实数指数幂及其运算教案
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第三章 基本初等函数
§3.1
3.1.1
【学习要求】
1.了解根式与方根的概念及关系;
2.理解分数指数幂的概念;
3.掌握有理数指数幂的运算性质,能运用性质进行化简计算.
【学法指导】
通过类比、归纳,感知根式概念的形成过程,进一步认清根式与绝对值的联系,提高归纳,概括的能力,了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想.
答:n为奇数, ＝a;n为偶数, ＝|a|＝ .
例2求下列各式的值:(1) ;(2) ;(3) ;(4) (a>b).
解:(1) ＝－8;(2) ＝|－10|＝10;(3) ＝|3－π|＝π－3;(4) ＝|a－b|＝a－b (a>b).
小结:当n为偶数时, 化简得到结果先取绝对值,再去绝对值算具体的值,这样就避免出现错误.
跟踪训练2求下列各式的值:(1) ;(2) (a≤1).
解:(1)－2;(2)3a－3.
探究点三 利用根式的性质化简或求值
例3化简: ＋ ＋ ＝________.
解析:由题意知a－1≥0,即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
小结:根式运算中,经常会遇到开方与乘方并存的情况,应注意两者运算顺序是否可换,如对 仅当a≥0时,
问题2正整指数幂有哪些运算法则？
答:(1)am·an＝am＋n;
(2)(am)n＝am·n;
(3) ＝am－n(m>n,a≠0);
(4)(a·b)m＝am·bm.
问题3零和负整指数幂是如何规定的？
答:规定:a0＝1(a≠0);00无意义;a－n＝ (a≠0,n∈N＋).
例1计算下列各式,并把结果化为只含正整指数幂的形式(式子中的a,b≠0).
恒有 ＝( )n,若a<0,则不一定成立.
跟踪训练3化简 ＋ 的结果是()
A.1B.2a－1C.1或2a－1D.0
解析: ＋ ＝a＋|1－a|＝ .故选C.
探究点四 有限制条件的根式的化简
例4设－3<x<3,求 － 的值.
解:原式＝ － ＝|x－1|－|x＋3|
∵－3<x<3,∴当－3<x<1时,原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2;
跟踪训练1化简下列各式:
(1)80＝______;(－8)0＝______;(a－b)0＝____(a≠b);(2)10－3＝______; －6＝______.
答案：(1)111(2)0.00164
探究点二 根式的概念与性质
问题1什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？
答:若x2＝a,则x叫做a的平方根.同理,若x3＝a,则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,当a>0时,有两个平方根,它们互为相反数± ;当a＝0时, ＝0;当a<0时,在实数范围内没有平方根.在实数范围内a只有一个立方根,记作 .
问题2类比a的平方根及立方根的定义,如何定义a的n次方根？
答:如果存在实数x,使得xn＝a (a∈R,n>1,n∈N＋),则x叫做a的n次方根.求a的n次方根,叫做把a开n次方,称作开方运算.正数a的正n次方根叫做a的n次算术根.当 有意义的时候, 叫做根式,n叫做根指数.
问题3类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
填一填：知识要点、记下疑难点
1.相同因数相乘 记作an,an叫做a的n次幂,a叫做幂的底数,n叫做幂的指数
2.正整指数幂的性质:(1)am·an＝am＋n;
(2)(am)n＝am·n;(3) ＝am－n(m>n,a≠0);
(4)(ab)m＝ambm.
3.如果存在实数x,使得xn＝a (a∈R,n>1,n∈N＋),则x叫做a的n次方根求a的n次方根,叫做把a开n次方,称作
(1) ;
(2) 3(a＋b≠0,a－b≠0).
解(1) ＝ a2b3＝－ a－1＋2b－3＋3＝－ a;
(2) 3＝[(a＋b)－3(a－b)4(a－b)2]3＝(a＋b)－9(a－b)18.
小结:当我们规定了a0＝1 (a≠0);00无意义;a－n＝
(a≠0,n∈N＋)后,就把正整指数幂推广到整数指数幂,并且正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立.
[问题情境]我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根、…、n次方根呢？答案是肯定的,这就是本节我们要研究的问题:实数指数幂及其运算.
探究点一 整数指数及其运算
问题1整数指数幂an(n∈N＋)的意义是什么？an、a、n分别叫做什么？
答:an(n∈N＋)的意义为:an＝,an叫做a的n次幂,a叫做幂的底数,n叫做幂的指数.
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.下列说法中:①16的4次方根是2;② 的运算结果是±2;③当n为大于1的奇数时, 对任意a∈R都有意义;
④当n为大于1的偶数时, 只有当a≥0时才有意义.其中正确的是()
A.①③④B.②③④C.②③D.③④
解析:①错,∵(±2)4＝16,∴16的Байду номын сангаас次方根是±2;②错, ＝2,而± ＝±2.③④正确.答案D
开方运算.正数a的正n次方根叫做a的n次算术根当 有意义的时候, 叫做根式,n叫做根指数.当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,此时a的n次实数方根只有一个,记为 ;当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,它们可以合并写成± (a>0)形式.
研一研：问题探究、课堂更高效
答:a为正数: a为负数:
零的n次方根为零,记为 ＝0.
小结:一个数到底有没有n次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还要分清n为奇数和n为偶数这两种情况.
问题4根据n次方根的意义,可得:( )n＝a,即( )n＝a肯定成立, 表示an的n次方根,等式 ＝a一定成立吗？如果不一定成立,那么 等于什么？
当1≤x<3时,原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4,∴原式＝ .
小结:此类问题的解答首先应去根号,这就要求将被开方部分化为完全平方的形式,结合根式性质求解.
跟踪训练4本例中,若将“－3<x<3”变为“x≤－3”,则结果又是什么？
解:原式＝ － ＝|x－1|－|x＋3|.∵x≤－3,∴x－1<0,x＋3≤0,∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
2.已知x5＝6,则x等于()
§3.1
3.1.1
【学习要求】
1.了解根式与方根的概念及关系;
2.理解分数指数幂的概念;
3.掌握有理数指数幂的运算性质,能运用性质进行化简计算.
【学法指导】
通过类比、归纳,感知根式概念的形成过程,进一步认清根式与绝对值的联系,提高归纳,概括的能力,了解由特殊到一般的解决问题的方法,渗透分类讨论的思想.
答:n为奇数, ＝a;n为偶数, ＝|a|＝ .
例2求下列各式的值:(1) ;(2) ;(3) ;(4) (a>b).
解:(1) ＝－8;(2) ＝|－10|＝10;(3) ＝|3－π|＝π－3;(4) ＝|a－b|＝a－b (a>b).
小结:当n为偶数时, 化简得到结果先取绝对值,再去绝对值算具体的值,这样就避免出现错误.
跟踪训练2求下列各式的值:(1) ;(2) (a≤1).
解:(1)－2;(2)3a－3.
探究点三 利用根式的性质化简或求值
例3化简: ＋ ＋ ＝________.
解析:由题意知a－1≥0,即a≥1.原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1＋a－1＋1－a＝a－1.
小结:根式运算中,经常会遇到开方与乘方并存的情况,应注意两者运算顺序是否可换,如对 仅当a≥0时,
问题2正整指数幂有哪些运算法则？
答:(1)am·an＝am＋n;
(2)(am)n＝am·n;
(3) ＝am－n(m>n,a≠0);
(4)(a·b)m＝am·bm.
问题3零和负整指数幂是如何规定的？
答:规定:a0＝1(a≠0);00无意义;a－n＝ (a≠0,n∈N＋).
例1计算下列各式,并把结果化为只含正整指数幂的形式(式子中的a,b≠0).
恒有 ＝( )n,若a<0,则不一定成立.
跟踪训练3化简 ＋ 的结果是()
A.1B.2a－1C.1或2a－1D.0
解析: ＋ ＝a＋|1－a|＝ .故选C.
探究点四 有限制条件的根式的化简
例4设－3<x<3,求 － 的值.
解:原式＝ － ＝|x－1|－|x＋3|
∵－3<x<3,∴当－3<x<1时,原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2;
跟踪训练1化简下列各式:
(1)80＝______;(－8)0＝______;(a－b)0＝____(a≠b);(2)10－3＝______; －6＝______.
答案：(1)111(2)0.00164
探究点二 根式的概念与性质
问题1什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个,立方根呢？
答:若x2＝a,则x叫做a的平方根.同理,若x3＝a,则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义,当a>0时,有两个平方根,它们互为相反数± ;当a＝0时, ＝0;当a<0时,在实数范围内没有平方根.在实数范围内a只有一个立方根,记作 .
问题2类比a的平方根及立方根的定义,如何定义a的n次方根？
答:如果存在实数x,使得xn＝a (a∈R,n>1,n∈N＋),则x叫做a的n次方根.求a的n次方根,叫做把a开n次方,称作开方运算.正数a的正n次方根叫做a的n次算术根.当 有意义的时候, 叫做根式,n叫做根指数.
问题3类比平方根、立方根,猜想:当n为偶数时,一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？
填一填：知识要点、记下疑难点
1.相同因数相乘 记作an,an叫做a的n次幂,a叫做幂的底数,n叫做幂的指数
2.正整指数幂的性质:(1)am·an＝am＋n;
(2)(am)n＝am·n;(3) ＝am－n(m>n,a≠0);
(4)(ab)m＝ambm.
3.如果存在实数x,使得xn＝a (a∈R,n>1,n∈N＋),则x叫做a的n次方根求a的n次方根,叫做把a开n次方,称作
(1) ;
(2) 3(a＋b≠0,a－b≠0).
解(1) ＝ a2b3＝－ a－1＋2b－3＋3＝－ a;
(2) 3＝[(a＋b)－3(a－b)4(a－b)2]3＝(a＋b)－9(a－b)18.
小结:当我们规定了a0＝1 (a≠0);00无意义;a－n＝
(a≠0,n∈N＋)后,就把正整指数幂推广到整数指数幂,并且正整指数幂的运算法则对整数指数幂仍然成立.
[问题情境]我们在初中学习了平方根、立方根,那么有没有四次方根、五次方根、…、n次方根呢？答案是肯定的,这就是本节我们要研究的问题:实数指数幂及其运算.
探究点一 整数指数及其运算
问题1整数指数幂an(n∈N＋)的意义是什么？an、a、n分别叫做什么？
答:an(n∈N＋)的意义为:an＝,an叫做a的n次幂,a叫做幂的底数,n叫做幂的指数.
练一练：当堂检测、目标达成落实处
1.下列说法中:①16的4次方根是2;② 的运算结果是±2;③当n为大于1的奇数时, 对任意a∈R都有意义;
④当n为大于1的偶数时, 只有当a≥0时才有意义.其中正确的是()
A.①③④B.②③④C.②③D.③④
解析:①错,∵(±2)4＝16,∴16的Байду номын сангаас次方根是±2;②错, ＝2,而± ＝±2.③④正确.答案D
开方运算.正数a的正n次方根叫做a的n次算术根当 有意义的时候, 叫做根式,n叫做根指数.当n为奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的n次方根是一个负数,此时a的n次实数方根只有一个,记为 ;当n为偶数时,正数的n次方根有两个,它们互为相反数,它们可以合并写成± (a>0)形式.
研一研：问题探究、课堂更高效
答:a为正数: a为负数:
零的n次方根为零,记为 ＝0.
小结:一个数到底有没有n次方根,我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数,还要分清n为奇数和n为偶数这两种情况.
问题4根据n次方根的意义,可得:( )n＝a,即( )n＝a肯定成立, 表示an的n次方根,等式 ＝a一定成立吗？如果不一定成立,那么 等于什么？
当1≤x<3时,原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4,∴原式＝ .
小结:此类问题的解答首先应去根号,这就要求将被开方部分化为完全平方的形式,结合根式性质求解.
跟踪训练4本例中,若将“－3<x<3”变为“x≤－3”,则结果又是什么？
解:原式＝ － ＝|x－1|－|x＋3|.∵x≤－3,∴x－1<0,x＋3≤0,∴原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
2.已知x5＝6,则x等于()