指数运算指数函数
指数函数的运算法则与公式加减法
指数函数是数学中常见的一种函数形式，它的特点是自变量为指数的函数。
在数学运算中，指数函数的加减法是基本知识点，下面我们来了解一下指数函数的运算法则与公式加减法。
一、指数函数的加法法则指数函数的加法法则遵循以下规则：1. 同底数指数函数相加时，保持底数不变，指数相加即可。
例如：a^m + a^n = a^(m+n)2. 如果底数不同，无法直接相加，需要先化为相同的底数。
例如：3^2 + 5^2 = 9 + 25 = 34二、指数函数的减法法则指数函数的减法法则遵循以下规则：1. 同底数指数函数相减时，保持底数不变，指数相减即可。
例如：a^m - a^n = a^(m-n)2. 如果底数不同，需要先化为相同的底数再相减。
例如：5^3 - 2^3 = 125 - 8 = 117三、指数函数的运算法则指数函数的运算法则包括加法、减法、乘法和除法。
1. 加法和减法：按照指数函数的加减法则进行运算。
2. 乘法：指数函数相乘时，保持底数不变，指数相加即可。
例如：a^m * a^n = a^(m+n)3. 除法：指数函数相除时，保持底数不变，指数相减即可。
例如：a^m / a^n = a^(m-n)四、指数函数的运算公式指数函数的运算包括很多常见公式，如：1. 同底数指数函数相乘可用公式：a^m * a^n = a^(m+n)2. 同底数指数函数相除可用公式：a^m / a^n = a^(m-n)3. 同底数指数函数相乘可用公式：(a^m)^n = a^(m*n)4. 指数函数的乘方运算公式：a^m * a^n = a^(m+n)五、指数函数的应用指数函数的运算法则与公式在数学中有着广泛且重要的应用，如在代数、几何、微积分等诸多数学分支中都能看到指数函数的运用。
在实际生活中，指数函数的运算也有很多实际应用，如在经济学、物理学、工程学等领域中都能看到指数函数的身影。
以上就是关于指数函数的运算法则与公式加减法的相关内容，希望对您有所帮助。
指数函数运算公式8个
指数函数运算公式8个
指数函数是数学中的一类基本函数，以指数形式表示，形式如
f(x)=a^x，其中a是一个常数，被称为底数，x是变量，a^x表示底数为
a的指数函数。
指数函数的运算有以下八个公式：
1.指数函数的基本性质：a^0=1，a^1=a。
这是指数函数最基本的性质，任何数的0次方都等于1，任何数的1次方都等于自身。
2.指数函数的乘法法则：a^m*a^n=a^(m+n)。
当指数函数相乘时，底
数相同则指数相加。
3.指数函数的除法法则：a^m/a^n=a^(m-n)。
当指数函数相除时，底
数相同则指数相减。
4.指数函数的乘方法则：(a^m)^n=a^(m*n)。
当一个指数函数的指数
再次被指数的时候，两个指数相乘。
5.指数函数的零指数法则：a^0=1（a≠0）。
任何数的0次方都等于1，除了底数为0的情况。
6.指数函数的负指数法则：a^(-n)=1/a^n。
任何数的负指数等于底数
的倒数的正指数。
7.指数函数的指数后加减法则：(a^m)^n(a^p)=a^(m*n+p)。
当指数函
数的指数后面又加上或减去一个数的时候，先进行指数运算，再进行乘法
运算。
8.指数函数的指数前加减法则：a^m*a^n=a^(m+n)。
当指数函数的指数前面又加上或减去一个数的时候，先进行加法或减法运算，再进行指数运算。
指数函数的运算公式非常有用，在数学问题中经常使用。
对于指数函数的更深入研究还包括指数函数的图像、指数函数的性质、指数函数的导数等内容。
指数函数运算公式8个
指数函数运算公式8个
指数函数是形如y=a^x的函数，其中a是底数，x是幂。
指数函数具有以下8个运算公式：
1.乘法公式：
a^x*a^y=a^(x+y)
这个公式说明了相同底数的指数函数相乘时，底数不变，指数相加。
2.除法公式：
(a^x)/(a^y)=a^(x-y)
这个公式说明了相同底数的指数函数相除时，底数不变，指数相减。
3.平方公式：
(a^x)^y=a^(x*y)
这个公式说明了指数函数的指数也可以是指数。
4.根式公式：
(a^x)^(1/y)=a^(x/y)
这个公式说明了指数函数可以求根号。
5.幂公式：
(a^x)^y=a^(x*y)
这个公式说明了对一个指数函数求幂时，可以将指数间的乘法提到指数外面。
6.对数公式：
loga (a^x) = x
这个公式说明了对一个指数函数求底数为a的对数时，可以得到其指数。
7.指数和对数互补公式：
a^loga (x) = x
这个公式说明了对一个以底数为x的对数函数求以底数为a的指数时，结果是x。
8.复合函数公式：
g(f(x))=(a^x)^y
=a^(x*y)
这个公式说明了一个指数函数作为复合函数时，可以把两个指数相乘。
这些指数函数运算公式是指数函数的基本性质，通过这些公式可以对
指数函数进行各种运算和简化。
对于求解指数函数的实际问题，这些公式
具有重要的应用价值。
指数函数的加减运算法则
指数函数的加减运算法则介绍如下：指数函数是高中数学课程中比较重要的一个概念，其可以表示为f(x) = a^x，其中a是一个大于0且不等于1的实数，x是变量，f(x)是函数值。
在实际问题中，我们常常需要对指数函数进行加减运算，下面将介绍指数函数的加减运算法则。
1.相同底数的指数函数相加减若a>0且a≠1，则指数函数f(x)=a^x满足以下法则：a^x*a^y = a^(x+y)a^x/a^y = a^(x-y)这意味着，如果在同一底数下进行加减运算，那么我们只需要将两个函数的指数相加或相减即可。
例如：f(x) = 2^x, g(x) = 2^(x+1)，则f(x) + g(x) = 2^x + 2^(x+1) = 2*2^x = 2f(x)。
2.不同底数的指数函数相加减当两个指数函数底数不同时，我们需要使用换底公式进行化简。
loga(b)=ln(b)/ln(a)这个公式可以将不同底数的指数函数转换为对数函数表示，从而方便进行加减运算。
例如：f(x) = 2^x, g(x) = 3^x，则f(x) + g(x) = 2^x + 3^x = e^(ln(2^x) + ln(3^x)) = e^(xln2+xln3) ≈ 1.78f(x)3.细节处理在对指数函数进行加减运算时还需要注意一些细节问题：（1）指数函数的加减运算中，只有当两个函数的自变量相同时，结果才有意义。
例如：f(x) + g(x) 只有当x相同时才有意义，否则，在两个函数的自变量不同时，它们的值没有可比性。
（2）指数函数的加减运算的结果不一定还是指数函数。
例如：f(x) = e^x, g(x) = 1可以加减得到h(x) = f(x) + g(x) = e^x + 1，尽管这是一个形式上的指数函数，但它并不满足指数函数的定义。
总之，指数函数的加减运算是高中数学中比较重要的知识点，需要根据不同的情况来选择不同的运算法则，以确保运算过程的正确性和有效性。
高中数学总复习 指数运算与指数函数
1 3
15
a6b6
211
9a 3 2 6
115
b2 3 6
＝－9a(a>0，b>
0)，所以B正确；
1 11
对于 C， 3 9＝ 93 =96 =33＝3 3，所以 C 正确；
对于D，因为(x＋x－1)2＝x2＋2＋x－2＝4，所以x＋x－1＝±2，所以D错
误.
题型二 指数函数的图象及应用
例2 (1)(多选)已知实数a，b满足等式3a＝6b，则下列可能成立的关系式为
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1) 4 －44＝－4.( × ) (2)2a·2b＝2ab.( × ) (3)指数函数y＝ax与y＝a－x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称.( √ ) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n.( × )
自主诊断
2.已知函数y＝a·2x和y＝2x＋b都是指数函数，则a＋b等于
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
原式＝
81 16
1
2－2×
64 27
2 3
－2＋342
1
2
＝
3 2
4
2
－2×
3 4
3
3－2＋196
＝94－2×196－2＋196＝94－98－2＋196＝－156.
(2)2 3×33 1.5×6 12.
1
原式＝2
1
32
3
3 2
3
(22
3)
1 6
11
1 11
6 2 3 3 32 3 6
43
a3 4
25
高中数学指数运算与指数函数课件
(2)f (x)＝2x2＋x＋1－1 2＝1－2x＋2 1， 因为 2x＋1>1，所以 0<2x＋2 1<2， 即－2<－2x＋2 1<0， 所以－1<1－2x＋2 1<1。 所以 f (x)的值域为(－1,1)。
(3)g(x)为偶函数。 由题意知 g(x)＝f xx＝22xx＋ －11·x， 易知函数 g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， g(－x)＝(－x)·22－ －xx＋ －11＝(－x)·11－＋22xx＝x·22xx－＋11＝g(x)， 所以函数 g(x)为偶函数。
(2)若 f (x)为奇函数，则 f (0)＝0，即 a－20＋2 1＝0，解得 a＝1。 此时 f (－x)＝1－2－x2＋1＝1－12＋·22xx＝－1－2x＋2 1＝－f (x)，故当 a＝1 时，函数 f (x) 为奇函数。 (3)由(2)知 f (x)＝1－2x＋2 1，因为 2x＋1>1，所以 0<2x＋1 1<1， 所以 0<2x＋2 1<2，所以－2<－2x＋2 1<0，所以－1<1－2x＋2 1<1，即－1<f (x)<1，所以 f (x)的值域为(－1,1)。
【解析】 因为 2x>0，所以 2x＋1>1，即|y|>1，又因为曲线|y|＝2x＋1 与 直线 y＝b 没有公共点，所以－1≤b≤1。
【答案】 [－1,1]
方法小结 (1)处理函数图象问题的策略 ①抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)。 ②巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)。 ③利用函数的性质：奇偶性与单调性。
23－x 的图象。
答案 A
[解析] (2)
由题意得[f(x)－2]·[f(x)－a]＝0，所以 f(x)＝2 或 f(x)＝a， 所以|3x－1|＋1＝2 或|3x－1|＋1＝a，所以|3x－1|＝1 或|3x－1|＝a－1， |3x－1|＝1 有一个根，所以方程|3x－1|＝a－1 有两个不同的实根， 函数 y＝|3x－1|的图象如图所示，所以 0<a－1<1，所以 1<a<2.
指数的运算与指数函数
a>1
图 象
定义域
R 值域 （0，+∞） 性 过定点（0，1），即x=0时，y=1
质
在 R上是减函数
在R上是增函数
☆不同底数的图像
a>b>1
0<b<a<1
归纳：在第一象限总是底大图高
讨论 y a (a 0 a 1)的图像
| x|
（1）a>1 (2)0<a<1
1
2
3
n m
④ a ⑤
n
1 * n (n Z ) a
其中均要求
a0 1
a、b 0
☆平方根
如果 x a ,那么 x 叫做 a 的平方根；
2
a0 a
a a
2
a | a |
2
☆立方根 3 如果 x a ,那么 x 叫做 a 的立方根。
0 0
3 3
aR
3
a
3
a a
指数的运算与指数函数 主讲教师 陈利敏
青春是有限的，智慧是无穷的； 趁短暂的青春，学习无穷的智慧
☆指数的运算
知识梳理
分数指数幂
指数的运算
分数指数幂 的性质
☆分数指数幂
规定： a n a m (a 0, m, n N * , 且n 1)
注意：（1）分数指数幂是根式的另一种表示； （2）根式与分式指数幂可以互化. 规定:
m n
a
m n
1 a
m n
(a 0, m, n N , n 1)
*
注意：0的正分数指数幂等于0; 0的负分数指数幂没意义.
指数基本公式
指数基本公式
指数基本公式包括指数运算法则和指数函数运算公式。
指数运算法则是一种数学运算规律，包括加法、减法和乘法等规则。
具体来说，两个或者两个以上的数、量合并成一个数、量的计算叫加法，例如
a+b=c；同底数幂相除，底数不变，指数相减，例如(a^m)÷(a^n)=a^(m-n)；幂的乘方，底数不变，指数相乘，例如(a^m)^n=a^(mn)。
指数函数运算公式包括指数函数的基本性质和运算性质。
指数函数的一般形式为y=a^x(a>0且不=1)，函数图形下凹，a大于1时指数函数单调递增，若0<a<1，则为单调递减的。
同时，还有换底公式等运算性质。
综上所述，指数基本公式包括指数运算法则和指数函数运算公式，它们是数学运算中常用的规则和性质。
[指数函数]指数运算公式大全
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[指数函数]指数运算公式大全一、指数函数的性质2.e的性质：（1）e的幂函数的图像都经过点(0,1)。
（2）e^x是一个严格递增函数，即在整个实数集上不存在一个x1和x2（x1<x2），使得e^x1=e^x23.指数函数的图像特点：（1）当x=0时，y=e^0=1（2）当x>0时，y=e^x是递增函数，其图像在直角坐标系中呈现上升趋势。
（3）当x<0时，y=e^x是递减函数，其图像在直角坐标系中呈现下降趋势。
（4）当x趋近于无穷大时，y=e^x趋近于正无穷大。
（5）当x趋近于负无穷大时，y=e^x趋近于0。
二、指数运算公式1.指数乘法的运算法则：a^m*a^n=a^(m+n)2.指数除法的运算法则：a^m/a^n=a^(m-n)3.指数乘方的运算法则：(a^m)^n=a^(m*n)4.指数的负指数：a^(-m)=1/a^m5.指数的零指数：a^0=1（a≠0）6.不同底数的指数运算：（1）a^m*b^m=(a*b)^m（2）a^m/b^m=(a/b)^m（3）(a^m)^n=a^(m*n)7.同底数不同指数的指数运算：a^m*a^n=a^(m+n)8.同底数的指数运算：a^m/a^n=a^(m-n)三、指数函数的应用1. 指数增长：指数函数广泛应用于描述不断增长的现象，如人口增长、细胞分裂、利息计算等。
例如：y = a * e^(kx)，其中a为初值，k 为增长速率。
2. 衰减模型：指数函数也适用于描述逐渐减少的现象，如放射性衰变、药物衰减等。
例如：y = a * e^(-kx)，其中a为初值，k为衰减速率。
3.倍增时间和半衰期：在指数函数的应用中，倍增时间是指一个指数函数中使y值翻倍的时间，而半衰期是指一个指数函数中使y值减少一半的时间，它们的计算公式分别为：倍增时间 = ln(2) / k半衰期 = ln(0.5) / k4. 指数函数的导数与微分：指数函数的导数公式为d/dx(e^x) =e^x，而微分公式为∫(e^x)dx = e^x + C，其中C为常数。
指数函数运算公式8个
指数函数运算公式8个指数函数，也称为幂函数，是数学中的一种常见函数类型。
它的一般形式可以表示为y = ax^n，其中a是常数，n是指数。
在指数函数的运算中，有一些常见的公式可以帮助简化计算。
下面是8个常见的指数函数运算公式：1.指数函数的乘法公式：若要计算两个指数函数相乘，即y=a1x^n1*a2x^n2，可以将底数先相乘，再将指数相加，即y=(a1*a2)x^(n1+n2)。
2.指数函数的除法公式：若要计算两个指数函数相除，即y=(a1x^n1)/(a2x^n2)，可以将底数先相除，再将指数相减，即y=(a1/a2)x^(n1-n2)。
3. 指数函数的幂运算公式：若要计算一个指数函数的幂，即y =(ax^n)^m，可以将指数相乘，即y = ax^(n * m)。
4. 幂函数的指数公式：若要计算一个幂函数的指数，即y =a^(bx^n)，可以将指数和底数都取对数，即y = e^(ln(a^(bx^n)))，然后根据对数的运算公式进一步简化。
5. 指数函数的倒数公式：若要计算一个指数函数的倒数，即y = 1/ (ax^n)，可以将指数取相反数，即y = (ax^(-n))。
6. 指数函数的根式公式：若要计算一个指数函数的根式，即y =(ax^n)^(1/m)，可以将指数和根式互相消去，即y = a^(1/m) * x^(n/m)。
7. 指数函数的对数公式：若要计算一个指数函数的对数，即y =loga(ax^n)，可以将对数和指数互相消去，即y = n * loga(x)。
8. 对数函数的指数公式：若要计算一个对数函数的指数，即y = loga^(bx^n)，可以将指数取为e的幂，即y = e^(bx^n * ln(a))。
这些指数函数运算公式可以在解决数学问题、化简复杂表达式以及研究数学模型等方面发挥重要作用。
通过熟练掌握这些公式，并结合其他数学知识和技巧，可以更加灵活地运用指数函数进行计算和分析。
指数函数与对数函数的性质证明
指数函数与对数函数的性质证明指数函数与对数函数是数学中常见的两类函数，它们具有许多重要的性质。
本文将就指数函数和对数函数的性质进行证明和解析。
一、指数函数的性质证明1. 指数运算法则：指数运算法则是指对于任意实数a，b和整数m，n，有以下等式成立：a^m * a^n = a^(m+n)(a^m)^n = a^(m*n)(a*b)^n = a^n * b^n证明：对于第一个等式，我们可以将a^m * a^n展开，得到a * a * ... * a * a * a（m个a）* a * a * ... * a * a * a（n个a）。
根据乘法的结合律，我们可以将这些a进行合并，得到a^(m+n)。
因此该等式成立。
对于第二个等式，我们可以将(a^m)^n展开，得到a^m * a^m * ... *a^m * a^m * a^m（n个a^m）。
根据乘法的结合律，我们可以将这些a^m进行合并，得到a^(m*n)。
因此该等式成立。
对于第三个等式，我们可以将(a*b)^n展开，得到(a*b) * (a*b) * ... * (a*b) * (a*b) * (a*b)（n个a*b）。
根据乘法的结合律，我们可以将这些a*b进行合并，得到(a^n) * (b^n)。
因此该等式成立。
2. 指数的负指数和零指数：对于任意实数a（a≠0），有以下等式成立：a^(-m) = 1/(a^m)a^0 = 1证明：对于第一个等式，我们可以将a^(-m)进行展开，得到1/(a^m)，而1/a^m等价于1/a * 1/a * ... * 1/a（m个1/a）。
根据乘法的结合律，我们可以将这些1/a进行合并，得到1/(a^m)。
因此该等式成立。
对于第二个等式，任何数的0次方都等于1，即a^0 = 1。
因此该等式成立。
二、对数函数的性质证明1. 对数运算法则：对于任意正数a，b和正整数m，n，有以下等式成立：log_a (a^m * a^n) = log_a (a^(m+n))log_a (a^m) = mlog_a (m * n) = log_a (m) + log_a (n)证明：对于第一个等式，我们可以将log_a (a^m * a^n)进行展开，得到log_a (a^m) + log_a (a^n)，而log_a (a^m) + log_a (a^n)等价于m + n，根据对数的定义，我们可以得到等式左边等于右边。
指数的运算与指数函数
模块一：指数的运算（1）根式的概念：①定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若a x n=，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。
②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念①规定：1）∈⋅⋅⋅=n a a a a n( N *；2）)0(10≠=a a ； n 个 3）∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N * 且)1>n 。
②性质：1）r a aa a sr sr,0(>=⋅+、∈s Q ）；2）r a a a sr sr ,0()(>=⋅、∈s Q ）； 3）∈>>⋅=⋅r b a b a b a rrr,0,0()( Q ）。
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
知识内容指数运算与指数函数题型一 指数数与式的运算 【例1】 求下列各式的值：⑴⑵⑶⑷)a b <；⑸238； ⑺1225-； ⑻512-⎛⎫ ⎪⎝⎭； ⑼341681-⎛⎫⎪⎝⎭．【巩固】求值：⑴238， ⑵12100-, ⑶ 314-⎛⎫ ⎪⎝⎭, ⑷ 341681-⎛⎫ ⎪⎝⎭.【例2】 用分数指数幂表示下列各式：（1）32x（2）43)(b a +（a ＋b ＞0）（3）56q p ⋅（p ＞0）（4）mm 3【巩固1】用分数指数幂表示下列分式(其中各式字母均为正数)（1）43a a ⋅（2）aa a（3典型例题【巩固2】用分数指数幂表示下列各式（其中各式字母均为正数）：⑴⑵； ⑶54m ⋅．【例3】 求下列各式的值：(1)432981⨯ （2）（3）【例4】 计算下列各式：⑴ 111344213243(,0)6a a b a b a b ---⎛⎫- ⎪⎝⎭>-． （2） 211511336622(2)(6)(3);a b a b a b -÷-题型二 指数运算求值【例5】 a 的取值范围是（ ）A ．a ∈RB ．12a =C ．12a >D ．12a ≤ 【例6】 下列判断正确的有①有理数的有理数次幂一定是有理数 ②有理数的无理数次幂一定是无理数 ③无理数的有理数次幂一定是有理数 ④无理数的无理数次幂一定是无理数 A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【例7】 已知21na =，求33n nn na a a a --++的值.【巩固1】已知13x x -+=,求下列各式的值：（1）1122x x -+ （2）3322.x x -+【巩固2】已知31x a -+=，求2362a ax x ---+的值.【巩固4】化简：)()(41412121y x y x -÷-【例8】 解方程0633232=-⨯-x x【巩固】解方程024254=-⨯-xx模块二：指数函数1．指数函数：一般地，函数x y a =(0a >，1a ≠，R)x ∈叫做指数函数． 2．指数函数的图象和性质对比题型一 指数函数的概念【例9】 判断下列函数是否为指数函数。
指数函数运算公式8个
指数函数运算公式8个
1.指数函数的定义：
指数函数是以常数为底的自然指数函数，定义为f(某)=a^某，其中a 为常数且a>0且a≠1，某为实数。
2.指数函数的性质：
-当某为0时，f(0)=a^0=1。
-当某为正数时，f(某)>1，即指数函数在正数区间上是上升的。
-当某为负数时，f(某)<1，即指数函数在负数区间上是下降的。
-指数函数图像经过点(0,1)。
-当a>1时，指数函数是递增函数；当0<a<1时，指数函数是递减函数。
3.指数函数的乘法运算公式：
a^m某a^n=a^(m+n)，其中a为底数，m和n为任意实数。
4.指数函数的除法运算公式：
a^m/a^n=a^(m-n)，其中a为底数，m和n为任意实数。
5.指数函数的幂运算公式：
(a^m)^n=a^(m某n)，其中a为底数，m和n为任意实数。
6.指数函数的乘方的乘法运算公式:
(a某b)^n=a^n某b^n，其中a和b为任意实数，n为任意实数。
7.指数函数的乘方的除法运算公式：
(a/b)^n=a^n/b^n，其中a和b为任意实数，n为任意实数。
8.指数函数的指数幂运算公式：
(a^n)^m=a^(n某m)，其中a为任意正数，n和m为任意实数。
这些指数函数的运算公式可以帮助我们简化复杂的指数运算，从而更
方便地计算指数函数的值。
当我们遇到指数函数的运算问题时，可以根据
不同的情况选择合适的运算公式，从而得到所需结果。
同时，对于指数函
数的运算，我们也需要注意指数函数的定义域和值域，避免出现计算错误。
指数的运算与指数函数讲义
指数的运算与指数函数讲义4.1指数的运算【知识梳理】1.整数指数幕1）定义：我们把a n叫做a的n次幕，a叫做幕的底数，n叫做幕的指数。
在上述定义中，n为整数时，这样的幕叫做整数指数幕。
2）整数指数幕的运算法则：/ 八m n / / m、n（1）a a = _________________________ （2）（a ）__________________ma / i x m（3）「_____________________________ （4）（ab） _____________________________ a3）此外，我们作如下规定：零次幕：a01（a 0）；1负整数指数幕：a n—（a 0,n N ）；a2.根式：1）n次方根：一般地，如果x n a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1 ,且n € N*。
注：①当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a , n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数；负数的n次方根是一个负数，都表示为n a ；③0的任何次方根都是0,记作n0 0。
2）正数a的正n次方根叫做a的n次算数根。
当n a有意义时，Va叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.I --当n是奇数时，Va n a ；当n是偶数时，n a n|a| a (a 0).；3.有理指数幕 1）我们进行如下规定：1a n n a （ a 0）那么，我们就将整数指数幕推广到分数指数幕。
此外，下面定义也成立：N *,n 1）0,m, n N *, n 1）o ，o 的负分数指数幕没有意义。
2）规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数幕推广到了有理数指数幕。
【例2】•计算下列各式的值:23 3丄一 1_ _ o 30.002 210 , 5 2.. 3 . 28(1) a r -a r r a s(a 0, r,s Q)；(2)(a r )s rs a (a 0, r, s Q) （3） (ab)r a r s z a (a 0,b 0,r Q) 题型--根式与幕的 l 化简与求值 【例1】•求下列各i式的值:（1）3 2 23 2：23）有理指数幕的运算性质:(2) , 5 2.6 6 4 2 .7 4 3mnma (a 0,m,nm11a nm------(a n ma 7•..a注：o 的正分数指数幕等于 7(1)0.064 3 (7)042 3 3 160.75(2)【例3】•化简下列各式:0,b 0 (1)1 a 1 ~1a2 a【过关练习】1.求值：(1)(2)18a'b2.化简：(1)x 11 3 x(2)(a3a3 3)(a 3)_aa 4 1 a a 11x3xx3 1a2(1 4) a2(1 a4a^2 24b323 ab a'4) 21a a3.下列关系式中，根式与分数指数幕的互化正确的是_________(1) .X1 ___ 1 4x2(x 0);(2)6y2y3(y 0);(3)x§23\ a4(：)3(X 0)(4) . a a3a" (a 0)题型二 含附加条件的求值问题【例11 (1 )若3a 9b -，则下列等式正确的是()3 A. a b 1 B. a b 1C. a 2b1D.a 2b1(2) 若 x 3 x 2x 1,则 x 28 x 272x1x 1 x 1 x 2x 27 x 28的值是a . .； b4 ----- 0的两个根，且a b 0，求 的值.<a Jb【过关练习］1.已知2x 2 xa(常数)， 求8x 8 x 的值12.已知a 2 1a 2 3a 23，求一n a 23a1的值.a 23x 3x3.已知a 2x 21，求a x a x 的值a a(2)已知a,b 是方程x 26x1【例2 ]( 1)已知x - y 2 '题型三解含幕的方程与等式的证明【例1】解下列方程2x11【例2】已知ax3 by3 cz4，且一x 1，求证(ax2 by211112\3 3 3 ^3cz ) a b c【过关练习】1•解下列方程x 2 2 x1(1)81 3922x22xa b2.设a,b,c都是正数，且3 4 6c，求证- 24.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数 函数 函数 y a x (a 0,a 1)叫做指 数函数 .2. 指数 函数的 性质（ 1 ） 定义域 :实 数 集 合 R ；（ 2）值域 ： y 0 ;（ 3 ）奇偶性 ：指数函数是非奇非偶函数（ 4）单调性：a 1时， 函数 y a x （a 0,a 1）在 （, )上为增函数； 0 a 1时， 函数xya（a 0,a1)在( , )上为减函数；（ 5）函数值：x 0时 ， y 1, 图 象 恒 过 点 ( 0 ， 1 )；（ 6）当 a 1,x 0 时 y 1 ; a 1, x 0 时，0 y 1.当0 a 1, x 0 时 ，0y 1;0 a 1,x 0时， y 1.题型一 指数函数的概念例1 .已知指数函数 y a x (a 2)(a 3)的图像经过点( 2,4)，求 a 的值.【过关练习】•若指数函数f(x)的图像经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f( 1)的值.题型二指数型复合函数的定义域和值域 【例1】•求下列函数的定义域和值域 1(1)y .. 1 3x（2） y 2口x 2 2x 3(3) y2x1 （汀（4）y32【例2】•求函数yx13 1x2, x 2,2的值域420,且a 1）在-1,1上有最大值14,试求a 的值.【过关练习】 1.求函数y 11X的定义域和值域V 23•函数y 22x2x 1 2的定义域为M ，值域P1,2，则下列结论一定正确的个数是（）。
指数运算和指数函数
指数运算战指数函数之阳早格格创做一、知识面 1.根式的本量（1）当n 为奇数时，有a a n n=（2）当n 为奇数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a nn （3）背数不奇次圆根 （4）整的所有正次圆根皆是整 (1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a nn(2)整指数幂)0(10≠=a a (3)背整数指数幂).0(1*∈≠=-N p a a a pp (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a an m n m 且(5)背分数指数幂 nm nm aa1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂等于0，0的背分数指数幂奇尔思 (1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r∈>>⋅=4．指数函数定义：函数)10(≠>=a a a y x 且喊搞指数函数. 5. 指数函数的图象战本量x a y =0 < a < 1a > 1图象性 量定义域 R 值域 (0 , +∞)定面过定面（0，1），即x = 0时，y = 1（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 <y < 1.（2）0 <a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1.单调性 正在R 上是减函数 正在R 上是删函数 对付称性x y a =战x y a -=闭于y 轴对付称二、指数函数底数变更与图像分散程序 （1）① x y a =②x y b =③x y c =④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，xxxxb a dc <<< （底大幂大）x ∈(－∞,0)时，xxxxb a dc >>>（2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：三、指数式大小比较要领(1)单调性法：化为共底数指数式，利用指数函数的单调性举止比较.(2)中间量法 (3)分类计划法 (4)比较法比较法有做好比较与做商比较二种，其本理分别为： ①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当二个式子均为正值的情况下，可用做商法，推断1A B >，或者1AB<即可． 四、典型例题典型一、指数函数的观念例1．函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，供a 的值．【问案】2【剖析】由2(33)x y a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．闻一知十：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-； （5）1(21)(1)2x y a a a =->≠且；（6）4x y -=．【问案】（1）（5）（6）【剖析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4xy -==14x⎛⎫⎪⎝⎭，切合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．典型二、函数的定义域、值域 例2．供下列函数的定义域、值域. (1)313xxy =+；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)y =(a 为大于1的常数)【问案】（1）R ，(0，1)；（2）R [+∞,43)；（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)0,+∞；（4）[1，a)∪(a ，+∞) 【剖析】(1)函数的定义域为R (∵对付十足x ∈R ，3x ≠-1).∵(13)1111313x x xy +-==-++，又∵3x >0， 1+3x >1，∴10113x <<+， ∴11013x-<-<+， ∴101113x <-<+， ∴值域为(0，1).(2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴212=x 即 x=-1时，y 与最小值43，共时y 不妨与十足大于43的真数，∴ 值域为[+∞,43).(3)要使函数蓄意思可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3xy =是删函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞. (4)∵011112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵111011≠+-≥+-x x x x 且，∴a ay a y x x x x≠=≥=-+-+1121121且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+∞).【归纳降华】供值域时奇尔要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中112111≠+-=+-x x x 不克不迭遗漏. 闻一知十：【变式1】供下列函数的定义域： (1)2-12x y = (2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠ 【问案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【剖析】(1)R(2)要使本式蓄意思，需谦脚3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，． (3) 为使得本函数蓄意思，需谦脚2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞(4) 为使得本函数蓄意思，需谦脚10x a -≥，即1x a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，. 【归纳降华】本题中解不等式的依据主假如指数函数的单调性，根据所给的共底指数幂的大小闭系，分离单调性去推断指数的大小闭系.典型三、指数函数的单调性及其应用例3．计划函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并供其值域．【思路面拨】对付于x ∈R ，22103x x-⎛⎫> ⎪⎝⎭恒创造，果此不妨通过做商计划函数()f x 的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，果此不妨逐层计划它的单调性，概括得到截止．【问案】函数()f x 正在区间（－∞，1）上是删函数，正在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3]【剖析】解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2，∴222221()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，211211()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，222222121212121122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2)113x x x x -+-⎛⎫> ⎪⎝⎭．又对付于x ∈R ，()0f x >恒创造，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 正在（－∞，1）上单调递加．（2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知2121()(2)1013x x x x -+-⎛⎫<< ⎪⎝⎭．∴21()()f x f x <．∴函数()f x 正在[1，+∞）上单调递减．综上，函数()f x 正在区间（－∞，1）上是删函数，正在区间[1，+∞）上是减函数．∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221110333x x--⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴函数()f x 的值域为（0，3]． 解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，正在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭正在其定义域内是减函数，∴函数()f x 正在（－∞，1]内为删函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭正在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1正在[1，+∞）上是删函数，∴函数()f x 正在[1，+∞）上是减函数．值域的供法共解法一．【归纳降华】由本例可知，钻研()f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要烦琐些，普遍天有：即当a ＞1时，()f x y a =的单调性与()y f x =的单调性相共；当0＜a ＜1时，()f x y a =的单调与()y f x =的单调性好异．闻一知十：【变式1】供函数2323x x y -+-=的单调区间及值域.【问案】3(,]2x ∈-∞上单删，正在3[,)2x ∈+∞上单减.14(0,3]【剖析】[1]复合函数——领会为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；[2]利用复合函数单调性推断要领供单调区间； [3]供值域.设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调删函数，u=-x 2+3x-2正在3(,]2x ∈-∞上单删，u=-x 2+3x-2正在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323x x y -+-=正在3(,]2x ∈-∞上单删，正在3[,)2x ∈+∞上单减.又u=-x2+3x-22311()244x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为14(0,3].【变式2】供函数2-2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间.【剖析】当a>1时，中层函数y=a u 正在()-∞+∞，上为删函数，内函数u=x 2-2x 正在区间(1)-∞，上为减函数，正在区间[)1+∞，上为删函数，故函数2-2()(-1)x x f x a =∞在区间，上为减函数，正在区间[)1+∞，上为删函数；当0<a<1时，中层函数y=a u 正在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 正在区间(1)-∞，上为减函数，正在区间[)1+∞，上为删函数，故函数2-2()x x f x a =正在区间(1)-∞，上为删函数，正在区间[)1,+∞上为减函数.例4．说明函数1()(1)1x x a f x a a -=>+正在定义域上为删函数.【思路面拨】利用函数的单调性定义去说明. 【剖析】定义域为x ∈R ，任与x 1<x 2，12122()(1)(1)x x x x a a a a -=++. ∵1210,10x x a a +>+>， ∴12(1)(1)0x x a a ++>， 又a>1， x 1<x 2， ∴12x x a a <， ∴120xx a a -<， ∴f(x 1)<f(x 2)，则1()(1)1x x a f x a a -=>+正在定义域上为删函数.另：12121(1)x x x x x a a a a --=-， ∵10x a >， a>1且x 2-x 1>0， ∴211x x a ->， ∴2110x x a --<.【归纳降华】指数函数是教习了函数的普遍本量后，所教的第一个简直函数.果此，正在教习中，尽管体验从普遍到特殊的历程.例5．推断下列各数的大小闭系：aa+1； (2)24-231(),3,()331(3)2，(2.5)0，2.51()2(4)0,1)a a >≠【思路面拨】利用指数函数的本量去比较大小.aa+1（2）2-24311()<()<333（3） 2.50 2.51()<(2.5)<22（4）当a>1时，<0<a<1时，>【剖析】 x为单调删函数， aa+1.(2)果为44133-⎛⎫= ⎪⎝⎭，又13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以-42-23111()<()<333⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2-24311()<()<333．(3)果为 2.521>， 2.5112⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以 2.50 2.51()<(2.5)<22(4)当a>1时，23a a <，当0<a<1时，23a a >． 【归纳降华】(1)注意利用单调性解题的典型书籍写；(2)不是共底的尽管化为共底数幂举止比较(果为共底才搞用单调性)；(3)不克不迭化为共底的，借帮一其中间量去比较大小(时常使用的中间量是“0”战“1”).闻一知十：【变式1】比较大小：(1)2与22.3 (2)3与3 (3)与 (4)与(5)110.233241.5,(),()33-. 【剖析】(1)2＜2(2)3＞3.瞅察二函数值，底数分歧，而指数稳定——不是指数函数，而是y=x 3，它为删函数.(3)由，0<0.9<1， -0.3<0>1， 1.1>1， -0.1<0-0.1<1， 则；(4)由指数函数图象相对付位子闭系——数形分离，. (5)∵0.20.221.5()3-=，又函数2()3x y =为减函数，001x y >⇒<<， ∴10.23221()()033>>>，∵4()3x y =为删函数，103x =>时，y>1，110.233422()()()333>>.另解：幂函数13y x =为删函数，则有113342()1()33>>，(下略).【下浑课堂：指数函数 369066 例1】 122，133，【变式2】利用函数的本量比较166【问案】133>122>166【剖析】122=31136662(2)8==做出8,9,6x x x y y y ===的图象知所以133>122>166【变式3】 比较， 132()3的大小.【问案】7.02.0313.15.1)32(<<-【剖析】先比较31512.02.0)32()32()23(5.1与==--32∈(0，1)， ∴xy )32(=正在R 上是减函数，∵05131>>， ∴1)32()32()32(005131=<<<，再思量指数函数x ， 由于1.3>1， 所以x正在R 上为删函数>=1， ∴7.02.0313.15.1)32(<<-.【归纳降华】正在举止数的大小比较时，若底数相共，则可根据指数函数的本量得出截止，若底数不相共，则最先思量是可化成共底数，而后根据指数函数的本量得出截止；不克不迭化成共底数的，要思量引进第三个数(如0，1等)分别与之比较，进而得出截止.总之比较时要尽管转移成底的形式，根据指数函数单调性举止推断.例6. (分类计划指数函数的单调性)【思路面拨】先把被启圆数变产生真足仄办法的形式，而后对付a举止分类计划，去掉千万于值.212133331233-,1--,01a a aa aa a a⎧>⎪===⎨⎪<<⎩闻一知十：【变式1】如果215x xa a+-≤（0a>，且1a≠），供x的与值范畴．【问案】当01a<<时，6x≥-；当1a>时，6x≤-【剖析】（1）当01a<<时，由于215x xa a+-≤，215x x∴+≥-，解得6x≥-．（2）当1a>时，由于215x xa a+-≤，215x x∴+≤-，解得6x≤-．综上所述，x的与值范畴是：当01a<<时，6x≥-；当1a>时，6x≤-．典型四、推断函数的奇奇性例7．推断下列函数的奇奇性：)()21121()(xxfxϕ+-= (()xϕ为奇函数)【问案】奇函数【剖析】f(x)定义域闭于本面对付称(∵()xϕ定义域闭于本面对付称，且f(x)的定义域是()xϕ定义域撤除0那个元素)，令21121)(+-=xxg，则211222121221121)(+--=+-=+-=--xxxxxxg∴ g(x)为奇函数， 又 ∵()x ϕ为奇函数，∴f(x)为奇函数. 【归纳降华】供()()()f x g x x ϕ=⋅的奇奇性，不妨先推断()g x 与()x ϕ的奇奇性，而后正在根据奇·奇=奇，奇·奇=奇，奇·奇=奇，得出()f x 的奇奇性．闻一知十：【变式1】推断函数的奇奇性：()221xx xf x =+-. 【问案】奇函数【剖析】定义域{x|x ∈R 且x ≠0}，又112121()()()()222211221x xx x x f x x x x --=-+=-+=----21111111()(1)()()222212121x x x x x x x f x -+=-=+-=+=---，∴ f(-x)=f(x)，则f(x)奇函数. 典型五、指数函数的图象问题例8．如图的直线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数x y a =的图象，而12,,3,22a π⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则图象C 1、C 2、C 3、C 4对付应的函数的底数依次是________、________、________、________．【问案】2212π3【剖析】由底数变更引起指数函数图象的变更程序可知，C 2的底数＜C 1的底数＜C 4的底数＜C 3的底数．【归纳降华】利用底数与指数函数图象之间的闭系不妨赶快天解问像本题那样的有闭问题，共时还不妨办理有闭分歧底的幂的大小比较的问题，果此咱们必须流利掌握那一本量，那一本量可简朴天记做：正在y 轴的左边“底大图下”，正在y 轴的左边“底大图矮”．闻一知十：【变式1】 设()|31|x f x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列闭系式中一定创造的是（ ）A ．33c b <B ．33c b >C ．332c a +>D ．332c a +< 【问案】D【变式2】为了得到函数935x y =⨯+的图象，不妨把函数3x y =的图象()A ．背左仄移9个单位少度，再进与仄移5个单位少度B ．背左仄移9个单位少度，再背下仄移5个单位少度C ．背左仄移2个单位少度，再进与仄移5个单位少度D ．背左仄移2个单位少度，再背下仄移5个单位少度 【问案】C【剖析】注意先将函数935x y =⨯+转移为235x y +=+，再利用图象的仄移程序举止推断．∵293535x x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象背左仄移2个单位少度，再进与仄移5个单位少度，可得到函数935x y =⨯+的图象，故选C ．【归纳降华】用函数图象办理问题是中教数教的要害要领，利用其直瞅性真止数形分离解题，所以要认识基础函数的图象，并掌握图象的变更程序，比圆：仄移、伸缩、对付称等．指数函数尝试题11．函数210)2()5(--+-=x x y （ ）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或2．若指数函数x a y =正在[－1,1]上的最大值与最小值的好是1，则底数a 等于（ ）A ．251+B ．251+-C ．251±D ．215± 3．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，谦脚1)(>x f 的x 的与值范畴（ ）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或4．函数22)21(++-=x x y 得单调递加区间是（ ）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[5．已知2)(xx e e x f --=，则下列精确的是（ ）A ．奇函数，正在R 上为删函数B ．奇函数，正在R 上为删函数C ．奇函数，正在R 上为减函数D ．奇函数，正在R上为减函数二、挖空题6．已知函数f (x )的定义域是（1，2），则函数)2(x f 的定义域是.7．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定面. 8．已知－1<a <0，则三个数331,,3a a a由小到大的程序是.三、解问题9．（12分）供函数的定义域.10．（12分）已知函数)1(122>-+=a a a y x x 正在区间[－1,1]上的最大值是14，供a 的值. 11．（12分）（1）已知m x f x +-=132)(是奇函数，供常数m 的值；（2）绘出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回问：k 为何值时，圆程|3Ｘ－１｜＝k 无解？有一解？有二解？指数函数尝试题1问案一、DCDDD AAD D A 二、11．(0,1)； 12．(2，－2)； 13．32a ； 14．a a a3331<< ；15． 解：要使函数蓄意思必须：x x x x x -≠-≠⎧⎨⎪⎩⎪⇒≠≠⎧⎨⎩101010 ∴定义域为：16． 解：rrr r rc b c a c b a⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cb ca .当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r ； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＞c r .17．解： )1(122>-+=a a a y x x ，换元为)1(122a t at t y <<-+=，对付称轴为1-=t .当1>a ，a t =，即x =1时与最大值，略解得a =3 (a = －5舍去)18．解： （1）常数m =1（2）当k <0时，直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象无接面,即圆程无解;当k =0或者k ≥1时, 直线y =k 与函数|13|-=xy 的图象有唯一的接面，所以圆程有一解;当0<k <1时, 直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象有二个分歧接面，所以圆程有二解.19．解： （1）设210t t <≤，果为)(t g 为常数，)()(21t g t g =，即0]][)0([21=----t v rt v re e rp g ， 则r p g =)0(；（2）设210t t <<，=-)()(21t g t g ]][)0([21t v rt v r e e rp g ----=2112])0([t t vrt vr t vr eeerp g +-⋅-果为0)0(<-rpg ，210t t <<，)()(21t g t g <. 传染越去越宽沉.指数战指数函数训练2一、采用题1．（369a ）4（639a ）4等于（ ） （A ）a 16（B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ）（A ）6（B ）±2 （C ）-2 （D ）23．函数f （x ）=(a 2-1)x 正在R 上是减函数，则a 的与值范畴是（ ）（A ）1>a （B ）2<a （C ）a<2（D ）1<2<a4.下列函数式中，谦脚f(x+1)=21f(x)的是( ) (A)21(x+1)(B)x+41(C)2x (D)2-x5.下列f(x)=(1+a x )2x a -⋅是（ ）（A ）奇函数 （B ）奇函数 （C ）非奇非奇函数 （D ）既奇且奇函数 6．已知a>b,ab≠下列不等式（1）a 2>b 2,(2)2a>2b,(3)ba 11<,(4)a 31>b 31,(5)(31)a <(31)b中恒创造的有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1212+-x x 是（ ）（A ）奇函数 （B ）奇函数 （C ）既奇又奇函数 （D ）非奇非奇函数 8．函数y=121-x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）⋃（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）⋃（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R +的是（ ） （A ）y=5x-21（B ）y=(31)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21-10.函数y=2x x e e --的反函数是（ ）（A ）奇函数且正在R +上是减函数 （B ）奇函数且正在R +上是减函数（C ）奇函数且正在R +上是删函数 （D ）奇函数且正在R +上是删函数11．下列闭系中精确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31（B ）（21）31<（21）32<（51）32（C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（21）3112．若函数y=3+2x-1的反函数的图像通过P 面，则P 面坐标是（ ）（A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1）13．函数f(x)=3x +5,则f -1(x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞）（B ）（５，＋∞） （C ）（６，＋∞）（D ）（－∞，＋∞）14.若圆程a x -x-a=0有二个根，则a 的与值范畴是（ ） （A ）（1，+∞） （B ）（0，1） （C ）（0，+∞） （D ）φ15．已知函数f(x)=a x +k,它的图像通过面（1，7），又知其反函数的图像通过面（4，0），则函数f(x)的表白式是（ ）(A)f(x)=2x +5 (B)f(x)=5x +3 (C)f(x)=3x +4 (D)f(x)=4x +3 16.已知三个真数a,b=a a ,c=a aa ,其中0.9<a<1,则那三个数之间的大小闭系是（ ）（A ）a<c<b （B ）a<b<c （C ）b<a<c （D ）c<a<b17．已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x +b 的图像肯定不通过（ ）(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 二、挖空题1．若a 23<a 2,则a 的与值范畴是. 2．若10x =3,10y =4,则10x-y =. 3．化简⨯53xx 35xx×235xx =.4．函数y=1151--x x 的定义域是.5．直线x=a(a>0)与函数y=(31)x ,y=(21)x ,y=2x ,y=10x 的图像依次接于A 、B 、C 、D 四面，则那四面从上到下的排列序次是.6．函数y=3232x -的单调递减区间是.7．若f(52x-1)=x-2,则f(125)=.8．已知f(x)=2x ,g(x)是一次函数，记F （x ）=f[g(x)],而且面（2，41）既正在函数F （x ）的图像上，又正在F -1（x ）的图像上，则F （x ）的剖析式为. 三、解问题1． 设0<a<1,解闭于x 的不等式a 1322+-x x >a 522-+x x .2． 设f(x)=2x ,g(x)=4x ,g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)]，供x 的与值范畴.3． 已知x ∈[-3,2]，供f(x)=12141+-x x 的最小值与最大值. 4． 设a ∈R,f(x)= )(1222R x a a xx ∈+-+⋅，试决定a 的值，使f(x)为奇函数.5． 已知函数y=(31)522++x x ，供其单调区间及值域.6． 若函数y=4x -3·2x +3的值域为[1，7]，试决定x 的与值范畴. f(x)=)1(11>+-a a a x x ,(1)推断函数的奇奇性； (2)供该函数的值域；(3)说明f(x)是R 上的删函数.指数与指数函数训练2一、采用题二、挖空题1．0<a<1 2.434.(-∞,0)⋃(0,1) ⋃(1,+ ∞) ⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠--015011x xx ,联坐解得x ≠0,且x ≠1.5．[（31）9，39] 令U=-2x 2-8x+1=-2(x+2)2+9,∵ -399,1≤≤-∴≤≤U x ,又∵y=(31)U 为减函数，∴（31）9≤y ≤39. 6.D 、C 、B 、A. 7．（0，+∞）令y=3U ,U=2-3x 2, ∵y=3U 为删函数，∴y=32323x -的单调递减区间为[0，+∞）.8．0 f(125)=f(53)=f(52×2-1)=2-2=0. 9．31或者3.Y=m 2x +2m x -1=(mx+1)2-2, ∵它正在区间[-1，1]上的最大值是14，∴（m -1+1）2-2=14或者（m+1）2-2=14,解得m=31或者3. 10．2710712+-x11．∵ g(x)是一次函数，∴可设g(x)=kx+b(k≠0), ∵F(x)=f[g(x)]=2kx+b .由已知有F （2）=41，F （41）=2，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+⎪⎩⎪⎨⎧==++1412222412412b k b k b k b k 即，∴ k=-712,b=710,∴f(x)=2-710712+x 三、解问题1．∵0<a<2,∴ y=a x 正在（-∞，+∞）上为减函数，∵ a1322+-x x >a522-+x x , ∴2x 2-3x+1<x 2+2x-5,解得2<x<3,2.g[g(x)]=4x4=4x22=2122+x ,f[g(x)]=4x2=2x22,∵g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)], ∴2122+x >212+x >2x22,∴22x+1>2x+1>22x,∴2x+1>x+1>2x,解得0<x<1 3.f(x)=43)212(12124121412+-=+=+-=+-----xx x x xx , ∵x ∈[-3,2], ∴8241≤≤-x .则当2-x =21,即x=1时,f(x)有最小值43；当2-x =8,即x=-3时，f(x)有最大值57.4．要使f(x)为奇函数，∵ x ∈R,∴需f(x)+f(-x)=0, ∴f(x)=a-122)(,122+-=-+-x x a x f =a-1221++x x ,由a-1221221+-+++xx x a =0,得2a-12)12(2++x x =0,得2a-1,012)12(2=∴=++a xx . 5．令y=(31)U ,U=x 2+2x+5,则y 是闭于U 的减函数，而U 是(-∞,-1)上的减函数，[-1，+∞]上的删函数，∴ y=(31)522++x x 正在（-∞，-1）上是删函数，而正在[-1，+∞]上是减函数，又∵U=x 2+2x+5=(x+1)2+4≥4, ∴y=(31)522++x x 的值域为（0，（31）4）].6．Y=4x -33232322+⋅-=+⋅x x x ，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧≥+⋅-≤+⋅-1323)2(7323)2(22xx x x 即⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≤≤-1222421x x x或，∴ 2,12042≤<≤≤x x 或 由函数y=2x 的单调性可得x ]2,1[]0,(⋃-∞∈.7．（2x ）2+a(2x )+a+1=0有真根，∵ 2x >0,∴相称于t 2+at+a+1=0有正根，则⎪⎩⎪⎨⎧>+>-≥∆⎩⎨⎧≤+=≥∆010001)0(0a a a f 或 8．（1）∵定义域为x R ∈,且f(-x)=)(),(1111x x f aa a a xxx x ∴-=+-=+---是奇函数； （2）f(x)=,2120,11,121121<+<∴>++-=+-+x xx x x a a a a a ∵即f(x)的值域为（-1，1）； （3）设x 1,x 2R∈,且x 1<x 2,f(x 1)-f(x 2)=0)1)(1(2211112121221<++-=+--+-xx x x x x x x a a a a a a a a (∵分母大于整，且a 1x <a 2x )∴f(x)是R 上的删函数.。
指数运算与指数函数
指数运算与指数函数
指数运算是数学中一种常见的运算方式，它可以帮助我们简化复杂的计算过程。
在指数运算中，我们使用指数来表示一个数的乘方。
指数函数则是以指数为变量的函数，它在数学和科学领域中有着广泛的应用。
指数运算可以表示为a的n次幂，其中a被称为底数，n被称为指数。
例如，2的3次幂可以写成2³，它的值为8。
指数运算还具有一些特殊的性质，比如指数为0时，任何数的0次幂都等于1；指数为1时，任何数的1次幂都等于它本身。
指数函数是指以指数为变量的函数，通常表示为f(x) = aˣ，其中a 是常数。
指数函数在数学和科学中有着重要的应用，例如在复利计算、放射性衰变等领域。
指数函数的图像通常具有特殊的形状，当指数大于1时，函数图像上升得很快；当指数小于1时，函数图像下降得很快；当指数为0时，函数图像经过点(0, 1)；当指数为负数时，函数图像在x轴的正半轴上。
指数运算与指数函数在实际生活中有着广泛的应用。
在金融领域中，我们可以利用指数运算来计算复利，帮助我们更好地理解财务问题。
在自然科学中，指数函数可以用来描述物质的衰变过程，帮助我们预测放射性元素的衰变速率。
在生物学中，指数函数可以用来描述生物种群的增长规律，帮助我们研究生物的进化和生态系统的平衡。
指数运算与指数函数在数学和科学中扮演着重要的角色。
它们不仅可以帮助我们简化复杂的计算，还可以帮助我们更好地理解和解决实际问题。
通过学习和应用指数运算与指数函数，我们可以提升我们的数学和科学能力，为更广阔的领域做出贡献。
指数运算和指数函数
指数运算和指数函数之迟辟智美创作一、知识点 1.根式的性质（1）当n 为奇数时，有a a n n=（2）当n 为偶数时，有⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,a a a a a a nn （3）负数没有偶次方根 （4）零的任何正次方根都是零(1)正整数指数幂：)(.............*∈⋅⋅=N n a a a a a nn(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂).0(1*∈≠=-N p a a a pp (4)正分数指数幂 )1,,,0(>*∈>=n N n m a a an m nm 且(5)负分数指数幂 nm nm aa1=-)1,,,0(>*∈>n N n m a 且(6)0的正分数指数幂即是0，0的负分数指数幂无意义 (1)),,0(,Q s r a a a a s r s r ∈>=⋅+ (2)),,0(,)(Q s r a a a rs s r ∈>= (3)),0,0(,)(Q r b a a a ab s r r∈>>⋅=4．指数函数界说：函数)10(≠>=a a a y x 且叫做指数函数. 5. 指数函数的图象和性质x a y =0 < a < 1a > 1图象性 质界说域 R 值域 (0 , +∞) 定点 过定点（0，1），即x = 0时，y = 1（1）a > 1，当x > 0时，y > 1；当x < 0时，0 <y < 1.（2）0 <a < 1，当x > 0时，0 < y < 1；当x < 0时，y > 1.单调性 在R 上是减函数 在R 上是增函数 对称性x y a =和x y a -=关于y 轴对称二、指数函数底数变动与图像分布规律（1）① x y a =②x y b =③x y c =④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，xxxxb a dc <<< （底年夜幂年夜）x ∈(－∞,0)时，xxxxb a dc >>>（2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：三、指数式年夜小比力方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比力.(2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比力法比力法有作差比力与作商比力两种，其原理分别为： ①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可． 四、典范例题类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值．【谜底】2【解析】由2(33)x y a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-； （5）1(21)(1)2x y a a a =->≠且；（6）4x y -=．【谜底】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4xy -==14x⎛⎫⎪⎝⎭，符合指数函数的界说，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．类型二、函数的界说域、值域 例2．求下列函数的界说域、值域. (1)313xxy =+；(2)y=4x -2x+1；(3)；(4)y =(a 为年夜于1的常数)【谜底】（1）R ，(0，1)；（2）R [+∞,43)；（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)0,+∞；（4）[1，a)∪(a ，+∞) 【解析】(1)函数的界说域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).∵(13)1111313x x xy +-==-++，又∵3x >0， 1+3x >1，∴10113x <<+， ∴11013x-<-<+， ∴101113x <-<+， ∴值域为(0，1).(2)界说域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴212=x 即 x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切年夜于43的实数，∴ 值域为[+∞,43).(3)要使函数有意义可获得不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3xy =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞. (4)∵011112≥+-=-+x x x x ∴ 界说域为(-∞，-1)∪[1，+∞)， 又∵111011≠+-≥+-x x x x 且，∴a ay a y x x x x≠=≥=-+-+1121121且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏失落y>0的条件，第(4)小题中112111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三：【变式1】求下列函数的界说域： (1)2-12x y = (2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠ 【谜底】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，． (3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞(4) 为使得原函数有意义，需满足10x a -≥，即1x a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，.【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的年夜小关系，结合单调性来判断指数的年夜小关系.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．【思路点拨】对x ∈R ，22103x x-⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，因此可以通过作商讨论函数()f x 的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合获得结果．【谜底】函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数 （0，3]【解析】解法一：∵函数()f x 的界说域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2，∴222221()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，211211()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，222222121212121122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭． （1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2)113x x x x -+-⎛⎫> ⎪⎝⎭．又对x ∈R ，()0f x >恒成立，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 在（－∞，1）上单调递增．（2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0． 又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知2121()(2)1013x x x x -+-⎛⎫<< ⎪⎝⎭．∴21()()f x f x <．∴函数()f x 在[1，+∞）上单调递加．综上，函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221110333x x--⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ∴函数()f x 的值域为（0，3]． 解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其界说域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其界说域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．值域的求法同解法一．【总结升华】由本例可知，研究()f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用界说法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a =的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a =的单调与()y f x =的单调性相反．举一反三：【变式1】求函数2323x x y -+-=的单调区间及值域.【谜底】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域.设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增，u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.又u=-x2+3x-22311()244x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为14(0,3].【变式2】求函数2-2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)x x f x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数； 当0<a<1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()x x f x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.例4．证明函数1()(1)1x x a f x a a -=>+在界说域上为增函数.【思路点拨】利用函数的单调性界说去证明. 【解析】界说域为x ∈R ，任取x 1<x 2，12122()(1)(1)x x x x a a a a -=++. ∵1210,10x x a a +>+>， ∴12(1)(1)0x x a a ++>， 又a>1， x 1<x 2， ∴12x x a a <， ∴120xx a a -<， ∴f(x 1)<f(x 2)，则1()(1)1x x a f x a a -=>+在界说域上为增函数.另：12121(1)x x x x x a a a a --=-， ∵10x a >， a>1且x 2-x 1>0，∴211x x a ->， ∴2110x x a --<.【总结升华】指数函数是学习了函数的一般性质后，所学的第一个具体函数.因此，在学习中，尽量体会从一般到特殊的过程.例5．判断下列各数的年夜小关系：aa+1； (2)24-231(),3,()331(3)2，(2.5)0， 2.51()2(4)0,1)a a >≠【思路点拨】利用指数函数的性质去比力年夜小.aa+1（2）2-24311()<()<333（3） 2.50 2.51()<(2.5)<22（4）当a>1时，<0<a<1时，>【解析】 x为单调增函数， aa+1.(2)因为44133-⎛⎫= ⎪⎝⎭，又13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以-42-23111()<()<333⎛⎫ ⎪⎝⎭，即2-24311()<()<333．(3)因为 2.521>， 2.5112⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以 2.50 2.51()<(2.5)<22 (4)当a>1时，<0<a<1时，>．【总结升华】(1)注意利用单调性解题的规范书写；(2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比力(因为同底才华用单调性)；(3)不能化为同底的，借助一个中间量来比力年夜小(经常使用的中间量是“0”和“1”).举一反三：【变式1】比力年夜小： (1)2与22.3 (2)3与3 (3)与 (4)与(5)110.233241.5,(),()33-.【解析】(1)2＜2(2)3＞3.观察两函数值，底数分歧，而指数不变——不是指数函数，而是y=x 3，它为增函数.(3)由，0<0.9<1， -0.3<0>1， 1.1>1， -0.1<0-0.1<1， 则；(4)由指数函数图象相对位置关系——数形结合，.(5)∵0.20.221.5()3-=，又函数2()3x y =为减函数，001x y >⇒<<， ∴10.23221()()033>>>，∵4()3x y =为增函数，103x =>时，y>1，110.233422()()()333>>.另解：幂函数13y x =为增函数，则有113342()1()33>>，(下略).【高清课堂：指数函数 369066 例1】 122，133，【变式2】利用函数的性质比力166【谜底】133>122>166【解析】122=31136662(2)8==作出8,9,6x x x y y y ===的图象知所以133>122>166【变式3】 比力， 132()3的年夜小.【谜底】7.02.0313.15.1)32(<<-【解析】先比力31512.02.0)32()32()23(5.1与==--32∈(0，1)， ∴xy )32(=在R 上是减函数，∵05131>>， ∴1)32()32()32(005131=<<<，再考虑指数函数x ， 由于1.3>1， 所以x在R 上为增函数>=1， ∴7.02.0313.15.1)32(<<-.【总结升华】在进行数的年夜小比力时，若底数相同，则可根据指数函数的性质得出结果，若底数不相同，则首先考虑能否化成同底数，然后根据指数函数的性质得出结果；不能化成同底数的，要考虑引进第三个数(如0，1等)分别与之比力，从而得出结果.总之比力时要尽量转化成底的形式，根据指数函数单调性进行判断.例6. (分类讨论指数函数的单调性)【思路点拨】先把被开方数变形成完全平方式的形式，然后对a 进行分类讨论，去失落绝对值.212133331233-,1--,01a a a a a a a a ⎧>⎪===⎨⎪<<⎩举一反三：【变式1】如果215x x a a +-≤（0a >，且1a ≠），求x 的取值范围．【谜底】那时01a <<，6x ≥-；那时1a >，6x ≤- 【解析】（1）那时01a <<，由于215x x a a +-≤，215x x ∴+≥-，解得6x ≥-．（2）那时1a >，由于215x x a a +-≤，215x x ∴+≤-，解得6x ≤-．综上所述，x 的取值范围是：那时01a <<，6x ≥-；那时1a >，6x ≤-．类型四、判断函数的奇偶性 例7．判断下列函数的奇偶性：)()21121()(x x f x ϕ+-= (()x ϕ为奇函数)【谜底】偶函数【解析】f(x)界说域关于原点对称(∵()x ϕ界说域关于原点对称，且f(x)的界说域是()x ϕ界说域除失落0这个元素)，令21121)(+-=x x g ，则211222121221121)(+--=+-=+-=--x x x x x x g∴ g(x)为奇函数， 又 ∵()x ϕ为奇函数，∴f(x)为偶函数. 【总结升华】求()()()f x g x x ϕ=⋅的奇偶性，可以先判断()g x 与()x ϕ的奇偶性，然后在根据奇·奇=偶，偶·偶=偶，奇·偶=奇，得出()f x 的奇偶性．举一反三：【变式1】判断函数的奇偶性：()221x x xf x =+-. 【谜底】偶函数【解析】界说域{x|x ∈R 且x ≠0}，又112121()()()()222211221x xx x x f x x x x --=-+=-+=----21111111()(1)()()222212121x x x x x x x f x -+=-=+-=+=---，∴ f(-x)=f(x)，则f(x)偶函数. 类型五、指数函数的图象问题例8．如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数x y a =的图象，而12,,3,22a π⎧⎫⎪⎪∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则图象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．【谜底】2212π3【解析】由底数变动引起指数函数图象的变动规律可知，C 2的底数＜C 1的底数＜C 4的底数＜C 3的底数．【总结升华】利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问题，同时还可以解决有关分歧底的幂的年夜小比力的问题，因此我们必需熟练掌握这一性质，这一性质可简单地记作：在y 轴的右边“底年夜图高”，在y 轴的左边“底年夜图低”．举一反三：【变式1】 设()|31|x f x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定成立的是（ ）A ．33c b <B ．33c b >C ．332c a +>D ．332c a +< 【谜底】D【变式2】为了获得函数935x y =⨯+的图象，可以把函数3x y =的图象()A ．向左平移9个单元长度，再向上平移5个单元长度B ．向右平移9个单元长度，再向下平移5个单元长度C ．向左平移2个单元长度，再向上平移5个单元长度D ．向右平移2个单元长度，再向下平移5个单元长度 【谜底】C【解析】注意先将函数935x y =⨯+转化为235x y +=+，再利用图象的平移规律进行判断．∵293535x x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单元长度，再向上平移5个单元长度，可获得函数935x y =⨯+的图象，故选C ．【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法，利用其直观性实现数形结合解题，所以要熟悉基本函数的图象，并掌握图象的变动规律，比如：平移、伸缩、对称等．指数函数测试题11．函数210)2()5(--+-=x x y （ ）A ．}2,5|{≠≠x x xB ．}2|{>x xC ．}5|{>x xD ．}552|{><<x x x 或2．若指数函数x a y =在[－1,1]上的最年夜值与最小值的差是1，则底数a 即是（ ）A ．251+B ．251+-C ．251±D ．215± 3．函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-0,0,12)(21x x x x f x ，满足1)(>x f 的x 的取值范围（ ）A ．)1,1(-B ． ),1(+∞-C ．}20|{-<>x x x 或D ．}11|{-<>x x x 或4．函数22)21(++-=x x y 得单调递增区间是（ ）A ．]21,1[-B ．]1,(--∞C ．),2[+∞D ．]2,21[5．已知2)(xx e e x f --=，则下列正确的是（ ）A ．奇函数，在R 上为增函数B ．偶函数，在R 上为增函数C ．奇函数，在R 上为减函数D ．偶函数，在R 上为减函数二、填空题6．已知函数f (x )的界说域是（1，2），则函数)2(x f 的界说域是.7．当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点. 8．已知－1<a <0，则三个数331,,3a a a 由小到年夜的顺序是.三、解答题9．（12分）求函数的界说域.10．（12分）已知函数)1(122>-+=a a a y x x 在区间[－1,1]上的最年夜值是14，求a 的值. 11．（12分）（1）已知m x f x+-=132)(是奇函数，求常数m 的值；（2）画出函数|13|-=x y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3Ｘ－１｜＝k 无解？有一解？有两解？指数函数测试题1谜底一、DCDDD AAD D A 二、11．(0,1)； 12．(2，－2)； 13．32a ； 14．a a a3331<< ；15． 解：要使函数有意义必需：x x x x x -≠-≠⎧⎨⎪⎩⎪⇒≠≠⎧⎨⎩101010 ∴界说域为：16． 解：rrr r rc b c a c b a⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+，其中10,10<<<<cb ca .当r ＞1时，1=+<⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＜c r ； 当r ＜1时，1=+>⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛c b c a c b c a rr，所以a r +b r ＞c r .17．解： )1(122>-+=a a a y x x ，换元为)1(122a t at t y <<-+=，对称轴为1-=t .当1>a ，a t =，即x =1时取最年夜值，略解得a =3 (a = －5舍去)18．解： （1）常数m =1（2）当k <0时，直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象无交点,即方程无解;当k =0或k ≥1时, 直线y =k 与函数|13|-=xy 的图象有唯一的交点，所以方程有一解;当0<k <1时, 直线y =k 与函数|13|-=x y 的图象有两个分歧交点，所以方程有两解.19．解： （1）设210t t <≤，因为)(t g 为常数，)()(21t g t g =，即0]][)0([21=----t v rt v re e rp g ， 则r p g =)0(；（2）设210t t <<，=-)()(21t g t g ]][)0([21t v rt v r e e rp g ----=2112])0([t t vrt vr t vr eeerp g +-⋅-因为0)0(<-rpg ，210t t <<，)()(21t g t g <. 污染越来越严重.指数和指数函数练习2一、选择题1．（369a ）4（639a ）4即是（ ） （A ）a 16（B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值即是（ ）（A ）6（B ）±2 （C ）-2 （D ）23．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）（A ）1>a （B ）2<a （C ）a<2（D ）1<2<a4.下列函数式中，满足f(x+1)=21f(x)的是( ) (A)21(x+1)(B)x+41(C)2x (D)2-x5.下列f(x)=(1+a x )2x a -⋅是（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既奇且偶函数 6．已知a>b,ab≠下列不等式（1）a 2>b 2,(2)2a>2b,(3)ba 11<,(4)a 31>b 31,(5)(31)a <(31)b中恒成立的有（ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1212+-x x 是（ ）（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y=121-x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）⋃（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）⋃（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R +的是（ ） （A ）y=5x-21（B ）y=(31)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2x x e e --的反函数是（ ）（A ）奇函数且在R +上是减函数 （B ）偶函数且在R +上是减函数（C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R +上是增函数11．下列关系中正确的是（ ）（A ）（21）32<（51）32<（21）31（B ）（21）31<（21）32<（51）32（C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（21）3112．若函数y=3+2x-1的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ）（A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1）13．函数f(x)=3x +5,则f -1(x)的界说域是（ ） （A ）（０，＋∞）（B ）（５，＋∞） （C ）（６，＋∞）（D ）（－∞，＋∞）14.若方程a x -x-a=0有两个根，则a 的取值范围是（ ） （A ）（1，+∞） （B ）（0，1） （C ）（0，+∞） （D ）φ15．已知函数f(x)=a x +k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（ ）(A)f(x)=2x +5 (B)f(x)=5x +3 (C)f(x)=3x +4 (D)f(x)=4x +3 16.已知三个实数a,b=a a ,c=a aa ,其中0.9<a<1,则这三个数之间的年夜小关系是（ ）（A ）a<c<b （B ）a<b<c （C ）b<a<c （D ）c<a<b17．已知0<a<1,b<-1,则函数y=a x +b 的图像肯定不经过（ ）(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 二、填空题1．若a 23<a 2,则a 的取值范围是. 2．若10x =3,10y =4,则10x-y =. 3．化简⨯53xx 35xx×235xx =.4．函数y=1151--x x 的界说域是.5．直线x=a(a>0)与函数y=(31)x ,y=(21)x ,y=2x ,y=10x 的图像依次交于A 、B 、C 、D 四点，则这四点从上到下的排列次第是.6．函数y=3232x -的单调递加区间是.7．若f(52x-1)=x-2,则f(125)=.8．已知f(x)=2x ,g(x)是一次函数，记F （x ）=f[g(x)],而且点（2，41）既在函数F （x ）的图像上，又在F -1（x ）的图像上，则F （x ）的解析式为. 三、解答题1． 设0<a<1,解关于x 的不等式a 1322+-x x >a 522-+x x .2． 设f(x)=2x ,g(x)=4x ,g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)]，求x 的取值范围.3． 已知x ∈[-3,2]，求f(x)=12141+-x x 的最小值与最年夜值. 4． 设a ∈R,f(x)= )(1222R x a a xx ∈+-+⋅，试确定a 的值，使f(x)为奇函数.5． 已知函数y=(31)522++x x ，求其单调区间及值域.6． 若函数y=4x -3·2x +3的值域为[1，7]，试确定x 的取值范围. f(x)=)1(11>+-a a a x x ,(1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数的值域；(3)证明f(x)是R 上的增函数.指数与指数函数练习2一、选择题二、填空题 1．0<a<1 2.434.(-∞,0)⋃(0,1) ⋃(1,+ ∞) ⎪⎩⎪⎨⎧≠-≠--015011x xx ,联立解得x ≠0,且x ≠1.5．[（31）9，39] 令U=-2x 2-8x+1=-2(x+2)2+9,∵ -399,1≤≤-∴≤≤U x ,又∵y=(31)U 为减函数，∴（31）9≤y ≤39. 6.D 、C 、B 、A. 7．（0，+∞）令y=3U ,U=2-3x 2, ∵y=3U 为增函数，∴y=32323x -的单调递加区间为[0，+∞）.8．0 f(125)=f(53)=f(52×2-1)=2-2=0. 9．31或3.Y=m 2x +2m x -1=(mx+1)2-2, ∵它在区间[-1，1]上的最年夜值是14，∴（m -1+1）2-2=14或（m+1）2-2=14,解得m=31或3.10．2710712+-x11．∵ g(x)是一次函数，∴可设g(x)=kx+b(k≠0), ∵F(x)=f[g(x)]=2kx+b .由已知有F （2）=41，F （41）=2，∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+⎪⎩⎪⎨⎧==++1412222412412b k b k b k b k 即，∴ k=-712,b=710,∴f(x)=2-710712+x 三、解答题1．∵0<a<2,∴ y=a x 在（-∞，+∞）上为减函数，∵ a 1322+-x x >a 522-+x x , ∴2x 2-3x+1<x 2+2x-5,解得2<x<3,2.g[g(x)]=4x4=4x22=2122+x ,f[g(x)]=4x2=2x22,∵g[g(x)]>g[f(x)]>f[g(x)], ∴2122+x >212+x >2x22,∴22x+1>2x+1>22x,∴2x+1>x+1>2x,解得0<x<1 3.f(x)=43)212(12124121412+-=+=+-=+-----xx x x xx , ∵x ∈[-3,2], ∴8241≤≤-x .则当2-x =21,即x=1时,f(x)有最小值43；当2-x =8,即x=-3时，f(x)有最年夜值57.4．要使f(x)为奇函数，∵ x ∈R,∴需f(x)+f(-x)=0, ∴f(x)=a-122)(,122+-=-+-x x a x f =a-1221++x x ,由a-1221221+-+++xx x a =0,得2a-12)12(2++x x =0,得2a-1,012)12(2=∴=++a xx . 5．令y=(31)U ,U=x 2+2x+5,则y 是关于U 的减函数，而U 是(-∞,-1)上的减函数，[-1，+∞]上的增函数，∴ y=(31)522++x x 在（-∞，-1）上是增函数，而在[-1，+∞]上是减函数，又∵U=x 2+2x+5=(x+1)2+4≥4, ∴y=(31)522++x x 的值域为（0，（31）4）].6．Y=4x -33232322+⋅-=+⋅x x x ，依题意有⎪⎩⎪⎨⎧≥+⋅-≤+⋅-1323)2(7323)2(22xx x x 即⎪⎩⎪⎨⎧≤≥≤≤-1222421x x x或，∴ 2,12042≤<≤≤x x 或 由函数y=2x 的单调性可得x ]2,1[]0,(⋃-∞∈.7．（2x ）2+a(2x )+a+1=0有实根，∵ 2x >0,∴相当于t 2+at+a+1=0有正根，则⎪⎩⎪⎨⎧>+>-≥∆⎩⎨⎧≤+=≥∆010001)0(0a a a f 或 8．（1）∵界说域为x R ∈,且f(-x)=)(),(1111x x f a a a a xxx x ∴-=+-=+---是奇函数； （2）f(x)=,2120,11,121121<+<∴>++-=+-+xxx x x a a a a a ∵即f(x)的值域为（-1，1）； （3）设x 1,x 2R∈,且x 1<x 2,f(x 1)-f(x 2)=0)1)(1(2211112121221<++-=+--+-xx x x x x x x a a a a a a a a (∵分母年夜于零，且a 1x <a 2x ) ∴f(x)是R 上的增函数.。
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§1．4指数运算、指数函数
【复习要点】
1．指数、对数的概念、运算法则； 2．指数函数的概念, 性质和图象． 【知识整理】
1．指数的概念；运算法则：n n n mn n m n
m n
m
b a ab a a a
a a ===⋅+)(,)(,
)1,,,0(*
>∈>=n N n m a a a
n m n
m
)1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
2．指数函数的概念, 性质和图象如表：
其中利用函数的图象来比较大小是一般的方法。
4．会求函数y =a f (x)的单调区间。
5．含参数的指数函数问题，是函数中的难点，应初步熟悉简单的分类讨论。
【基础训练】
1］4
3的结果为 （ ） A.5
B.5
C.－5
D.－5
2．将322-化为分数指数幂的形式为 （ ） A ．2
1
2-
B ．3
12- C ．2
12
-
-
D ．6
52-
3．下列等式一定成立的是 （ ） A ．2
33
1
a a ⋅=a
B ．2
12
1a a
⋅-
=0 C ．(a 3)2=a 9
D ．6
13121a a a =÷
4．下列命题中，正确命题的个数为 （ ） ①n
n
a =a ②若a ∈R ,则(a 2－a +1)0=1 ③y x y x +=+3
433
4
④623)5(5-=-
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
5．化简11111321684
21212121212-----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结果是 （ ）
A ．1
1
321122--⎛
⎫- ⎪
⎝⎭
B ．1
132
12--⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1
3212-- D ．1321122-⎛⎫- ⎪⎝⎭
6
．4
4
等 于 （ ）
A ．16a
B ．8a
C ．4a
D ．2
a
【例题选讲】
1．设3
2212
,-==x
x a y a y ，其中a ＞0,a ≠1，问x 为何值时有
（1）y 1＝y 2 ？ （2）y 1＜y 2？
2．比较下列各组数的大小，并说明理由 （1）431.1，434.1，3
21.1 （2）4
316.0-
，2
35
.0-
，8
325.6 （3）5
32
)1(+a ，4
32
)1(+a
3．已知函数3234+⋅-=x
x
y 的值域为[7，43]，试确定x 的取值范围.
4．设01a <<，解关于x 的不等式2
2
232
223
x
x x
x a
a -++->
5．已知[]3,2x ∈-，求11
()142x x
f x =-+的最小值与最大值
6．设a R ∈，22
()()21
x x a a f x x R ⋅+-=
∈+，试确定a 的值，使()f x 为奇函数
【反馈练习】
1．已知函数|12|)(-=x
x f ，当c b a <<时，有)()()(b f c f a f >>，则有 （ ） A . c
a
22> B . b
a
22> C . c a
22<- D 222<+c a .
2．若函数,)
2(,2)
2(),2()(⎩⎨
⎧≥<+=-x x x f x f x
，则)3(-f 的值为 （ ） A ．2 B ．8 C ．8
1 D ．
2
1 3．函数1
21
-=
x
y 的值域是 （ ）. A.)1,(--∞ B.).0()1,(∞+--∞ C.),1(+∞- D.),0()0,(+∞-∞ 4．设c bx x x f +-=2
)(满足3)0(=f ，且对任意R x ∈，都有)2()(x f x f -=，则（ ）. A.)()(x
x
c f b f < B.)()(x
x
c f b f ≤ C.)()(x
x
c f b f ≥ D. )(x
b f 与)(x
c f 不可能比较
5．已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）2
2
a b >；(2)22a b
>；(3)b
a 11<；(4)11
3
3a b >；
(5)1133a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
中恒成立的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
6．函数21
21
x x y -=+是 （ ）
A ．奇函数
B ．偶函数
C ．既奇又偶函数
D ．非奇非偶函数
7．2()1()(0)21x
F x f x x ⎛⎫
=+⋅≠ ⎪-⎝⎭
是偶函数，且()f x 不恒等于零，则()f x 是 ( ) A ．奇函数 B ．既奇又偶函数 C ．偶函数 D ．非奇非偶函数
8．一批设备价值a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b ％，则n 年后这批设备的价值为 （ ） A ．na (1－b ％) B. a (1－nb ％) C. a [1－(b ％)n ] D.a (1－b ％)n 9．函数|
1|)
5
4(-=x y 的单调减区间是________，值域为________.
10．设函数⎪⎩
⎪⎨⎧>≤-=)0(,)
0(,3)21()(21
x x x x f x
，若1)(>a f ，则实数a 的取值范围是________________. 11．函数2281
1()
(31)3
x x y x --+=-≤≤的值域是
12．若f (52x －
1)＝x －2，则f (125)＝ 13．求函数x
x y --=2
3的单调区间和值域．
14．已知函数1
()(1)1
x x a f x a a -=>+,(1)判断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明()f x 是R 上的增函数。