件，故选A ．16．设P 为双曲线﹣y 2=1（a ＞0）的上一点，∠F 1PF 2=，（F 1、F 2为左、右焦点），则△F 1PF 2的面积等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先利用双曲线的定义，得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，利用余弦定理求出|PF 1|•|PF 2|的值，结合三角形的面积公式即可求出△F 1PF 2的面积．【解答】解：∵双曲线方程﹣y 2=1（a ＞0），∴b=1，不妨设P 是双曲线的右支上的一个点，则由双曲线的定义，得|PF 1|﹣|PF 2|=2a ，∵，∠F 1PF 2=，∴4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2﹣2|PF 1|•|PF 2|cos =|PF 1|2+|PF 2|2+|PF 1|•|PF 2|=（|PF 1|﹣|PF 2|）2+3|PF 1|•|PF 2|，即4c2=4a2+3|PF1|•|PF2|，即3|PF1|•|PF2|=4c2﹣4a2=4b2=4，则|PF1|•|PF2|=，∴=|PF1|•|PF2|sin=××=，故选：C．17．若圆锥的侧面展开图是半径为2，中心角为的扇形，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为（）A．B．2 C．4 D．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【分析】求出圆锥的母线和底面半径，设截面在圆锥底面的轨迹AB=a，（0＜a≤2r），用a 表示出截面的面积，利用基本不等式求出截面的面积最大值．【解答】解：圆锥的母线长l=2，设圆锥的底面半径为r，则2πr=2×=．∴r=．设截面在圆锥底面的轨迹AB=a（0＜a≤）．则截面等腰三角形的高h==．∴截面面积S===≤=2．当且仅当即a=2时取等号．故选：B．18．设{a n}是公比为q（q≠1）的无穷等比数列，若{a n}中任意两项之积仍是该数列中的项，则称{a n}为“封闭等比数列”．给出以下命题：（1）a1=3，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（2）a1=，q=2，则{a n}是“封闭等比数列”；（3）若{a n}，{b n}都是“封闭等比数列”，则{a n•b n}，{a n+b n}也都是“封闭等比数列”；（4）不存在{a n}，使{a n}和{a n2}都是“封闭等比数列”；以上正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）求出，由a1•a2∉{a n}，知（1）错误；（2）由，推导出命题（2）正确；（3）不是“封闭等比数列”；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”．【解答】解：（1）∵{a n}是a1=3，q=2的等比数列，∴，由题意得a1•a2=3×6=18∉{a n}，故命题（1）错误；（2）∵，∴，故命题（2）正确；（3）若都为“封闭等比数列”，则不是“封闭等比数列”，故命题（3）错误；（4）若为“封闭等比数列”，则为“封闭等比数列”，故命题（4）错误．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须写出必要的步骤．19．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=1，AD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．（1）当点E为BC的中点时，证明：EF∥平面PAC；（2）求三棱锥E﹣PAD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结AC、EF，证明EF∥PC，利用直线与平面平行的判定定理证明EF∥平面PAC，（2）求出对面三角形EAD的面积，利用等体积法转化求解几何体的体积即可．【解答】解：（1）证明：连结AC、EF∵点E、F分别是边BC、PB的中点∴EF∥PC…．又EF⊄平面PAC，PC⊂平面PAC…∴当点E是BC的中点时，EF∥平面PAC…（2）∵PA⊥平面ABCD，且四边形ABCD为矩形．∴，…∴…20．如图，上海迪士尼乐园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为游客体验活动区．已知∠A=120°，AB、AC的长度均大于200米．设AP=x，AQ=y，且AP，AQ总长度为200米．（1）当x，y为何值时？游客体验活动区APQ的面积最大，并求最大面积；（2）当x，y为何值时？线段|PQ|最小，并求最小值．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知利用三角形面积公式，基本不等式可得，即可得解．（2）利用已知及余弦定理可得PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=（x﹣100）2+30000，根据二次函数的图象和性质即可解得线段|PQ|最小值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）因为：AP=x，AQ=y且x+y=200，…2分所以：．…4分当且仅当x=y=100时，等号成立．所以：当x=y=100米时，平方米．…6分（2）因为：PQ2=x2+y2﹣2xycos120°=x2+y2+xy…8分=x2+2+x=x2﹣200x+40000=（x﹣100）2+30000．…10分所以：当x=100米，线段米，此时，y=100米．…12分答：（1）当AP=AQ=100米时，游客体验活动区APQ的面积最大为平方米．（2）当AP=AQ=100米时，线段|PQ|最小为．…14分．21．已知函数f（x）=ax2﹣+1，g（x）=x+．（1）f（x）＞0在x∈[1，2）上恒成立，求a的取值范围；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，求a的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）把不等式f（x）＞0恒成立转化为ax2﹣+1＞0恒成立，分离参数a后得到a，求出不等式右边在[1，2）上的最大值得答案；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于f（x）min≥g（x）min在区间[1，2]上成立，利用单调性求出f（x）的最小值，再分段求出g（x）的最小值，列关于a的不等式组求得答案．【解答】解：（1）f（x）＞0⇔ax2﹣+1＞0⇒a在x∈[1，2）上恒成立，∵x∈[1，2），∴x2∈[1，4），∈[，），则∈[﹣2，），∴a，则a的取值范围是[）；（2）当a＞0时，对任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）恒成立，等价于f（x）min≥g（x）min在区间[1，2]上成立，当a＞0时，函数f（x）在[1，2]上单调递增，∴，，故①，或②或③．解①得，a∈∅；解②得，a∈∅；解③得1≤a≤4．综上，a的取值范围为[1，4]．22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E： +y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G： +y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G只有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G只有一个公共点，求|k1k2|的值；（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y1），且椭圆E上的点M（x0，y2）（y1y2＞0）求证：AM⊥BC．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）利用新定义，通过s＞2，0＜s＜2，分别求出s即可．（2）求出l1、l2的方程分别为、y=k2x+1，分别与椭圆方程联立，利用判别式为0，求出|k1|，|k2|，然后推出|k1k2|=．（3）写出椭圆E，椭圆H的方程，求出k AM，k BC，推出向量乘积为﹣1，即可证明AM⊥BC．【解答】（1）解：显然椭圆E的方程为=1，由椭圆E与F相似易得：当s＞2时⇒s=4；…2分当0＜s＜2时⇒s=1，…4分所以s=4或1…4分（2）证明：易得所以l1、l2的方程分别为、y=k2x+1依题意联立：⇒（1+2k12）x2+4k12x+4k12﹣2λ=0又直线l1与椭圆G相切则△1=0（又0＜λ＜1），即|k1|=…6分依题意再联立：⇒（1+2k22）x2+4k2x+2﹣2λ=0又直线l2与椭圆G相切则△2=0（又0＜λ＜1），即|k2|=…8分故|k1k2|=．…10分（3）解：显然椭圆E：=1，椭圆H：=1．…11分由椭圆H上的任意一点C（x0，y1）于是=1…12分椭圆E上的点M（x0，y2），即2=1又y1y2＞0，则y1=2y2…13分又，则k AM=，k BC=…15分又=﹣1所以AM⊥BC…16分．23．已知无穷数列{a n}满足a n=p•a n+（n∈N*）．其中p，q均为非负实数且不同时为0．+1（1）若p=，q=2，且a3=，求a1的值；（2）若a1=5，p•q=0，求数列{a n}的前n项和S n；（3）若a1=2，q=1，求证：当p∈（，）时，数列{a n}是单调递减数列．【考点】数列递推式．【分析】（1）令n=2、1依次代入递推公式列出方程，求出a2、a1的值；（2）根据条件分两种情况：当p=0，q≠0时由数列的递推公式对n分奇数和偶数求出S n；当p≠0，q=0时由数列的递推公式可知是等比数列，根据等比数列的前n项和公式求出S n；（3）由题意求出数列的递推公式，由p的范围先比较a1与a2，令n取n﹣1列出式子后，﹣a n”的符号，即两式相减化简后利用基本不等式求出a n的范围，根据p的范围判断出“a n+1可证明结论．=p•a n+，∴a3=p•a2+，【解答】解：（1）由题意知，a n+1∵p=，q=2，且a3=，∴，解得，…2分当时，同理求得a1=1或4；当时，无解，所以，a1=1或4 …4分（2）若p=0，q≠0，，∴，…5分所以当n为奇数时，；…6分当n为偶数时，，所以…7分=p•a n，…8分若p≠0，q=0时，a n+1所以…10分证明：（3）由题意知，当时，可得①…12分由和，两式相减得，…14分因为成立，则有a n•a n﹣1＞4p当时，，即②…16分由①②可知，当a n＜a n﹣1时，恒有a n+1＜a n…17分对于任意的自然数n，a n+1＜a n恒成立．…18分．2016年9月28日。

2017-2018学年上海市七宝中学高三10月月考数学试题

2017-2018七宝中学高三月考数学卷2016.10一. 填空题1. 已知函数()f x 的定义域是[1,2]-，则()()y f x f x =+-的定义域是2. 若25x y -<<<，则x y -的取值范围是3. 锐角△ABC 中，角,A B 所对的边长分别为,a b ，若2sin a B b =，则A =4. 二项式921()x x -的展开式中常数项为 (结果用数值表示) 5. 若函数cos(2)y x ϕ=+(||)2πϕ<的图像关于点4(,0)3π中心对称，则ϕ= 6. 若122log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是7. 已知0x >，0y >，1211x y +=+，则x y +的最小值为 8. 已知向量AB 与AC 的夹角为120，且||2AB = ，||3AC = ，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥，则实数λ的值为9. 某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有种 10. 设函数()min{||,||}f x x x t =+的图像关于直线3x =-对称，其中min{,}a b 表示,a b 中的最小值，则实数t =11. 右侧程序框图的运行结果：S =12. 已知函数1,0()42,0xx x x f x x --⎧+>⎪=⎨-≤⎪⎩，若函数 (32)y f x a =--恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知31819992017(1)2016(5)sin()3a a π-+-=-， 31999182017(5)2016(1)cos()6a a π-+-=-，则2016S = 14. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于二. 选择题15. 无穷等比数列{}n a *()n N ∈的前n 项的和是n S ，则下列首项1a 中，使得1lim 2n n S →∞=的只可能是（） A.12 B. 12- C. 14 D. 14- 16. 已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x 在R 上一增一减”是“函数()()()F x f x g x =-有唯一零点”的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要 17. 对于平面向量x 和给定的向量a ，记()2()f x x x a a =-⋅，若()()f x f y x y ⋅=⋅r r r r对任意向量,x y 恒成立，则a的坐标可能是（）A. 1)2-B.C. 31(,)44D. 1(2-18. 函数()sin(2)f x A x θ=+(0,||)2A πθ>≤部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的12,[,]x x a b ∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（）A. )(x f 在5(,)1212ππ-上是减函数 B. )(x f 在5(,)1212ππ-上是增函数 C. )(x f 在5(,)36ππ上是减函数 D. )(x f 在5(,)36ππ上是增函数三. 解答题19. 已知函数()|2||23|f x x a x =-++，()|1|2g x x =--；（1）解不等式|()|5g x <；（2）若{|()2}y y y f x ∈=-是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件，求实数a 的取值范围；20. 某厂生产某产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x （万元），若年产量不足80千件，()C x 的图像是如图的抛物线，此时()0C x <的解集为(30,0)-，且()C x 的最小值是75-，若年产量不小于80千件，10000()511450C x x x=+-，每千件商品售价为50万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完；（1）写出年利润()L x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？21. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，122AB AA ==，M 是AB 的中点， △11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点；（1）若DE ∥平面11A MC ，求CEEB；（2）平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分，求含有点A 的那部分体积；22. 已知常数0a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，(1)nn S a a n n=+-；（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若3(1)n n n n b a =+-，且{}n b 是单调递增数列，求实数a 的取值范围；（3）若12a =，2016n n n a c a =+，对于任意给定的正整数k ，是否存在正整数p 、q ，使得k p q c c c =？若存在，求出p 、q 的值(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由；23. 已知函数()||f x x x a =-的定义域为D ，其中a 为常数；（1）若R D =，且()f x 是奇函数，求a 的值；（2）若1a ≤-，[1,0]D =-，函数()f x 的最小值是()g a ，求()g a 的最大值；（3）若0a >，在[0,]a 上存在n 个点i x (1,2,,.3)i n n =≥ ，满足10x =，n x a =，12n x x x <<< ，使得12231|()()||()()||()()|8n n f x f x f x f x f x f x --+-++-= ，求实数a 的取值范围；七宝中学2016第一学期高三10月考试数学试卷考试时间：120分钟满分：150分一、填空题(每题4分，共56分)： 1. 已知函数()f x 的定义域是[1 2]-，，则()()y f x f x =+-的定义域是 [1 1]-，. 2. 若25x y -<<<，则x y -的取值范围是 (7 0)-，3. 在锐角中ABC ∆，角 A B 、所对的边长分别为 a b 、. 若2sin a B b =，则A =6π.4. 二项式921()x x-的展开式中常数项为 (结果用数值表示)84-． 5. 若函数cos(2)(||)2y x πϕϕ=+<的图像关于点4(0)3π，中心对称，则ϕ= 6π-. 6. 若212log (42)0ax x a -+-<对任意x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围是4a >.7. 已知0 0x y >>，，1211x y +=+，则x y +的最小值为. 8. 已知向量与AC 的夹角为120 ，且||2 ||3A B A C == ，，若AP AB AC λ=+ ，且AP BC ⊥ ，则实数λ的值为 1279. 某微信群中甲、乙、丙、丁、戊五名成员先后抢4个不相同的红包，每人最多抢一个红包，且红包全被抢光，则甲乙两人都抢到红包的情况有种22142443343472P P C P C P ===.10. 设函数()min{|| ||}f x x x t =+，的图像关于直线3x =-对称，其中min{ }a b ，表示 a b 、中的最小值. 则实数t = 6. 11. 右侧程序框图的运行结果：S = 1320.12. 已知函数10()420xx x x f x x --⎧+>=⎨-≤⎩，，，若函数(32)y f x a =--恰有三个不同的零点,则实数a 的取值范围是 23a <≤.13. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知31819992017(1)2016(5)sin()3a a π-+-=-， 31999182017(5)2016(1)cos()6a a π-+-=-，则2016S = 6048.14. 正方体1111D C B A ABCD -的棱长为3，以顶点A 为球心，2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的所有弧长之和等于 52π.二、选择题(每题5分，共20分)：15. 无穷等比数列{}n a (*n N ∈)的前n 项的和是n S ，则下列首项1a 中，使得1lim 2n n S →∞=的只可能是 ( C )A ．12 B ．12- C ．14 D ．14-. 16. 已知函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x 在R 上一增一减”是“函数()()()F x f x g x =-有唯一零点”的 ( D ) A.充分非必要条 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件17. 对于平面向量x 和给定的向量a ，记()2()f x x x a a =-⋅．若()()f x f y x y ⋅=⋅r r r r 对任意向量 x y 、恒成立，则a 的坐标可能是 ( D )A．1 )2- B． C ．31( )44， D．1(2- 18. 函数()sin(2)(0 ||)2f x A x A πθθ=+>≤，部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的12 [ ]x x a b ∈，，，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则 ( B ) A.)(x f 在5( )1212ππ-，上是减函数 B.)(x f 在5( )1212ππ-，C.)(x f 在5( )36ππ，上是减函数D.)(x f 在5( )36ππ，上是增函数三、解答题：19. (12分)已知函数322)(++-=x a x x f ，()12g x x =--. (1)解不等式()5g x <；(2)若{|()2}y y y f x ∈=-是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件，求实数a 的取值范围. 解：(1)由|()|||1|2|5g x x =--<得3|1|7x -<-<，∴|1|7x -<，解得68x -<<．所以原不等式的解集为{|68}x x -<<；(2)∵{|()}y y y f x ∈=是{||()|}y y y g x ∈=的充分条件，所以{|()}{||()|}y y f x y y g x =⊆=，又()223232f x x a x a =-++-≥+-，()||1|2|0g x x =--≥ 所以32a +≥，解得：1a ≥-或5a ≤-.20. (14分)某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本()C x (万元)，若年产量不足80千件，()C x 的图像是如图的抛物线，此时()0C x <的解集为(30 0)-，，且()C x 的最小值是75-. 若年产量不小于80千件，10000()511450C x x x=+-. 每千件商品售价为50万元. 通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润()L x (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解：(1)依题意，当080x <<(千件)时，设2()(30)C x a x x =+，则22575a -=-解得13a =，即21()(30)3C x x x =+，此时21()50[250()]402503L x x C x x x =-+=-+-当80x ≥(千件)时，10000()50[250()]1200()L x x C x x x=-+=-+∴2140250 0803()100001200() 80x x x L x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎪-+≥⎩，，(2)当080x <<(千件)时，21()(60)9503L x x =--+，此时，max ()(60)950L x L ==；当80x ≥(千件)时，10000()1200()1000L x x x=-+≤(当且仅当100x =时等号成立) 此时，max ()(100)1000L x L ==，综上所述，当年产量100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，为1000万元. 21. (14分)如图，直三棱柱111ABC A B C -中，AC AB ⊥，122AB AA ==，M 是AB 的中点，△11A MC 是等腰三角形，D 为1CC 的中点，E 为BC 上一点．(1)若DE ∥平面11A MC ，求CEEB； (2)平面11A MC 将三棱柱111ABC A B C -分成两个部分，求含有点A 的那部分体积．解：取BC 中点为N ，连结1 MN C N ，， ∵,M N 分别为,AB CB 中点 ∴MN ∥AC ∥11AC ，∴11,,,A M N C 四点共面，且平面11BCC B I 平面11A MNC 1C N =又DE Ü平面11BCC B ，且DE ∥平面11A MC ，∴DE ∥1C N ∵D 为1CC 的中点，∴E 是CN 的中点，∴13CE EB =．(2)因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴1AA ^平面ABC，又AC AB ⊥，则AC ⊥平面11ABB A∵122AB AA ==，又11A MC ∆是等腰三角形，所以111AM AC ==如图，将几何体11AA M CC N -补成三棱柱11AA M CC F - ∴几何体11AA M CC N -的体积为：1111111111111232232212V AM AA AC CF CC NF =⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=MEDC 1B 1 A A 1B C NF22. (16分)已知常数0a ≠，数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)nn S a a a n n==+-，. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若3(1)n n n n b a =+-，且{}n b 是单调递增数列，求实数a 的取值范围； (3)若12a =，2016nn n a c a =+，对于任意给定的正整数k ，是否存在正整数 p q 、，使得k p q c c c =？若存在，求出 p q 、的值(只要写出一组即可)；若不存在，请说明理由. 解：(1)11(1)(1)nn n n S a a a n na S a n n n==+-⇒=+-， {1111(1)22(1)(1)n n n n n n n n na S a n nna na an a a a n a S an n ++++=+-⇒-=⇒-=+=++∴{}n a 是以11a =为首项，2d a =为公差的等差数列，∴12(1)n a a n =+- (2)11113(1)3(1)n n n n n n n n b b a a ++++<⇔+-<+-,即(1)[1(21)]3n n a n -+-<若n 为奇数，则31(1 3 5 )21n a n n +>-=- ，，，恒成立，考察31()21n f n n +=--，231314(43)34(2)()02321(23)(21)n n n n f n f n n n n n +++--++-=-+=<+-+-即(1)(3)(5)f f f >>> ，∴(1)4a f >=-；若n 为偶数，则31(2 4 6 )21n a n n -<=- ，，，恒成立，考察31()21n g n n -=-，231314(43)34(2)()02321(23)(21)n n n n g n g n n n n n +---++-=+=>+-+-即(2)(4)(6)g g g <<< ，∴8(2)3a g <=；综上所述，843a -<<；(3)由(1)2016n n n a n c n ==+，.假设对任意*k N ∈，总存在正整数 p q 、，使k p q c c c =，则(2016)201620162016k p q k q p k p q q k+=⋅⇒=+++-令1q k =+，则(2017)p k k =+(或2q k =，则22016p k =+；…) ∴(2017)1k k k k c c c ++=(或220162k k k c c c +=；…)23. (18分)已知函数()||f x x x a =-的定义域为D ，其中a 为常数. (1)若R D =，且()f x 是奇函数，求a 的值；(2)若1[10]a D ≤-=-，，，函数()f x 的最小值是()g a ，求()g a 的最大值； (3)若0a >，在[0,]a 上存在n 个点(1,2,,.3)i x i n n =≥ ，满足10x =，n x a =，12n x x x <<< ，使得12()()f x f x -23()()f x f x +-+ 1()()n n f x f x -+-8=，求实数a 的取值范围.解：(1)∵()f x 是奇函数，∴()()0f x f x +-=对任意x ∈R 恒成立， ∴||||x x a x x a -=+，即0ax =对任意x ∈R 恒成立，∴0a =；(2)2222() 24()||()24a a x x a f x x x a a a x x a ⎧--≥⎪=-=⎨⎪--+<⎩，，，11 ∵1a ≤-，∴[1 0][ )a -⊆+∞，，，∴22()()24a a f x x =--，[1 0]x ∈-， ①当21a -≤≤-时，1122a -≤≤-，()f x 在[1 ]2a -，上递减，在[ 0]2a ，递增，2min [()]4a f x =- ②当2a <-时，12a <-，()f x 在[1 0]-，上单调递增，min [()](1)1f x f a =-=+ 综上所述，2 21()41 2a a g a a a ⎧⎪--≤≤-=⎨⎪+<-⎩，，，若21a -≤≤-，则11()4g a -≤≤-；若2a <-，则()1g a <- ∴当1a =-时，max 1[()]4g a =- (3)∵0a >，且()f x 在[0 ]2a ，上单调递增，在[ ]2a a ，上单调递减， ∴max min ()()()(0)2a f x f f x f ==，而12231max min |()()||()()||()()|2[()()]n n f x f x f x f x f x f x f x f x --+-++-≤-要使满足条件的点存在，必须且只需2[()(0)]82a f f -≥，即282a ≥，解得4a ≥为所求.。

2017-2018年上海市七宝中学高三下开学考

2018年七宝中学高三下开学考试卷一、填空题1. 向量(3,4)a =r 在向量(1,1)b =-r方向上的投影为____________．2. 若椭圆221mx y +=的一个交点与抛物线24y x =的焦点重合，则m =____________．3. 已知集合{}M x x a =?，{}2,0,1N =-，若{}2,0M N =-I ，则a 的取值范围是____________．4. 若无穷等比数列{}n a 的各项和等于q ，则首项1a 的取值范围是____________．5. 若函数()12f x x x a =+++的最小值是3，则正实数a 的值是____________．6. 将函数cos ()sin x f x x=按向量(,0)a m =r 平移（0m >），若所得图像对应的函数为偶函数，则m的最小值是____________．7. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°方向上，行驶600米后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD =____________米．8. 函数2()4coscos 2sin ln(1)22x f x x x x p 骣÷ç=---+÷ç÷ç桫的零点个数为____________． 9. 设{}n a 是等差数列，其首项12a =，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n m S a =，则d =____________．10. 已知圆22:1O x y +=，O 为坐标原点，若正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，则线段OC 长度的最大值是____________．11. 已知向量a r 、b r满足2a b a b==?r r r r ，若向量c r满足()()0a c bc -?=r r r r ，则2c b -r r的最大值是____________． 12. 已知函数()sin f x x p =，若存在12,,,m x x x L 满足120m x x x ?<<L ，且*()()()()()()2018,(2,)f x f x f x f x f x f x m m N -+-++-=澄L ，则m x +的最小值为____________．二、选择题13. 设集合{{}22(,),(,)1M x y y x N x y x y =>+=+?，则命题“点P M Î”是命题“点P N Î”的（）条件 A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要14. 已知函数(),y f x x R =?，点(,)P a b 是函数()()()F x f x f x =--图像上任意一点，则下列各点中一定在()F x 图像上的是（）A. 1(,)P a b -B. 2(,)P a b --C. 3(,)P a b -D. 3(,)P a b -15. 已知四个函数：①y x =-；②1y x=-；③53y x =；④14y x =，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为（）A.16B.13C.12D.2316. 定义在区间[1,)+?上的函数()f x 满足：①(2)2()f x f x =；②当24x ＃时，()13f x x =--，则集合{}()(2035)S x f x f ==中的最小元素是（） A. 13B. 21C. 45D. 51三、解答题17. 如图，三棱锥P ABC -中，PA ^平面ABC ，1,2,60PA AB AC BAC ===?o ．（1）求三棱锥P ABC -的体积；（2）求λ的值，使得λPM MC =uuu r uuu r且AC BM ⊥．18. 已知ABC V 顶点坐标分别为(,4),(0,),(,0)A a B b C c ．（1）若3,0,5a b c ===，求sin A 的值；（2）若虚数2(0)x ai a =+>是实系数方程250x cx -+=的根，且A ∠是钝角，求b 的取值范围．19. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 上放置一个边长为1的正方形PABC ，此正方形PABC 沿x 轴滚动（向左或向右均可），滚动开始时，点P 位于原点处，设顶点(,)P x y 的纵坐标与横坐标的函数关系式(),y f x x R =∈，该函数相邻两个邻点之间的距离为m ．（1）写出m 的值并求出当0x m ≤≤，点P 运动路径的长度l ；（2）写出函数[](),42,42,y f x x k k k Z =∈-+∈的表达式；并研究该函数除周期外的基本性质（无需证明）．20. 已知双曲线C过点(，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过原点，点P 是曲线C 上任一点，直线,PM PN 的斜率都存在，记为PM k 、PN k ，试探究PM PN k k ⋅的值是否与点P 及直线l 有关，并证明你的结论；（3）若直线l 过点(1,0)，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅uuu r uuu r为常数？若存在，求出点Q 坐标及此常数的值；若不存在，说明理由．21. 已知数列{}n a 各项不为0，前n 项和为n S ．（1）若*4,n n S a n N +=∈，求数列{}n a 的通项公式；（2）在（1）的条件下，已知2log n n b a =，分别求12*12()()k n n n k n n n f n a C a C a C a C n N =+++++∈L L 和12*12()()k n n n k n n n g n b C b C b C b C n N =+++++∈L L 的表达式；（3）证明：{}n a 是等差数列的充要条件是：对任意*n N ∈，都有：1223111111n n n n a a a a a a a a +++++=L ．参考答案一、填空题1. 2-2.123. [0,1)4. 1(2,0)0,4⎛⎤- ⎥⎝⎦U5. 86.3p7. 8. 3个 9. 1-10.111.1 12. 1011二、选择题 13. A 14. B 15. C16. C三、解答题 17. （1（2）1λ2= 18. （1）sin A =；（2）131643b b b ⎧⎫>≠⎨⎬⎩⎭且 19. （1）4,12m l p ⎛==+⎝⎭；（2）函数24114()41142k x k k x kf x k x k k x k -≤≤-⎪-≤≤⎪=⎨≤≤+⎪+≤≤+，k Z ∈奇偶性：偶函数；递增区间：[]4,42,k k k Z +∈；递减区间[]42,4,k k k Z -∈；零点：4,x k k Z =∈ 20. 略21. 略。

2017年上海市七宝中学高考模拟数学试题

绝密★启用前2017年上海市七宝中学高考模拟数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．若z ∈C ，i 为虚数单位，且234||55z i z =- ，则复数z 等于（） A ．3455i + B ．3455-i C ．5534i - D ．4355i - 2．直线l 在平面上α，直线m 平行于平面α，并与直线l 异面.动点P 在平面上α，且到直线l 、m 的距离相等.则点P 的轨迹为（）. A ．直线B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线3．设集合10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭,1,12B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,函数1,()=22(1),x x A f x x x B ⎧+∈⎪⎨⎪-∈⎩,若0x A ∈,且()0f f x A ∈⎡⎤⎣⎦,则0x 的取值范围是（）A ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．11,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．30,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、多选题4．设集合{}22|,,M a a x y x y ==-?Z ，则对任意的整数n ，形如4,41,42,43n n n n +++的数中，是集合M 中的元素的有（）第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明三、填空题5．已知定义在[﹣1，1]上的函数f（x）值域为[﹣2，0]，则y=f（cosx）的值域为_____．6．5051﹣1被7除后的余数为_____．7．已知直线l的参数方程是10.820.6x ty t=+⎧⎨=+⎩（t为参数），则它的普通方程是_____．8．一名工人维护3台独立的游戏机，一天内3台需要维护的概率分别为0.9、0.8和0.85，则一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率为_____（结果用小数表示）9．已知地球的半径为R，在北纬45︒东经30︒有一座城市A，在北纬45︒西经60︒有一座城市B，则坐飞机从城市A飞到B的最短距离是．(飞机的飞行高度忽略不计) 10．如果复数z满足|z+i|+|z﹣i|=2（i是虚数单位），则|z|的最大值为_____．11．已知定义在R上的增函数()y f x=满足()()40f x f x+-=，若实数,a b满足不等式()()0f a f b+≥，则22a b+的最小值是______．12．已知点P是棱长为1的正方体1111ABCD A B C D-的底面1111DCBA上一点(包括边界)，则PA PC⋅u u u r u u u r的取值范围是_________.13．椭圆22221(0)43x yaa a+=>的左焦点为F，直线x m=与椭圆相交于点A B、，则FAB∆的周长的最大值是__________．14．已知函数45(),()sin213xf xg x a x axπ-+==++（a＞0），若对任意x1∈[0，2]，总存在x2∈[0，2].使g（x1）=f（x2）成立，则实数a的取值范围是_______．15．在直角坐标平面上，已知点A(0,2)，B(0,1)，D(t,0)(i>0)，M为线段AD上的动点,若|AM|≤2|BM|恒成立，则正实数t的最小值为________.16．设ω为正实数.若存在a、b(π≤a<b≤2π)，使得sinωa+sinωb=2，则ω的取值范围是______.四、解答题…………○………………线…………○…：___________班级：________…………○………………线…………○…17．如图，正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，O 是BD 的中点，E 是棱CC 1上任意一点．（1）证明：BD ⊥A 1E ；（2）如果AB =2，CE =OE ⊥A 1E ，求AA 1的长．18．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（Rt FHE ∆三条边，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.要求管道的接口H 是AB 的中点，,E F 分别落在线段,BC AD 上，已知20AB =米，AD =米，记BHE θ∠=.(1)试将污水净化管道的总长度L （即Rt FHE ∆的周长）表示为θ的函数，并求出定义域；(2)问θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.19．若函数y =f （x ）对定义域的每一个值x 1，在其定义域均存在唯一的x 2，满足f （x 1）f （x 2）=1，则称该函数为“依赖函数”．（1）判断21y x=，y =2x 是否为“依赖函数”；（2）若函数y =a +sinx （a ＞1），[,]22x ππ∈-为依赖函数，求a 的值，并给出证明． 20．已知椭圆22122:1x y C a b += （a ＞b ＞0）长轴的两顶点为A 、B ，左右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c 且a =2c ，过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为3．（1）求椭圆C 的方程；（2）在双曲线22:143x y T -= 上取点Q （异于顶点），直线OQ 与椭圆C 交于点P ，若直线AP 、BP 、AQ 、BQ 的斜率分别为k 1、k 2、k 3、k 4，试证明：k 1+k 2+k 3+k 4为定值；（3）在椭圆C 外的抛物线K ：y 2=4x 上取一点E ，若EF 1、EF 2的斜率分别为12,k k ''，求121k k ''的取值范围． 21．设T n 为数列{a n }的前n 项的积，即T n =a 1•a 2…•a n ．（1）若T n =n 2，求数列{a n }的通项公式；（2）若数列{a n }满足T n =12（1﹣a n ）（n ∈N *），证明数列1{}n T 为等差数列，并求{a n }的通项公式；（3）数列{a n }共有100项，且满足以下条件： ①121002a a a ⋅⋅⋅=L ；②1211002k k a a a a a k ++=+L L （1≤k ≤99，k ∈N *）．（Ⅰ）求5a 的值；（Ⅱ）试问符合条件的数列共有多少个？为什么？参考答案1．B 【解析】【分析】设复数z 代数形式，再根据复数的模以及复数相等求结果. 【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，则2222223434(),()5555x yi i x x y y x y x y +=-∴=+⨯=-+⨯+2222222223434()01,,,5555x y x y x y x y x y z i ∴+=++≠∴+===-=-Q故选：B 【点睛】本题考查复数的模以及复数相等，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．D 【解析】【详解】设m 在平面α上的投影'm ，'m 与直线l 交于点O .在平面α上，以O 为原点、直线l 为y 轴建立直角坐标系.则设'm 的方程为y kx =. 又设点P （x ， y ）.则点P 到直线l 的距离x ，点P 到直线'm.从而，点P 到直线m 的距离平方等于()2221y kx a k -++，其中，a 为直线m 到平面α的距离.因此，点P 的轨迹方程为()22221y kx a x k-+=+，即为双曲线.3．C 【解析】【分析】根据0x A ∈以及10,2A ⎡⎫=⎪⎢⎣⎭,可以求出()0f f x ⎡⎤⎣⎦的表达式,再根据()0f f x A ∈⎡⎤⎣⎦求出0x【详解】 ∵0102x <…,∴()0011,122f x x ⎡⎫=+∈⎪⎢⎣⎭,∴()()0000112121222f f x f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯-=⨯-+=⨯-⎡⎤⎡⎤ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦∴()0f f x A ∈⎡⎤⎣⎦,∴0110222x ⎛⎫⨯-< ⎪⎝⎭…,∴01142x <…，又∵0102x <…,∴01142x <<.故选：C 【点睛】本题考查了复合函数与分段函数的综合应用,考查了数学运算能力. 4．ABD 【解析】【分析】将4,41,43n n n ++分别表示成两个数的平方差，故都是集合M 中的元素，再用反证法证明42n M +?. 【详解】∵224(1)(1)n n n =+--，∴4n M Î.∵2241(21)(2)n n n +=+-，∴41n M +?. ∵2243(22)(21)n n n +=+-+，∴43n M +?. 若42n M +?，则存在,Z x y Î使得2242x y n -=+，则42()(),n x y x y x y +=+-+和x y -的奇偶性相同.若x y +和x y -都是奇数，则()()x y x y +-为奇数，而42n +是偶数，不成立；若x y +和x y -都是偶数，则()()x y x y +-能被4整除，而42n +不能被4整除，不成立，∴42n M +?. 故选：ABD.本题考查集合描述法的特点、代表元元素特征具有的性质P ，考查平方差公式及反证法的灵活运用，对逻辑思维能力要求较高. 5．[﹣2，0] 【解析】【分析】根据cosx 范围确定函数f （x ）自变量，再根据条件确定值域. 【详解】∵f （x ）的定义域是[﹣1，1]，值域是[﹣2，0]，而cosx ∈[﹣1，1]，故f （cosx ）的值域是[﹣2，0]，故答案为：[﹣2，0]．【点睛】本题考查函数定义域与值域，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．0 【解析】【分析】先根据二项式定理展开，再研究整除后的余数. 【详解】5151051150505151515151501(491)14949491C C C C -=+-=++++-L 05115050515151494949C C C =+++L因为49是7的倍数，所以5051﹣1被7除后的余数为0. 故答案为：0 【点睛】本题考查二项式定理应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．3x ﹣4y +5=0 【解析】【分析】根据加减消元得普通方程.10.83438345020.6x t x y x y y t=+⎧∴-=-⇒-+=⎨=+⎩Q 故答案为：3450x y -+= 【点睛】本题考查参数方程化普通方程，考查基本分析求解能力，属基础题. 8．0.388 【解析】【分析】先求其对立事件概率，再根据对立事件概率关系求结果. 【详解】一天内至少有一台游戏机不需要维护的对立事件是三台都需要维护， ∴一天内至少有一台游戏机不需要维护的概率： p =1﹣0.9×0.8×0.85=0.388．故答案为：0.388．【点睛】本题考查对立事件概率，考查基本分析求解能力，属基础题. 9．3R π【解析】【分析】欲求坐飞机从A 城市飞到B 城市的最短距离，即求出地球上这两点间的球面距离即可．A 、B 两地在同一纬度圈上，计算经度差，求出AB 弦长，以及球心角，然后求出球面距离．即可得到答案．【详解】解：由已知地球半径为R ，则北纬45R ，又∵两座城市的经度分别为东经30°和西经60°，故连接两座城市的弦长L ==R ，则A ，B 两地与地球球心O 连线的夹角∠AOB 3π=，则A 、B 两地之间的距离是3R π．故答案为3R π．【点睛】本题考查球面距离及其他计算，考查空间想象能力，是基础题． 10．1 【解析】【分析】根据复数几何意义确定复数z 对应点轨迹，根据轨迹确定模的最大值. 【详解】复数z 满足|z +i |+|z ﹣i |=2（i 是虚数单位），复数z 的几何意义是到虚轴上的点到A （0，1），B （0，﹣1）的距离之和等于2，因此复数z 对应点轨迹为线段AB,因此|z |的最大值为：1，故答案为：1．【点睛】本题考查复数几何意义以及复数的模，考查基本分析求解能力，属中档题. 11．8 【解析】【分析】由()()40f x f x +-=知()()4f b f b -=-，可将不等式变为()()4f a f b ≥-，利用函数单调性可得40a b +-≥，根据线性规划的知识，知22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方，从而可知所求最小值为O 到直线40a b +-=的距离的平方，利用点到直线距离公式求得结果. 【详解】由()()40f x f x +-=得：()()4f b f b -=-()()0f a f b ∴+≥等价于()()()4f a f b f b ≥-=- ()f x Q 为R 上的增函数 4a b ∴≥-，即40a b +-≥则可知可行域如下图所示：则22a b +的几何意义为原点O 与可行域中的点的距离的平方可知O 到直线40a b +-=的距离的平方为所求的最小值()222min8a b ∴+== 本题正确结果；8 【点睛】本题考查函数单调性的应用、线性规划中的平方和型的最值的求解，关键是能够利用平方和的几何意义，将问题转化为两点间距离的最值的求解问题.12．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】建立空间直角坐标系,设(),,0P x y ,[](),0,1x y ∈.可得,()()22111111222PA PC x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⋅=----+=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u u u v ，即可得出答案.【详解】如图所示：建立空间直角坐标系.则()()()10,0,0,0,0,1,1,1,1A A C . 设(),,0P x y ，[](),0,1x y ∈.则(),,1PA x y =--u u u v， ()1,1,1PC x y =--u u u v.()()111PA PC x x y y ∴⋅=----+u u u v u u u v22111222x y ⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.[],0,1x y ∈Q ,∴当11,22x y ==时, PA PC⋅u u u v u u u v 有最小值12. 当点P 取()()()()0,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0时,PA PC ⋅u u u v u u u v有最大值1.故答案为:1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考在空间直角坐标系中两向量数量积的坐标表示:121212+a b x x y y z z ⋅=+v v及其取值范围的求解;建立合适的空间直角坐标系是求解本题的关键;着重考查学生的运算能力和知识迁移能力; 属于中档题. 13．8α 【解析】设椭圆的右焦点为M ，椭圆的长轴为2×2a=4a ， △FAB 的周长AF +FB+AB≤FA+AM+FB+BM=2×2a+2×2a=8a ，故答案为：8a点睛：本题充分体现了解析几何的思想方法：数形结合，利用椭圆的定义结合三角形的基本性质得到周长的最值.14．50,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】【分析】先将恒成立存在性问题转化为对应函数值域包含关系，即()g x 在[0,2]上值域包含于()f x 在[0,2]上值域，再分别求对应值域，最后根据集合包含关系列式求解. 【详解】459[0,2]()4[1,5]11x x f x x x -+∈∴==-+∈-++Q [0,2],0,()[2,3]x a g x a a ∈>∴∈Q由题意得21,05[2,3][1,5]0353a a a a a a ≥->⎧⊆-∴∴<≤⎨≤⎩故答案为：50,3⎛⎤⎥⎝⎦【点睛】本题考查函数恒成立存在性问题、函数值域以及根据集合包含关系求参数取值范围，考查综合分析求解能力，属中档题.15【详解】设M(x,y).由22242,39AM BM x y ⎛⎫≤+-≥ ⎪⎝⎭得. 故线段AD 恒在阿波罗尼斯圆222439x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭的外部.当t 最小时，线段AD 与圆相切，从而，:12AD x yl t +=.233t =⇒=.16．ω∈[94,52]∪[134,+∞)【解析】【分析】由sinωa +sinωb =2⇒sinωa =sinωb =1. 而[ωa,ωb]⊆[ωπ,2ωπ]，故已知条件等价于：存在整数k 、l(k <l)，使得ωπ≤2k π+π2<2l π+π2≤2ωπ ①，再对ω分类讨论求出ω的范围. 【详解】由sinωa +sinωb =2⇒sinωa =sinωb =1.而[ωa,ωb]⊆[ωπ,2ωπ]，故已知条件等价于：存在整数k 、l(k <l)，使得 ωπ≤2k π+π2<2l π+π2≤2ωπ. ①当ω≥4时，区间[ωπ,2ωπ]的长度不小于4π，故必存在k 、l 满足式①. 当0<ω<4时，注意到，[ωπ,2ωπ]⊆(0,8π). 故只要考虑如下几种情形：（1）ωπ≤π2<5π2≤2ωπ，此时，ω≤12，且ω≥54，无解；（2）ωπ≤5π2<9π2≤2ωπ，此时，94≤ω≤52；（3）ωπ≤9π2<13π2≤2ωπ，此时，134≤ω≤92⇒134≤ω<4.综上，并注意到ω≥4也满足条件，知ω∈[94,52]∪[134,+∞).故答案为：ω∈[94,52]∪[134,+∞)【点睛】本题主要考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.17．（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据正四棱柱性质得AA1⊥平面ABCD，即得AA1⊥BD，根据正方形性质的AC⊥BD，再根据线面垂直判定定理得BD⊥平面ACC1A1，即可得结论；（2）根据勾股定理列等量关系，解得结果.【详解】（1）证明：连结AC，A1C1，∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴AA1⊥BD，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，又AC∩AA1=A，AC⊂平面ACC1A1，AA1⊂平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1，又A1E⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1E．（2）∵AB=2，∴AO=CO，A1C1，设AA1=a，则C1E=a，∴OE2=4，A1O2=a2+2，A1E2=（a）2+8=a2﹣a+10，∵OE⊥A1E，∴A1O2=OE2+A1E2，即a2+2=4+a2﹣a+10，解得a=AA1=【点睛】本题考查线面垂直判定与性质定理，考查基本分析论证能力，属基础题. 18．（1）sin θcos θ1L 10sin θcos θ++=⨯⋅，ππθ,.63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦；（2）πθ6=或πθ3=时，L 取得最大值为)201米．.【解析】【分析】（1）解直角三角形求得得EH 、FH 、EF 的解析式，再由 L=EH +FH +EF 得到污水净化管道的长度L 的函数解析式，并注明θ的范围．（2）设sinθ+cosθ=t ，根据函数 L=201t - 在[12上是单调减函数，可求得L 的最大值．所以当t =πθ6= 或πθ3= 时，L 取得最大值为)201+米．【详解】()1由题意可得10EH cos θ=，10FH sin θ=，10EF sin θcos θ=，由于 BE 10tan θ=≤10AF tan θ=≤tan θ≤≤ππθ,63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 101010L cos θsin θsin θcos θ∴=++，ππθ,.63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即sin θcos θ1L 10sin θcos θ++=⨯⋅，ππθ,.63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()2设sinθcosθt+=，则2t1sinθcosθ2-=，由于ππθ,63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π1sinθcosθtθ.42+⎛⎫∴+==+∈⎪⎝⎭⎣由于20Lt1=-在⎣上是单调减函数，∴当t=时，即πθ6=或πθ3=时，L取得最大值为)201米．【点睛】三角函数值域得不同求法：1.利用sin x和cos x的值域直接求2.把所有的三角函数式变换成()siny A xωϕ=+(),0Aω≠的形式求值域3.通过换元，转化成其他类型函数求值域19．（1）21yx=不是，y=2x是（2，证明见解析【解析】【分析】（1）根据“依赖函数”的定义进行判断即可，（2）只需要函数y=a+sinx的最大值和最小值满足f（x1）f（x2）=1即可，建立方程关系进行求解即可．【详解】（1）解：（1）函数21yx=，由f（x1）f（x2）=1，得221222121111x xx x⋅=∴=，对应的x1、x2不唯一，所以21yx=不是“依赖函数”；对于函数y=2x，由f（x1）f（x2）=1，得12122210x x x x⋅=∴+=，所以x2=﹣x1，可得定义域内的每一个值x1，都存在唯一的值x2满足条件，故函数y=2x是“依赖函数”．（2）当[,]22xππ∈-时，函数y=a+sinx（a＞1）为增函数，且函数关于（0，a）对称，若函数y=a +sinx （a ＞1），[,]22x ππ∈-为依赖函数，则只需要函数的最大值和最小值满足f （x 1）f （x 2）=1即可，则函数的最大值为a +1，最小值为a ﹣1，则由（a +1）（a ﹣1）=1得a 2﹣1=1，得a 2=2，因为a ＞1，所以得a．【点睛】本题考查函数新定义以及三角函数最值，考查基本分析求解能力，属基础题.20．（1）22143x y += （2）0（3）5(,0)(0,)24-⋃+∞【解析】【分析】（1）由椭圆的通径公式及a =2c ，即可求得a 和b 的值，即可求得椭圆方程方程；（2）根据直线的斜率公式，求得112132x k k y +=-， 234232x k k y +=，由,OP OQ u u u r u u u r 共线，得1212x x y y =，即可求得结论；（3）先用E 点坐标表示12,k k ''，再根据函数单调性即可求得121k k ''的取值范围．【详解】（1）由题意a =2c ，椭圆的通径为22b a=3，因为a 2=b 2+c 2，所以a =2，bc =1，∴椭圆的标准方程：22143x y +=；（2）由（1）可知：A （﹣2，0），B （2，0），F 1（﹣1，0），F 2（1，0），设P （x 1，y 1），则2211143x y +=，则12k k +=111122y y x x ++-=1111221122443x y x y yx =--1132x y =-设Q （x 2，y 2），则2222143x y -=，则则34k k += 222222y y x x ++-=2222222222443x y x y y x =-=2232x y ，又,OP OQ u u u r u u u r 共线，∴1212x x y y =，12340k k k k ∴+++= （3）设2(,)4y E y ，由2221434x y y x⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得：222383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由E 在椭圆C 外的抛物线K ：y 2=4x 上一点，则283y >，则EF 1 、EF 2的斜率分别为1222,1144k y k y yy ''==+-，（28,23y y >≠±）则42222121611()1616161y y t k y k t y y t ==-'--=='，（8,43t t >≠）在（83，4），（4，+∞）上分别单调递增，∴121k k ''的取值范围5(,0)(0,)24-⋃+∞．【点睛】本题考查椭圆方程、椭圆中定值与范围问题，考查综合分析求解能力，属中档题.21．（1）221,1,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩（2）2121n n a n -=+（3）（Ⅰ）见解析（Ⅱ）299【解析】【分析】（1）（1）利用作商法求a n ；（2）利用等差数列的定义证明数列1{}nT 为等差数列，并求得{a n }的通项公式；（3）（Ⅰ）由题意联立方程组求得T 4，T 5，则由a 5=54T T 即得；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得T k 是方程x 2﹣（k +2）x +2=0的一个实根（△＞0），当数列前k （2≤k ≤98）项确定后，其前k 项积T k 确定，由T k +1可得到两个a k+1，即得符合条件的数列共有299个．【详解】（1）当n =1时，a 1=T 1=1；当n ≥2时，a n =221(1)n n T n T n -=-， ∴221,1,2(1)n n a n n n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩（2）当n =1时，a 1=T 1=12（1﹣a 1），所以a 1=13，当n ≥2时，2T n =1﹣a n =1﹣1nn T T -，所以n 1T ﹣11n T -=2，数列{n 1T }为等差数列 n 1T =3+2（n ﹣1）=2n +1，T n =121n +，a n =1﹣2T n =2121n n -+ （3）（Ⅰ）由121002a a a ⋅⋅⋅=L ，12451006a a a a a +=L L ；可得T 4，由121002a a a ⋅⋅⋅=L ，12561007a a a a a +=L L ；可得T 5所以554T T a ==（Ⅱ）121002a a a ⋅⋅⋅=L ，121003a a a +=L ，所以a 1=1或2 T k 是方程x 2﹣（k +2）x +2=0的一个实根（其中△＞0），当数列前k （2≤k ≤98）项确定后，其前k 项积T k 确定，由T k +1可得到两个a k +1 所以符合条件的数列共有299个【点睛】本题考查根据递推关系求通项、等差数列定义以及解一元二次方程，考查综合分析论证与求解能力，属较难题.。

2017年上海市高三数学第三次模拟测试试卷

2017年上海市高三数学第三次模拟测试试卷2017.5.18考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟．一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得满分，否则一律得零分． 1. 已知集合{}{}2=lg ,230A x y x B x xx ==--<，则A B È=____________.2. 如果(1)(1)i mi ++是实数，则实数=m _________________.3. 已知圆锥母线的轴截面的母线与轴的夹角是3p，母线长为3，则过圆锥顶点的截面面积的最大值=_________________________.4. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若723742,S a a a =++则=_______________.5. 圆22:(2)4C x y -+=，直线12:,:1l y l y kx ==-，若12,l l 被圆C 所截得的弦长之比是1:2，则=k _______________. 6. 已知4()ln()f x x a x=+-，若对任意的m R Î，均存在00x >，使得0()f x m =，则实数a 的取值范围是________________________.7. 若直线(1)(0)y k x k =+>与抛物线24y x =相交于,A B 两点，且,A B 两点在抛物线的准线上的射影分别是,,2M N BN AM =且，则=k _____________. 8. 某几何体的三视图及部分数据如图所示，则此几何体的表面积是__________.9. 已知动点(,)x y 满足条件2123y x y x ì?ïïíï?+ïî，则y x 的取值范围是_________. 10. 若{},1,2,3,,11a b Î ，构造方程22221x y a b+=，则该方程表示的曲线为落在矩形区域{}(,)11,9x y x y <<内的椭圆的概率是_________________. 11. 已知ABC D ，若存在111A B C D ，满足111cos cos cos 1sin sin sin A B CA B C ===，则称111A B C D 是ABC D 的一个“友好”三角形．在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是___________：（请写出符合要求的条件的序号）①A=90°，B=60°，C=30°；②A=75°，B=60°，C=45°； ③A=75°，B=75°，C=30°．12. 已知函数2(),()11x f x g x mx m x -==+--的图象相交于点,A B 两点，若动点P 满足2PA PB +=，则P 的轨迹方程是________________________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13. 已知数列{}n a 中，1111,1n na a a +==+，若利用下面程序框图计算该数列的第2017项，则判断框内的条件是（）A ．n ≤2014B ．n ≤2016C ．n ≤2015D ．n ≤201714. 已知三条直线,,a b c 两两互相垂直，P 为空间一个定点，则在过点P 的直线中，分别与,,a b c 所成的角都相等的直线有（）A.1条B.3条C.4条D.无数条15. 在锐角ABC D 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若221sin cos ,2C C -=则下列各式正确的是( )A.2a b c +=B.2a b c +?C.2a b c +<D.2a b c +? 16. 已知集合{}22(,)1M x y xy =+?，若实数,l m 满足：对任意的(),x y M Î，都有(),x y M l m Î，则称(),l m 是集合M的“和谐实数对”，则下列选项中，可以作为集合M 的“和谐实数对”的是( )A.{}(,)+=4l m l mB.{}22(,)+=4l m l mC.{}2(,)4=4l m lm - D.{}22(,)=4l m l m -三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

上海市七宝中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题

上海市七宝中学2023-2024学年高三下学期三模数学试题一、填空题1．已知集合}0{2|M x x =+≥，{|10}N x x =-<，则M N ⋂=． 2．已知复数23z i(i)=+（i 为虚数单位），则z 的实部为． 3．函数tan()6πy x =-+的最小正周期为．4．记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a ，平均数为b ，则a b -=． 5．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中第3项与第5项的系数相等，则该展开式中41x 的系数为．6．已知函数()3,13,1x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩，则()3log 2f 的值为7．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为． 8．已知数列{}n a 满足1n n a a +<，点(21,)n n P n a +在双曲线22126x y -=上，则1lim n n n P P +∞+→=． 9．两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有种.10．用(),f X Γ表示点X 与曲线Γ上任意一点距离的最小值．已知22:1O x y +=e 及()221:44O x y -+=e ，设P 为O e 上的动点，则()1,f P O e 的最大值为．11．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x ，与承载重力的方向平行的高度为y ，记矩形截面抵抗矩216W xy =．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x 与高y 的最佳之比应为．12．空间中A B 、两点间的距离为8，设123PP P V 的面积为S ，令||i i i P A P B λ=⋅u u u r u u u r，若3123ii λ==∑，则S 的取值范围为．二、单选题13．已知0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b<B ．2ab b <C ．b a a b> D ．1a bb+> 14．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（）．A ．123r r r >>B ．231>>r r rC ．132r r r >>D ．321r r r >>15．已知函数()22ln f x x x =+的图像在()()11,A x f x ，()()22,B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）A ．122x x +=B ．12103x x +=C ．122x x =D ．12103x x =16．已知OA 是圆柱1OO 下底面的一条半径，1OA =，110OO =，P 为该圆柱侧面上一动点，PB 垂直下底面于点B ，若P B A O B =∠，则对于下述结论：①动点P 的轨迹为椭圆；②动点P的轨迹长度为；以下说法正确的为（）．A ．①②都正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①②都错误三、解答题17．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin c A =． (1)求sin C 的值；(2)若3c =，求ABC V 面积S 的最大值．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，四边形11ACC A 是边长为2的正方形.(1)证明：BC ⊥平面11ABB A ；(2)若直线1AC 与平面11ABB A 所成的角为30°，求二面角1B AC A --的余弦值．19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为n P ．(1)求2P ；(2)证明：数列12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；若10132024n P >，求n 的最大值．20．将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆22:12+=x E y 的左、右顶点分别为,A B ，上顶点为D ．(1)若椭圆22:12x y F s +=与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，求常数s 的值；(2)设椭圆22:(01)2x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 有且只有一个公共点，过D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求当λ为何值时，12k k +取得最小值，并求其最小值；(3)若椭圆22:1(2)2x y H t t+=>与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，椭圆H 上的任意一点记为()00,C x y ，试判断ABC V 的垂心M 是否都在椭圆E 上，并说明理由．21．设0t >，函数()y f x =的定义域为R ．若对满足21x x t ->的任意12x x 、，均有21()()f x f x t ->，则称函数()y f x =具有“()P t 性质”．(1)在下述条件下，分别判断函数()y f x =是否具有(2)P 性质，并说明理由； ①3()2f x x =； ②()10sin2f x x =； (2)已知3()f x ax =，且函数()y f x =具有(1)P 性质，求实数a 的取值范围；(3)证明：“函数()y f x x =-为增函数”是“对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质”的充要条件．。

2018年高三第三次模拟考数学测试卷(文科)含答案

2017 — 2018学年度高三第三次调研测试文科数学本试卷共23小题，共150分，共6页，考试时间120分钟，考试结束后，将答题卡和试题卷一并交回。

注意事项：1 •答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案必须使用 0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3•请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

本大题共 12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有个是符合题目要求。

设全集 U =Z , A ={-1,1,3,5,7,9}, B ={-1,5,7}，贝V AplG u B)二B. {-1,5,7}D. {-1,1,3,5,9}__nA . -P ： X 。

R,X o 2 乞3X oB . -p: x R,x 22< 3x2C . — p: 一x R,x ■ 2 3xnD . _p: x 0 R,x 0 2 _ 3x 。

2. 已知复数 i z =1—i（i 为虚数单位），则z 的虚部为3.1 .A. i2已知命题P ：X o1 .B.i 2R,x ； 2 3x 0，则命题 1 C.2p 的否命题为D.4. F 列各组向量中，可以作为基底的是A. q =(0,0), e ? =(1,2)B.eiC.e 1 = (3,5), e 2 = (6,10)D.6 = (-1,2),0 = (5,7)、选择题: 1.A. {1,3,9}C.{-1,1,3x - y 3 _ 0设x, y 满足约束条件*x + yZ0，则z = 3x + y 的最小值是x 兰2S n ,则 S n =，定点的坐标是是某几何体的三视图，则该几何体的体积为C. D.5.6. A. -5 B. 4 C. -3D. 11已知等差数列｛务｝的公差不为0,可=1，且32,34,38成等比数列，设｛a n ｝的前n 项和A.n( n 1) 2B.2C. n 2 12 D.n(n 3) 47.以抛物线y 2=8x 上的任意一点为圆心作圆与直线X 二-2相切，这些圆必过一定点，则8. 9. A. (0,2)B. (2, 0)执行如图所示的程序框图，当输出则输入n 的值可以为A.B. C. D.如图，网格纸上小正方形的边长为 C.S =210 时,1,粗实线画出的 (4, 0) D. (0, 4)——n = n - 1否甲S = n ・S(■结束2)A.14二B.310二3 5-J IS = 1C 开始3*/ 输入n // 输岀S /n < 5 ?是俯视图正视图F I +•B 8；侧视图-10.已知锐角：•满足cos( ) =cos2＞，则sin〉cos 等于414 411.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中如像招数”五问有如下问题：今有官司差夫一千八百六十四人筑堤•只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为：官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出 64人，从第二天开始，每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”.这个问题中，前5天应发大米12•对于定义域为 R 的函数f(x)，若同时满足下列三个条件：①且 X = 0 时，都有 xf (x)0 ；③当 x 1 ::: 0 x 2，且 I 片 |=| x 2 |时，都有 f (xj ::： f (x 2),则称f(x)为偏对称函数”.现给出下列三个函数：3 3 2 x ] ln(1—x), x 兰 0 f i (x)-X x ； f 2(x) = e - x-1； f 3(x)二212x, x > 0则其中是偏对称函数”的函数个数为 A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题：本大题共 4个小题，每小题5分。

2016-2017年上海市七宝中学高三下开学考

第1页七宝中学高三摸底考试数学试卷2017.02一. 填空题1. 不等式11x>的解是 2.已知直线120l y -+=，2:350l x -=，则直线1l 和2l 的夹角为3. 函数3sin 2()2cos 1xf x x -=的最大值是4.i 为虚数单位，1cos 2sin 2z i θθ=-对应的点在第二象限，则θ是第象限的角 5. 已知一组数据47、48、51、54、55，则该组数据的方差是6. 从二项式11(1)x +的展开式中取一项，系数为奇数的概率是7. 命题“对任意[0,]4x π∈，tan x m <恒成立”是假命题，则实数m 取值范围是 8. 函数2()log (43)a f x x x =-+(0,1)a a >≠在[,)x m ∈+∞上存在反函数，则m 的取值范围是9. 若平面向量a 、b 满足||2a =，(2)12a b b +⋅=，则||b 的取值范围为10.已知数列{}n a ，11a =，11()3n n n a a ++=，*n N ∈，则12321lim()n n a a a a -→∞+++⋅⋅⋅+= 11. 已知函数()a f x x x =+(0)a >，若对任意的m 、n 、1[,1]3p ∈，长为()f m 、()f n 、()f p 的三条线段均可以构成三角形，则正实数a 的取值范围是12. 已知数列{}n a 满足：对任意的*n N ∈均有122n n a ka k +=+-，其中k 为不等于0与1的常数，若{272,32,2,8,88,888}i a ∈---，i =2、3、4、5，则满足条件的1a 所有可能值的和为二. 选择题13. 已知实数m 、n ，则“0mn >”是“方程221mx ny +=代表的曲线是椭圆”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充要条件C. 充要条件D.既非充分也非必要条件14. 将半径为R 的半圆形铁皮制作成一个无盖圆锥形容器（不计损耗），则其容积为（）3R3R3R3R 15. 已知数列{}n a 通项公式为1(1)n a n n =+，其前m 项和为910，则双曲线2211x y m m -=+ 的渐近线方程是（） A.910y x =± B. 109y x =±C. y x =D.y x =第2页16. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则下列一定成立的是（）A.若30a >，则20160a >B. 若40a >，则20170a >C. 若30a >，则20170S >D.若40a >，则20160S >三. 解答题17. 如图，用一平面去截球O ，所得截面面积为16π，球心O 到截面的距离为3，1O 为截面小圆圆心，AB 为截面小圆的直径；（1）计算球O 的表面积和体积；（2）若C 是截面小圆上一点，30ABC ︒∠=，M 、N 分别是线段1AO 和1OO 的中点，求异面直线AC 与MN 所成的角；（结果用反三角表示）18. △ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，5cos 13A =，10tan cot 223B B +=， 21c =；（1）求sin C 的值；（2）求△ABC 的面积； 19. 已知函数2()43f x x x a =-++，a R ∈；（1）若函数()y f x =在[1,1]-上存在零点，求a 的取值范围；（2）设函数()52g x bx b =+-，b R ∈，当3a =时，若对任意的1[1,4]x ∈，总存在 2[1,4]x ∈，使得12()()g x f x =，求b 的取值范围；20. 已知抛物线2:2y px Γ=上一点(3,)M m 到焦点的距离为4，动直线y kx =(0)k ≠交抛物线Γ于坐标原点O 和点A ，交抛物线Γ的准线于点B ，若动点P 满足OP BA =，动点P 的轨迹C 的方程为(,)0F x y =；（1）求出抛物线Γ的标准方程；（2）求动点P 的轨迹方程(,)0F x y =；（不用指明范围）（3）以下给出曲线C 的四个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究：①对称性； ②图形范围；③渐近线；④0y >时，写出由(,)0F x y =确定的函数()y f x =的单调区间，不需证明；21. 已知无穷数列{}n a ，满足21||n n n a a a ++=-，*n N ∈；（1）若11a =，22a =，求数列前10项和；（2）若11a =，2a x =，x Z ∈，且数列{}n a 前2017项中有100项是0，求x 的可能值；（3）求证：在数列{}n a 中，存在*k N ∈，使得01k a ≤<；参考答案一. 填空题第3页 1. (0,1) 2. 3π 3. 5 4. 一、三 5. 10 6. 237. (,1]-∞ 8. (3,)+∞ 9. [2,6] 10.98 11. 15(,)153 12. 24203二. 选择题13. C 14. A 15. C 16. C三. 解答题17.（1）100S π=，5003V π=；（2）2arccos 5； 18.（1）63sin 65C =；（2）126S =； 19.（1）[8,0]-；（2）1[1,]2-； 20.（1）24y x =；（2）244(1)1y x x =++-；（3）①关于x 轴对称；②(1,)x ∈+∞， (,4][4,)y ∈-∞-+∞；③渐近线1x =；④在(1,2]上递减，在[2,)+∞上递增； 21.（1）9；（2）1141-、1140-、1144、1145；（3）略；。

上海市七宝中学2017-2018学年高三模拟考试理数试题 Word版含解析

上海市七宝中学2017-2018学年高三模拟考试理数试题一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分．）1.函数y =______________. 【答案】(0,1] 【解析】试题分析：由0log 5.0≥x 得10≤<x ，应填答案(0,1]. 考点：对数不等式的解法．2.已知{}2,M y y x x R ==∈，{}222,,N x x y x y R =+=∈，则M N =_____.【答案】⎢⎣【解析】试题分析：因02≥=x y ,而2222≤-=y x ,故22≤≤-x ,所以]2,0[=N M .考点：集合的交集运算．3.在41(1)(1)x x++的展开式中2x 项的系数为______________.【答案】10考点：二项式定理及通项公式的运用．4.已知地球的半径为R ，在北纬045东经030有一座城市A ，在北纬045西经060有一座城市B ，则坐飞机从城市A 飞到B 的最短距离是______________.（飞机的飞行高度忽略不计）【答案】3R π【解析】试题分析：已知纬圆所在的纬度为045,则纬圆的半径为R 22,纬圆周的两点B A ,的弦长为R R AB =⋅=222,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π.考点：球面距离及计算．【易错点晴】球面距离的定义是经过球心的大圆上的劣弧的长.解答本题的关键是求出经过B A ,大圆的圆心角AOB ∠,为此先求045纬圆上这两点B A ,连线段的长AB ,即纬圆上的弦长AB .求的长时借助纬度的概念,求出了球心与纬圆面之间的距离=d R 22与纬圆的半径相等.由经度的定义可知0190=∠B AO ,所以R R AB =⋅=222,这样AOB ∆就是等边三角形,所以点B A ,所在的球的大圆面上弧所对的圆心角为3π,则大圆的弧长为R 3π,即球面距离是R 3π.5.已知一随机变量ξ的分布列如下表，则随机变量ξ的方差D ξ=______________.【答案】11 【解析】试题分析：因为3)840(41)(,20)64160(41)(2=++==++=x E x E ,所以11920)()(22=-=-=x E x E D ξ.考点：数学期望和方差的计算． 6.在极坐标系中，点(2,),(2,)2A B ππ，C 为曲线2cos ρθ=的对称中心，则三角形ABC 面积等于________. 【答案】3 【解析】试题分析：将点B A ,化为直角坐标为)2,0(),0,2(B A -,极坐标方程化为直角坐标为0222=-+x y x ,所以圆心为)0,1(C ,所以ABC ∆的面积为32321=⨯⨯=S . 考点：极坐标方程及运用．7.高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是______________.（结果用最简分数表示）【答案】3135【解析】试题分析：从7名学生中选3名的种数为3512356737=⨯⨯⨯⨯=C ,其中无女生的种数为41434==C C ,所以至少含有一个女生的概率为35313541=-=P . 考点：古典概型的计算公式及排列数组合数公式的运用．8.在复数范围内，若方程22012690x x ++=的一个根为α，则α=______________.考点：复数的模及计算．9.将()f x =sin cos xx 的图象按(,0)(0)n a a =->平移，所得图象对应的函数为偶函数，则a 的最小值为______________. 【答案】56π 【解析】试题分析：因为()f x =sin cos xx )6cos(sin cos 3π+=-=x x x ,所以按向量平移后所得的函数为)6cos()(π++=a x x g ,由题设可得1)60cos()0(±=++=πa g ,即ππk a =+6,也即6ππ-=k a ,所以a 的最小值为56π.考点：行列式的计算及三角函数的图象和性质．10.已知()y f x =是定义在R 上的增函数，且()y f x =的图象关于点(6,0)对称，若实数,x y满足不等式22(6)(836)0f x x f y y -+-+≤，则22x y +的取值范围是______________. 【答案】[16,36]考点：函数的单调性和圆的方程的等知识的综合运用．11.函数()f x 对任意12,[,]x x m n ∈都有1212()()f x f x x x -≤-，则称()f x 为在区间[,]m n 上的可控函数，区间[,]m n 称为函数()f x 的“可控”区间，写出函数2()21f x x x =++的一个“可控”区间是________. 【答案】1[,0]2-的子集都可以【解析】试题分析：因为)](1)(2[)()(212121x x x x x f x f -++=-,由可控函数的定义可得1|1)(2|21≤++x x ,即0121≤+≤-x x ,所以区间[,]m n 应为]0,21[-的一个子区间.考点：定义新概念和综合运用所学知识．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是不等式的有关知识及推理判断的能力.结论的开放性和不确定性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,合理有效地利用好可控函数及可控区间等新信息和新定义,并以此为基础进行推理论证,从而写出满足题设条件的答案.解答本题时,借助绝对值不等式的性质进行巧妙推证,从而探寻出符合题设条件的一可控区间的区间.12.椭圆22221(0)43x y a a b+=>的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点,A B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是______________.【答案】acb S 23=考点：椭圆的定义和几何性质．13.用符号(]x 表示小于x 的最大整数，如(]3,( 1.2]2π=-=-，有下列命题：①若函数()(],f x x x x R =-∈，则()f x 的值域为[1,0)-；②若(1,4)x ∈，则方程1(]5x x -=有三个根；③若数列{}n a 是等差数列，则数列{}(]n a 也是等差数列；④若57,{,3,}32x y ∈，则(](]2x y∙=的概率为29P =. 则下列正确命题的序号是______________. 【答案】①②④ 【解析】试题分析：由定义0](1<-≤-x x ,所以其值域为[1,0)-,故①正确；由于5.0](=-x x ,因此可求得2.3,2.2,2.1=x ,所以②正确；对于③,如取数列7.4,9.2,1.1成等差数列,但4]7.4(,2]9.2(,1]1.1(===不成等差数列；对于④很容易验证是正确的.故应填①②④.考点：函数的性质及分析问题解决问题的能力．【易错点晴】本题以符号函数为背景，考查的是函数与方程、等差数列和等比数列、概率等许多有关知识和运算求解及推理判断的能力.定义新概念运用新信息是解答本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,对题设中提供的几个命题进行分析推断最后作出真假命题的判断.对于命题,举出一个反例,进行了推断从而说明它是假命题.运用反例是否定一个命题是真命题的有效方式和方法.14.设()cos 2()cxf x ax bx x R =++∈，,,a b c R ∈且为常数，若存在一公差大于0的等差数列{}n x（*n N ∈），使得{()}n f x 为一公比大于1的等比数列，请写出满足条件的一组,,a b c 的值【答案】0,0,0a b c ≠=>（答案不唯一，一组即可）【解析】试题分析：由题设可取1,0,1===c b a ,此时x x x f 2cos )(+=,存在数列25,23,2πππ,满足题设,应填答案1,0,1===c b a .考点：函数与等差等比数列以及分析探究的能力．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是等差数列和等比数列的有关知识及推理判断的能力.开放性是本题的一大特色.解答时应充分依据题设条件,想方设法构造出一个满足题设条件的数列.由于本题是一道结论开放型的问题,因此它的答案是不唯一的,所以在求解时只要求出一组符合题目要求的数据即可.如本题的解答时取1,0,1===c b a ,函数xx x f 2cos )(+=,取数列}25,23,2{πππ,则253322)25(,2)23(,2)2(ππππππ===f f f 成等比数列,故答案应填1,0,1===c b a . 二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）15.若直线l 的一个法向量(3,1)n =，则直线l 的一个方向向量d 和倾斜角α分别为（） A ．(1,3);arctan3d α== B ．(1,3);arctan(3)d α=-=- C ．(1,3);arctan3d απ==- D ．(1,3);arctan3d απ=-=- 【答案】D 【解析】试题分析：由题设可知直线l 的一个方向向量是)3,1(-=,其斜率3-=k ,即3tan -=α,故3arctan -=πα,应选D.考点：直线的法向量和反正切函数．16.在ABC ∆中，“cos cos cos 0A B C ∙∙<”是“ABC ∆为钝角三角形”的（） A ．充分必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分不必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A试题分析：由题设条件可知C B A cos ,cos ,cos 中必有一个是负数,即三个内角中必有一个是钝角,所以是钝角三角形,是充分条件;反之,若三角形是钝角三角形,则C B A cos ,cos ,cos 的积必为负数,即是必要条件,应选答案A. 考点：解三角形．【易错点晴】本题以解三角形的问题的形式为背景，考查的是充分必要条件的有关知识及推理判断的能力. 解答好本题的关键是搞清楚钝角三角形的概念是什么?其外延是什么?其实钝角三角形的概念是有一个内角是钝角即可了.解答这个问题的过程中常常会出现三个内角都是钝角的错误,将锐角三角形的概念和钝角三角形的概念混淆在一起,从而误判得出不正确的答案.17.定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的，且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立，则称()f x 是一个“λ—半随函数”.有下列关于“λ—半随函数”的结论：①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ—半随函数”；② “12—半随函数”至少有一个零点；③2()f x x =是一个“λ—半随函数”；其中正确结论的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个【答案】A考点：函数及新定义的概念的灵活运用．【易错点晴】本题以函数的形式为背景，考查的是函数的零点等有关知识及推理判断的能力. 命题的真假的判断及分析求解的能力是解答好本题的关键,本题给出的三个命题的真假的判断成为解答这道试题的重中之重.对于命题①,实数λ的取值是不唯一的,因此该命题是假命题；对于命题②,运用定义可得结论,显然这个方程0)(21)21(=-=+x f x f 的解是不唯一的,所以是真命题；对于命题③找不到实数λ满足题设,因此是假命题整个求解过程充满了推理和判断.18.已知数据123,,,,n x x x x 是上海普通职工n （3n ≥，*n N ∈）个人的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（）A ．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变；B ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大；C ．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变；D ．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变. 【答案】B 【解析】试题分析：由题设可知选择支中的A,C,D 都是不正确的，所以应选B. 考点：中位数平均数方差等概念的理解和计算．三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 19.（本题满分12分，其中第1小题6分，第2小题6分）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC ==，090BAC ∠=，且异面直线1A B 与11B C 所成的角等于060，设1AA a =. （1）求a 的值；（2）求直线11B C 到平面1A BC 的距离.【答案】(1)1；(2)3．【解析】试题分析：(1)运用平几的勾股定理等知识求解；(2)运用等积法求解. 试题解析：（1）∵11//BC B C ，∴1A BC ∠就是异面直线1A B 与11B C 所成的角，即0160A BC ∠=,又连接1AC ，AB AC =，则11A B AC = ∴1A BC ∆为等边三角形，由1AB AC ==，090BAC ∠=BC ⇒=∴11A B a =⇒==.（2）易知11//B C 平面1A BC ，又D 是11B C 上的任意一点，所以点D 到平面1A BC 的距离等于点1B 到平面1A BC 的距离. 设其为d ，连接1B C ，则由三棱锥11B A BC -的体积等于三棱锥11C A B B -的体积，求d ，11A B B ∆的面积12S =，1A BC ∆的面积'242S ==，又1CA A A ⊥，CA AB ⊥，∴CA ⊥平面11A B C ，所以'11333S AC S d d ∙∙=∙∙⇒=，即11B C 到平面1A BC 的距离等于3. 考点：空间的直线与平面的位置关系及几何体的体积公式．【易错点晴】立体几何是高中数学的重要内容之一,也是上海市历届高考必考的题型之一.本题考查是空间的直线与直线所成角的计算问题和直线与平面的距离的计算问题.解答时第一问充分借助已知条件中异面直线所成角的概念,通过解直角三角形而获解.关于第二问中直线与平面之间的距离问题,解答时巧妙运用转化的思想,将其转化为三棱锥的高的问题来处理,使得问题的求解过程简捷明快.20.（本小题满分14分，其中第1小题6分，第2小题8分）某海域有,A B 两个岛屿，B 岛在A 岛正东4海里处，经多年观察研究发现，某种鱼群洄游的路线是曲线C ，曾有渔船在距A 岛、B 岛距离和为8海里处发出过鱼群。

2024年上海市七宝中学高三高考三模考试数学试卷含详解

2024年上海高三数学模拟试卷2024.051.已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ______．2.设()211iz m m =-+-（i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数m 的值为______．3.422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是__________.4.不等式()lg 11x +>的解集为______．5.某校高三年级10名男生的身高数据（单位：cm ）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______cm ．6.已知椭圆C 的焦点1F 、2F 都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，12PF F △的周长为6，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为______．7.设平面向量()sin ,1a θ=，(cos b θ=，若a，b 不能组成平面上的一个基底，则tan θ=______．8.若m ∈R ，()2,0,1,02x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则满足()()23f m f m -≥+的m 的最大值为______．9.已知n ∈N ，关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，则实数k =______．10.已知点C 在以AB 为直径的球面上，若2BC =，则AB BC ⋅=______．11.如图，河宽50米，河两岸A 、B 的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A 走水路直接到B ，也可以从A 先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B ．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A 到B 的最短时间为______分钟，（精确到小数点后两位）12.已知有穷数列{}n a 的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，则符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为______．二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个，正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）13.在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件14.设一组成对数据的相关系数为r ，线性回归方程为 y axb =+ ，则下列说法正确的为（）.A .a越大，则r 越大 B. a越大，则r 越小C .若r 大于零，则 a一定大于零 D.若r 大于零，则 a一定小于零15.已知函数()y f x =的定义域为()0,2，则下列条件中，能推出1一定不是()y f x =的极小值点的为（）A.存在无穷多个()00,2x ∈，满足()()01f x f <B.对任意有理数()()00,11,2x ∈⋃，均有()()01f x f <C.函数()y f x =在区间()0,1上为严格减函数，在区间()1,2上为严格增函数D.函数()y f x =在区间()0,1上为严格增函数，在区间()1,2上为严格减函数16.设集合(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，点P 的坐标为(),x y ，满足“对任意(),a b U ∈，都有ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为1Ω，满足“存在(),a b U ∈，使得ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为2Ω．对于下述两个结论：①1Ω为正方形以及该正方形内部区域；②2Ω的面积大于32．以下说法正确的为（）．A.①、②都正确B.①正确，②不正确C.①不正确，②正确D.①、②都不正确三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且CB BP CD DP ⊥⊥，，2PA =，点E F ，分别为PB PD ，的中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求点P 到平面AEF 的距离.18.掷两颗骰子，观察掷得的点数．（1）设A ：掷得的两个点数之和为偶数，B ：掷得的两个点数之积为偶数，判断A 、B 是否相互独立．并说明理由；（2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．19.某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴()0m m >万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n 年的初始资金为n a 万元．（1）判断{}2n a m -是否为等比数列？并说明理由；（2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设2600m =，则该工厂在第几年转型升级？20.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ．（1）若Γ的长轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程：（2）若4b =，双曲线Γ左支上任意点T 均满足12TF a ≥，求a 的最大值；（3）若双曲线Γ的左支上存在点P 、右支上存在点Q 满足12FP PQ QF ==，求Γ的离心率e 的取值范围．21.若曲线C 的切线l 与曲线C 共有n 个公共点（其中n ∈N ，1n ≥），则称l 为曲线C 的“n T -切线”.（1）若曲线()y f x =在点()1,2-处的切线为2T -切线，另一个公共点的坐标为()3,4，求()1f '的值；（2）求曲线323y x x =-所有1T -切线的方程；（3）设()sin f x x x =+，是否存在π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点()()t f t ，处的切线为3T -切线？若存在，探究满足条件的t 的个数，若不存在，说明理由．2024年上海高三数学模拟试卷2024.051.已知集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，若A B B = ，则=a ______．【答案】3【分析】根据给定条件，利用交集的结果直接列式计算即得.【详解】集合{}1,3,4A =，{},1B a a =+，由A B B = ，得B A ⊆，又11a a +-=，因此143a a +=⎧⎨=⎩，所以3a =.故答案为：32.设()211i z m m =-+-（i 为虚数单位），若z 为纯虚数，则实数m 的值为______．【答案】1-【分析】根据给定的条件，利用纯虚数的定义列式计算即得.【详解】由()211i z m m =-+-为纯虚数，得21010m m ⎧-=⎨-≠⎩，解得1m =-，所以实数m 的值为1-.故答案为：1-3.422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数是__________.【答案】8【分析】写出二项式展开式的通项公式，令x 的指数为1，解出r ，可得结果.【详解】422x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为44314422C C 2rr r r r rr T x xx --+⎛⎫=⋅⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭，(其中0,1,2,3,4r =)，令431r -=，解得1r =，即二项式展开式中x 的系数为14C 28⨯=.故答案为：84.不等式()lg 11x +>的解集为______．【答案】(9,)+∞【分析】利用对数函数单调性求出不等式的解集.【详解】由不等式()lg 11x +>，得110x +>，解得9x >，所以不等式()lg 11x +>的解集为(9,)+∞.故答案为：(9,)+∞5.某校高三年级10名男生的身高数据（单位：cm ）如下：168、171、173、176、176、180、183、184、186、191．该组数据的第80百分位数为______cm ．【答案】185【分析】利用80百分位数的定义求解即得.【详解】显然该组数据已由小到大排列，由1080%8⨯=，得该组数据的第80百分位数为1841861852+=.故答案为：1856.已知椭圆C 的焦点1F 、2F 都在x 轴上，P 为椭圆C 上一点，12PF F △的周长为6，且1PF ，12F F ，2PF 成等差数列，则椭圆C 的标准方程为______．【答案】22143x y +=【分析】根据给定条件，结合等差中项的意义及椭圆的定义列式求出,a c 即可得解.【详解】令椭圆长半轴长为a ，半焦距为c ，依题意，1212121262PF PF F F PF PF F F ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，即22624a c a c +=⎧⎨=⎩，解得2,1a c ==，则椭圆短半轴长b ==所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.故答案为：22143x y +=7.设平面向量()sin ,1a θ=，(cos b θ= ，若a ，b 不能组成平面上的一个基底，则tan θ=______．【答案】33【分析】利用基底的定义可得//a b，再利用共线向量的坐标表示求解即得.【详解】由a，b 不能组成平面上的一个基底，得//a b ，而()sin ,1a θ=，(cos b θ=，cos θθ=，所以sin 3tan cos 3θθθ==.故答案为：338.若m ∈R ，()2,0,1,02x x x f x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，则满足()()23f m f m -≥+的m 的最大值为______．【答案】12-##0.5-【分析】先判断函数()f x 的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到m 的最大值.【详解】当0x >时，0x -<，即()()122x x f x f x -===-，当0x <时，0x ->，即()()122xx x f x f --===，于是，在(),-∞+∞上，()()f x f x -=都成立，即()f x 为偶函数.由指数函数的单调性可知，()f x 在()0,∞+上单调递增，因此，不等式()()23f m f m -≥+等价于23m m -≥+，即()()2223m m -≥+，解得12m ≤-.故m 的最大值为12-.故答案为：12-.9.已知n ∈N ，关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，则实数k =______．【答案】252【分析】根据给定条件，利用组合数的性质求解即得.【详解】由组合数的性质知，101010C C ,10,N nnn n -=≤∈，当5n ≠时，使得10C nk =的n 有两个，当5n =时，使得10C n k =的n 只有一个，而关于n 的方程10C 0nk -=有且仅有一个解，所以510C 252k ==.故答案为：25210.已知点C 在以AB 为直径的球面上，若2BC =，则AB BC ⋅=______．【答案】4-【分析】根据给定条件，可得ACBC ⊥，再利用空间向量数量积的运算律计算得解.【详解】由点C 在以AB 为直径的球面上，得ACBC ⊥，所以2()4AB BC AC CB BC AC BC BC ⋅=+⋅=⋅-=- .故答案为：4-11.如图，河宽50米，河两岸A 、B 的距离为100米，一个玩具气垫船（不计大小）可以从A 走水路直接到B ，也可以从A 先沿着岸边行驶一段距离，再走水路到B ．已知该气垫船在水中的速度是10米/分钟，岸上的速度是20米/分钟，则从A 到B 的最短时间为______分钟，（精确到小数点后两位）【答案】8.66【分析】按“胡不归”模型解决问题.【详解】如图设气垫船先沿着岸边行驶一段距离AC ，再走水路CB .在R t ABG 中，50AG =，100AB =，所以30ABG ∠=︒.如图，作30CAD ∠=︒，且CD AD ⊥于D 点，则2AC CD =，所以2010AC CD=.所以从A 到B 所用的时间为：2010101010AC BC CD BC CD BCt +=+=+=.过B 作BE AD ⊥，垂足为E ，则100cos30BC CD BE +≥=⨯︒=所以8.66t ≥≈.故答案为：8.6612.已知有穷数列{}n a 的首项为1，末项为12，且任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，则符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为______．【答案】144【分析】首末项相差11，从首项到末项的运算方法进行分类，结合组合计数问题列式计算即得.【详解】依题意，首项和末项相差11，而任意相邻两项之间满足{}11,2n n a a +-∈，112(,N)k m k m =+∈，当0k =时，即后一项与前一项的差均为1，数列{}n a 的个数为1；当1k =时，即后一项与前一项的差出现一个2，九个1，数列{}n a 的个数为110C ；当2k =时，即后一项与前一项的差出现两个2，七个1，数列{}n a 的个数为29C ；当3k =时，即后一项与前一项的差出现三个2，五个1，数列{}n a 的个数为38C ；当4k =时，即后一项与前一项的差出现四个2，三个1，数列{}n a 的个数为47C ；当5k =时，即后一项与前一项的差出现五个2，一个1，数列{}n a 的个数为56C ，所以符合上述要求的不同数列{}n a 的个数为123451098761C C C C C 144+++++=.故答案为：144【点睛】关键点点睛：按后一项与前一项的差2出现的次数分类是解决本问题的关键.二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，每题有且只有一个，正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑）13.在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】A【分析】利用异面直线的定义及充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】直线a 、b 为异面直线，则直线a 、b 不相交，反之，直线a 、b 不相交，直线a 、b 可能平行，也可能是异面直线，所以在空间中，“a 、b 为异面直线”是“a 、b 不相交”的充分非必要条件.故选：A14.设一组成对数据的相关系数为r ，线性回归方程为 y axb =+ ，则下列说法正确的为（）.A. a越大，则r 越大 B. a越大，则r 越小C.若r 大于零，则 a一定大于零 D.若r 大于零，则 a一定小于零【答案】C【分析】利用 a与r 的含义判断AB ，根据r 大于零时两变量正相关即可得 a 一定大于零判断CD.【详解】 a影响的是回归直线的斜率，r 影响是两个变量之间的相关性，所以 a与r 之间数值大小没有关系，但符号有影响，故选项AB 错误；若r 大于零，则说明两个变量之间成正相关，故 a一定大于零，故选项C 正确，D 错误.故选：C15.已知函数()y f x =的定义域为()0,2，则下列条件中，能推出1一定不是()y f x =的极小值点的为（）A.存在无穷多个()00,2x ∈，满足()()01f x f <B.对任意有理数()()00,11,2x ∈⋃，均有()()01f x f <C.函数()y f x =在区间()0,1上为严格减函数，在区间()1,2上为严格增函数D.函数()y f x =在区间()0,1上为严格增函数，在区间()1,2上为严格减函数【答案】B【分析】举例说明判断ACD ；利用极小值的意义推理判断A.【详解】对于A ，函数11,(0,]2()11,(,2)2x f x x x ⎧-∈⎪⎪=⎨⎪-∈⎪⎩的图象如图，显然函数()f x 满足题设条件，而1是()f x 的极小值点，A 错误；对于B ，在1x =附近的任意区间内，总存在有理数，这些有理数的函数值小于(1)f ，因此1一定不是极小值点，B 正确；对于C ，函数()|1|,(0,2)f x x x =-∈在()0,1上为严格减函数，在()1,2上为严格增函数，1是()f x 的极小值点，C 错误；对于D ，函数1,1()11,(0,1)(1,2)x f x x x -=⎧=⎨--∈⋃⎩图象如图，函数()f x 在()0,1上为严格增函数，在()1,2上为严格减函数，1是()f x 的极小值点，D 错误.故选：B 16.设集合(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，点P 的坐标为(),x y ，满足“对任意(),a b U ∈，都有ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为1Ω，满足“存在(),a b U ∈，使得ax by bx ay ++-≤”的点P 构成的图形为2Ω．对于下述两个结论：①1Ω为正方形以及该正方形内部区域；②2Ω的面积大于32．以下说法正确的为（）．A.①、②都正确B.①正确，②不正确C.①不正确，②正确D.①、②都不正确【答案】C【分析】先确定ax by bx ay ++-≤所表达的意义，了解满足该条件的点P 的轨迹，再求P 点轨迹区域的面积，可以得到问题的答案.【详解】因为(){}22,|0,R,R U x y xy x y =+≠∈∈，表示除原点外的平面内的所有点.ax by bx ay ++-≤⇒4≤，所以(),P x y 表示到直线0ax by +=和0bx ay -=的距离之和不大于4的点.如图：易知直线0ax by +=和0bx ay -=垂直，则4OE OF +≤，222OP OE OF =+.当4OE OF +=时，()2224OP OE OE=+-()2224OE ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦.因为04OE <<，所以2816OP ≤<⇒4OP ≤<.所以1Ω是以原点为圆心，半径在)4⎡⎣范围内的圆形以及该圆形的内部区域（原点除外），故①不正确；当)4OP ⎡∈⎣时，存在OP 使得2π32OP ⋅>，故②正确.故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键是把条件ax by bx ay ++-≤4≤，借助点到直线的距离公式，明确P 点坐标满足的条件.三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤）17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，且CB BP CD DP ⊥⊥，，2PA =，点E F ，分别为PB PD ，的中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）求点P 到平面AEF 的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）233.【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、性质推理即得.（2）利用等体积法求出点到平面的距离.【小问1详解】由底面ABCD 为正方形，得CB AB ⊥，又,,,CB BP AB BP B AB BP ⊥⋂=⊂平面ABP ，于是CB ⊥平面ABP ，而PA ⊂平面ABP ，则CB PA ⊥，同理CD PA ⊥，又,,CB CD C CB CD ⋂=⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD .【小问2详解】由（1）得PA AB ⊥，点E 为PB 的中点，在Rt PAB 中，AE =F 为PD 的中点，同理AF =，在PBD △中，12EF BD ==，因此1222AEF S ==△，在直角PAB 中，1122122APE S =⨯⨯⨯=△，由（1）知CB ⊥平面ABP ，则AD ⊥平面ABP ，于是点F 到平面APE 的距离为112AD =设点P 到平面AEF 的距离为h ，由P AEF F AEP V V --=，得13111323h ⨯⨯=⨯⨯，解得233h =，所以点P 到平面AEF 的距离为3.18.掷两颗骰子，观察掷得的点数．（1）设A ：掷得的两个点数之和为偶数，B ：掷得的两个点数之积为偶数，判断A 、B 是否相互独立．并说明理由；（2）已知甲箱中有3个白球，2个黑球；乙箱中有2个白球，3个黑球．若掷骰子所得到的两个点数奇偶性不同，则从甲箱中任取两个球；若所得到的两个点数奇偶性相同，则从乙箱中任取两个球、求取出白球个数的分布和期望．【答案】（1）不相互独立（2）分布列见解析，期望为1.【分析】（1）利用古典概率结合组合计数问题求出(),(),()P A P B P A B ，再利用相互独立事件的定义判断即得.（2）求出取得白球个数X 的可能值，并求出各个值对应的概率，列出分布列并求出期望.【小问1详解】依题意，2222233133(),()16264P A P B +===-=，2231()64P A B == ，显然()()()P A B P A P B ⋂≠，所以A 、B 不是相互独立的.【小问2详解】两个点数奇偶性不同的概率为23333162⨯+⨯=，两个点数奇偶性相同的概率也是12，记取出白球的个数为X ，则X 可能的取值为：0，1，2，22322255C C 111(0)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，111123232255C C C C 113(1)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，22322255C C 111(2)2C 2C 5P X ==⨯+⨯=，所以X 的分布为：X012P153515期望()1310121555E X =⨯+⨯+⨯=.19.某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴()0m m >万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n 年的初始资金为n a 万元．（1）判断{}2n a m -是否为等比数列？并说明理由；（2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设2600m =，则该工厂在第几年转型升级？【答案】（1）答案见解析；（2）9.【分析】（1）根据给定条件，可得132n n a a m +=-，再利用构造法推理得解.（2）由（1）的结论，取2600m =，再结合已知利用单调性解指数不等式即得.【小问1详解】依题意，15000a =，()21150%7500a a m m =+-=-，13(150%)2n n n a a m a m +=+-=-，即132(2)2n n a m a m +-=-，而当2500m =，即120a m -=时，{}2n a m -不是等比数列；当0m >且2500m ≠时，数列{}2n a m -是一个以32为公比，50002m -为首项的等比数列.【小问2详解】当2600m =时，由（1）知数列{}2n a m -是一个以200-为首项，32为公比的等比数列，则135200200()2n n a --=-⨯，即135200200()2n n a -=-⨯，设第n 年转型升级，则135********nn a +⎛⎫=-⨯< ⎪⎝⎭，则3262n⎛⎫> ⎪⎝⎭，数列3{()2}n是递增数列，8936561319683()26,()2622562512=<=>，而*N n ∈，则min 9n =，所以该工厂在第9年转型升级.20.已知双曲线Γ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ．（1）若Γ的长轴长为2，焦距为4，求Γ的渐近线方程：（2）若4b =，双曲线Γ左支上任意点T 均满足12TF a ≥，求a 的最大值；（3）若双曲线Γ的左支上存在点P 、右支上存在点Q 满足12FP PQ QF ==，求Γ的离心率e 的取值范围．【答案】（1）y =；（2；（3）(2,)+∞.【分析】（1）根据给定条件，由,,a b c 求出渐近线方程.（2）设出点T 的坐标，利用两点间距离公式求出1||PF 有最小值，再结合已知求解即得.（3）设112212(,),(,),,P x y Q x y x a x a ≤-≥，结合已知可得120x x +=，再按12y y =和12y y =-分类建立不等式求出e 的范围.【小问1详解】令双曲线的半焦距为c ，依题意，1,2a c ==，由222c a b =+，得b =，则ba=所以双曲线Γ的渐近线方程为y =.【小问2详解】设点T 的坐标为(,),x y x a ≤-，1(,0)F c -，则22222()b y x a a=-，于是1c TF x a a==--，当x a =-时，1min ||PF c a =-，因此2c a a -≥，即229c a ≥，则2229a b a +≥，又4b =，解得a ≤因此a .【小问3详解】设点112212(,),(,),,P x y Q x y x a x a ≤-≥，12(,0),(,0)F c F c -，由12F P QF =，得22221122()()x c y x c y++=++，整理得：212122([(]0))2c x x x x c a+-+=，由122x x a -≤-，得2122()20c x x c a-+<，因此120x x +=，当12y y =时，由1F P PQ =，得222111()4x c y x ++=，整理得:222112(420c x cx a a---=，解得12a x e =-或12a x e =-+(舍)，由2aa e≤--，解得23e <≤；当12y y =-时，由1F P PQ =，得22221111()44x c y x y ++=+，整理得：222211232340c x cx a c a-+-=，在1x a ≤-有解，故22232340c ac a c ++-≤，即2230e e --≥，解得:3e ≥或1e ≤-（舍），综上，曲线Γ的离心率e 的取值范围是(2,)+∞.【点睛】方法点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．21.若曲线C 的切线l 与曲线C 共有n 个公共点（其中n ∈N ，1n ≥），则称l 为曲线C 的“n T -切线”.（1）若曲线()y f x =在点()1,2-处的切线为2T -切线，另一个公共点的坐标为()3,4，求()1f '的值；（2）求曲线323y x x =-所有1T -切线的方程；（3）设()sin f x x x =+，是否存在π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点()()t f t ，处的切线为3T -切线？若存在，探究满足条件的t 的个数，若不存在，说明理由．【答案】（1）3；（2）31y x =-+；（3）存在，唯一一个.【分析】（1）利用斜率坐标公式求出斜率，再利用导数的几何意义得解.（2）求出函数323y x x =-在32000(,3)-x x x 处的切线方程，再利用1T -切线的定义求解即得.（3）求出函数()f x 的导数，由曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线方程，构造函数()g x ，利用导数探讨极值，由()g x 有3个零点建立关系并求解即得.【小问1详解】依题意，该切线的斜率为4(2)331--=-，因此(1)3f '=.【小问2详解】由323y x x =-，求导得236y x x '=-，则曲线323y x x =-在32000(,3)-x x x 处的切线方程为：()32200000(3)(36)y x x x x x x --=--，令3223232000000()3(36)363h x x x x x x x x x x =---+--+，整理得200()()(23)h x x x x x =-+-，此切线为1T -切线，等价于方程()0h x =有且仅有一个根，即0032x x =-，即01x =，所以曲线323y x x =-的1T -切线仅有一条，为31y x =-+.【小问3详解】由(sin )1cos x x x '+=+，得曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线方程为：sin (1cos )()y t t t x t --=+-，即(1cos )sin cos y t x t t t =++-，令()(sin )[(1cos )sin cos ]g x x x t x t t t =+-++-sin cos sin cos x x t t t t =--+，求导得()cos cos g x x t '=-，由π(0,)2t ∈，得cos (0,1)t ∈，对Z k ∈，当(2π,2π)x k t k t ∈-+时，()cos cos 0,()g x x t y g x '=->=为严格增函数；当(2π,2π2π)x k t k t ∈++-时，()cos cos 0,()g x x t y g x '=-<=为严格减函数，函数()y g x =所有的极大值为(2π)2πcos g k t k t +=-，当0k =时，极大值等于0，即()0g t =，当k 为正整数时，极大值全部小于0，即()y g x =在(,)t ∞+无零点，当k 为负整数时，极大值全部大于0，函数()y g x =所有的极小值为(2π)(22π)cos 2sin g k t t k t t -=--，当0k =时，极小值()2cos 2sin 2cos (tan )0g t t t t t t t -=-=-<，且随着k 的增大，极小值(22π)cos 2sin t k t t --越来越小，因此()y f x =在点π(,())(0)2t f t t <<处的切线为3T -切线，等价于()y g x =有三个零点，等价于(22π)cos 2sin 0t t t +-=，即tan πt t -=有解，令()tan h t t t =-，则221()1tan 0cos h t t t'=-=>，因此()y h t =为π(0,)2上的严格增函数，因为3(0)0π,()12.6π2h h =<≈>，于是存在唯一实数π(0,)2t ∈，满足tan πt t -=，所以存在唯一实数π(0,)2t ∈，使得曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线为3T -切线.【点睛】结论点睛：函数y =f (x )是区间D 上的可导函数，则曲线y =f (x )在点00(,())x f x 0()x D ∈处的切线方程为：000()()()y f x f x x x '-=-.。

上海市七宝中学2024年高三下学期3月模拟测试数学试题

上海市七宝中学2024年高三下学期3月模拟测试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数，则的共轭复数在复平面对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则357a a a ++=（） A ．21B ．42C ．63D ．843．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，1C 和2C 的离心率之积为32，则2C 的渐近线方程为（）A ．20x ±=B 20x y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=4．已知在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若函数()3222111()324f x x bx a c ac x =+++-存在极值，则角B 的取值范围是（） A ．0,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．,3π⎛⎫π⎪⎝⎭D ．,6π⎛⎫π⎪⎝⎭5．已知将函数()sin()f x x ωϕ=+（06ω<<，22ππϕ-<<）的图象向右平移3π个单位长度后得到函数()g x 的图象，若()f x 和()g x 的图象都关于4x π=对称，则ω的值为（）A ．2B ．3C ．4D ．326．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞7．若复数()()31z i i =-+，则z =（） A ．22B ．25C 10D ．208．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）A ．4383π+B ．2383π+C ．343π+D ．8343π+9．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 10．51(1)x x-+展开项中的常数项为 A ．1B ．11C ．-19D ．5111．设向量a ，b 满足2=a ，1b =，,60a b =，则a tb +的取值范围是 A ．)2,⎡+∞⎣B ．)3,⎡+∞⎣C ．2,6⎤⎦D ．3,6⎤⎦12．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（） A ．45B ．42C ．25D ．36二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年上海市七宝中学高三数学高考三模试卷附答案解析

2024年上海市七宝中学高三数学高考三模试卷本卷满分150分，考试时间120分钟．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合}0{2|M x x =+≥，{|10}N x x =-<，则M N ⋂=．2．已知复数23z i(i)=+（i 为虚数单位），则z 的实部为．3．函数tan()6πy x =-+的最小正周期为．4．记样本数据10，18，8，4，16，24，6，8，32的中位数为a ，平均数为b ，则a b -=．5．若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中第3项与第5项的系数相等，则该展开式中41x 的系数为．6．已知函数()3,13,1x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩，则()3log 2f 的值为7．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为．8．已知数列{}n a 满足1n n a a +<，点(21,)n n P n a +在双曲线22126x y -=上，则1lim n n n P P +∞+→=．9．两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有种.10．用(),f X Γ表示点X 与曲线Γ上任意一点距离的最小值．已知22:1O x y +=e 及()221:44O x y -+= ，设P 为O 上的动点，则()1,f P O 的最大值为．11．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x ，与承载重力的方向平行的高度为y ，记矩形截面抵抗矩216W xy =．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x 与高y 的最佳之比应为．12．空间中A B 、两点间的距离为8，设123P P P 的面积为S ，令||i i i P A P B λ=⋅ ，若3123ii λ==∑，则S 的取值范围为．二、选择题（本大题满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）13．已知0a b <<，那么下列不等式成立的是（）A ．11a b<B ．2ab b <C ．b a a b>D ．1a bb+>14．上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（）．A ．123r r r >>B ．231>>r r r C ．132r r r >>D ．321r r r >>15．已知函数()22ln f x x x =+的图像在()()11,A x f x ，()()22,B x f x 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）A ．122x x +=B ．12103x x +=C ．122x x =D ．12103x x =16．已知OA 是圆柱1OO 下底面的一条半径，1OA =，110OO =，P 为该圆柱侧面上一动点，PB 垂直下底面于点B ，若PB AOB =∠，则对于下述结论：①动点P 的轨迹为椭圆；②动点P 的轨迹长度为；以下说法正确的为（）．A ．①②都正确B ．①正确，②错误C ．①错误，②正确D ．①②都错误三、解答题（本大题满分78分，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分）17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 2sin c A =．(1)求sin C 的值；(2)若3c =，求ABC 面积S 的最大值．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，四边形11ACC A 是边长为2的正方形.(1)证明：BC ⊥平面11ABB A ；(2)若直线1A C 与平面11ABB A 所成的角为30°，求二面角1B A C A --的余弦值．19．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -顶点处有一质点Q ，点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动，且向每个顶点移动的概率相同，从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次，若质点Q 的初始位置位于点A 处，记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为n P ．(1)求2P ；(2)证明：数列12n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列；若10132024n P >，求n 的最大值．20．将离心率相等的所有椭圆称为“一簇椭圆系”．已知椭圆22:12+=x E y 的左、右顶点分别为,A B ，上顶点为D ．(1)若椭圆22:12x y F s +=与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，求常数s 的值；(2)设椭圆22:(01)2x G y λλ+=<<，过A 作斜率为1k 的直线1l 与椭圆G 有且只有一个公共点，过D 作斜率为2k 的直线2l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求当λ为何值时，12k k +取得最小值，并求其最小值；(3)若椭圆22:1(2)2x y H t t+=>与椭圆E 在“一簇椭圆系”中，椭圆H 上的任意一点记为()00,C x y ，试判断ABC 的垂心M 是否都在椭圆E 上，并说明理由．21．设0t >，函数()y f x =的定义域为R ．若对满足21x x t ->的任意12x x 、，均有21()()f x f x t ->，则称函数()y f x =具有“()P t 性质”．(1)在下述条件下，分别判断函数()y f x =是否具有(2)P 性质，并说明理由；①3()2f x x =；②()10sin 2f x x =；(2)已知3()f x ax =，且函数()y f x =具有(1)P 性质，求实数a 的取值范围；(3)证明：“函数()y f x x =-为增函数”是“对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质”的充要条件．1．{|21}x x -≤<【分析】求出集合M 、N ，再根据交集的定义可得．【详解】由题意，{|2}M x x =≥-，{|1}N x x =<，{|21}M N x x ∴⋂=-≤<．故答案为：{|21}x x -≤<2．3-【分析】利用复数的运算法则，化简为i(,R)a b a b ∈+的形式，即a 为实部.【详解】2i(23i)2i 3i -32i z =+=+=+.所以复数的实部为3-.故答案为：3-3．π【分析】利用函数tan()y x ωϕ=+的最小正周期计算公式即可求解.【详解】因为tan y x =的最小正周期为π,所以函数tan()y x ωϕ=+的最小正周期为π||ω，所以函数tan()6πy x =-+的最小正周期为ππ|1|=-,故答案为：π.4．4-【分析】先将样本数据按从小到大进行排列，再根据样本数据的中位数、平均数概念和公式进行计算即可.【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列，得4，6，8，8，10，16，18，24，32，所以中位数10a =，由平均数的计算公式得()146881016182432149b =++++++++=，所以10144a b -=-=-.故答案为：4-.5．6【分析】求得二项式的展开式的通项公式，由题意可得24C C n n =，可求得6n =，可求41x 项的系数.【详解】1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式为211(0,1,C ,C r n r r n rr r n n T n x r x x --+===，g g L g ，因为二项展开式中第3项与第5项的系数相等，所以24C C n n =，所以6n =，令624r -=-，解得=5r ，所以该展开式中的41x系数为56C 6=.故答案为：6.6．12##0.5【分析】根据题意，结合指数幂与对数的运算法则，准确计算，即可求解.【详解】由函数()3,13,1x x x f x x -⎧≥=⎨<⎩，因为30log 21<<，所以()133log 2log 231log 2332f --===.故答案为：12.7．210【分析】数列{}n a 的奇数项、偶数项都是等差数列，结合等差数列求和公式、分组求和法即可得解.【详解】数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则242422a a =-=-=，所以数列{}n a 的奇数项、偶数项分别构成以1，2为首项，公差均为2的等差数列所以数列{}n a 的前20项的和为()()122013192420a a a a a a a a a +++=+++++++ 1091091012102221022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案为：210.8．4【分析】根据向量法，当n →+∞时，1n n P P + 与渐近线平行，且1n n P P +在x 轴的投影为2，渐近线倾斜角为60α=︒，则12lim cos n n n P P ∞α+→+=，即可求出.【详解】作出示意图如图所示：当n →+∞时，1n n P P + 与渐近线平行，1n n P P +在x 轴的投影为2，不妨取渐近线y x ==，令其倾斜角为α，则tan α=所以60α=︒，所以122lim 4cos cos 60n n n P P ∞α+→+===︒.故答案为：4.9．15【分析】按照分组的结果分类讨论，利用分类加法原理求解即可.【详解】不妨记两本相同的图书为元素1,1，两本不同的音乐书为元素3,4，根据题意，分类讨论：若分组情况为13,1,4时，此时分配给三个小朋友的方法有33A 6=种情况；若分组情况为14,1,3时，此时分配给三个小朋友的方法有33A 6=种情况；若分组情况为34,1,1时，此时分配给三个小朋友的方法有13C 3=种情况；综上，不同的分法共有66315++=种.故答案为：1510．3【分析】由圆心距与半径的关系可得到两圆相离，再由题意与圆的知识即可求解．【详解】如图所示，22:1O x y +=e 得到圆心1(0,0),1O r =；()221:44O x y -+= 得到圆心12(4,0),2O r =；由于112||4OO r r =>+，所以两圆相离，因为P 为O 上的动点，()11,2f P O PO =- ，所以要使()1,f P O 取得最大值，只需1||PO 最大即可，因为1max 1||||15PO OO =+=，则()1,f P O 的最大值为3.故答案为：3.11．22122【分析】根据题意可知()()223211,066W x d x x d x x d =-=-+<<，利用导数判断单调性和最值，进而可得结果.【详解】设圆的直径为d ，则222x y d +=，即222y d x =-，由题意可得：()()223211,066W x d x x d x x d =-=-+<<，则()221306W x d '=-+=，令0W '>时，解得303x <<；令0W '<时，解得33d x d >>；可知W 在30,3d ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，在3,3d d ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递减，则3x =时，W 取最大值．此时221633y d d d -=．所以323263x y d =2.12．(0,123【分析】根据公式221·()()4a b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 对向量进行处理，再结合不等式得出2221231616160PM P M P M -+-+-= ，即可推出点123,,P P P 在以M 为球心4为半径的球面上，从可求得答案.【详解】由题意可知221=()()4i i i i i i i P A PB P A PB P A PB λ⎡⎤=⋅+--⎣⎦ ，设,A B 中点为M ，则2i i i P A P B P M += ，i i P A P B BA -=，所以2221(2)164i i i PM BA PM λ⎡⎤=-=-⎢⎥⎣⎦ ，由3123i i λ==∑，得3122223λλλ++=，则3123222λλλ=++³当且仅当312222λλλ==时等号成立，则12321λλλ++£，即1230λλλ++≤，即2221231616160PM P M P M -+-+-≤ ，则2221231616160PM P M P M -+-+-= ，即216,4i iPM PM ==，即点123,,P P P 在以M 为球心4为半径的球面上，先说明圆的内接三角形为正三角形时，面积最大；设ABC 为半径为r 的圆的内接三角形，则211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22ABC S ab C r A r B C r A B C ==⋅⋅⋅= 32sin sin sin 23A B C r ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，当且仅当sin sin sin A B C ==时等号成立，即ABC 2，由于点123,,P P P 在以M 为球心4为半径的球面上，故123P P P 的面积S 可以无限小，max 33164S =⨯=即S 的取值范围为(，故答案为：(.【点睛】关键点睛：解答本题的关键要利用221·()()4a b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 以及均值不等式推出2221231616160PM P M P M -+-+-= ，从而推出点123,,P P P 在以M 为球心4为半径的球面，即可求解.13．D【分析】利用特值或不等式的性质可得答案.【详解】对于A ，210-<-<，而112->-，A 不成立；对于B ，210-<-<，而()()()2211-⨯->-，B 不成立；对于C ，22b a b a a b ab--=，因为0a b <<，所以220,ab a b >>，0b a a b -<，即b a a b <，C 不成立；对于D ，1a b a b b +-=，因为0a b <<，所以0a b >，即1a bb+>，D 成立.故选：D 14．C【分析】根据散点图判断两变量的线性相关性，再根据线性相关性与相关系数的关系判断即可.【详解】由散点图可知，图一两个变量成正相关，且线性相关性较强，故10r >，图二、图三两个变量都成负相关，且图二的线性相关性更强，故20r <，30r <，23r r >，故320r r >>，所以132r r r >>.故选：C.15．B【分析】函数在两点处的切线平行，转化为函数在两点处的导数相等，得到12,x x 的关系，在结合不等式求12x x +的取值范围即可.【详解】因为()22ln f x x x =+，0x >.所以()22f x x x='+，0x >.由因为()f x 在()()11,A x f x ，()()22,B x f x 两个不同点处的切线相互平行，所以()()12f x f x =''⇒12122222x x x x +=+，又12x x ≠，所以121=x x ，故CD 错误；因为120,0x x >>且12x x ≠，所以122x x +>=，故A 不成立；当121,33x x ==时，12103x x +=.故B 成立.故选：B 16．C【分析】把侧面展开，建立坐标系，可得P 的轨迹.【详解】以A为原点将圆柱侧面和底面展开如下图，设(),P x y ，所以AB x =,PB y =,由题意，PB AOB =∠AB x ==，所以当x ＞0时=x y ，同理0x ＜时=x y -，所以点P 的轨迹在展开图中为两条互相垂直的线段，在圆柱面上不是椭圆，，故轨迹长为.故选:C.【点睛】关键点点睛：关键是通过展开把几何体内的动点转化成平面中的动点问题，然后找动点横纵坐标的关系.17．【分析】（1）由正弦定理即可得sin C =（2）由余弦定理结合重要不等式可得ab 取值范围，再由三角形的面积公式1sin 2ABC S ab C = 可求出面积的最大值.【详解】（12sin c A =，2sin sin A C A =，因为(0,π)A C ∈，，所以sin 0A ≠，即sin C =（2）由（1）可知sin 2C =，所以π3C =或2π3C =.在ABC 中，由余弦定理得2222cos AB AC BC AC BC C =+-⨯，当π3C =时，3c =，222219222b a ab b a ab ab ab ab =+-⋅=+-≥-=，当且仅当3a b ==时取等号，即9ab ≤，故ABC 的面积1sin 2=△ABC S ab C ab .当2π3C =时，3c =，2222192232b a ab b a ab ab ab ab =++⋅=++≥+=，当且仅当a b ==3ab ≤，故ABC 的面积1sin 244ABC S ab C ==≤.综上所述，ABC 18．(1)证明见解析【分析】（1）先证明1AA ⊥平面ABC ，从而得到1AA BC ⊥，进而即可证明BC ⊥平面11ABB A ；（2）结合（1）及题意可得1BA C ∠为直线1A C 与平面11ABB A 所成的角，即130BAC ∠=︒，从而得到1A C =，BC =AB =．（方法一）过点A 作1AD A B ⊥，垂足为D ，过点D 作1DE A C ⊥，垂足为E ，连结AE ，先证明BC AD ⊥，AD ⊥平面1A BC ，再1A C ⊥平面ADE ，从而证明1AE A C ⊥，从而可得AED ∠是二面角1B A C A --的平面角，进而即可求出二面角1B A C A --的余弦值；（方法二）取AC 的中点O ，连结BO ，先证明BO ⊥平面11ACC A ，再取11A C 的中点1O ，以{}1,,OB OC OO为基底，建立空间直角坐标系O xyz -，再根据向量夹角公式即可求解．【详解】（1）因为四边形11ACC A 是正方形，所以1AA AC ⊥，又平面11ACC A ⊥平面ABC ，1AA ⊂平面11ACC A ，平面11ACC A 平面ABC AC =，所以1AA ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥，又因为AB BC ⊥，AB ，1AA ⊂平面11ABB A ，1AB AA A ⋂=，所以BC ⊥平面11ABB A ．（2）由（1）知，1BA C ∠为直线1A C 与平面11ABB A 所成的角，即130BAC ∠=︒，又正方形11ACC A 的边长为2，所以1A C =，BC =AB =（方法一）过点A 作1AD A B ⊥，垂足为D ，过点D 作1DE A C ⊥，垂足为E ，连结AE ，因为BC ⊥平面11ABB A ，AD ⊂平面11ABB A ，所以BC AD ⊥，又BC ，1A B ⊂平面1A BC ，1BC A B B ⋂=，所以AD ⊥平面1A BC ，又1AC ⊂平面1ABC ，则1AD A C ⊥，又AD ，DE ⊂平面ADE ，AD DE D ⋂=，所以1A C ⊥平面ADE ，又AE ⊂平面ADE ，所以1AE A C ⊥，所以AED ∠是二面角1B A C A --的平面角，在直角ADE V中，AE =AD =所以sin AD AED AE ∠==cos AED ∠=即二面角1B A C A --（方法二）取AC 的中点O ，连结BO ，因为AB BC =，所以BO AC ⊥，又因为平面11ACC A ⊥平面ABC ，平面11ACC A 平面ABC AC =，BO ⊂平面ABC ，所以BO ⊥平面11ACC A ，取11A C 的中点1O ，则1OO AC ⊥，以{}1,,OB OC OO为基底，建立空间直角坐标系O xyz -，所以()1,0,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2A -，所以()1,1,0BC =- ，()10,2,2AC =-，设平面1A BC 的法向量为(),,n x y z =，则1n BC n A C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，即10220n BC x y n A C y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⊥=-=⎪⎩ ，取1x =，则()1,1,1n = ，取平面1A AC 的法向量()1,0,0OB =，设二面角1B A C A --的大小为θ，则cosn OBn OBθ⋅=⨯因为二面角1B AC A--为锐角，所以cos3θ=，即二面角1B AC A--19．(1)59(2)证明见解析；6【分析】（1）每个顶点相邻的顶点有3个，其中2个在同一底面，据此计算概率即可；（2）根据题意先得出递推关系()121133n n nP P P+=+-，再化简变形即可得数列12nP⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；求等比数列12nP⎧-⎫⎨⎬⎩⎭的通项，进而得到11232n nP=+⨯，再解不等式即可.【详解】（1）依题意，每一个顶点有3个相邻的顶点，其中两个在同一底面，所以当点Q在下底面时，随机移动一次仍在下底面的概率为23，当点Q在上底面时，随机移动一次回到下底面的概率为13，所以123P=，22211533339P=⨯+⨯=.（2）()1211113333n n n nP P P P+=+-=+，所以11111123632n n nP P P+⎛⎫-=-=-⎪⎝⎭，又因为123P=，所以1121102326P-=-=≠，所以数列12nP⎧-⎫⎨⎬⎩⎭是以16为首项，13为公比的等比数列；1111126323nn nP-⎛⎫-=⨯=⎪⨯⎝⎭，11232n nP=+⨯，若10132024nP>，则1110132322024n+>⨯，所以31012n<，又63729=，732187=，Nn*∈，所以6n≤，n的最大值为6.20．(1)4s=或1s=；(2)12λ=(3)垂心M在椭圆E上，理由见解析【分析】（1）求得椭圆E的离心率，分类讨论可求得s；（2）可得直线12,l l的方程分别为1(y k x=，21y k x=+，分别与椭圆联立方程，利用判别式为0,可得1k=2k=，进而可求12k k+取得最小值；（3）不妨设()00,C x y为椭圆H上的任意一点，此时2200124x y+=，ABC∆的垂心M的坐标为(,)M Mx y，连接,CM AM1=-，可得(,2)M MC x y，利用2212MMx y+=可得结论.【详解】（1）因为椭圆E的离心率e=2s>，解得4s=；当02s<<2=，解得1s=．则4s=或1s=；（2）易得((0,1)A D，所以直线12,l l的方程分别为1(y k x=，21y k x=+，联立122(12y k xx y⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y并整理得2211(12)4220k x k xλ+++-=，因为直线1l与椭圆G相切，所以10∆=，因为01λ<<，即1k=联立22212y k xx yλ=+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y并整理得2222(12)4220k x k xλ+++-=，因为直线2l与椭圆G相切，所以20∆=，因为01λ<<，即2k=，则1212k k=，所以12k k+≥，当且仅当12k k=时，等号成立，此时12λ=．故当12λ=时，12k k+取得最小值，．（3）易知椭圆22:124x y H +=不妨设()00,C x y 为椭圆H 上的任意一点，此时2200124x y +=，（1）不妨设ABC 的垂心M 的坐标为(,)M M x y ，连接,CM AM ，因为(2,0),(2,0)A B ，又CM AB ⊥，所以0M x x =，因为02,M x x AM BC =≠⊥00122MM x x =-+-，因为0M x x =，所以2002M x y y =-，（2），联立（1）（2），解得02M y y =，因为点(,2)M M C x y 在椭圆上，所以2212MM x y +=．故ABC 的垂心M 在椭圆E 上．【点睛】知识点点睛：垂心是三角形三条高线的交点，通常有两种方法进行求解，其一是向量法，即两个互相垂直的向量的数量积为零；其二是利用直线的斜率公式，即两条互相垂直的直线的斜率之积为1-．21．(1)①是，②不是，理由见解析(2)4a ≥(3)证明见解析【分析】（1）根据函数()y f x =具有(2)P 性质的条件判断①；举反例可判断②；（2）原问题等价于当1m >时，314am >恒成立，即34a m >恒成立，得4a ≥；（3）利用函数的单调性以及不等式的性质判断充分性，利用反证法判断必要性.【详解】（1）①是，对任意212x x ->，21213()()()322f x f x x x -=->>，符合定义；②不是，令21213ππ,,π>222x x x x ==-=，21()()10sin 310sin 2f x f x ππ=0-=-<，故不符合题意.（2）显然0a >，设210x x m -=>，则33223212111()()(33)f x f x ax ax a mx m x m -=-=++，当12m x =-时，取21()()f x f x -最小值34am ，原问题等价于当1m >时，314am >恒成立，即34a m >恒成立，得4a ≥；（3）证明：充分性：若函数()y f x x =-为增函数，则对任意21x x >均有2211()()f x x f x x -≥-，即2121()()f x f x x x -≥-，因此，对任意0t >，若21x x t ->，则21()()f x f x t ->，函数()y f x =具有()P t 性质，充分性得证；必要性：若对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质，假设函数()y f x x =-不是增函数，则存在21x x >，满足2211()()f x x f x x -<-，即2121()()f x f x x x -<-，取21210()()2f x f x x x t -+-=，则显然21021()()f x f x t x x -<<-，即对于0t ，存在210x x t ->，但是210()()f x f x t -<，与“对任意0t >，函数()y f x =均具有()P t 性质”矛盾，因此假设不成立，即函数()y f x x =-为增函数，必要性得证．【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

2018年上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷(J)

2018年上海市闵行区七宝中学高考数学模拟试卷(J)副标题一、选择题（本大题共4小题，共4.0分）1.若椭圆C的方程为，则是曲线C的焦点在x轴上的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】C【解析】解：椭圆C的方程为，若曲线C的焦点在x轴上，，故椭圆C的方程为，则是曲线C的焦点在x轴上的充要条件，故选：C．根据椭圆的性质即可得到曲线C的焦点在x轴上则再根据充要条件的定义即可判断．本题考查充要条件的判断与应用，椭圆的简单性质，基本知识的考查．2.方程的解的个数有A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A【解析】解：由于，所以，由此得到方程无解．故选：A．利用反三角函数，判断等式两侧表达式的范围，即可推出结果．本题考查反三角函数的应用，基本知识的考查．3.已知实数x，y满足，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：设为圆上的任意一点，则P到直线的距离，P到原点的距离，．设圆与直线相切，则，解得，的最小值为，最大值为，，．故选：B．构造直线，过圆上一点P作直线的垂线PM，则，求出的范围即可得出答案．本题考查了直线与圆的位置关系，距离公式的应用，属于中档题．4.实数a，b满足，，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：实数a，b满足，，可得，，令，，可得，它的可行域如图：A在与的交点，，，是双曲线关于对称，显然在A处取得最大值：，在B处取得最小值：．则的取值范围是：．故选：B．求出a，b的范围，利用换元法画出可行域，利用目标函数的几何意义求解范围即可．本题考查线性规划的简单应用，画出可行域，利用换元法同时考查转化思想，数形结合思想的应用．二、填空题（本大题共12小题，共12.0分）5.若，则______．【答案】2【解析】解：，．故答案为：2．利用对数的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查对数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6.已知直线l垂直于直角坐标系中的y轴，则l的倾斜角为______．【答案】0【解析】解：由直线倾斜角的定义可得，垂直于直角坐标系中的y轴的直线l的倾斜角为0．故答案为：0．直接由直线的倾斜角的定义得答案．本题考查直线倾斜角的定义，是基础题．7.在复平面内，点对应的复数z，则______．【答案】【解析】解：在复平面内，点对应的复数z，则．故答案为：．求出复数，然后求解复数的模．本题考查复数的代数形式混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．8.若角的终边经过点，则的值为______【答案】【解析】解：角的终边经过点，可得．则．故答案为：．利用角的终边经过点，求出，然后求解即可．本题考查三角函数的定义，反三角函数的化简求值，是基本知识的考查．9.若不等式的解集为，则实数t等于______【答案】1【解析】解：因为不等式的解集为，即是方程的根，所以，不等式化为，解得．所以．故答案为：1．由题目给出的绝对值不等式的解解为，可知为不等式所对应方程的两个根，求出a，然后求解实数t即可．本题考查了绝对值不等式的解法，考查了数学转化思想方法，若该题采用去绝对值的办法，去绝对值后需要分类讨论，解法变得复杂，该题属基本知识的考查．10.由参数方程为参数，，所表示的曲线的右焦点的坐标为______【答案】【解析】解：根据题意，参数方程变形为普通方程为，为双曲线，其中，，且其焦点在x轴上，则所表示的曲线的右焦点的坐标为；故答案为：．根据题意，将参数方程变形为普通方程，分析其表示的曲线为双曲线，由双曲线的几何性质分析可得答案．本题考查参数方程与普通方程的互化，关键是将参数方程变形为普通方程．11.直角坐标系xOy内有点，，，，将四边形ABCD绕直线旋转一周，所得到的几何体的体积为______．【答案】【解析】解：直角坐标系xOy中，点，，，，如图所示，由图形知四边形ABCD是矩形，将矩形ABCD绕直线旋转一周，所得几何体为底面半径为1，高为2的圆柱，该圆柱的体积为．故答案为：．由题意知四边形ABCD是矩形，矩形ABCD绕直线旋转一周得圆柱，求出圆柱的体积即可．本题考查了矩形旋转后是圆柱体的应用问题，是基础题．12.A，B二校各推荐两篇课题放在一起评比，则四篇课文在排序中没有A校命题相邻的概率为______．【答案】【解析】解：A，B二校各推荐两篇课题放在一起评比，基本事件总数，四篇课文在排序中没有A校命题相邻包含的基本事件个数，四篇课文在排序中没有A校命题相邻的概率为．故答案为：．基本事件总数，四篇课文在排序中没有A校命题相邻包含的基本事件个数，由此能求出四篇课文在排序中没有A校命题相邻的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．13.已知平面直角坐标系中的两点，，O原点，有，设：，，是平面曲线上任意三点，则的最大值为______．【答案】【解析】解：由，得．该曲线表示以为圆心，以为半径的圆．如图，圆内接三角形面积最大时三角形为正三角形，且最大面积为．．故答案为：．化圆的方程为标准方程，求出圆的半径，结合已知及圆内接正三角形面积最大求解．本题考查曲线与方程，明确圆内接正三角形面积最大是关键，是中档题．14.设点O在的内部，点D，E分别为边AC，BC的中点，且，则______．【答案】2【解析】解：点D，E分别为边AC，BC的中点，，，，故答案为：2．根据向量的几何意义即可求出．本题考查了平面向量加法的几何意义，是基础题．15.设函数，数列的首项，且，若数列不是单调递增数列，则的取值范围______．【答案】【解析】解：；假设，则．若，则，由此可证得是单调递增数列，这矛盾．所以．故答案为：．通过数列与函数的关系式，结合不等式，转化求解的取值范围．本题考查数列与函数的综合应用，反证法的应用，考查转化思想以及计算能力．16.给定曲线，为参数，则这些曲线在直线上所截得得弦长的最大值是______．【答案】【解析】解：将代入曲线方程得，．令，则，，弦长．故弦长的最大值是，故答案为：．联立直线与曲线方程可求交点的横坐标，，要使曲线族在直线上所截得的弦长的最大，则只要最大即可，即t最大即可，根据函数的性质即可求出．本题主要考查了直线与曲线相交求解交点、弦长，解题的关键是灵活利用三角函数的性质及弦长公式，属于中档题三、解答题（本大题共5小题，共5.0分）17.已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆P，OA与母线所成角为，试用r表示圆柱的表面积S；若圆柱体积为，求点C到平面OEF的距离．【答案】解：连接AP，由题意可知：OA与母线所成角为，，所以：，---2分，---4分，---6分，，---10分---14分【解析】利用已知条件，通过求解三角形推出圆柱的高，然后求解圆柱的表面积S．利用圆柱的体积，求出底面半径，通过，求解点C到平面OEF的距离．本题考查空间点线面的距离的求法，几何体的体积的求法，考查了直角三角形的解法，是基础题．18.已知向量和向量，且．求函数的最小正周期和最大值；已知的三个内角分别为A，B，C，若有，，，求AC的长度．【答案】解：，，化为．函数的周期为，最大值为2．得，即，由正弦定理得，又，，则．【解析】利用向量共线定理、两角和差的正弦公式、三角函数的性质即可得出；利用正弦定理即可得出．本题考查了向量共线定理、两角和差的正弦公式、三角函数的性质、正弦定理，属于中档题．19.业界称“中国芯”迎来发展和投资元年，某芯片企业准备研发一款产品，研发启动时投入资金为为常数元，之后每年会投入一笔研发资金，n年后总投入资金记为，经计算发现当时，近似地满足，其中为常数，已知3年后总投入资金为研发启动时投入资金的3倍问研发启动多少年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍；研发启动后第几年的投入资金的最多．【答案】解：由题意知，．所以解得所以．令，得，解得，即，所以．所以研发启动9年后，总投入资金是研发启动时投入资金的8倍．由知第n年的投入资金，当且仅当，即等号，此时．所以研发启动后第5年的投入资金增长的最多．【解析】由题意知，，代入求出p，q的值，即可得到函数的解析式，再代值计算即可求出n的值，利用作差法，求出第n年的投入资金，利用基本不等式即可求出答案．本题考查了函数模型在实际生活中的应用，以及基本不等式的应用，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．20.平面直角坐标系xOy中，抛物线：的焦点为F，过F的直线l交曲线于B，C两点．若l垂直于x轴，且线段BC的长为1，求曲线方程；若l的斜率为k，求；设抛物线上异于B，C的点A满足若的重心在x轴上，求得重心的坐标．【答案】解：联立方程，所以BC长，从而的方程为分设，，l：．由、，得到分，所以分若l垂直于x轴，则由，此时重心坐标为．以下设l：，，．设线段BC中点，则，，所以直线AD的斜率，分此时，从而直线AD：与x轴的交点即为的重心．综合有，的重心为或者分【解析】若l垂直于x轴，联立直线与抛物线方程，通过线段BC的长为1，求曲线方程即可；若l的斜率为k，设，，写出l：通过联立直线与抛物线方程，结合韦达定理转化求解；若l垂直于x轴，则由，此时重心坐标为设l：，，设线段BC中点，求出D的坐标，AD的斜率，求出直线系方程，得到定点坐标即为的重心．本题考查抛物线与直线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．21.设函数在上有定义，实数a，b满足若在区间上不存在最小值，则称在区间上具有性质p．当，且在区间上具有性质p时，求常数C的取值范围；已知，且当时，，判别在区间上是否具有性质p；若对于满足的任意实数a，b；在区间上具有性质p，且对于任意，当时，有：，证明：当时，．【答案】解：当时，在上存在最小值；当时，在上存在最小值；当时，在上单调递增，所以不存在最小值．所以．因为时，，所以在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到另一方面，在区间上不存在最小值，所以在区间上具有性质P．首先证明对于任意，．当时，由可知介于和之间若，则在区间上存在最小值，矛盾．利用归纳法和上面结论可得：对于任意k，，当时，．其次证明当且时，；当且时，．任取，设正整数k满足，则．若存在使得，则，即由于当时，，所以在区间有最小值，矛盾．类似可证，当且时，．最后证明：当时，．当时，成立当时，由可知，存在使得，所以．当时，有：若，则，所以在上存在最小值，故不具有性质p，故不成立．若，则假设，则在上存在最小值，故不具有性质p，故假设不成立．所以当时，对于任意都成立．又，故当、，所以，即．所以当时，则存在正整数m使得，则所以当时，，同理可证得当时，．所以当时，必然存在正整数n，使得，所以；当时，显然成立；所以综上所述：当时，．【解析】分别讨论图象的对称轴与1和2的关系，即可得出是否存在最小值，从而求出C的取值范围；由题目条件可得出在区间上如果有最小值，则最小值必在区间上取到，又在区间上不存在最小值，所以在区间上具有性质P；首先证明对于任意，；其次证明当且时，；当且时，；最后证明：当时，．本题考查了函数与方程的综合运用，需要对题目的条件充分理解和利用，证明用到了数学归纳法，属于难题．。